KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS,...
Transcript of KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS,...
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS,
FORGÓMOZGÁS
1
EGYENLETES KÖRMOZGÁS
Pálya → kör
Út → ív
Definíció:
Test körpályán azonos irányban haladva azonos
időközönként egyenlő íveket tesz meg.
Periodikus mozgás 2
PERIODICITÁS JELLEMZÉSE
Keringési idő (T),
Azon időtartam, mely alatt a test egy fordulatot megtesz
Fordulatszám (n),
Megmutatja az 1s alatti fordulatok számát
Kapcsolat: a keringési idő és a fordulatszám egymás reciproka:
3
𝑇 = 1𝑠
𝑛 = 11
𝑠
𝑇 =1
𝑛
KÖRMOZGÁS SEBESSÉGE – IRÁNY
Δt „nagy”
Δt→0
Sebesség vektor iránya az elmozdulás vektor
irányával egyezik meg → folyamatosan változik
Egyenletes körmozgás sebessége minden
időpillanatban érintőirányú.
Elnevezés: KERÜLETI SEBESSÉG (vk) 4
𝑣 =∆𝑟
∆𝑡
KÖRMOZGÁS SEBESSÉGE – NAGYSÁG
Definíció alapján: ahol
Ha Δt = T → Δi = 2Rπ
Tehát:
5
𝑠 = ∆𝑖
𝑣𝑘 =∆𝑖
∆𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑣𝑘 =2𝑅𝜋
𝑇= 2𝑅𝜋𝑛
𝑣 =𝑠
𝑡
SZÖGSEBESSÉG
Δi mérése nehéz
Új definíció:
Test körpályán azonos irányban haladva azonos
időközönként egyenlő középponti szöggel fordul el.
Mivel Δi ~ Δφ →
SZÖGSEBESSÉG
Ha Δt = T → Δφ = 2π
Tehát: 6
∆𝑖
∆𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
∆𝜑
∆𝑡= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝜔 =∆𝜑
∆𝑡
∆𝜑 = 1𝑟𝑎𝑑, 𝜔 = 11
𝑠
𝜔 =2𝜋
𝑇= 2𝜋𝑛
SZÖGSEBESSÉG ÉS KERÜLETI SEBESSÉG
KAPCSOLATA
7
𝑣𝑘 =2𝑅𝜋
𝑇
𝜔 =2𝜋
𝑇
𝑣𝑘 = 𝑅𝜔
KÖRMOZGÁS GYORSULÁSA – IRÁNY
vk változik → gyorsulás
A gyorsulás iránya minden időpillanatban megegyezik a
sebesség-változás vektor irányával.
Ábra alapján:
Egyenlőszárú háromszög
β = Δφ (merőleges szárú szögek)
Ha Δt → 0
akkor Δφ = β → 0
és α = 90°
Gyorsulás iránya minden időpillanatban merőleges a mozgó test sebességének
irányára → pálya középpontja felé mutat (sugárirányú)
Elnevezés: CENTRIPETÁLIS GYORSULÁS (acp)
8
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡
KÖRMOZGÁS GYORSULÁSA – NAGYSÁG
9
𝑎𝑐𝑝 =𝑣𝑘2
𝑅
𝑣𝑘 = 𝑅𝜔 → 𝑎𝑐𝑝 = 𝑅𝜔2
CENTRIPETÁLIS GYORSULÁS CENTRIFUGÁBAN
Centrifugákon általában a percenkénti fordulatszám
(jele N vagy rpm = revolutions per minute) állítható be:
10
ahol 𝑎𝑐𝑝 = 𝑅𝜔2 𝜔 = 2𝜋𝑛
𝑎𝑐𝑝 = 𝑅4𝜋2𝑛2
𝑎𝑐𝑝 = 4𝜋2𝑁
60
2
𝑅 = 0,011𝑁2𝑅
RELATÍV GYORSULÁS
Dimenzió nélküli szám
Megadja, hogy a centrifugában fellépő gyorsulás hányszorosa a nehézségi gyorsulásnak
Pl.: N = 3000, R = 10 cm → 1000 g-t állít elő
Ultracentrifuga → 106 g-t állít elő
(= relatív centrifugális erő, RCF = relative centrifugal force)
11
𝑎𝑟𝑒𝑙 =𝑎𝑐𝑝
𝑔
KÖRMOZGÁS DINAMIKÁJA
ΣF = ma
12
ok okozat
Mivel a →nagysága állandó
→iránya kör középpontja felé mutat
ΣF →nagysága állandó
→iránya kör középpontja felé mutat
Elnevezése: ΣF = Fcp centripetális erő
Dinamikai feltétel:
Testre ható erők eredője állandó
nagyságú legyen, és iránya a kör
középpontja felé mutasson
Fcp = ΣF = macp
EGYENLETESEN GYORSULÓ KÖRMOZGÁS Érintő irányban is hat erő → gyorsuló körmozgás
Jellemzése:
Tangenciális gyorsulás:
Szöggyorsulás:
Megmutatja a szögsebesség változási gyorsaságát 13
𝑎𝑡 =∆𝑣𝑘∆𝑡
𝛽 =∆𝜔
∆𝑡, 𝛽 = 1
1
𝑠2
EGYENLETESEN GYORSULÓ KÖRMOZGÁS
Eredő erő és eredő gyorsulás
Szerkesztés: paralelogramma módszer
Számítás: pitagorasz tétel
14
KÖRMOZGÁS – ÖSSZEFOGLALÓ Periódusidő (T)
Fordulatszám (n)
Kerületi sebesség (vk) irány: érintő
nagyság:
Szögsebesség (ω)
Centripetális gyorsulás (acp) irány: sugár
nagyság:
Tangenciális gyorsulás (at) irány: érintő
nagyság:
Szöggyorsulás (β) 15
𝑇 =1
𝑛
𝑣𝑘 =2𝑅𝜋
𝑇= 2𝑅𝜋𝑛
𝜔 =2𝜋
𝑇= 2𝜋𝑛
𝑣𝑘 = 𝑅𝜔
𝑎𝑐𝑝 =𝑣𝑘2
𝑅= 𝑅𝜔2
𝑎𝑡 =∆𝑣𝑘∆𝑡
𝛽 =∆𝜔
∆𝑡
KÖRMOZGÁS – FELADATOK
1) Egy test 12m/s állandó nagyságú sebességgel mozog. Mekkora a gyorsulása és mennyi idő alatt tesz meg 300 m-t, ha a) egyenes pályán mozog? b) 20 m sugarú körpályán mozog?
2) Egy körpályán mozgó test 2 s alatt 5 m hosszúságú félkörívet fut be állandó nagyságú sebességgel. a) Mekkora a kerületi sebessége és a szögsebessége? b) Mekkora a gyorsulása?
3) Egy centrifugában az anyagminta 3000-szer fordul körbe percenként, 15 cm sugarú körpályán. a) Mekkora a kerületi sebesség? b) Mekkora a centripetális gyorsulás? c) Mekkora a relatív gyorsulás?
16
HARMONIKUS REZGŐMOZGÁS
17
A
Definíció:
A test egyenes mentén két szélső helyzet között periodikusan kitéréseket
végez.
y(t) pillanatnyi helyzetet megadó vektor, a kitérésvektor
y(t)max = A (amplitúdó)
y(t)
PERIODICITÁS JELLEMZŐI
Rezgésidő (T),
Egy rezgés megtételéhez szükséges idő
Rezgésszám → frekvencia
Másodpercenkénti rezgések száma
Kapcsolat: a rezgésidő és a frekvencia egymás
reciproka:
18
𝑇 = 1𝑠
𝑓 , 𝑓 = 11
𝑠≡ 1𝐻𝑧 (ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧)
𝑇 =1
𝑓
KITÉRÉS VIZSGÁLATA
Kísérlet: http://www.youtube.com/watch?v=T7fRGXc9SBI
Matematikai előállítás: körmozgás vetületeként
http://www.youtube.com/watch?v=9r0HexjGRE4
19
Ábra alapján:
ahol
Kitérés vektormennyiség:
SEBESSÉG VIZSGÁLATA
20
Ábra alapján:
ahol
Tehát:
Megjegyzés: vmax = Aω és vmin = 0 v(t) = y’(t)
GYORSULÁS VIZSGÁLATA
21
Ábra alapján:
ahol
Tehát:
Gyorsulás és kitérés ellentétes irányú →
Megjegyzés: amax = Aω2 , amin = 0 és a(t) = -ω2y(t) a(t) = v’(t) = y”(t)
REZGŐMOZGÁS DINAMIKÁJA Harmonikus erő: olyan erő, mely az általa okozott kitéréssel egyenesen
arányos, de vele ellentétes irányú.
Rugóerő harmonikus erő
Dinamikai feltétel: testre ható erők eredője harmonikus legyen
Ezek alapján:
22
Fh
ΣF = ma ahol a = - ω2y(t) és F = Dy(t)
𝐹𝑟∆𝑙= 𝐷
𝐹𝑟 ↔ ∆𝑙
−𝐷𝑦 𝑡 = −𝑚𝜔2𝑦(𝑡)
𝐹ℎ𝑦(𝑡)= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝐹ℎ ↔ 𝑦(𝑡)
Fr
HARMONIKUS REZGÉS REZGÉSIDEJE
Sejtés: T(m, D)
23
Példa:
m
T(m)
𝒇 =𝟏
𝟐𝝅
𝑫
𝒎
REZGŐMOZGÁS – ÖSSZEFOGLALÓ
Kitérés:
Sebesség:
Gyorsulás:
Rezgésidő:
24
𝑦 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
𝑣 𝑡 = 𝐴𝜔 cos𝜔𝑡
𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔2 sin𝜔𝑡
𝑇𝑟 = 2𝜋𝑚
𝐷
REZGŐMOZGÁS – FELADATOK
1) Rugóra függesztett testet függőlegesen 10 cm amplitúdóval hozunk rezgésbe. Mekkora a test kitérése az egyensúlyi helyzeten történő áthaladástól számított 0,1 s múlva ha T = 0,8 s? Mekkora a maximális sebesség?
2) Egy rezgő test rezgésszáma 2 1/s, amplitúdója 0,2 cm. Mekkora a kitérése és gyorsulása 0,125 s múlva?
3) Egy rugót 20 N erő 5 cm-rel nyújt meg. Erre a rugóra 4 kg tömegű testet akasztunk és rezgésbe hozzuk. Mekkora lesz a frekvencia?
25
MEREV TESTEK FORGÁSA
Merev test Definíció: bármely két pontjának távolsága állandó
Mozgástípusok Rögzített pontok száma szerint:
0 rögzített pont: forogva halad
1 rögzített pont: test pontjai a rögzített pont körüli gömbfelületen mozognak
2 rögzített pont: az általuk meghatározott tengely körüli forgás, a test pontjai körmozgást végeznek
3 rögzített pont: adott helyzet, nincs mozgás
26
FORGÓMOZGÁS DINAMIKAI VIZSGÁLATA
Forgató hatás jellemzése:
Függ:
Erő (F)
Erőkar (k): forgástengely és az
erő hatásvonalának távolsága
FORGATÓNYOMATÉK (M)
ΣM→β
27
𝑀 = 𝐹𝑘
ok okozat
𝑀 = 1𝑁𝑚
KAPCSOLAT A FORGATÓNYOMATÉK ÉS A
SZÖGGYORSULÁS KÖZÖTT
28
Kapcsolat:
Egyenes arányosság
Két mennyiség hányadosa
állandó:
θ: tehetetlenségi nyomaték
𝑀
𝛽= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝜃
FORGÓMOZGÁS ALAPEGYENLETE
θ: tehetetlenségi nyomaték=forgási tehetetlenség
29
𝜃 = 𝑚𝑖𝑟𝑖2
𝑖
𝜃 = 1𝑘𝑔𝑚2
Példák:
Henger:
Gömb:
𝜃 =1
2𝑚𝑅2
𝜃 =2
5𝑚𝑅2
Alapegyenlet:
ΣM = θβ
http://www.youtube.com/watch?v=AQLtcEAG9v0&feature=results_main&play
next=1&list=PL9296A42AEDCA4600
ANALÓGIA A HALADÓ ÉS FORGÓMOZGÁS KÖZÖTT
FORGÓMOZGÁS – ÖSSZEFOGLALÓ
Haladó
Megtett út: s
Sebesség:
Gyorsulás:
Tömeg: m
Erő: F
Alapegyenlet: F=ma
Lendület: I=mv
30
Forgó
Szögelfordulás:
Szögsebesség:
Szöggyorsulás:
Tehetetlenségi nyomaték:
Forgatónyomaték: M
Alapegyenlet: ΣM = θβ
Perdület:
𝑣 =∆𝑠
∆𝑡
𝑎 =∆𝑣
∆𝑡
𝜔 =∆𝜑
∆𝑡
𝜑
𝛽 =∆𝜔
∆𝑡
𝜃
𝑁 = 𝜃𝜔
FORGÓMOZGÁS – FELADATOK
1. Mekkora fordulatszámra gyorsul fel a 0,3 kg tömegű 2 cm
sugarú gömb, ha rá 5 s-ig 2 Nm forgatónyomaték hat?
2. Mekkora perdületre tesz szert az 1 kg tömegű, 6 cm sugarú
henger, ha egy kerületi pontjára 5 N erő hat 2 s-ig?
31
KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!
32