Krümmung in der Mathematik und Physik
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Krümmung in der Mathematik
und Physik Relativitätstheorie im Alltag
Dr. Frank Morherr Justus-Liebig-Universität Giessen, 2014
Was ist Krümmung?
• Gerade soll Krümmung Null haben.
• Prototyp Kreis
- großer Radius, kleine Krümmung:
- kleiner Radius, große Krümmung:
Daher liegt nahe zu definieren:
Krümmung k = 1/R
Wie passt die Gerade hier rein?
Erdoberfläche ist gekrümmt,
trotzdem hielt sich hartnäckig
bis ins 15.Jh. die Ansicht
einer Scheibe.
Grund: Erdradius so groß,
dass man Krümmung auf
1. Blick nicht sieht.
Gerade ist Kreis mit großem Radius.
Krümmung anderer Kurven der Gestalt
Differentialrechnung:
• Steigung Kurve = Steigung
Tangente =
• Krümmung Kurve =
Krümmung des
Krümmungskreises
Maß hierfür:
Was ist der Krümmungskreis?
Annäherung von P´ und P´´
auf P ergibt Krümmungskreis
mit Radius
ghghg
2.51.250-1.25-2.5
3.75
2.5
1.25
0
-1.25
-2.5
x
y
x
y
Krümmung mit Vorzeichen
Mathematisch positive
Richtung ist entgegen dem
Urzeigersinn, daher
Positiv = Linkskrümmung
Steigung der Ableitung wächst
Negativ = Rechtskrümmung
Steigung der Ableitung fällt
Krümmung von Kurven in anderen Darstellungen
Für Kurven der Gestalt
mit Parameter t gilt für die
Krümmung
Beispiel Ellipse
Klothoide/Cornuspirale: Straßenbau versus Lichtausbreitung
Die Klothoide (von griechisch κλώθω ‚spinnen‘), ist eine
spezielle ebene Kurve, bis auf Ähnlichkeit eindeutig.
Krümmung ist an jeder Stelle der Kurve proportional zur
Länge ihres Bogens bis zu dieser Stelle.
Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornu-Spirale
und Spinnkurve, da der Graph, der von einem
Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt,
die „umsponnen“ wird).
Die Klothoide wird als Übergangsbogen bei Kurven im
Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr
Krümmungsverlauf nimmt linear zu und dient einer
ruckfreien Fahrdynamik, d.h. die Krümmung der Kurve
ist eine stetige Funktion der Länge.
Parameterdarstellung
mittel Fresnelintegralen:
Unter Beugung wird meist die Fraunhofersche Beugung verstanden, bei der
Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche
Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die Fresnelsche
Beugung Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind
zwei Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals.
Klothoide in der Optik
Schnittkrümmung von Flächen
• Schnitt von Flächen mit
Ebenen ergibt Schnittkurven mit
Krümmung
• Hauptkrümmungen
= minimale und maximale
Krümmung
• Satz von Meusnier:
Abhängigkeit Krümmung von Winkel
der Schnittebene: Krümmungskreise
aller ebenen Schnitte durch dasselbe
Linienelement, d.h. Punkt mit
zugehöriger Tangentenrichtung der
Fläche liegen auf einer Kugel
• Hauptkrümmungsrichtungen
stehen senkrecht aufeinander.
Gaußsche Krümmung K
Theorema Egregium:
Gaußkrümmung K
hängt nur von der
Inneren Geometrie
der Fläche ab, nicht
von dem
umgebenden Raum
Anwendung: Ist das Universum flach oder gekrümmt?
Gauss, 1818: Messung der
Winkelsumme im Dreieck
Brocken-Inselsberg-Göttingen
→ Erdkrümmung 0
<1
Winkelsumme:
180
0
1
Winkelsumme:
180
0
1
Winkelsumme:
180
Messung durch
Interferometer, z.B.
Lisa (ursprünglich
zum Nachweis von
Gravitationswellen)
Gravitationswellen gehören zu den wenigen von der
Allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagten Phänomenen,
die bislang nicht direkt nachgewiesen werden konnten.
1974 entdecken amerikanischen Radioastronomen Russell Hulse und Joseph Taylor zwei sich eng umkreisende Pulsare (1913/16) von denen Sie Radiopulse mit äußerst genauer Periode empfingen.
Dadurch eigneten sich die beiden Körper als sehr genau gehende kosmische Uhren.
Für ein solches System sagt Allgemeine Relativitätstheorie merklichen Energieverlust durch die Abstrahlung von Gravitationswellen voraus. Als Folge davon müssten sich die beiden Sterne einander annähern und immer schneller einander umkreisen.
Abnahme der Umkreisungsdauer konnten Hulse und Taylor aus der jahrzehntelangen Beobachtung der Radiopulse nachweisen.Wert stimmt exakt mit der relativistischen Vorhersage überein.
Gravitationswellen
Gravitationswellen sich umkreisender Pulsare 1974: Hulse/ Taylor, Pulsare (PSR 1913/16) Nobelpreis 1993
Mittlere Krümmung H
Bei Minimalflächen
= Flächen minimaler
Oberfläche bei
vorgegebenem Rand
H = 0
Beispiel:
• Seifenhautgebilde
Oberflächenenergie ist
minimal
Geodäten
Geodäte ist lokal kürzeste
Verbindung zweier Punkte
auf einer Fläche
• Teile von Geraden auf Ebenen
• Teile von Großkreisen auf Kugeln
- Fluglinien
Allgemein: Lösungen der
Geodätengleichung
Hjjjk
Eulersche Polyederformel und Eulercharakteristik
Gegeben Polyeder (Vielflach)
• e : Anzahl der Ecken
• k : Anzahl der Kanten
• f : Anzahl der Flächen
Dann gilt
Eulercharakteristik:
Platonsche Körper
Satz von Gauß-Bonnet
Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik
mit der differential-geometrischen Größe Krümmung
K : Gaußkrümmung
M : Fläche
: stückweiser glatter Rand der Fläche
: geodätische Krümmung der Randkurve von M
: Eulercharakteristik von M
: Außenschnittwinkel an Ecken des Randes
Für glatten Rand sind alle Außenschnittwinkel Null und es folgt:
Satz von Gauß-Bonnet für glatten Rand
Verbindung der topologischen Größe Eulercharakteristik
mit der differential-geometrischen Größe Krümmung
K : Gaußkrümmung
M : Fläche
: glatter Rand der Fläche
: geodätische Krümmung der Randkurve von M
: Eulercharakteristik von M
Anwendung des Satzes von Gauß-Bonnet
Aus dem Satz von Gauß-Bonnet folgt:
Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck, dessen
Randkurven aus Geodäten bestehen, ist
Die hyperbolische Kreisscheibe
Konstruktion Geodäten
Modell einer Geometrie mit unendlich vielen „Parallelen“
durch einen Punkt zu einer vorgegebenen „Geraden“.
Der Riemannsche Krümmungstensor
• Auf gekrümmten Flächen
ändern Vektoren nach
Paralleltransport ihre
Richtung.
• Einführung des Symbols
als Ableitung des
Vektorfeldes Y in
Richtung des Vektorfeldes
X
• Riemannscher
Krümmungstensor:
In lokalen Koordinaten:
Albert Einstein und das Universum
Kurzbiographie:
1879 geboren 14. März in Ulm
1896 Maturitätsexamen in Aarau. Physikstudium in Zürich
1902 Patentamt in Bern
1905 spezielle Relativitäts- theorie
1908 Habilitation
1915 Allgemeine Relativitäts- theorie
1921 Nobelpreis
1933 Umzug nach Princeton
1955 Stirbt am 18. April
Einsteinsche Feldgleichung
• Ric : Riccitensor
• R : Skalarkrümmung, Spur von
Ric, R = 2K, K G.-Krümmung
• T : Energie-Impuls-Tensor
• g : Metrik (Abstandsfunktion)
• Λ : Kosmologische Konstante
Spezielle Lösung:
Schwarzschildmetrik eines
schwarzen Loches:
Spezielle Relativitätstheorie
• Zeitdehnung
•Längenkontrak-
tion
•Massenzuwachs
Raum + Zeit = Raumzeit
Paul Diracs Kunstgriff: Spin und Antimaterie aus der
Relativitätstheorie (Nobelpreis 1933 mit E. Schrödinger))
Stern-Gerlach-Versuch: Nebelkammer
mit eingebauter
Bleiplatte zur
Bestimmung der
Flugrichtung
und damit der
Krümmungsrich
tung→Ladung
Allgemeine Relativitätstheorie
Beschrieb Verhalten von
Körpern unter
Schwerkraft, doch Grund
für deren Existenz fand er
nicht.
Massen krümmen die
Raumzeit, wodurch
umlaufende Körper wie
auf einer schiefen Ebene
eine Kraft nach innen
erfahren.
Albert
Einstein
(1879-1955)
Isaac
Newton
(1643-1727)
Allgemeine Relativitätstheorie
In großen Schwerefeldern
vergeht die Zeit langsamer.
Auf Neutronensternen könnte man seinen
Hinterkopf sehen, da Licht um den Stern
herumläuft.
Scheinbare
Positionsänderung
von Sternen bei
totaler
Sonnenfinsternis
Nachweise der allgemeinen Relativitätstheorie
Periheldrehung des Merkur
Schwarze Löcher als Gravitationslinse
Periheldrehung des Merkur
• Keplersches Gesetz: Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in
deren einem Brennpunkt die Sonne steht
• Beeinflussungen der Planeten untereinander führen zu Störungen,
so dass sich der sonnennächste Punkt (Perihel) mit der Zeit
verschieben kann
• Perihel des Merkur dreht sich auch abzüglich der Einflüsse der
anderen Planeten noch zusätzlich um die Sonne mit einer
Winkelgeschwindigkeit von 43,1±0,5 Bogensekunden pro
Jahrhundert.
• Erst mit der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte dieser Effekt
erklärt werden.
• Um das relativistische Ergebnis mit dem klassischen vergleichen
zu können, rekapitulieren wir zunächst Newtons klassische
Überlegungen.
Zukunft des Universums
Robertson-Walker-Metrik (Grundlage kosmologisches Prinzip:
Dichte und Druck homogen und Weltall nach jeder Richtung isotrop)
Robertson-Walker-Metrik
Daraus resultierender Energie-
Impuls-Tensor
liefert Friedmannmodell
mit
und effektivem Potential
Es gilt mit
Heutiger Kosmos
Einstein-de-Sitter Kosmos
Weltmodelle
Räumliche Krümmung, zeitliche Krümmung und
raumzeitliche Krümmung: Eine Veranschaulichung
Einzelheiten: Siehe Sterne und Weltraum Feb. Seite 38/März Seite 50