Krist´yna Kuncov ´a - Univerzita Karlovaweb.natur.cuni.cz/~kunck6am/1819LS_B2/01ustni.pdf · (1)...

(1) Vzorove otazky

Kristyna Kuncova

Matematika B2 18/19

Kristyna Kuncova (1) Vzorove otazky 1 / 36

Limity - ulohy

Otazka

Urcete limx→0 f (x)

A -3 B 0 C 5 D 7 E ∞

Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-Hallet

DKristyna Kuncova (1) Vzorove otazky 2 / 36

Limity - ulohy

Otazka


A ∞B 3

C 2D 0

E neexistuje


E


Limity - ulohy

Otazka


A 4B 8

C ∞D neexistuje

E nelze urcit


B


Otazka

Urcete limx→1− f (x) + g(x)

A 8B 5

C 4D 2

E neexistuje


A


Otazka

Urcete limx→1+ f (x) + 2g(x)

A 13B 9

C 8D 6

E 3


D


Otazka

Urcete limx→1− f (x)g(x)

A 20B 15

C 4D 1

E neexistuje


B


Limity - ulohy

OtazkaNajdete prıklad funkce (stacı obrazkem), ktera:

1. limx→∞

f (x) = −∞lim

x→−∞f (x) = −∞

2. limx→∞

f (x) = 1

limx→−∞

f (x) =∞

3. limx→∞

f (x) =∞lim

x→−1f (x) = 2


Limity - ulohy

Otazka (Pravda – Nepravda)

limx→0

x|x|

= 1.

Nepravda.Necht’ limx→3 f (x) = 7. Pak

limx→3

xf (x) = 21.

Pravda.


Spojitost - ulohy

OtazkaKtere funkce jsou spojite na R?

A x3 + sin(4− x)B ex

2+x

C 2+xex

D cos(e3√x)

E ln(2 + x2)

A, C, E


Spojitost - ulohy

OtazkaNajdete prıklad funkce (stacı obrazkem), ktera je spojita na celem R kromebodu x = 5.

OtazkaNajdete prıklad funkce(stacı obrazkem), ktera je rostoucı, ale nenı spojita na[0, 5]


Necht’ funkce f je spojita na intervalu [0, 10], f (0) = 0, f (10) = 100. Pak fmusı byt nezaporna na celem intervalu [0, 10].Nepravda.


Necht’ P(x) a Q(x) jsou polynomy (a tedy spojite funkce). Pak P(x)/Q(x) jetake spojita funkce.Nepravda.

Zdroj: Calculus: Single and Multivariable, Hughes-HalletKristyna Kuncova (1) Vzorove otazky 11 / 36

Spojitost - ulohy

OtazkaV kterych bodech je spojita nasledujıcı funkce?

f (x) =

sin x x ∈ (−∞,−1]−x2 x ∈ (−1, 0)1 x = 0√

x x ∈ (0, 4)6− x x ∈ [4,∞)

A -1B 0

C 2D 4

E ∞

B, C, D


Derivace: prıklady

PrıkladNacrtnete graf funkce sin x a urcete, zda derivace v bode x = 3π je

A kladna B zaporna C nulova

BZdroj:https://www.cusd80.com/cms/lib/AZ01001175/Centricity/Domain/6373/The%20Book.pdf

Prıklad

Nacrtnete graf funkce ex a serad’te nasledujıcı hodnoty dle velikosti

A f ′(−2)B f ′(2)

C f ′(0)D f ′(−1)

E f ′(4)

A, D, C, B, EZdroj:https://www.cusd80.com/cms/lib/AZ01001175/Centricity/Domain/6373/The%20Book.pdf


Derivace: prıklady

PrıkladKolik je

limh→0

cos(x + h)− cos xh

A 0B − cos x

C − sin x

D Limita neexistuje, protoze vyraz 0/0 nenı definovan.

C


Aritmetika derivacı: prıklady

Prıklad

f = cos x sin x. Kolik je f ′?A cos2 x

B sin2 x

C cos2 x− sin2 x

D − sin x cos x

C

Prıklad

f = e7. Kolik je f ′?A 7e6

B e7

C 0C

Zdroj:http://www.math.cornell.edu/ GoodQuestions/GQbysection pdfversion.pdf



Prıklad

f =ex

x2 Kolik je f ′?

Aex

2x

Bex(x− 2)

x3

Cexx2 − 2xex

x4

Dex2x + x2ex

x4

B, C



Prıklad

1. Jestlize f ′(x) = g′(x), pak f = g. Je to pravda?NeCas na applet: https://phet.colorado.edu/sims/calculus-grapher/calculus-grapher en.html

2. Jestlize f ′(a) 6= g′(a), pak f (a) 6= g(a). Je to pravda?(Tvrzenı se tyka konkretnıho bodu a z definicnıho oboru.)Ne


Derivace slozene funkce: prıklady

Prıklad

f = sin x + esin x Kolik je f ′?A cos x + ecos x

B cos x + esin x

C cos x + sin xecos x

D cos x + cos xesin x

D

Zdroj:http://www.math.cornell.edu/ GoodQuestions/GQbysection pdfversion.pdf


l’Hospitalovo pravidlo: prıklady

Prıklad

limx→∞

ln xx

=

A ∞B 0C 1

B


Suda a licha funkce

PrıkladUrcete, ktere funkce jsou sude a ktere liche:

liche: A, D, Esude: B


Def: Suda a licha funkce

PrıkladKtere z nasledujıcıch funkcı jsou sude, liche, ani jedno?

A x3 + 1B x(x2 + 1)C |x− 2|

D ex2sin x

E |1 + cos x|

sude: Eliche: B, D


Parita: prıklad

PrıkladDokreslete funkci tak, aby byla licha/suda:


Periodicka funkce:prıklad

PrıkladUrcete, zda jsou funkce periodicke

Zdroj: https://math.stackexchange.com/questions/582930/how-does-a-piecewise-step-function-work

Inspirace:realisticky.cz

Ne, Ano


Periodicka funkce:prıklad

PrıkladDokreslete graf funkce, aby byla periodicka s co nejmensı periodou:


Omezenost

PrıkladUrcete, ktere funkce jsou omezene, omezene shora, zdola, neomezene

A; B; D; CKristyna Kuncova (1) Vzorove otazky 25 / 36

Monotonie

Prıklad

Na obrazku je prumerna teplota vzduchu v Praze roku 2006. Je to funkcerostoucı? Klesajıcı? V kterych mesıcıch? (Zajımajı nas oranzove sloupce.)

Zdroj: http://envis.praha-mesto.cz/(5m54fhar4nbeazyetxakuv55)/rocenky/Pr07 htm/b1 04.htm


Monotonie: prıklad

PrıkladKtere funkce jsou na svem definicnım oboru ne/rostoucı ci ne/klesajıcı?Prıpadne pro jaka x jsou monotonnı?


Extremy

Prıklad

V grafu jsou zachyceny prumerne srazky v povodı Metuje. V kterychmesıcıch prselo nejvıce? Ve kterych nejmene? (Zajımajı nas ty cernevodorovne carky.)

Zdroj: https://www.vtei.cz/2016/10/teplota-vzduchu-a-srazky-na-meteorologicke-stanici-bucnice-v-povodi-horni-metuje/


Konkavnı a konvexnı funkce

PrıkladUrcete, mezi kterymi body je funkce

1. rostoucı a konvexnı2. rostoucı a konkavnı

3. klesajıcı a konvexnı4. klesajıcı a konkavnı

Zdroj: http://calculus-stats.wikispaces.com/file/view/Hugues-Hallett%20Calculus%20Single%20%26%20Multivariable%206th%20Ed%20Text.pdf/594536284/Hugues-Hallett%20Calculus%20Single%20%26%20Multivariable%206th%20Ed%20Text.pdf

1 DE, HI; 2 AB, EF; 3 CD, GH; 4 BC, FGKristyna Kuncova (1) Vzorove otazky 29 / 36

Monotonie

Prıklad

(x2)′ = 2x

Prirad’te

1. f ′(x) > 02. f ′(x) ≥ 03. f ′(x) < 04. f ′(x) ≤ 0

A f neklesajıcı

B f nerostoucı

C f klesajıcı

D f rostoucıD, A, C, B


Extremy: prıklad

Prıklad

Necht’ funkce f ma spojitou derivaci f ′(x), ktera se v bode x = 2 menı zezaporne na kladnou. Ktera z nasledujıcıch tvrzenı jsou pravdiva?

A 2 je stacionarnım bodem funkce f (x).B f (2) je lokalnı maximumC f (2) je lokalnı minimumD f ′(2) je lokalnı maximumE f ′(2) je lokalnı minimum

Zdroj: https://www.wiley.com/college/hugheshallett/0470089148/conceptests/concept.pdf

A, C


Konvexita a konkavita

Prıklad

(x3)′′ = 6x

Prirad’te

1. f ′′(x) > 02. f ′′(x) < 0

A f je ryze konvexnı na I.B f je ryze konkavnı na I.

A, B


Konvexita a konkavita: prıklad

PrıkladUhodnete, ktera krivka znazornuje funkci, prvnı derivaci a druhou derivaci:http://webspace.ship.edu/msrenault/geogebracalculus/derivative first second.html


Prubeh: prıklady

Prıklad

Najdete funkci, ktera ma maxima a minima v nekonecnem mnozstvı bodu.sin x

PrıkladNajdete funkci, ktera je konvexnı a pritom kladna.ex

Prıklad

Je pravda, ze je-li f ′′(a) = 0, pak f ma v a inflexnı bod?Ne


Prubeh funkce: prıklad

Prıklad

Nacrtnete funkci y = f (x). Je definovana a spojita na celem R

Zdroj: Calculus, Hughes-Hallet, Gleason, McCallum

Prıklad

Nacrtnete funkci y = f (x). Je definovana a spojita na celem R

Zdroj: Calculus, Hughes-Hallet, Gleason, McCallumKristyna Kuncova (1) Vzorove otazky 35 / 36

Aplikace extremu: prıklad

Prıklad

Baca by rad oplotil obdelnıkovy vybeh pro ovce. K dispozici ma 20 metrupletiva a pozemek u reky. Jake majı byt rozmery pozemku, aby byl conejvetsı?

Zdroj: https://plus.google.com/+ShauntheSheep/posts/i5G17r3ykqJ

Zadanı inspirovano: http://www.realisticky.cz/


Krist´yna Kuncov ´a - Univerzita Karlovaweb.natur.cuni.cz/~kunck6am/1819LS_B2/01ustni.pdf · (1)...

Documents

Transcript of Krist´yna Kuncov ´a - Univerzita Karlovaweb.natur.cuni.cz/~kunck6am/1819LS_B2/01ustni.pdf · (1)...