KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE
description
Transcript of KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE
![Page 1: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/1.jpg)
KRETANJE TELA PROMENLJIVE MASE
učenik: Andrijana Cerović mentor: Prof. Dr. Ljubiša
Nešić
![Page 2: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/2.jpg)
UVOD Tela mogu menjati masu u dva slučaja:
1) usled promene brzine, što se dešava kada se telo kreće velikom brzinom,
2) usled toga što se menja količina supstancije koja čini telo.
- Primeri: cisterna, kišna kap, avion, raketa...
![Page 3: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/3.jpg)
Drugi Njutnov zakon Govori o tome šta se dešava sa telom ukoliko
na njega deluje nenulta rezultujuća sila Ako materijalna tačka nije izolovana, usled
interakcije sa drugim telima, njen impuls se menja; ono što izaziva tu promenu može da se opiše nekom funkcijom koordinata i brzine
(1.1)
Ova jednačina predstavlja II Njutnov zakon
![Page 4: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/4.jpg)
Drugi Njutnov zakon Ukoliko u nju zamenimo izraz za impuls
p=mv i izvršimo diferenciranje, dobija se
(1.2) II Njutnov zakon se često zapisuje u
redukovanom obliku odnosno
(1.3) Međutim, u skladu sa jednačinom (1.2), ovaj
zapis važi samo za tela kod kojih se masa menja sa vremenom
![Page 5: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/5.jpg)
Meščerski i Ciolkovski Meščerski: rođen u siromašnoj porodici,
studirao je matematiku i mehaniku, 58 godina predavao u Sankt Peterburgu, krater na Mesecu je dobio ime po njemu
Ciolkovski: “otac teorijske astronautike”, bio je samouk (zbog oštećenja sluha, nisu ga primili u školu), predavao je matematiku u srednjoj školi
![Page 6: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/6.jpg)
Jednačina kretanja tela promenjive mase
Na telo u kretanju čija se masa u toku vremena menja m = m(t) (mehaničkim odbacivanjem ili pripajanjem) dejstvuje u smislu zakona akcije i reakcije tzv. reaktivna sila, koju opisuje jednačina Meščerskog.
![Page 7: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/7.jpg)
Jednačina kretanja tela promenjive mase
Kao akciju F uzećemo silu kojom se masa dm izbacuje brzinom za elementarno vreme dt, tj.
(2.1)a za reakciju R – silu koja masi saopštava ubrzanje , tj.
(2.2)
Iz zakona akcije i reakcije proističe
(2.3)
![Page 8: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/8.jpg)
Jednačina kretanja tela promenjive mase
pri čemu je i Dakle reaktivna sila glasi
(2.4) Gornja jednačina se može napisati u sledećem
obliku
odakle se onda integracijom od nekog trenutka do trenutka t dobija
(2.5)
![Page 9: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/9.jpg)
Jednačina kretanja tela promenjive mase
gde je brzina tela u trenutku , a njegova brzina u trenutku t, dok je masa tela za , a m masa kao funkcija vremena u određenom kasnijem trenutku t.
Ako je onda se predhodni obrazac može napisati u sledećem obliku
(2.6)
i to je obrazac Ciolkovskog za određivanje brzine tela kada je brzina otpadanja mase (isticanja gasova) jednaka .
![Page 10: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/10.jpg)
Jednačina kretanja tela promenjive mase
Jednačina Meščerskog se može izvesti i na osnovu II Njutnovog zakona
Neka su m(t) i m(v) masa i brzina rakete u proizvoljnom momentu vremena t. Impuls rakete će u tom trenutku vremena biti p(t)=mv. Za interval vremena dt masa rakete i njena brzina će imati priraštaje dm i dv jer je za navedeno vreme raketa potrošila dm goriva i izbacila ga kao gas
![Page 11: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/11.jpg)
Jednačina kretanja tela promenjive mase
Dakle
odnosno
(2.7)
![Page 12: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/12.jpg)
Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju
Pozabavimo se kretanjem rakete u odsustvu neke spoljašnje sile. Kao što je pokazano, za nerelativističke brzine važi jednačina kretanja
(3.1)
uz uvođenje brzine relativnog kretanja gasa u odnosu na raketu vrel=u-v i integracije u granicama m0 do m i 0 do v daje
(3.2)
![Page 13: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/13.jpg)
Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju
Odavde se dalje dobija (nerelativistička) jednačina Ciolkovskog
(3.3)
Ukoliko su brzine kretanja rakete međutim uporedive sa brzinom svetlosti, susrećemo se sa dva problema. Prvi je što u izrazu (3.1) moramo da zamenimo masu sa relativističkim izrazom za masu, a drugi što moramo da vodimo računa o relativističkom slaganju brzina
![Page 14: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/14.jpg)
Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju
Prva izmena dovodi do sledeće modifikacije posmatrane jednačine
(3.4)
Druga se odnosi na činjenicu da je brzina gasova rakete, posmatrano iz sistema reference Zemlje data izrazom
gde je
![Page 15: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/15.jpg)
Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju
Gledano iz ovog sistema reference dakle važi
pa će tražena razlika biti
(3.5)
Takođe je potrebno izračunati sledeći diferencijal
![Page 16: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/16.jpg)
Jednačina Meščerskog u relativističkom slučaju
Zamena poslednja dva izraza u jednačinu (3.4) nakon sređivanja daje traženu diferencijalnu jednačinu
(3.6)
Nakon integracije u istim granicama kao i u nerelativističkom slučaju, dobija se jednačina Ciolkovskog za relativističku raketu
![Page 17: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/17.jpg)
Zaključak U radu je razmatrano opisivanje kretanja tela
čija se masa menja sa vremenom usled pripajanja/odvajanja delića mase posmatranom telu. Pokazano je da je ovaj slučaj kretanja praktično obuhvaćen II Njutnovim zakonom zapisanim u obliku . Dobijena je jednačina Meščerskog koja zapravo predstavlja praktičnu formu II Njutnovog zakona za ovaj slučaj. Prikazano je takođe kako izgledaju rešenja ove jednačine kako za slučaj malih, tako i za slučaj velikih brzina. Istaknut je značaj problema za razvoj raketne tehnike.
![Page 18: KRETANJE TELA PROMeNlJIVE MASE](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081416/56816587550346895dd83ce1/html5/thumbnails/18.jpg)
HVALA NA PAŽNJI!