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Kopfgeometrie zur Förderung des räumlichen
Vorstellungsvermögens im Mathematikunterricht
in der Sekundarstufe
Head geometrics for the support of spatial ability in mathematics teaching in
secondary education
Verfasser: Marc Hohmann
Adresse: Felkeweg 7, 67346 Speyer
Matrikelnummer: 212200976
E-Mail: [email protected]
Studiengang: Bachelor of Education
Fach: Mathematik
Erstbetreuer: Frau Dr. Melanie Platz
Zweitbetreuer: Herr Prof. Dr. Jürgen Roth
Vorwort
Vorwort
Während des Studiums wurde mir in einer Vorlesung, welche die Didaktik der Geometrie
behandeln sollte, die Kopfgeometrie vorgestellt und dabei als eine der wichtigsten
Aktivitäten zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens benannt. Nach intensiver
Auseinandersetzung mit der Thematik, vor allem im Zuge einer modulumfassenden
mündlichen Prüfung, kam ich unter anderem auch mit dem Artikel Kopfgeometrie von
Kerst (1920) in Kontakt. Dieser weckte mein Interesse zur Kopfgeometrie, zum Lösen
vorstellungsbasierter, geometrischer Aufgaben und für ein Anwenden solcher Übungen im
Mathematikunterricht der Sekundarstufen. Nicht nur in der Theorie konnte ich meine
Kenntnisse erweitern, auch im privat, beim Präsentieren und Durchführen solcher Übungen,
sammelte ich schließlich viele Erfahrungen.
Der Gedanke, diese Arbeit über Kopfgeometrie, ihre Vor- und Nachteile, ihr Potenzial für den
Schüler und ihre Vielfalt an möglicher Übungen zu schreiben, entstand vor allem aus dem
Interesse an und dem Vergnügen mit ihr. Gleichzeitig bestand aber auch das Ziel, eine
Zusammenfassung historischer und aktueller Literaturrecherche zu erstellen, welche zudem
eine Vielzahl an möglicher kopfgeometrischer Übungen aus unterschiedlichen Werken für
den Mathematikunterricht übersichtlich zusammenfasst.
Besonders möchte ich mich bei meiner betreuenden Dozentin Frau Dr. Platz bedanken, die
mir stets für Fragen und bei Problemen zur Seite stand und gleichzeitig die Zeit und Mühen
auf sich nahm, sich intensiver mit meinen Entwürfen zu befassen.
Auch Herrn Prof. Dr. Roth möchte ich für die Vorlesung zu jenem Zeitpunkt danken, welche
mich schlussendlich auf dieses Thema aufmerksam gemacht hat.
Darüber hinaus gilt der Dank auch meinen Eltern, meiner Freundin, Alexina Bühler, und auch
meinen guten Freunden, Sabrina Dattge und Moritz Kopf. Durch ihre Tipps und Anregungen,
ihre stets aufgebrachte Geduld beim Mitmachen der Übungen und die Zeit, welche sie in
zahlreiche Stunden zum Korrekturlesen investierten, haben sie entscheidend zu dieser
Bachelorarbeit beigetragen. Vielen Dank!
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Inhaltsübersicht
Inhaltsübersicht
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Räumliches Vorstellungsvermögen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Kopfgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Abgrenzung zum Kopfrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Aufbauvariationen der Kopfgeometrieaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Praktische Umsetzung in der Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Stufe 1 – Gymnasiale Orientierungsstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Stufe 2 – Gymnasiale Mittelstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Mathematische Vorstellungsübungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Stufe 3 – Gymnasiale Oberstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Tipps & Hilfen für Lehrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5. Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 Vorteile und Gefahren der Kopfgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1 Vorteile und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.2 Gefahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Darf ich Kopfgeometrie in der Schule betreiben? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Trivia – Selbstheilungskräfte durch Mentaltraining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6. Resümee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7. Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8. Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3
Einleitung
1. Einleitung
Geometrie auf der niedrigsten Stufe, der nullten Stufe ist … die Erfassung des
Raumes. Und da wir von Erziehung des Kindes sprechen, ist es die Erfassung des
Raumes, in dem das Kind lebt, atmet, sich bewegt, den es kennen lernen muss, den es
erforschen und erobern muss, um besser in ihm leben, atmen und sich bewegen zu
können. (Freudenthal 1973, zit. nach Bruder, R. et al. 2015, S. 186)
Die Kopfgeometrie soll diesen Entwicklungsprozess unterstützen, indem sie dem Kind hilft,
sein räumliches Vorstellungsvermögen, eines der wichtigsten Grundlagen all dieser Aktivitä-
ten, zu entwickeln, zu trainieren und zu fördern. Deshalb beschäftigt sich diese Arbeit mit der
Kopfgeometrie, ihren charakteristischen Eigenschaften und der Möglichkeit ihres Einsatzes
im Mathematikunterricht in den Sekundarstufen durch eine Vielzahl an unterschiedlichen
Aufgaben. Die Kopfgeometrie legt dabei weniger Wert auf ein Automatisieren verschiedener
mathematischer Algorithmen oder auf ein Ausbilden von Handlungsabläufen – im Gegensatz
zum bekannten Kopfrechnen. Vielmehr dienen kopfgeometrische Aufgaben der Entwicklung,
dem Training und der Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens, einem Primärfaktor
der menschlichen Intelligenz. Gardner (1991, zit. nach Maier 1999b, S. 9) betont, dass ein gut
ausgebildetes räumliches Vorstellungsvermögen ein „unschätzbarer Vorteil in unserer Gesell-
schaft“ ist.
Die vorliegende Arbeit gliedert sich in fünf große Kapitel. Zunächst zeigt eine inhaltliche Ein-
führung den Begriff der Kopfgeometrie und dessen Umfang auf. Dabei werden zuerst das
räumliche Vorstellungsvermögen und dessen Subfaktoren dargestellt, wobei vor allem Linn &
Petersens (1985) und Thurstones (1938, 1935) Werke maßgebend sind. In beiden Werken
sind dazu Studien und Experimente herangezogen worden, um mögliche mentale Fähigkeiten
– die primary mental abilities – zu finden. Neben diesen Standardwerken haben weitere Au-
toren, wie Maier (1999a; 1999b) und Besuden (1984), großen Einfluss auf die Akzeptanz die-
ser primary mental abilities (dt.: primäre mentale Fähigkeiten, häufiger auch: Primärfaktoren
der Intelligenz).
4
Einleitung
Aufbauend darauf wird die Kopfgeometrie anhand einer klassischen Aufgabe vorgestellt, wo-
bei charakteristische Merkmale heraus gedeutet und mittels prägnanter Definitionen unter-
legt werden. Hierfür wurden vor allem Texte von Roth & Wittmann (2014) und Gimpel (1992)
verwendet. Kopfgeometrie und Kopfrechnen suggerieren aufgrund ihres Wortaufbaus viele
Gemeinsamkeiten. Aufgezeigt wird diese Fehlannahme anhand eines Beispiels aus einem
Schulbuch, bevor verschiedene methodische Vorgehensweisen bei kopfgeometrischen Übun-
gen aufgezeigt werden, mit welchen sich vor allem Senftleben (1996) intensiver befasste und
dabei eine klare Übersicht in seiner Explikation lieferte.
Nachdem nun die wichtigsten Begriffe und ihre charakteristischen Eigenschaften näher be-
leuchtet und dargestellt wurden, stehen im dritten Kapitel eine Vielzahl kopfgeometrischer
Aufgaben, teilweise in Verbindung mit Abbildungen, im Mittelpunkt. Hierbei wird auf eine
Einordnung in die verschiedenen Jahrgangsstufen, im Hinblick auf das Schwierigkeitsniveau,
geachtet. Die aufgeführten Aufgaben sollen jeweils kommentiert werden, wobei die Art der
Kopfgeometrieaufgabe, die Möglichkeit eines Einsatzes von Hilfsmitteln und die beanspruch-
ten Fähigkeiten des räumlichen Vorstellungsvermögens im Vordergrund stehen. Für diese
Sammlung wurde eine Vielzahl an historischer und aktueller Literatur herangezogen. Neben
Radatz & Rickmeyer (1991), Besuden (1984) und Degner & Kühl (1984) wurden vor allem
Auszüge aus Maier (1999b; 1999a; 1996) verwendet, dessen Forschungen und Ergebnisse
sich sicherlich als Meilensteine zählen lassen. Gegen Ende dieses Kapitels wird eine neue
Form mathematischer Kopfaufgaben, sog. mathematische Vorstellungsübungen, kurz vorge-
stellt, welche kopfgeometrische Aufgaben um fachliche Pointen erweitern und von Weber
(2010, 2007) propagiert werden.
Um den Einsatz von Kopfgeometrie bzw. von mathematischen Vorstellungsübungen im
Mathematikunterricht zu erleichtern, werden im vierten Kapitel einige Tipps und Hilfen für
Lehrer vorgeschlagen. Bereits Kerst (1920) stellte viele Bedingungen vor, welche von
Senftleben (1996) und weiteren Autoren ergänzend aufgezählt werden sollen.
Abschließend wird im fünften Kapitel zum einen der Fokus auf die Vorteile bzw. auf die Ge-
fahren gelenkt, welche die Kopfgeometrie im Unterricht mit sich bringen kann. Neben Roth &
Wittmann (2014) und Hammer (2011) wurden dabei zahlreiche weitere Quellen für diese
Sammlung herangezogen. Zum anderen erfolgt, mithilfe des Lehrplans der Sekundarstufe I
5
Einleitung
und II, eine Begründung für den Einsatz kopfgeometrischer Aufgaben, wobei Maier (1999b;
1999a; 1996) als großer Befürworter aufgeführt wird.
Das sechste Kapitel fasst die gesamten Gedanken dieser Arbeit kurz und prägnant zusammen
und gibt zugleich einen Ausblick und mögliche Ideen, wie bzw. in welche Richtung sich das
Thema Kopfgeometrie in der Schule weiterentwickeln wird.
Diese Arbeit verfolgt dabei drei Ziele: Erstens wird mittels einer ausführlichen Einführung der
Leser mit der Kopfgeometrie bekannt und vertraut gemacht. Er soll dazu animiert werden,
sich intensiver mit dem Thema auseinander zu setzen, Aufgaben zu entwickeln oder selbst-
ständig – im Idealfall als Lehrer im Mathematikunterricht – kopfgeometrische Übungen
durchzuführen. An vielen Stellen dieser Arbeit wird deutlich, welche Vorteile und Möglichkei-
ten der Einsatz von Kopfgeometrie in der Schule mit sich bringt und welche mathematischen
Ziele damit erfüllt werden können. Deshalb ist das zweite Ziel, die Notwendigkeit kopfgeome-
trischer Übungen im Mathematikunterricht in allen Jahrgangsstufen aufzuzeigen. Drittens
und das Hauptziel dieser Arbeit ist es, eine Sammlung historischer und aktueller Literaturre-
cherche zu erstellen, welche eine Vielzahl an möglicher kopfgeometrischer Übungen unter-
schiedlichen Schwierigkeitsgrades für den Mathematikunterricht aus verschiedenen Werken
übersichtlich zusammenfasst, um sowohl den Einstieg in das Thema zu erleichtern als auch
erste literarische Anregungen zu geben.
Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf dem Einsatz von Kopfgeometrie in der Schule, vor al -
lem im Mathematikunterricht. Eine detaillierte historische Entwicklung dieses Begriffes, wie
sie bspw. Royar & Streit (2006) oder auch Senftleben (1996) darstellen, bleibt unberücksich-
tigt. Auch eine umfassende Behandlung der mathematischen Vorstellungsübungen würde
den Umfang dieser Arbeit sprengen, weshalb dieses Thema auf die, für diese Arbeit, wich-
tigsten Aspekte reduziert wurde. Näheres lässt sich vor allem in unterschiedlichem Ausmaß
in Weber (2011b; 2011a; 2010; 2009; 2007) finden.
6
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Zu Beginn möchte ich darauf hinweisen, dass, zur besseren Lesbarkeit, auf geschlechtsspezifi-
sche Formulierungen verzichtet wurde. Selbstverständlich beziehen sich alle gewählten perso-
nenbezogenen Bezeichnungen auf beide Geschlechter, falls nicht explizit auf ein bestimmtes
Bezug genommen wird.
2. Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Um über Kopfgeometrie sprechen zu können und diese auch sinnvoll in der Schule einzu-
setzen, bedarf es zu Beginn einiger Erläuterungen sowohl zu den Eigenschaften, als auch zum
strukturellen und inhaltlichen Aufbau der Kopfgeometrie. Denn was ist nun genau Kopfgeo-
metrie bzw. was sind ihre charakteristischen Eigenschaften? Gibt es verschiedene methodi-
sche Vorgehensweisen? Bevor eine Beantwortung der ersten Frage ausreichend erfolgen
kann, muss zunächst eine übergeordnete Ebene, die Ebene des räumlichen Vorstellungsver-
mögens, in den Fokus genommen werden. Der folgende Abschnitt orientiert sich vorrangig
an dieser Thematik.
2.1 Räumliches Vorstellungsvermögen
Thurstone gilt als Pionier der Intelligenzforschung. Er fand in seinen Untersuchungen mithilfe
der Faktorenanalyse von empirischen Daten heraus, dass sich die menschliche Intelligenz aus
insgesamt sieben Faktoren, den „primary mental abilities“, zusammensetzen lässt (Thurstone
1938). Neben dem räumlichen Vorstellungsvermögen oder auch Raumvorstellung (1) (engl.:
space) wurden weitere Primärfaktoren der Intelligenz wie das sprachliche Verständnis (2)
(verbal comprehension), die Wortflüssigkeit (3) (word fluency), die Rechengewandtheit (4)
(number), die Auffassungsschnelligkeit (5) (perceptual speed), die Merkfähigkeit (6) (associa-
tive memory) und das logisch-schlussfolgernde Denken (7) (reasoning) ermittelt (Thurstone
1938, S. 94f.; siehe hierzu auch Besuden 1984, S. 70ff.; Kubinger 2006, S. 12; Schaie 2010,
1286ff.; Weber 2011a; Maier 1999a, S. 18ff.).
Nun stellt sich die Frage, was unter räumlichem Vorstellungsvermögen verstanden werden
kann. Ilgner (1974, S. 693) definiert hierzu die räumliche Vorstellung als ein „sinnliches Ab-
bild, das ohne Präsenz des Objektes die räumliche Beschaffenheit und Lage des Gegenstan-
7
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
des widerspiegelt“. Eine weitere Möglichkeit liefert Besuden (1984, S. 66), indem er mehr auf
die Reproduzierbarkeit von Raumbezügen eingeht und definiert schließlich Raumvorstellung
als ein „durch geistige Verarbeitung (Verinnerlichung) von Wahrnehmungen an dinglichen
Gegenständen erworbenes Vermögen, das sich der Raumbezüge bewusst geworden ist und
diese reproduzieren kann.“
Räumliches Vorstellungsvermögen kann auf diese Weise sehr prägnant als die Fähigkeit des
„mentalen Operierens mit räumlichen Objekten“ (Franke 2007, S. 52) oder als „die Fähigkeit,
in der Vorstellung räumlich zu sehen und räumlich zu denken“ (Maier 1999a, S. 14) beschrie-
ben werden. Roth & Wittmann (2014, S. 147) betonen zudem zwei weitere Fähigkeiten: Eine
„aktive Umordnung von im Gedächtnis gespeicherten Vorstellungsbildern und die Fähigkeit,
in der Vorstellung aus vorhandenen Bildern neue zu entwickeln“ sind ebenfalls Aspekte des
räumlichen Vorstellungsvermögens.
Um im zwei- und dreidimensionalen Raum zu agieren, bedarf es einer Reihe von Fähigkeiten,
welche als Voraussetzungen für ein räumliches Vorstellungsvermögen unabdingbar sind.
Thurstone (1938) fand in seinen Forschungen weiter heraus, dass diese Intelligenzdimension
eine „sehr hohe Komplexität“ (Maier 1999b, S. 9) aufweist und sich in drei voneinander un-
abhängigen Subfaktoren zerlegen lässt:
Räumliche Beziehungen (spatial relations)
Veranschaulichung (visualization) und
räumliche Orientierung (spatial orientation).
Sowohl Franke (2007), Radatz & Rickmeyer (1991) als auch Besuden (1984), orientieren sich
an diesen drei von Thurstone begründeten Teilkomponenten. Linn & Petersen (1985, S.
1482ff.) hingegen deuteten in ihrer Metaanalyse drei ähnlich autarke Subfaktoren heraus
(vgl. hierzu auch Grüßing 2002):
Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (mental rotation)
Veranschaulichung (spatial visualization) und
Räumliche Wahrnehmung (spatial perception).
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Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Deutlich wird, dass die Teilkomponente der Veranschaulichung bei beiden Modellen auftritt,
was Maier (1999a, S. 50f.) dazu veranlasst, die Subfaktoren von Thurstones 3-Faktoren-
Analyse und die aus dem Kategoriensystem von Linn & Petersen zusammenzufassen. Er
beschreibt die Intelligenzdimension des räumlichen Vorstellungsvermögens mit fünf
Teilkomponenten (Maier 1999b, S. 9), wodurch ein „breites und tragfähiges Fundament zu
einem umfassenden und lückenlosen Trainingsprogramm zur Raumvorstellung geschaffen“
(ebd.) wird. Maier fasst diese fünf Komponenten anschaulich in einer Grafik (Tab. 1)
zusammen, indem er zum einen den Standpunkt der Person und zum anderen die Art des
Denkvorgangs (statisch oder dynamisch) miteinbezieht. Diese „Landkarte“ (ebd.) vermittelt
einen klaren Überblick über die verschiedenen Relationen der einzelnen Begriffe.
Standpunkt des Schülers Statische Denkvorgänge Dynamische Denkvorgänge
Schüler befindet sich außerhalb
Räumliche Beziehungen
Veranschaulichung/Visualisierung
Mentale Rotation
Schüler befindet sich innerhalb
Räumliche Wahrnehmung Räumliche
OrientierungRechts-Links-Unterscheidung
Während bei einem statischen Denkvorgang räumliche Relationen zwischen sich nicht
bewegten Objekten wahrgenommen werden, also keine Bewegungsvorstellung stattfindet,
findet bei einem dynamischen Denkvorgang eine Veränderung von „räumlichen Relationen
am Objekt bzw. zwischen den Objekten“ (Maier 1999b, S. 9) oder auch der räumlichen
Relation der Person zum Objekt statt.
Die Fähigkeit, rechts von links zu unterscheiden, ist ebenfalls ein statischer Denkvorgang und
reiht sich unter die räumliche Orientierung ein. Dabei befindet sich die Person „innerhalb“
der Situation und muss mit diesen beiden räumlichen Begriffen operieren und sich im Raum
orientieren.
Eine genaue Erläuterung und Vertiefung der verschiedenen Subfaktoren soll an dieser Stelle
nicht geschehen. Definitionen und Erklärungen unter Zuhilfenahme von Beispielen lassen
sich bspw. in Roth & Wittmann (2014; S. 148f.), Franke (2007, S. 55ff.), Grüßing (2002,
9
Tab. 1: Landkarte der Subfaktoren nach Maier (1999b, S. 14)
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
S. 37f.), Maier (1999b, S. 10ff. und 1999a, S. 51ff.), Radatz & Rickmeyer (1991, S. 17) und
auch Besuden (1984, S. 71) finden.
Räumliches Vorstellungsvermögen ist aber keinesfalls, wie man etwa vermuten könnte, das
Ergebnis passiv angesammelter Abbilder der Wirklichkeit, welche im Alltag durch visuelle
Wahrnehmung abgespeichert werden. Vielmehr beeinflussen alle Sinnesvorstellungen
sowohl sich gegenseitig, als auch das räumliche Vorstellungsvermögen in vielfältiger Art und
Weise, wodurch sich dieses zu einer „lebendigen dynamischen Fähigkeit“ (Ilgner 1974,
S. 694) entwickelt, die wiederum das mentale Operieren von Franke (2007) aufgreift.
„Die Raumvorstellung ist eine bedeutsame Komponente der menschlichen Intelligenz und
eine zentrale Fähigkeit, die unsere Wahrnehmung und Vorstellung von der Umwelt und
damit die Qualität der Interaktion mit ihr nachhaltig beeinflusst“ (Maier 1999b, S. 4).
Offensichtlich ist eine „leistungsfähige räumliche Intelligenz“ (Gardner 1991, zit. nach Maier
1999b, S. 9) eine unabdingbare Qualifikation, um in der Gesellschaft eine positive Stellung
einzunehmen.
Nun stellt sich also die Frage, ob es Möglichkeiten gibt, das räumliche Vorstellungsvermögen
zu fördern, es zu erweitern und zu schulen. Die Antwortet lautet: Ja!
Eine solche Möglichkeit, die Kopfgeometrie, soll nun vorgestellt werden.
Will der Lehrer die geometrischen Vorstellungskräfte des Kindes entwickeln, so muss
er sich entschließen, an geeigneten Stellen 'Kopfgeometrie' zu treiben. Diese Kopf
geometrie ist ebenso wichtig wie das Kopfrechnen. Nur sie ermöglicht die Entfaltung
der Kräfte der Raumanschauung, die […] das wichtigste Mittel sind, geometrische
Fragen zu lösen. (Breidenbach 1966, S. 56)
Der folgende Abschnitt greift die eingangs gestellte erste Frage auf und versucht dann die
Kopfgeometrie anhand kleiner Beispiele zu bekannten, denkbar analogen Begriffen abzu-
grenzen. Eine Erläuterung zum Aufbau kopfgeometrischer Aufgaben und möglicher methodi-
scher Vorgehensweisen soll im Anschluss als Antwort auf die verbleibende zweite Frage dar-
gestellt werden.
10
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
2.2 Kopfgeometrie
Aufgabe 1:
Bei einem herkömmlichen Spielwürfel beträgt die Augensumme gegenüberliegender Seiten
stets sieben. In der Ausgangsposition zeigt der Würfel schräg rechts die Ziffer 4, schräg links
die Ziffer 2 und oben ist die Ziffer 6 zu sehen.
Aufgabe: Kippe den Würfel in Gedanken erst nach hinten, dann nach links, schließlich noch
zwei mal nach vorn und einmal nach hinten.
Welche Augenzahlen kannst du jetzt erkennen?
Anhand dieser klassischen Kopfgeometrieaufgabe lassen sich erste charakteristische Eigen-
schaften der Kopfgeometrie aufzeigen.
Sowohl der Informationstext der Aufgabe als auch die Aufgabe selbst werden dem Schüler
nicht vorgelegt, sondern ihm nur verbal mitgeteilt. Zur Präsentation oder Veranschaulichung
der Aufgabenstellung werden keine Hilfsmittel wie ein Modell des Würfels, Skizzen oder
andere ähnliche Gegenstände verwendet. Das Bearbeiten der Aufgabe erfolgt ausschließlich
im Kopf, wobei ein geometrischer Sachverhalt, hier das Bewegen der Würfels, mental
visualisiert, manipuliert und neu entwickelt wird. Dadurch wird das Problem, nämlich die zu
beantwortende Frage, „vorstellungsbasiert“ (Weber 2011, S. 32) bearbeitet, wobei auf
bereits bekannte Vorstellungen, Erfahrungen und verinnerlichte Handlungen zurückgegriffen
werden muss, die dann in den Problemlösungsprozess mit einfließen. Dieser besteht aus
einer Vielzahl an Operationen wie „Dynamisierungen, Umstrukturierungen, Variationen,
Kombinationen“ (Royar & Streit 2006, S. 26) und Manipulationen. Die Präsentation der
Lösung wird, wie die Aufgabe selbst, verbal dargestellt.
Diese Form einer Kopfgeometrieaufgabe zeigt zum einen die klassische Charakteristik einer
solchen Aufgabe auf und spiegelt zum anderen die Grundgedanken der „Väter der
Kopfgeometrie“ (die vermutlich auf Kerst [1920] und Treutlein [1911] zurückgeht) wider.
Eine sehr prägnante Definition liefern Roth & Wittmann (2014, S. 151). Nach ihnen ist
Kopfgeometrie nichts Anderes, als „das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf, also ohne
Hilfsmittel. Es kann dabei nur auf eigene Vorstellungen und sprachlich formuliertes Wissen
über die vorkommenden Objekte zurückgegriffen werden“.
11
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Eine etwas ältere und ausführlichere Definition lautet:
Kopfgeometrie ist 'hilfsmittelfreie' Geometrie, das heißt, wenn man sie betreibt,
dürfen gegenständliche Modelle oder [Skizzen] als Gedächtnisstützen nicht
verwendet werden. Bei ihr bilden einzig und allein Vorstellungen über geometrische
Objekte und sprachlich formuliertes Wissen über sie das 'Handwerkszeug' zum Lösen
geometrischer Aufgaben. […] Das Lösen geometrischer Aufgaben im Kopf erfordert
die Fähigkeit, sich geometrische Gebilde vorstellen zu können, ihre Lage, ihre
Größe und ihre Form zu variieren, sie zu kombinieren und dabei das Wissen über sie
anzuwenden. (Gimpel 1992, S. 257)
Sowohl Roth & Wittmann, als auch Gimpel sprechen in ihrer Definition das Lösen kopfgeo-
metrischer Aufgaben ohne Hilfsmittel bzw. hilfsmittelfrei an. Auch die Aspekte des sprachlich
formulierten Wissens und der eigenen Vorstellungen sind in beiden Aussagen zu finden. Im
Gegensatz zu Roth & Wittmann geht Gimpel jedoch noch konkreter auf das Lösen solcher
Aufgaben ein, indem er die Fähigkeiten, welche an die Subfaktoren des räumlichen Vorstel-
lungsvermögens erinnern, aufzählend darstellt.
Aufgrund dieses Zusatzes bevorzugt der Verfasser dieser Arbeit Gimpels Definition, da eben
nicht nur das hilfsmittelfreie Lösen unter Einbeziehung von sprachlich formuliertem Wissen
und eigenen Vorstellungen als charakteristische Merkmale genannt, sondern auch die dafür
benötigten grundlegenden Fähigkeiten aufgezeigt werden.
2.2.1 Abgrenzung zum Kopfrechnen
Kopfgeometrie bildet in der Geometrie das Pendant zum Kopfrechnen. Aber worin genau
liegt der Unterschied dieser beiden, vermeintlich ähnlichen Begriffe?
Während die Kopfgeometrie wie bereits oben beschrieben, bestimmte Fähigkeiten zum men-
talen Operieren und Vorstellungen über geometrische Objekte erfordert, werden beim Kopf-
rechnen „Algorithmen abgearbeitet, was bei elementaren Aufgaben als Fertigkeit ausgebildet
und damit automatisiert werden muss“ (Gimpel 1992, S. 257). Es besteht also keine inhaltli-
che „Analogie zwischen Kopfrechnen und Kopfgeometrie“ (Franke 2007, S. 66).
12
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Das folgende Beispiel1, welches relativ einfach im Kopf zu lösen ist, soll diesen Unterschied
verdeutlichen:
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die Ableitung f ' ( x) von f (x )=5x5 .
Lösung:
1. Der Schüler kennt die zuvor gelernte Potenzregel
Für f (x)=xnmit n∈ℤ ist f ' ( x)=n⋅xn−1 und wendet diese auf die
Ausgangsfunktion für n=5 an,
2. die Zahl 5 wird mit der Potenz 5 multipliziert,
3. von der Potenz 5 wird anschließend 1 subtrahiert.
Eine solche klassische Kopfrechenaufgabe verdeutlicht, dass der Algorithmus und die trivia-
len Grundrechenaufgaben für die Lösung dieser Aufgabe zügig beherrscht werden. Mehrere
solcher Aufgaben gilt es dann als Hausaufgabe zu lösen, wodurch die bereits genannten Fer-
tigkeiten entwickelt werden, die für eine Automatisierung solcher Prozesse sorgen.
Kopfgeometrie versteht sich also als Fähigkeit, die mehr auf „Verstehen denn auf 'Beherr-
schen'“ (Streit & Pinkernell 2011, S. 4) abzielt, wohingegen das Kopfrechnen als eine Fertig -
keit zum Abrufen von „eingeschliffenen Handlungsabläufen“ (Gimpel 1992, S. 257) angese-
hen wird.
In den vergangenen Jahren haben sich einige methodisch unterschiedliche Vorgehensweisen
kopfgeometrischer Aufgaben aufgetan, die sich sowohl in der Phase der Aufgabenstellung als
auch in der Präsentationsphase unterscheiden. Senftleben (1996) versucht diese zu ordnen
und stellt die verschiedenen Arten in seiner Explikation dar. Eine Darlegung dieser soll im
weiteren Verlauf erfolgen.
1 In Anlehnung an Gimpel (1992, S. 258). Die Aufgabe ist aus o. V. (2007, S. 64) entnommen.
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Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
2.2.2 Aufbauvariationen der Kopfgeometrieaufgaben
Reine Kopfgeometrie
Die zu Beginn dieses Kapitels gestellte Kopfgeometrieaufgabe entspricht dem klassischen
Charakter und wird mit dem Begriff der reinen Kopfgeometrie verbunden. Diese zeichnet sich
durch ein Unterlassen jeglicher Hilfsmitteln, sowohl in der Phase der Aufgabenstellung, als
auch in der Präsentation, aus. Die Aufgabe wird verbal gestellt, anschließend folgt die Phase
des räumlichen Denkens, in welcher der Schüler mental im Kopf operiert. Die Lösung wird im
Anschluss wiederum mündlich mitgeteilt. Dabei findet eine „Rückübersetzung […] aus der
mentalen visuellen Repräsentation in den gegeben Wort-, Bild- und/oder Modellkontext der
Aufgabestellung“ (Roth 2011, S. 28) statt.
Dieses methodische Vorgehen lässt sich, in Anlehnung an Senftleben, in einer Tabelle über-
sichtlich zusammenstellen:
Phase 1 – Aufgabenstellung Phase 2 – Operieren im Kopf Phase 3 – Präsentation
Lehrer verbalisiert die geometrische Fragestellung.
Vorstellen, Problemlösen, mentales Operieren im Kopf ohne Hilfsmittel.
Ergebnispräsentation in verbaler Form.
Erste Aufgaben mit solchen Eigenschaften lassen sich bereits bei Diesterweg (1790-1866) fin-
den, der seine Seminare damit begann, dass das „Gas (Licht) ausgedreht“ (zit. nach Treutlein
1911, S. 113) werden sollte, um geometrische Aufgaben im Kopf zu lösen. Der Begriff der
Kopfgeometrie wurde schließlich als Pendant zum Kopfrechnen von Treutlein (ebd.) und
Kerst (1920) eingeführt. Neben Treutlein (1911), der die „innere Anschauung der betreffen-
den Körperformen“ als alleiniges Hilfsmittel für die Bearbeitung der Übungen vorgibt (edb.,
S. 113), spricht auch Kerst (1920) von der Fähigkeit, sich „geometrische Gebilde ohne sinnli-
che Hilfsmittel“ (ebd., S. 217) vorstellen zu können, wodurch dieser mit ihnen vertrauter wird
und in der Folge geschickter operieren kann. Er definiert die Kopfgeometrie daraufhin sehr
knapp als „Übungen, bei denen nur in der Phantasie, ohne Zeichnung oder Modell mit den
Gebilden gearbeitet wird“ (ebd., S. 217; Hervorhebung durch den Verfasser dieser Arbeit
2015). Auch Degner & Kühl (1984, S. 342) schließen sich diesen reformpädagogischen Gedan-
ken an und bevorzugen ein Bearbeiten der Kopfgeometrieaufgaben „im dunklen Raum“, wo-
bei der Lehrer „seine Hinweise und […] Fragen [...] ohne jede Gestik“ formuliert.
14
Tab. 2: Methodisches Vorgehen kopfgeometrischer Aufgaben nach Senftleben (1996, S. 54)
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Die Würfelaufgabe verdeutlicht, dass zur Lösung solcher reiner kopfgeometrischer Aufgaben
konkrete Erfahrungen und Wissen über die zu behandelten Objekte vorhanden sein müssen,
etwa die Symmetrie eines Würfels, die Anzahl der Augen auf jeder Seite (falls dies nicht
bereits in der Aufgabenstellung formuliert wurde) und die Form der Seitenflächen bzw. des
ganzen Würfels.
Ein weiteres Beispiel2 hebt die Wichtigkeit von Erfahrungen und Wissen über entsprechende
geometrische Begriffe hervor:
Aufgabe 3:
Ein Rechteck steht auf einer horizontalen Geraden g.
Halbiere die Strecke BC, nenne den Mittelpunkt M. Verbinde D mit M und A mit M.
Welche Dreiecke siehst du?
Welche Dreiecke sind flächengleich?
Hier wird nochmals deutlich, dass eine solche Aufgabe ohne bereits gesammelte Erfahrungen
oder Wissen über die wesentlichen Eigenschaften (wie etwa Symmetrieeigenschaften,
Winkelgrößen, Seiten- und Längenverhältnisse, Anordnung der Punkte in einem Rechteck)
der Objekte nur schwer zu bewältigen ist.
Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in der Phase 1
In der Regel sind solche reinen Kopfgeometrieaufgaben ohne ein Repertoire an Wissen (diese
und weitere Voraussetzungen sollen im nachfolgenden Abschnitt kurz thematisiert werden)
über geometrische Sachverhalte nur schwer lösbar. Aus diesem Grund bietet es sich zum
Beispiel an, in der Phase der Aufgabenstellung geeignetes Material als Hilfestellung zur
Verfügung zu stellen. Die beiden übrigen Phasen verlaufen analog zu denen der reinen
Kopfgeometrie (vgl. S. 13f.) ab.
2 Vgl. hierzu Degner & Kühl 1984, S. 344.
15
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Tabelle 3 soll hierzu einen groben Überblick geben:
Phase 1 – Aufgabenstellung Phase 2 – Operieren im Kopf Phase 3 – Präsentation
Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Text, Bildern oder mit einem Dynamischen Geometrie-System (DGS) wird die verbal gestellte Aufgabe unterstützt.
Vorstellen, Problemlösen, mentales Operieren im Kopf ohne Hilfsmittel.
Ergebnispräsentation in verbaler Form.
Bei dieser Methode werden unterstützende Hilfsmittel herangezogen, um die Aufgabenstel-
lung zu verdeutlichen, Informationen mitzuliefern oder aber auch, um diese zu konkretisie-
ren. Dazu könnte bspw. im vorangegangenen Beispiel in der ersten Phase ein Tafelbild oder
eine Zeichnung auf Folie, etwa auf dem Overhead-Projektor (OHP), verwendet werden. Eine
andere Möglichkeit bietet sich hier durch den Lehrer selbst an, welcher mithilfe von Stiften,
Teleskopzeigestäben oder seinen Armen die Anordnung des Rechtecks auf der Geraden im
Raum verdeutlichen kann. Aber auch konkrete Materialien können in der ersten Phase unter-
stützend wirken wie das folgende Beispiel (Abb. 1) aufzeigt:
Dabei wird das schwarze Objekt nach und nach enthüllt, wobei die Frage, um welches Vier-
eck es sich bei der jeweiligen Abbildung handeln könnte, im Vordergrund steht.
Diese Aufgabe ist ohne eine solche Abbildung nur schwer zu lösen, weshalb eine entspre-
chende Grafik, die Schritt für Schritt entweder am OHP oder mithilfe eines DGS dynamisch
verändert werden kann, unabdingbar ist. Auch wird hier wieder deutlich, dass eine Vielzahl
an Vorerfahrungen, wie etwa Kenntnisse zum Haus der Vierecke, mitgebracht werden müs-
sen, falls eine solche Abbildung nicht auch als Hilfsmittel in der ersten Phase zugelassen wird.
16
Abb. 1: Schrittweise Enthüllung eines Vierecks nach Maier (1996, S. 283)
Tab. 3: Methodisches Vorgehen kopfgeometrischer Aufgaben nach Senftleben (1996, S. 55)
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in der Phase 3
Geht man nun wieder von der reinen Kopfgeometrie aus und nimmt in der dritten Phase
Hilfsmittel hinzu, kann eine Unterstützung der Schüler, die Defizite oder fehlende „Fähigkei-
ten im Verbalisieren bzw. im Benutzen fachsprachlicher Formulierungen und Symbolisierun-
gen“ (Senftleben 1996, S. 55) haben, in der Präsentation ihrer Ergebnisse erfolgen. Hierzu
eignen sich zum Beispiel, analog zu den Hilfsmitteln in Phase 1, konkrete Materialien, Zeich-
nungen und Grafiken, Gestiken oder verbale Äußerungen.
Phase 1 – Aufgabenstellung Phase 2 – Operieren im Kopf Phase 3 – Präsentation
Lehrer verbalisiert die geometrische Fragestellung.
Vorstellen, Problemlösen, mentales Operieren im Kopf ohne Hilfsmittel.
Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Bildern oder mit einem DGS wird die Lösung erläutert.Durch „Nachbauen“ mit Knete oder Papier kann der Schüler sein Ergebnis ebenfalls präsentieren.
Außerdem besteht die Möglichkeit, den Schüler sein Ergebnis, etwa mithilfe von „Knete“
(Senftleben 1996, S. 55), Papier und/oder Karton eigenständig nachbauen oder in einem DGS
selbst konstruieren zu lassen. Neben dieser unterstützenden Funktion hat ein eigenständiges
und aktiv-händisches (Nach-)bauen auch motivierende Effekte, da vor allem die Kreativität
der Schüler angesprochen wird. Bspw. könnte eine Präsentation der Ergebnisse aus Aufgabe
3 durch nachgebaute Objekte – etwa durch Formenplättchen oder Stäbchen – in dieser Pha-
se zentral sein.
Kopfgeometrie mit Hilfsmittel in Phase 1 und Phase 3
Phase 1 – Aufgabenstellung Phase 2 – Operieren im Kopf Phase 3 – Präsentation
Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Text, Bildern oder mit einem DGS wird die verbal gestellte Aufgabe unterstützt.
Vorstellen, Problemlösen, mentales Operieren im Kopf ohne Hilfsmittel.
Mithilfe von Gestik, Modellen, Körpernetzen, Gegenständen, Zeichnungen, Bildern oder mit einem DGS wird die Lösung erläutert.Durch „Nachbauen“ mit Knete oder Papier kann der Schüler sein Ergebnis ebenfalls präsentieren.
17
Tab. 5: Methodisches Vorgehen kopfgeometrischer Aufgaben nach Senftleben (1996, S. 56)
Tab. 4: Methodisches Vorgehen kopfgeometrischer Aufgaben nach Senftleben (1996, S. 55)
Inhaltliche Einführung – Begriffsumfang
Denkbar wäre natürlich auch, Hilfsmittel sowohl in der ersten Phase, als auch in der Präsen-
tationsphase zuzulassen (vgl. Tab. 5, S. 17). Ein solches methodisches Vorgehen bietet sich
besonders bei Aufgaben an, die in der ersten Phase an konkrete Materialien zur Veranschau-
lichung gebunden sind und in der Präsentationsphase Hilfsmittel wie das Zeichnen von Skiz-
zen oder Modelle, an denen das Ergebnis gezeigt werden soll, erfordern.
Die Würfelpuzzle-Aufgabe (Abb. 2) ist an dieser Stelle figurativ:
Die abgebildete Grafik soll als Hilfsmittel in der Phase der Aufgabenstellung dienen. Mit der
Frage, welche der acht Teile sich zu einem Würfel zusammen setzen lassen, beginnt das
Operieren im Kopf. Im Anschluss können anhand konkreter Materialien, wie etwa der
Abbildung nachempfundene Holzblöcke, der Ergebnispräsentation nützen, wobei der Schüler
aktiv mit den Blöcken die jeweiligen Würfel zusammensetzt.
Senftleben (1996, S. 56) nennt in seiner Explikation eine weitere Phase. In dieser
Kontrollphase können die Schüler „selbstständig durch Handeln mit Material prüfen, ob ihr
kopfgeometrisch bestimmtes Resultat auch richtig ist“ (ebd.). Bei der oben aufgeführten
Würfelpuzzle-Aufgabe wäre die Phase mit dem eigenständigen Zusammensetzen eine solche
Kontrollphase, da hier die Resultate direkt an konkretem Material überprüft werden können.
18
Abb. 2: Würfelpuzzle nach Maier (1996, S. 282)
Praktische Umsetzung in der Schule
3. Praktische Umsetzung in der Schule
Nachdem im vorangegangenen Kapitel der Begriff der Kopfgeometrie näher beleuchtet, zu
bekannten, scheinbar analogen Begriffen abgegrenzt und ein Überblick über unterschiedliche
methodische Vorgehensweisen gegeben wurde, sollen in diesem Kapitel verschiedene Kopf-
geometrieaufgaben vorgestellt, kurz kommentiert und hinsichtlich ihres Schwierigkeitsnive-
aus eingeordnet werden.
3.1 Stufe 1 – Gymnasiale Orientierungsstufe
Kopfgeometrische Aufgaben dieses Schwierigkeitsniveaus sind den Klassenstufen 5 und 6 zu-
zuordnen. Zum Lösen solcher Aufgaben sind gewisse Grundkenntnisse zu geometrischen Ob-
jekten, wie etwa Winkelgrößen oder Seiten- und Längenverhältnisse, erforderlich. Zweidi-
mensionale Gebilde (Dreieck, Viereck, Quadrat, Rechteck, ...) und deren Eigenschaften, aber
auch einfache dreidimensionale Objekte sind den Schülern bekannt und bilden die Grundlage
zum mentalen Operieren.
A) Punktesalat
Aufgabe 4:
Welche vier Punkte können zu einem Quadrat verbunden werden?3
3 Diese und alle folgenden, vom Verfasser dieser Arbeit, erstellten Grafiken wurden mit dem DGS GeoGebra erstellt und sind, falls nicht anders vermerkt, als Arbeitsblätter auf der GeoGebraTube unter dem Link: http://tube.geogebra.org/hohmann zu finden.
19
Abb. 3: Punktesalat nach Franke (2007, S. 74. Erstellt durch den Verfasser dieser Arbeit 2015)
Praktische Umsetzung in der Schule
Bei dieser Aufgabe soll der Schüler vier geeignete Punkte finden, um ein Quadrat einzeichnen
zu können. Hierfür muss der Begriff Quadrat und dessen Eigenschaften auf der Stufe des
inhaltlichen Begriffsverständnisses bekannt sein.
Die räumliche Beziehung als Subfaktor des räumlichen Vorstellungsvermögens wird bei dieser
Aufgabe in erster Linie beansprucht, indem die Fähigkeit, räumliche Beziehungen von
mehreren Objekten (in diesem Fall Punkte) zu erfassen, gefordert wird.
Um das Anforderungsniveau zu erhöhen, könnte man bspw. weitere Objekte, wie etwa ein
regelmäßiges Sechseck oder ein gleichseitiges Dreieck, suchen lassen oder weitere Punkte
hinzunehmen, welche das Suchen nach bestimmten Polygonen erschwert.
B) Kippen einer Streichholzschachtel
Aufgabe 5:
Kippe die Streichholzschachtel nach hinten, nach rechts und anschließend wieder nach
hinten.
Wie liegt die Streichholzschachtel am Ende bzw. welche Seite der Schachtel ist sichtbar?
20
Abb. 4: Kippen einer Streichholzschachtel nach Besuden (2006a, S. 32)
Praktische Umsetzung in der Schule
Diese Streichholzschachtel-Aufgabe nach Besuden (2006a, S. 32; siehe hierzu auch Radatz &
Rickmeyer 1991, S. 58; Besuden 1984, S. 63 und 68) als „Ausbildung räumlichen Denkens“
(Besuden 2006a, S. 32) leitet spielerisch eine Auseinandersetzung mit dem zu bewegenden
Objekt auf mentaler Phase ein. Der auffordernde Spielcharakter wirkt dabei unterstützend
und motiviert den Schüler zum aktiven Handeln.
Zu Beginn der Aufgabenstellung wird die oben abgebildete Grafik dem Schüler als Hilfsmittel
zur Veranschaulichung vorgelegt. Im Anschluss an die zweite Phase soll nun das Ergebnis ver-
bal dargestellt werden; es ist also die Methode der Kopfgeometrie mit Hilfsmitteln in der
Phase 1 (vgl. Tab. 3, S. 15). Denkbar wäre natürlich auch, durch verbale Formulierung der
Aufgabe das Bild der Streichholzschachtel mental zu projizieren. Man hätte nun eine reine
Kopfgeometrieaufgabe (vgl. Tab. 2, S. 14), wodurch sich das Anforderungsniveau wesentlich
anheben würde.
Während bei der Punktesalat-Aufgabe (Aufgabe 4) die Komponente der räumlichen Bezie-
hungen mehr gefordert wird, steht hier der Aspekt der mentalen Rotation, also „die Fähig-
keit, sich Rotationen von zwei- oder dreidimensionalen Objekten vorstellen zu können“ (Roth
& Wittmann 2014, S. 148) deutlich im Vordergrund.
Eine ähnliche Aufgabe, in welcher es ebenfalls um die mentale Rotation geht, stellen Royar &
Streit (2006, Kopiervorlage 7) vor. Hierbei soll ein Quader, welcher auf jeder Seite anders
gefärbt ist, nach einer vorgegebenen Reihenfolge gekippt werden. Zum Schluss soll, analog
zur Streichholzschachtel-Aufgabe, die Endposition angegeben werden.
C) Orientierungsübungen
Aufgabe 6:
Beschreibe den Weg vom Eingang des Schulgebäudes zum Klassenraum, vom Klassenraum
zum Lehrerzimmer, dann zur Turnhalle und schließlich zur Toilette.
(Radatz & Rickmeyer 1991, S. 144)
21
Praktische Umsetzung in der Schule
Aufgabe 7:
Gegeben ist ein Quadrat ABCD. A liegt unten links, B unten rechts, C oben rechts und D oben
links. Zeichne die Diagonalen AC und BD. Ein Spielwürfel gibt uns Bescheid, wie wir gehen
sollen. Folgende Ereignisse können auftreten:
1: Bewege dich nach rechts oder links zum nächsten Punkt.
2: Bewege dich nach oben oder unten zum nächsten Punkt.
3: Bewege dich auf der Diagonalen zum nächsten Punkt.
4, 5 und 6: Pause.
Wie kommt man mit einem Wurf von A nach C?
Wir beginnen in D und würfeln 1, 3, 1, 6, 2. Wo gelangen wir hin?
Wie kommen wir mit drei Würfen von A nach B? (nach Degner & Kühl 1984, S. 343)
Grundgedanke dieser beiden Übungen ist die Entwicklung und Ausbildung der räumlichen
Orientierung. Diese bezeichnet das räumlich richtige Einordnen der eigenen Person in die
Umwelt oder anders gesagt, die „Fähigkeit, den Standort der eigenen Person, also die
Perspektive, unter der etwas betrachtet wird, zu ändern“ (Roth & Wittmann 2014, S. 149;
Hervorhebung durch den Verfasser dieser Arbeit 2015).
In Aufgabe 6 wird eine Wanderung im Kopf durchgeführt. Dabei gibt es einen Startpunkt, von
welchem die Aufgabe aus startet. Die Wanderroute wird dem aktiven Schüler vom Lehrer,
oder auch von einem Partner während einer Gruppenarbeitsphase, mit Worten vorgetragen.
Die Augen des aktiven Schülers sind dabei geschlossen. Diese Aufgabenstellung ist keinesfalls
an eine schulische Umgebung gebunden, sondern ist in der Wahl der Wanderroute frei
wählbar. Denkbar wären bspw. Wanderungen auf dem Schulweg, zu Hause, im eigenen
Klassenraum oder eine bestimmte Route eines Klassenausfluges. Grundlegende
Voraussetzung ist aber, dass dem Schüler die Umgebung bereits bekannt ist, da sonst ins
Leere gewandert wird.
Die Wanderung am Kantenmodell gleicht in ihrem strukturellen Aufbau der Aufgabe 6, je-
doch ist der Hauptunterschied eine mentale Projektion eines bestimmten geometrischen Ob-
jektes, welches zuvor ebenfalls bekannt sein muss. Auch hier wird die Aufgabenstellung wie-
der verbal vorgetragen. In der aktiven Phase sind verschiedene methodische Vorgehenswei-
22
Praktische Umsetzung in der Schule
sen denkbar, die durch die Beantwortung folgender Fragen festgelegt werden: Wer führt das
Würfeln aus? Welche Hilfsmittel (Luftzeichnen) sind erlaubt? Kann diese kopfgeometrische
Aufgabe als Wiederholung, bspw. nach der Einführung des Quadrats, in der darauffolgenden
Unterrichtsstunde eingesetzt werden? Bei beiden Aufgaben bietet sich außerdem eine Kon-
trollphase an (vgl. S. 18), dabei zeichnen die Schüler ihre Wanderroute auf Papier. Wird die
jeweilige Aufgabe vom Lehrer der ganzen Klasse vorgetragen, können am Ende dieser vierten
Phase die Ergebnisse gesammelt und im Klassengespräch überprüft und diskutiert werden.
Eine weitere Orientierungsübung, die allerdings deutlich schwieriger ist und deshalb erst ab
der Mittelstufe zu empfehlen ist, stellt der Irrgarten dar. Diese Aufgabe, welche im besonde-
rem Maße die Fähigkeit der räumlichen Orientierung beansprucht, schlägt Fahse (2015,
S. 32ff.) unter anderem als vorbereitende Kopfgeometrieübung für das Erkunden Archimedi-
scher Körper über den Bau der Ecken, das erst ab der 9. Jahrgangsstufe aufgegriffen werden
sollte, vor.
D) Würfelschnitte
Aufgabe 8:
Schneide einen Kartoffelwürfel (Abb. 5) mit einem geraden Schnitt in zwei beliebige Teile.
Welche Formen treten als Schnittflächen auf? (Radatz & Rickmeyer 1991, S. 53)
23
Abb. 5: Würfelschnitt nach Breidenbach (1966, S. 74; Abbildung aus Radatz & Rickmeyer 1991, S. 53)
Praktische Umsetzung in der Schule
Aufgabe 9:
Welche Formen können hergestellt werden, wenn man ein quadratisches Stück Papier nur
mit einem geraden Schnitt zerteilen darf? (Trill-Zimmermann 2014)
Charakteristische Eigenschaft und zugleich auch Grundvoraussetzung für die erfolgreiche Be-
arbeitung dieser zwei kopfgeometrischen Aufgaben ist die zur Bearbeitung benötigte „Fähig-
keit, sich gedanklich Aktivitäten wie […] Schneiden von räumlichen Objekten oder Objekttei-
len vorstellen zu können“ (Roth & Wittmann 2014, S. 148). Hiermit ist die Fähigkeit der Ver-
anschaulichung gemeint, welche, als weitere Teilkomponente des räumlichen Vorstellungs-
vermögens, bereits oben genannt wurde.
Trill-Zimmermann spricht in ihrer Aufgabe, in der ein Stück Papier mit einem Schnitt zerteilt
werden soll, das zweidimensionale Denken an. Die vier möglichen Ereignisse, die auftreten
können, setzen sich aus den drei klassischen, zweidimensionalen Objekten (Dreieck, Viereck
und Fünfeck) zusammen. Dabei können folgende Ergebnisse auftreten:
Zwei Vierecke beim Schnitt von einer Seite zur gegenüberliegenden Seite (1), zwei
(kongruente) Dreiecke, wenn von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke geschnitten wird
(2), ein Dreieck und ein Viereck beim Schnitt von einer Seite zur einer Ecke (3) und wird der
Schnitt von einer Seite zur benachbarten Seite durchgeführt, werden ein Dreieck und ein
Fünfeck entstehen (4). Diese Aufgabe benutzt in keiner ihrer Phasen unterstützende
Hilfsmittel, weshalb sie auch als eine reine Kopfgeometrieaufgabe angesehen werden kann.
Jedoch bietet sich in der Phase der Aufgabenstellung eine Darstellung durch die Lehrkraft an,
welche die konkreten Materialien vor der Klasse hochhält, um die Ausgangssituation zu
veranschaulichen bzw. die verbale Aufgabenstellung zu unterstützen. Um die Schwierigkeit zu
erhöhen, kann bspw. ein weiterer Schnitt eingefügt werden oder das quadratische Papier
wird durch ein fünf- oder dreieckiges ersetzt. Auch eine Kontrollphase lässt sich an die
Präsentationsphase anschließen, in der eine Überprüfung der gezeichneten Ergebnisse im
Plenum wesentlich ist.
Während sich Trill-Zimmermann in der Ebene befindet, gehen Radatz & Rickmeyer über in
das dreidimensionale Denken. Das methodische Vorgehen kann bei dem Kartoffelwürfel
analog zur Ebene beschrieben werden. Sowohl die visuelle Unterstützung durch den Lehrer,
24
Praktische Umsetzung in der Schule
als auch die Erhöhung der Schwierigkeit durch Verwenden geeigneter anderer Körper ist bei
dieser Aufgabe ohne Weiteres denkbar. Allerdings muss hier davon abgesehen werden,
dreidimensionale Aufgaben zu Beginn der Sekundarstufe I zu stellen, da die dafür benötigten
Voraussetzungen zum Operieren im Raum noch nicht bei allen Schülern vorhandenen sind.
Eine Kontrollphase wäre an dieser Stelle nicht sinnvoll, da in dieser Jahrgangsstufe mit hoher
Wahrscheinlichkeit nicht alle Schüler über die Fähigkeit verfügen, ihre dreidimensionalen
Vorstellungen auf eine zweidimensionale Ebene, also das Papier, zu übertragen bzw. diese
mit einem Stift zu zeichnen.
Neben dem Schneiden gehören noch zwei weitere Aktivitäten, das Verschieben und das Fal-
ten, zur Fähigkeit der Veranschaulichung von räumlichen Objekten bzw. Objektteilen (Roth &
Wittmann 2014, S. 148). Aufgaben zum Falten und Schneiden (Brenninger 2007, zit. nach
Brandl 2010b; Maier 1996; Radatz & Rickmeyer 1991), bei denen ein Stück Papier nach ein-
oder mehrmaligem Falten geschnitten wird und im Anschluss gefragt wird, welche Scheren-
schnitte entstehen, fördern ebenfalls die Fähigkeit der Veranschaulichung. Auch das Zuord-
nen von Körpernetzen zu gegebenen Schrägbildern (Vohns 2007, zit. nach Brandl 2010b; Ra-
datz & Rickmeyer 1991; Besuden 1984) reiht sich in die Aufgabenvariationen dieses Subfak-
tors mit ein.
3.2 Stufe 2 – Gymnasiale Mittelstufe
Aufbauend auf der Kopfgeometrie der Stufe 1 sollen im nachfolgenden Abschnitt weitere
kopfgeometrische Übungen vorgestellt werden, welche deutlich mehr Erfahrungen und Fä-
higkeiten voraussetzen. Hierzu gehört, im Gegensatz zur Stufe 1, vor allem das dreidimensio-
nale Denken und Operieren mit Körpern im Raum. Während in den vorangegangenen kopf-
geometrischen Aufgaben stets nur eine Teilkomponente beansprucht wurde, können auf die-
ser Stufe gleich mehrere zur Bearbeitung einer Aufgabe unabdingbar sein, wie die folgende
Aufgabe aufzeigt:
25
Praktische Umsetzung in der Schule
A) Würfelschnitte im Raum
Aufgabe 10:
Ist die Deckfläche der geschnittenen Würfel (Abb. 6) mit einem geraden Schnitt zu erzeugen?
Welche Form hat diese Deckfläche? (Maier 1996, S. 281)
Anknüpfend an die Würfelschnitt-Aufgabe von Breidenbach (1966) wird hier ebenfalls der
Faktor der Veranschaulichung angesprochen, da die Aktivität des Schneidens wieder mental
projiziert werden muss. Aber auch die Fähigkeit der mentalen Rotation bzw. der räumlichen
Orientierung kann hier von Vorteil sein, um das zerschnittene Objekt mental zu drehen
(move objekt) bzw. den eigenen Standpunkt um das Objekt zu variieren (move self). Beide
Bearbeitungsstrategien (nach Maresch 2013, S. 4) sind denkbar und können gleichermaßen
zum Erfolg führen. Auf welche Bearbeitungsstrategie der Schüler zurückgreift, hängt von ver-
schiedenen Parametern, bspw. vom Schwierigkeitsgrad und der Komplexität der Aufgabe, ab,
die Maresch (ebd. S. 5) in seinem Aufsatz beschreibt.
Während diese Aufgabenstellung von einer Abbildung zur Veranschaulichung abhängt, be-
schreibt Besuden (2006b, S. 52ff.) einen Weg, wieder auf die reine Kopfgeometrie zurückzu-
greifen, indem er sowohl den Körper als auch die Schnitte mental projizieren lässt:
26
Abb. 6: Würfelschnitte nach Maier (1996, S. 281)
Praktische Umsetzung in der Schule
Aufgabe 11:
1) Denkt euch vom Quader ein Teilstück so abgeschnitten, dass als Schnittfigur ein
gleichschenkliges Dreieck entsteht. Spannt ein Gummiband entsprechend dort herum.
2) Verändert das gleichschenklige Dreieck so, dass es gleichseitig wird. Wie liegen jetzt die
drei Ecken auf den Kanten des Quaders? Kann hierbei auch ein rechtwinkliges Dreieck
entstehen?
3) Zieht die Spitze des Dreiecks herunter bis über die Ecke des Quaders. Wie heißt die dabei
entstehende Schnittfigur? Kann so auch ein Rechteck entstehen?
4) Markiert einen rechteckigen Schnitt am Quader, bei dem man das Gummiband nicht mit
den Händen festhalten braucht.
5) Spannt einen quadratischen Schnitt. Verändert den Schnitt zu einer Raute. Kann man den
Schnitt auch so verändern, dass eine Drachenfigur entsteht?
6) Macht aus dem rautenförmigen Schnitt ein Parallelogramm.
7) Macht aus dem rautenförmigen Schnitt ein Fünfeck.
8) Verändert den fünfeckigen Schnitt zu einem Sechseck. (nach Besuden 2006b, S. 52ff.)
Bei dieser Aufgabe über ebene Schnitte am Quader wird schnell klar, wieso sie als Aufgabe in
der gymnasialen Mittelstufe einzuordnen ist. Neben der Fähigkeit der Veranschaulichung und
der mentalen Rotation wird zudem Wissen über die entsprechenden Körper und deren Ei-
genschaften, vorausgesetzt. Auch die zeitliche Länge der Aufgabe erfordert über einen länge-
ren Zeitraum eine ruhige Arbeitsatmosphäre und eine ununterbrochene Aufmerksamkeit so-
wohl von den Schülern, als auch von der Lehrkraft, welche die Aufgabe vorliest.
Denkbar wäre außerdem, in der Präsentationsphase bestimmte Netze der Körper zeichnen
zu lassen und die durchzuführenden Schnitte farblich zu markieren. In einer anschließenden
Kontrollphase könnten dann die Ergebnisse geprüft oder anhand konkreter Materialien
(Körper und Gummibänder) verifiziert werden. Besuden betont hierbei aber, dass eine
„Übertragung in die Zeichenebene […] die oder der Unterrichtende entscheiden [muss]“
(Besuden 2006b, S. 52). Ein Einsatz von Zeichnungen in der Präsentationsphase ist also stark
von der jeweiligen Lerngruppe abhängig.
27
Praktische Umsetzung in der Schule
Besuden stellt zudem weitere Aufgabenstellungen, wie ebene Schnitte am Dreikantenprisma,
horizontale Schnitte am Würfel, der auf einer Ecke steht oder ebene Schnitte an gewölbten
Körpern vor (Besuden 2006b, S. 54). Diese unterscheiden sich sowohl in ihrem Anforderungs-
niveau, als auch in den dafür benötigten Voraussetzungen und Fähigkeiten von der Quader-
Aufgabe (vgl. S. 27).
Aufgabe 12:
Ein Würfel sei so auf einer Kante gestellt, dass eine
Raumdiagonale senkrecht zur Unterlage steht.
Nun wird der Würfel auf halber Höhe parallel zur
Unterlage durchgeschnitten.
Welche Schnittfigur ergibt sich?4
(Hammer 2011, S. 27; Weber 2010, S. 76-80)
Auch diese Aufgabe greift in erster Linie den Aspekt des mentalen Schneidens als eine Fähig-
keit der Veranschaulichung auf. Außerdem können weitere Teilkomponenten des räumlichen
Vorstellungsvermögens ebenfalls am Lösungsprozess der Aufgabe beteiligt sein. Um sich
einen optimalen Überblick über die einzelnen Objektteile zu verschaffen, kann es von Vorteil
sein, den Würfel in eine für sich geeignetere Position rotieren zu lassen, oder aber auch sich
selbst um den Würfel neu zu positionieren – etwa um einen Blick von oben auf den Würfel zu
bekommen und so die einzelnen Schneideprozesse zu verfolgen. Zudem spielt die Fähigkeit,
sich räumliche Beziehungen der Objektteile, wie bspw. die Relation einzelner Strecken oder
Punkte zueinander, vorzustellen und mit diesen mental zu operieren, eine wichtige Rolle.
Neben der mentalen Vorstellungsfähigkeit haben weitere Faktoren, wie „geometrisches und
logisches Wissen“ (Hammer 2011, S. 27), eine entscheidende Relevanz im Lösungsprozess.
4 Diese Grafik ist lediglich als Abbildung zur Veranschaulichung – nicht als Arbeitsblatt – auf der GeoGebraTube unter dem Link: http://tube.geogebra.org/m/1597043 zu finden.
28
Abb. 7: Schnittfigur am Würfel auf einer Ecke nach Hammer (2011, S. 27); Erstellt durch den
Verfasser dieser Arbeit (2015)
Praktische Umsetzung in der Schule
Wie in der kopfgeometrischen Aufgabe von Besuden (vgl. S. 27) ist es auch hier möglich, die
gesamte Aufgabe auf mentaler Ebene, ohne darstellende Hilfsmittel in der ersten Phase, be-
arbeiten zu lassen. Je nach Lerngruppe kann ein Zeichnen des Ergebnisses als Hilfsmittel in
der Präsentationsphase ebenfalls angeboten werden, welches wiederum in einer Kontroll-
phase im Plenum überprüft werden kann. Verschiedene Problemlösestrategien (Maresch
2013) können im Anschluss besprochen und hinsichtlich ihrer Effektivität diskutiert werden.
Aufgabe 13:
Einem Würfel werden alle Ecken abgeschnitten.
Wie viele Ecken hat das neue Gebilde? (Streit & Pinkernell 2011, S. 5)
Auch hier ist wieder eine Rotation des Objektes bzw. des eigenen Standpunktes zur Lösung
der Aufgabe sinnvoll, um sich gegebenenfalls einen optimalen Überblick über die im Kopf
durchgeführten Operationen zu machen. Streit & Pinkernell (2011, S. 5) betonen zudem:
„Wer sich einen Würfel vorstellen und diesen im Kopf verändern kann, bringt die
notwendigen Voraussetzungen zur Bearbeitung dieser Aufgabe mit.“ Das Wissen über
Symmetrieeigenschaften des Würfels kann als unabdingbare Voraussetzung in diesem
Lösungsprozess genannt werden.
Die Autoren bemerken in ihrem Werk außerdem, dass unterschiedliche Ergebnisse auftreten
können. Diese sind abhängig von der Tiefe des Einschnittes. Die Möglichkeit der verschiede-
nen Lösungen, je nach Aktivität in der zweiten Phase, kann Grundlage zu einer Diskussion in
der Klasse sein und zu weiteren Fragen und/oder Untersuchungen führen.
29
Praktische Umsetzung in der Schule
B) Polyedernetze
Aufgabe 14:
Unten siehst du ein Netz eines Polyeders.
Welcher Polyeder entsteht, wenn du das Netz zusammensetzt?
Wie viele Ecken und Flächen hat dieser Polyeder? (nach Berendonk 2014, S. 10)
Würfelnetze, Quadernetze und das Netz einer Pyramide werden bereits in der Orientierungs-
stufe kennengelernt und zu Beginn der Mittelstufe weiter vertieft. Dabei wird sowohl das
Auffalten eines Körpers in sein Netz, als auch die umgekehrte Richtung, wobei eine Zuord-
nung vom Netz zu dem dazugehörenden Körper stattfindet, thematisiert.
Auch diese Aufgabe greift Letzteres auf, bei welcher der Schüler das Polyedernetz vor sich
sieht und auf mentaler Ebene den Körper zusammensetzen muss.
Offensichtlich kann diese Aufgabe nicht dem Aufgabentyp der reinen Kopfgeometrie zuge-
ordnet werden, da die abgebildete Grafik in der Phase der Aufgabenstellung als bildhafte Un-
terstützung eingesetzt wird. Während in der zweiten Phase der Schüler anhand des Netzes
den Körper mental projiziert, kann in der Präsentationsphase das Ergebnis, welcher Polyeder
entsteht, durch eine mündliche Mitteilung stattfinden. Soll das Ergebnis auf einer zeichneri-
schen Ebene präsentiert werden, kann zu Beginn eine weitere Frage, bspw.: „Kannst du den
Polyeder skizzieren?“, im Mittelpunkt stehen. Die so entstandenen Zeichnungen können mit
den Ergebnissen aus der zweiten Frage der Aufgabe in einem Klassengespräch diskutiert und
miteinander verknüpft werden. Mithilfe weiterer Anschlussfragen zu anderen Polyedern,
30
Abb. 8: Polyedernetz nach Berendonk (2014, S. 10)
Praktische Umsetzung in der Schule
deren Ecken-, Kanten- und Flächenanzahl, kann der Eulersche Polyedersatz mit der Klasse er-
arbeitet werden.
Neben der Fähigkeit, sich das Polyedernetz auf mentaler Ebene veranschaulichen zu können,
werden für die Bearbeitung dieser Aufgabe, welche Berendonk ab der 9. Klassenstufe
empfiehlt, weitere benötigt. Vor allem das mentale Rotieren des Netzes bzw. der einzelnen
Objektteile spielt eine große und wichtige Rolle, ebenso wie die Fähigkeit, räumliche
Beziehungen einzelner Objektteile gedanklich zu erfassen, um so den Polyeder korrekt zu
konstruieren.
C) Entartungen am Quadrat
Aufgabe 15:
Stelle dir ein Quadrat ABCD vor. Was für
Figuren entstehen, wenn du den Punkt C
des Quadrates wie folgt bewegst:
1) längs einer Quadratseite zur
Nachbarecke,
2) auf die Nachbarecke zu,
3) auf der Diagonalen, auf welcher der
Punkt C liegt, in Richtung des
Mittelpunktes des Quadrats,
4) soweit, dass der Punkt C auf M liegt?
(nach Vogler 1967, S. 53)
31
Abb. 9: Entartungen am Quadrat nach Vogler (1967, S. 53; Erstellt durch den Verfasser dieser Arbeit 2015)
Praktische Umsetzung in der Schule
Aufgabe 16:
Stelle dir ein Quadrat ABCD vor. Was für Figuren entstehen, wenn du die gegenüberliegenden
Punkte A und C des Quadrates wie folgt bewegst:
1) auf ihrer Diagonalen um die gleiche (ungleiche) Strecke nach außen,
2) auf ihrer Diagonalen um die gleiche (ungleiche) Strecke nach innen,
3) auf zwei Gegenseiten in gleicher (entgegengesetzter) Richtung um gleiche Strecken,
4) auf zwei Gegenseiten in gleicher (entgegengesetzter) Richtung um ungleiche Strecken,
5) auf zwei Nachbarseiten um gleiche (ungleiche) Strecken aufeinander zu?
6) Welche Sonderfälle sind bei den jeweiligen Aufgaben möglich? (nach Vogler 1967, S. 53)
Wie bereits oben dargelegt, besitzt das Verschieben als eine Aktivität der Veranschaulichung
eine ebenso bedeutsame Relevanz. Diese beiden Aufgaben (Abb. 9 und Abb. 10) sollen auf
diesen Aspekt etwas genauer eingehen.
Grundgedanke (in Anlehnung an Roth 2006) dieser Aufgaben ist das Verschieben eines Punk-
tes bzw. zweier gegenüberliegender Punkte an einem Quadrat auf vorgegebenen Wegen, wo-
bei, mittels eines DGS (hier: GeoGebra), verschiedene Grundvorstellungen zu geometrischen
Begriffen und Sachverhalten entwickelt oder genutzt werden, um diese zu vertiefen bzw. zu
verfestigen (Roth 2011, S. 29). Sowohl Abb. 9 als auch Abb. 10 wurden mithilfe von GeoGe-
32
Abb. 10: Entartungen am Quadrat nach Vogler (1967, S. 53; Erstellt durch den Verfasser dieser Arbeit 2015)
Praktische Umsetzung in der Schule
bra erstellt und mit den jeweiligen Aufgabenstellungen als dynamische Arbeitsblätter auf die
GeoGebraTube hochgeladen. Diese Abbildungen könnten mögliche Vorstellungsbilder der
Schüler sein, die während des verbalen Vortragens im Kopf entstehen und mit denen mental
operiert werden muss. Die Schüler haben zudem die Möglichkeit, zu einem späterem Zeit-
punkt auf diese Arbeitsblätter zurückzugreifen, da diese auf der GeoGebraTube frei zugäng-
lich sind und mit ihnen eigenständig gearbeitet werden kann. Dieses Aufgabenformat orien-
tiert sich auf der einen Seite an Roth (2006), welcher eine solche kopfgeometrische Aufgabe
anhand der Dreiecksgrundformen5 beschreibt, auf der anderen Seite an der von Vogler
(1967) vorgestellten, zahlreichen geometrischen (Kopf-)Aufgaben.
Sowohl Aufgabe 1, als auch Aufgabe 2 sind dabei als reine Kopfgeometrieaufgaben ohne
Hilfsmittel in einer Phase zu lösen. Um bewegliches Denken zu trainieren bzw. zu fördern und
für einen möglichst reibungslosen Lernprozess müssen allerdings bestimmte Grundvorstel-
lungen zu verschiedenen Vierecken (Quadrat, Rechteck, Raute, Trapez und Drachen) oder
aber auch zu anderen geometrischen Objekten (Dreieck) bereits von den Schülern aufgebaut
worden sein.
Die Abbildungen können jedoch zusätzlich als bildhafte Unterstützung der Aufgabenstellung
in der ersten Phase durch den Lehrer und/oder als Hilfsmittel in der Präsentationsphase
dienen. Wird das DGS zur Erläuterung der Ergebnisse in dieser dritten Phase herangezogen,
bietet es sich an, in einem Klassengespräch die verschiedenen Ergebnisse, bspw. mittels
digitalem Whiteboard, zu diskutieren. Davor kann eine kurze Austauschphase mit
Partnerarbeit, in welcher sich zwei Schüler ihre Ergebnisse mit oder ohne Zuhilfenahme von
Hilfsmitteln vortragen, eingeschoben werden oder es wird direkt nach der zweiten Phase mit
einem Klassengespräch begonnen.
Ein besonders wichtiger Aspekt, den Roth (2006) anspricht, ist das Prinzip des operativen,
entdeckenden und produktiven Übens, welcher sich durch die Verwendung eines DGS
anbietet. Denkbar wäre bspw. eine anfangs verbal gestellte Aufgabe, welche nicht alle der in
Aufgabe 15 bzw. Aufgabe 16 (vgl. S. 31 bzw. S. 32) abgebildeten Fragen enthält. Eine solche
Übung soll nun mithilfe der klassischen Kopfgeometrie gelöst und im Anschluss auf verbaler
5 Entsprechendes Material lässt sich auf http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/ einsehen. Zugriff am 23. September 2015.
33
Praktische Umsetzung in der Schule
Ebene präsentiert werden. Im weiteren Verlauf kann eine schülerzentrierte Übungsphase
stattfinden, in welcher die Schüler sich eigenständig mit weiteren Aufgabenstellungen
auseinander setzen. Diese Phase „soll sie dabei unterstützen, den Umfang dieser Begriffe
sowie deren gegenseitige Beziehungen zu erfassen und die Fähigkeit auszubilden, bei
Problemlösungen flexibel mit ihnen zu arbeiten“ (Roth 2006, S. 1).
D) Körperdrehungen
Aufgabe 17:
Der obere Körper besteht aus fünf Würfel. Dieser Körper wird gedreht.
Welcher der unten abgebildeten Körper kann sich ergeben?6 (ISB 2004)
Diese Aufgabe, welche auch Hammer (2011, S. 25) in seinem Artikel über Aufgabenideen zur
Kopfgeometrie erwähnt und sich dabei zu einer Verbreitung solcher Aufgaben in der Schule
äußert, thematisiert weniger den in den vorangegangenen Aufgaben genannten Subfaktor
der Veranschaulichung. Ausschlaggebend bei dieser Aufgabe ist die Fähigkeit der mentalen
Rotation. Aber auch die Anordnung und Position der einzelnen Würfel gilt es räumlich zu
erfassen bzw. es besteht ebenfalls die Möglichkeit, die Strategie move self anzuwenden, sich
also um die oben abgebildeten Körper zu bewegen und diese von außen zu betrachten. Für
den Lösungsprozess können also ebenso Fähigkeiten der räumlichen Beziehungen bzw. der
6 In Anlehnung an den Bayerischen Mathematiktest für die Jahrgangsstufe 8 oder Gymnasien (BMT8 2004). Aufgabengruppe (A).
34
Abb. 11: Körperdrehungen nach ISB 2004 – Aufgabengruppe A (S. 1)
Praktische Umsetzung in der Schule
räumlichen Orientierung von Vorteil sein und positiv auf die Bearbeitung der Aufgabe
einwirken.
Grundgedanke dieser einfachen Aufgabe zur mentalen Rotation von Körpern, wie Hammer
(2011) sie beschreibt, ist es, die vier übrigen Körper mental rotieren zu lassen, sodass sie mit
dem Ausgangskörper übereinstimmen. Dabei muss darauf geachtet werden, dass der Körper
selbst nicht verändert wird, bspw. durch eine Positionsveränderung der einzelnen Würfel.
Diese Aufgabe lässt sich offensichtlich nicht ohne Hilfsmittel in der ersten Phase bewältigen,
da die jeweiligen Körper präsentiert und während der zweiten Phase stets betrachtet werden
müssen. Ein Anzeigen und Erläutern des Ergebnisses auf der Grafik ist in der letzten Phase
möglich. Hier bietet es sich vor allem an, den Schüler erklären zu lassen, wieso die übrigen
Körper nicht zum Ausgangskörper passen und mit welcher Strategie er zu diesem Ergebnis
gelangte.
Aufgabe 18:
Welchen Würfel erhältst du durch Drehen des Hauptwürfels? (Nydegger 2015, S. 45)
Wie in Aufgabe 17 ist der Grundgedanke wieder das Rotieren von Körpern auf mentaler Ebe-
ne. Hierbei sollen die abgebildeten Würfel so gedreht werden, dass sie nach Möglichkeit mit
dem Hauptwürfel sowohl in den abgebildeten Buchstaben, als auch in deren Anordnung
übereinstimmen.
Nydegger (2015) schlägt in ihrer Unterrichtsgestaltung zu Drehungen vor, dass jeder Schüler
zu Beginn einen Holzwürfel erhält, den es dann gilt, entsprechend einer Vorlage des
Hauptwürfels, zu beschriften. Diesem Vorschlag soll sich hier angeschlossen werden, da
35
Abb. 12: Drehen zum Hauptwürfel nach Nydegger (2015, S. 45)
Praktische Umsetzung in der Schule
zuvor eine aktive Auseinandersetzung auf einer händischen Ebene mit dem Würfel und
dessen Anordnungen der Buchstaben stattfinden kann. Im nächsten Schritt wird den
Schülern dann die oben abgebildete Grafik mit der entsprechenden Fragestellung ausgeteilt.
Während Nydegger ihren Schülern die Möglichkeit gibt, die Würfel während der zweiten
Phase in der Hand zu halten, empfiehlt der Verfasser dieser Arbeit einen anderen
methodischen Weg. Um eine möglichst hilfsmittelfreie zweite Phase zu erhalten, soll der
beschriftete Würfel auf dem Tisch entsprechend der ausgeteilten Abbildung vor dem Schüler
fest platziert werden.
Auch Maier (1999a, S. 64) stellt eine solche Würfeltest-Aufgabe (Abb. 13) vor. Diese
unterscheidet sich von Nydeggers Übung nur darin, dass sie Buchstaben vorgibt. Maier
hingegen verwendet keine Buchstaben, sondern benutzt einfache, geometrische Formen wie
Punkte, Striche, Pfeile und Vierecke. Während auf einer Seite des Würfels nur ein Buchstabe,
also ein Merkmal, zu beachten ist (Nydegger), befinden sich bei Maier mehrere dieser
Merkmale auf einer Würfelfläche, wodurch der Schwierigkeitsgrad erhöht wird, da gleich
mehrere Konfigurationen in Beziehung gebracht werden müssen.
Durch mentale Operationen, wie das Erfassen räumlicher Konfigurationen (räumliche Bezie-
hungen) der Würfel, Rotation der Würfel (move object) oder der eigenen Orientierung im
Raum (move self), ohne Zuhilfenahme des Würfels oder der Hände, wird schließlich ein Er-
gebnis generiert. Dieses und die „verschiedenen Vorgehensweisen werden im Plenum vergli-
chen und diskutiert“ (Nydegger 2015, S. 45). Dabei können verschiedene Bearbeitungsstrate-
36
Abb. 13: Würfeltest nach Maier (1999a, S. 64)
Praktische Umsetzung in der Schule
gien (Maresch 2013) aufgegriffen und hinsichtlich ihrer Effektivität besprochen werden.
Denkbar wären Fragen, ob der gesamte Würfel mit dem Hauptwürfel (whole approach) ver-
glichen wurde, oder bspw. die Anordnung der jeweiligen Buchstaben miteinander (part ap-
proach). Auch Fragen nach verifizierenden oder falsifizierenden Strategien im Lösungsprozess
können in einem Klassengespräch im Mittelpunkt stehen.
Aufgabe 19:
Welche der acht abgebildeten Teile lassen sich zu einem ganzen Würfel zusammensetzen?
(Maier 1996, S. 282)
Diese Aufgabe soll, wie vorangegangene Aufgaben zur Rotation, ebenfalls die Fähigkeit för-
dern, sich Bewegungen und Drehungen an zwei- und dreidimensionalen Körpern vorstellen
bzw. mit diesen im Kopf operieren zu können.
Während in Aufgabe 18 lediglich der jeweilige Körper mental rotiert und mit dem Hauptwür-
fel auf eine entsprechende Gemeinsamkeit überprüft werden sollte, müssen in diesem Fall
gleich zwei Aktivitäten vor einem Vergleich stattfinden. Zu Beginn sucht sich der Schüler
einen der oben abgebildeten Würfelteile aus. Eine auf visuellen Wahrnehmungen basierende
37
Abb. 14: Würfelpuzzle nach Maier (1996, S. 282)
Praktische Umsetzung in der Schule
Projektion muss, ebenso wie die Oberfläche des Würfelteils, im Kopf vorhanden und als be-
wegbares Objekt abgespeichert sein. Ist dieser erste Schritt abgeschlossen, wird ein zweites
Würfelteil betrachtet. Auch für dieses schließt sich ein analoger Vorgang an. Erst wenn beide
Teile abgespeichert sind, kann ein Vergleich und eine Überprüfung auf ihre Zusammensetz-
barkeit stattfinden. Hierbei spielt vor allem die Fähigkeit der mentalen Rotation eine große
Rolle, aber auch räumliche Beziehungen der jeweiligen Teile müssen erfasst werden.
Bei dieser Aufgabe wird schnell klar, dass sie deutlich komplexer als bisherige kopfgeometri-
sche Übungen zu Rotationen sind, weshalb sie Maier (1996, S. 282) nicht umsonst als eine
knifflige Aufgabe beschreibt.
Als kopfgeometrische Aufgabe ist sie vor allem an eine bildhafte Unterstützung in der Phase
der Aufgabenstellung gebunden, in welcher die Schüler die Würfelteile betrachten. Auch in
der Präsentationsphase sollte ein Hilfsmittel für eine Erläuterung der Lösung zur Verfügung
stehen. Der Schüler sollte zudem aufgefordert werden, nicht nur zu erklären, wieso zwei ge-
nannte Teile zueinander passen, sondern auch begründen können, wieso andere diese Anfor-
derungen nicht erfüllen. An dieser Stelle bietet sich zudem wieder die Möglichkeit, in einem
Klassengespräch angewandte Bearbeitungsstrategien (Maresch 2013, S. 3f.) zu besprechen.
Hier könnte vor allem die holistische Strategie (whole approah) bzw. die analytische Strategie
(part approah) aufgegriffen werden.
E) Beziehungen am Körper
Aufgabe 20:
Man stelle sich in der Grundfläche eines Würfels eine Diagonale und in seiner Deckfläche eine
zweite Diagonale vor, die zur ersten windschief verläuft.
Was für ein Körper entsteht, wenn man jeden Eckpunkt der einen Diagonalen mit den beiden
Endpunkten der anderen Diagonalen verbindet? (nach Gimpel 1992, S. 262)
Aufgabe 21:
Was für ein Körper entsteht, wenn man die Mittelpunkte der Seitenfläche eines Tetraeders
miteinander verbindet? (nach Gimpel 1992, S. 262)
38
Praktische Umsetzung in der Schule
„Qualifikationen räumlicher Beziehungen […] bestehen im Erfassen räumlicher Konfiguratio-
nen zwischen mehreren Objekten oder Objektteilen“ (Maier 1999b, S. 12). Dieser Subfaktor
ist Grundgedanke dieser Aufgaben, in welchen es darum geht, Veränderungen an einem Kör-
per „statischer Natur“ (Maier 1999a, S. 38) vorzunehmen. Im Gegensatz zu den vorangegan-
genen Aufgaben steht hier nicht das Vorstellen von Bewegungen im Vordergrund, sondern
vielmehr das richtige Erfassen von „räumlichen Beziehungen zwischen selbst unbewegten
Gegenständen“ (Pawlik 1976, zit. nach Maier 1999a, S. 38), nachdem bereits eine Bewegung
oder Veränderung am Objekt vorgenommen wurde.
In diesen Aufgaben geht es zuerst darum, sich einen Körper und die gegebenen Strecken bzw.
Punkte vorzustellen. Im weiteren Verlauf werden nun Veränderungen an diesen Körpern
vorgenommen, was dazu führt, dass neue Objekte oder Körper entstehen, welche es nun gilt,
zu präsentieren. Voraussetzung für ein erfolgreiches Bearbeiten dieser Aufgaben ist vor allem
das Wissen über die auftretenden Körper (Würfel, Tetraeder) sowie deren Eigenschaften.
Diese Übungen reihen sich in die Gruppe der reinen Kopfgeometrie ein, da sowohl in der
Phase der Aufgabenstellung, welche verbal durch den Lehrer oder durch einen Partner
mitgeteilt werden kann, als auch in der Präsentationsphase keine Hilfsmittel oder unterstüt-
zende Abbildungen erlaubt sind.
Sollten dennoch Schwierigkeiten im Lösungsprozess auftreten, besteht die Möglichkeit, in
der ersten Phase eine selbst erstellte Skizze zur Veranschaulichung zu erlauben. Denkbar
wäre auch eine Partnerarbeit als Präsentationsphase, in der eine Erläuterung der Ergebnisse,
bspw. dem Banknachbarn, entweder anhand einer Zeichnung, verbal und/oder mit Gestik,
wesentlich ist. Eine nachgestellte Kontrollphase in einem Klassengespräch könnte Anlass für
weitere Fragen sein oder als Überleitung zu weiteren Körpern dienen.
39
Praktische Umsetzung in der Schule
F) 3-Tafelbilder
Aufgabe 22:
Betrachte die verschiedenen Bilder in Abb. 15.
Können solche Körper existieren und wenn ja, kannst du ihre Form beschreiben?
(nach Maier 1996, S. 282)
Diese Aufgabe, welche sich an der darstellenden Geometrie, also dem Verfahren der Geome-
trie, dreidimensionale Objekte aus dem Raum auf eine zweidimensionale Ebene zu projizie-
ren, orientiert, fordert von den Schülern sehr stark das räumliche Vorstellungsvermögen. Vor
allem die beiden Subfaktoren Veranschaulichung und räumliche Beziehungen werden in be-
sonderem Maße beansprucht (Maier 1999a, S. 167).
Grundgedanke besteht hierin, die oben abgebildeten 3-Tafelbilder zu betrachten – es ist also
ein unterstützendes Hilfsmittel zur Veranschaulichung notwendig –, sie im Kopf zu projizieren
und schließlich herauszufinden, ob und wie ein reales Objekt darstellbar ist. Dazu muss aller-
dings zuerst bekannt sein, welche der verschiedenen Ansichten welcher Perspektive zuzuord-
nen ist (links oben: Vorderansicht oder Frontalperspektive; rechts oben: Seitenansicht; links
unten: Draufsicht).
40
Abb. 15: 3-Tafelbilder nach Maier (1996, S. 282)
Praktische Umsetzung in der Schule
Sind diese Voraussetzungen gegeben, wird mithilfe der abgebildeten zweidimensionalen Flä-
chen versucht, mental ein dreidimensionales Gebilde zu erzeugen, welches die Anforderun-
gen aller drei Perspektiven erfüllt.
Neben der oben genannten Subfaktoren spielen beim mentalen Operieren ebenso die
Fähigkeit der mentalen Rotation und der räumlichen Orientierung im Bearbeitungsprozess
eine nicht zu verachtende Rolle. Durch Rotieren des Körpers kann überprüft werden, ob die
entsprechenden Flächen den geforderten Schatten werfen und durch Wechseln des eigenen
Standpunktes wird schlussendlich das Ergebnis aus den verschiedenen Perspektiven
betrachtet, überprüft und korrigiert.
Da die Aufgabenstellung auch explizit danach fragt, ob es möglich ist, eine solche Form zu
beschreiben, wäre es zudem denkbar, im Anschluss eine Präsentationsphase anzustellen, in
der die Schüler ihre Ergebnisse zeichnerisch darstellen und erläutern können.
Aufgabe 23:
A) Typ Problemlösen – Schattenbilder eines Körpers [S. 65]7
1) Stellen Sie sich einen Tisch vor, der in einer Zimmerecke steht. Darüber schwebt eine große
Kugel. Diese Kugel wird von sehr weit oben mit einer hellen Lampe beleuchtet.
Wie sieht das nach unten auf den Tisch geworfene Schattenbild der Kugel aus und welche
Form hat es?
2) Bearbeiten Sie nun die Kugel, und zwar wie folgt: Nach unten soll immer noch derselbe
Schatten geworfen werden. Neu soll jedoch bei der Beleuchtung von der Seite ein
quadratischer Schatten auf die Wand neben dem Tisch geworfen werden.
Wie muss die Kugel dazu bearbeitet werden?
3) Ist es möglich, die Form weiterzubearbeiten, sodass der entstehende Körper einen
dreieckigen Schatten nach hinten wirft, wenn er von vorne beleuchtet wird?
4) Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?
(Weber 2010, S. 151f.)
7 Aufgrund der Textlänge dieser mathematischen Vorstellungsübungen wurde bei den nachfolgenden Aufgaben auf eine zitierte Darstellung verzichtet. Diese sind im Anhang dieser Arbeit auf den jeweils in eckigen Klammern stehenden Seiten zu finden.
41
Praktische Umsetzung in der Schule
Auffallend ist hier, dass sich diese Aufgabe sowohl in ihrer Fragestellung, als auch von dem,
was im Kopf projiziert wird, von den bisherigen kopfgeometrischen Aufgaben deutlich unter-
scheiden. Trotz des sehr ähnlichen strukturellen Aufbaus (Minimal- und Luxusvariante in
Weber 2010, S. 28-32) und der vielen Gemeinsamkeiten – wie die mentale Projektion von Bil-
dern und Objekten, die Rotation des Objektes bzw. Variation des eigenen Standpunktes, das
Erfassen von räumlichen Konfigurationen und Veränderungen mehrerer Objekte oder Objekt-
teile – zur Kopfgeometrie, muss dieser Aufgabentyp, grundlegend von dieser unterschieden
und abgegrenzt werden.
Bevor diese Aufgabe kommentiert wird, soll ein kurzer Überblick über diese mathematische
Vorstellungsübung erfolgen. Mithilfe einer prägnanten Definition und unter Verwendung cha-
rakteristischer Merkmale werden die Unterschiede dieser beiden wohl ähnlichen Begriffe im
Folgenden kurz dargestellt und erörtert.
3.3 Mathematische Vorstellungsübungen
Ich versuche mir Mathe-Aufgaben bildlicher vorzustellen, was mir auch hilft, diese
einfacher zu lösen. (Schüler, Klasse GE11, zit. nach Weber 2007, S. 67)
Ein großer Fürsprecher und wohl auch Begründer dieses Begriffes (dieser lässt sich erstmals
1998 finden) ist Weber. Er stellt in seinen zahlreichen Arbeiten und Werken (siehe hierzu
besonders: 2010; 2009; 2007) unter anderem verschiedene, zum Großteil auch im Unterricht
erprobte, Übungen vor, welche eine Vielzahl von Themen aus der Mathematik, nicht nur aus
der Geometrie, aufgreifen. Dabei stehen Fragen wie „Wie berechnen Sie zwei mal zwei?
(Weber 2010, S. 41) und „Wie stellen Sie sich das vor?“ (ebd.) im Vordergrund.
42
Praktische Umsetzung in der Schule
Weber findet 2007 die passenden Worte, um den Begriff der mathematischen Vorstellungs-
übungen sehr treffend zu charakterisieren:
Vorstellungsübungen beschreiben einen einfachen, aber reichhaltigen mathemati-
schen Sachverhalt. Dieser Sachverhalt ist in den Kontext realer Gegenstände und Tä-
tigkeiten eingekleidet. Der Text der Vorstellungsübung leitet dazu an, sich diesen
Kontext vorzustellen und ihn gedanklich zu erkunden. Die Zuhörerinnen und Zuhörer
ziehen die dabei entstehenden individuellen Vorstellungen heran und entwickeln sie
weiter, um eine vorgegebene mathematische Frage zu beantworten. Dies geschieht
ohne äußere Hilfs- und Darstellungsmittel. (Weber 2010, S. 14)
Aus dieser Definition geht hervor, dass mathematische Vorstellungsübungen versuchen,
mathematische Fragen zu beantworten. Dies soll ohne Gegenstände oder ähnliche Hilfsmittel
wie Abbildungen und Grafiken (welche die individuelle Vorstellung verfälschen würden, da
angenommen werden könnte, dass die Vorstellung der Abbildung entsprechen müsse)
stattfinden – ähnlich der Kopfgeometrie. Dennoch gibt es Unterschiede zwischen diesen
verwandten Begriffe. Weber zeigt im weiteren Verlauf seiner Einführung drei grundlegende
Punkte auf, welche den Unterschied klarstellen sollen:
(1) Im Gegensatz zur Kopfgeometrie ähneln mathematische Vorstellungsübungen mehr
der Kopfmathematik (Streit & Pinkernell 2011, Streit & Weber 2011, Hammer 2011),
da diese auch „nicht geometrische Inhalte“ (Weber 2010, S. 15) thematisieren. Ist der
Inhalt auf einer mentalen Ebene visualisierbar, können konkrete Fragestellungen auch
aus Themengebieten der „Arithmetik, Algebra oder Analysis“ (ebd.) stammen.
(2) Vorstellungsübungen bieten Vorstellungshilfen an. „Sie regen […] das Erkunden und
die Konstruktion mathematischer Objekte an sowie das Argumentieren und plausible
Schließen. Mit diesen heuristischen Prozessen gehen Vorstellungsübungen über das
bloße Lösen anspruchsvoller Aufgaben hinaus“ (ebd.). Während die Kopfgeometrie
also als Förderung und zum Training des räumlichen Vorstellungsvermögens gesehen
wird, lernen Schüler beim Bearbeiten mathematischer Vorstellungsübungen „neue
Inhalte, weil sie an ihrem eigenen schon vorhandenen und einem spezifischen
43
Praktische Umsetzung in der Schule
Bereich zugeordneten mathematischen Wissensnetz weiter anknüpfen“ (Weber 2010,
S. 15).
(3) Mathematische Vorstellungsübungen greifen real aufgebaute Vorstellungen der
Schüler aus dem Alltag auf – wie etwa das Beleuchten einer schwebenden Kugel von
oben (vgl. S. 41) – und entwickeln diese weiter, wohingegen in der Kopfgeometrie die
individuellen Vorstellungen sehr eng an die gegebene Aufgabenstellung gebunden ist,
wodurch ein Transfer auf Alltagsvorstellungen also nur bedingt ermöglicht wird.
Durch ein solches Aufgreifen individuell aufgebauter, realer Vorstellungen ist es den
Schülern schließlich möglich, darauf beim Bearbeiten ähnlicher Aufgaben zurückzu-
greifen, wodurch die subjektive Schwierigkeit der Aufgabe sinkt (vgl. das Zitat des
Schülers S. 42).
Da also nicht nur geometrische Sachverhalte in mathematischen Vorstellungsübungen be-
handelt werden, sondern auch Inhalte anderer mathematischer Teilgebiete, spielen neben
dem räumlichen Vorstellungsvermögen auch „mathematische Basiskenntnisse und gegen-
standsbezogenes Wissen hier eine genauso große Rolle“ (ebd.).
Kopfgeometrie und mathematische Vorstellungsübungen überschneiden sich zwar in vielerlei
Hinsicht, „weil sie jedoch auf benennbare fachliche Inhalte und Prozesse zielen“ (ebd., S. 16),
also eine fachliche Pointe haben, sind mathematische Vorstellungsübungen klar von der
Kopfgeometrie zu trennen.
Nachdem nun dieser neue Aufgabentyp genauer dargestellt und erläutert wurde, soll die
zuvor beschriebene Aufgabe 23 (vgl. S. 41) kommentiert werden. Führt man diese Übung
selbst durch, wird schnell klar, dass eine Reihe an Fähigkeiten für eine erfolgreiche
Bewältigung der Aufgabe unabdingbar sind.
Neben der oben genannten Fähigkeit der mentalen Rotation, der räumlichen Orientierung
oder der Erfassung räumlicher Beziehungen ist auch die Veranschaulichung im Problemlöse-
prozess von Vorteil. Um „die Senkrechte und Waagrechte [des entstehenden Körpers eindeu-
tig zu] identifizieren“ (Roth & Wittmann 2014, S. 148), ist die Fähigkeit der räumlichen Wahr-
nehmung als ein weiterer Subfaktor des räumlichen Vorstellungsvermögens zu nennen.
44
Praktische Umsetzung in der Schule
Weber (2010, S. 151) beschreibt diese Aufgabe als eine anspruchsvolle Vorstellungsübung
und ordnet sie in die Klassenstufen 9 bis 11 ein. Dies lässt sich zum einen an den oben
genannten, benötigten Fähigkeiten begründen. Andererseits sind weitere, mathematische
Kenntnisse und gegenstandsbezogenes Wissen Voraussetzung. Um einen solchen Körper und
dessen Schattenbild sich vorstellen zu können, muss erstens bekannt sein, dass der Schatten
einer Kugel stets eine Kreisfläche ergibt, unabhängig von dem Standpunkt der Lichtquelle.
Zweitens müssen die Schüler die zwei unterschiedlichen Schattenbild-Projektionen kennen,
die sich beim Beleuchten eines geraden Kreiszylinders ergeben. Diese genannten
Grundkenntnisse werden bereits in der 3-Tafelbilder-Aufgabe (vgl. S. 40) aufgebaut und
vertieft, weshalb sich diese Vorstellungsübung als eine weiterführende Fragestellung
besonders eignet.
Über weiterführende Fragen besteht zudem die Möglichkeit, den Inhalt dieser Vorstellungs-
übung auf höhere Jahrgangsstufen auszudehnen. Bspw. kann mit der Frage: „Gibt es eigent-
lich einen Körper, der – wird er auf drei senkrecht zueinander stehende Flächen normalproji -
ziert – kreisförmige Umrisse hat und trotzdem keine Kugel ist?“ (Weber 2010, S. 152) der In-
halt der Übung weiter vertieft oder die Angabe einer Volumenformel über einen explorativen
oder experimentellen Zugang, etwa über das Vergleichen der Volumina ähnlicher Körper
oder das Bauen mit geeigneter Knetmasse, in einem Klassengespräch ermittelt werden.
Wie bereits oben angedeutet, haben mathematische Vorstellungsübungen als charakteristi-
sches Merkmal, im Gegensatz zu kopfgeometrischen Aufgaben, stets eine mathematische
Kernidee bzw. eine fachliche Pointe, die an bereits vorhandenes mathematisches Wissen an-
knüpft. Diese besteht hier darin, bspw. aufbauend auf einer 3-Tafelbilder-Aufgabe, einen Kör-
per zu finden, der verschiedene Schattenbilder in drei Raumrichtungen wirft.
Obwohl sie eine mathematische Vorstellungsübung ist, kann ein Vergleich mit den verschie-
denen methodischen Variationen der Kopfgeometrie angestrebt werden. Die Aufgabenstel-
lung wird in der Regel von der Lehrkraft mündlich vorgetragen und nach einer Phase des
mentalen Operierens gelangt der Schüler zu einem Ergebnis. Dieses kann er ebenfalls wieder
verbal mitteilen oder anhand einer Zeichnung präsentieren. In einer Kontrollphase bzw. in ei-
ner „Phase der Besprechung und der Reflexion“ (Luxusvariante; Weber 2010, S. 32) können
die Ergebnisse überprüft – etwa mithilfe einer Lampe, die auf ein aus Knetmasse gebildetes
45
Praktische Umsetzung in der Schule
Objekt leuchtet und an die dahinterliegende Wand im Klassensaal einen Schatten wirft – und
diskutiert bzw. individuelle Vorstellungen ausgetauscht und weiterentwickelt werden. Auch
die Behandlung der Abschlussfrage zum individuellen Vorstellungsaufbau, welche die Selbst-
reflexion anregt und zu einem großen Mitteilungsbedürfnis und Neugier führt (ebd., S. 22),
kann in dieser Phase erfolgen.
3.4 Stufe 3 – Gymnasiale Oberstufe
Betrachtet man historische und aktuelle Literatur zum Thema Kopfgeometrie, findet man
eine Vielzahl an kopfgeometrischer Übungen sowohl für die Primar-, als auch für die Orien-
tierungsstufe. Diese Aufgaben lassen sich mit einigen Änderungen auch sehr gut in weiter-
führenden Jahrgängen einsetzen. Je höher allerdings die Jahrgänge, desto schwieriger wird
es, geeignetes Material für die Schüler zu finden, welches sich optimal und zielbringend im
Unterricht einsetzen lässt. Nur wenige Autoren (Fahse 2015; Berendonk 2014; Maier 1996)
bieten Übungen an, die sich bis in die Oberstufe übertragen lassen. Sicherlich besteht die
Möglichkeit, einige kopfgeometrische Aufgaben aus der Sekundarstufe I durch Differenzie-
rung, Erweiterung der Fragestellung, welche komplexere Vorstellungsbilder produzieren –
bspw. das Zusammensetzen von Polyedernetzen wie das eines Ikosaedersterns – oder durch
weiterführende mathematische Fragestellungen auf das Niveau der Sekundarstufe II auszu-
dehnen. Die Anzahl solcher kopfgeometrischen Aufgaben wird allerdings keinesfalls hoch
ausfallen.
Weber (2011b; 2011a; 2010; 2007) reagiert auf diesen Umstand und propagiert dabei die
mathematischen Vorstellungsübungen. In diesem Zusammenhang stellt er eine Vielzahl an
verschiedenen Übungen vor, die sich unter anderem auch für die Jahrgangsstufen der
Sekundarstufe II eignen und, wie oben zuvor beschrieben, viele Gemeinsamkeiten mit der
Kopfgeometrie haben.
Weber unterscheidet vier verschiedenen Typen8 von Vorstellungsübungen – Aufbau, Pro-
blemlösen, Begründung und Paradoxon. Aufgabe 23 (vgl. S. 41) ist eine sehr offen gestellte
Übung, deren Fragestellung keine konkrete Strategie zur Lösung suggeriert und deshalb dem
8 Eine ausführliche Erläuterung der vier verschiedenen Vorstellungstypen und ihrem Zusammenhang mit heuristischen Prozessen lässt sich in Weber (2007, S. 60f. und 2010, S. 22f.) nachlesen.
46
Praktische Umsetzung in der Schule
Schüler die Möglichkeit bietet, eigene Ideen oder Vermutungen zu äußern. Sie spricht das
Experimentieren und Vermuten (Weber 2010, S. 61) an und ist daher dem Typ Problemlösen
zuzuordnen. Im folgenden Abschnitt sollen daher die übrigen drei Typen anhand einer Aufga-
be exemplarisch, als Pendant zur Kopfgeometrie, dargestellt und – wie bereits in vorangegan-
genen Abschnitten – kommentiert werden.
Aufgabe 24:
B) Typ Aufbau – Konstruktion eines Tesseraktes [S. 66]
Im Gegensatz zum Problemlösen wird in dieser Aufgabe eine detaillierte Anleitung zur
mentalen Konstruktion eines Objektes oder eine Situation gegeben, also eine Art
Konstruktionsbeschreibung. Die Eigenschaft einer Konstruktionsbeschreibung ist das
charakteristische Merkmal einer solchen Aufgabe, die dem Typ Aufbau entspricht. Das
Objekt wird schließlich für das Beantworten der Frage herangezogen und hinsichtlich seiner
Eigenschaften untersucht und erkundet.
Grundlage dieser Übung ist der Subfaktor der Veranschaulichung, hier vor allem die
Fähigkeit, sich Verschiebungen von räumlichen Objekten bzw. Objektteilen vorstellen zu
können. Dabei bildet ein Punkt in der nullten Dimension die Ausgangslage, welcher Schritt für
Schritt in eine bis dahin noch nicht benutzte Dimension verschoben wird. Über den Punkt
wird mittels einer Leuchtspur eine Strecke (zweite Dimension), ein Würfel (dritte Dimension)
und schließlich ein Hyperwürfel – auch Tesserakt (vierte Dimension9) genannt – erzeugt.
Neben der Verschiebung werden für das Bearbeiten dieser Aufgabe weitere Fähigkeiten be-
nötigt. So ist bspw. eine mentale Rotation der anfangs zwei- und später drei- und vierdimen-
sionalen Objekte, oder eine räumliche Variation des Standpunktes für ein optimales Verfol-
gen der Lichtspur ebenso wichtig.
Der Mensch ist von Natur aus an ein – maximal – dreidimensionales Bild gewöhnt. Das Vor-
dringen in höhere Dimensionen bzw. die mentale Projektion vierdimensionaler Objekte ge-
schieht daher bei dieser Übung nur auf explorativer Weise. Aufgrund des Aufbaus dieser
Übung wird dem Schüler eine Annäherung an den entstehenden Polychor (auch 4-dimensio-
nales Polytop genannt) ermöglicht.
9 Anmerkung des Verfassers: Diese Dimension wird, auf der Grundlage von Einsteins Relativitätstheorie, auch als Raumzeit bezeichnet.
47
Praktische Umsetzung in der Schule
Gegen Ende dieser mathematischen Vorstellungsübung wird nach den Ecken der einzelnen
Körper gefragt. Den Schülern sind die verschiedenen Objektteile, wie Ecken, Kanten und
Flächen, der entstehenden Objekte bis zum Würfel in dieser Jahrgangsstufe bekannt. Auch
wenn eine vierdimensionale Projektion nur wenigen Schülern gelingt, so könnte an dieser
Stelle, bspw. in einem Klassengespräch, einerseits die zentrale Frage sein, welche
Vorstellungen während der Übung entstanden. Aufgrund der bis dahin ungewohnten und
unbekannten Dimension entstehen viele unterschiedliche Bilder, welche die Neugier anderer
Schüler wecken und so zu einem großen Mitteilungsbedürfnis seitens der Schüler führen.
Andererseits kann eine Diskussion zur Lösung der Fragestellung, durch welche Objektteile
der Tesserakt begrenzt ist und wie viele davon jeweils vorhanden sind, beitragen. Dabei
können Analogien zu den vorangegangenen Objekten hergestellt, aber auch, auf Grundlage
dieser Aufgabe, andere Polychore, wie etwa das Pentachoron, hinsichtlich ihrer
Gemeinsamkeiten untersucht werden.
Denkbar wären auch weiterführende Fragen, wobei der Eulersche Polyedersatz wieder
aufgegriffen und eine Verallgemeinerung dieses Polychor im Mittelpunkt stehen könnte.
Weber empfiehlt diese sehr anspruchsvolle Aufgabe frühestens ab der Jahrgangsstufe 11 mit
den Schülern zu bearbeiten. Dafür sprechen vor allem drei Gründe. Erstens entspricht die
gesamte Übung dem Schema der reinen Kopfgeometrie, es werden also in keiner der Phasen
unterstützende Hilfsmittel herangezogen. Zweitens ist eine Vielzahl an räumlich-mentalen
Fähigkeiten von Nöten, die in ihrem Umfang deutlich ausgeprägt sein sollten, um bei dieser
verbal gestellten Aufgabe nicht den Anschluss während der Aufgabenstellung zu verlieren
bzw. in der Phase des mentalen Operierens mit diesem entstandenen Objekt zu arbeiten. Der
dritte und gleichzeitig auch der entscheidendste Punkt ist, dass in dieser Aufgabe die vierte
Dimension behandelt wird. Diese ist, wie bereits oben beschrieben, weder im Alltag der
Schüler präsent, noch wird sie im Lehrplan der Sekundarstufe II10 aufgegriffen.
Dennoch eignet sich diese Übung für ein Training des räumlichen Vorstellungsvermögens, da
hier fast alle Subfaktoren angesprochen und individuelle Vorstellungen aufgegriffen und
vertieft werden.
10 Ministerium für Bildung, Wissenschaft und Weiterbildung Rheinland-Pfalz. (1998). Lehrplan Mathematik. Grund- und Leistungsfach. Jahrgangsstufen 11 bis 13 der gymnasialen Oberstufe (Mainzer Studienstufe). Mainz.
48
Praktische Umsetzung in der Schule
Die Kernidee, einen vierdimensionalen Hyperwürfel durch geeignete Verschiebung eines
dreidimensionalen Würfels zu erzeugen, beschreibt zudem den prozessualen Charakter von
Mathematik (Weber 2010, S. 23) und ermöglicht den Schülern, explorativ neue
mathematische Inhalte kennen zu lernen.
Aufgabe 25:
C) Typ Begründung – Ein Dreieck mit drei rechten Winkeln [S. 67]
Diese Aufgabe wurde auch im Laufe der Auseinandersetzung mit verschiedenen Vorstellungs-
übungen bei einigen Personen im privaten Umkreis erprobt. Dabei ging die Behauptung vor-
aus, dass ein Dreieck eine Innenwinkelsumme von mehr als 180°, im Spezialfall sogar drei
rechte Winkel, haben könne. Allen Testpersonen war aus der Schulzeit das Gegenteil wohl be-
kannt. Im Laufe der Vorstellungsübung, beim Begehen der Erdoberfläche und der Erläute-
rung kam es aber schließlich aufgrund des widersprüchlichen Ergebnisses zu bereits beste-
hendem Wissen zu einem Aha-Effekt und der Behauptung wurde die Glaubwürdigkeit zuge-
sprochen. Grundgedanke dieses Aufgabentyps ist also das Ermöglichen eines plausiblen
Schließens (Weber 2010, S. 61), wodurch dem Zuhörer bzw. dem Schüler klar wird, dass die
Behauptung Sinn macht (ebd.).
Auch beim Begehen der mental projizierten kleinen Erde werden wieder verschiedene
Teilkomponenten des räumlichen Vorstellungsvermögens angesprochen und gefordert. Zu
Beginn der Aufgabenstellung soll eine kleinere Erde erstellt werden, die sich mittels mentaler
Rotation in ihrer Lage variiert lässt. Hinzu kommt vor allem die Fähigkeit der räumlichen
Orientierung (vgl. hierzu auch die Orientierungsübungen, S. 21f.). Dabei muss die eigene
Person auf dem kleinen Planeten im Kopf bewegt werden, wobei die Perspektive, der
Standort der Person und das vorgestellte Bild sich ständig verändern.
Nach der verbal gestellten Aufgabe und der Phase des Operierens im Kopf können in einem
Klassengespräch die verschiedenen Vorstellungen angesprochen werden. Hierbei können
verschiedene Aspekte, welche bereits in der Aufgabenstellung zentral waren, wieder
aufgegriffen werden. Fragen nach der Größe des abgeschrittenen Winkels am Äquator oder
dem Aussehen des entstehenden Objektes bzw. der entstehenden Bilder während der Übung
können dabei Grundlage für weitere Überlegungen sein oder zu einer Diskussion führen, in
49
Praktische Umsetzung in der Schule
welcher die Schüler ihre verschiedene Vorstellungen aufgrund der Neugier gegenüber
anderen mitteilen möchten. Auch diese Phase kann auf einer verbalen Ebene stattfinden,
wodurch diese Übung dem klassischen Charakter der reinen Kopfgeometrie entspräche.
Mithilfe eines Globusʼ oder eines Apfels (Weber 2010, S. 200) als unterstützende Hilfsmittel
können die unterschiedlichen Vorstellungen zur Innenwinkelsumme – abhängig von der
abgeschrittenen Strecke am Äquator – dargestellt und begründet werden.
Diese mathematische Vorstellungsübung, die zum einen die räumliche Orientierung schult,
zum anderen aber auch einen neuen mathematischen Sachverhalt vorstellt und gleichzeitig
eine plausible Begründung dafür liefert, ordnet Weber in die Jahrgangsstufe 11 bis 12 ein.
Neben der oben genannten Fähigkeit der räumlichen Orientierung sind also weitere
Vorkenntnisse wichtig. Die Schüler sollten zuvor Erfahrungen mit kopfgeometrischen
Aufgaben oder Vorstellungsübungen zur räumlichen Orientierung – vor allem zu runden,
kugel-ähnlichen Objekten – gesammelt haben. Auch das Wissen über die Innenwinkelsumme
ebener Dreiecke – durch eine entsprechende Vorstellungsübung, bspw. über das Begehen
eines Ebenen Dreiecks (Weber 2007, S. 28), realisierbar – ist hier entscheidend, da genau
dieses mithilfe der Übung erweitert und zugleich plausibel gemacht werden soll. Dies kann
ebenfalls über werden.
Aufgabe 26:
D) Typ Paradoxon – Die Endlichkeit des Universums [S. 68f.]
Bei dieser Vorstellungsübung werden bekannte Erfahrungen aufgegriffen, infrage gestellt,
hinterfragt und gehen schließlich gegen den gesunden Verstand bzw. gegen ein bereits über
einen längeren Zeitraum aufgebautes Verständnis von Dingen oder Sachverhalten, wodurch
in der Regel ein Widerspruch, ein Paradoxon, erzeugt wird. Während Aufbau-Übungen eine
Konstruktionsbeschreibung eines Sachverhalts liefern oder Begründungs-Übungen ein plausi-
bles Schließens forcieren, liegt bei einer Paradoxon-Übung der Fokus darauf, einen „kogniti-
ven Konflikt [zu] verursachen, um über Alltagserfahrungen und mathematische Schulkennt-
nisse hinauszugehen, um Fragen zu stellen oder erkenntnistheoretische Diskussionen anzu-
stoßen“ (Weber 2010, S. 61).
50
Praktische Umsetzung in der Schule
Analog zur Konstruktion eines Tesseraktes wird hier Schritt für Schritt, explorativ von
Dimension zu Dimension, ein Gebilde erstellt, mit welchem Operationen auf mentaler Ebene
vorgenommen werden. Zentral sind dabei vor allem Fähigkeiten der mentalen Rotation –
Drehen und Bewegen des Objektes – und der räumlichen Orientierung – Variation des
Standortes bzw. der Perspektive.
Während bei vorangegangenen Vorstellungsübungen eine Hinzunahme von Hilfsmitteln zur
Veranschaulichung oder zur Begründung in der Präsentationsphase bzw. in der Phase der Be-
sprechung und der Reflexion möglich war, ist eine solche Unterstützung bei dieser Aufgabe
nur schwer möglich. Der vergleichsweise lange Aufgabentext wird in der ersten Phase wieder
verbal vorgetragen, wobei auf kleinere Pausen zwischen den jeweiligen Dimensionsabschnit-
ten geachtet werden muss. Vor allem in diesen Pausen und der anschließenden zweiten Pha-
se findet das mentale Operieren im Kopf statt, wobei der Schüler eigenständig seine vorge-
stellte Welt erkundet und gleichzeitig hinterfragt. Die Fragen am Ende jedes Abschnittes kön-
nen entweder zu diesem Zeitpunkt kurz gestellt und von den Schülern beantwortet oder am
Ende der Vorstellungsübung im Plenum erneut aufgenommen und besprochen werden.
Diese Aufgabe, die Weber (2010, S. 220ff.) als eine sehr anspruchsvolle Übung der Jahrgangs-
stufen 10 bis 12 klassifiziert, wird viele Schüler an ihre Grenzen des räumlichen Vorstellungs-
vermögens stoßen lassen, da sie einen Aspekt anspricht und hinterfragt, welcher aus der
Schulzeit vielen selbstverständlich erscheint. Diese Unendlichkeit des Universums erscheint
sicher trivial, wenn man bedenkt, dass sich der Mensch im Alltag lediglich in zwei, manchmal
auch in drei Raumdimensionen fortbewegt. Aufgrund dieser Erfahrungen des Alltagsmen-
schen, vor allem der Schüler, ist es nicht verwunderlich, dass auf ein unendliches und nicht
offenes Universum geschlossen wird. Desto mehr sollte beim Bearbeiten dieser Aufgabe im
Unterricht auf die Erfahrungen der Schüler in dieser Hinsicht Rücksicht genommen werden.
Kopfgeometrische Übungen oder auch Vorstellungsübungen zur Unendlichkeit, wie etwa die
Paradoxon-Übung Hilberts Hotel (Weber 2007, S. 28f.), können als Vorbereitung nützlich sein,
um die Schüler für ein Spielen mit der Unendlichkeit zu sensibilisieren.
51
Tipps & Hilfen für Lehrer
4. Tipps & Hilfen für Lehrer
Im vorangegangenen Kapitel wurde eine Vielzahl an kopfgeometrischer Aufgaben und
mathematischer Vorstellungsübungen für den Unterricht ab der Jahrgangsstufe 5 vorgestellt
und jeweils kommentiert. Möchte man solche Übungen zur Förderung des räumlichen
Vorstellungsvermögens in den Unterricht integrieren, muss zuvor auf verschiedene Dinge
geachtet werden. Dieses Kapitel soll Hilfen vorstellen, die einen Einsatz dieser Übungen im
Unterricht erleichtern, um zugleich den Lern- bzw. Trainingserfolg zu steigern.
• „Die Operation ist nichts anderes als ein Handeln; es ist ein wirkliches Handeln, das
sich innerlich vollzieht und 'reversibel' geworden ist“ (Piaget 1967, S. 72). Bevor also
auf einer Ebene ohne unterstützende Hilfsmittel, als reine Kopfgeometrie, operiert
wird, muss nach Piaget der Schüler zuvor mit wirklichem, realen Materialien hantiert
haben. Diese verinnerlichten, koordinierten und reversibel gewordenen Operationen
bilden schließlich die Grundlage für ein Operieren im Kopf (vgl. hierzu auch Maier
1996, S. 277 und Besuden 1984, S. 79).
• Auch auf äußere Gegebenheiten im Klassenraum ist zu achten. Die Tafel sollte wäh-
rend der Übung leer sein und auch auf den Bänken darf nichts liegen (Kerst 1920, S.
219). Degner & Kühl (1984, S. 342) setzen zudem eine „allgemeine Aufmerksamkeit“
voraus.
• Werden zum ersten Mal kopfgeometrische Übungen im Unterricht behandelt, sollten
Aufgaben verwendet werden, die sich „gut visualisieren lassen“ (Streit & Pinkernell
2011, S. 7), um den Einstieg zu erleichtern.
• Um einer Überforderung seitens der Schüler entgegen zu wirken, empfiehlt es sich zu
Beginn, den Einsatz von Hilfsmitteln, etwa Abbildungen, Grafiken, Bilder und Zeich-
nungen oder auch die Möglichkeit, „vorstellend kinästhetisch“ (Maier 1996, S. 279) zu
arbeiten , zu erlauben. Ein Verzicht auf diese Hilfen sollte allerdings nach einer Einge-
wöhnungsphase möglichst zügig stattfinden, um die Übung komplett auf mentaler
Ebene durchführen zu können, was Senftleben (1992, S. 260) wie folgt beschreibt:
„Ein vorsichtiger, systematisch gesteigerter, zeitweiser Entzug dieses Mittels führt
zweifellos zur Entwicklung eines zunehmend besseren Raumvorstellungsvermögens.“
52
Tipps & Hilfen für Lehrer
Dagegen sind Hilfsmittel aber auch zur Differenzierung einsetzbar, wobei das Ergebnis
zuerst erläutert werden soll und anschließend Hilfsmittel zur Überprüfung herangezo-
gen dienen können (Streit & Pinkernell 2011, S. 8).
• Streit & Pinkernell (2011, S. 8), Brandl (2010), Maier (1999a, S. 296), Senftleben
(1996, S. 71) und auch Kerst (1920, S. 217) empfehlen eine regelmäßige Durchführung
kopfgeometrischer Übungen, bspw. zu Beginn der Stunde (maximal 15 Minuten).
Wichtig ist hierbei, dass das Schwierigkeitsniveau von Übung zu Übung behutsam
gesteigert wird, um möglichst viele Schüler mitnehmen zu können.
• Sind die Schüler erst einmal an diesen neuen Aufgabentyp gewohnt, kann das
„Schließen der Augen während der gedanklichen Auseinandersetzung mit der
Aufgabe“ (Streit & Pinkernell 2011, S. 8; vgl. auch Maier 1996, S. 279) eingeführt
werden, um die Konzentration zu erleichtern, wodurch der Fokus auf dem mentalen
Operieren liegt. Denkbar wäre hier auch eine Abdunklung des Raumes, was sowohl
Kerst (1920) als auch Treutlein (1911) schon vorschlugen.
• Wie bereits in Aufgabe 26 (vgl. S. 55f.) angesprochen, können Zwischenergebnisse in
kleineren Pausen diskutiert und überprüft werden. Diese Hilfe, aber auch Haltepunk-
te […], Redundanzen (Streit & Weber 2011, S. 10) und auch das Erlauben von Zwi-
schenfragen (Brandl 2010) kann leistungsschwächere Schüler unterstützen, damit sie
nicht den Anschluss verlieren bzw. der Kontakt zu ihnen nicht abreißt (Kerst 1920, S.
219).
• Damit das Gesagte bei den Schülern auch richtig ankommt, empfehlen Streit & Weber
(2011, S. 10), auf eine „Einfachheit und zugleich Anschaulichkeit der Sprache“ zu ach-
ten. Handlungsanweisungen, ein direktes Ansprechen (Du-Form), Verbformen im Prä-
sens und Indikativ und bildhafte Begriffe und Vergleiche sind dabei grundlegend. Des
Weiteren sollte die mündlich gestellte Aufgabe stets „zeitlich und kausal logisch kor-
rekt“ (ebd.; vgl. auch Brandl 2010), „leicht verständlich […], nicht zu komplex“ (Maier
1996, S. 280) und „motivierend“ (Maier 1999b, S. 14) sein. Der Lehrer sollte dabei auf
Gestik möglichst verzichten und überflüssige Wörter vermeiden (Kerst 1920, S. 219).
• Auch ein Verzicht auf feste Zeitvorgaben kann von Vorteil sein, um die Schüler nicht
unter Druck zu setzen (Streit & Pinkernell 2011, S. 8; Brandl 2010).
53
Tipps & Hilfen für Lehrer
• Roth (2011, S. 31) betont, dass „eine intensive Auseinandersetzung, aber keine
Vollständigkeit der Lösung gefordert ist“. Es sollte dabei mehr Wert auf das Operieren
im Kopf, statt auf das Ergebnis gelegt werden. Kerst (1920, S. 223) zeigt zudem auf,
dass von einer „Zensierung der Leistungen […] abzusehen“ ist, wodurch die Schüler
sich freier und experimenteller mit der Übung auseinandersetzen und die eigentliche
Intention stärker in den Vordergrund rückt. Maier (1996, S. 279) fordert zudem, die
„Wahl und auch die Abwahl“ argumentativ begründen zu lassen, da auf diese Weise
die Schüler sich noch intensiver mit der Sprache und der verbalen Darstellung des
kopfgeometrischen Denkvorgangs auseinander setzen und diesen reflektieren
müssen.
• In der Phase der Präsentation oder in der Kontrollphase sollten den Schülern Kontroll-
möglichkeiten zur Verfügung stehen (Brandl 2010; Maier 1999a, S. 296f.). Ist es dem
Schüler auch nicht nach intensiven kopfgeometrischen Bemühungen möglich, eine
Lösung zu finden, sollte es ihm gestattet sein, mithilfe eines Stiftes die Lösung auf
dem Papier zu finden (Gimpel 1992, S. 259f.). Bevor allerdings ein Arbeiten mit „kon-
kretem Material oder das Anfertigen von Hilfszeichnungen“ (Maier 1996, S. 278) zu-
gelassen wird, sollten Lösungshilfen oder Lösungsvorschläge als Kontrollinformation
angeboten werden, von denen nur eine Lösung richtig ist (vgl. hierzu auch Roth &
Wittmann, S. 154). Daneben sind auch Kontrollfragen des Lehrers denkbar, welche die
„Vorstellungen festigen oder ggf. korrigieren“ (ebd., S. 279) können.
54
Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
5. Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
In dieser Arbeit wird an vielen Stellen der Nutzen kopfgeometrischer Aufgaben für eine
Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens aufgezeigt. Daneben lassen sich noch eine
Reihe weiterer Vorteile, welche sich positiv und nachhaltig auf die Schüler auswirken
könnten, finden. Jedoch ist bisher nicht die Frage geklärt, ob Kopfgeometrie überhaupt mit
den Schüler betrieben werden darf bzw. ob es dafür eine curriculare Grundlage gibt.
Abschließend sollen in diesem Kapitel deshalb zwei Fragen im Fokus stehen:
(1) Welche weiteren Vorteile (aber auch Gefahren) können kopfgeometrische Aufgaben
in der Schule mit sich bringen?
(2) Darf ich Kopfgeometrie in der Schule betreiben?
5.1 Vorteile und Gefahren der Kopfgeometrie
Sowohl die Vorzüge als auch die Gefahren, welche durch ein Verwenden der Kopfgeometrie
bzw. von Vorstellungsübungen in der Schule auftreten können, sollen in diesem Abschnitt
kurz dargestellt werden. Auf eine ausführliche Erläuterung wurde aus platztechnischen
Gründen verzichtet.11
5.1.1 Vorteile und Ziele
• Der Schüler hat „das Gefühl selbstständiger Betätigung“ (Kerst 1920, S. 223). Er
„fühlt, dass etwas Ansehliches von ihm verlangt wird und er fühlt auch, dass er es
leisten kann“ (ebd.).
• Mathematische Anschlussfragen ermöglichen eine „vertiefte Auseinandersetzung mit
geometrischen Fragestellungen“ (Hammer 2011, S. 25).
• Kopfgeometrische Aufgaben dienen dem „Aufbau und Anwenden von Grundvorstel-
lungen zu geometrischen Begriffen und Sachverhalten“ (Roth 2011, S. 28).
• Kopfgeometrische Aufgaben ermöglichen ein „differenziertes Arbeiten“ (Senftleben
1996, S. 71) und erlauben „individuelle Diagnosen des Leistungsstandes“ (Roth 2011,
S. 29).
11 Zum Nachschlagen und Weiterlesen sei auf die jeweils angegebene Literatur verwiesen.
55
Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
• Kopfgeometrie stellt ein neues, unbekanntes methodisches Vorgehen dar, welches
dem Schülern sicher nicht all zu vertraut ist. Sowohl der Inhalt als auch die Thematik
an sich können durch „aktiv-entdeckendes Lernen“ (Senftleben 1996, S. 71) „motivie-
rend“ (Maier 1999b, S. 14) sein, die „Kreativität fördern“ (Brandl 2010) und „Spaß an
der Mathematik mit sich bringen“ (ebd.) bzw. „Freude am Umgang mit der Geometrie
wecken und erhalten“ (Degner & Kühl 1984, S. 346).
• Verinnerlichte Vorstellungen oder „adäquate mentale Modelle“ (Roth & Wittmann
2014, S. 147) werden unterstützend zum Problemlösen eingesetzt, wobei auf sie
zurückgegriffen und an ihnen gedankliche Veränderungen vorgenommen werden
(Hammer 2011, S. 27; Streit & Pinkernell 2011, S. 5; Weber 2010, S. 21 und auch
Gimpel 1992, S. 263).
• Grave & Müller (2011, S. 40) heben hervor, dass solche Übungen dem Schüler als
„Gelegenheit zur Wiederholung und zur Selbstdiagnose“ dienen können.
• Der bisherige Stand, das „kalkülorientierte Arbeiten“ (Hammer 2011, S. 27), über-
wiegt durch ein Einsetzen solcher Aufgaben, in der Folge durch ein „anschauliches,
kopfgeometrisches Verstehen“ (Kerst 1920, S. 218), weniger stark.
• Roth (2011, S. 29; 2005, S. 14 und S. 85ff.) nennt als weiteren Vorteil das Training und
die Förderung des Beweglichen Denkens, das nach ihm drei Aspekte enthält: In eine
Konfiguration Bewegung hineinsehen und damit argumentieren, die Gesamtkonfigu-
ration erfassen und analysieren und das Änderungsverhalten erfassen und beschrei-
ben (vgl. hierzu auch Brandl 2010).
• Durch einen regelmäßigen Einsatz „gewinnt der Schüler an Sicherheit im Erfassen und
im Gebrauch der Fachsprache“ (Roth 2011, S. 28; Senftleben 1992, S. 260) und im
„Anwenden bisher erlernten Wissens“ (Hammer 2011, S. 27).
• Des Weiteren zählt Maier (1999a, S. 299; vgl. hierzu auch Degner & Kühl 1984, S. 343)
weitere allgemeine Lernziele auf, die die Kopfgeometrie in einem hohen Maße an-
sprechen: „Anleitung zur sorgfältigen Informationsaufnahme und Informationsverar-
beitung, Aufbau einer gesteigerten Lernmotivation [...], Training des Intelligenzfaktors
Merkfähigkeit [...], Training der Konzentrationsfähigkeit und die Förderung der Kreati-
vität“.
56
Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
• Auch zwei der allgemeinen Ziele des Geometrieunterrichts – mithilfe der Geometrie
die (Um-)Welt erschließen und mit Geometrie Problemlösen lernen (Roth &Wittmann
2014, S. 17) – lassen sich in kopfgeometrischen Übungen verwirklichen.
Maier (1999a, S. 123ff.) zeigt zudem auf, in welchen Bereichen räumliches Vorstellungsver-
mögen ebenso unabdingbar ist. Neben einer fächerübergreifenden Relevanz – im Geogra-
phieunterricht, im Chemie- und Physikunterricht, im Werk- und Technikunterricht, in der Bil-
denden Kunst, in Biologie, im Sport- und sogar im Deutschunterricht ist es von Bedeutung –
zeigt Maier (ebd., S. 128ff.) den besonderen Stellenwert der Raumvorstellung in anderen Be-
reichen der Mathematik, bspw. in der Arithmetik und in der Algebra, auf. Auch andere Mög-
lichkeiten des räumlichen Vorstellungsvermögens stellt Maier (1999b, S. 6) deutlich klar,
wenn er deren Ausbildung als eine Möglichkeit sieht, Dyskalkulie zu therapieren. Daneben
betont er, dass zwischen der Raumvorstellung und der Legasthenie ein hoher Zusammen-
hang besteht. Nicht nur im schulischen Bereich ist das räumliche Vorstellungsvermögen be-
deutsam, auch im beruflichen Bereich – bspw. in der Medizin, beim Technischen Zeichnen, in
der Wissenschaft, bei handwerklichen Berufen (Mechaniker, Fliesenleger, Schreiner, …), im
Städtebau, in der Technik und anderen händischen Tätigkeiten – ist dieser Faktor unabding-
bar. Abschließend erwähnt Maier (1999a, S. 147ff.) noch den privaten Bereich und den Stra-
ßenverkehr, in denen ebenso ein räumliches Vorstellungsvermögen nicht wegzudenken ist.
5.1.2 Gefahren
Werden solche Aufgaben allerdings über einen längeren Zeitraum betrieben, wobei einzig
und allein der Fokus nur auf einem Training des Vorstellungsvermögens bzw. ihr „Gewinn pri-
mär in der 'Steigerung der räumlichen Intelligenz'“ (Weber 2011a, S. 2) liegt, gleichen sich
solche kopfgeometrische Aufgaben schnell „an Intelligenzaufgaben an mit dem Ergebnis,
dass mathematische Themen und deren Verständnis zu kurz kommen“ (Weber 2011a, S. 2f.).
Es kommt – wie beim Kopfrechnen – zum Einschleifen von Algorithmen. Dadurch wächst die
Gefahr, dass das eigentliche Ziel schnell aus den Augen verloren wird und kopfgeometrische
Aufgaben „erinnern dann eher an Vorstellungstraining oder Gehirnjogging“ (Weber 2011b,
S. 32; Hervorhebung durch den Verfasser dieser Arbeit 2015).
57
Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
Vogler (1967, S. 3) spricht einen weiteren wichtigen Aspekt an. Kopfgeometrische Aufgaben
dienen keinesfalls dem Klären „geometrischer Sachverhalte“, sondern sollen „als Wiederho-
lung und immanente Übung bekannte Sachverhalte festigen und vertiefen helfen“. Kopfgeo-
metrie ist also nicht dafür geeignet, in ein neues, den Schülern unbekanntes, Thema einzu-
steigen.
Kopfgeometrische Aufgaben benötigen Zeit, in der Regel sollten dafür 10 bis 15 Minuten in
der Unterrichtsstunde eingeplant werden. Aus der Praxis ist allerdings bekannt, dass oftmals
allein die Zeit für die im Lehrplan vorgegebenen Inhalte nur bedingt ausreicht. Lietzmann
(1924) zeigt auf, dass hierbei besondere Vorsicht geboten ist, „wenn nicht soviel Zeit zur
Verfügung steht“ (zit. nach Degner & Kühl 1984, S. 342).
5.2 Darf ich Kopfgeometrie in der Schule betreiben?
Weder im Lehrplan der Sekundarstufe I (2007) noch im Lehrplan der Sekundarstufe II (1998)
für Rheinland-Pfalz wird die Kopfgeometrie bzw. kopfgeometrische Aufgaben an irgendeiner
Stelle explizit erwähnt, obwohl die Entwicklung und Förderung eines räumlichen Vorstel-
lungsvermögens als eines der Leitideen in den jeweiligen Abschnitten genannt wird.
Während für die Orientierungsstufe in L3: Raum und Form wenigstens von einer Weiterent-
wicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens durch Handeln mit geeigneten Materialien
(Lehrplan der Sekundarstufe I 2007, S. 30) gesprochen wird, sind in der 9. und 10. Jahrgangs -
stufe planimetrische, stereometrische und zeichnerische Aktivitäten oder das Üben im Um-
gang mit einer Formelsammlung zentral (ebd., S. 89). Lediglich durch die Herstellung ver-
schiedener Körper und einen Wechsel der Darstellungen soll das räumliche Vorstellungsver-
mögen geschult werden (ebd.). Auch für die gymnasiale Oberstufe ist eine Entwicklung der
Raumvorstellung nur im Abschnitt Wahlpflichtgebiet 1: Geraden und Ebenen im Raum
(Grundfach) (Lehrplan der Sekundarstufe II 1998, S. 31ff.) bzw. im Abschnitt Wahlpflichtge-
biet 1: Vektorielle analytische Geometrie (Leistungsfach) (ebd., S. 57ff.) dargestellt – in ande-
ren Wahlpflichtgebieten hingegen gar nicht. Das Zeichnen von Geraden und Ebenen im Raum
soll bei den Schülern zur Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens
beitragen, kopfgeometrische Aufgaben oder Vorstellungsübungen bleiben unerwähnt. Im An-
hang (S. 81) lässt sich jedoch, in Verbindung mit der Bildenden Kunst, immerhin eine fächer-
58
Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
übergreifende Möglichkeit finden, welche die Raumwahrnehmung und die Raumdarstellung
explizit nennt und in Bezug zu räumlichen Perspektiven setzt.
Es stehen also sowohl in der Sekundarstufe I als auch in der Sekundarstufe II überwiegend
zeichnerische Aktivitäten, bei denen die Raumvorstellung nur in geringem Maße beansprucht
wird, im Vordergrund (vgl. hierzu auch Maier 1996, S. 276f.). Und auch bei planimetrischen
bzw. stereometrischen Berechnungen werden „räumlich-visuelle Anforderungen häufig in
hohem Maße vermieden“ (Maier 1999b, S. 8). Es wird schnell erkennbar, dass die Lehrpläne
„nicht oder nur eingeschränkt dazu geeignet sind, das räumliche Vorstellungsvermögen ziel-
gerichtet zu schulen“ (ebd.).
Obwohl keine curriculare Grundlage für den Einsatz von Kopfgeometrie in der Schule zu fin-
den ist, zeigen die Vorzüge und Vorteile im vorangegangenen Abschnitt, der immer größer
gewordene Fundus an kopfgeometrischen Aufgaben – auch die Erweiterung auf die Sekun-
darstufe II durch Webers Vorstellungsübungen – und die Möglichkeit der Verwirklichung all-
gemeiner mathematischer Lernziele, dass „jeder Lehrer, der das räumliche Vorstellungsver-
mögen seiner Schüler nachhaltig entwickeln will, kopfgeometrische Übungen in seinen Un-
terricht einbeziehen muss“ (Maier 1996, S. 277; Hervorhebung durch den Verfasser dieser
Arbeit 2015). Maier (1999b, S. 4) betont zudem weiter: „Es ist stark zu vermuten, dass eine
[…] räumliche Geometrie, deren Primärziel die effektive Aus- und Weiterbildung unserer
räumlichen Intelligenz ist, zu einer markanten Erweiterung schulisch ausgewogener Bildung
führen würde und somit für unser Bildungssystem von erstrangiger Bedeutung wäre.“ Auch
Graumann (1982) stellt die Wichtigkeit und Dringlichkeit der Kopfgeometrie in der Schule dar
und verweist dabei auf die bereits oben genannte Möglichkeit, die Gedächtnis- und Konzen-
trationsfähigkeit zu schulen.
59
Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
5.3 Trivia – Selbstheilungskräfte durch Mentaltraining
Unsere Gedanken haben einen direkten Einfluss darauf, wie unser Gehirn mit dem
übrigen Körper kommuniziert. (Lipton 2015, zit. nach o. V. 2015, S. 73)
Dean Ornish, ein amerikanischer Kardiologe, beschreibt in dem Artikel Wie das Gehirn den
Körper heilt (o. V. 2015, S. 73), wie das menschliche Gehirn durch Selbstheilungskräfte
Krankheiten oder andere Beschwerden reduzieren oder diese auch komplett beseitigen kann.
Dabei fordert er seine Patienten auf, „sich mittels Bildern in das Innere ihres Körpers
hineinzuversetzen“ (ebd.). Seine Ergebnisse zeigen, dass sich bspw. verstopfte Adern durch
diese Vorstellung wieder öffnen lassen. Auch weitere positive Effekte, wie die Produktion
neuer Herzzellen und folglich der Reparatur des Herzens, sind beachtenswerte
Möglichkeiten, welche sich durch Ornishs Mentaltraining ergeben können. Um ein solches
Mentaltraining durchführen zu können, sind, neben einem Wissen über das Aussehen der
inneren Organe des Menschen, eine Reihe von Fähigkeiten des räumlichen
Vorstellungsvermögens notwendig. Auch hier bieten sich sicherlich vorbereitende –
kopfgeometrische – Übungen an, um dieses zu trainieren. Ornishs Ergebnisse zeigen die
Wichtigkeit und vor allem auch den sinnvollen Nutzen eines gut ausgebildeten räumlichen
Vorstellungsvermögens auf. Wird dieses optimal trainiert und gefördert, besteht in Zukunft
womöglich die Chance, dass sich der Mensch mittels eigener Gedanken selbst heilen bzw.
Krankheiten und Beschwerden bis auf ein Minimum reduzieren kann. Auch wenn diese
Theorien zur Zeit noch sehr utopisch klingen mögen, so hätte eine solche Entwicklung
sicherlich weitreichende Auswirkungen für die Behandlung von Symptomen und Krankheiten
– vor allem aber auch im kardialen Bereich, da dieser besonders im Alter sehr anfällig ist.
Diesem Gedanke ist in dem Artikel nur ein kleiner Bereich gewidmet, trotzdem sollte diesem
Thema keineswegs weniger Beachtung geschenkt werden. Nach seinem Studium und der
anschließenden Promotion in Medizin war er als Assistenzarzt tätig. Schon während seines
Studiums beschäftigte Ornish sich mit der Forschung von Herzerkrankungen, welche er unter
anderem als Mitglied der medizinischen Fakultät der Universität in Kalifornien weiterhin
fortführt. Da er sich schon sehr früh mit der Erforschung von Herzerkrankungen beschäftigte
60
Legitimation der Kopfgeometrie für die Schule
und auch deshalb als nicht unbekannt auf diesem Gebiet gilt, sind seiner Theorien und
Forschungen sicherlich Beachtung zu schenken – vor allem im Hinblick auf die bereits oben
genannten Heilungsmöglichkeiten, die sich durch ein solches Mentaltraining ergeben.
Darüber hinaus trägt sein beachtenswerter Werdegang12 zweifellos zu einer Bekräftigung
dieser Theorien bei und lassen weitere und intensivere Forschungen auf diesem Gebiet
erahnen.
12 Dabei sei auf seine offizielle Homepage http://deanornish.com/about/ verwiesen. Zugriff am 30. September 2015. Dort lässt sich Weiteres über seinen beruflichen Werdegang, seine Forschungen, seine Arbeit als Autor und seine Tätigkeiten als Berater finden.
61
Resümee
6. Resümee
Neben dem sprachlichen Verständnis, der Wortflüssigkeit, der Rechengewandtheit, der Auf-
fassungsschnelligkeit, der Merkfähigkeit und dem logisch-schlussfolgerndem Denken ist das
räumliche Vorstellungsvermögen ein wichtiger Primärfaktor der menschlichen Intelligenz.
Dieses lässt sich kurz als die Fähigkeit des mentalen Operierens mit räumlichen Objekten be-
schreiben. Zudem spielt das aktive Umordnen von gespeicherten Vorstellungen und das Ent-
wickeln neuer Bilder aus bereits vorhandenen eine ebenso entscheidende Rolle. Das räumli-
che Vorstellungsvermögen setzt sich, mit Verweis auf aktuelle Literatur, wiederum aus fünf
autarken Teilkomponenten zusammen. Diese Teilfähigkeiten (räumliche Wahrnehmung, Ver-
anschaulichung, mentale Rotation, räumliche Beziehungen erkennen und räumliche Orientie-
rung) lassen sich mittels der Kopfgeometrie trainieren und fördern.
Während das Kopfrechnen im Mathematikunterricht für ein Automatisieren von Rechenalgo-
rithmen und somit als Fertigkeit für ein Abrufen eingeschliffener Handlungsabläufe angese-
hen wird, ist eine analoge Zuschreibung für die Kopfgeometrie unzutreffend. Diese legt mehr
Wert auf ein Verstehen als auf ein Beherrschen und im Gegensatz zu ihrem Verwandten wer-
den für das Lösen einer kopfgeometrischen Aufgabe bestimmte Fähigkeiten – das Vorstellen
geometrischer Gebilde, wobei diese in ihrer Lage, Größe und Form variiert, kombiniert und
dabei mit dem individuellen Wissen verknüpft werden – benötigt.
Beim Einsatz von Kopfgeometrie im Unterricht kann auf vier methodisch-unterschiedliche
Vorgehensweisen zurückgegriffen werden, die sich, je nachdem ob und wann unterstützende
Hilfsmittel zu Verwendung kommen, voneinander unterscheiden. Dabei findet die zweite
Phase (Phase der Aufgabenstellung = Phase 1; Präsentationsphase = Phase 3), die Phase des
mentalen Operierens, bei allen vier Möglichkeiten ausschließlich im Kopf statt. Um die Ergeb-
nisse im Plenum nach einer Übung zu sammeln, kann eine vierte Phase als Kontrollphase an-
geknüpft werden, in der weitere Fragen aufgeworfen und als Diskussionsgrundlage dienen
können.
In dieser Arbeit stelle ich eine Sammlung unterschiedlicher Übungen aus aktueller und histo-
rischer Literatur vor, wobei eine Zuordnung dieser anhand ihres Schwierigkeitsniveaus und
der zur Bearbeitung benötigten Fähigkeiten zu den Jahrgangsstufen der Sekundarstufen er-
62
Resümee
folgt. Während für die Sekundarstufe in vielen Werken ausreichend Beispiele, Aufgaben und
Anregungen vorhanden sind, nimmt die Anzahl an Vorschlägen beim Übergang auf das
Niveau der Sekundarstufe II deutlich ab. Um dem entgegen zu wirken, werden mathemati-
sche Vorstellungsübungen propagiert. Ähnlich der Kopfgeometrie ist es auch bei diesen Auf-
gaben das Ziel, weitestgehend ohne Gegenstände oder Hilfsmittel auf einer mentalen Ebene
zu einem Ergebnis zu gelangen. Jedoch wird hier unter anderem eine fachliche Pointe ange-
strebt, welche dem Schüler zu neuer Einsicht verhelfen soll, indem diese auf bereits vorhan-
denes – auch nicht-geometrisches – Wissen aufbauen. Durch Letzteres ist es möglich, kom-
plexere Aufgaben, dem Niveau der Sekundarstufe II angemessen, zu stellen, da neben der
Geometrie auch andere Bereiche aus der Mathematik aufgegriffen und mit eingebunden
werden können.
Nun bleibt die Frage, wie sich dieses Thema wohl in Zukunft entwickeln wird. Eine konkrete
Antwort auf diese Frage ist sicherlich schwer zu geben, jedoch können Vermutungen
angestellt werden, welche eine positive Richtung offenbaren.
Der Begriff der Kopfgeometrie wurde zu Beginn des 20. Jh. zum ersten Mal erwähnt. Seitdem
wurden Studien und Untersuchungen – auch in der Praxis – durchgeführt, die Kopfgeometrie
wurde definiert und gegen andere Verwandte aus der Mathematik abgegrenzt. Es wurden
methodische Wege dargestellt, Hilfsmittel für den Unterricht aufgezeigt und zahlreiche Auf-
gaben für fast alle Jahrgangsstufen entwickelt. Aus der Gefahr, dass kopfgeometrische Aufga-
ben einem Gehirnjogging gleichen könnten, gingen mathematische Vorstellungsübungen
hervor.
Auf der Grundlage dieser Entwicklungen der letzten Jahre, dem Drängen auf die Wichtigkeit
einer gut ausgebildeten räumlichen Vorstellungsfähigkeit für das alltägliche Leben und der
aktuellen Literatur zum Thema Kopfgeometrie in der Schule darf vermutet werden, dass die
Mathematikdidaktik an diesen Methoden – Kopfgeometrie und mathematische Vorstellungs-
übungen – festhalten und weiterhin einen stärkeren Einsatz in der Schule propagieren wird.
Beide Typen haben ihre Vorteile und stellen die wichtigsten Mittel für die Entwicklung, für
das Training und für die Förderung des räumlichen Vorstellungsvermögens der Schüler dar.
Sowohl die Vielfalt an Aufgaben als auch die Zahl praxiserprobter Untersuchungen wird si-
63
Resümee
cherlich in den nächsten Jahren weiter zunehmen. Denkbar wäre auch eine Erweiterung
kopfgeometrischer Übungen auf das Niveau der Sekundarstufe II, um auch hier einen Beitrag
leisten zu können.
Royar & Streit (2006) stellen außerdem eine Möglichkeit vor, Kopfgeometrie in einem
„größeren thematischen Zusammenhang einzubetten“ (ebd., S. 27). In ihrem Lernzirkel
können, „ausgehend von strukturierten Anweisungen, die affektive Herangehensweisen
zulassen, […] Einsichten und […] Wissen vertieft sowie (neue) Zusammenhänge mit Hilfe
eigener Tätigkeiten erschlossen und entdeckt“ (ebd., S. 31) werden. Auch diese Idee lässt sich
sicherlich in Zukunft weiterhin verfolgen.
Persönliches Fazit
Der Einsatz von Kopfgeometrie im Mathematikunterricht ist – bei richtiger Anwendung – mit
vielen Vorzügen verbunden. Kopfgeometrie gilt als eines der wichtigsten Mitteln, das räumli-
che Vorstellungsvermögen in der Schule zu entwickeln, zu trainieren und zu fördern. Dieses
hat nicht nur im Mathematikunterricht, sondern auch in anderen Fächern einen großen Stel-
lenwert. Darüber hinaus besitzen auch einzelne Teilkomponenten im Alltag eine große Rele-
vanz – sei es im Beruf, im privaten Bereich bei Aktivitäten des alltäglichen Lebens (Einparken
des Autos, Bewegung, Essen, Haushalt, …) oder sogar bei der Therapie von Krankheiten oder
Lernschwächen wie Dyskalkulie und Legasthenie.
Meines Erachtens nach sind genau aus diesen Gründen kopfgeometrische Aufgaben, nicht
nur wegen ihres motivierenden Faktors13, als ein Grundbestandteil der täglichen Mathemati-
kübungen dringend notwendig und unabdingbar, um das räumliche Vorstellungsvermögen
auszubilden, da dieses in jedweder Lebens- und Alltagssituation von Belangen ist.
13 Das Vergnügen beim Bearbeiten kopfgeometrischer Übungen und die Motivation, sich mit geometrischen – auch aus der jeweiligen Schulzeit eher unbeliebten – Sachverhalten auseinander zu setzen, war an vielen Stellen beim Ausprobieren verschiedener Aufgaben mit Personen aus dem privaten Umkreis immer wieder zu beobachten.
64
Anhang
7. Anhang
Aufgabe 23:
A) Typ Problemlösen – Schattenbilder eines Körpers
1) Stellen Sie sich einen Tisch vor, der in einer Zimmerecke steht. Darüber schwebt eine große
Kugel. Diese Kugel wird von sehr weit oben mit einer hellen Lampe beleuchtet.
Wie sieht das nach unten auf den Tisch geworfene Schattenbild der Kugel aus und welche
Form hat es?
2) Bearbeiten Sie nun die Kugel, und zwar wie folgt: Nach unten soll immer noch derselbe
Schatten geworfen werden. Neu soll jedoch bei der Beleuchtung von der Seite ein
quadratischer Schatten auf die Wand neben dem Tisch geworfen werden.
Wie muss die Kugel dazu bearbeitet werden?
3) Ist es möglich, die Form weiterzubearbeiten, sodass der entstehende Körper einen
dreieckigen Schatten nach hinten wirft, wenn er von vorne beleuchtet wird?
4) Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?
(Weber 2010, S. 151f.)
65
Anhang
Aufgabe 24:
B) Typ Aufbau – Konstruktion eines Tesseraktes
Stellen Sie sich einen Punkt vor, der in einem dunklen Zimmer hell leuchtet. Dieses Licht hat
die besondere Eigenschaft, dass es dort, wo es sich durchbewegt hat, eine Leuchtspur
hinterlässt, die nicht mehr erlischt.
1) In einem ersten Schritt verschieben Sie den Punkt geradlinig eine Handbreit nach rechts.
Sie erhalten als Leuchtspur eine Strecke von einer Handbreit Länge.
2) Als nächstes schieben Sie diese leuchtende Strecke eine Handbreit von sich weg, senkrecht
nach hinten. Als Leuchtspur entsteht ein Quadrat, welches als Fläche leuchtet.
3) Nun verschieben Sie ihr leuchtendes Quadrat um eine Handbreit in eine Richtung, die Sie
bis jetzt noch nicht genutzt haben, nämlich senkrecht nach oben. So entsteht als Leuchtspur
ein Würfel.
4) Zum Schluss versuchen Sie nun sorgfältig, den Würfel in eine weitere Raumrichtung zu
schieben, die Sie bis jetzt noch nicht genutzt haben. Sie erhalten als Leuchtspur ein weiteres
leuchtendes Objekt.
Können Sie es sehen?
Die leuchtende Strecke hatte zwei Endpunkte, das Quadrat hatte vier.
Wie viele Ecken hat schließlich der Würfel und wie viel hat vermutlich das zuletzt beschrieben
leuchtende Objekt?
Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?
(nach Weber 2010, S. 115f.)
66
Anhang
Aufgabe 25:
C) Typ Begründung – Ein Dreieck mit drei rechten Winkeln
Stellen Sie sich vor, auf einem kleinen, kugelrunden Planeten zu leben. Er ist so groß, dass Sie
in einem Tag bequem einmal darum herum spazieren können. Auch er hat einen Nord- und
Südpol, einen Äquator und Himmelsrichtungen, genau wie wir es von unserer Erde gewohnt
sind. Zudem sei Ihr Planet so beschaffen, dass er überall begehbar ist.
1) Stellen Sie sich vor, Sie wohnen in einem Haus am Südpol. Jetzt begeben Sie sich von dort
aus auf einen Spaziergang. Sie gehen also vor Ihr Haus, blicken in irgendeine Richtung und
spazieren los, immer geradeaus nach Norden, bis an den Äquator.
2) Dort ruhen Sie sich einen Moment aus. Dann drehen Sie sich um eine Vierteldrehung nach
rechts und gehen exakt am Äquator entlang, Schritt für Schritt, immer geradeaus.
3) Nach einer Weile sind Sie so müde, dass Sie sich entschließen, auf dem kürzesten Weg
heimzukehren: Sie drehen sich also erneut um eine Vierteldrehung nach rechts und gehen
geradeaus, in Richtung Süden, heimwärts.
4) Während Sie sich Ihrem Haus am Südpol nähern, fällt Ihnen auf, dass Sie sich ihm aus einer
anderen Richtung nähern, als wie Sie es am Morgen verlassen haben.
Wie groß ist der Winkel insgesamt, um den Sie sich bei ihren beiden Drehungen am Äquator
nach rechts gedreht haben?
Wie sieht die Figur aus, entlang der Sie spaziert sind?
5) Vergegenwärtigen Sie sich alles noch einmal, was Ihnen während der Vorstellungsübung
durch den Kopf ging:
Was für einen Spaziergang haben Sie unternommen?
Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?
(nach Weber 2010, S. 201f.)
67
Anhang
Aufgabe 26:
D) Typ Paradoxon – Die Endlichkeit des Universums
1) Stellen Sie sich vor, dass Ihre Welt die einer Geraden ist. Sie leben auf einem sehr langen,
straff gespannten Seil. Auf Ihrem Seil haben Sie nur wenig Bewegungsmöglichkeiten:
Bewegen Sie sich auf dem Seil ein bisschen vorwärts und bewegen Sie sich ein bisschen
rückwärts.
2) Stellen Sie sich zusätzlich vor, dass das Seil unendlich lang ist. Beginnen Sie, sich in eine der
beiden Richtungen zu bewegen, immer weiter. Garantiert kommen sie nie mehr zum
Ausgangspunkt zurück.
3) Stellen Sie sich jetzt vor, dass Ihr Seil nicht unendlich lang ist, sondern einfach sehr, sehr
lang ist. Es schließt sich zu einem riesigen Kreis.
4) Beginnen Sie, sich in eine der beiden Richtungen zu bewegen.
Was passiert, wenn Sie sich lange genug in die eingeschlagene Richtung weiterbewegen?
Kehren Sie irgendwann einmal zum Ausgangspunkt zurück oder nicht?
5) Stellen Sie sich nur vor, Sie seien ein Lebewesen, das in einer Fläche wohnt, ähnlich einem
Schatten: Bewegen Sie sich in Ihrer flachen Welt zuerst ein paar Schritte vorwärts und ein
paar Schritte rückwärts, dann ein paar Schritte nach links und dann ein paar Schritte nach
rechts.
6) Stellen Sie sich zusätzlich vor, dass ihre Wohnfläche riesig groß ist und aus einer unendlich
großen Ebene besteht.
7) Beginnen Sie, sich in Ihrer flachen Welt in eine feste Richtung geradeaus fortzubewegen,
immer weiter, immer weiter. Sie kehren gewiss nie mehr zum Ausgangspunkt zurück.
8) Stellen Sie sich jetzt vor, dass ihre Fläche zwar groß, aber leicht gekrümmt ist und sich zu
einer riesigen Kugeloberfläche schließt.
9) Bewegen Sie sich in eine feste Richtung Ihrer Kugeloberflächen-Welt fort, immer weiter
und weiter.
Was passiert nun, wenn Sie sich lange genug bewegen?
Kehren Sie irgendwann einmal zum Ausgangspunkt zurück oder nicht?
68
Anhang
10) Sie und ich, wir leben in einem Universum, in dem wir uns nicht nur vorwärts bzw.
rückwärts und unabhängig davon nach links bzw. nach rechts bewegen können, sondern
zusätzlich nach oben bzw. unten.
11) Üblicherweise nehmen wir an, dass unser Universum unendlich groß ist: Stellen Sie sich
vor, Sie starten mit einem Raumschiff von der Erde aus hinaus ins Weltall. Sie fliegen immer
kerzengerade von der Erde weg. Dann kommen Sie nie mehr zur Erde zurück.
12) Jetzt stellen Sie sich zum Schluss vor, dass unser Universum geschlossen ist, so wie schon
das zum Kreis gekrümmte Seil bzw. die zur Kugeloberfläche gebogene Fläche auch
geschlossen waren.
13) Fliegen sie nun ins Weltall hinaus, immer kerzengerade mit festen Kurs, immer weiter.
Was passiert nun, wenn sie lange genug in die eingeschlagene Richtung weiterfliegen?
Kehren Sie irgendwann einmal zum Ausgangspunkt zurück oder nicht?
Was haben Sie sich im Laufe der Vorstellungsübung vorgestellt?
(nach Weber 2007, S. 220f.; 2010, S. 30)
69
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Eidesstattliche Erklärung
Eidesstattliche Erklärung
Hiermit bestätige ich, dass die vorliegende Arbeit von mir selbstständig verfasst wurde und
ich keine anderen als die angegebenen Hilfsmittel – insbesondere keine im Literaturverzeich-
nis nicht benannten Internetquellen – benutzt habe und die Arbeit von mir vorher nicht in ei -
nem anderen Prüfungsverfahren eingereicht wurde. Die eingereichte schriftliche Fassung
entspricht der auf dem elektronischen Speichermedium.
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