Kontes Terbuka Olimpiade Fisika · 2019-07-20 · e. Solusi dari persamaan diferensial di sub-soal...
Transcript of Kontes Terbuka Olimpiade Fisika · 2019-07-20 · e. Solusi dari persamaan diferensial di sub-soal...
KTOF VI Juni 2019 Halaman 1 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Naskah Soal
Kontes Terbuka Olimpiade Fisika
Juni 2019 Pra OSN
Oleh :
Komunitas Olimpiade Fisika Indonesia
Waktu : 47 Jam
Tahun 2019
KTOF VI Juni 2019 Halaman 2 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Penjelasan Model Soal
Pada KTOF kali ini menggunakan sistem Essay.
Tetap terdapat Soal Utama yaitu 5 buah soal utama pada KTOF kali ini (sesuai Pra
OSN 2019) dimana masing-masing soal terdiri atas beberapa anak soal dimana setiap
soal memiliki poin maksimum 20 Poin.
Setiap anak soal adalah soal-soal yang berkaitan dengan soal utama yang berupa
konsep, matematik, dan numerik. Untuk mengerjakan soal numerik peserta diizinkan
menggunakan kalkulator.
Setiap anak soal dari soal utama memiliki keterkaitan satu sama lain yang saling
membangun guna mempelajari permasalahan yang diberikan pada soal utama.
Teknis Pengerjaan
Setiap peserta akan mendapatkan Nomor Peserta masing-masing.
Soal KTOF akan kami bagikan via email dan grup WA kepada para peserta pada hari
Jumat, 21 Juni 2019 pukul 13.00 WIB.
Peserta dipersilahkan mengerjakan soal yaitu dari saat soal dibagikan sampai batas
terakhir memasukkan jawaban di form jawaban online yaitu pada hari Minggu, 23
Juni 2019 pukul 12.00 WIB.
Jawaban ditulis secara detail pada lembar jawaban yang telah disediakan
menggunakan balpoint warna hitam/biru dan tidak boleh warna lainnya. Lembar
jawaban akan dikirim bersamaan dengan soal tes.
Teknis Pengumpulan Jawaban
Jawaban untuk setiap nomor soal harus dipisah dan dinamai dengan format berikut:
soal(nomor)_namalengkap_asalsekolah/instansi, Contoh:
soal2_ahmadbasyirnajwan_sman3banjarbaru,
soal5_mfauzansyahbana_smantambunselatan
Jawaban diunggah pada form jawaban online menggunakan link berikut ini
bit.ly/FormJawabKTOFJuni.
KTOF VI Juni 2019 Halaman 3 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Jawaban hanya boleh dalam bentuk PDF dengan ukuran maksimal untuk tiap soalnya
adalah 20Mb. Untuk membuat file berupa foto menjadi file PDF, kalian bisa
menggunakan aplikasi CamScanner menggunakan cara lainnya.
Form jawaban online hanya dibuka pada batas waktu pengerjaan yaitu dari hari
Jumat, 21 Juni 2019 pukul 13.00 WIB sampai dengan Minggu, 23 Juni 2019 pukul
12.00 WIB. Kami himbau para peserta untuk tidak mengumpulkan jawaban di menit-
menit akhir karena dikhawatirkan ada masalah koneksi yang menyebabkan jawaban
tidak terunggah.
Pengumuman Hasil dan Benefits
Setiap peserta akan mendapatkan Soal KTOF beserta Solusinya. Solusi akan kami
berikan setelah Form Jawab Online ditutup yaitu pada hari Minggu, 23 Juni 2019
pukul 12.01 WIB via Email dan Grup WA.
Hasil KTOF akan kami publikasikan 3-4 hari setelah Tes Berakhir melalui media sosial
kami via Facebook dan Instagram.
Kami akan repost 15 Peserta terbaik pada KTOF kali ini.
KTOF ini tentunya bisa menjadi ajang melatih diri dan pemantapan bagi siswa-siswa
yang akan mengikuti Olimpiade Sains Nasional Khususnya Bidang Fisika. Selain itu
juga bisa di jadikan ajang uji diri bagi Siswa Kelas XII, Mahasiswa, guru, dan Pegiat
Olimpiade Fisika lainnya.
Hormat Kami
Komunitas Olimpiade Fisika Indonesia
KTOF VI Juni 2019 Halaman 4 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
1. (20 poin) Hoop Setengah Lingkaran
Sebuah hoop homogen setengah lingkaran bermassa 𝑀 berjari-jari 𝑅 diletakkan diatas
poros lingkaran massa 𝑚 berjari-jari 𝑟, dimana 𝑟 < 𝑅. Pusat poros dijaga diam dan poros
tidak dapat berotasi terhadap pusatnya. Saat keadaan setimbang, hoop disimpangkan
sehingga hoop berosilasi tanpa selip. Diketahui titik pusat massa hoop ada pada jarak
2𝑅/𝜋 dari titik pusat hoop.
a. Tentukan momen inersia hoop terhadap pusat massanya!
b. Saat setimbang hoop menyentuh poros di titik P. Beberapa saat kemudian titik Q pada
hoop menyentuh titik pada poros yang bersudut 𝛼 terhadap titik kesetimbangan (lihat
gambar). Tentukan panjang busur PQ!
c. Tentukan kemiringan hoop 𝜃 pada saat itu!
d. Tentukan posisi pusat massa hoop terhadap pusat poros sebagai fungsi alfa dan
parameter-parameter yang telah disebutkan!
e. Tentukan energi sistem dalam parameter-parameter yang telah disebutkan, 𝛼 dan
perubahan 𝛼 terhadap waktu �̇�!
f. Tentukan periode osilasi system! Gunakan 𝑅 = 2𝑟.
g. Tentukan periode osilasi bila 𝑅 = 1,71 m, Gunakan 𝑔 = 9,81 m/s2!
2. (20 Poin) Setengah silinder
Mari kita tinjau sebuah potongan dari silinder homogen bermassa 𝑚 berjari-jari 𝑅, yang
penampang melintangnya membentuk setengah lingkaran
P
setimbang
P
2𝑅
𝑟
𝜃
tersimpang
Q
KTOF VI Juni 2019 Halaman 5 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Setengah silinder ini kemudian ditaruh di pojok lantai, menempel ke lantai serta dinding
yang licin sedemikian sehingga silinder ini dapat seimbang dibawah medan gravitasi 𝑔,
namun keseimbangan tersebut labil dan setengah silinder dapat jatuh ke dua arah.
Apabila kita mendefinisikan 𝜃 sebagai sudut antara garis vertikal dan garis 𝑂𝑄 yang
menghubungkan titik kontak setengah silinder 𝑂 dengan pusat mula” silinder 𝑄; 𝜃 dapat
mengecil (i) dan juga membesar (ii). Diketahui pusat massa setengah silinder berjarak 𝑢 =
4𝑅
3𝜋 dari pusat 𝑄. *Disarankan menggunakan kalkulator untuk menghitung nilai numerik
dari hasil akhir tiap sub-soal.
a. Tinjaulah posisi keseimbangan awal. Tentukan besar 𝜃 saat setengah silinder diam dan
seimbang menyentuh dinding serta lantai, 𝜃0.
Perhatikan kasus jatuh (i). Permukaan melingkar setengah silinder akan selip di dinding
dan lantai, setelah itu silinder akan lepas kontak dan menjauh dari dinding.
b. Tentukan besar 𝜃 ketika silinder meninggalkan dinding, 𝜃1 , juga kecepatan sudut
setengah silinder saat itu, Ω!
c. Silinder akan menjauh dari dinding dan mengalami gerak osilasi terhadap pusat
massanya. Tentukan sudut maksimum 𝜉 yang dibentuk bidang potong silinder dengan
bidang horisontal!
KTOF VI Juni 2019 Halaman 6 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Pada kasus jatuh (ii), pusat massa setengah silinder akan memiliki arah kecepatan
horisontal menjauhi dinding. Pada gerakan ini diketahui silinder tidak pernah lepas kontak
pada nilai 𝜃0 ≤ 𝜃 ≤ 90°.
d. Tentukan besar kecepatan horisontal pusat massa setengah silinder 𝑣𝑥 saat persis
sebelum tumbukan dengan lantai.
e. Tentukan besar kecepatan horisontal pusat massa setengah silinder, 𝑣𝑥, sebagai fungsi
dari 𝜃!
3. (20 Poin) Fisika dari Kemacetan
Kemacetan adalah fenomena kehidupan sehari-hari yang sering kita jumpai. Pada soal ini,
kita akan membahas fenomena ini dalam sudut pandang fisika. Secara umum, ada 2
pendekatan yang dapat digunakan, yaitu pendekatan makroskopis (meninjau parameter
yang didefinisikan untuk seluruh bagian jalan) dan mikroskopis (meninjau parameter yang
didefinisikan hanya untuk satu kendaraan). Pendekatan yang terakhir adalah yang akan
kita gunakan di soal ini.
Tinjau sebuah kendaraan di jalan. Pengemudi kendaraan ini dapat mengetahui informasi
kecepatan kendaraan didepannya dan jaraknya dengan kendaraan tersebut. Pemodelan
yang akan kita gunakan adalah sebagai berikut:
1) (Zona “Perlambatan”) Jika jarak suatu kendaraan dengan kendaraan didepannya lebih
kecil dari 𝑠𝑛, maka kendaraan tersebut akan melakukan perlambatan sebesar 𝑎𝑛
sampai jaraknya sudah tidak lebih kecil dari 𝑠𝑛.
KTOF VI Juni 2019 Halaman 7 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
2) (Zona “Percepatan”) Jika jarak suatu kendaraan dengan kendaraan didepannya lebih
jauh daripada 𝑠𝑓, dimana 𝑠𝑓 > 𝑠𝑛, maka kendaraan tersebut akan melakukan
percepatan sebesar 𝑎𝑓 sampai jaraknya tidak lebih besar dari 𝑠𝑓.
3) (Zona “Adaptasi kecepatan”) Jika jarak suatu kendaraan dengan kendaraan
didepannya berada diantara 𝑠𝑓 dan 𝑠𝑛, maka kendaraan tersebut akan melakukan
percepatan/perlambatan dengan magnitudo 𝑎𝑎 sampai kecepatannya sama dengan
kecepatan kendaraan didepannya, tidak peduli berapa nilai persis dari jaraknya
(selama masih berada diantara 𝑠𝑓 dan 𝑠𝑛). Setelah kecepatannya sama, tidak ada lagi
percepatan pada kendaraan tersebut.
Asumsikan informasi kendaraan di belakang yang ditinjau tidak bisa diketahui dengan
sempurna oleh pengemudi kendaraan yang ditinjau, sehingga tidak mempengaruhi
pergerakan kendaraan.
a. Pada awalnya, tidak ada kendaraan di jalan. Kemudian, satu kendaraan masuk ke jalan
dengan kecepatan 𝑣0 yang dianggap konstan. Setelah waktu 𝑡0 berlalu, kendaraan
kedua masuk ke jalan dengan kecepatan 𝑣0′ dari posisi yang sama dengan posisi
masuknya kendaraan pertama. Tentukan syarat agar kendaraan kedua ini tidak akan
pernah memasuki zona “Perlambatan”. Asumsikan 𝑣0𝑡0 > 𝑠𝑓. Petunjuk: Analogikan
pemodelan ini dengan sistem lain yang memiliki karakteristik yang sama untuk
menyederhanakan pengerjaan soal.
b. Jika syarat di sub-soal a) tidak terpenuhi, tentukan syarat agar kendaraan kedua baru
bertahan (tidak keluar lagi) di zona “Adaptasi kecepatan” setelah 𝑁 kali memasuki
zona tersebut. Asumsikan kendaraan ini tidak pernah menabrak kendaraan
didepannya.
Pemodelan diatas dapat dibuat lebih “mulus” dengan pengembangan dibawah ini:
1) Zona “Percepatan” dan “Perlambatan” dapat diganti dengan menganggap 𝑠𝑓 ≈ 𝑠𝑛 ≈
𝑠𝑠 dan magnitudo percepatan kendaraan adalah proporsional dengan magnitudo jarak
kendaraan yang ditinjau dengan kendaraan didepannya dikurang 𝑠𝑠 (dengan
konstanta proporsionalitas 𝑘). Arah dari percepatan tersebut adalah menuju posisi 𝑠𝑠
dari posisi kendaraan yang ditinjau.
KTOF VI Juni 2019 Halaman 8 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
2) Zona “Adaptasi kecepatan” yang selalu mengurangi kecepatan kendaraan dapat
diganti dengan percepatan yang proporsional dengan magnitudo kecepatan relatif
kendaraan yang ditinjau terhadap yang didepannya (dengan konstanta
proporsionalitas 𝛽). Arah dari percepatan ini adalah berlawanan dengan arah
kecepatan relatif tersebut.
Perhatikan bahwa kedua percepatan yang disebutkan diatas selalu bekerja bersamaan,
sehingga percepatan total yang dialami kendaraan adalah resultan dari kedua percepatan
tersebut. Untuk melengkapi pemodelan ini, kita akan menambahkan asumsi bahwa 𝑠𝑠
memiliki ketergantungan kepada kecepatan kendaraan didepan kendaraan yang ditinjau
(𝑣) dalam bentuk sebagai berikut:
𝑠𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝜏
c. Tinjau barisan kendaraan di jalan, dimana semua kendaraan berada dalam satu garis,
dan kecepatannya juga paralel dengan garis ini. Kendaraan pertama (kendaraan paling
depan dari barisan) memiliki kecepatan konstan 𝑣1. Tuliskan persamaan diferensial
untuk kecepatan kendaraan kedua (𝑣2) dibelakang kendaraan pertama.
d. Tuliskan persamaan diferensial yang menghubungkan kecepatan kendaraan ke-𝑁 − 1
dengan kecepatan kendaraan ke-𝑁.
e. Solusi dari persamaan diferensial di sub-soal c) dapat ditulis sebagai
𝑣2 − 𝑣1 = 𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡
Dimana 𝑖2 = −1. Tentukan nilai 𝜔 dinyatakan dalam parameter lainnya yang
didefinisikan sebelumnya. Tuliskan syarat agar nilai 𝜔 tidak murni imajiner.
f. Solusi dari persamaan diferensial di sub-soal d) dapat ditulis sebagai
𝑣𝑗 = 𝑉𝑗𝑒𝑖𝜔𝑡
Dimana 𝑗 ∈ {1,2, … ,𝑁 − 1,𝑁,… }. Secara umum, 𝑉𝑗 dapat bernilai kompleks. Tuliskan
hubungan antara 𝑉𝑁 dan 𝑉𝑁−1. Asumsikan nilai 𝜔 selalu real.
g. Tentukan syarat agar magnitudo 𝑉𝑁 tidak membesar menuju tak terhingga seiring
𝑁 → ∞. Syarat ini menjamin setiap gangguan kecil dari pergerakan setiap kendaraan
dapat hilang dan tidak menimbulkan ketidakstabilan yang dapat berujung kepada
kemacetan di tengah jalan.
KTOF VI Juni 2019 Halaman 9 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
h. Tambahan terakhir dari pemodelan ini adalah dengan mendefinisikan parameter baru,
yaitu jarak rata-rata kendaraan di jalan (�̅�) dan kecepatan rata-rata semua kendaraan
di jalan (�̅�). Selanjutnya, kita akan mengasumsikan hubungan dibawah ini berlaku.
𝑘 =𝛼
�̅�
𝛽 =𝛾
�̅�
Nilai 𝛼 dan 𝛾 dapat dianggap konstanta yang tidak dipengaruhi semua parameter yang
kita definisikan. Karena asumsi ini, maka terdapat nilai �̅� minimum, sehingga
berapapun nilai �̅�, kemacetan tidak akan terjadi. Tentukan nilai �̅� minimum tersebut.
Petunjuk:
1) Setiap bilangan kompleks (penjumlahan dari bilangan real murni dan imajiner
murni) dapat dinyatakan dalam bentuk
𝑎 + 𝑖𝑏 = 𝑟𝑒𝑖𝜃
Dimana 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2, tan 𝜃 = 𝑏𝑎⁄ , dan 𝑒 adalah Bilangan Euler.
2) Rumus-rumus berikut ini mungkin berguna.
𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑎𝑥 = 𝑎𝑒𝑎𝑥
∫𝑒𝑎𝑥 𝑑𝑥 =1
𝑎𝑒𝑎𝑥 + 𝐶
4. (20 Poin) Gerakan Dipol Magnet
Momen dipol magnetik merupakan besaran vektor yang mencirikan sifat keseluruhan
magnet, termasuk magnet elementer. Arah momen dipol umumnya dari kutub selatan ke
kutub utara magnet.
KTOF VI Juni 2019 Halaman 10 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Pada bagian pertama ini, dimodelkan sebuah dipol magnet elementer. Salah satu sumber
momen magnetik adalah medan magnet yang ditimbulkan akibat gerakan elektron yang
mengorbit intinya. Asumsikan orbit elektron adalah lingkaran berjari-jari 𝑅 dan atom
hanya terdiri dari satu elektron dan satu proton yang masing-masing memiliki massa 𝑚e
dan 𝑚p (𝑚p ≫ 𝑚e) serta bermuatan −𝑒 dan +𝑒. Diketahui orbit elektron berada pada
bidang 𝑥𝑦.
a. Tentukan kecepatan angular dari gerakan elektron yang mengorbit proton!
b. Tentukan besar medan magnet pada jarak 𝑧 (𝑧 ≫ 𝑅, dari bidang 𝑥𝑦) yang dihasilkan
akibat gerakan elektron!
c. Sebuah magnet batang kecil memiliki medan magnet pada jarak yang jauh darinya
sebesar
𝐵 =𝜇0𝑚
2𝜋𝑧3
Dimana 𝑧 merupakan jarak dari magnet pada sumbu yang menghubungkan kutub
utara dan selatan, 𝑚 adalah momen dipol magnet. Dengan mengasumsikan elektron
mengorbit proton seperti magnet batang kecil, tentukan dipol magnet 𝑚 dari sebuah
elektron yang mengorbit proton!
Untuk medan magnet akibat magnet batang kecil untuk kasus 𝑧 dan 𝑟 tidak terlalu besar
dimana 𝑧 dan 𝑟 adalah posisi vertikal dan radial dari titik yang ditinjau medan magnetnya,
maka medan magnet akibat suatu dipol magnet akan memiliki komponen arah vertikal
dan radial seperti pada gambar di atas. Besar medan magnet yang di akibatkannya adalah
�⃗� (𝑧, 𝑟) =𝜇0𝑚
4𝜋(𝑟2 + 𝑧2)32
[(3𝑧2
𝑟2 + 𝑧2− 1) �̂� + (
3𝑧𝑟
𝑟2 + 𝑧2) �̂�]
Sebuah dipol magnet dengan momen magnet sebesar 𝑚 dijatuhkan dari ketinggian ℎ di
atas pusat sebuah kawat cincin diam dengan jari-jari 𝑎. Diketahui 𝑚 mengarah ke bawah
dan anggap sumbu 𝑧 positif ke arah bawah juga.
d. Tentukan GGL induksi yang terjadi pada cincin sebagai fungsi dari kecepatan sesaat
dipol magnet (𝑣) dan posisi dipol terhadap posisi awalnya (𝑧)!
e. Tentukan gaya yang dirasakan dipol magnet akibat pergerakannya tersebut sebagai
fungsi dari arus (𝑖) pada cincin yang dihasilkan dari induksi dipol magnet tersebut!
KTOF VI Juni 2019 Halaman 11 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
Sekarang dipol magnet dijatuhkan di dalam sebuah solenoid berjari-jari 𝑎 dengan
resistivitas 𝜌 yang sangat panjang dan tidak dapat bergerak. untuk menyederhanakan
perhitungan, anggap saja setiap lilitan solenoid berbentuk cincin dengan ketinggian 𝑑ℎ
dan ketebalan 𝑤. Abaikan induktansi dari solenoid.
f. Tentukan gaya total yang dialami dipol magnet akibat solenoid tersebut fungsi dari
kecepatan sesaat dipol magnet (𝑣)!
g. Tentukan kecepatan terminal gerakan dipol magnet jika diketahui berat dipol magnet
adalah 𝑊!
Petunjuk :
Mungkin integral berikut akan berguna
∫𝑢2
(1 + 𝑢2)5𝑑𝑢
∞
−∞
=5𝜋
128
5. (20 Poin) Model Sederhana Temperatur Permukaan Bumi
Suhu di permukaan bumi dipengaruhi oleh radiasi dari matahari. Disini akan dikaji model
sederhana untuk menentukan suhu rata-rata di permukaan matahari. Dilihat dari bumi,
matahari memiliki sudut jari-jari matahari sebesar 0,0047 radian. Diketahui, suhu efektif
di permukaan matahari adalah 𝑇S = 5780 K. Besar konstanta Stefans-Boltzmann adalah
𝜎 = 5,67 × 10−8 W𝑚−2K−4.
a. Hitunglah nilai solar irradiance (irradiasi matahari) yaitu daya radiasi yang diterima
persatuan luas di permukaan bumi!
Radiasi yang datang dari matahari dan sampai ke bumi, tidak seluruhnya diterima oleh
permukaan bumi. Sekitar 30% (oleh permukaan, atmosfer, dan awan) dipantulkan
kembali ke luar angkasa dan sisanya sebesar 70% (atmosfer dan permukaan) di asumsikan
seluruhnya diserap oleh permukaan bumi.
KTOF VI Juni 2019 Halaman 12 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
b. Tentukan suhu rata-rata di permukaan bumi dari model di atas!
c. Apakah model sederhana ini dapat diterima?
Soal berikut tidak lagi menggunakan hasil di atas. Suhu atmosfer 𝑇, tekanan atmosfer 𝑃,
dan kerapatan udara 𝜌 bergantung pada ketinggian 𝑧 dari permukaan bumi. Secara
empirik, kerapatan 𝜌 dalam rentang ketinggian sampai 10 km dapat dituliskan sebagai
bentuk kuadratik dalam 𝑧 yaitu
𝜌(𝑧) = 𝜌0 + 𝜌1𝑧 + 𝜌2𝑧2
Dengan 𝜌0 = 1,222 kgm−3, 𝜌1 = −1,13 × 10−4 kgm−4, dan 𝜌2 = 3 × 10−9 kgm−5.
Diasumsikan bahwa atmosfer bersifat gas ideal serta bersifat adiabatik dengan konstanta
𝛾 = 1,23. Asumsikan percepatan gravitasi bumi di ketinggian yang tidak terlalu tinggi
bernilai konstan sebesar 𝑔 = 9,81 ms−2. Tekanan udara di permukaan bumi adalah
1 atm = 1,013 × 105 Pa.
d. Tentukan ketinggian 𝑧 ketika kerapatan udara sama dengan setengah kerapatan udara
di permukaan bumi!
e. Tentukan pula perbandingan antara tekanan udara pada ketinggian tersebut dengan
tekanan udara di permukaan bumi!
KTOF VI Juni 2019 Halaman 13 dari 13
Kontes Terbuka
Olimpiade Fisika
f. Jika diketahui suhu udara pada ketinggian 10 km adalah 225 K, tentukan suhu udara
di permukaan bumi!