KOMPOZİT BORULARIN DARBE YÜKLERİNE KARŞI DAVRANIŞLARININ...

T.C. DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ

MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

KOMPOZİT BORULARIN DARBE YÜKLERİNE KARŞI DAVRANIŞLARININ

İNCELENMESİ

BİTİRME PROJESİ

Levent AKAY

Projeyi Yöneten Prof. Dr. Ramazan KARAKUZU

Haziran, 2005 İZMİR

TEZ SINAV SONUÇ FORMU

Bu çalışma … / … / …. günü toplanan jürimiz tarafından BİTİRME PROJESİ olarak

kabul edilmiştir / edilmemiştir.

Yarıyıl içi başarı notu 100 (yüz) tam not üzerinden …….. (……………………) dır.

Başkan Üye Üye

Makine Mühendisliği Bölüm Başkanlığına,

…………. numaralı …………………………..…… jürimiz tarafından … / … / .... günü

saat ……… da yapılan sınavda, 100 (yüz) tam not üzerinden ……… almıştır.

Başkan Üye Üye

ONAY

BÖLÜM BİR

GİRİŞ

1.1 Darbe Yüküne Maruz Kompozit Borularda Gerilme

Teknolojinin gelişmesi ile beraber birçok alanda meydana gelen değişimler insan

yaşamına getirdikleri kolaylıkların yanı sıra daha önce hiç karşılaşılmamış birçok problemi

de beraberlerinde getirmişlerdir.

Bu problemlerden biri de hareketli sistemlerin elemanlarında ani yük değişimlerinden

kaynaklanan problemlerdir. İvmeli hareketten kaynaklanan atalet kuvvetlerinin eleman

üzerinde yarattığı etkiler daha önceden tahmin edilmeyecek sonuçlar doğurabilir. Dinamik

çarpışmaların sonucunda meydana gelen ani ivme düşüşleri, eleman üzerine etkiyen

kuvvetlerin sürekli olarak değişmesi nedeniyle oluşan ani ivme değişimleri de aynı şekilde

beklenmeyen sonuçlar doğurabilir. Bu ani ivme değişimlerinin yarattığı kuvvetlere dinamik

kuvvetler adı verilir.

Sonuçta biz, elemanların ivmeli hareketlerinden kaynaklanan eylemsizlik kuvvetlerine,

zamanla değişim gösteren etken kuvvetlere, sisteme çok kısa zaman aralıklarında tesir eden

ani kuvvetlere ve çarpışmalardan doğan etkilere hep dinamik kuvvetler diyoruz.

Dinamik kuvvetlerin statik kuvvetlerden en önemli farklılığı etkidikleri cisim üzerinde,

yarattıkları gerilimlere ve şekil değişimlerine statik kuvvetler gibi kademeli olarak artarak

değil, kendi koşullarının yarattığı karakterde bir etki göstermesidir. Bu nedenle dinamik

gerilim ve şekil değişimi hesaplarında da başka prensipler uygulanır.

Mukavemet alanında yapılan çalışmaların ışığında dinamik kuvvetlerin de bazı ek

katsayılar kullanılarak statik kuvvetlerin hesaplama prensipleriyle bulunabileceğine

söyleyebiliriz.

Aslında yukarıda adı geçen tüm kuvvetlerin hesabında tek ana prensip göz önünde

tutulur. Bu prensip D’alembert prensibidir. Kısaca bu prensibi açmak gerekirse sisteme

etkiyen kuvvetler ne şekilde etkirse etkin, eylemsizlik kuvvetleriyle dengede olan bir kuvvet

bileşeni oluştururlar.

Darbe deney düzeneği olarak kullanılan muhtelif düzenekler mevcuttur. Bu projede

kullanılan düzenekteki mekanizmayı kısaca anlatmak gerekirse, üzerinde piezoelektrik alıcı

bulunan transducerin giyotinde olduğu gibi düşey bir eksende bir aralığın, belli bir

yükseklikten bırakılması ile ağırlığın yerçekimi ivmesiyle kazandığı hızla zemindeki bloğa

çarpmasıyla oluşan dinamik kuvvetin transducer’de elektrik sinyaline dönüştürülmesi ve bu

elde edilen elektrik sinyalinin amplifikatörde yükseltgenerek bilgisayarda Matlab programı

vasıtasıyla bir diyagram halinde elde edilmesi olayından ibarettir.

Çalışmada amaç, kompozit boruların darbe yüklerine karşı davranışlarının incelenmesi ve

ANSYS LS-DYNA programı ile gerilme ve kuvvet analizlerinin elde edilmesidir.

BÖLÜM İKİ

DİNAMİK TESİRLER

2.1 Dinamik Tesirler

Elemanların ivmeli hareketlerinden doğan atalet kuvvetleri, dinamik çarpışmalardan

doğan kuvvetler ve zamanla değişen kuvvetler hep dinamik kuvvetler olarak kabul

edilmektedir. Dinamik etkenlerden doğan kuvvetler ve şekil değiştirmeler ile statik

yüklemeden elde edilen kuvvetler ve şekil değiştirmeler birbirlerinden farklıdırlar ve

dinamik etkenlerde şaşırtıcı sonuçlar elde edilmektedir.

Dinamik etkiler aşağıdaki gibi sınıflandırılabilirler.

a) İvmeli hareketlerdeki atalet kuvvetleri

b) Ani yükleme ve çarpışma problemleri

c) Elastik titreşim problemleri

Elastik sistemlerin dinamik etkiler altındaki davranışına “elasto-kinetik” denir. Burada

asıl problem, dinamik problemleri D’alembert Prensibini kullanarak statik denge problemine

dönüştürülmesidir. Bunun için mesela tek bir maddesel noktaya etki eden kuvvet için,

amF ×= D’alembert Prensibini kullanarak

0)( =×−+ amF olarak yazılır. Bu prensip katı cisimler için de gerçekleştirilebilir. Dinamik etkenlerden

doğan gerilmeler ve şekil değiştirmeler ile statik etkilerden doğan gerilmeler ve şekil

değiştirmeler mukayese edilecek olursa nümerik bir çarpan elde edilir, buna “Dinamik

Çarpan” veya “Çarpma Katsayısı” adı verilir ve şöyle tanımlanır:

φσσ

=statik

dinamik

veya

statikdinamik σφσ ×= Burada ivmeli hareketlerdeki atalet kuvvetleri ile ani yükleme veya çarpışma durumları

incelenecektir.

Üzerine düşen ağırlıktan dolayı bir çubuğun çökmesini hesaplayalım;

M

h

A

δ

Şekil 2.1 Üzerine düşen ağırlıktan dolayı bir çubuğun çökmesi

M kütleli cisim h yükseklikten çubuk üzerine düşünce çubuk δ kadar çöksün. Bu

durumda M kütleli cismin kaybettiği potansiyel enerji:

)(1 δ+= hMgU

Bu enerji çubukta şekil değiştirme enerjisi olarak depolanmaktadır. Eğer darbe anında

çubukta oluşan kuvvet P ise, P kuvvetinin çubuk üzerinde yaptığı iş, çubuk içinde şekil

değiştirme enerjisi olarak depolanır. Bu ise;

δPU 21

2=

UU 21 = olduğundan;

δδ PhMg21)( =+

δ ve P bilinmeyenlerdir. P’yi δ cinsinden yazabiliriz. Çubukta meydana gelen çökme

AEPL

=δ

ve

LAEP δ

=

P’nin bu değeri yerine konursa,

2

2)( δδ

LAEhMg =+

ve

0)2()2()( 2 =−− MgLhMgLAE δδ

AEMgLAEhLgMMgL 2222

2,1

+±=δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛±=

AEMgLh

AEMgL

AEMgL 2

2

2,1δ

δ sAEMgL

=

statik çökmeyi gösterdiğine göre pozitif kök alınarak;

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=δδδ

ssd

h211

bulunur. Burada dinamik çarpan

δφ

s

h211 ++=

dir.

Çökme φ kadar arttığı gibi buna bağlı olarak gerilme ve kuvvet de, kuvvet ile çökme

arasındaki lineer bağıntıdan dolayı φ kadar artar, yani çarpma halindeki kuvvet

PP sd φ= ve gerilme:

AMg

sdφφσσ ==

Şimdi de ani yükleme durumunu inceleyelim;

M

hM

Şekil 2.2 Ani yükleme durumu

M kütleli bir cisim diğer cismin üzerine düşünce ona bir miktar enerji verir ve onu

harekete geçirir. Çarptığı andaki hızı v0 ise, M kütleli cismin kinetik enerjisi,

MghM v =2

021

ghv 22

0=

dir. Çarpışmanın plastik olduğunu kabul edilerek, momentumun korunumundan

vmMMv )(00 +=+ buradan;

mMMv

v+

= 0

bulunur. Bundan sonra bu kütleler bir δ mesafesi kadar hareket ederek bütün enerjilerini

yaya aktarırlar ve müşterek hızları sıfır olur.

m

k

δv = 0 m

Yaydaki potansiyel enerji;

2

21 δk

olduğuna göre enerji bağıntısı

22

21)(

21 δδ kMgvmM =++

0)(2 22 =+−− vmMMgk δδ

kvmMkgMMg 222

2,1

)( ++±=δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

kvmM

kMg

kMg 22 )(δ

Statik yükleme olsaydı yaydaki çökme;

kMg

s =δ

olacağından;

φδδ

=s

dinamik çarpanını verir. Eğer M kütleli cismin, m kütleli cisme çarptığı andaki enerjisi;

MghMvw == 200 2

1

ile ve çarpan cismin sisteme statik olarak etki etmesi durumunda aktardığı enerji;

kMgkU s 2

)(21 2

2 == δ

ile gösterilirse, dinamik çarpan;

Uw011 ηφ ++=

dır. Burada;

Mm

+=

1

1η

dir ve çarpışmadaki enerji kaybını göstermektedir. Veya “dinamik çarpan”

ss gvhδ

ηδ

ηφ2

011211 ++=++=

dir.

Eğer çarpılan cismin kütlesi m ihmal edilirse;

s

hδ

φ 211 ++=

olur. Bu durumda yaydaki dinamik çökme;

sd φδδ =

ve kuvvet ile yaydaki çökme arasındaki bağıntı lineer olduğundan;

dinamik kuvvet;

sd PP φ= ve dinamik gerilme de;

sd φσσ = olur.

BÖLÜM ÜÇ

SONLU ELEMANLAR

Doğada karşılaşılan her hadise fizik kanunları yardımıyla ve matematik diliyle

anlaşılmaya çalışılır. Bu olayların biyolojik, jeolojik veya mekanik olması durumu

değiştirmez. Her olay kendine ait büyüklükler yardımıyla cebirsel, diferansiyel veya integral

denklemler yardımıyla büyük oranda ifade edilebilir. Pratikte karşılaşılan problemler ne

kadar karmaşık olursa olsun tarihin her devrinde o devrin ihtiyaçlarına cevap verecek şekilde

modellenmeye çalışılmış ve her devirde alınan örnekler yardımıyla insanın kullanımına arz

edilmiştir. Günümüzde karmaşık problem denince gen yapısı anlaşılmaktadır. Hâlbuki

mekanik, termal ve/veya aerodinamik yüklere maruz, değişik şekilli delikler bulunan bir

kanaldaki basınç dağılımını belirlemek, deniz suyundaki kirlilik oranını belirlemek veya

atmosferdeki çeşitli hareketleri, bir hortum veya kasırganın oluşum mekanizmasını anlamak

ve önceden belirlemek üzere havanın modelini oluşturmak gibi daha birçok karmaşık

problem bulunmaktadır. Problemin en azından bir kısmının anlaşılmış olması bile pratik

birçok ayarlar sağlamaktadır. Burada, önceden yapılan çözümlemelerin sonradan

yanlışlığının anlaşılmış olmasının bile pratik sonuçlar açısından fazla bir önemi

bulunmamaktadır.

İnsanlar çevresinde meydana gelen olayları ya da karşılaştıkları problemleri çoğu zaman

kolayca kavrayıp doğrudan çözemezler. Bu yüzden karmaşık bir problem, bilinen veya

kavranması daha kolay alt problemlere ayrılarak daha anlaşılır bir hale getirilir. Oluşturulan

alt problemler çözülüp birleştirilerek esas problemin çözümü yapılabilir. Örneğin, gerilme

analizi üzerinde çalışan mühendisler, gerilme problemini basit kiriş, plak, silindir, küre gibi

geometrisi bilinen şekillerle sınırlarlar. Bu elde edilen sonuçlar çoğu kez problemin yaklaşık

çözümüdür ve bazen doğrudan bazen de bir katsayı ile düzeltilerek kullanılır. Mühendislik

uygulamalarında problemlerin karmaşıklığı sebebiyle genellikle problemlerin tam çözümü

yerine, kabul edilebilir seviyede bir yaklaşık çözüm tercih edilir.

Öyle problemler vardır ki, tam çözüm imkânsız kabul edilerek yaklaşık çözüm tek yol

olarak benimsenir

3.1 Sonlu Elemanlar Metodu

Sonlu elemanlar metodu; karmaşık olan problemlerin daha basit alt problemlere

ayrılarak her birinin kendi içinde çözülmesiyle tam çözümün bulunduğu bir çözüm şeklidir.

Metodun üç temel niteliği vardır: İlk olarak, geometrik olarak karmaşık olan çözüm bölgesi

sonlu elemanlar olarak basit alt bölgelere ayırır. İkincisi her elemandaki, sürekli

fonksiyonlar, cebirsel polinomların lineer kombinasyonu olarak tanımlanabileceği kabul

edilir. Üçüncü kabul ise, aranan değerlerin her eleman içinde sürekli olan tanım denkleminin

derecesine ve çözüm yapılacak elemandaki düğüm sayısına bağlıdır.

Sürekli bir ortamda alan değişkenleri (gerilme, yer değiştirme, basınç, sıcaklık… vs.)

sonsuz sayıda farklı değere sahiptir. Eğer sürekli bir ortamın belirli bir bölgesinin de aynı

şekilde sürekli ortam özelliği gösterdiği biliniyorsa, bu alt bölgede alan değişkenlerinin

değişimi sonlu sayıda bilinmeyeni olan bir fonksiyon ile tanımlanabilir. Bilinmeyen sayısının

az ya da çok olmasına göre seçilen fonksiyon lineer ya da yüksek mertebeden olabilir.

Sürekli ortamın alt bölgeleri de aynı karakteristik özellikleri gösteren bölgeler olduğundan,

bu bölgelere ait alan denklem takımları birleştirildiğinde bütün sistemi ifade eden denklem

takımı elde edilir. Denklem takımının çözümü ile sürekli ortamdaki alan değişkenleri sayısal

olarak elde edilir.

Sonlu elemanlar metodunun kullanılması ve bilgisayarların sanayiye girmesiyle, bugüne

kadar ancak pahalı deneysel yöntemlerle incelenebilen birçok makine elemanının (motor

blokları, pistonlar, vs.) kolayca incelenebilmesi, hatta çizim esnasında mukavemet

analizlerinin kısa bir sürede yapılarak optimum dizaynın gerçekleştirilmesi mümkün

olabilmiştir.

Sonlu elemanlar metodunu diğer nümerik metotlardan üstün kılan başlıca unsurlar şöyle

sıralanabilir:

a) Kullanılan sonlu elemanların boyutlarının ve şekillerinin değişkenliği nedeniyle ele

alınan bir cismin geometrisi tam olarak temsil edilebilir.

b) Bir veya birden çok delik veya köşeleri olan bölgeler kolaylıkla incelenebilir.

c) Değişik malzeme ve geometrik özellikleri bulunan cisimler incelenebilir.

d) Sebep sonuç ilişkisine ait problemler, genel direngenlik matrisi ile birbirine bağlanan

genelleştirilmiş kuvvetler ve yer değiştirmeler cinsinden formüle edilebilir. Sonlu elemanlar

metodunun bu özelliği problemlerin anlaşılmasını ve çözülmesini hem mümkün kılar hem de

basitleştirir.

e) Sınır şartları kolayca uygulanabilir.

Sonlu metodunun temel prensibi, öncelikle bir elemana ait sistem özelliklerini içeren

denklemlerin çıkartılıp tüm sistemi temsil edecek şekilde eleman denklemlerini birleştirerek

sisteme ait lineer denklem takımının elde edilmesidir. Bir elemana ait denklemlerin elde

edilmesinde değişik metotlar kullanılabilir. Bunlar içinde en çok kullanılan dört temel

yöntem şunlardır

I) Direkt Yaklaşım: Bu yaklaşım daha çok tek boyutlu ve basit problemler için

uygundur.

II) Varyasyonel Yaklaşım: Bir fonksiyonelin ekstremize yani maksimum ve minimum

edilmesi demektir. Katı cisim mekaniğinde en çok kullanılan fonksiyoneller potansiyel enerji

prensibi, komplementer (tümleyen) potansiyel enerji prensibi ve Reissner prensibi olarak

sayılabilir. Fonksiyonelin türevinin sıfır olduğu noktada fonksiyonu ekstremize eden

değerler bulunur. İkinci türevinin sıfırdan büyük veya küçük olmasına göre bu değerin

maksimum veya minimum olduğu anlaşılır.

III) Ağırlıklı Kalanlar Yaklaşımı: Bir fonksiyonun çeşitli değerler karşılığında elde

edilen yaklaşık çözümü ile gerçek çözüm arasındaki farkların bir ağırlık fonksiyonu ile

çarpılarak toplamlarını minimize etme işlemine “ağırlıklı kalanlar yaklaşımı” denir. Bu

yaklaşım kullanılarak eleman özelliklerinin elde edilmesinin avantajı, fonksiyonellerin elde

edilemediği problemlerde uygulanabilir olmasıdır.

IV) Enerji Dengesi Yaklaşımı: Bir sisteme giren ve çıkan termal veya mekanik

enerjilerin eşitliği ilkesine dayanır. Bu yaklaşım bir fonksiyonele ihtiyaç göstermez.

Sonlu elemanlar metodu ile problem çözümünde kullanılacak olan yaklaşık çözüm

işleminde izlenecek yolu değiştirmez. Çözüm yöntemindeki adımlar şunlardır:

a) Cismin sonlu elemanlara bölünmesi,

b) İnterpolasyon fonksiyonlarının seçimi,

c) Eleman direngenlik matrisinin teşkili,

d) Sistem direngenlik matrisinin hesaplanması,

e) Sisteme etki eden kuvvetlerin bulunması,

f) Sınır şartlarının belirlenmesi,

g) Sistem denklemlerinin çözümü.

Sonlu eleman probleminin çözümünde ilk elemen tipinin belirlenmesi ve çözüm

bölgesinin elemanlara ayrılmasıdır. Çözüm bölgesinin geometrik yapısı belirlenerek bu

geometrik yapıya en uygun gelecek elemanlar seçilmelidir. Seçilen elemanların çözüm

bölgesini temsil etme oranında, elde edilecek neticeler gerçek çözüme yaklaşmış olacaktır.

Sonlu elemanlar metodunda kullanılan elemanlar boyutlarına göre dört kısma ayrılabilir

.

3.2 Eleman Tipleri

3.2.1 Tek boyutlu elemanlar: Bu elemanlar tek boyutlu olarak ifade edilebilen

problemlerin çözümünde kullanılır.

3.2.2 İki boyutlu elemanlar: İki boyutlu (düzlem) problemlerinin çözümünde

kullanılırlar. Üçgen elemanın altı, dokuz ve daha fazla düğüm ihtiva eden çeşitleri de vardır.

Düğüm sayısı seçilecek interpolasyon fonksiyonunun derecesine göre belirlenir. Üçgen

eleman, çözüm bölgesini aslına uygun olarak temsil etmesi bakımından kullanışlı bir eleman

tipidir. İki üçgen elemanın birleşmesiyle meydan gelen dörtgen eleman, problemin

geometrisine uyum sağladığı ölçüde kullanışlılığı olan bir elemandır dört veya daha fazla

düğümlü olabilir. Dörtgen eleman çoğu zaman özel hal olan dikdörtgen eleman şeklinde

kullanılır.

3.2.3 Dönel elemanlar: Eksenel simetrik özellik gösteren problemlerin çözümünde

dönel elemanlar kullanılır. Bu elemanlar bir veya iki boyutlu elemanların simetri ekseni

etrafında bir tam dönme yapmasıyla oluşurlar. Gerçekte üç boyutlu olan bu elemanlar,

eksenel simetrik problemleri iki boyutlu problem gibi çözme olanağı sağladığı için çok

kullanışlıdırlar.

3.2.4 Üç Boyutlu elemanlar: Bu grupta temel eleman üçgen piramittir. Bunun dışında

dikdörtgenler prizması veya daha genel olarak altı yüzeyli elemanlar, üç boyutlu

problemlerin çözümünde kullanılan eleman tipleridir.

3.2.5 İzoparametrik elemanlar: Çözüm bölgesinin sınırları eğri denklemleri ile

tanımlanmışsa, kenarları doğru olan elemanların bu bölgeyi tam olarak tanımlaması mümkün

değildir.

Böyle durumlarda bölgeyi, gereken hassasiyette tanımlamak için elemanların boyutlarını

küçültmek, dolayısıyla sayılarını artırmak gerekmektedir. Bu durum çözülmesi gereken

denklem sayısını artırır, dolayısıyla gereken bilgisayar kapasitesinin ve zamanın büyümesine

sebep olur. Bu olumsuzluklardan kurtulmak için, çözüm bölgesinin eğri denklemleri ile

tanımlanan sınırlarına uyum sağlayacak eğri kenarlı elemanlara ihtiyaç hissedilmektedir.

Böylece hem çözüm bölgesi daha iyi tanımlanmakta hem de daha az sayıda eleman

kullanılarak çözüm yapılabilmektedir. Bu elemanlar üzerindeki düğüm noktaları bir

fonksiyon ile tanımlanır. İzoparametrik sonlu elemanın özelliği, her noktasının konumunun

ve yer değiştirmesinin aynı mertebeden aynı şekil (interpolasyon) fonksiyonu ile

tanımlanabiliyor olmasıdır. İzoparametrik elemanlara eşparametreli elemanlar da denir.

İzoparametrik elemanların şu özellikleri vardır:

a) Lokal koordinatlarda iki komşu eleman arasında süreklilik sağlanıyorsa,

izoparametrik elemanlarda da sağlanıyor demektir.

b) Eğer interpolasyon fonksiyonu lokal koordinat takımındaki elemanda sürekli ise,

izoparametrik elemanda da süreklidir.

c) Çözümün tamlığı lokal koordinatlarda sağlanıyor ise, izoparametrik elemanlarda da

sağlanır.

İzoparametrik elemanların anılan özellikleri dolayısıyla, interpolasyon fonksiyonları

lokal koordinatlarda seçilir.

3.3 İnterpolasyon Fonksiyonlarının Seçimi

İnterpolasyon fonksiyonu alan değişkeninin eleman üzerindeki değişimini temsil

etmektedir. İnterpolasyon fonksiyonunun belirlenmesi seçilen eleman tipine ve çözülecek

denklemin derecesine bağlıdır. Ayrıca interpolasyon fonksiyonları şu şartları sağlamalıdır:

a- İnterpolasyon fonksiyonunda bulunan alan değişkeninin en yüksek mertebeden bir

yüksek mertebeye kadar olan kısmi türevleri eleman sınırlarında sürekli olmalıdır.

b- İnterpolasyon fonksiyonunda bulunan alan değişkeninin bütün türevleri, eleman

boyutları sıfıra gitse bile alan değişkenini karakterize etmelidir.

c- Seçilen interpolasyon fonksiyonu koordinat değişimlerinden etkilenmemelidir.

Hem yukarıdaki şartları sağlamaları hem de türev ve integral almadaki kolaylığından

dolayı interpolasyon fonksiyonu olarak genelde polinomlar seçilir. Seçilen polinom,

yukarıdaki şartların gerçekleşmesi için uygun terimleri ihtiva etmelidir.

3.4 Eleman Direngenlik Matrisinin Elde Edilmesi

Eleman direngenliğinin bulunması, elemana etki eden dış etkenler ile alan değişkenleri

arasında bir ilişki kurmak anlamına gelmektedir. Eleman direngenliğini elde ederken

çözülecek problemin konusu, atanan değişkeni, seçilen eleman tipi, seçilen interpolasyon

fonksiyonu, eleman özelliklerine elde ederken kullanılan metot gibi pek çok faktör göz

önüne alınmak durumundadır. Etki eden bu faktörlere göre de eleman direngenliğinin elde

edilmesinde değişik yollar izlenir.

3.5 Sistem Direngenlik Matrisinin Elde Edilmesi

Sistem direngenlik matrisi sistemin düğüm sayısı ve her düğümdeki serbestlik derecesine

bağlı olarak belirlenir. Elemanlar için hesaplanan direngenlik matrisleri, elemanın üzerindeki

düğüm numaralarına bağlı olarak genel direngenlik matrisinde ilgili satır ve sütununa

yerleştirilir. Farklı elemanlar tarafından ortak kullanılan düğümlerdeki terimler genel

direngenlik matrisinin ilgili satır ve sütununda üst üste toplanmalıdır. Elemanların düğüm

numaralaması bir sistematiğe göre yapılırsa genel direngenlik matrisinde elemanlar

diyagonal üzerinde üst üste toplanır. Genelde direngenlik matrisi simetriktir.

3.6 Sisteme Etki Eden Kuvvetlerin Bulunması

Bir problemde sisteme etki edebilecek kuvvetler şunlar olabilir:

- Tekil Kuvvetler: Tekil kuvvetler hangi elemanın hangi düğümüne ne yönde etki

ediyorsa genel kuvvet vektöründe etki ettiği düğüme karşılık gelen satıra yerleştirilir.

Problemin cinsine göre tekil yük kavramı değişebilir. Örneğin ısı iletimi probleminde

elastisite problemindeki tekil yüke karşılık noktasal ısı kaynağı veya tanımlı ısı akışı yükleri

bulunmaktadır.

- Yayılı Kuvvetler: Bu kuvvetler bir kenar boyunca ya da bir alanda etkili olurlar.

- Kütle Kuvvetleri: Eleman hacmi için geçerli olan merkezkaç kuvveti ve ağırlık

kuvvetleri gibi kuvvetlerdir.

3.7 Sınır Şartlarının Belirlenmesi

Her problemin tabii olarak ya da yapay sınır şartları vardır. Sınır şartları, cismin çeşitli

kısımlarındaki elastik yer değiştirmelerin ölçülebileceği bir referans sağlar. Bir çubuk

eleman ele alalım. Bu eleman için bir sınır şartı tanımlanmazsa, etki eden düğüm

kuvvetlerinin büyük, küçük ya da eşit olmasına göre hareket eder ve deplasman u1=u2 olarak

çubukta rijit cismin hareketi gözlenir.

Binci durumdaki rijit cisim hareketi genel direngenlik matrisinin tekil olmasına sebep

olur. Bu durum u1=u2’nin ölçüleceği bir referans noktasının belirlenmemiş olmasına

bağlanabilir. Gerçekte bir referans noktası sağlanmak zorundadır. Aynı çubuğu;

u2F2/k

şeklinde ifade edebiliriz. Çünkü u1=0 çubuğun sınır şartıdır. Böylece sınır şartları; cismin

belli parçasında veya parçalarındaki yer değiştirmelerde yapılan kısıtlamalar denilebilir. Bu

kısıtlamalar, cismin rijit yer değiştirmesine engel olur ve uygulanan dış yüklerin cisim

tarafından taşınmasını sağlar. Aynı sınır şartları problemin cinsine göre sonlu elemanlar

metodunun uygulandığı diğer vektörel ve skaler alan problemleri için de tanımlanır.

3.8 Sistem Denkleminin Çözümü

Çözüm için sistemin sınır şartları da göz önüne alınarak direngenlik matrisinin tersini

almak yeterlidir. Fakat bilgisayar kapasitesi ve bilgisayar zamanı açısından çok büyük

matrislerin çözümünü ters alam işlemi ile yapmak yerine Gauss eliminasyon metodu ile daha

az kapasite ve daha kısa sürede yapmak mümkün olmaktadır.

BÖLÜM DÖRT

ANSYS 8.0

ANSYS, çok çeşitli problemleri, sonlu elemanlar metoduna dayanarak nümerik çözüm

yapan bir paket programdır. Bu problemler; statik veya dinamik durum analizleri (lineer-

nonlineer), termal, akışkan, elektromagnetik, vs.

Genel olarak, sonlu elemanlarla çözüm üç ana bölüme ayrılır.

1. Ön Hazırlık (Preprocessing): Problemin Tanımlanması; ön hazırlık bölümünün ana

adımları şöyledir:

Keypointlerin/ node’ların/ doğruların/ alanların/ hacimlerin tanımlanması

Eleman tipinin ve malzemesinin/ geometrik özelliklerinin tanımlanması

Doğruların/ alanların/ hacimlerin gerekli şekilde mesh edilmesi.

Analiz için gerekli ayrıntıların miktarı, analizin boyutuna göre (1D, 2D, asimetrik,

3D) değişmektedir.

2. Çözüm (Solution): Yüklerin Sınırlamaların Uygulanması ve Çözüm; burada yükleri

(bir noktaya veya basınç), sınırlamaları (öteleme ve dönme) belirliyoruz ve oluşan

denklemlerin çözümünü yapıyoruz.

3. Çözüm Sonrası (Postprocessing): Sonuçların Görülmesi, Değerlendirilmesi; bu

adımda şunları görmek isteyebilirsiniz:

Düğüm noktalarının yer değiştirme listesi

Her bir elemana gelen kuvvetler ve momentler

Çökme grafiği

Gerilme diyagramı

4.1 ANSYS LS-DYNA İle Gerilme Analizi

ANSYS LS-DYNA ile gerilme analizi aşağıdaki sıra izlenir.

Problemin açıklanması

Analiz tipinin tanımlanması

Geometrilerin modellenmesi

Element tipinin ve malzeme özelliklerinin tanımlanması

Mesh işleminin yapılması

Yüklerin uygulanması

Çözümün elde edilmesi

Sonuçların incelenmesi

4.2 Analizin Yapılışı

4.2.1 Problemin Açıklanması

Bu problemde, çeşitli hızlardaki vurucu, çeşitli et kalınlıklarındaki kompozit borunun

üzerine düşürülmüştür. Vurucu 14.42 kg ağırlığındadır. Vurucu 0.075 m yüksekten

numunelerin üzerine 2 m/s, 5 m/s ve 10 m/s’lik hızlarla düşürülmektedir.

4.2.2 Verilenler

Vurucunun ağırlığı 14.42 kg.

Vurucunun düşürüldüğü yükseklik 0.075 m.

Vurucunun malzeme özellikleri; elastisite modülü 200 GPa, yoğunluğu 8160 kg/m3,

Poisson oranı 0.32.

Numunenin boyutları dış çap 0.3 m, boy 1 m.

Numunelerin et kalınlıkları; 5 mm, 10 mm ve 15 mm.

Numunenin malzeme özellikleri: Kompozit malzeme için; DENS: 1506 kg/m3, Ex:

44 GPa, Ey: 10.5 GPa, Ez: 10.5 GPa, NUXY: 0.216, NUYZ: 0.216, NUXZ: 0.36, Gxy: 2.244

GPa, Gyz: 2.244 GPa, Gxz: 3.74 GPa

Numune 4 tabakalı ve oryantasyon açıları sırasıyla 0°, 90°, 90°, 0°’dir.

4.2.3 Yaklaşımlar ve Kabuller

Hava direnci ihmal edilmiştir.

4.2.4 Aşamaların Özeti

Analiz tipinin tanımlanması

1. Preferences’ın ayarlanması.

Geometrilerin modellenmesi

2. Numunenin modellenmesi.

3. Vurucunun modellenmesi.

Element tipinin ve malzeme özelliklerinin tanımlanması

4. Element tipinin tanımlanması.

5. Malzemelerin özelliklerinin tanımlanması.

Mesh işleminin yapılması

6. Vurucunun mesh işleminin yapılması.

7. Numunenin mesh işleminin yapılması.

8. Vurucu bileşeninin oluşturulması.

9. Numune bileşeninin oluşturulması.

10. Kontak parametrelerinin belirtilmesi.

Yüklerin uygulanması

11. Vurucuya ilk hızın uygulanması.

12. Çıktı kontrollerinin belirtilmesi.

Çözümün elde edilmesi

13. Çözüm.

14. Gerilme animasyonunun elde edilmesi

Sonuçların incelenmesi

15. Kuvvet-zaman ve gerilme–zaman grafiklerinin elde edilmesi.

BÖLÜM BEŞ

ANSYS ÇÖZÜM

5.1 Analiz Tipinin Tanımlanması

Ansys programıyla çarpışma analizi yapabilmek için ilk önce LS-DYNA modülünü aktif

etmemiz gerekir

Başlat→ Programlar→ ANSYS 8.0→ Configure ANSYS Product→ ANSYS

Multiphysics LS-DYNA sekmesi tıklanır, çıkan pencereden Drop Test seçilir.

Main Menu→ Preferences→ Structural ve LS-DYNA Explicit seçilir→ OK

5.2 Element Tipinin ve Malzeme Özelliklerinin Tanımlanması

Main Menu→ Preprocessor→ Element Type→ Add/Edit/Delete→ Add→ Thin Shell

163→ Apply→ 3D Solid 164→ Close

Main Menu→ Preprocessor→ Element Type→ Add/Edit/Delete→ Shell163 seçilir→

Opitions→ Layered Composite Mode Composite ve Integration rule ID 4 girilir→ OK

Main Menu→ Preprocessor→Real Constant→ Add→ Shell163→ OK→ Real Constant

Set No 1 olarak girilir→ SHRF=5/6, NIP=4 ve T1=T2=T3=T4=0.005 girilir→ OK

Spacing of integration points Variable spacing olarak seçilir→ OK

Açılan pencerede oryantasyon acıları(beta (i)) 0-90-90-0 ve material ID her tabaka için 1

girilir→ OK

Main Menu→ Preprocessor→ Material Props→ Material Models→ LS-DYNA→

Linear→ Elastic→ Orthotropic→ Aşağıdaki değerler girilir→ OK

Metarial→ New Model→ 2→ OK→ LS-DYNA→ Linear→ Elastic→Isotropic→

Malzeme özellikleri girilir→ OK

Metarial→ Exit

5.3 Geometrilerin Modellenmesi

5.3.1 Kompozit Borunun Modellenmesi

Main Menu→ Preprocessor→ Modelling→ Create→ Keypoints→ In active CS→ X:0,

Y:0, Z:-0.5→ Apply→ X:0, Y:0, Z:0.5→ OK iki tane keypoints oluşturulur.

Main Menu→ Preprocessor→ Modelling→ Create→Lines→ Lines→ Straight Line→

Sırasıyla oluşturulan iki keypoints tıklanır→ OK

Utility Menu→ Work plane→ Ofset WP→ koordinat sistemi -0.5 Z yönümde ötelenir→

OK

Main Menu→ Preprocessor→ Modelling→ Create→ Lines→ Arcs→ Full Circle→ WP

Coordinates işaretlenir→ İlk Keypoint tıklanır→ r=0.075 girilir→ OK

Main Menu→ Preprocessor→ Modelling→ Operate→ Extrude→ Lines→ Along

Lines→ Çember seçilir→ OK→ Doğru tıklanır→ OK

5.3.2 Vurucunun Modellenmesi

Utility Menu→ Work plane→ Ofset WP→ Koordinat sistemi –Y yönünde 0.3, +Z

yönünde de 0.5 ötelenerek vurucunun silindire tam orta noktasından vurması sağlanır→ OK

Main Menu→ Preprocessor→ Modelling→ Create→ Volumes→ Sphere→ By

Dimensions→ yarıçapı 0.075 olan bir küre çizilir→ OK

5.4 Mesh İşleminin Yapılması

5.4.1 Silindirin Mesh İşleminin Yapılması

Main Menu→ Preprocessor→ Meshing→ Mesh Tool→ Element Attributes→ Set→

Element type number, Metarial number ve Real constant set number silindirin değerleri olan

1 girilir→ OK→ Size Controls→ Global Set→ 0.02→ OK→ Mesh Areas→ Quad

mapped→ Mesh→ silindir tıklanır→ OK

5.4.2 Vurucunun Mesh İşleminin Yapılması

Main Menu→ Preprocessor→ Meshing→ Mesh Tool→ Element Attributes→ Set→

Element type number ve Metarial number vurucunun değerleri olarak değiştirilir (2)→ Mesh

Volumes→ Tet Free→ Mesh→ Vurucu küre tıklanır→ OK

5.5 Bileşenlerin Oluşturulması

5.5.1 Numune Bileşenlerinin Oluşturulması

Utility Menu→ Select→ Entities→ Elements→ By Attributes→ Malzeme numarası 1

girilir→ Apply→ Nodes→ Attached to→ Elements→ OK

Utilitiy Menu→ Select→ Comp/Assembly→ Create Component→ Bileşen ismi olarak→

“Silindir” yazılır→ OK

Utilitiy Menu→ Select→ Everything

5.5.2 Vurucu Bileşenlerinin Oluşturulması

Utility Menu→ Select→ Entities→ Elements→ By Attributes→ Malzeme numarası 2

girilir→ Apply→ Nodes→ Attached to→ Elements→ OK

Utilitiy Menu→ Select→ Comp/Assembly→ Create Component→ Bileşen ismi olarak→

“vurucu” yazılır→ OK

Utilitiy Menu→ Select→ Everything

5.5.3 Kontak Parametrelerinin Belirtilmesi

Main Menu→ Preprocessor→ LS-DYNA Options→ Contact→ Define Contact→

Contact Type “Surface to Surf” ve “Automatic(ASTS)”→ OK

Contact Options→ Contact Component(vurucu)→ Target Component(silindir) → OK

5.6 Yüklerin Uygulanması

5.6.1 Vurucuya İlk Hızın Uygulanması

Main Menu→ Preprocessor→ LS-DYNA Options→ Initial Velocity→ On Nodes→

w/Nodal Rotate→ Vurucu yazılır ve Y yönünde 5 m/s’lik hız girilir→ OK

Utility Menu→ Parameters→ Array Parameters→ Define/Edit→ Add→ Parameter name

time yazılır→ OK→ Edit→ iki zaman aralığı 0 ve 1 girilir→ File→ Apply/Quit

Utility Menu→ Parameters→ Array Parameters→ Define/Edit→ Add→ Parameter name

gravity yazılır→ OK→ Edit→ iki zaman aralığı 9.81 ve 9.81 girilir→ File→ Apply/Quit→

Close

5.6.2 Vurucuya İvmenin Uygulanması

Main Menu→ Preprocessor→ LS-DYNA Options→ Specify Loads→ Loads

Labels=ACLY, Component Name=VURUCU, Parameter name for time values=TIME,

Parameter name for data values=GRAVITY seçilir→ OK

Main Menu→ Preprocessor→ LS-DYNA Options→ Constraints→ Apply→ On Lines→

Boru uç kısımlarından mesnetlenir→ OK→ All Dof → OK

5.7 Çözümün Elde Edilmesi

5.7.1 Çıktı Kontrollerinin Belirtilmesi

Main Menu→ Solution→ Time Controls→ Solution Time→ Terminate at Time=0.05

girilir→ OK

Main Menu→ Solution→ Output Controls→ File Output Freq→ Number of Steps→

Specify Results File Output Interval=100, Specify Time-History Output Interval=50 girilir→

OK

Main Menu→ Solution→ Analysis Options→ Energy Options→ Bütün enerji

opsiyonları seçilir→ OK

5.7.2 Çözüm

Main Menu→ Solution→ Solve

5.8 Analiz Sonuçlarının Alınması

Main Menu→ General Postproc→ Read Results→ First Set

Dinamik analizi animasyon seklinde görmek için:

Utility Menu→ PlotCtrls→ Animate→ Over Results→ Stress ve von Mises seçilir→ OK

Bu sayade numunede meydana gelen von mises gerilmeleri animasyon şekline

görülebilir.

Numune boyunca meydana gelen gerilmeleri bulmak için:

Main Menu→ General Postproc→ Path Operations→ Define Path→ By Nodes→ Hangi

iki node arasındaki gerilme isteniyorsa onlar tıklanır→ OK→ Define Path Name Girilir→

Map onto Path→ von mises→ Plot Results→ Plot Path Item→ On Graph→ SEQV→ OK

Numunenin belli bi noktasında zaman bağlı gerilmeyi bulmak için:

Main Menu→ TimeHist Postpro→ Add Data→ Nodal Solution→ Stress→ von Mises

stress→ OK→ Hangi node isteniyorsa orası tıklanır veya numarası biliniyorsa yazılır→

OK→ Graph Data’dan grafik elde edilir, List Data’dan ise sonuçlar liste şeklinde alınabilir.

Numunenin belli bi noktasnda zaman bağlı ivmeyi bulmak için:

Main Menu→ TimeHist Postpro→ Add Data→ Nodal Solution→ DOF Solution→ Y

yönündeki ivme→ OK→ Node numarası girilir→ OK

5.8.1 İlk Hızı 2 m/s Olan Vurucu İle 5 mm Et kalınlığına Sahip Silindirin Dinamik

Analiz Sonuçları (A1)

Şekil 5.1 Kompozit Borunun Oryantasyon Dizilişi

Şekil 5.2 Kompozit Boru Boyunca Meydana Gelen von Mises Gerilmesi

Şekil 5.3 A1 Numunesinin Deforme Olmuş ve Deforme Olmamış Şekli

Şekil 5.4 A1 Numunesinin Mesnet Noktasindaki Gerilme-Zaman Diagramı

Şekil 5.5 A1 Numunesinin Orta Noktasındaki Gerilme-Zaman Diagramı

Şekil 5.6 A1 Numunesinin Orta Noktasındaki Kuvvet-Zaman Diagramı

5.8.2 İlk Hızı 2 m/s Olan Vurucu İle 10 mm Et kalınlığına Sahip Silindirin

Dinamik Analiz Sonuçları (A2)




Dinamik Analiz Sonuçları (A3)




Dinamik Analiz Sonuçları (B1)

Şekil 5.15 B1 Numunesinin Deforme Olmuş ve Deforme Olmamış Şekli

Şekil 5.16 B1 Numunesinin Mesnet Noktasindaki Gerilme-Zaman Diagramı

Şekil 5.17 B1 Numunesinin Orta Noktasındaki Gerilme-Zaman Diagramı

Şekil 5.18 B1 Numunesinin Orta Noktasındaki Kuvvet-Zaman Diagramı


Dinamik Analiz Sonuçları (C1)

Şekil 5.27 C1 Numunesinin Deforme Olmuş ve Deforme Olmamış Şekli

Şekil 5.28 C1 Numunesinin Mesnet Noktasindaki Gerilme-Zaman Diagramı

Şekil 5.29 C1 Numunesinin Orta Noktasındaki Gerilme-Zaman Diagramı

Şekil 5.30 C1 Numunesinin Orta Noktasındaki Kuvvet-Zaman Diagramı

BÖLÜM ALTI

ANALİZ SONUÇLARININ İNCELENMESİ

6.1 Mesnet Noktasındaki Gerilme-Zaman Değerlerinin İncelenmesi

Gerilme - Zaman

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0,000 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 0,060

Zaman [s]

Ger

ilme

[MPa

]

5 mm10 mm15 mm

Şekil 6.1 2 m/s’lik Hıza Sahip Vurucunun Mesnet noktasında Yarattığı Gerilme-Zaman Diagramı

Gerilme - Zaman

0

20

40

60

80

100

120

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

Zaman [s]

Ger

ilme

[MPa

]

5mm10mm15mm


Gerilme - Zaman

0

50

100

150

200

250

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

Zaman [s]

Ger

ilme

[MPa

]

5mm10mm15mm


6.2 Kompozit Borudaki Gerilme-Zaman Değerlerinin İncelenmesi

Gerilme - Zaman

0

5

10

15

20

25

30

35

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Zaman [s]

Ger

ilme

[MPa

]

5 mm10 mm15 mm

Şekil 6.4 2 m/s’lik Hıza Sahip Vurucunun Kompozit Boruda Yarattığı Gerilme-Zaman Diagramı

Gerilme - Zaman

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035

Zaman [s]

Ger

ilme

[MPa

]

5mm10mm15mm


Gerilme - Zaman

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025

Zaman [s]

Ger

ilme

[MPa

]

5mm10mm15mm


6.3 Kompozit Borudaki Kuvvet-Zaman Değerlerinin İncelenmesi

Kuvvet - Zaman

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0,000 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050

Zaman [s]

Kuvv

et [k

N]

5 mm10 mm15 mm

Şekil 6.7 2 m/s’lik Hıza Sahip Vurucunun Kompozit Boruda Yarattığı Kuvvet-Zaman Diagramı

Kuvvet - Zaman

-1000-800-600-400-200

0200400600800

1000

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025

Zaman [s]

Kuv

vet [

kN]

5 mm10 mm15 mm


Kuvvet - Zaman

-1200

-800

-400

0

400

800

1200

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

Zaman [s]

Kuvv

et [k

N]

5 mm10 mm15 mm


6.4 Analiz Sonuçlarının Değerlendirilmesi

Analizler 5 mm, 10 mm ve 15 mm et kalınlıkları için sonuçlar yukarıda yeralmaktadır.

Bunun sonucunda 5 mm et kalınlığına sahip numunede diğerlerine oranla daha büyük

gerilmeler söz konusudur. 15 mm et kalınlığı için ise ani büyük kuvvetler meydana

gelmektedir. Bu durumda hem gerilme hem de kuvvet bakımından en uygun et kalınlığı 10

mm olarak elde edilmiştir.

KAYNAKLAR

1) SAYMAN, O., KARAKUZU, R., ZOR, M., ŞEN, F., Mukavemet II, D.E.Ü Makine

Mühendisliği Bölümü, 1997

2) ASLAN, Z. Behavior Of Laminated Composite Structures Subjected To Low

Velocity İmpact, Doktora Tezi, D.E.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002

3) MOAVENİ, S. Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1999

4) ANSYS 8.0 Tutorials

5) P. BEER, F. ve JOHNSTON, E. R., Mechanical Of Materials, Mc-Graw Hill, 1987

KOMPOZİT BORULARIN DARBE YÜKLERİNE KARŞI DAVRANIŞLARININ...

Documents

Transcript of KOMPOZİT BORULARIN DARBE YÜKLERİNE KARŞI DAVRANIŞLARININ...