Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus...
Transcript of Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus...
![Page 1: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/1.jpg)
Kompiuterinė lazerių fizika
ĮVADAS
Konspektai
http://web.vu.lt/ff/v.pyragaite/
Skyrelis TEACHING
![Page 2: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/2.jpg)
Laboratoriniai
311 aud., du pogrupiai, kas antra savaitė
Matlab kalba
8 laboratoriniai – užduotys, surašytos interneto puslapyje
![Page 3: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/3.jpg)
Istorija
LASER – light amplification by stimulated emission of radiation
Lazerio principas kilo iš maser’io principoMASER – microwave amplification by stimulated emissionMaseris buvo pasiūlytas: Basov ir Prokhorov (1954-1955) bei Townes (1954).Schalow ir Townes perkelė jo principą į matomą spinduliuotę.
Maseris – perėjimai tarp molekulinių lygmenųLaseris – perėjimai tarp atomo elektrono lygmenų.
![Page 4: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/4.jpg)
Lazerio sandara
•Rezonatorius•Aktyvoji terpė•Kaupinimo šaltinis
Bėganti e.m. banga:Rezonatoriuje – stovinčios e.m. bangos
Rezonatoriaus ilgis lygus sveikam pusbangių skaičiui.
![Page 5: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/5.jpg)
Lazerio sandara
Aktyvioji terpė – šuoliai tarp elektroninių lygmenų. Užpildos inversija – lazerio generacijos sąlyga.
Lygmenų schemos.
Trijų lygmenų schema: Keturių lygmenų schema:
3 3
Kaupi-nimas
Nespindulinisperėjimas 2
2Lazerinisperėjimas
1
1 0
Pvz.: rubino lazeris Pvz: neodimio stiklo lazeris
![Page 6: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/6.jpg)
Lazerio spinduliuotės savybės:
•Didelės galios (1010 W)•Kryptingumas •Monochromatiškumas (δν/ν=10-15)•Koherentiškumas (300000 km – koherentiškumo ilgis)•Ultratrumpieji impulsai (fs)
Lygmenų išplitimas
Dėl įvairių priežasčių lazeriniai lygmenys išplitę:Lorenco (baigtinė gyvavimo trukmė)Gauso (susidurimai tarp molekulių)
![Page 7: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/7.jpg)
Lazerio aprašymas
•Rate equations - fenomenologinė teorija.•Pusiau klasikinė teorija – atomas aprašomas kvantmechaniškai, šviesa –klasikinė, elektromagnetinė banga.•Kvantinė lazerio teorija – ir atomas, ir šviesa kvantiniai. Paaiškina spontaninįspinduliavimą.
Pradžioje panagrinėsime fenomenologines lygtis.
![Page 8: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/8.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Dviejų lygmenų schema, neįskaitomas spontaninis spinduliavimas.
Fotonų skaičiaus kitimo greitis
Greitis, kuriuosužadintas atomasgeneruoja/sugeria fotoną
Viršutinio lygmensužpilda, priverstinisspinduliavimas
Apatinio lygmensužpilda, priverstinėsugertis
Praradimai rezonatoriuje
![Page 9: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/9.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Tikimybė pereiti išviršutinio lygmensĮ apatinį (pvz. susidūrimai)
Viršutinio lygmens užpildos kitimo greitis
Tikimybė pereiti išapatinio lygmens į viršutinį(dėl kaupinimo)
Priverstinis spinduliavimasbei sugertis
![Page 10: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/10.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Analogiškai apatiniam lygmeniui:
Sudėję turime
Taigi, bendras atomųskaičius – nekintantisdydis
![Page 11: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/11.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Pažymėję
Galime išreikšti
Tuomet
![Page 12: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/12.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Pažymime
vadinsime neįsotintaInversija (bus aišku, kodėl)
Gauname
bei
Tai yra dvi sukabintos diferencialinės lygtys. Bendru atveju analiziškaijos nesisprendžia. Panagrinėsime pradžiai stacionarius sprendinius.
![Page 13: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/13.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Stacionarus atvejis
Matome, kodėl buvo įvestas terminas ‘neįsotinta inversija’. Kai fotonų skaičiusmažas, D lygus D_0.
![Page 14: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/14.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Fotonų skaičiui stacionariuoju atveju turime
Ši lygtis turi du galimus sprendinius:
ir
Panagrinėkime šiuos sprendinius išsamiau.
![Page 15: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/15.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
-Nėra lazerio generacijos(neįskaitytas spontaninis spind.)
Kai , galimas tik nulinis sprendinys.
Kai
galimas sprendinys.Tai yra lazerio generacijos sąlyga.Kaupinimas turi būti pakankamas,kad būtų sukompensuoti nuostoliai.
![Page 16: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/16.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Stacionarųjį sprendinį
Galima apytiksliai perrašyti
Tardami, kad D lėtai kintair įrašę į:
Gauname
arba
![Page 17: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/17.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
Startuodami iš bet kokios pradinės sąlygos,sprendinys suvažiuoja į nulį
Sprendinys artėja link n_0
Užduotis: sumodeliuoti šią lygtį Runge-Kutta metodu abiem atvejaisesant skirtingom pradinėm sąlygoms.
![Page 18: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/18.jpg)
Lazerio aprašymas – rate equations
a=1b=1
a=-1b=1
![Page 19: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/19.jpg)
Oilerio metodai
I Oilerio metodas
Teiloro eilutė iki pirmos eilės išvestinės
![Page 20: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/20.jpg)
Oilerio metodai
II Oilerio metodas
Tarpinė reikšmė:
Galutinė
Tai atitinka Teiloro eilutės skleidinį iki antros eilės išvestinės.
![Page 21: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/21.jpg)
Oilerio metodai
II Oilerio metodas
Įrodymas
![Page 22: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/22.jpg)
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Tai atitinka Teiloro eilutės skleidinį iki ketvirtos eilės išvestinės.
![Page 23: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/23.jpg)
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
![Page 24: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/24.jpg)
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
Paliekami nariai tiktai iki ketvirtos eilės mažų narių.
![Page 25: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/25.jpg)
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
![Page 26: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/26.jpg)
Oilerio metodai
Runge-Kutta metodas
Įrodymas
![Page 27: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/27.jpg)
Oilerio metodaiRunge-Kutta metodas
Įrodymas
Sudėjus
![Page 28: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/28.jpg)
Oilerio metodai
RK 4 metodo įrodymo nereikės per egzaminą.
![Page 29: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/29.jpg)
Runge Kutta metodas su Matlab
Funkcija [t,y]=ode45(@func, [tprad tgal],[y0]);
Funkcija func aprašoma to paties pavadinimo faile func.mMatlab Help:ODE::defined
Piesimas:
plot(t,y);
![Page 30: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/30.jpg)
Paviršinė vandens banga = išilginė b.+ skersinė b.
![Page 31: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/31.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Kaip aprašyti bangą matematiškai?
atsilenkimas nuo pusiausvyros padėtiesξPažymėkime:
Dabar nesvarbu, ar tai atsilenkimas išilgai bangos sklidimo krypties (išilginė banga),ar statmenai bangos sklidimo krypties (skersinė banga).
Jei yra bet kokia funkcija f nuo argumento:
vxt /− vxt /+arba
tai ji nusako bangos sklidimą greičiu v, X ašies kryptimi arba priešinga kryptim.t – laikas.
ξ
Iš tikrųjų: vdtdxconstxvt =⇒=− /
Kodėl v yra bangos greitis?
(Kai funkcijos argumentas pastovus, tai ir funkcijos reikšmė pastovi.)
![Page 32: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/32.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Taigi, funkcijos
)/(),()/(),(
vxtftxvxtftx
+=−=
ξξ aprašo bangos sklidimą X ašies kryptimi
aprašo bangos sklidimą prieš X ašį
Harmoninės bangos
])/[cos(),( vxtatx −= ωξ ω - ciklinis dažnis
Iš periodiškumo sąlygų:
- periodasTωππω /22 =⇒=∆ Tt
- bangos ilgisvTvvx ==⇒=∆ ωπλπω /22/ λ
Kadangi ν/1=T - virpesių dažnisν
tai νλ /v=
![Page 33: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/33.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Užrašysime kosinuso argumentą simetrine forma:
kxtvxt −=− ωωω /
ČiaTvvk /2/ πω ==
arbaλπ /2=k - banginis skaičius
Taigi harmoninė banga gali būti užrašyta taip:
)cos( kxta −= ωξ
![Page 34: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/34.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
)cos( kxta −= ωξ
![Page 35: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/35.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Šios funkcijos aprašo plokščias bangas: bangos frontas (vienodos fazės paviršius) yra plokštuma, statmena X ašiai. Banga, sklindantibet kokia pasirinkta kryptimi, aprašoma tokia lygtim:
)/( vnrtf vr−=ξ
nr - vienetinis vektorius, aprašantis bangos sklidimo kryptį
Harmoninės bangos atveju
)cos( rkta vv−= ωξ
kr
- banginis vektorius
![Page 36: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/36.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Banginės lygtys
Turėjome
)/(),( vxtftx −=ξ
Pažymėkime fazę: vxt /−=ϕ
Raskime išvestines pagal laiką ir koordinatę:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−•
∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
•∂∂
=∂∂
∂∂
=∂∂
vxx
tt1
1
ϕξϕ
ϕξξ
ϕξϕ
ϕξξ
Iš čia seka
tvx ∂∂
−=∂∂ ξξ 1 Tai yra pati paprasčiausia
banginė lygtis
![Page 37: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/37.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Bangai, sklindančiai priešinga kryptimi, atliksime pakeitimą
vv −⇒
Tuomet
tvx ∂∂
=∂∂ ξξ 1
Taigi, kiekviena iš dif. lygčių aprašo bangą, sklindančią viena arbapriešinga kryptim. Išvesime diferencialinę lygtį, kurios sprendiniai bus dviejų tokių bangų superpozicija.
![Page 38: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/38.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Tuo tikslu raskime antrąsias išvestines:
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
111ϕξϕ
ϕξ
ϕξξ
ϕξ
ϕξξξ
∂∂
=∂∂
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−=∂∂
∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
∂∂
=∂∂
vxvxvx
tttt
Iš čia gauname banginę lygtį:
2
2
22
2 1tvx ∂
∂=
∂∂ ξξ
Jos bendrasis sprendinys
)/()/( 21 vxtfvxtf ++−=ξ
![Page 39: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/39.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Trimačiu atveju banginė lygtis atrodo taip:
2
2
2
1tv ∂
∂=∆
ξξ
Sferinėje koordinačių sistemoje, jeigu sprendinys nepriklauso nuo erdviniųkampų, ši lygtis atrodo taip:
)(1)( 2
2
22
2
ξξ rtv
rr ∂
∂=
∂∂
Jos bendrasis sprendinys:
rvtrf
rvtrf )()( 21 +
+−
=ξ
Tai yra išsieinančios ir susieinančios sferinių bangų superpozicija.
![Page 40: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/40.jpg)
Bangų matematinis aprašymas
Kompleksinis atvaizdavimas.
Pagal Eulerio formulę:
)sin()cos()exp( ααα ii +=
Skaičiavimuose patogu plokščią bangą atvaizduoti kompleksinėjeformoje:
])[exp( ϕωξ −−−= rktiA
amplitudė fazė
![Page 41: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/41.jpg)
Animacijų kurimas su Matlab
Animacija
![Page 42: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/42.jpg)
Animacijų kurimas su Matlab
Matlab kodas
![Page 43: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/43.jpg)
Banginės lygties modeliavimas
xv
t ∂∂
−=∂∂ ξξ
![Page 44: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/44.jpg)
Banginės lygties modeliavimas
Diskretizavimas:
),(),( tjxitx ∆∆⇒ ξξ
i, j – sveikų skaičių seka
ji ttjxxi =∆=∆ ,Pažymime:
)()0,( 0 xtx ξξ ==Mes turime pradinę sąlygą:
,...,, 321 tttUždavinys: rasti bangos pavidalą sekantiems laiko momentams:
jt
tt j ∆+
0 x∆ x∆2 Nxx
![Page 45: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/45.jpg)
Banginės lygties modeliavimas
Žinodami , galima rasti pagal Teiloro formulę:),( jtxξ ),( 1+jtxξ
ij xxttjiji t
ttxttx==∂
∂∆+=∆+
,
),(),( ξξξ
Teiloro eilutėje įskaitomi tik du pirmieji skkleidimo nariai,toks artinys vadinamas pirmuoju Oilerio metodu.
Išvestinę paimam iš banginės lygties:ij xxttt ==∂
∂
,
ξ
ijij xxttxxtt xv
t ==== ∂∂
−=∂∂
,,
ξξ
![Page 46: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/46.jpg)
Banginės lygties modeliavimas
ij xxttx ==∂∂
,
ξ radimas
2
22
,
2
22
,
2)(),(),(
2)(),(),(
xx
xxtxtxx
xx
xxtxtxx
ij
ij
xxttjiji
xxttjiji
∂∂∆
+∂∂
∆−=∆−
∂∂∆
+∂∂
∆+=∆+
==
==
ξξξξ
ξξξξ
Iš pirmo lygties atimam antrąją, gauname
)2/()},(),({,
xtxxtxxx jiji
xxtt ij
∆∆−−∆+=∂∂
==
ξξξ
![Page 47: Kompiuterin lazeriųfizika - Vilniaus universitetasweb.vu.lt/ff/v.pyragaite/failai/klf/skaidres/ppt_ivadas.pdf · 2013. 7. 20. · Bangųmatematinis aprašymas Kaip aprašyti bangąmatematiškai?](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022081618/60adcf49f3ba4e1d61505d2d/html5/thumbnails/47.jpg)
Banginės lygties modeliavimas
Taigi, gauname
)2/()},(),({),(),( xtxxtxxtvtxttx jijijiji ∆∆−−∆+∆−=∆+ ξξξξ
Kraštinės sąlygos.
Kai , mes nežinome, kam lygusmaxii = ),( max ji txx ∆+ξ
Kai , mes nežinome, kam lygusminii = ),( min ji txx ∆−ξ
Banga sklinda teigiama X ašies kryptimi, todėl kairiajame krašte reikia užduotišaltinį, pavyzdžiui sinuso funkciją. Dešiniajame krašte užrašome:
xtxtxxtvtxttx jijijiji ∆−∆−∆+=∆+ /)},(),({),(),( maxmaxmaxmax ξξξξ