Klassische Elektrodynamik - Numerik - FR Mathematik Pascal Peter Klassische Elektrodynamik 13.01.09...
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Klassische Elektrodynamik
Pascal Peter
13.01.09
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 1 / 35
Gliederung
1 Klassische ElektrodynamikEinführungDie maxwellschen GleichungenVektornotation
2 Differentialform-Darstellung im dreidimensionalen AnsatzDarstellung der Felder durch DifferentialformenKontraktions-Operator und Lorentz-KraftTonti-DiagrammKugelkoordinaten
3 Raumzeit-Ansatz
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 2 / 35
Klassische Elektrodynamik
Teilgebiet der Physik:Eigenschaften und Wirkungen elektrischer und magnetischer Felder
Entstehung (Induktion, Verschiebungsstrom)Ausbreitung (elektromagnetische Wellen)Wirkung auf Materie (Kräfte)
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 3 / 35
Induktion
Ein zeitabhängiges Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.
Beispiel:Ein zeitabhängigesmagnetisches Feldinduziert Spannung Uindan einer Leiterschleife.Dies erzeugtwirbelförmiges elektrischesFeld entlang der Schleife.
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 4 / 35
Induktion
Ein zeitabhängiges Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Feld.
Beispiel:Ein zeitabhängigesmagnetisches Feldinduziert Spannung Uindan einer Leiterschleife.Dies erzeugtwirbelförmiges elektrischesFeld entlang der Schleife.
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 4 / 35
Verschiebungsstrom
Ein zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld.
Beispiel:Ein elektrisches Feld in einem Kondensator wächst linear mit der Zeitan.Dies erzeugt wirbelförmiges Magnetfeld um das elektrische Feld.
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 5 / 35
Verschiebungsstrom
Ein zeitabhängiges elektrisches Feld erzeugt ein Magnetfeld.
Beispiel:Ein elektrisches Feld in einem Kondensator wächst linear mit der Zeitan.Dies erzeugt wirbelförmiges Magnetfeld um das elektrische Feld.
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 5 / 35
Die maxwellschen Gleichungen
1865: Beschreibung derzeitlichen EntwicklungelektromagnetischerFelder im Raum durch dieMaxwell-Gleichungen.Gekoppeltes SystempartiellerDifferentialgleichungen.Zählen zu den wichtigstenGleichungen der Physik. Abbildung: J.C. Maxwell
(1831–1879)
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 6 / 35
Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen
Maxwellsche Gleichungen∂B∂t = −rot
−→E (Faradaysches Induktionsgesetz)
∂E∂t = rot
−→B − 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz)
div−→B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds)
div−→E = 4πρ (Poisson-Gleichung)
Lorentz-Kraft−→F = q(
−→E + v ×
−→B )
−→E : Elektrische Feldstärke,
−→B : Magnetische Flussdichte,
J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte,−→F : Lorentz-Kraft,
q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 7 / 35
Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen
Maxwellsche Gleichungen∂B∂t = −rot
−→E (Faradaysches Induktionsgesetz)
∂E∂t = rot
−→B − 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz)
div−→B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds)
div−→E = 4πρ (Poisson-Gleichung)
Lorentz-Kraft−→F = q(
−→E + v ×
−→B )
−→E : Elektrische Feldstärke,
−→B : Magnetische Flussdichte,
J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte,−→F : Lorentz-Kraft,
q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 7 / 35
Vektornotation der Maxwellschen Gleichungen
Maxwellsche Gleichungen∂B∂t = −rot
−→E (Faradaysches Induktionsgesetz)
∂E∂t = rot
−→B − 4πJ (Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz)
div−→B = 0 (Quellenfreiheit des Magnetfelds)
div−→E = 4πρ (Poisson-Gleichung)
Lorentz-Kraft−→F = q(
−→E + v ×
−→B )
−→E : Elektrische Feldstärke,
−→B : Magnetische Flussdichte,
J: magnetische Polarisation, ρ: Ladungsdichte,−→F : Lorentz-Kraft,
q: elektrische Ladung, v: Geschwindigkeit
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 7 / 35
Differentialform-Darstellung
im dreidimensionalen Ansatz
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 8 / 35
Darstellung der Felder durch Differentialformen
Dreidimensionaler Ansatz: Zeit als Parameter.Interpretation der Lorentzkraft F: 1-Form.
Aus−→F = q(
−→E + v ×
−→B ) folgt also: E und v × B sind 1-Formen.
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 9 / 35
Darstellung der Felder durch Differentialformen
Dreidimensionaler Ansatz: Zeit als Parameter.Interpretation der Lorentzkraft F: 1-Form.
Aus−→F = q(
−→E + v ×
−→B ) folgt also: E und v × B sind 1-Formen.
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 9 / 35
Darstellung der Felder durch Differentialformen
Die elektrische Feldstärke wird durch eine 1-Form repräsentiert:
E = Exdx + Eydy + Ezdz =−→E dq (1)
Hierbei sind Ex , Ey , Ez die kartesischen Komponenten des elektrischenFeldes.
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 10 / 35
Darstellung der Felder durch Differentialformen
B bezeichnet die Flächendichte des magnetischen Flusses, d.h. B mussüber Flächen integrierbar sein.
Daher stellen wir B durch eine 2-Form dar:
B = Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx =−→B θ (2)
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 11 / 35
Darstellung der Felder durch Differentialformen
B bezeichnet die Flächendichte des magnetischen Flusses, d.h. B mussüber Flächen integrierbar sein.
Daher stellen wir B durch eine 2-Form dar:
B = Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx =−→B θ (2)
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 11 / 35
Divergenz und Rotation
Wie lässt sich rotE in der Differentialformnotation darstellen?
dE = (∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y)dxdy + (
∂Ez
∂y− ∂Ey
∂z)dydz + (
∂Ex
∂z− ∂Ez
∂x)dzdx
= (rot−→E )θ
Wie lässt sich divB in der Differentialformnotation darstellen?
dB = (∂Bx
∂x+
∂By
∂y+
∂Bz
∂z)dxdydz = div
−→B Θ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 12 / 35
Divergenz und Rotation
Wie lässt sich rotE in der Differentialformnotation darstellen?
dE = (∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y)dxdy + (
∂Ez
∂y− ∂Ey
∂z)dydz + (
∂Ex
∂z− ∂Ez
∂x)dzdx
= (rot−→E )θ
Wie lässt sich divB in der Differentialformnotation darstellen?
dB = (∂Bx
∂x+
∂By
∂y+
∂Bz
∂z)dxdydz = div
−→B Θ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 12 / 35
Divergenz und Rotation
Erinnerung
Für ω =∑
aHdxH ∈p∧L, dimL = n gilt per Definition:
dω =n∑
i=1
∂aH
∂x i dx idxH
dB = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =∂Bz
∂zdzdxdy +
∂Bx
∂xdxdydz
+∂By
∂ydydzdx = (
∂Bz
∂z+
∂Bx
∂x+
∂By
∂y)dxdydz
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 13 / 35
Divergenz und Rotation
Erinnerung
Für ω =∑
aHdxH ∈p∧L, dimL = n gilt per Definition:
dω =n∑
i=1
∂aH
∂x i dx idxH
dB = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =∂Bz
∂zdzdxdy +
∂Bx
∂xdxdydz
+∂By
∂ydydzdx = (
∂Bz
∂z+
∂Bx
∂x+
∂By
∂y)dxdydz
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 13 / 35
Divergenz und Rotation
Durch Anwendung des Stern-Operators auf E und B erhalten wir:
∗E = Exdydz + Eydzdx + Ezdxdy
∗B = Bxdx + Bydy + Bzdz
Also gilt auch:d ∗ E = (div
−→E )Θ
d ∗ B = (rot−→B )θ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 14 / 35
Divergenz und Rotation
Durch Anwendung des Stern-Operators auf E und B erhalten wir:
∗E = Exdydz + Eydzdx + Ezdxdy
∗B = Bxdx + Bydy + Bzdz
Also gilt auch:d ∗ E = (div
−→E )Θ
d ∗ B = (rot−→B )θ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 14 / 35
Faradaysches Induktionsgesetz
Aus ∂−→B
∂t = −rot−→E erhalten wir mit (rot
−→E )θ = dE :
∂B∂t
= −dE
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 15 / 35
Faradaysches Induktionsgesetz
Aus ∂−→B
∂t = −rot−→E erhalten wir mit (rot
−→E )θ = dE :
∂B∂t
= −dE
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 15 / 35
Verallgemeinertes Ampèrsches Gesetz
Aus ∂−→E
∂t = rot−→B − 4π
−→J erhalten wir mit d ∗ B = (rot
−→B )θ:
∂ ∗ E∂t
= d ∗ B − 4πJ
mit der 2-Form
J = Jxdydz + Jydzdx + Jzdxdy
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 16 / 35
Verallgemeinertes Ampèrsches Gesetz
Aus ∂−→E
∂t = rot−→B − 4π
−→J erhalten wir mit d ∗ B = (rot
−→B )θ:
∂ ∗ E∂t
= d ∗ B − 4πJ
mit der 2-Form
J = Jxdydz + Jydzdx + Jzdxdy
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 16 / 35
Quellenfreiheit und Poisson-Gleichung
div−→B = 0 wird mit dB = div
−→B Θ zu:
dB = 0
div−→E = 4πρ wird mit d ∗ E = (div
−→E )Θ zu:
d ∗ E = 4πρΘ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 17 / 35
Quellenfreiheit und Poisson-Gleichung
div−→B = 0 wird mit dB = div
−→B Θ zu:
dB = 0
div−→E = 4πρ wird mit d ∗ E = (div
−→E )Θ zu:
d ∗ E = 4πρΘ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 17 / 35
Kontraktions-Operator
und Lorentz-Kraft
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 18 / 35
Der Kontraktions-Operator
DefinitionEs seien a2, a3, . . . , ar ∈ V beliebige TangentialvektorenWir definieren y : V × Λr → Λr−1; (a, ω) 7→ ayω mit
(ayω)(a2, a3, . . . , ar ) = ω(a, a2, a3, . . . , ar )
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 19 / 35
Beispiel
∂
∂xydxdy = dy
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 20 / 35
Lorentz-Kraft
Beweis:vyB =
= (vx∂
∂x+ vy
∂
∂y+ vz
∂
∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =
= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =
= (v ×−→B )dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 21 / 35
Lorentz-Kraft
Beweis:vyB =
= (vx∂
∂x+ vy
∂
∂y+ vz
∂
∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =
= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =
= (v ×−→B )dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 21 / 35
Lorentz-Kraft
Beweis:vyB =
= (vx∂
∂x+ vy
∂
∂y+ vz
∂
∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =
= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =
= (v ×−→B )dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 21 / 35
Lorentz-Kraft
Beweis:vyB =
= (vx∂
∂x+ vy
∂
∂y+ vz
∂
∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =
= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =
= (v ×−→B )dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 21 / 35
Lorentz-Kraft
Beweis:vyB =
= (vx∂
∂x+ vy
∂
∂y+ vz
∂
∂z)y(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
= vxBzdy − vxBydz − vyBzdx + vyBxdz − vzBxdy + vzBydx =
= (vzBy − vyBz)dx + (vxBz − vzBx)dy + (vyBx − vxBy )dz =
= (v ×−→B )dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 21 / 35
Notationen im Vergleich
Vektornotation∂−→B
∂t = −rot−→E
∂−→E
∂t = rot−→B − 4π
−→J
div−→B = 0
div−→E = 4πρ
−→F = q(
−→E + v ×
−→B )
Differentialform-Notation∂B∂t = −dE∂∗E∂t = d ∗ B − 4πJ
dB = 0d ∗ E = 4πρθ
F = q(E − vyB)
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 22 / 35
Tonti-Diagramm
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 23 / 35
Kugelkoordinaten
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 24 / 35
Kugelkoordinaten
Einzig der ∗-Operator ist vom Koordinatensystem abhängig
Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die1-Formen dr , rdθ, r sin θdφ.
Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten
Poission-Gleichung: d ∗ E = 4πρΘHilfsgröße V mit E = −dVÄquivalente Schreibweise: d ∗ dV = −4πρΘ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 25 / 35
Kugelkoordinaten
Einzig der ∗-Operator ist vom Koordinatensystem abhängig
Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die1-Formen dr , rdθ, r sin θdφ.
Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten
Poission-Gleichung: d ∗ E = 4πρΘHilfsgröße V mit E = −dVÄquivalente Schreibweise: d ∗ dV = −4πρΘ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 25 / 35
Kugelkoordinaten
Einzig der ∗-Operator ist vom Koordinatensystem abhängig
Eine Orthonormalbasis in Kugelkoordinaten ist gegeben durch die1-Formen dr , rdθ, r sin θdφ.
Beispiel: Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten
Poission-Gleichung: d ∗ E = 4πρΘHilfsgröße V mit E = −dVÄquivalente Schreibweise: d ∗ dV = −4πρΘ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 25 / 35
Kugelkoordinaten
ErinnerungLaplace-Operator: d ∗ df = (4f )dxdydzIn Kugelkoordinaten:
d ∗ df =
[∂
∂r(r2 sin θ
∂f∂r
) +∂
∂θ(sin θ
∂f∂θ
) +∂
∂φ(
1sin θ
∂f∂φ
)
]drdθdφ
Also lässt sich die Poisson-Gleichung d ∗ dV = −4πρΘ inKugelkoordinaten schreiben als:[
∂
∂r(r2 sin θ
∂V∂r
) +∂
∂θ(sin θ
∂V∂θ
) +∂
∂φ(
1sin θ
∂V∂φ
)
]drdθdφ = −4πρdrdθdφ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 26 / 35
Kugelkoordinaten
ErinnerungLaplace-Operator: d ∗ df = (4f )dxdydzIn Kugelkoordinaten:
d ∗ df =
[∂
∂r(r2 sin θ
∂f∂r
) +∂
∂θ(sin θ
∂f∂θ
) +∂
∂φ(
1sin θ
∂f∂φ
)
]drdθdφ
Also lässt sich die Poisson-Gleichung d ∗ dV = −4πρΘ inKugelkoordinaten schreiben als:[
∂
∂r(r2 sin θ
∂V∂r
) +∂
∂θ(sin θ
∂V∂θ
) +∂
∂φ(
1sin θ
∂V∂φ
)
]drdθdφ = −4πρdrdθdφ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 26 / 35
Differentialform-Darstellung
im Raumzeit-Ansatz
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 27 / 35
Raumzeit-Ansatz
Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter
Hybrid-Notation:
d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitungd3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitungdq = (dx , dy , dz), θ = (dxdy , dydz , dzdx), Θ = dxdydz wie bisher
Für ein Skalar f gilt dann:
df =∂f∂q
dq +∂f∂t
dt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 28 / 35
Raumzeit-Ansatz
Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter
Hybrid-Notation:
d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitungd3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitungdq = (dx , dy , dz), θ = (dxdy , dydz , dzdx), Θ = dxdydz wie bisher
Für ein Skalar f gilt dann:
df =∂f∂q
dq +∂f∂t
dt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 28 / 35
Raumzeit-Ansatz
Raumzeit-Ansatz: Vierdimensionaler Raum statt Zeit als Parameter
Hybrid-Notation:
d bezeichnet die vierdimensionale äußere Ableitungd3 bezeichnet die dreidimensionale äußere Ableitungdq = (dx , dy , dz), θ = (dxdy , dydz , dzdx), Θ = dxdydz wie bisher
Für ein Skalar f gilt dann:
df =∂f∂q
dq +∂f∂t
dt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 28 / 35
Homogene Gleichungen
Die homogenen Gleichungen d3B = 0 und ∂B∂t = −d3E lassen sich
zusammenfassen zu:
d3−→B θ + ∂
−→B
∂t dtθ + dtd3−→E dq = 0
Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu:
d(−→B θ +
−→E dqdt) = 0
Mit F :=−→B θ +
−→E dqdt können wir dafür schreiben:
dF = 0
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 29 / 35
Homogene Gleichungen
Die homogenen Gleichungen d3B = 0 und ∂B∂t = −d3E lassen sich
zusammenfassen zu:
d3−→B θ + ∂
−→B
∂t dtθ + dtd3−→E dq = 0
Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu:
d(−→B θ +
−→E dqdt) = 0
Mit F :=−→B θ +
−→E dqdt können wir dafür schreiben:
dF = 0
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 29 / 35
Homogene Gleichungen
Die homogenen Gleichungen d3B = 0 und ∂B∂t = −d3E lassen sich
zusammenfassen zu:
d3−→B θ + ∂
−→B
∂t dtθ + dtd3−→E dq = 0
Diese Gleichung lässt sich vereinfachen zu:
d(−→B θ +
−→E dqdt) = 0
Mit F :=−→B θ +
−→E dqdt können wir dafür schreiben:
dF = 0
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 29 / 35
Beweis der Vereinfachung
Behauptung: d−→B θ = d3
−→B θ + ∂
−→B
∂t dtθ
d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
∂Bz
∂zdzdxdy +
∂Bz
∂tdtdxdy+
+∂Bx
∂xdxdydz +
∂Bx
∂tdtdydz +
∂By
∂ydydzdx +
∂By
∂tdtdzdx =
= (∂Bx
∂x+
∂By
∂y+
∂Bz
∂z)dxdydz+(
∂Bx
∂t+
∂By
∂t+
∂Bz
∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =
= d3−→B θ +
∂−→B
∂tdtθ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35
Beweis der Vereinfachung
Behauptung: d−→B θ = d3
−→B θ + ∂
−→B
∂t dtθ
d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
∂Bz
∂zdzdxdy +
∂Bz
∂tdtdxdy+
+∂Bx
∂xdxdydz +
∂Bx
∂tdtdydz +
∂By
∂ydydzdx +
∂By
∂tdtdzdx =
= (∂Bx
∂x+
∂By
∂y+
∂Bz
∂z)dxdydz+(
∂Bx
∂t+
∂By
∂t+
∂Bz
∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =
= d3−→B θ +
∂−→B
∂tdtθ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35
Beweis der Vereinfachung
Behauptung: d−→B θ = d3
−→B θ + ∂
−→B
∂t dtθ
d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
∂Bz
∂zdzdxdy +
∂Bz
∂tdtdxdy+
+∂Bx
∂xdxdydz +
∂Bx
∂tdtdydz +
∂By
∂ydydzdx +
∂By
∂tdtdzdx =
= (∂Bx
∂x+
∂By
∂y+
∂Bz
∂z)dxdydz+(
∂Bx
∂t+
∂By
∂t+
∂Bz
∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =
= d3−→B θ +
∂−→B
∂tdtθ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35
Beweis der Vereinfachung
Behauptung: d−→B θ = d3
−→B θ + ∂
−→B
∂t dtθ
d−→B θ = d(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx) =
∂Bz
∂zdzdxdy +
∂Bz
∂tdtdxdy+
+∂Bx
∂xdxdydz +
∂Bx
∂tdtdydz +
∂By
∂ydydzdx +
∂By
∂tdtdzdx =
= (∂Bx
∂x+
∂By
∂y+
∂Bz
∂z)dxdydz+(
∂Bx
∂t+
∂By
∂t+
∂Bz
∂t)dt(dxdy+dydz+dzdx) =
= d3−→B θ +
∂−→B
∂tdtθ
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 30 / 35
Beweis der Vereinfachung
Behauptung: d−→E dqdt = dtd3
−→E dq
d−→E dqdt = d(Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =
∂Ex
∂ydydxdt +
∂Ex
∂zdzdxdt+
+∂Ey
∂xdxdydt +
∂Ey
∂zdzdydt +
∂Ez
∂xdxdzdt +
∂Ez
∂ydydzdt =
= (∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y)dxdydt + (
∂Ez
∂y− ∂Ey
∂z)dydzdt + (
∂Ex
∂z− ∂Ez
∂x)dzdxdt =
= d3−→E dqdt = dtd3
−→E dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 31 / 35
Beweis der Vereinfachung
Behauptung: d−→E dqdt = dtd3
−→E dq
d−→E dqdt = d(Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =
∂Ex
∂ydydxdt +
∂Ex
∂zdzdxdt+
+∂Ey
∂xdxdydt +
∂Ey
∂zdzdydt +
∂Ez
∂xdxdzdt +
∂Ez
∂ydydzdt =
= (∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y)dxdydt + (
∂Ez
∂y− ∂Ey
∂z)dydzdt + (
∂Ex
∂z− ∂Ez
∂x)dzdxdt =
= d3−→E dqdt = dtd3
−→E dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 31 / 35
Beweis der Vereinfachung
Behauptung: d−→E dqdt = dtd3
−→E dq
d−→E dqdt = d(Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =
∂Ex
∂ydydxdt +
∂Ex
∂zdzdxdt+
+∂Ey
∂xdxdydt +
∂Ey
∂zdzdydt +
∂Ez
∂xdxdzdt +
∂Ez
∂ydydzdt =
= (∂Ey
∂x− ∂Ex
∂y)dxdydt + (
∂Ez
∂y− ∂Ey
∂z)dydzdt + (
∂Ex
∂z− ∂Ez
∂x)dzdxdt =
= d3−→E dqdt = dtd3
−→E dq
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 31 / 35
Inhomogene Gleichungen
Die inhomogenen Gleichungen d3 ∗ E = 4πρΘ und∂∗E∂t = d3 ∗ B − 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu:
d3−→E θ+∂
−→E
∂t dtθ + dtd3−→B dq=−4πJdt+4πρΘ
und vereinfachen zu:
d(−→E θ −
−→B dqdt) = 4π(ρΘ− Jdt)
Da FF =−→E θ −
−→B dqdt können wir dafür schreiben:
dFF = 4πj
mit der Ladungs-3-Form j := ρΘ− Jdt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 32 / 35
Inhomogene Gleichungen
Die inhomogenen Gleichungen d3 ∗ E = 4πρΘ und∂∗E∂t = d3 ∗ B − 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu:
d3−→E θ+∂
−→E
∂t dtθ + dtd3−→B dq=−4πJdt+4πρΘ
und vereinfachen zu:
d(−→E θ −
−→B dqdt) = 4π(ρΘ− Jdt)
Da FF =−→E θ −
−→B dqdt können wir dafür schreiben:
dFF = 4πj
mit der Ladungs-3-Form j := ρΘ− Jdt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 32 / 35
Inhomogene Gleichungen
Die inhomogenen Gleichungen d3 ∗ E = 4πρΘ und∂∗E∂t = d3 ∗ B − 4πJ lassen sich analog zusammenfassen zu:
d3−→E θ+∂
−→E
∂t dtθ + dtd3−→B dq=−4πJdt+4πρΘ
und vereinfachen zu:
d(−→E θ −
−→B dqdt) = 4π(ρΘ− Jdt)
Da FF =−→E θ −
−→B dqdt können wir dafür schreiben:
dFF = 4πj
mit der Ladungs-3-Form j := ρΘ− Jdt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 32 / 35
Inhomogene Gleichungen
ErinnerungIm 4-dim. VR mit Orthonormalbasis dx1, dx2, dx3, dt mit zyklischerOrdnung (i,j,k) gilt:
Fdx idt = dx jdxk
Fdx jdxk = −dx idt
FF = F(−→B θ +
−→E dqdt) =
= F(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx + Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =
= −Bzdzdt−Bxdxdt−Bydydt+Exdzdy+Eydxdz+Ezdxdy =−→E θ−
−→B dqdt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 33 / 35
Inhomogene Gleichungen
ErinnerungIm 4-dim. VR mit Orthonormalbasis dx1, dx2, dx3, dt mit zyklischerOrdnung (i,j,k) gilt:
Fdx idt = dx jdxk
Fdx jdxk = −dx idt
FF = F(−→B θ +
−→E dqdt) =
= F(Bzdxdy + Bxdydz + Bydzdx + Exdxdt + Eydydt + Ezdzdt) =
= −Bzdzdt−Bxdxdt−Bydydt+Exdzdy+Eydxdz+Ezdxdy =−→E θ−
−→B dqdt
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 33 / 35
Maxwell-Gleichungen im Raumzeit-Ansatz
Die Maxwellschen Gleichungen für den Raumzeitansatz sind also:
dF = 0
dFF = 4πj
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 34 / 35
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
Pascal Peter () Klassische Elektrodynamik 13.01.09 35 / 35