Kirjoita luennon alkua odotellessa seinälle ratkaisutapa, jota siellä ei vielä ole

Tehtävä: Laske 192.

Ratkaisutavat:

https://tinyurl.com/ya84lp2l

Erilaiset ratkaisutavat, argumentaatio ja

joustava matemaattinen ajattelu

Markus Hähkiöniemi

Jyväskylän yliopisto

opettajankoulutuslaitos

Dimitri Tuomela

Oulun yliopisto

matematiikan laitos

Sisältö

• Johdantoa

• Argumentaatiokeskusteluista

• Joustavasta matemaattisesta ajattelusta

• Keskustelua

Seinän ratkaisutavat

• Tehtävä: Laske 192.

Mieti hetki / pohdi kaverin kanssa

• Miten useita ratkaisutapoja voisi hyödyntää opetuksessa?

Erilaiset ratkaisu- ja ajattelutavat opetuksen voimavaraksi• Opetuksen perustuminen oppilaiden omiin ideoihin

• Väistämättä erilaisia ideoita

• Yhteisten ja erottavien piirteiden hahmottaminen• Suurten linjojen ymmärtäminen

• Toisten ideoiden analysoiminen ja niistä keskusteleminen• Harjaantuminen työelämässä vaadittaviin taitoihin

• Jos ongelmatilanne muuttuu, pitää ajattelunkin mukautua

• Vaatii opettajalta pelisilmää• Harjaantumista yhdessä menetelmässä & joustavuutta ajatteluun sopivasti• Tarve opettajan tuelle ja yhteenvedolle

Argumentaatiokeskustelut

• Miksi argumentaatiota tarvitaan?• Perusteleminen matematiikan ydintä• Argumentaatio, kriittinen ajattelu, kommunikointi ja yhteistyö tärkeitä tavoitteita

(matematiikassa ja muutenkin)• Opitaan samalla sisältöjä

• Tutkimustuloksia• “Todistamisajattelun” kehittyminen hyvin nuoresta alkaen (Stylianides & Stylianides 2008)• Omien ideoiden yksityiskohtainen esittäminen JA muiden ideoiden parissa toimiminen ovat

yhteydessä oppimistuloksiin (Webb ym., 2014)• Kehitystä oppilaiden keskusteluun osallistumisessa havaittavissa (Hähkiöniemi ym., 2018)

• Kyseleminen, haastaminen, toisen idean jatkaminen sekä kommentointi ylipäänsä lisääntyivät

• Darling-projekti• Seurattiin kuutta luokkaa 7-8. luokilla matematiikassa ja fysiikassa.• Toteuttivat argumentaatiotehtäviä.• Tavoitteena oli lisätä päättelyn ääneen sanomista ja muiden ideoihin reagoimista

Argumentaation tukeminen: tehtävä

• Vaihtoehdoista valitseminen (kaikki epätäydellisiä)

• Esim. Ehdotettu kolmea sääntöä• Etuna ettei voida valita yhtä oikeaa aito tarve

keskustelulle

• Monta pientä tehtävää• Esim. Väittämiä, yhdistä oikeat parit tai kumpi

murtoluku suurempi• Etuna tehtävien yksinkertaisuus. Vaikka yhdessä

tehtävässä tulisikin vain yksi ratkaisutapa, tehtäviä on monta

• Avoin oppilaan tuotos• Esim. kulmien taittelu A4-paperista• Etuna mahdollisuus monille erilaisille aidosti

oppilaiden omille tavoille

341

342-------------------- | ----------------

561

562

x · 2, kun

taitoksia on x

kappaletta

2 · 2 ·

taitosten

lukumäärä

2 + 2 + 2 + 2 …

(niin monta kertaa

kuin taitoksia)

Esimerkiksi kuviojono-tehtävissä tuli erilaisia ajattelutapoja

• 7. lk• Kuinka monta mustaa ruutua olisi 10. kuviossa? Perustele.• Muodosta sääntö, jolla voidaan laskea mustien ruutujen määrä missä tahansa kuviossa.

Perustele.

• 8. lk• Kirjoittakaa lasku, jolla saadaan mustien ruutujen lukumäärä kuviossa 37. Perustelkaa.• Kirjoittakaa lauseke, jolla saadaan mustien ruutujen lukumäärä kuviossa x. Perustelkaa.

Esimerkiksi fysiikan kuvaaja-tehtävissä tuli monenlaisia laadullisia tulkintoja

a) Sukeltaja sukeltaa läheltä veden pintaa syvemmälle.

b) Pyöräilijä ajaa maantietä pitkin.

c) Särki ui järven poikki pysytellen noin 10 metrin syvyydellä.

d) …

Argumentaation tukeminen: tunnin rakenne

• Alustus / Ryhmätyö / Loppukeskustelu• Äänestysmahdollisuus: Socrative, neljä nurkkaa, argumentaatiojana, lapuille kirjoittaminen• Voidaan toistaa monta kertaa

• Alustus / Ryhmätyö / Kaksi ryhmää yhdistyy / Loppukeskustelu• Yhdistyneillä ryhmillä voi olla sama tai eri tehtävä• Voi valmistaa loppukeskusteluun

• Alustus / Ryhmätyö / Julistenäyttely / Loppukeskustelu• Julistenäyttely voi innostaa ja valmistaa loppukeskusteluun

• Kotiryhmät / Jakoryhmät• Kotiryhmillä eri tehtävät, jakoryhmissä sekoitetaan• Vastuuttaa oppilaita, lisää keskustelua ja osallistumista ryhmissä, syö loppukeskustelua

Huom. Darling-projektissa 1 tehtävä / 1 h (kerran kuussa), mutta voi olla pienempiäkin paloja

Argumentaation tukeminen: opettajan toiminta keskustelun aikana

Tunnista ja tartu Aktivoi ja auta

Päättelyn

selittäminen

Puuttuu

Mahdollisuus

Rikas

Kysy, auta alkuun, kiinnitä huomio päättelyyn

Ole kiinnostunut, kysy miksi-kysymyksiä, kysy

yksityiskohdasta tai aiemmin huomaamaasi päättelyn

alkua, anna aikaa, pysäytä tilanne

Tue vuorovaikutusta, pyydä muita toistamaan,

vertaamaan tai tulkitsemaan, korosta hyvää päättelyä

Vuorovaikutus

oppilaiden välillä

Puuttuu

Mahdollisuus

Rikas

Korosta tarkoitusta, luo puitteet, pyydä kertomaan

toisten ideoista, nosta esille erilaiset/samanlaiset ideat

Ole kiinnostunut, anna aikaa, pysäytä tilanne, pyydä

jatkamaan omaa tai toisen puheenvuoroa

Tue päättelyä, ota vielä useampi mukaan, korosta

hyvää vuorovaikutus

Joustava (matemaattinen) ajattelu

Osaa lähestyä tilannetta usealla tavalla ja valita tilanteeseen sopivimman tavan.

Joustavuuden lajeja• Strateginen joustavuus (432 + 99: allekkain vrt. 432 + 100 -1)

• Joustava esitystapojen käyttö (esim. lauseke, kuva, taulukko, sanat)

• Joustava tulkinta (ymmärtävä kuunteleminen vs. pilkkuihin takertuminen)

Käsitteellinen ymmärrys ja ongelmanratkaisu kulkevat käsi kädessä joustavuuden kanssa.

Mihin joustavaa ajattelua tarvitaan?

• Vrt. tulevaisuuden taidot (esim. OECD)• Esim. Oppimisen ja innovoinnin taidot

• Kriittinen ajattelu & ongelmanratkaisu

• Luovuus & innovatiivisuus

• Kommunikointi & yhteistyö

• Työelämä- ja kansalaistaidot• mm. Joustavuus & mukautuvuus

• Informaatio-, media- ja teknologiataidot• mm. Monilukutaito

• Työelämässä tarvitaan joustavaa ajattelua

Esimerkkejä joustavasta ajattelusta

• Ratkaisee ongelman/tehtävän monella eri tavalla

• Valitsee tehokkaan ratkaisutavan

• Vaihtaa ratkaisutavasta toiseen

• Yhdistelee ratkaisutapoja

• Mukauttaa ratkaisutavan uuteen tilanteeseen sopivaksi

• Muodostaa uuden ratkaisutavan aiempien tietojen pohjalta

• Tulkitsee/analysoi erilaisia ratkaisutapoja

Joustavuusskaala

Tietää monia Valitsee Mukauttaa Luo

Menetelmä/proseduuri

Esitysmuoto

Ongelmanratkaisun lähestymistapa

YO tehtävätedellyttävätjoustavuutta

MallintamistehtävätJussi kytömäen havainnollistusta oltermanni-tehtävästä (K14, T10):http://www.palokarki.net/mayo_k14/maa_10.pdf

Kuinka tuetaan joustavan ajattelun kehittymistä?

Lähestymistapoja joustavuuden edistämiseen:

- Pienin askelin, mutta usein (Contrasting Cases, 20min, joka toinen tunti

kolmen viikon ajan)

- Yhden sisältöalueen ajan (Joustava yhtälönratkaisu, 10 oppituntia)

- Suurin askelin silloin tällöin (Argumentaatiokeskustelut [1 oppitunti] tai

Mathematics Assessment Project [20 min + 2 x 45 min + 20 min])

Contrasting cases

Joustavuustutkimus eri maissa (ei edustava otos)

Espanja: Nopeasti opitulla menetelmällä vastauksia tykittävä. Vain vähän joustavuutta. Joustavuus ei lisäänny lukiossakaan.

Suomi ja Ruotsi: Hitaita. Jonkin verran joustavuutta, mutta heikompi laskurutiini. Lukioon ottaa kiinni myös laskurutiinissa ja selkeä lisäys joustavuudessa.

Kiina: 7. lk päihitti muiden lukiolaiset laskurutiinissa ja tilanteeseen sopivia ratkaisujakin löytyi. Eivät kuitenkaan suostuneet esittämään muita ratkaisuja.THE tehokkain ratkaisu, mutta arvostavatko muita ratkaisuja tai olisivatko valmiita luomaan uusia menetelmiä?

Suomalaiset tunnetaan maailmalla hyvinä ongelmanratkaisijoina.

Argumentaatio ja joustava matemaattinen ajattelu• Yhteisiä piirteitä

• Erilaiset ratkaisutavat

• Vertailu

• Muiden ideoiden tulkitseminen

• Keskusteleminen

• Oppilaslähtöisyys

• Argumentaatio ja joustavuus voidaan molemmat ajatella sekä oppimisen keinona että tavoitteena

• Opetus ei kuitenkaan ole pelkkää argumentaatiota ja joustavuutta

Joustavaan matematiikkaan täydennyskoulutus (www.flexibility.fi)• Yhteinen osio (3 op)

• Toteutetaan myöhemmin uudestaan. Ei estä osallistumasta muihin.

• Yläkoulukohtainen osio (6 op)• Keväällä

• Lukiokohtainen osio (6 op)• Keväällä

• Vapaa valintaisia osioita (2 op + 2 op + 2op)• Syksyllä 2019

Kiitos!

Keskustelua