Kinematika · 2019-10-06 · Kinematika . Tehnička fizika 1 ... Jednačina kretanja tela po x osi...
Transcript of Kinematika · 2019-10-06 · Kinematika . Tehnička fizika 1 ... Jednačina kretanja tela po x osi...
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 1
Kinematika
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 2
• Trenutna brzina:
Kretanja mogu da budu ravnomerna ili neravnomerna.
• Srednja brzina:
• Trenutno ubrzanje:
Kretanja mogu biti ravnomerno ubrzana ili neravnomerno.
Srednja i trenutna brzina/ubrzanje
srr
t
2
2
d d
d d
ra
t t
d
d
r
t
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 3
• Kod pravolinijskog kretanja, vektori brzine, ubrzanja i pomeraja su
kolinearni (istog pravca):
• Kod ravnomernog kretanja:
• Kod ravnomerno ubrzanog/usporenog kretanja:
• Slobodan pad je ravnomerno ubrzano kretanje sa ubrzanjem g
• Vertikalni hitac naviše je ravnomerno ubrzano kretanje sa ubrzanjem -g
Srednja i trenutna brzina/ubrzanje (2)
dd
d
rr t
t
tat
a dd
d
0, const,a r t
2
0 0
1const, ,
2a a t r t a t
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 4
• Kretanje je u vertikalnoj i horizontalnoj ravni. Ako je ugao početne
brzine 0 sa horizontalnom osom , tada:
• Jednačina putanje:
• Domet (y=0):
Kosi hitac
tgy
x
sin
cos
0
0
22
0
2
2
0
0
cos2tg
2
1sin
cos
xgxy
tgty
tx
gDxD
2sin2
0
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 5
• Ako je ugaoni pomeraj tada je trenutna ugaona brzina:
• Trenutno ugaono ubrzanje:
• Ravnomerno kružno kretanje:
• Ravnomerno ubrzano kružno kretanje:
• Period rotacije i učestanost (frekvencija):
Kružno kretanje
tt
dd
d
ttt
dd
d
d
d2
2
t ,const,0
2
002
1t,,const tt
2
1,
2
TT
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 6
• Jednačine kružnog kretanja, kada je r poluprečnik kružnice:
• Tangencijalna brzina:
• Radijalno ubrzanje:
• Tangencijalno ubrzanje:
• Ukupno ubrzanje:
Kružno kretanje (2)
222
sin
cos
ryx
try
trx
rt
rt
s
d
d
d
dt
rra
22
r
tt
d
da r
t
2 2
t ra a a
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 7
• Z1. Jedan automobil se polovinu puta kreće brzinom intenziteta 1,
trećinu puta brzinom intenziteta 2, a preostali deo puta brzinom
intenziteta 3. Odrediti srednju brzinu kretanja automobila na celom putu.
Zadaci
213132
321
321
sr
3
3333
2
2222
1
1111
321
sr
23
6
632
6632
33
22
sss
s
stt
sssss
stt
ss
stt
ss
ttt
s
t
s
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 8
• Z2. Jednačina kretanja tela po x osi ima oblik:
gde je A = -2 m, B = 6 m/s2, C = -4 m/s3. Odrediti:
a) Brzinu i ubrzanje tela.
b) Vreme kretanja tela do zaustavljanja.
c) Maksimalnu brzinu tela i vreme koje je potrebno da dostigne tu brzinu.
a)
b)
c)
Zadaci
tCBt
a
tCtBt
x
62d
d
32d
d 2
32)( tCtBAtx
s13
2320)( z
2
zzz
C
BttCtBt
s/m3)(
s5,06
2620)(
maxmax
maxmaxmax
t
C
BttCBta
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 9
• Z3. Dva tela su istovremeno bačena jedno u susret drugom istom
početnom brzinom 0 = 50 m/s, jedno vertikalno naviše sa površine
zemlje, a drugo vertikalno naniže sa visine H koja je jednaka
maksimalnoj visini koju može da dostigne prvo telo. Ubrzanje slobodnog
padanja je g = 9,81 m/s2. Odrediti:
a) Na kojoj visini će se tela sresti.
b) Kolike će im biti brzine u trenutku susreta.
a)
Zadaci
0
ss021
2
ss02
2
ss0s1
22
2
1
2
1
HtthhH
tgthHh
tgthh
sH
1
2
sh
gtgtH
gtHh
tg
22
1)(0
2
02
maxmax00
max11
01
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 10
b)
m75,5532
7
48442
1
2
20
2
40
20
20
20
2
gg
g
g
Hg
Hhs
s
m5,62
4
5
s
m5,37
4
3
4
442
0s02
00
0s01
0
0
2
0
0
s
tg
tg
gg
Ht
H
1
2
sh
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 11
• Z4. Vektor položaja materijalne tačke u odnosu na koordinatni početak
menja se po zakonu:
Odrediti:
a) Jednačinu trajektorije.
b) Vremensku zavisnost vektora brzine i vektora ubrzanja.
c) Vremensku zavisnost ugla između vektora brzine i ubrzanja.
a) b)
c)
Zadaci
jBt
a
jtBiAt
r
2d
d
2d
d
0,,)( 2 BAjtBitAtr
222222
2
4
2
42
4cos
tBA
tB
tBAB
tB
a
a
2
2
2 xA
BtBy
A
xttAx
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 12
• Z5. Vektor brzine materijalne tačke menja se po zakonu:
Poznato je: A = 2 m/s2, B = 6 m/s. Odrediti:
a) vremensku zavisnost vektora položaja, ako je r (0) = 0 m,
b) jednačinu trajektorije,
c) vremensku zavisnost vektora ubrzanja,
d) nakon koliko vremena će ugao između vektora brzine i ubrzanja biti
jednak 60.
Rešenje:
a)
( ) , , 0t A t i B j A B
21 2
2 2 21 2 1 2
1( ) ( ) d
2
1(0) 0 0 ( )
2
r t t t A t C i B t C j
r C C C C r t A t i B t j
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 13
b)
c)
d)
21 2( )
2
2( )
xx t A t t
A
xy t B t y B
A
21( )
2r t A t i B t j
21 1
2 2 2 2 2 21 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1
1cos
2
4 3 / 3 1,73s
A t A ta
a A A t B A t B
A t A t B A t B t B A
d ( )( )
d
ta t A i
t
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 14
• Z6. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke su:
Odrediti:
a) jednačinu trajektorije,
b) vektor brzine i ubrzanja,
c) srednju vrednost intenziteta brzine u intervalu [0,/ω],
d) intenzitet vektora srednje brzine u intervalu [0,/ω].
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
2
sin sin
cos cos
t A t i B t j
a t A t i B t j
1B x
yA
cos , 1 cos , , , 0B
x t A t y t t A B
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 15
c)
d)
Zadaci
/ /2 2 2
sr
0 0
/
2 2 2 2 2 2sr
0
1d sin d
/
1 2cos
t t A B t t
A B t A B
2 2 2 sint A B t
2 2 2
/ 0 / 0 2 2
2
av
av
x x y yr A Bi j i j
t t t
A B
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 16
• Z7. Sa površine Zemlje lansira se projektil pod uglom = 30° prema
horizontu. Domet projektila je D = 2000 m, a ubrzanje slobodnog
padanja iznosi g = 9,81 m/s2. Odrediti:
a) početnu brzinu projektila,
b) jednačinu putanje i maksimalnu visinu koju projektil dostiže,
c) poluprečnik krivine putanje u njenoj najnižoj i najvišoj tački.
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
m/s52,1502sin
0
2
0
gD
m/s69,2882
sin
2
1sin
/sin0sin
22
02
maxmax0max
0maxmax0
gtgth
gttgy
22
0
2
cos2tg
xgxy
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 17
c) u najvišoj tački
u najnižoj tački:
Zadaci
2 2 2 2 20 0
r min
min min
cos cos1732,13mxa g R
R R g
2 20 0
r max
max
cos 2666,8mcos
a g RR g
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 18
• Z8. Pod kojim uglom je potrebno baciti telo da bi:
a) najveća visina koju dostiže pri kretanju bila jednaka dometu,
b) domet bio jednak visini koju telo dostiže pri izbacivanju vertikalno
uvis istom početnom brzinom.
Rešenje:
a)
b)
Zadaci
96,754arctg
2sin
2
sin2
0
22
0max
gD
gh
152
1arcsin
2
12sin
2
2
0
2
0max,
gD
gh v
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 19
• Z9. Točak se obrće oko nepokretne ose tako da njegov ugaoni pomeraj
zavisi od vremena po zakonu: , gde je k konstanta. Odrediti
intenzitet ukupnog ubrzanja tačke na obodu točka posle vremena od
početka kretanja kada je tangencijalna brzina te tačke .
Rešenje:
Zadaci
422
r
2
t
t
2
r
41
2
2d
d
2
)2/(2)(
2d
d
kaaa
kra
kt
kr
a
krrkrt
tkt
2)( tkt
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 20
• Z10. Kruto telo počinje da rotira oko nepokretne ose ugaonim
ubrzanjem ( k = 0,02 rad/s3). Posle koliko vremena od početka
rotacije vektor ukupnog ubrzanja proizvoljne tačke tela zaklapa ugao
= 60 sa njenom brzinom.
Rešenje:
Zadaci
21d d , 0 0 0
2t k t t k t C C
k t
2
2 42
t r
3r 1 3
1
t
2
,4
4 3tg 3 7s
4
k t RR
k t Ra R k t R a R
a k tt
a k
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 21
• D1. Tanak vertikalan štap dužine l = 1 m postavljen je uz vertikalni zid.
Donji kraj štapa kreće se stalnom brzinom 0 = 0,2 m/s, pri čemu je štap
sve vreme u kontaktu sa vertikalnim zidom svojim gornjim krajem,
odnosno podom svojim donjim krajem. Odrediti koliku brzinu i ubrzanje
ima gornji kraj štapa nakon 1,5 s?
Rešenje:
Zadaci
2s/cm6,4
cm/s3,6
a
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 22
• D2. Materijalna tačka se kreće u x,y ravni po zakonu:
pri čemu je A = 3 m/s, B = 0,5 s-1, a t vreme. Naći:
a) Jednačinu putanje po kojoj se kreće tačka.
b) Brzinu i ubrzanje tačke u zavisnosti od vremena.
c) Ugao koji vektori brzine i ubrzanja obrazuju nakon 2 s.
Rešenje:
a)
b)
c)
Zadaci
)1()(,)( tBtAtytAtx
2
6
1xxy
jBAa
jtBAAiA
2
)2(
45
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 23
• D3. Telo je pušteno da slobodno pada sa visine H = 200 m. U istom
trenutku sa površine Zemlje izbačeno je drugo telo vertikalno naviše.
Odrediti:
a) Kojom početnom brzinom 0 bi trebalo izbaciti drugo telo da bi se oba
tela mimoišla na visini h = 144 m od površine zemlje.
b) Koliko iznosi maksimalna visina koju može da dostigne prvo telo, ako
mu se saopšti početna brzina 0 određena pod a).
Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.
Rešenje:
Zadaci
m44,178
m/s17,59
max
0
h
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 24
• D4. Plastična loptica koja je puštena bez početne brzine sa visine
h = 1 m nekoliko puta odskoči od poda. Od momenta početka padanja
loptice do momenta njenog drugog udara o pod protekne 1,3 s. Odrediti
koliko puta se smanji brzina kojom loptica odskače od poda u odnosu
na brzinu kojom pada na pod.
Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.
Rešenje: 0,94 puta.
Zadaci
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 25
• D5. Telo se pusti da slobodno pada sa visine H = 20,0 m. Koliki put
pređe telo za:
a) Δt = 0,1 s na samom početku kretanja?
b) za poslednjih Δt = 0,1 s?
c) na kojoj visini brzina tela iznosi 3/4 maksimalne brzine tela?
Ubrzanje slobodnog padanja je g = 10 m/s2.
Rešenje:
a)
b)
c)
Zadaci
3 8,75mh
1 0,05mh
2 1,95mh
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 26
• D6. Sa horizontalnog tla izbaci se telo kao kos hitac. Maksimalna visina
do koje se telo popne na svojoj putanji je ym = 3 m. Poluprečnik krivine u
najvišoj tački putanje je R = 6 m. Koliki je domet kosog hica? Ubrzanje
slobodnog padanja iznosi g = 9,81 m/s2.
Rešenje:
Zadaci
m12D
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 27
• D7. Odrediti:
a) početnu brzinu projektila koji se ispaljuje sa površine Zemlje pod
uglom od 45° tako da pogodi cilj koji se nalazi na rastojanju D = 90 m,
b) maksimalnu visinu koju projektil tada dostigne,
c) vreme leta projektila do tačke najviše putanje,
d) maksimalnu visinu projektila, ako se ispali sa visine H = 10 m od
površine Zemlje.
Ubrzanje slobodnog padanja iznosi g = 10 m/s2.
Rešenje:
a) b)
c) d)
Zadaci
m/s300 m5,22max h
s1,2max t m5,32max' h
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 28
• D8. Sa ravne površine dva čoveka istovremeno šutnu po jednu
identičnu loptu pod istim elevacionim uglom saopštavajući im različite
brzine. Ako je vreme leta do pada jedne lopte dva puta duže od
vremena leta do pada druge lopte odrediti:
a) odnos maksimalnih visina koje dosegnu lopte,
b) odnos dometa lopti.
Rešenje:
a) 4 b) 4
Zadaci
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 29
• D9. Telo se kreće po kružnici poluprečnika R = 1 m, brzinom ,
gde je k = 2 m/s2. Odrediti:
a) intenzitet normalnog, tangencijalnog i ukupnog ubrzanja u zavisnosti
od vremena,
b) pređeni put u intervalu t1 = 0 do t2 = 1 s,
c) srednju vrednost intenziteta vektora brzine u intervalu t1 do t3 = 2 s.
Rešenje:
a)
b)
c)
Zadaci
2
42
t
22
r 1,,R
tkkaka
R
tka
tk
m1s
m/s2sr
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 30
• D10. Materijalna tačka vrši rotaciono kretanje po kružnici poluprečnika
R = 0,1 m, pri čemu je zavisnost pređenog ugla od vremena data
jednačinom:
gde je B = 2 rad/s i C = 1 rad/s3. U trenutku = 0,2 s odrediti:
a) ugaonu brzinu,
b) ugaono ubrzanje,
c) ugao između vektora brzine i ubrzanja,
d) pređeni put.
Rešenje:
a) b)
c) d)
Zadaci
rad/s1,2)(
3)( tCtBAt
2rad/s2,1)(
8,74 mm8,40)( s
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 31
• D11. Točak poluprečnika R = 10 cm vrši rotaciono kretanje, tako da je
zavisnost translatorne brzine tačaka koje leže na obodu točka u funkciji
vremena proteklog od početka kretanja dato relacijom:
gde je A = 3 cm/s2 i B = 1 cm/s3. Odrediti ugao koji zaklapa vektor
ukupnog ubrzanja sa poluprečnikom točka = 3 s od početka kretanja.
Rešenje:
Zadaci
52,15
2)( tBtAt
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 32
• D12. Telo se kreće po putu poluprečnika krivine R = .
Tangencijalno ubrzanje tela iznosi 3 m/s2. U trenutku kada brzina tela
iznosi 36 km/h odrediti:
a) radijalno ubrzanje tela,
b) ukupno ubrzanje tela,
c) ugao koji zaklapaju vektor brzine i vektor ukupnog ubrzanja.
Rešenje:
a)
b)
c)
Zadaci
22
r m/s3 m/s,10 R
a
m3/100
22
r
2
t m/s32 aaa
30tgt
r a
a
Tehnička fizika 1 – 2019/2020, doc. dr Miloš Petrović 33
• D13. Parametarske jednačine kretanja materijalne tačke u ravni su:
Odrediti poluprečnik krivine trajektorije u trenutku .
Rešenje:
Zadaci
traj 2 2R R
sin , 1 cosx R t t y R t
/ 2t