KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN · PDF file · 2011-03-28Định nghĩa 0.1.2: Sai số...

GV: Huỳnh Hữu Dinh – Trường Đại học Công Nghiệp TPHCM Email: [email protected]

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

------------------------------

BÀI GIẢNG

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

GV: HUỲNH HỮU DINH

TP HỒ CHÍ MINH 2/2011


2

Chương 0. SỐ XẤP XỈ, SAI SỐ

0.1. Số gần đúng và sai số

Trong thực tế, khi muốn biết giá trị đại lượng nào đó người ta tiến hành đo đạc, tính toán bằng

một số phương pháp nhất định. Nhiều khi chúng ta không thể nhận được chính xác giá trị thật của đại

lượng cần biết mà chỉ nhận được số gần đúng (hoặc xấp xỉ) với giá trị thật. Việc đánh giá độ chính

xác của giá trị xấp xỉ và sai số của phép đo hoặc phương pháp tính toán là hết sức cần thiết. Điều đó

dẫn tới việc đưa ra khái niệm về số xấp xỉ và sai số nhận được. Nội dung dưới đây sẽ trình bày những

khái niệm này.

Định nghĩa 0.1.1: Giả sử A là số đúng, a là số gần đúng của A (trong trường hợp A là số

vô tỷ như số e hay số hoặc số hữu tỷ với phần thập phân vô hạn tuần hoàn như số 16

). Ta gọi hiệu

số a A a là sai số xấp xỉ của số gần đúng a . Khi đó các đại lượng ;a aA

ta lần

lượt gọi là sai số tuyệt đối và sai số tương đối của a .

Rõ ràng ta có:

a A a hoặc A a

Nếu A không phải là số có hữu hạn chữ số thì lẽ đương nhiên ta cần a là số có hữu hạn chữ

số và khi đó sẽ có cùng dạng với A. Chẳng hạn, lấy ; 3,14A a thì 0,0015926...

Định nghĩa 0.1.2: Sai số tuyệt đối giới hạn của số xấp xỉ a là số không nhỏ hơn sai số tuyệt

đối của a .

Kí hiệu sai số tuyệt đối giới hạn là a thì: a

Theo định nghĩa này thì sai số tuyệt đối giới hạn không là đơn trị.

Từ định nghĩa ta suy ra

a aa A a

Trong thực tế, người ta thường chọn sai số tuyệt đối giới hạn a là số nhỏ nhất có thể trong

các sai số tuyệt đối giới hạn, và qui ước viết:

aA a

Định nghĩa 0.1.3: Sai số tương đối giới hạn của số xấp xỉ a , kí hiệu là a , là số không nhỏ

hơn sai số tương đối giới hạn của a .


3

Có nghĩa là:

a a hay a A

Từ đây a A

Theo định nghĩa sai số tuyệt đối giới hạn, ta có thể chọn

a aA

Nhưng trong thực tế ta không biết được chính xác giá trị A và vì a là số xấp xỉ của A nên

người ta thường dùng công thức:

a aa

Từ đây ta có công thức

1 aA a

0.2. Sai số làm tròn số

Giả sử cho số 1 0 1 2 1... , ... ...m m m n m nA s s s s s s s . Chữ số thứ n của A là số 1m ns tính từ

trái qua phải. Kí hiệu 1 0 1 2 1... , ...m m m na s s s s s s là số làm tròn đến chữ số thứ n từ số A . Qui tắc

làm tròn như sau:

. Nếu 5m ns thì 1 1 1m n m ns s ;

. Nếu 5m ns thì 1 1;m n m ns s

. Nếu 5m ns thì 1 1 1m n m ns s khi 1m ns là số lẻ, 1 1m n m ns s khi 1m ns là số

chẵn

Từ qui tắc làm tròn ở trên ta thấy, sai số tuyệt đối giới hạn là:

115.10 10

2m n m n

a

0.3. Số chữ số đáng tin cậy

Xét hai số A và a như mục trên. Ta nói tất cả n chữ số của a đều tin cậy, nếu ta có:

115.10 10

2m n m n

aa A a

Chẳng hạn 2,7183a là số làm tròn đến năm chữ số của số e nên ta có

0,00001... 0, 00005 nên a có năm chữ số tin cậy với số cuối cùng đã được làm tròn.

Với số A và a nói trong mục 0.2, ta sẽ thấy 11 1

2 10

n

m

as

, do đó có thể lấy:


4

11 12 10

n

ams

(1)

Theo công thức này thì số 2,7183a có sai số tương đối giới hạn so với số e là: 5 11 1

0, 0025%2 2 10a

Ví dụ

Phải tính 3 29 với bao nhiêu chữ số thập phân để có 0,1%a . Ta thấy phần nguyên của số

này là 3. Do vậy áp dụng (1) ta được: 110

0, 001 46

n

n

Ta chọn 4n , nghĩa là phải lấy bốn chữ số thập phân, do đó 3 29 3,072 .

Đôi khi người ta nói số a nào đó có q chữ số đáng tin cậy sau dấu phẩy, hàm ý rằng q chữ số

phần thập phân là đáng tin cậy. Khi đó đương nhiên tất cả các chữ số phần nguyên của số a cũng là

tin cây. Giả sử số a cũng có p chữ số phần nguyên. Khi đó ta có: 1m p và n p q . Khi đó

ta được

0,5.10 qa

0.4. Sai số thực hiện các phép toán

0.4.1. Sai số của phép cộng

Xét tổng 1 2 ... nu x x x với ix là các số gần đúng với sai số tương ứng là ix . Hiển

nhiên là ta phải có: 1 2 ... nu x x x và do đó:

1 2 ... nu x x x

Từ đây suy ra:

1 2

...nu x x x (2)

Ta có qui tắc cộng các số có sai số tuyệt đối khác nhau như sau:

. Giữ nguyên các số hạng có số chữ số sau dấu phẩy là ít nhất;

. Các số hạng khác làm tròn đến một hoặc hai số sau dấu phẩy nhiều hơn các số hạng đã

chọn ở bước trên.

. Cộng tất cả các số còn lại với nhau rồi làm tròn tổng, bớt đi một chữ số thập phân.

Liên quan đến u , trong trường hợp ix cùng dấu thì có thể thấy:

1 2max , ,..., nu x x x


5

Từ đây ta suy ra

1 2

max , ,...,nu x x x

0.4.2. Sai số của phép trừ

Về nguyên tắc đánh giá (2) đúng cả cho phép trừ. Tuy nhiên, chúng ta xét riêng trường hợp

này để nhấn mạnh một điều rất cần chú ý khi lập trình. Xét hiệu số

1 2u x x

Dễ dàng thấy rằng, khi 1x và 2x cùng dấu và 1 2x x thì 1 2,u x x do

1 2 1x x . Hơn thế nữa, trên các máy tính có độ chính xác không đủ cao, u sẽ được đặt bằng

không. Trong trường hợp như thế ta cần tránh phép trừ trực tiếp mà thay nó bằng một phép tính tương

đương. Chẳng hạn, ta muốn tính hiệu số 10 99, 99 0, 0005000125u ta phải lấy căn của

99,99 tới 10 chữ số thập phân.

0.4.3. Sai số của phép nhân

Xét tích số 1 2... nu x x x với 0ix . Giả sử 0, 1,ix i n . Khi đó ta có

1 2ln ln ln ... ln nu x x x

Mặt khác, ta cũng có ln ln ln ln 1z z

z z z zz z

khi 1

zz

. Do

đó ta có thể viết

1 2

1 2

... n

n

u x x xu x x x

Từ đây ta có:

1 2

1 2

... n

n

u x x xu x x x

Hay là:

1 2 ... nu x x x

Do vậy ta có thể lấy

1 2...

nu x x x

0.4.4. Sai số trong phép chia

Xét thương số 1

2

xu

x . Giả thiết rằng hai số đều dương. Khi đó ta có:

1 2ln ln lnu x x


6

Lí luận như trên, ta nhận được

1 2u x x

0.4.5. Sai số trong trường hợp tổng quát

Giả sử ta có mối quan hệ 1 2, ..., nu f x x x , trong đó các sai số tuyệt đối ix đã cho. Ta cần

đánh giá sai số tuyệt đối u qua các ix . Coi các ix là các đại lượng nhỏ, ta có thể dùng công

thức Taylor để đánh giá:

1 1 11 1

,..., , ...,n n

n n n i ii ii i

f fu f x x x x f x x x x

x x

Từ đây ta có thể lấy:

1

n

ii i

fu x

x

Hoặc là:

1

i

n

u xi i

fx

(3)

Cũng từ biểu thức này, ta có thể nhận được

1

lnn

ii i

uu x

x

hay là 1

lni

n

u xi i

ux

Ví dụ:

Một hình cầu có đường kính 12,2d cm . Hãy tính sai số tuyệt đối và tương đối của thể tích

hình cầu

Giải

Trong trường hợp này ta có 0, 05d cm . Lấy 3,14 , khi đó 0, 0016 . Ta có:

2 310, 5 233,68; 302, 64

6V V

d dd

Sử dụng (3) ta được: 3233, 68 0, 05 302,64 0, 0016 12,2

12,21, 3%

950, 3

V

VV

cm

V

0.4.6. Bài toán xác định sai số ngược


7

Lại xét mối quan hệ tổng quát 1 2, ..., nu f x x x . Giả sử cho trước u . Ta cần xác định các

ix để đảm bảo có được u như đã cho.

Ta có một biểu thức (3) lấy làm phương trình để xác định các ix nên lời giải không phải là

duy nhất. Vì vậy chúng ta sẽ xét ba trường hợp cụ thể, có ý nghĩa ứng dụng thực tế:

Trường hợp 1: Giả thiết rằng ; ; , 1,i jx x i j i j n . Khi đó từ (3) ta dễ dàng có:

1

; 1,i

ux n

i i

i nux

Trường hợp 2: Giả sử ta có ; , 1,i jx x

i j

u ui j n

x x

. Khi đó từ (3) ta dễ dàng có:

; 1,i

ux

i

i nu

nx

Trường hợp 3: Nếu ; , 1,i jx x i j n , thay

ix ix vào (3) ta được:

1 1

i

u iuxn n

i ii ii i

x

u ux x

x x

Ví dụ

Một hình trụ có bán kính đáy 2r m , chiều cao 3h m . Cần xác định sai số của r và

h để sai số tuyệt đối giới hạn của thể tích là 30,1m .

Giải

Ta có công thức 2V r h . Ta lấy 3,14 . Do đó:

2 22 37,68; 12,56; 12; 37,68V V V

rh r r h Vr h

Sử dụng (5) ta có:

0, 00093

Vr m

Vr

Tương tự, ta tính được 0, 0027 ; 0, 0028h m m


8

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

Bài 1. MỞ ĐẦU

Trong mục này, ta tìm hiểu những phương pháp giải một số phương trình đại số dạng:

0f x (*), với f x là một hàm phi tuyến.

Phương trình trên, trừ một vài trường hợp đặc biệt, có công thức giải đúng, còn nói chung

không có công thức giải đúng (các công trình của nhà Toán học Abel đã khẳng định điều đó). Ở khía

cạnh khác, các hệ số của f x trong nhiều trường hợp cũng chỉ là các số gần đúng hoặc nghiệm của

f x là một biểu thức rất phức tạp, cho nên vấn đề giải đúng phương trình (*) cũng không thật sự

cần thiết. Do đó, chúng ta cần quan tâm đến những phương pháp giải gần đúng, nhất là những

phương pháp có thể dùng máy tính hỗ trợ.

Để giải gần đúng phương trình (*), ta tiến hành các bước sau:

. Thứ nhất là tách nghiệm, nghĩa là tìm một khoảng ,a b đủ nhỏ sao cho phương trình (*) có

nghiệm duy nhất * ,x a b .

. Thứ hai là chính xác hóa nghiệm gần đúng đến độ chính xác cần thiết.

Cơ sở để tách nghiệm là những kết quả sau đây mà bạn có thể bắt gặp ở tất cả các cuốn sách

về Giải tích.

Định lí 1.1.1. Giả sử f x liên tục trên ,a b và 0f a f b . Khi đó phương trình

0f x tồn tại ít nhất một nghiệm trong khoảng ,a b .

Định lí 1.1.2. Nếu f x liên tục trên ,a b và 0f a f b , hơn nữa, hàm số f x có đạo

hàm f x liên tục trên đoạn ,a b và f x không đổi dấu trên ,a b thì nghiệm nói trên là duy

nhất.

Bước tách (li) nghiệm thường được tiến hành nhờ phương pháp chia đôi hoặc phương pháp đồ

thị.

Nguyên tắc thực hiện phương pháp chia đôi như sau:

Xác định 0f a f b , sau đó chia đôi đoạn ,a b và gọi 1 1,a b là một trong hai nữa ở trên

sao cho 1 1 0f a f b . Lại chia đôi đoạn 1 1,a b và gọi 2 2,a b là một trong hai đoạn con mà


9

2 2 0f a f b ; quá trình cứ thế tiếp tục, (nếu tại ia mà 0if a hoặc ib mà 0if b thì ta nói

giá trị đó là nghiệm đúng của phương trình 0f x )

Nguyên tắc của phương pháp đồ thị như sau: Nghiệm của phương trình 0f x là hoành độ

giao điểm của đồ thị hàm số y f x với trục hoành; hoặc ta biến đổi 0f x về dạng

x x . Khi đó nghiệm của phương trình 0f x là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

y x và y x .

Sau khi đã tách được nghiệm thì công việc tiếp theo là chính xác hóa nghiệm đến độ chính xác

cần thiết. Để thực hiện bước này, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: phương pháp lặp,

phương pháp dây cung, phương pháp tiếp tuyến, phương pháp Muller, phương pháp Laguerre,…Tất

cả phương pháp được nêu chúng ta đều có thể lập trình bằng ngôn ngữ Matlab hoặc Fortran. Nhưng

trong phạm vi bài giảng này, chúng ta sẽ bỏ qua hai phương pháp Muller và Laguerre. Phương pháp

Muller cần sử dụng công cụ số phức còn phương pháp Laguerre thì cơ sở toán học chưa thật chặt chẽ.

Sau đây chúng ta sẽ đi vào từng nội dung cụ thể.


10

Bài 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN

Xét phương trình

0f x (1)

có khoảng li nghiệm là ,a b .

Ta biến đổi phương trình (1) về dạng tương đương:

x x (2)

Với xấp xỉ ban đầu 0x thuộc khoảng ,a b đã cho, ta xây dựng dãy 0,n nx

nhờ vào hệ thức:

1 , 0n nx x n .

Nếu dãy 0,n nx

có giới hạn *lim nn

x x

thì *x chính là nghiệm đúng của phương trình (2)

và cũng là nghiệm của (1)

Tiếp theo, ta tìm hiểu một số điều kiện để dãy 0,n nx

hội tụ.

Định lí 1.2.1. Giả sử hàm số y x khả vi liên tục trên ,a b và với mọi ,x a b thì

,x a b . Khi đó, nếu ta có 1x L với mọi ,x a b thì dãy số 0,n nx

được xây

dựng bởi hệ thức 1 , 0n nx x n hội tụ đến nghiệm *x của phương trình 0f x và ta có

các ước lượng * *

0n

nx x L x x

*11n n n

Lx x x x

L

*0 11

n

n

Lx x x x

L

Nhận xét: Phương pháp lặp đơn có tính chất tự điều chỉnh, nghĩa là nếu tại một vài bước tính

toán trung gian ta mắc phải sai số thì dãy 0,n nx

vẫn hội tụ đến *x , tất nhiên chỉ một vài bước sai

và sai số mắc phải không vượt ra ngoài đoạn.

Một tính chất đặc biệt của phép lặp này là có thể đánh giá ngay từ đầu số bước lặp mà ta cần

phải làm để có được độ chính xác theo yêu cầu. Thật vậy, từ biểu thức

*0 11

n

n

Lx x x x

L


11

nếu ta muốn có nghiệm gần đúng với sai số thì ta sẽ dừng lại ở bước lặp thứ n sao cho:

0 11

nLx x

L

Từ đây ta có đánh giá cho n

1 0

1ln / ln

qn q

x x

Từ định lí 1.2.1 cho thấy, nếu L càng nhỏ thì tốc độ hội tụ càng nhanh, và tốc độ hội tụ của

phương pháp này rất chậm khi L càng gần 1.

Trên đây ta nhắc đến việc chuyển từ (*) sang dạng tương đương (**) sao cho điều kiện

' 1, ;x L x a b được thỏa mãn. Về vấn đề này có mấy nhận xét sau:

. Giả sử 0 'm f x M (với trường hợp ' 0M f x m ta làm tương tự). .

. Ta có thể chuyển từ (*) sang dạng tương đương sau:

x x f x x với 1M

(***)

. Rõ ràng ta có:

1 1 1 1, ;f x m

x f x x a bM M

. Do đó phép lặp được xây dựng trên (***) sẽ hội tụ đến nghiệm cần tìm

Ví dụ: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình 3 1000 0x x (1)

Giải

Đặt 3 1000f x x x thì ta thấy 9 . 10 0f f . Mặt khác

23 1 0, 9,10f x x x

nên ta suy ra 9,10 là khoảng tách (li) nghiệm của phương trình (1). Có ba cách đưa (1) về dạng

x x như sau:

. 31000x x , vậy 31 1000x x

. 2

1000 xx

x

, vậy 2 2

1000 xx

x

. 3 1000x x , vậy 33 1000x x

Rõ ràng trong trường hợp 3, 33 1000x x có


12

3 23

1 12003 1000

x Lx

Chọn 0 310, 9, 9667x x với độ chính xác không quá 410 , ta có thể coi *3x x .

Bài 3. PHƯƠNG PHÁP NEWTON (PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN)

Trong mục này, ta xét lại phương trình 0f x .

Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng ,a b , đồng

thời ,f x f x liên tục và không đổi dấu trên đoạn ,a b . Khi đó, với 0x là xấp xỉ ban đầu được

chọn, ta xây dựng dãy 0,n nx

theo công thức:

1

0

nn n

n

f xx x

f x

n

Ta có thể chứng minh được, với một số điều kiện thích hợp phương pháp Newton hội tụ,

chẳng hạn với điều kiện sau

Định lí 1.3.1. Nếu phương trình 0f x có ,a b là khoảng li nghiệm, đồng thời

,f x f x liên tục và không đổi đấu trên đoạn ,a b , với 0 ,x a b sao cho 0 0. 0f x f x

( 0x ,được gọi là điểm Fourier, thường được chọn là một trong hai đầu mút a hoặc b). Khi đó dãy

0,n nx

xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm *x của phương trình 0f x và ta có ước lượng

2*1 12n n n

Mx x x x

m

với ,m M là hai hằng số thỏa mãn

0 , ,m f x x a b

, ,f x M x a b

Nhận xét: Nếu như việc tính toán f x tại mỗi điểm quá phức tạp và ta thấy f x không

thay đổi lớn thì ta thay dãy xấp xỉ ở trên như dãy dưới đây, thường được gọi là phương pháp Newton

cải tiến:


13

1

0

0

nn n

f xx x

f x

n

Định lý 1.3.1 còn cho thấy phương pháp Newton có tốc độ hội tụ bậc hai. Vì thế, nếu phương

pháp Newton làm việc thì nó hội tụ đến nghiệm nhanh hơn bất kì phương pháp nào khác.

Ví dụ: Dùng phương pháp Newton giải phương trình 3 2 10 0x x với độ chính xác 310 , biết khoảng li nghiệm là 2, 3 .

Giải

Đặt 3 2 10f x x x . Khi đó ta có:

23 2

6

f x x

f x x

Dễ thấy rằng 3 3 0f f nên ta chọn 0 3x . Ta xây dựng dãy 1,n nx

như sau:

3

1 2

2 10' 3 2

0

n n nn n n

n n

f x x xx x x

f x x

n

Với 0 3x , ta tính được

1 12.5600 1.6572x f x

2 12.4662 0, 0668x f x

43 32.4621 1.2501.10x f x

Chọn 10, 18m M khi đó

2 2* 33 3 2

180.0041 10

2 20M

x x x xm

Vì thế ta có thể chọn *3x x .


14

Bài 4. PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG (THAM KHẢO)

Trong mục này, ta phương trình 0f x .

Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng li nghiệm của phương trình trên là khoảng ,a b , đồng

thời ,f x f x liên tục và không đổi dấu trên đoạn ,a b . Không giảm tổng quát, ta giả sử

0f x trên ,a b . Khi đó đồ thị y f x nằm phía dưới dây cung AB với

, , ,A a f a B b f b .

Trường hợp 1: Nếu 0f a , ta xây dựng dãy 0,n nx

theo hệ thức:

0

1n

n n nn

x b

f xx x x a

f x f a

n

Khi đó ta sẽ có dãy 0,n nx

đơn điệu giảm, bị chặn và:

*1 0... ...n na x x x x b

Trường hợp 2: Nếu 0f a , ta xây dựng dãy 0,n nx

theo hệ thức:

0

1n

n n nn

x a

f xx x x b

f x f b

n

Khi đó ta sẽ có dãy 0,n nx

đơn điệu giảm, bị chặn và:

*0 1 1... ...n na x x x x x b

Định lý 1.4.1: Nếu phương trình 0f x có ,a b là khoảng li nghiệm, đồng thời f x liên

tục và không đổi đấu trên đoạn ,a b , f x liên tục và dương trên đoạn ,a b . Khi đó dãy 0,n nx

xây dựng như trên hội tụ đến nghiệm *x của phương trình 0f x và ta có ước lượng

*1 1n n n

M mx x x x

m

với ,m M là hai hằng số thỏa mãn


15

0 , ,m f x M x a b

Ví dụ:

Giải phương trình 3 2 1 0x x x bằng phương pháp dây cung biết khoảng li nghiệm là

0,1 với sai số không quá 310 .

Giải

Đặt 3 2 1f x x x x . Khi đó ta có:

23 2 1

6 2 0, 0,1

f x x x

f x x x

Từ đây ta suy ra 1 6f x .

Dễ thấy 0 1 0f . Ta xét dãy 0,n nx

được xây dựng như sau:

0

2

1 2

0

2 11

1 2 3

0,

n n nn n n

n n n

x

f x x xx x x

f x f x x

n

Từ đây ta tính được 6 7 80, 5428763, 0,543428, 0, 543605x x x .

Ta đánh giá sai số của 8x so với nghiệm đúng

* 4 38 8 7

6 10,543605 0,543428 8,85.10 10

1M m

x x x xm

Vậy ta lấy *8x x .


16

Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bài 1. MỞ ĐẦU

Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, kinh tế, môi trường quy về việc giải hệ phương trình

tuyến tính:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.........

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Đặt ij m nA a

là ma trận hệ số, mb là vector cột hệ số tự do cho trước, nx là

vector cột phải tìm, thì hệ trên có thể được viết dưới dạng

Ax b

Về phương diện lí thuyết, hệ phương trình trên có thể giải bằng công thức Cramer trong

trường hợp m n và det 0A . Cụ thể hơn, ta có:

det

detj

j

Ax

A

Trong đó jA là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ j của A bằng ma trận cột hệ số tự do

b . Tuy nhiên, ý nghĩa sử dụng thực tế công thức này chỉ có đối với n đủ nhỏ 2, 3n n , vì khi

n đủ lớn thì chỉ riêng phép tính nhân đã tăng lên mức 1 1 !n n n (tại sao ?), đến nỗi chỉ cần

một hệ phương trình có 30 ẩn đã mất 378.080 tỉ năm để tính nghiệm theo công thức trên bằng máy

tính có tốc độ 20 ngàn tỷ/giây. Nhưng quan trọng hơn là sau gần 400 ngàn tỷ năm ta nhận được một

lời giải không phải là nghiệm của hệ đó nữa, đơn giản là vì phép tính quá lớn nên chỉ riêng sai số làm

tròn số đã cho ta một kết quả chẳng liên quan gì đến hệ phương trình đã cho. Ví dụ này có lẽ đủ nói

lên tầm quan trọng của phương pháp số.

Nếu det 0A thì ta nói hệ phương trình gần như suy biến. Khi đó việc làm tròn số trong quá

trình tính nghiệm, dù bằng phương pháp tốt nhất hiện có, cũng dễ dẫn đến hệ suy biến và làm ta

không thể nhận được lời giải mà đáng lẽ ra chúng phải tồn tại. Nói chung, có thể chỉ ra rằng, nếu ta

lấy đại lượng:


17

1

00sup . inf

xx

Ax Axcond A

x x

làm đặc trưng cho ma trận A thì hệ phương trình với cond A lớn được gọi là hệ có thể trạng yếu sẽ

rất nhạy cảm với những thay đổi của vế phải, dù là rất nhỏ, nghĩa là thay đổi về nghiệm sẽ rất lớn dù

rằng thay đổi vế phải rất nhỏ (như làm tròn số). Ta sẽ làm rõ điều này bằng những phân tích sau đây

Giả sử *x là nghiệm của hệ phương trình Ax b , ** * *x x x là nghiệm của hệ phương

trình 'Ax b với 'b b b . Khi đó ta có :

1 1 1

* * *

0 0 0 0inf inf inf infx x x x

Ax Ax Ax Axx x A x b

x x x x

Mặt khác 1 1 1

* * *

0 0 0 0sup sup sup supx x x x

Ax Ax Ax Axx x Ax b

x x x x

Từ đó, ta nhận được

1*

* 00sup . inf

xx

x Ax Ax b bcond A

x x b bx

Ước lượng trên chứng tỏ sai số tương đối của nghiệm có thể bằng tích của cond A với sai số

ở vế phải. Từ đó suy ra rằng với ma trận A thể trạng yếu thì nghiệm của nó thay đổi nhiều so với

những thay đổi nhỏ ở hệ số và các hạng số tự do. Như vây, giải hệ phương trình tuyến tính thể trạng

yếu là bài toán khó của toán học tính toán.

Các phương pháp giải hệ có thể phân làm hai nhóm chính: nhóm các phương pháp trực tiếp và

nhóm các phương pháp lặp. Đối với các phương pháp trực tiếp thì số các phép toán có thể dự đoán

trước được, còn đối với phương pháp lặp thì nói chung không thể dự đoán trước được số lần cần lặp

để có được nghiệm xấp xỉ với sai số mong muốn. Các phương pháp lặp thường được sử dụng đối với

hệ có số ẩn và số phương trình lớn, hệ gần suy biến hay thể trạng yếu. Sau đây, ta sẽ đi vào một số

phương pháp thông dụng để giải hệ phương trình.


18

Bài 2. PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS

Tư tưởng của phương pháp Gauss là đưa hệ phương trình Ax b về dạng tam giác hoặc dạng

hình thang, lúc đó nghiệm tìm được nhờ quá trình thế ngược. Cụ thể hơn ta sẽ dùng phương pháp

Gauss để giải hệ phương trình:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.........

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Không mất tổng quát, chúng ta luôn giả thuyết 11 0a . Để ma trận A có dạng tam giác hoặc

là hình thang, đầu tiên, chúng ta làm cho các phần tử ở cột thứ nhất, dòng thứ hai trở đi biến thành 0

bằng cách nhân dòng một với 1

11

iaa

rồi cộng vào dòng 2,3,...i i m , sau 1m phép biến đổi như

vậy chúng ta thu được hệ phương trình tương đương

11 1 12 2 1 1

' ' '22 2 2 2

' ' '2 2

...

...

.........

...

n n

n n

m mn n m

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

(*)

Trong đó:

' 11

11

iij ij j

aa a a

a

' 11

11

ii i

ab b b

a

Ở đây, ta còn nói “ khử ẩn 1x ” , tiếp theo bằng cách tương tự chúng ta “khử ẩn 2x ” từ phương

trình thứ ba trở đi đối với hệ (*). Sau đó, ta lại “ khử ẩn 3x ” từ phương trình thứ tư trở đi (nếu có)…

Quá trình khử ẩn ở trên là quá trình lặp, sau hữu hạn bước biến đổi quá trình sẽ dừng lại ở một trong

các trường hợp sau:

1. Hệ nhận được có dạng tam giác (hệ có duy nhất nghiệm) hay ma trận A có dạng tam giác

2. Hệ nhận được có dạng bậc thang (hệ có vô số nghiệm) hay ma trận hệ số có dạng bậc thang.

3. Trong hệ xuất hiện phương trình có dạng


19

1 20 0 ... 0 nx x x b với 0b

Khi đó hệ vô nghiệm

Chú ý:

1. Trong quá trình biến đổi trong hệ xuất hiện phương trình dạng

1 20 0 ... 0 0nx x x

Khi đó, chúng ta có thể loại bỏ phương trình này ra khỏi hệ phương trình

2. Về mặt thực hành, để giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử ẩn liên tiếp, ta

làm như sau:

. Xác định ma trận hệ số mở rộng |A A b

. Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để biến đổi sao cho ma trận hệ số A

chuyện thành dạng tam giác hoặc bậc thang.

. Giải hệ phương trình bằng quá trình ngược.

Ví dụ

1. Giải hệ phương trình

1 2 3

1 2 3

1 3

2 3 4

2 0

3 2 1

x x x

x x x

x x

Giải

Bước 1: Lập ma trận hệ số mở rộng A

2 1 3 4

| 1 2 1 0

3 0 2 1

A A b

Bước 2: Biến đổi A để đưa ma trận A về dạng tam giác hoặc hình thang:

1 2

2 1 3 4

| 1 2 1 0

3 0 2 1

d dA A b

1 2 1 0

2 1 3 4

3 0 2 1


20

3 3 22 2 1

3 3 1

62 53

0 01 2 1 1 2 1

0 5 5 4 0 5 5 4

0 6 5 1 0 0 1 295

d d dd d dd d d

Bước 3: Khôi phục lại hệ phương trình

1 2 3

2 3

3

2 0

5 5 4

295

x x x

x x

x

Hệ có nghiệm duy nhất là:

1 2 3

19 24 29; ;

5 5 5x x x


21

Bài 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ (DECOMPOSITION METHOD)

Xét lại phương trình Ax b với A là ma trận vuông cấp n . Giả sử ma trận A có thể biểu

diễn dưới dạng A LU trong đó

11

21 22

1 2

0 0

0

n n nn

l

l lL

l l l

là một ma trận tam giác dưới, còn U là ma trận tam giác trên:

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

u u u

u uU

u

Khi đó ta có b Ax LUx Ly với y Ux . Vậy hệ ban đầu được phân rã thành hai hệ

sau đây:

Ly b

Ux y

Vấn đề giải hệ phương trình trên rất đơn giản, đầu tiên là giải hệ Ly b để tìm y , sau đó với

y vừa tìm được, ta giải hệ Ux y

Trường hợp riêng :

a. Giải hệ bằng phương pháp Crout

Với phương pháp Crout thì ta cho 1, 1,iiu i n , từ đó tìm các phần tử còn lại của ma trận

L và U .

Sau đây ta sẽ dùng phương pháp Crout để phân rã ma trận cấp 3. Ta có

11 12 1311 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

0 0 1

0 0 1

0 0 1

l a aa a a

a a a l l a

a a a l l l


22

11 11 12 11 1311 12 13

21 22 23 21 21 12 22 21 13 22 23

31 32 33 31 31 12 32 31 13 32 23 33

l l u l ua a a

a a a l l u l l u l u

a a a l l u l l u l u l

Từ đây ta suy ra:

11 11

21 21

31 31

l a

l a

l a

1211 12 12 12

11

al u a u

l

21 12 22 22 22 22 21 12l u l a l a l u

31 12 32 32 32 32 31 12l u l a l a l u

1311 13 13 13

11

al u a u

l

23 21 1321 13 22 23 23 23

22

a l ul u l u a u

l

31 13 32 23 33 33 33 33 31 13 32 23l u l u l a l a l u l u

Bằng cách tương tự, ta có thể phân rã ma trận vuông cấp n . Cụ thể hơn, nếu A là một ma trận

vuông cấp n được cho bởi

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

thì các phần tử của hai ma trận ,L U được xác định như sau:

1 1

11

11

, 1,2,...,

, 2, 3,...,

i i

jj

l a i n

au j n

l

Với 2, 3,..., 1j n 1

1

, , 1,...,j

ij ij ik kjk

l a l u i j j n

1

1

1, 1, 2,...,

j

jk jk ji ikijj

u a l u k j j nl

và


23

1

1

n

nn nn nk knk

l a l u

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 4

4 3 6

3 2 2 15

x x x

x x x

x x x

Giải

Áp dụng phương pháp Crout phân rã ma trận cấp 3 ta được:

2 0 0

4 5 0

7 133

2 5

L

và

1 11

2 23

0 15

0 0 1

U

Trước hết ta giải hệ

1 1

2 2

3 3

22 0 0 4

24 5 0 6

57 13 15 432 5

y y

Ly b y y

y y

Tiếp theo, ta giải hệ

1 1

2 2

3 3

1 11 22 2 1

3 20 1 2

5 540 0 1 4

x x

x x

x x

b. Phương pháp Choleski cho ma trận đối xứng


24

Phương pháp Choleski là phương pháp phân rã ma trận đối xứng xác định dương. Với một ma

trận đối xứng xác định dương bất kì ta luôn có sự phân rã duy nhất TA U U

trong đó

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

u u u

u uU

u

Đồng nhất hai vế ta được

11 11

11

11

12

1

1

1

, 2, 3,...,

, 2, 3,...,

1, 2, 3,..., ; 1, 2,...,

jj

i

ii ii kik

i

ij ij ki kjkii

u a

au j n

u

l a u j n

u a u u i n j i i nu

Chú ý: Ma trận A có thể được phân rã như sau: TA LL

với L là ma trận tam giác dưới

Mở rộng: Phương pháp Choleski cũng là một phương pháp hữu hiệu để tìm ma trận nghich

đảo của một ma trận đối xứng A cho trước. Thật vậy, nếu TA U U thì

1 11 1 1 1 TT TA U U U U U U với U là một ma trận tam giác trên. Vì U là một ma

trận tam giác trên nên 1U cũng là một ma trận tam giác. Ta giả sử 1ijU , ta dễ dàng tính được

các phần tử của 1U như sau:

1

1

1,

0,

iiii

j

ij ik kjk iii

ij

u

u i ju

i j


25


2.3.1. Phương pháp: Trong n người ta thường xét hai chuẩn quen thuộc sau:

1

1

1

max ii n

n

ii

x x

x x

Với ma trận vuông ij nA a ta sẽ có các chuẩn tương ứng:

11

1 11

max

max

n

iji nj

n

ijj n

i

A a

A a

Để giải hệ phương trình Ax b (1) bằng phương pháp lặp đơn, ta biến đổi (1) về dạng:

x Bx g (2)

Sau đó với 0 nx , ta thiết lập dãy kx bằng cách đặt:

1

0

k kx Bx g

k

(3)

Với một số điều kiện về ma trận B , dãy kx sẽ hội tụ đến nghiệm đúng *x của hệ (1).

Phương pháp lặp xác định theo hệ thức (3) để giải hệ phương trình (1) được gọi là phương pháp lặp

đơn.

Sau đây ta xét một số điều kiện của ma trận B để dãy kx hội tụ đến nghiệm đúng *x của

(1).

2.3.2. Các định lí cơ bản:

Định lí 2.3.2.1 : Nếu 1 1B (hoặc 1B ) thì với mọi 0 nx , dãy kx xác định

bởi (1) hội tụ đến nghiệm duy nhất *x của hệ (1), hơn nữa ta có:

i) 1 1* 1

1 111

k k kBx x x x

B

hoặc 1 1*

1k k kB

x x x xB

với 0k


26

ii) * 1 01

1111

kk B

x x x xB

hoặc * 1 0

1

kk B

x x x xB

Vấn đề đưa hệ phương trình (1) về dạng (2) với ma trận B thỏa mãn điều kiện 1 1B (

hoặc 1B ) là không tầm thường. Nói chung, với mỗi ma trận A cụ thể phải có một kĩ thuật

tương ứng kèm theo. Kết quả dưới đây cho ta vài trường hợp điển hình.

Định lí 2.3.2.2: Giả sử ma trận ij nA a thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

a.

1

, 1,n

ij iii jj

a a i n

b.

1

, 1,n

ij jjj ii

a a j n

Khi đó luôn có thể đưa về hệ phương trình (1) về dạng (2) với điều kiện 1B (với điều

kiện a.) hoặc 1 1B (với điều kiện b.)

Chứng minh

a. Giả sử điều kiện a. được thỏa, ta viết lại hệ (1) ở dạng:

1

1,

i

n

ii ij j ii jj

a x a x b

i n

Do đó, ta có

1

1,

i

nij i

ji j ii iij

a bx x

a a

i n

Ta suy ra


27

112 1

1111 11

21 2 2

22 22 22

1 2

0

0,

0

n

n

n n n

nn nn nn

ba aaa a

a a ba a aB g

a a ba a a

Từ điều kiện a. ta rút ra kết luận

1

1

max 1n

ij

i ni j iij

aB

a

b. Giả sử điều kiện b. được thỏa, ta viết lại phương trình (1) dưới dạng

1

1,

i

n

ii ij j ii jj

a x a x b

i n

Đặt , 1,i ii iz a x i n thì được hệ

1

1,

i

nij

j ii j iij

az z b

a

i n

Vậy ta nhận được hệ phương trình z Bz g (4), ở đó:

12 1

11 1

21 22

11

1 2

11 22

0

0,

0

n

nn

n

nn

nn n

a aa a b

a ab

a aB g

ba aa a

Từ điều kiện b., ta có:

1 1

1

max 1n

ij

j nj i iii

aB

a

.


28

Chú ý: Nếu * * * *1 2, ,..., nz z z z là nghiệm của hệ (4) thì

* * ** 1 2

11 22

, ,..., n

nn

z z zx

a a a

là nghiệm

của hệ phương trình (1)

Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với yêu cầu sai số là 310

5 7

10 12

20 22

x y z

x y z

x y z

Giải

Dễ thấy hệ phương trình này thỏa mãn điều kiện a. trong định lí 2.3.2 . Ta đưa hệ về dạng:

0 0,2 0,2 1, 4

0,1 0 0,1 1,2

0, 05 0, 05 0 1,1

x x y z

y x y z

z x y z

Ta thấy

0 0,2 0,2 1, 4

0,1 0 0,1 , 1,2

0, 05 0, 05 0 1,1

B g

Ta xét điều kiện hội tụ:

0, 4 1B

Đặt 0

1, 4

1,2

1,1

x g

. Khi đó, ta tính được:

1 0

1 * 1 0

0, 940000

0, 950000

0, 970000

0, 3066671

x Bx g

Bx x x x

B


29

2 1

2 * 2 1

1, 016000

1, 009000

1, 005500

0, 0506671

x Bx g

Bx x x x

B

4 3

4 * 4 3

1, 000680

1, 000415

1, 000253

0.0023871

x Bx g

Bx x x x

B

5 4

5 * 5 4 3

0.999866

0, 999906

0, 999945

0.000814 101

x Bx g

Bx x x x

B

Vậy 5

0.999866

0,999906

0,999945

x

là nghiệm gần đúng của hệ phương trình với sai số không quá 310 .

3 2

3 * 3 2

0,997100

0,997850

0,998750

0, 0126001

x Bx g

Bx x x x

B


30

Bài 4. PHƯƠNG PHÁP SEIDEL

Trong mục này ta tiếp tục nghiên cứu cách giải gần đúng hệ phương trình Ax b (1). Giả sử

(1) được đưa về dạng x Bx g (2).

Giả sử rằng đã có các xấp xỉ 0 1, ,..., kx x x thì lúc đó 1 1 1 11 2, ,...,k k k k

nx x x x được

xác định bởi:

11 1 1

1

11 1

1

2,

nk k

j jj

i nk k k

i ij j ij j ij j i

x b x g

x b x b x g

i n

(3)

Dãy kx được xây dựng theo thuật toán trên được gọi là dãy xấp xỉ xây dựng theo thuật toán

Seidel (hoặc phương pháp Seidel). Ta sẽ xem xét điều kiện của ma trận B để dãy trên hội tụ về

nghiệm duy nhất *x của hệ phương trình (1).

Định lí 2.4.1: Nếu 1

1

max 1n

iji nj

B b

thì dãy kx hội tụ đến nghiệm duy nhất *x

của hệ phương trình (1).

Vấn đề đưa hệ phương trình (1) về dạng (2) với ma trận B thỏa mãn điều kiện 1B ta đã

xem xét trong phương pháp lặp đơn. Ở đây, ta sẽ nhắc lại kết quả này.

Định lí 2.4.2: Giả sử ma trận ij nA a thỏa mãn điều kiện

1

, 1,n

ij iii jj

a a i n

. Khi đó

luôn có thể đưa được hệ (1) về dạng (2) với điều kiện 1B và 0, 1,iib i n .

Sau đây ta chỉ ra cách đánh giá sai số của phương pháp Seidel trong việc tìm nghiệm gần đúng

của hệ phương trình (1) với ma trận A thỏa mãn điều kiện trong định lí 2.4.2.

Ta viết ma trận B dưới dạng B U L , trong đó

21

1 2

0 0 0

0 0

0n n

bU

b b

và

12 1

2

0

0 0

0 0 0

n

n

b b

bL


31

Khi đó hệ (3) có thể được viết dưới dạng

1 1

1

11

k k k

k k

k k

x Ux Lx g

I U x Lx g

x I U Lx g

Hệ thức

11

0

k kx I U Lx g

k

(4)

chứng tỏ phương pháp Seidel cũng là phương pháp lặp đơn được áp dụng cho hệ phương trình khác.

Từ đó ta có kết quả sau

Định lí 2.4.3: Với mọi 0 nx , dãy kx xác định bởi (4) hội tụ đến nghiệm *x của hệ (1)

và 1 1*

1k k kU

x x x xB

với mọi 0k .

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Seidel qua ba bước (có đánh giá sai

số)

0,1 0,1 1,2

0,1 0,1 1,2

0,1 0,1 1,2

x y z

x y z

x y z

Giải

Ta đưa hệ về dạng

0 0,1 0,1 1,2

0,1 0 0,1 1,2

0,1 0,1 0 1,2

x x y z

y x y z

z x y z

Từ đây ta được

0 0,1 0,1 1,2

0,1 0 0,1 , 1,2

0,1 0,1 0 1,2

B g

Do đó, ta dễ dàng xác định các ma trận ,U L . Cụ thể, ta có


32

0 0 0

0,1 0 0

0,1 0,1 0

U

và

0 0,1 0,1

0 0 0,1

0 0 0

L

Ta xét điều kiện hội tụ:

0,2 1

0,2 1

B

U

Đặt

1,2

1,2

1,2

g

Khi đó ta tính được:

11 0

1 * 1 0

0, 96

0, 984

1, 0056

1

x I U Lx g

Ux x x x

B

12 1

2 * 2 1

1, 001040

0,999336

0,999962

1

x I U Lx g

Ux x x x

B

13 2

3 * 3 2 4

1, 000070

0, 999997

0, 999993

9,7.101

x I U Lx g

Ux x x x

B

Vậy 3

1, 000070

0,999997

0, 999993

x

là nghiệm gần đúng của hệ phương trình với sai số không vượt quá

310 .


33

Chương 3. ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

Bài 1. MỞ ĐẦU

Thông thường, một hàm số có hai cách biểu diễn. Dạng thứ nhất bằng biểu thức giải tích với

các kết hợp khác nhau của hàm sơ cấp. Dạng thứ hai thì hàm số được cho như một bảng số. Ta chú ý

đến dạng thứ hai. Giả sử ta có hàm một biến y f x mà f x không thể cho dưới dạng biểu thức

giải tích, nhưng bằng cách nào khác ta có thể nhận được các giá trị của y tại các giá trị khác nhau của

x (chẳng hạn bằng đo đạc hay quan trắc hoặc ghi chép thống kê) và ta lập được bảng số dạng:

x 0x 1x nx

y 0y 1y ny

Ta luôn có thể đánh số lại cho thích hợp nên có thể viết: 0 1 ... nx x x . Các điểm 0 1, ,..., nx x x

được gọi là các mốc.

Một vấn đề thực tiễn thường nảy sinh là nếu có ta có hàm số ở dạng bảng thì bằng cách nào ta

có thể xác định giá trị của y tại một giá trị x nào đó không trùng với một giá trị nào trong các giá trị

0 1, ,..., nx x x . Thuật toán tìm giá trị y như vậy được gọi là phép nội suy (nếu 0, nx x x ) hoặc ngoại

suy (nếu 0, nx x x ). Vì vậy có thể gọi phép nội suy là phép “chèn” hay phép liên tục hóa các giá trị

của hàm số cho dưới dạng bảng tại các giá trị của biến số không trùng với các mốc.

Trên đây chúng ta nói về phép nội suy và ngoại suy cho hàm một biến số. Một cách hoàn toàn

tương tự, ta có thể mở rộng cho hàm số nhiều biến, nghĩa là ta có thể nội suy hoặc ngoại suy đối với

bảng nhiều chiều, chẳng hạn với độ nhớt của chất lỏng theo hai biến áp suất và nhiệt độ.

Chúng ta không chỉ cần tính giá trị của hàm số y f x tại các giá trị trung gian của biến số

mà đôi khi cần phải tính đạo hàm của hàm số f x ở bậc bất kì nào đó hoặc tính tích phân của nó

trên một khoảng xác định. Những phép phân tích như vậy giúp chúng ta phát hiện ra các qui luật tổng

quát chi phối mối quan hệ của các yếu tố tham gia xác định một quá trình hay hiện tượng vật lý.

Một ứng dụng khác của phép nội suy là xấp xỉ một hàm cho trước bằng một hàm số khác

nhằm mục đích đơn giản hóa cách tính giá trị của hàm đã cho. Ta hình dung trường hợp sau: trong


34

một thuật toán nào đó ta phải tính nhiều lần giá trị của một hàm số với một biểu thức rất phức tạp ở

nhiều giá trị khác nhau của biến số. Để tiết kiệm thời gian tính toán nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác

đã đặt ra, ta sẽ chủ động chia miền biến đổi của biến số bằng 1n mốc kể cả các điểm biên và tiến

hành tính các giá trị của hàm số tại các mốc đó để có được một bảng số. Khi đó để tính giá trị của

hàm đã cho tại các giá trị khác nhau của biến số ta sẽ sử dụng phép nội suy với số phép tính ít hơn

nhiều lần so với cách tính trực tiếp mà độ chính xác vẫn đảm bảo.

Trên đây chúng ta nói đến hai ứng dụng chủ yếu của phép nội suy và ngoại suy. Trong trường

hợp thứ nhất thì hàm số được cho ở dạng rời rạc hóa vì không biết biểu thức giải tích của nó, còn

trong trường hợp thứ hai thì hàm được cho ở dạng giải tích nhưng rất phức tạp cho việc tính toán nên

ta phải rời rạc hóa nó trước khi dung phép nội suy. Sau đây chúng ta sẽ đi vào một số phép nội suy

thông dụng


35

Bài 2. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Đa thức là một lớp hàm “đẹp”, có đạo hàm ở mọi bậc, cách tính giá trị của nó cũng như tính

đạo hàm, tích phân rất đơn giản. Ngoài ra, các công trình của nhà toán học Weirstrass cho thấy, nếu

hàm số f x liên tục trên đoạn ,a b thì với mọi số dương tùy ý có thể tìm được một đa thức bậc

n (phụ thuộc vào ) sao cho

,nf x P x x a b

Những lí do trên là cơ sở tốt để người ta chọn đa thức làm hàm xấp xỉ của phép nội suy. Định

lý Weirstrass cũng cho thấy, bậc đa thức càng cao thì độ chính xác của xấp xỉ càng tăng. Tuy nhiên,

với ý nghĩa ứng dụng thực tế thì điều đó không phải là như vậy, vì đa thức bậc cao cũng mất rất nhiều

thời gian tính toán.

3.2.1. Đa thức nội suy Lagrange với mốc bất kì

Bài toán: Cho , , 0, , ,i i jx a b i n x x i j và , 0,i iy f x i n . Hãy xây dựng đa

thức nội suy nL x thỏa mãn deg nL x n và , 0,n i i iL x f x y i n .

Trước tiên ta xét đa thức

0 1 1 1

0 1 1 1

... ...

... ...i i n

ii i i i i i i n

x x x x x x x x x xx

x x x x x x x x x x

Rõ ràng ta có deg i x n và

0, ,

1, .i j

i jx

i j

Đặt

0

n

n i ii

L x f x x

(1). Khi đó, ta có

deg

, 0,

n

n i i

L x n

L x f x i n

Đa thức nL x thỏa mãn mọi yêu cầu của bài toán đặt ra. Đa thức

nL x được xây dựng như

trên được gọi là đa thức nội suy Lagrange.

Tiếp theo, ta chứng tỏ rằng sự tồn tại của đa thức nL x là duy nhất.

Giả sử còn có đa thức nQ x thỏa mãn các điều kiện của bài toán. Ta đặt

n nx P x Q x , ta suy ra ngay deg x n và 0, 0,ix i n . Điều này chứng tỏ


36

x là một đa thức có bậc nhỏ hơn n nhưng có ít nhất 1n nghiệm, do đó 0x , ta suy ra

n nL x Q x . Vậy tồn tại duy nhất một đa thức thỏa yêu cầu đề bài.

3.2.2. Đa thức nội suy với mốc cách đều

Giả sử 1 0, 0, , ,i i nx x h i n x a x b . Khi đó dùng phép biến đổi

0 0, , 1,ix x th x x it i n , thay vào biểu thức của i x ta được:

0

11 ... 1 1 ... .

! !

1 ... 1! !

n i

i i

n i

t x th t t t i t i t ni n i

t t t nt i i n i

Từ đó ta thu được

0

1 ...1

!

inn i n

n ii

t t t n CL x f x

n t i

(2)

Chú ý: Trong công thức (2), các hệ số 1 n i inC là không phụ thuộc vào hàm số f x , mốc

nội suy, bước h nên có thể tính sẵn và lập bảng để sử dụng trong quá trình tính toán.

Nhận xét: Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán nhưng có nhược

điểm là nếu thêm mốc nội suy thì phải tính toán lại từ đầu.

Nếu f x là một đa thức và deg f x n thì nL x f x .

3.2.3. Công thức đánh giá sai số nội suy

Bây giờ ta cần đánh giá sai số của phép nội suy theo Lagrange ở giá trị x bất kì.

Xét hiệu số nf x L x

Ta đưa vào kí hiệu:

0 1 ... nx x x x x x x

và xét hàm số: nz f z L z k z

với

nf x L xk

x

(1)


37

Dễ thấy rằng 0 1 ... 0nx x x . Sau nhiều lần áp dụng định lý Roll, ta có ít

nhất một điểm ,a b sao cho 1 0n . Từ đây ta suy ra

1

1 !

nfk

n

. Thay biểu thức này

vào (1) ta nhận được

1

1 !

n

n

ff x L x x

n

hay là

1

1 ! 1 !

n

n

f Mf x L x x x

n n

(2)

trong đó

1

;max n

x a bM f x

.

Nhận xét: Trong (2) chỉ có đại lượng x là phụ thuộc vào cách chọn 1n mốc nội suy

nên có thể đặt ra câu hỏi: tồn tại hay không cách bố trí các mốc nội suy (khi n cố định) để x nhỏ

nhất với mọi ,x a b , nói cách khác tồn tại hay không các mốc nội suy tối ưu ở mọi giá trị n (nhận

xét rằng với phép biến đổi 2x a bt

b a

thì đoạn ,a b chuyển thành 1,1 , do đó luôn có thể xét

bài toán nội suy trên đoạn 1,1 với các mốc nội suy trên đoạn 1,1 ). Câu trả lời là có. Các mốc

nội suy tối ưu là các điểm biểu diễn nghiệm của đa thức Chebysev 1nT x bậc 1n . Ta sẽ tìm hiểu

một vài vấn đề cơ bản của đa thức Chebysev ngay sau đây

Đa thức Chebysev:

Xét hàm số cos arccosnT x n x với 1x

Dễ thấy:

1

22

33

2 1

4 3

T x x

T x x

T x x x

Dùng công thức công góc ta dễ dàng chứng tỏ được 1 12n n nT x xT x T x

Vậy nT x là một đa thức đại số, deg nT x n và hệ số bậc cao nhất là 12n

Đa thức nT x được gọi là đa thức Chebysev

Một số kết quả về đa thức Chebysev nT x :


38

. nT x có đúng n nghiệm là: 2 1cos , 0, 1

2i

ix i n

n

.

.

1;1

max 1nx

T x

khi cos , 0,i

ix x i n

n

.

Ví dụ:

1. Tính đa thức nội suy Lagrange của hàm số siny x với 0 1 2

1 10, ,

6 2x x x trên

10,

2

.

Giải

Với các mốc nội suy 0 1 2

1 10, ,

6 2x x x ta tính được 0 1 2

10, , 1

2y y y , từ đó ta có:

2

2

1 1 1 10 0

16 2 2 6.0 . .11 1 1 1 1 1 1 120 0 0 06 2 6 6 2 2 2 6

73 .

2

x x x x x xL x

x x

2. Cho hàm số y f x bởi bảng sau:

x 0 1 2 4 y 1 0 2 1

Hãy tính đa thức nội suy Lagrange 3L x của nó trên đoạn 0, 4 và tính gần đúng 3f bằng

cách đặt 33 3f L .

Giải

Ta có:

3

3 2

1 2 4 0 2 4.1 .0

0 1 0 2 0 4 1 0 1 2 1 4

0 1 4 0 1 2.2 .1

2 0 2 1 2 4 4 0 4 1 4 21

7 39 44 12 .12

x x x x x xL x

x x x x x x

x x x

Ta suy ra 3

143 3

4f L .


39

Bài 3. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON

3.3.1. Khái niệm về tỷ sai phân và một vài tính chất

Giả sử hàm số thực y f x xác định trên ,a b và , , 0, ; ,i i jx a b i n x x i j . Khi

đó tỷ số 1

1

i i

i i

y y

x x

được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y f x tại 1, , 0, 1i ix x i n và được

kí hiệu là 1;i if x x

Tỷ số 1 2 1

2

; ;i i i i

i i

f x x f x x

x x

được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của hàm số y f x tại ix và

được kí hiệu là 1 2; ;i i if x x x .

Tổng quát, tỷ số: 1 2 2 1; ;...; ; ;...;i i i k i i i k

i k i

f x x x f x x x

x x

được gọi là tỷ sai phân cấp k và ta

kí hiệu là 1; ;...;i i i kf x x x .

3.3.2. Đa thức nội suy với mốc bất kì

Giả sử hàm số thực y f x xác định trên ,a b và , , 0, ; ,i i jx a b i n x x i j . Gọi

nL x là đa thức nội suy Lagrange của hàm số y f x . Khi đó, ta thấy

0 0 1 0; , ; ; ,..., ; ;...;n n n nL x x L x x x L x x x là các tỷ sai phân của nL x tại x . Khi đó ta có:

0

00

; n nn

L x L xL x x

x x

. Ta suy ra

0 0 0;n nL x L x L x x x x

Lại có 0 1 00 1

1

; ;; ; n n

n

L x x L x xL x x x

x x

, từ đó rút ra

0 0 1 0 1 1; ; ; ;n n nL x x L x x L x x x x x

Bằng cách lập luận tương tự ta có

0 1 1 0 1 0 1; ; ;...; ; ;...; ; ; ;...;n i n i n i iL x x x x L x x x L x x x x x x

Từ đó rút ra

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 2 0 1 1

; ; ; ...

; ; ;...; ...

n n n n

n n n

L x L x L x x x x L x x x x x x x

L x x x x x x x x x x


40

Để ý rằng , 0,n i i iL x f x y i n , ta suy ra

0 1 2 0 1 2; ; ;...; ; ; ;...; , 1,n k kL x x x x f x x x x k n

Vì thế ta có thể viết lại đa thức nL x như sau:

0 0 1 0 0 1 2 0 1

0 1 2 0 1 1

; ; ; ...

; ; ;...; ...

n

n n

L x f x f x x x x f x x x x x x x

f x x x x x x x x x x

(1)

Đa thức nL x cho bởi (1) được gọi là đa thức nội suy Newton với mốc bất kì.

Ví dụ:

1. Xét hàm số y f x cho bởi bảng:

x 0 1 2 4 y 0 1 8 64

Hãy tính đa thức nội suy Newton của nó

Giải

Ta lập bảng tỷ sai phân:

x y 0 1;f x x 0 1 2; ;f x x x 0 1 2 3; ; ;f x x x x

0 0

1

1 1 3

7 1

2 8 7

28

4 64

Từ đây ta suy ra đa thức nội suy Newton của hàm số cho bởi bảng trên là

33 0 1 0 3 0 1 1 0 1 2L x x x x x x x x .

2. Xét hàm số y f x cho bởi bảng

x 0 1 2 3 4 y -5 2 5 10 30

Hãy xây dựng đa thức nội suy Newton của hàm số trên và tính gần đúng 2,5f .

Giải


41

Ta lập bảng tỷ sai phân

x y 0 1;f x x 0 1 2; ;f x x x 0 1 2 3; ; ;f x x x x 0 1 2 3 4; ; ; ;f x x x x x

0 -5

7

1 2 -2

3 1

2 5 1 0,2917

5 2,16667

3 10 7,5

20

4 30

Từ đây ta suy ra đa thức nội suy Newton của hàm số cho bởi bảng trên là

4 5 7 0 2 0 1 1. 0 1 2

0,2917 0 1 2 3

L x x x x x x x

x x x x

.

3.3.3. Khái niệm về sai phân và một vài tính chất

3.3.3.1. Khái niệm về sai phân

Giả sử y f x là một hàm số thực, liên tục trên đoạn , , 0a b h const .

Khi đó hiệu số: f x f x h f x là sai phân cấp 1 của hàm số y f x tại x . Một

cách tổng quát:

0

1

1 , , 1.n n

f x f x

f x f x h f x

f x f x n n

lần lượt là sai phân cấp 0, cấp 1,…,cấp n của hàm số y f x tại x .

3.3.3.2. Tính chất

. f x g x f x g x với mọi , và f x và g x là

hai hàm tùy ý xác định trên ,a b .

. !n n nx n h

.

0

ni in

i

f x nh C f x


42

. 0

1n

nn in

i

f x C f x n i h

3.3.4. Đa thức nội suy với mốc cách đều

3.3.4.1. Đa thức nội suy ở đầu bảng (dạng tiến): Giả sử 0 1 ... nx x x và 1i ix x h

với mọi 0, 1i n . Ta tìm đa thức nội suy nL x ở dạng:

0 1 0 2 0 1 0 1 1... ...n n nL x a a x x a x x x x a x x x x x x

Cho x lần lượt bằng 0 1, ,..., nx x x và chú ý rằng , 0,n i i iL x f x y i n ta thu được

0 0 00 0 1, , ..., ,...,

! !

i n

i ni n

y y ya y a a a

h i h n h

. Từ đó ta có:

2

0 0 00 0 0 1 0 1 12

... ...2 ! !

n

n nn

y y yL x y x x x x x x x x x x x x

h h n h

Nếu ta đổi biến 0 0, , 1, 1ix x th x x ih i n thì ta có:

2

0 0 00 0 1 ... 1 ... 1

1! 2! !

n

n n

y y yN t L x th y t t t t t t n

n

Ví dụ: Xét hàm số y f x cho bởi bảng

x 0 1 2 3 4 y 4 8 13 16 18

Hãy tìm đa thức nội suy Newton ở đầu bảng của hàm số cho bởi bảng trên

Giải

Ta lập bảng sai phân y

0y 20y 3

0y 40y

4

4

8 1

5 -3

13 -2 6

3 3

16 1

4

18


43

Ta suy ra đa thức nội suy Newton của hàm số cho bởi bảng trên có dạng:

2 3 4

0 0 0 04 0 1 1 2 1 2 3

1! 2 ! 3 ! 4 !y y y y

N t y t t t t t t t t t t

1 1 1

4 4 1 1 2 1 2 32 2 4

t t t t t t t t t t .

3.3.4.2. Đa thức nội suy ở cuối bảng (dạng lùi): Giả sử 0 1 ... nx x x và 1i ix x h

với mọi 0, 1i n . Ta tìm đa thức nội suy nL x ở dạng:

0 1 2 1 1 1... ...n n n n n n nL x a a x x a x x x x a x x x x x x

Cho x lần lượt bằng 1 0, ,...,n nx x x và chú ý rằng , 0,n i i iL x f x y i n ta thu được

1 00 1, ,..., ,...,

! !

i nn n i

n i ni n

y y ya y a a a

h i h n h

. Từ đó ta thu được:

2

1 2 01 1 12

... ...2 ! !

nn n

n n n n n n nn


h h n h

Nếu ta đổi biến 0 0, , 1,ix x th x x ih i n thì

2

1 2 00 1 ... 1 ... 1

1! 2! !

nn n

n n n

y y yN t L x th y t t t t t t n

n

Ví dụ:

Xét hàm số y f x cho bởi bảng

x 0 1 2 3 4 y 4 8 13 16 18

Hãy tìm đa thức nội suy Newton ở cuối bảng của hàm số cho bởi bảng trên.

Giải

Ta lập bảng sai phân


44

y 3y 2

2y 31y 4

0y

4

4

8 1

5 -3

13 -2 6

3 3

16 1

4

18

2 3 4

3 2 1 04 1 1 2 1 2 3

1! 2 ! 3 ! 3 !n

y y y yN t y t t t t t t t t t t

1 1

18 4 1 1 2 1 2 32 2

t t t t t t t t t t .

3.3.4.2. Đa thức nội suy ở giữa bảng:

Giả sử 0 , 0, 1,...,ix x ih i n . Ta sẽ tìm đa thức nội suy ở dạng:

2 1 0 1 0 2 1 0 3 1 0 1

2 1 1 1 0 1 1

2 1 0 1 1

...

... ...

... ...

n

n n n

n n n

L x a a x x a x x x x a x x x x x x

a x x x x x x x x x x

a x x x x x x x x x x

Nếu thay x lần lượt bởi 0, 1, 2,...,ix i n , chúng ta sẽ có:

2 3 41 1 2 2

0 0 1 2 3 42 3 4

2 1 2

2 1 22 1 2

, , , , ,1! 2 ! 3 ! 4 !

,2 1 ! 2 !

i ii i

i ii i

y y y ya y a a a a

h h h hy y

a ai h i h

Từ đó ta rút ra:

2 31 1 2

2 1 0 0 1 0 1 0 13

2 1

1 1 0 1 12 1

2

1 0 1 12

...1! 2! 3 !

... ...2 1 !

... ...2 !

n

nn

n nn

nn

n nn


h h hy

x x x x x x x x x xn h

yx x x x x x x x x x

n h


45

Bài 4. ĐA THỨC NỘI SUY HERMIT (THAM KHẢO)

3.4.1. Bài toán: Cho , , 0, , ,i i jx a b i n x x i j và , , 0,i i i iy f x y f x i n .

Hãy xây dựng đa thức nội suy 2 1nH x thỏa mãn các điều kiện:

. 2 1deg 2 1nH n

. 2 1 , 0,n i i iH x f x y i n

. 2 1 , 0,n i i iH x f x y i n

3.4.1. Sự tồn tại.

Đặt 1 0 1 ...n nx x x x x x x . Khi đó đa thức 2 1nH x dưới đây thỏa

mãn yêu cầu của bài toán và được gọi là đa thức nội suy Hermit.

2

1 12 1

0 1 1

1n

n i nn i i i i

i n i i n i

x xH x y x x y x x

x x x x

Ví dụ:

Hãy tính đa thức nội suy Hermit của hàm số y f x trên đoạn 0,2 được cho bởi bảng

x 0 1 2 y 0 1 2

'y 0 2 0

Giải

Từ đề bài ta có: 0 1 2 0 1 20, 1, 2, 0, 1, 2x x x y y y , ' ' '0 1 20, 2, 0y y y và

3 1 2x x x x . Khi đó, đa

thức nội suy

Hermit của

hàm số cho

bởi bảng

trên là:

22

3 35

03 3

5 4 3 2

1

15 7

2

ii i i i

ii i i

x xH x y x x y x x

x x x x

x x x x


46

Bài 5. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

3.5.1. Bài toán: Giả sử chúng ta có hai đại lượng x và y với các giá trị thực nghiệm (do quan

sát hoặc làm thí nghiệm) thu được dưới dạng bảng sau:

x 1x 2x nx

y 1y 2y ny

Chúng ta muốn xây dựng công thức cho hàm số y f x dựa trên giá trị thực nghiệm này.

Rõ ràng, ta có thể sử dụng đa thức nội suy Lagrange hoặc Newton. Điều này xem ra không phải lúc

nào cũng hợp lí, ít nhất là do hai nguyên nhân sau. Nguyên nhân thứ nhất là, khi các mốc nội suy khá

lớn, các điểm nút lại quá sát nhau (đây là một đặc trưng tiêu biểu cho các bảng số nhận được bằng

cách phép đo lặp lại nhiều lần) thì việc sử dụng đa thức bậc cao hoặc bậc nhỏ để nội suy từng khúc

cũng trở nên rất phức tạp, số lượng tính toán rất lớn cho việc ứng dụng thực tế, nhất là các ứng dụng

mang tính chất tổng hợp.

Nguyên nhân thứ hai, quan trọng hơn, nằm ở chỗ các số liệu cho trong bảng số không phải lúc

nào cũng chính xác, đặc biệt trong trường hợp đo đạc trong phòng thí nghiệm hay quan trắc ngoại

hiện trường. Chẳng hạn khi ta đo đạc độ ẩm của không khí tại một địa điểm cố định nào đó theo thời

gian trong năm để tìm ra qui luật biến động của độ ẩm theo tháng hay theo mùa thì các số đo không

phải tuyệt đối chính xác, nhất là chúng không phải như nhau trong các năm khác nhau. Ngoài ra,

trong nhiều phép đo, không chỉ yếu tố phụ thuộc có sai số mà yếu tố độc lập (biến số) cũng chịu sai

số. Chẳng hạn khi đo độ nhớt của một chất lỏng ở cùng nhiệt độ nhưng dưới áp suất khác nhau thì

không chỉ riêng gì độ nhớt có sai số mà cả nhiệt độ lẫn áp suất đều có sai số. Do đó, yêu cầu hàm xấp

xỉ phải nhận đúng giá trị đã cho tại các mốc nội suy trở nên vô nghĩa

Để khắc phục khó khăn trên, người ta đưa ra khái niệm xấp xỉ bình phương bé nhất. Phương

pháp bình phương bé nhất khác với phương pháp nội suy truyền thống ở chỗ: phương pháp bình

phương bé nhất không yêu cầu hàm xấp xỉ (thường là đa thức) phải đi qua các mốc nội suy một cách


47

chính xác và hàm mà nó dùng để xấp xỉ là một và chỉ một cho cả miền cần xấp xỉ, cho dù miền đó có

lớn đến đâu chăng nữa.

3.5.2. Nội dung phương pháp

Quan hệ hàm y f x có thể giả định là một trong các dạng sau:

1. y ax b

2. 2y ax bx c

3. sin cosy a b x c x

4. . bxy a e

5. . by a x

Chúng ta cần xác định các hệ số , ,a b c . Phương pháp bình phương bé nhất giúp chúng

ta xác định các hệ số này với sai số mắc phải bé nhất theo một nghĩa nào đó. Sau đây, ta sẽ đi vào

từng trường hợp cụ thể.

3.5.2.1. Trường hợp y ax b

Vì các cặp số ;i ix y trong bảng là do thực nghiệm mà có, do vậy chúng hoàn toàn không xác

định nghiệm đúng của phương trình y ax b .

Sai số tại ;i ix y là i i iy ax b . Do vậy, 22

1 1

n n

i i ii i

S y ax b

là tổng bình

phương các sai số.

Vấn đề đặt ra là ta cố gắng làm cho S nhỏ đến mức có thể. Rõ ràng, S là một hàm số theo hai

biến ,a b . Chúng ta sẽ tìm ,a b để cực tiểu hàm S . Như vậy, ,a b cần phải thỏa hệ phương trình:

1

1

2 0

2 0

n

i i iin

i ii

Sy b ax x

aS

y b axb

hệ trên tương đương với

2

1 1 1

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i ii i

x a x b x y

x a nb y

Ta sẽ chứng tỏ rằng hệ phương trình trên luôn luôn có nghiệm duy nhất. Thật vậy, ta có:


48

22

21 1 2

1 1

1

0

n n

i i n n ni i

i i i jni i i j

ii

x x

D n x x x x

x n

Vậy hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất.

Ví dụ:

Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ y ax b và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1 3 4 7 9 12 y 0 2 5 10 12 16

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 10y .

Giải

Ta lập bảng sau:

x y 2x xy

1 0 1 0

3 2 9 6

4 5 16 20

7 10 49 70

9 12 81 108

12 16 144 192

36 45 300 396

Từ hệ bảng trên ta được hệ phương trình sau:

300 36 396

36 6 45

a b

a b

Giải hệ ta được

1, 5

1, 5

a

b

Vậy hàm số y f x có dạng

1,5 1, 5y x

Khi đó ta nhận được 10 1,5.10 1,5 13, 5y .


49

3.5.2.2. Trường hợp 0bxy ae a

Bằng cách logarit hai vế của đẳng thức bxy ae ta được

ln ln ln ln lnbx bxy ae a e a bx

Đặt ln ,Y y A b và lnB a thì đẳng thức trên có thể viết dưới dạng

Y Ax B

Vậy bài toán xác định các hệ số ,a b của hàm số bxy ae được chuyển về bài toán xác định

các hệ số ,A B của hàm số Y Ax B .

Cho ,x y có quan hệ bxy ae với bảng giá trị:

x 1x 2x nx

y 1y 2y ny

Ta lập bảng

x 1x 2x nx

lnY y 1lny 2lny ln ny

Từ bảng trên, bằng phương pháp trong mục 3.5.2.1, ta tìm được A và B . Từ đó, ta xác định

được a và b dựa vào đẳng thức Ba e và b A .

Ví dụ:

Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ bxy ae và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1,1 3,2 5,1 7,7 9,6 12,2

y 3,1 29,9 65,7 100,4 195,7 300, 4

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 10,2y .

Giải

Ta lập bảng:

x y lnY y 2x xY

1,1 3,1 1,1314 1,21 1,2445

3,2 29,9 3,3978 10,24 10,8730

5,1 65,7 4,1851 26,01 21,3440

7,7 100,4 4,6092 59,29 35,4908


50

9,6 195,7 5,2766 92,16 50,6554

12,2 300,4 5,7051 148,84 69,6022

38,9 24,3052 337,75 189,2099

Từ bảng trên ta được hệ phương trình

337,75 38,9 189,2099

38,9 6 24,3052

A B

A B


0,36970,3697

5.22681,6538

bA

aB

Vậy hàm số y f x có dạng 0,36975.2268 xy e

Ta tính được 0,3697.10,210,2 5.2268 226,6569y e

3.5.2.3. Trường hợp 0by ax a

Logarit hai vế của đẳng thức by ax ta được:

ln ln ln ln ln lnb by ax a x a b x

Đặt ln , ln ,Y y X x A b và lnB a thì đẳng thức trên có thể viết dưới dạng

Y AX B

Vậy bài toán xác định hệ số ,a b của hàm số by ax có thể chuyển về bài toán xác định hệ số

,A B của hàm số Y AX B

Cho ,x y có quan hệ by ax với bảng giá trị:

x 1x 2x nx

y 1y 2y ny

Ta lập bảng:

lnX x 1lnx 2lnx ln nx

lnY y 1lny 2lny ln ny


51

Từ bảng trên, ta tìm được A và B . Từ đó, ta xác định được a và b dựa vào đẳng thức Ba e

và b A .

Ví dụ

Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ by ax và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1,1 3,2 5,1 7,7 9,6 12,2

y 3,1 29,9 65,7 100,4 195,7 300, 4

Xác định ,a b bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 11, 4y .

Giải

Ta lập bảng:

x y lnX x lnY y 2X XY

1,1 3,1 0,0953 1,1314 0,0091 0,1078

3,2 29,9 1,1632 3,3979 1,3530 3,9524

5,1 65,7 1,6292 4,1851 2,6543 6,8184

7,7 100,4 2,0412 4,6092 4,1665 9,4083

9,6 195,7 2,2618 5,2766 5,1157 11,9346

12,2 300,4 2,5014 5,7051 6,2570 14,2707

9,6921 24,3053 19,5556 46,4922


19,5556 9, 6921 46, 4922

9,6921 6 24, 3053

A B

A B

Giải hệ phương trình ta được

1, 8542621, 854262

2, 8736991, 055600

bA

aB

Vậy hàm số y f x có dạng 1,8542622, 873699y x

3.5.2.4. Trường hợp 2y ax bx c


52

Vì các cặp số ;i ix y trong bảng là do thực nghiệm mà có, do vậy chúng hoàn toàn không xác

định nghiệm đúng của phương trình 2y ax bx c .

Sai số tại mỗi điểm ;i ix y là 2i i i iy c bx ax . Do vậy, tổng bình phương các sai số là

22 2

1 1

n n

i i i ii i

S y c bx cx

.

Vấn đề đặt ra là ta cố gắng làm cho S nhỏ đến mức có thể. Rõ ràng, S là một hàm số theo ba

biến , ,a b c . Chúng ta sẽ tìm , ,a b c để cực tiểu hàm S . Như vậy, , ,a b c cần phải thỏa hệ phương trình:

2 2

1

2

1

2

1

2 0

2 0

2 0

n

i i i iin

i i i iin

i i ii

Sy c bx ax x

aS

y c bx ax xbS

y c bx axc

Hệ phương trình trên tương đương với

4 3 2 2

1 1 1 1

3 2

1 1 1 1

2

1 1 1

n n n n

i i i i ii i i i

n n n n

i i i i ii i i i

n n n

i i ii i i

x a x b x c x y

x a x b x c x y

x a x b nc y

Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được , ,a b c

Ví dụ

Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2y ax bx c và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1 2 4 8 11 13 y 0 2 11 13 30 50

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất. Từ đó hãy tính 12y .

Giải

Ta lập bảng:

x y 2x 3x 4x xy 2x y

1 0 1 1 1 0 0

2 1 4 8 16 2 4


53

4 11 16 64 256 44 176

8 13 64 512 4096 104 832

11 30 121 1331 14641 330 3630

13 50 169 2197 28561 650 8450

39 105 375 4113 47571 1130 13092



0, 348607

1,124207

3, 019404

a

b

c

Vậy hàm số y f x có dạng 20,348607 1,124207 3,019404y x x

Ta tính được 12 39.728328y .

Nhận xét: Ta có thể mở rộng lên trường hợp 11 1 0...m m

m my a x a x a x a với

m n . Cách làm hoàn toàn tương tự, xin nhường cho bạn đọc.

3.5.2.4. Trường hợp cos siny a b x c x

Sai số tại mỗi điểm ;i ix y là cos sini i i iy a b x c x . Do vậy, tổng bình phương các

sai số là 22

1 1

cos sinn n

i i i ii i

S y a b x c x

.

S là một hàm số theo ba biến , ,a b c . Chúng ta sẽ tìm , ,a b c để cực tiểu hàm S . Như vậy,

, ,a b c cần phải thỏa hệ phương trình:

47571 4113 375 13092

4113 375 39 1130

375 39 6 105

a b c

a b c

a b c


54

1

1

1

2 cos sin 0

2 cos sin cos 0

2 cos sin sin 0

n

i i iin

i i i iin

i i i ii

Sy a b x c x

aS

y a b x c x xbS

y a b x c x xc

Hệ phương trình trên tương đương với

1 1 1

2

1 1 1 1

2

1 1

cos sin

cos cos cos sin cos

sin cos sin sin

n n n

i i ii i i

n n n n

i i i i i ii i i i

n n

i i i ii i

na x b x c y

x a x b x x c y x

x a x x b x

1 1

sinn n

i ii i

c y x

Giải hệ phương trình trên ta sẽ tìm được , ,a b c .

Ví dụ:

Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ cos siny a b x c x và bảng số liệu thực

nghiệm sau:

x 1 2 4 8 11 13 y 0 2 5 4 6 2

Xác định , ,a b c bằng phương pháp bình phương bé nhất.

Ta lập bảng:

x y cosx sinx 2cos x 2sin x cos sinx x cosy x siny x

1 0 0,5403 0,8415 0,2919 0,7081 0,4547 0 0

2 2 -0,4161 0,9093 0,1732 0,8268 -0,3783 -0,8322 1,8186

4 5 0,6536 0,7568 0,4272 0,5728 0,4946 3,2680 3,7840

8 4 -0,1455 0,9894 0,0212 0,9788 -0,1440 0,5820 3,9576

10 6 -0,8391 -0,5440 0,7041 0,2959 0,4565 -5,0346 -3,2640

13 2 0,9074 0,4202 0,8234 0,1766 0,3813 1,8148 0,8404

19 1,5328 3,3732 2,4410 3,5590 1,2648 -0,2022 7,1366


55

Từ bảng trên ta có hệ

6 1, 5328 3, 3732 19

1,5328 2, 4410 1,2648 -0,2022

3,3732 1,2648 3,5590 7,1366

a b c

a b c

a b c

Giải hệ phương trình trên ta được

4, 621716

2,150223

1,611062

a

b

c

Vậy hàm số y f x có dạng 4,621716 2,150223 cos 1, 611062 siny x x


56

Chương 4. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

Bài 1. MỞ ĐẦU

Rất nhiều vấn đề về khoa học, kĩ thuật dẫn đến việc tính tích phân

b

a

f x dx với f x là một

hàm phức tạp hoặc f x là một hàm mà nguyên hàm của nó không thể biểu diễn qua các hàm đơn

giản đã biết (chẳng hạn 4

3 1

1 0 1

sin, , ,...

ex xx

dx e dx x dxx ) hoặc hàm f x chỉ được cho bằng bảng. Vì

thế vấn đề tính gần đúng tích phân

b

a

f x dx được đặt ra là tự nhiên.

Một trong những phương pháp thường được sử dụng để tính gần đúng tích phân

b

a

f x dx là

sử dụng công thức Newton – Cotes. Nội dung của phương pháp Newton – Cotes là xấp xỉ hàm f x

với một đa thức nP x . Khi đó, thay vì tính tích phân

b

a

f x dx , ta sẽ tính tích phân

b

n

a

P x dx . Cụ

thể hơn, nếu thay f x bởi đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều 0n nL x L x ht thì ta

được

b b

n

a a

I f x dx L x dx

Vì 0

0

1 ...1

!

inn i n

n n ii

t t t n CL x L x th f x

n t i

nên ta có

Nếu đặt

0

1 ...1

!

n in i n

i

t t t n CA hdt

n t i

thì

0

n

i ii

I A f x

. Bây giờ nếu ta đặt

0

1 1 ...1

!

n in ii n

i

A t t t n CH dt

b a n n t i

thì rút ra:


57

0

n

i ii

I b a H f x

(*)

Công thức (*) được gọi là công thức cầu phương Newton – Cotes, các hệ số iH được gọi là

các hệ số Cotes. Các hệ số Cotes không phụ thuộc vào hàm số y f x hoặc độ dài bước h , vì vậy

thường được tính sẵn. Dưới đây là bảng hệ số Cotes, ứng với 1,2, 3, 4, 5, 6n .

n 0H 1H 2H 3H 4H 5H 6H

1 0,5000 0,5000

2 0,1667 0,6667 0,1667

3 0,1250 0,3750 0,3750 0,1250

4 0,0778 0,3556 0,1333 0,3556 0,0778

5 0,0660 0,2604 0,1736 0,1736 0,2604 0,0660

6 0,0488 0,2571 0,0321 0,3238 0,0321 0,2571 0,0488

Ví dụ: Tính gần đúng tích phân 1

30

11

I dxx

theo công thức Newton – Cotes với 4n .

Giải

Các tính toán cho bởi bảng dưới đây

i ix iy iH i iH y

0 0 1 0,0778 0,0778

1 0,25 0,9846 0,3556 0,3501

2 0,5 0,8889 0,1333 0,1185

3 0,75 0,7033 0,3556 0,2501

4 1 0,5 0,0778 0,0389

Áp dụng (*) ta được

1

3

0

11 0 0, 0778 0, 3501 0,1185 0,2501 0, 0389 0, 8354

1I dx

x

.

Sau đây, ta sẽ đi vào những trường hợp đặc biệt của công thức Newton – Cotes


58

Bài 2. CÔNG THỨC HÌNH THANG

4.2.1. Nội dung phương pháp

Để tính tích phân

b

a

f x dx ta chia đoạn ,a b thành n đoạn bằng nhau bởi các điểm chia:

0 1 2 1... n na x x x x x b

Dễ thấy 0 , 1,ix x ih i n với b ah

n

. Khi đó, ta suy ra

1 1 2 1

0 1 2 1

1

0

...i n n

i n n

x x x x xb n

ia x x x x x

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

(*)

Ta thay hàm số f x trên mỗi đoạn 1; , 0, 1i ix x i n bằng đa thức nội suy Newton bậc

nhất 1 iP x của nó trên đoạn đó. Cụ thể, ta có

1i

i i i

yP x y x x

h

Với mọi 0, 1i n , ta đặt ix x ht . Khi đó, ta có:

1 1 1 1

1 1

02

i i i

i i i

x x x

ii i i i i i i

x x x

y hf x dx P x dx y x x dx h y y t dt y y

h

Thay các giá trị này vào (*) ta nhận được:

1

1 0 1 2 10

2 ...2 2

b n

i i n nia

h hf x dx y y y y y y y

(**)

Công thức (**) được gọi là công thức hình thang

4.2.2. Đánh giá sai số:

Định lí 4.2.2.1: Cho f x là một hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên đoạn ,a b .

Khi đó, ta có đánh giá 2 max12 a x b

b aE h f x

với 1

10 2

b n

i iia

hE f x dx y y

Ví dụ:

Xét tích phân

2

0

sinI xdx


59

Tính tích phân trên bằng cách sử dụng công thức hình thang với 6n và so sánh với giá trị

chính xác của I .

Giải

Ta lập bảng:

i x y

0 0 0

1 0,2618 0,2588

2 0,5235 0,4999

3 0,7854 0,7071

4 1,0472 0,8660

5 1,3090 0,9659

6 1,5708 1

Từ bảng trên, ta có:

2

0

sin 0 1 2 0,2588+0,4999+0,7071+0,8660+0,9659 0,994224

I xdx

Dễ dàng tính được giá trị chính xác của I là bằng 1. Do đó, công thức hình thang cũng là công

cụ khá tốt khi tính tích phân vì sai số không quá lớn (sai số bậc hai).


60

Bài 3. CÔNG THỨC SIMSON

4.3.1. Công thức Simson một phần ba

4.3.1.1 Nội dung phương pháp:


b

a

f x dx ta chia đoạn ,a b thành 2n m đoạn bằng nhau bởi các điểm

chia:

0 1 2 1... n na x x x x x b


n

. Khi đó, ta có

2 2 2 4 2 2 2

2 0 2 2 4 2 2

1

0

...i m m

i m m

x x x x xb m

ia x x x x x


(*)

Ta thay hàm số f x trên mỗi đoạn 2 2 2; , 0, 1i ix x i m bằng đa thức nội suy Newton bậc

hai 2 iP x của nó trên đoạn đó. Cụ thể, ta có

2

2 22 2 2 2 2 122!

i ii i i i i

y yP x y x x x x x x

h h

Với mọi 0, 1i m , ta đặt 2ix x ht . Khi đó, ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 2

22 2

2 2 2 2 2 12

2 22

2 2 2 2 1 2 2

0

2

1 42 3

i i i

i i i

x x x

i ii i i i i

x x x

ii i i i i

y yf x dx P x dx y x x x x x x dx

h h

y hh y y t t t dt y y y

Thay các giá trị này vào (*) ta nhận được

1

2 2 1 2 20

0 2 4 2 2 1 3 2 1 2

43

2 ... 4 ...3

b m

i i iia

m m m

hf x dx y y y

hy y y y y y y y

(**)

Công thức (**) được gọi là công thức Simson một phần ba.

4.3.1.2. Đánh giá sai số:


61

Định lí 4.3.1.2: Cho f x là một hàm số có đạo hàm cấp 4 liên tục trên đoạn ,a b .

Khi đó, ta có đánh giá 4 4max180 a x b

b aE h f x

với

1

2 2 1 2 20

43

b m

i i iia

hE f x dx y y y

.

Ví dụ:

Xét tích phân

21

0

xI e dx

Tính tích phân trên bằng cách sử dụng công thức Simson một phần ba với 8n .

Giải

Ta lập bảng

i x y

0 0 1

1 0,125 1,0157

2 0,250 1,0645

3 0,375 1,1509

4 0,500 1,2840

5 0,625 1,4779

6 0,750 1,7551

7 0,875 2,1503

8 1,000 2,7183

Từ bảng trên, ta có:

2

1

0

11 2,7183 2 1,0645+1,2840+1,7551 4 1,0157+1,1509+1,4779+2,1503

24xI e dx

4.3.2. Công thức Simson ba phần tám

4.3.2.1 Nội dung phương pháp:


b

a

f x dx ta chia đoạn ,a b thành 3n m đoạn bằng nhau bởi các điểm

chia:

0 1 2 1... n na x x x x x b


62


n

. Khi đó, ta có

3 3 3 6 3 3 3

3 0 3 3 6 3 3

1

0

...i m m

i m m

x x x x xb m

ia x x x x x


(1)

Ta thay hàm số f x trên mỗi đoạn 3 3 3; , 0, 1i ix x i m bằng đa thức nội suy Newton bậc

ba 3 iP x của nó trên đoạn đó. Cụ thể, ta có

2 3

3 3 33 3 3 3 3 1 3 3 1 3 22 32! 3 !

i i ii i i i i i i i

y y yP x y x x x x x x x x x x x x

h h h

Với mọi 0, 1i m , ta đặt 3ix x ht . Khi đó, ta có

3 3 3 3 3 3

3 3 3

23 3

3 3 3 3 3 12

33

3 3 1 3 23

(2 !

)3 !

i i i

i i i

x x x

i ii i i i i

x x x

ii i i

y yf x dx P x dx y x x x x x x

h h

yx x x x x x dx

h

3 2 3

3 33 3

0

1 1 22! 3!

i ii i

y yy y t t t t t t dt

3 3 1 3 2 3 3

33 3

8 i i i i

hy y y y

Thay các kết quả này vào (1) ta nhận được

1

3 3 1 3 2 3 30

1 1

0 3 1 3 2 3 3 30 0

33 3

8

33 2

8

b m

i i i iia

m m

i i i mi i

hf x dx y y y y

hy y y y y

(***)

Công thức (***) được gọi là công thức Simson ba phần tám.

4.3.2.2. Đánh giá sai số:

Định lí 4.3.1.2: Cho f x là một hàm số có đạo hàm cấp 4 liên tục trên đoạn ,a b . Khi đó,

ta có đánh giá 4 4max80 a x b

b aE h f x

với

1

3 3 1 3 2 3 30

33 3

8

b m

i i i iia

hE f x dx y y y y

.

Ví dụ

Cho tích phân


63

13

0

I x dx

Tính tích phân trên bằng công thức Simson ba phần tám với 9n và so sánh với giá trị chính

xác của nó.

Giải

Ta lập bảng

i x y

0 0 0

1 0,111111 0,001371

2 0,222222 0,010973

3 0,333333 0,037037

4 0,444444 0,087791

5 0,555555 0,171467

6 0,666666 0,296295

7 0,777777 0,470506

8 0,888888 0,702330

9 1,000000 1,000000

Từ bảng trên ta có:

13

0

3 1. 0 1 3 0,001371+0,010973+0,087791+0,171467+0,470506+0,702330

8 9

3 1. 2 0,037037+0,296295 0,249999

8 9

I x dx

Mặt khác, ta dễ dàng tính được giá trị chính xác của I là 10,25

4 . Do đó, công thức Simson

ba phần tám có độ chính xác rất cao.


64

Chương 5. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Bài 1. MỞ ĐẦU

Trong khoa học, kĩ thuật chúng ta gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi phân

thường (chẳng hạn như bài toán tính vận tốc của một vật thể khi biết độ dài quãng đường trong những

khoảng thời gian khác nhau, bài toán tính toán cường độ dòng điện theo điện lượng). Có nhiều trường

hợp nghiệm đúng của phương trình vi phân không thể tìm ra được.

Bởi vậy để tìm nghiệm của chúng phải áp dụng các phương pháp gần đúng khác nhau.

Các phương pháp có thể chia làm hai nhóm: Nhóm thứ nhất được gọi là phương pháp giải tích,

nhóm thứ hai được gọi là phương pháp số.

Các phương pháp giải tích cho phép tìm nghiệm gần đúng dưới dạng một biểu thức giải tích

Các phương pháp số cho phép tìm nghiệm dưới dạng bảng.

Dưới đây, ta chỉ giới thiệu một phương pháp giải tích thường dùng gọi là phương pháp lặp

đơn, và một số phương pháp số (bao gồm phương pháp Euler, Euler cải tiến, Rung - Kutta).


65


Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây:

0 0

,dy

y f x ydx

y x y

(*)

Giả sử ,f x y là hàm liên tục trên 0 0 0 0, ,D x a x a y b y b

Khi đó bài toán giá trị ban đầu ở trên tương đương với phương trình tích phân

0

0 ,x

x

y x y f s y s ds

Ta thiết lập dãy

0

0 0

1 0 ,

0

x

k k

x

y x y

y x y f s y s ds

k

(**)

Sau đây, ta xem xét một số điều kiện để dãy trên hội tụ đến nghiệm duy nhất của phương trình

(*)

Định lí 5.1.1: Giả sử hàm số ,f x y liên tục trong D và trên đó thỏa mãn điều kiện Lipschitz

theo biến thứ hai, tức là

1 2 1 2 1 2 0 0 0 0, , , , , , ,f x y f x y L y y y y y b y b x x a x a

ngoài ra, giả sử

,

max , , min ,x y D

bM f x y h a

M

.

Khi đó dãy các xấp xỉ (**) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất của phương trình (*) trên

0 0,x h x h .

Tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức

1* 0

1 !

0

kk

k

x xy x y x L M

k

k

với *y x là nghiệm đúng của (*)


66

Ví dụ:

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp lặp đơn 4y x y

với 0 0y .

Giải

Hàm 4,f x y x y liên tục trên toàn mặt phẳng nên ,a b có thể chọn tùy ý.

Chọn 0 0y x thì xấp xỉ đầu tiên xác định

5

41 0 0

0 0

,5

x xx

y x y f s y s ds s ds

Tương tự

5 5 64

2 0 1

0 0

5 6 5 6 74

3 0 2

0 0

5 6 7 5 6 7 84

4 0 3

0 0

,5 5 30

,5 30 5 30 210

,5 30 210 5 30 210 1680

x x

x x

x x

s x xy x y f s y s ds s ds

s s x x xy x y f s y s ds s ds

s s s x x x xy x y f s y s ds s ds

Chúng ta sẽ ước lượng sai số của 4y x

Chọn 0,5a b . Ta có:

4

, ,

'

,

max , max 0,5625

max , 1

0, 5min , min 0, 5, 0, 5

0, 5625

x y G x y G

yx y G

M f x y x y

L f x y

bh a

M

với 0,5; 0, 5 0, 5;0,5G

Do vậy trên đoạn 0, 5;0, 5 ta có

5 5*

4

0 0,50,5625. 0, 000146

5! 5!n x

y x y x L M

.


67

Bài 2. PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN

5.2.1. Phương pháp Euler

Xét bài toán giá trị ban đầu sau đây:

0 0

,dy

y f x ydx

y x y

(*)

Giả sử hàm số hai biến ,f x y có đạo hàm riêng bậc m liên tục theo hai biến ,x y trên

0 0 0 0, , ; ; , 0D x x a y b y b m a b .

Lấy đạo hàm (*) theo biến x ta có

2

, ,

, 2 , , ,

x y

xx xy yy y

y x f x y f x y y x

y x f x y f x y y x f x y y x f x y y x

Thay 0 0,x x y y ta nhận được dãy

0 0 0, , ,...y x y x y x

Với x đủ gần 0x chúng ta có thể tính được giá trị gần đúng của nghiệm bài toán (*) theo công

thức:

00

0 !

imi

i

y xy x x x

i

Trong trường hợp x ở xa 0x , chúng ta chia đoạn 0 0,x x a thành n đoạn bằng nhau

1, , 0, 1j jx x j n . Ta dễ dàng suy ra 1 , 0,j jx x h j n với a

hn

. Giả sử ta tính được

j jy x y

Ta đặt |

j

i ij j j y yy y x

Sử dụng công thức

0 !

imij

j ji

yy x z x x x

i

(**)

với 1,j jx x x , thì 1jy sẽ được tính bởi 1 1j j jy z x


68

Chọn 1m thì (**) sẽ trở thành

1

1

,

, 0, 1

j j j j

j j

y y hf x y

h x x j n

(***)

Phương pháp số tính nghiệm gần đúng của (*) theo công thức (***) gọi là phương pháp Euler.

Bây giờ ta xét sai số của phương pháp Euler.

Ta có 0

h

y x h y x y x s ds (1)

Dùng khai triển Taylor dễ thấy rằng 2

0

h

y x s ds hy x O h thay vào (1) ta được

2

2,

y x h y x hy x O h

y x hf x y O h


21j jy y O h

5.2.2. Phương pháp Euler cải tiến:

Để có được phương pháp số giải (*) với độ chính xác cao hơn phương pháp Euler, chúng ta

cần xấp xỉ tích phân ở vế phải của (1) tốt hơn. Từ (1) sử dụng công thức hình thang ta được

3

02

hh

y x s ds y x y x h O h


3

02

hh

y x h y x y x s ds y x y x y x h O h

Thay 1,j jx x x h x ta có

1 1 1, ,2j j j j j j

hy y f x y f x y

(****)

Công thức (****) chính xác hơn công thức (***). Tuy nhiên vì vế phải của (****) có chứa

1jy do vậy tính được 1jy thì giải phương trình (****). Việc này khá khó khăn. Để giải quyết việc

đó, người ta thay 1jy ở vế phải của (****) bằng biểu thức

1 ,j j j jy y hf x y

Và dẫn đến việc tính 1jy theo các bước lặp


69

01

11 1 1

, 2

, , 32

0, 1; 1,2,...

j j j j

m mj i j j j j

y y hf x y

hy y f x y f x y

j n m

Như vậy để tính 1iy đầu tiên ta tính 1iy theo công thức (2) sau đó hiệu chỉnh theo công thức

(3). Quá trình lặp trong (3) sẽ dừng lại khi hai giá trị 1

kjy và 1

1k

jy gần nhau đến mức cần thiết, nghĩa

là 1

1 1k k

j jy y

Các công thức (2) và (3) được gọi là các công thức Euler cải tiến.

Ví dụ:

Cho phương trình vi phân 0 1

y x y

y

với 0;0, 5x .

Tính 0,25y với sai số không quá 310 .

Giải

Với 0,25h ta có: 1 0 0,25x x h

Áp dụng công thức Euler cải tiến ta được

01 0 0 0

1 01 0 0 0 1 1

2 11 0 0 0 1 1

3 21 0 0 0 1 1

, 1 0,25 0 1 1,250000

0,25, , 1 0 1 0,25 1,25 1, 312500

2 20,25

, , 1 0 1 0,25 1, 312500 1, 3203132 2

0,25, , 1 0 1 0,25 1, 320313 1, 321289

2 2

y y hf x y

hy y f x y f x y

hy y f x y f x y

hy y f x y f x y

Ta thấy 3 2 4 31 1 9, 76.10 10y y

Chính vì thế, ta lấy 31 1 1, 321289y y .


70

Bài 3. PHƯƠNG PHÁP RUNG-KUTTA

Nội dung cơ bản của phương pháp Rung-Kutta là để tăng độ chính xác của 1jy ta cần thêm

các điểm trung gian giữa jx và 1jx . Rung và Kutta đã đặt vấn đề như sau (để tiện cho việc viết, ta

cho 0j )

Đặt 1 0 0y y y và biểu diễn phần số gia ở dạng:

0 1 1 2 2 ... r ry c k h c k h c k h

với ic là các hằng số (sẽ xác định sau), ik h là các hàm số được xác định như sau:

0 0 1 1 1 1, ; ; ... , 1,i i i i i i i i i ik h hf x h y k k i r

trong đó i và ij là các hằng số xác định sau. Tiếp theo, ta lập hàm số biểu diễn sai số địa phương

ở dang:

* *0 1 0 0 0r h y x h y y x h y y

Bây giờ ta yêu cầu sai số địa phương có bậc là 1s , nghĩa là ta cần có:

10 0 ... 0 0; 0 0s sr r r r (*)

Từ đây ta suy ra 1 1s sr h O h

Vấn đề đặt ra là tìm các số , ,i i ijc để có s càng lớn càng tốt. Hệ phương trình để xác định

các hệ số đó được thu nhận từ điều kiện (*). Ta có:

*

1

0 0 0r

m m mr i i

i

y c k

Từ đây và từ (*) ta nhận được hệ các đẳng thức:

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

0 0 ... 0 0

0 0 ... 0 0

0 0 ... 0 0

r r

r r

s s s sr r

c k c k c k

c k c k c k y

c k c k c k y

(**)

Có tất cả 2 3 2

2r r ẩn số gồm các số , ,i i ijc . Ta hãy xem (**) tạo được bao nhiêu

phương trình. Dòng thứ nhất của (**) là một đẳng thức nên hiển nhiên nó không tạo ra phương trình


71

nào. Dòng thứ hai, khi lấy 0h , cả hai vế chỉ chứa đại lượng 0 0,f x y nên nó tạo ra được một

phương trình. Dòng thứ ba, với 0h , hai vế đều chứa đại lượng 0 0,xf x y và 0 0 0 0, ,yf x y f x y

nên nó tạo ra được hai phương trình. Tương tự, ta có thể thấy dòng thứ 1 1m m s của (**)

có 1m phương trình. Do đó, số phương trình xác định hệ số trên có tất cả là 12

s s . So sánh số

ẩn và số phương trình, nếu ta lấy s r thì số phương trình nhiều hơn số ẩn và khi đó phương trình

có thể vô nghiệm. Do mong muốn s càng lớn càng tốt nên khi đã cố định r , ta có thể lấy tối đa

s r . Khi đó số ẩn sẽ nhiều hơn số phương trình là 1r . Vì thế, hệ phương trình (*) nói chung là

có nghiệm, và không chỉ một nghiệm.

5.3.1. Công thức Rung-Kutta bậc hai:

Xét trường hợp 2r , ta có:

1 0 0

2 0 2 0 21 1

0 1 1 2 2

,

,

k hf x y

k hf x h y k

y c k c k

Ta có bốn hệ số cần xác định là 1 2 2 21, , ,c c . Ta có một số kết quả như sau:

1 2

1 0 0 1

2 0 0

2 2 0 0 21 0 0 0 0

0 0 0

0 , ; 0 0

0 ,

0 2 , 2 , ,x y

k k

k f x y k

k f x y

k f x y f x y f x y

Từ (**) và các kết quả được tính bên trên ta được hệ phương trình

1 0 0 2 0 0 0 0

2 2 0 0 2 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 , 2 , ,

2 , 2 , , , , ,x y x y

c f x y c f x y f x y

c f x y c f x y f x y f x y f x y f x y

Rút gọn hệ trên ta nhận được

1 2

2 2

2 21

1

2 1

2 1

c c

c

c

Ba phương trình dùng để xác định bốn hệ số nên có nhiều hơn một bộ lời giải. Nếu ta lấy

1 0c thì ta sẽ có 2 2 21

11,

2c . Khi đó sơ đồ Rung-Kutta tương ứng như sau:


72

1 0 0

2 0 0 1

31 0 1 2

,

,

12

k hf x y

k hf x h y k

y y k k O h

5.3.2. Công thức Rung-Kutta bậc ba:

Bằng cách tương tự như trên, ta được sơ đồ Rung – Kutta bậc ba

1 0 0

2 0 0 1

3 0 0 1 2

41 0 1 2 3

,

1 1,

2 2, 2

14

6

k hf x y

k hf x h y k

k hf x h y k k

y y k k k O h

5.3.3. Công thức Rung-Kutta bậc bốn:

Có nhiều sơ đồ Rung – Kutta bậc bốn, nhưng sơ đồ sau đây thường được dùng nhất

1 0 0

2 0 0 1

3 0 0 2

4 0 0 3

51 0 1 2 3 4

,

1 1,

2 21 1

,2 2,

12 2

6

k hf x y

k hf x h y k

k hf x h y k

k hf x h y k

y y k k k k O h

Ví dụ:

Cho phương trình vi phân 0 1

y x y

y

với 0; 0, 5x .

Tính 0,25y bằng phương pháp Rung – Kutta bậc bốn

Giải

Ta có:

1 0 0, 0,25 0 1 0,25k hf x y

2 0 0 1

1 1 0,25 1, 0,25 0 1 0,25 0, 3125

2 2 2 2k hf x h y k

3 0 0 2

1 1 0,25 0, 3125, 0,25 1 0, 320312

2 2 2 2k hf x h y k


73

4 0 0 3, 0,25 0,25 1 0, 320312 0, 392578k hf x h y k

1 0 1 2 3 4

12 2

61

1 0,25 2 0, 3125 2 0, 320312 0, 392578 1, 3180376

y y k k k k


74

BÀI TẬP

Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT

1. Dùng phương pháp lặp đơn giải các phương trình sau với sai số không quá 510 :

a. 3 0xx e

b. 2 lg 7x x

c. ln 3 0x x

d. 5 10 0x x

e. 2 10xx e

f. cos2x

x

2. Dùng phương pháp Newton giải các phương trình sau với sai số không quá 510 :

a. . 3xx e

b. 2 sin 0x x

c. 23 2 2xx e

d. cos 4x x

e. 12 sin 0

2x x

f. 2 1xx e

Chương 2. GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với sai số không quá 510 :

a.

0, 5 0,1 0, 01 0, 61

0, 05 0,65 0,1 0, 8

0,15 0,21 0,74 1,1

x y z

x y z

x y z

b.

11 12

8 23 3 31

7 17 8

x y z

x y z

x y z


75

c.

21 4 2

2 15 2

2 4 17

120

200

300

x y z

x y z

x y z

d.

8 11

8 11

8 11

8 11

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

e.

0, 5 0, 01 0,1 0, 01 0, 61

0, 002 1,2 0,6 0, 001 1, 802

0, 05 4 0, 06 4, 05

0,21 0, 32 2,1 9 2, 63

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

f.

21 2 2 4

4 25 2 4

2 4 17 2

4 2 2 25

20,5

70, 4

30,1

51,6

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

2. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel với sai số không quá 510 .

a.

0, 5 0, 01 0, 01 0, 52

0, 5 2, 65 0,1 3,25

0,25 0,21 1,74 2,2

x y z

x y z

x y z

b.

40 42

3 20 24

7 25 33

x y z

x y z

x y z

c.

20 4 2

2 25 2

2 8 41

1020

2000

1300

x y z

x y z

x y z


76

d.

10 2 12

10 11

3 10 3 11

10 13

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

e.

0, 5 0, 01 0,1 0, 01 0, 61

0, 002 1,2 0,6 0, 001 1, 802

0, 05 4 0, 06 4, 05

0,21 0, 32 2,1 9 2, 63

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

f.

21 2 2 4

4 25 2 4

2 4 17 2

4 2 2 25

11,5

10, 4

60,1

21,6

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

Chương 3. ĐA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của các hàm số cho bởi bảng:

a.

x 0 3 4 6 y -1 2 0 -2

Tính gần đúng 5y

b.

x 0 1 2 3 4 y -1 3 4 7 12

Tính gần đúng 3, 5y

c.

x -0,1 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 y -1,1 1,2 0,4 1,1 1,6 2,9

Tính gần đúng 0,65y .


77

2. Cho bảng giá trị gần đúng của hàm 2

0

2x

tx e dt

x 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 x 0,8427 0,8802 0,9103 0,9340 0,9523

Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm số trên và tính gần đúng 1,43y .

3. Xây dựng đa thức nội suy Newton (đầu bảng và cuối bảng) của các hàm số cho bởi bảng:

a.

x 0 1 2 3 y -1 8 33 67

Tính gần đúng 2,5y

b.

x 0 3 6 9 12 y -1 2 8 17 42

Tính gần đúng 12,5y

c.

x -0,1 0,2 0,5 0,8 1,1 1,4 y 0,1 1,12 1,74 1,91 2,1 2,91

4. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ y ax b và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1 2 3 6 7 10 y 0 1 2 4 8 12

Xác định ,a b từ đó hãy tính 9y .

5. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ y ax b và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1,1 1,4 1,6 1,7 1,9 2,0 y 0,1 0,5 0,62 0,8 0,91 1,2


78

Xác định ,a b từ đó hãy tính 1, 8y .

6. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ bxy ae và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 1 2 3 6 7 10 y 2,1 4,8 21,1 112,1 400,1 1000,12

Xác định ,a b từ đó hãy tính 9,2y .

7. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ by ax và bảng số liệu thực nghiệm sau:

x 3,1 3,5 3,6 3,7 3,8 4,0 y 9,1 12,4 17,3 21,1 25,1 32,6

Xác định ,a b từ đó hãy tính 3, 92y .

8. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ 2y ax bx c và bảng số liệu thực nghiệm

sau:

x 1 2 3 6 7 8 y 2,9 1,2 0,145 7,3 16,1 19,1

Xác định , ,a b c từ đó hãy tính 7,2y .

9. Cho biết hai đại lượng x và y có quan hệ cos siny a x b x c và bảng số liệu thực

nghiệm sau:

x 0 1 2 4 5 6 y 0 1,1 1,145 -1,3 1,01 3,1

Xác định , ,a b c từ đó hãy tính 5,5y .

Chương 4. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN

1. Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang suy rộng (có đánh giá sai số)

a. 1

4

0

x dx với 10n


79

b. 3,1 3

2,11

xdx

x với 8n

c. 2

1

0

xe dx với 10n

d. 3 2

11

x

x

edx

e với 10n

e. 4

1

2 xdx với 10n

f. 2

1

sin 2xdx

x với 8n

2. Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức Simson một phần ba (có đánh giá sai số)

a. 2

14

0

xe dx với 10n .

b. 41

2

0

x

e dx với 10n .

c. 4

1

1dx

x x với 10n

d. 4

1

ln xdx với 10n

e. 1

ln1

ex

dxx với 12n

f. 2

2

0

sin xdx

với 10n .

3. Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức Simson ba phần tám (có đánh giá sai số)

a. 1,8

0

xe dx với 9n .

b. 3

0,9

0

xe dx với 9n .


80

c. 4,5 2

11

xdx

x với 9n

d. 2

1

lne

xdx với 9n

e. 1

ln1

ex

dxx với 9n

f. 2

2

0

cos xdx

với 9n .

Chương V. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

1. Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến

a. 0 1

y x y

y

với 0; 0, 5x .

Giải phương trình vi phân trên với bước 0,25h và sai số không quá 510 .

b.

52

0 1

yy x

y

với 0;0, 5x


c.

2

0, 5 1

yy xy

xy

với 0,5;1x .


d.

2 21

0 1

x yy

xyy

với 0;0, 5x


e.

2

0 1

y xy

y

với 0;0, 5x



81

f.

2

1

0 1

xy

yy

với 0;1x

Tính 0,5y với sai số không quá 510 .

2. Cho phương trình vi phân

ln

0 1

y x y x y

y

với 0;0, 5x .


3. Cho phương trình vi phân

2

0, 5 1

yy xy

xy

với 0,5;1x


KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN · PDF file · 2011-03-28Định nghĩa 0.1.2: Sai số...

Documents

Transcript of KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN · PDF file · 2011-03-28Định nghĩa 0.1.2: Sai số...