Taburan Khi Kuasa Dua( )

Taburan Khi kuasa dua- 6 -Matematik Lanjutan

Taburan Khi Kuasa Dua( )

1. Taburan adalah pembolehubah rawak selanjar dengan f.k.k. yang ditakrifkan sebagai:

f(x) = (( , x > 0

di mana

( adalah darjah kebebasan dan

(( adalah satu pemalar yang bergantung kepada nilai ( .

2. Tantatanda bagi taburan ialah :

X ~ (()

Jangkaan: E(X) = (

Varians : Var(X) = 2(3. Bentuk graf bagi taburan bagi nilai-nilai ( yang berlainan adalah seperti berikut:

[Perhatian : Nilai-nilai x tidak boleh jadi negatif]

4. Kebarangkalian nilai X lebih besar daripada suatu nilai adalah sama dengan luas di bawah lengkung.

P( X > ) = (

Contoh 1Cari setiap berikut:

(i) P( X > )

(ii) P( X > )

(iii) P(X ( )

(iv) P(X ) = 15.99, cari (.

Ujian

5. Di bahagian ini, kita akan gunakan ujian dalam menentukan penyuaian suatu taburan kekerapan yang dicerapkan( Oi ) dengan satu taburan kekerapan yang dijangkakan( Ei). Berikut adalah situasi yang kita akan timbang:

(a) (i) Kekerapan yang dicerapkan mematuhi satu taburan seragam.

(ii) Kecerapan yang mematuhi taburan mengikuti satu nisbah tertentu.

(b) (i)Taburan Binomial dengan nilai p diketahui.

(ii) Taburan Binomial dengan nilai p tidak diketahui

(iii) Taburan Poisson.

(iv) Taburan Normal dengan min dan varian diketahui.

(v) Taburan Normal dengan min dan varians tidak ketahui.

Perhatian : Apabila ujian digunakan dalam semua situasi dalam (b) atas ia dipanggil sebagai Ujian Kebagusan Penyuaian (Goodness of Fit Tests)Contoh 2 (Taburan Seragam)

Jadual berikut menunjukkan bilangan pekerja yang tidak hadir dalam setiap hari bekerja.

Hari BekerjaBilangan yang tidak hadir

Isnin121

Selasa87

Rabu87

Khamis91

Jummat114

Jumlah500

Dipercayai bilangan pekerja tidak hadir bekerja adalah tidak bergantung pada hari bekerja, Uji pada aras keertian 5% sama ada dakwaan ini boleh diterima atau tidak.

Penyelesaian

Langkah 1 : Pembentukkan HipotesisHipotesis nol Ho : Bilangan pekerja tidak hadir adalah tidak bersandar pada hari bekerja.

H1 : Bilangan pekerja yang tidak hadir bergantung pada hari bekerja.

Langkah 2 : Penentuan darjah kebebasan(()Darjah kebebasan ( = Bilangan pembolehubah tak bersandar.

=Bilangan kelas bilangan sekatan

=5 1 = 4

Perhatian :Bilangan kelas = 5

Bilangan sekatan = 1, kerana jumlah bilangan cerapan dan jumlah bilangan yang dijangka mestilah sama dan sama dengan 500.(iaitu jumlah mesti setuju)Langkah 3: Aras keertian dan rantau gentingAras keertian = 5 % ( = 9.488

Rantau genting : Tolak Ho jika > 9.488

Langkah 4 : Hitungan

=

HariOiEi

Isnin1211004.41

Selasa871001.69

Rabu871001.69

Khamis911000.81

Jummat1141001.96

( Oi = 500( Ei = 500Jumlah=10.56

= = 10.56

Langkah 5 : Membuat kesimpulan

= 10.56 > 9.488, Ho ditolak. Iaitu bilangan tak hadir bergantung pada hari bekerja.

Perhatian

(c) Ujian ini tidak menunjukkan sebarang hubungan antara bilangan tak hadir dengan hari. Ia hanya menunjukkan bilangan tak hadir bukan bebas dari hari bekerja.

(d) Tetapi dari kekerapan yang dicerap, kita dapat bahawa bilangan tak hadir lebih tinggi pada hari Isini(hari pertama dalam seminggu) dan hari Jumlah(hujung minggu).

6. Dalam ujian , perkara berikut mesti diingatkan.

(e) Ujian adalah ujian satu hujung.

(f) Kita tolak Ho sekiranya pada aras keertian ( dan darjah kebebasan ( . Penolakan Ho juga menunjukkan penyuaian yang lemah antara Oi dan Ei . Disebaliknya < , dan ini juga menunjukkan penyuaian yang bagus antara Oi dan Ei

(g) Jumlah kekerapan tercerap = Jumlah kekerapan yang dijangka. (Ini biasa menjadi salah satu sekatan dalam kiraan darjah kebebesan.

(h) Jika

= 0menunjukkan penyuaian sempurna antara kekerapan tercerap dengan kekerapan jangkaan.

> 0menunjukkan kekerpan tercerap Oi dan kekerapan jangkaan Ei , tidak setuju dan bagi sesuatu nilai darjah kebebasan ( , semakin besar nilai semakin kuat pecanggahan antara Oi dan Ei.

(i) Apabila nilai adalah terlalu kecil, wujud kemungkinan data yang dicerap pernah diubahsuai oleh orang yang tidak jujur semasa melakukan ujikaji itu.

(j) Semasa menggunakan Ujian dalam contoh ini, sebenarnya kita udah melakukan satu penghampiran dari taburan diskrit ke taburan selanjar.

(i) Oleh demikian penghampiran ini tidak akan sah lagi jika kekerapan yang dijangka(Ei) adalah kurang daripada 5.

Masalah ini dapat di atasi dengan menggabungkan 2 atau lebih kelas yang mempunyai kekerpan Ei yang kecil untuk menjadi satu kelas yang Ei nya adalah cukup besar. [Rujuk Contoh 5 berikut]

(ii) Jika darjah kebebasan ( = 1, pembetulan keselanjaran Yates mesti digunakan.

=

Contoh 3 (Taburan mengikuti satu nisbah tertentu)

Mengikut Teori Genetik, bilangan pokok yang berbunga warna merah, putih dan biru oleh sejenis pokok bunga sepatutnya mengikut nisbah 3:2:5. Untuk menguji kebenaran Teori ini, 100 pokok bunga jenis ini dikaji dan bilangan pokok ikut warnanya dicatatkan seperti jadual berikut:

WarnaMerahPutihBiru

Bil. Pokok241462

Uji sama ada terdapat dalil bererti perbezaan antara kekerapan yang dicerapkan dan kekerapan yang dijangkakan pada aras keertian 5%[tidak bererti]

Contoh 4(Taburan Binomial dengan p diketahui)

Empat syiling dilambungkan serentak sebanyak 160 kali, dan taburan bilangan gambar yang dimuncul dicatatkan dalam jadual seperti berikut:

Bilanagn Gambar(x)Bilangan

05

135

267

341

412

(k) Cari kekerapan yang dijangka jika syiling adalah saksama.

(l) jalankan ujian sama ada terdapat bukti bahawa syiling-syiling ini adalah tidak saksama pada aras keertian 5%.

(m) Dari keputusan (b) adakah data ini mungkin disesuaikan dengan taburan Binomial dengan parameter 4, dan .

[(b) Tiada bukti menunjukkan syiling adalah tidak saksama

(c) Boleh disuaikan dengan B(4, ) ]

Contoh 5(Taburan Binomial dengan nilai p tidak diketahui)

Sampel-sampel bersaiz 5 dipilih secara rawak daripada satu mesin yang menhasilkan mentol untuk diuji. Dalam seminggu, 500 sampel telah dipilih dan bilangan yang cacat dalam setiap sampel dicatatkan spt. ditunjuk dalam jadual berikut:

Bil. Yang Cacat, xBilangan

0170

1180

2120

320

48

52

(n) Tentukan kekerapan jangkaan bilangan yang cacat per sampel yang bertaburan Binomial dengan min dan jumlah bilangan sama seperti yang dicerapkan.

(o) Dengan menggunakan ujian-, tentukan sama ada data yang diberikan ini secocok dengan satu taburan Binomial pada aras keertian 5%.

Contoh 6(Taburan Poisson)

Mengikuti satu analisis, bilangan gol yang dijaring oleh satu paukan bola sepak dalam setiap permainan adalah seperti berikut:

Bil. gol yg, dijaring(x)Bilangan permainan

014

118

229

318

410

57

63

71

(p) Kirakan min bilangan gol yang dijaring( betul kepada 1 t.p.)

(q) Hitungkan kekerapan Binomial dengan menggunakan min ini.

(r) Gunakan ujian-, tentukan sama ada data yang ditunjukkan secocok dengan taburan Posisson pada aras keertian 5%.

Contoh 7(Taburan Normal dengan min dan varians diketahui)

Dipercayai bahawa hayat sejenis bateri mengikut taburan normal dengan min 35 jam dan sisihan piawai 7 jam. Hitung jangkaan bilangan bateri, daripada 40 biji bateri itu yang hayatnya berada 24.5 jam hingga 29.5 jam.

Hayat 40 biji bateri itu diamati dan diikhtisarkan dalam jadual berikut.

Hayat (Jam)Bilangan bateri

24.5 29.57

29.5 34.515

34.5 39.510

39.5 44.58

Dengan menggunakan ujian- tentukan sama ada data yang diberikan ini secocok dengan taburan normal tersebut pada aras keertian 5%.[1995ML2.10]

Contoh 8(Taburan Normal dengan min dan varians tidak diketahui)

Dipercayai tinggi pelajar lelaki adalah bertaburan normal. Jadual berikut menunjukkan tinggi dalam cm, 100 pelajar lelaki.

Tinggi/cmBil. pelajar

155 1605

161 16617

167 17238

173 17825

179 1849

185 1906

(s) Hitungkan min dan varians untuk data ini.

(t) Hitungkan kekerapan yang dijangkakan.

(u) Gunakan ujian- sama ada data dalam jadual atas secocok dengan taburan normal pada aras keertian 5%.

Ujian kemerdekaan

1. Dalam situasi tertentu, data boleh dibahagi kepada 2 atau lebih sifat berlainan dan kita ingin mengkaji sama ada sifat-sifat ini adalah merdeka atau saling bersandar.

Contoh:

(i) Mengkaji warna mata dengan jantina: Warna mata tidak bersandar pada jantina.

(ii) Mengkaji bilangan kemalangan dengan warna kereta: Kemalangan kereta tidak bersandar pada warna kereta.

2. Jadual kontigensi dibina untuk membantu kita dalam kajian kemerdekaan sifat-sifat ini.

Jadual Kontigensi 2 x 2

Contoh 9Sebuah sekolah pemandu ingin mengkaji keputusan 100 calon yang mengambil Ujian Pemandu Kereta buat kali pertama. Sekolah itu mendapati bahawa daripada 40 orang lelaki, 28 orang lulus Ujian mereka manakala dari 60 orang wanita terdapat 34 orang lulus Ujian. Uji sama ada terdapat dalil bererti pada aras keertian 5% bahawa terdapat hubungan antara jantina dan kebolehan melulus ujiannya buat kali pertama.

Penyelesaian

Keputusan ujian boleh dipaparkan dengan satu Jadual Kontigensi 2 x 2 spt. Berikut:

JantinaKeputusan Ujian

LulusGagalJumlah

Lelaki281240

Perempuan342660

Jumlah6238100

Ho : Tiada hubungan antara jantina seorang calon dengan kebolehan lulus Ujian Pemandu buat kali pertama.

H1 : Terdapat hubungan antara jantina seorang calon dengan kebolehan ia melulus Ujian Pemandu buat kali pertama.

Untuk menghitung kekerapan yang dijangka:

P(Calon adalah Lelaki) =

P(Calon Lulus Ujian) =

Di bawah Ho peristiwa ini adalah saling tak bersandar, maka:

P(Calon Lulus Ujian dan adalah Lelaki) =

Kekrapan yang dijangka = 100 x = 24.8

Perhatian:

(v) Kekerapan dijangka

Ei =

(w) Kekerapan yang dijangka bagi baris dan lajur yang lain juga boleh dihitung dengan cara ini, tetapi ia adalah lebih senang ditentukan dengan menggunakan konsep bahawa jumlah kekerapan yang dijangka mesti setuju dengan jumlah data yang dicerap pada setiap lajur atau setiap baris.

JantinaKeputusan Ujian Yang dijangka

LulusGagalJumlah

Lelaki24.816.240

Perempuan37.222.860

Jumlah6238100

Darjah Kebebasan

Darjah kebebasan ( = bilangan pembolehubah tak bersandar

=1

[Ini kerana apabila satu kekerapan yang dijangka dapat ditentukan, lain kekerapan yang dijangka boleh ditentukan dengan menggunakan konsep kesetujuan dalam jumlah kekerapan dalam setiap lajur dan baris . Iaitu hanya satu pembolehubah tak bersandar sahaja dan yang lain bersandar pada nilai ini ]Perhatian: Oleh kerana ( = 1, maka pembetulan untuk keselanjaran Yates mesti digunakan.

OiEi

2824.80.294

1215.20.480

3437.20.196

2622.80.320

Jumlah1.290

Aras keertian = 5% ( ( = 0.05

Nilai genting = 3.84

Rantau Genting : Tolak Ho jika >

= 1.290 < 3.84

maka Ho diterima dan ini keputusan ini tidak menunjukkan perhubungan antara jantina calon dengan kebolehannya lulus dalam Ujian Pemandu buat kali pertama.

Jadual Kontigensi h x k

Contoh 10Satu kaji selidik dijalankan atas 200 keluarga yang sentiasa menonton rancangan TV di Malaysia. Mereka ditanya yang mana 3 stesen TV mereka tonton paling kerap. Dalam seminggu. Keputusan dipaparkan dalam jadual berikut:

StesenKawasan

UtaraTimorSelatanBarat

RTM129164223

TV3611267

NTV71531210

Cari kekerapan yang dijangka dengan menggunakan hipotesis bahawa tiada perhubungan antara stesen TV yang ditonton dan kawasan.

Gunakan taburan , uji pada aras keertian 5% hipotesis atas.

Nyatakan perhubungan antara kawasan dan stesen TV yang ditonton jika ujian ini menunjukkan terdapat satu perhubungan antara stesen TV yang ditonton dan kawasan penduduk.

Penyelesaian

Ho : Tiada perhubungan antara stesen yang ditonton dan kawasan

H1 : Terdapat perhubungan antara stesen yang ditonton dan kawasan.

Kekerapan yang dijangkakan bawah Ho boleh dihitung dengan rumus berikut:

Kekerapan dijangka =

Kekerapan yang dicerap:

StesenKawasanJumlah

UtaraTimorSelatanBarat

RTM129164223110

TV361126750

NTV7153121040

Jumlah50308040200

Kekerapan yang dijangkakan:

StesenKawasanJumlah

UtaraTimorSelatanBarat

RTM127.516.544.022110

TV312.57.5201050

NTV710.06.016.08.040

Jumlah50308040200

Darjah kebebasan ( = Bil. Pembolehubah tak bersandar.

(=6

[Selepas 6 kekerapan yang dijangka sudah ditentukan, kekerapan yang lain boleh ditentu dengan menggunakan persetujuan dalam jumlah kekerapan]

Aras keertian = 5%, ( = 0.05

= 12.59

Rantau genting: Tolak Ho jika > 12.59,

Menentu

OIEI

29

16

42

23

6

11

26

7

15

3

12

10

13.466

= 13.446 > 12.59, tolak HoPasangan kekerapan yang menyumbang paling banyak ke nilai adalah penonton kawasan utara untuk TV3 dan NTV7, ini menunjukkan mereka menonton kurang pada TV3 dan NTV7 daripada yang dijangkakan.

Latihan

3. Jadual yang berikut menunjukkan bilangan penduduk di dua buah kawasan perumahan A dan B yang bersetuju dan tidak bersetuju dengan cadangan kerajaan untuk membina sebuah lapangan terbang antarabangsa berhampiran dengan kawasan perumahan mereka.

AB

Setuju4048

Tidak setuju4431

Tentukan sama ada terdapat perbezaan yang bererti dalam pandangan penduduk dua kawasan perumahan itu pada aras keertian 5%.

[Ho: Tiada perbezaan pandangan; = 2.33 ; Ho diterima][1993ML2.3]

4. Dalam satu kajian tentang kegemaraan membaca di kalangan pelajar Malaysia, sebanyak 1000 orang pelajar yang ditemu bual dibahagikan kepada tiga kumpulan mengikut tahap pendidikan, iaitu pelajar sekolah rendah, pelajar sekolah menengah, dan pelajar universiti. Respons pelajar-pelajar itu dibahagikan kepada tiga kategori, iaitu tidak gemar membaca, gemar membaca, dan sangat gemar membaca. Keputusan temu bual itu dijadualkan seperti yang ditunjukkan di bawah.

Pelajar sekolah rendahPelajar sekolah menengahPelajar universitiJumlah

Tidak gemar membaca18112215318

Gemar membaca22220060482

Sangat gemar membaca977825200

Jumlah5004001001000

Hitung perkadaran pelajar di setiap tahap pendidikan yang tidak gemar membaca, gemar membaca, dan sangat gemar membaca. Dengan yang demikian, perihalkan secara ringkas perhubungan antara kegemaran membaca dengan tahap pendidikan.

Tentukan sama ada wujud perhubungan bererti pada aras keertian 5% ,antara kegemaran membaca di kalangan pelajar Malaysia dengan tahap pendidikan mereka.

[1994ML2.10]

[Jawapan.

Pelajar sekolah rendahPelajar sekolah menengahPelajar universiti

Tidak gemar membaca0.3620.3050.15

Gemar membaca0.4440.50.6

Sangat gemar membaca0.1940.1950.25

Pada keseluruhannya, semakin tinggi taraf pendidikan semakin tinggi kegemaran membaca. Kadaran pelajar yang tidak gemar membaca adalah 2 kali perkadaran pelajar universiti yang sedemikian, manakala perkadaran pelajar universiti yang sangat gemar membaca adalah 2 kali perkadaran pelajar sekolah yang sedemikian.

Ho : Tiada perhubungan antara kegemaran membaca dengan tahap pendidikan.

= 18.178; nilai genting, = 9.488

Tolak Ho Terdapat perhubungan bererti antara kegemaran membaca dengan tahap pendidikan.]

5. Dipercayai bahawa hayat sejenis bateri mengikut taburan normal dengan min 35 jam dan sisihan piawai 7 jam. Hitung jangkaan bilangan bateri, daripada 40 biji bateri itu yang hayatnya berada 24.5 jam hingga 29.5 jam.

Hayat 40 biji bateri itu diamati dan diikhtisarkan dalam jadual berikut.

Hayat (Jam)Bilangan bateri

24.5 29.57

29.5 34.515

34.5 39.510

39.5 44.58

Dengan menggunakan ujian- tentukan sama ada data yang diberikan ini secocok dengan taburan normal tersebut pada aras keertian 5%.[1995ML2.10]

[Jawapan: Rujuk Contoh 7 ]

6. Daripada pengalaman, durian di Selangor boleh dikelaskan dalam 4 kategori A,B,C dan D dengan peratusan setiap kategori seperti yang berikut:

KategoriABCD

Peratusan10%40%30%20%

Satu sampel rawak 600 biji durian dari salah satu dusun di Selangor memberikan taburan kekerapan yang berikut

KategoriABCD

Kekerapan25285165125

Tentukan sama ada taburan kekerapan durian didusun itu berbeza daripada taburan kekerapan durian di seluruh Selangor pada aras keertian 5%.

[1996ML2.3]

(

(

EMBED Equation.3

Q

P

Point Yang Penting:

Dalam Jadual Kontigensi 2 x 2 :

Bilangan kelas = 4

Bil. Pembolehubah tak bersandar = 1

Darjah kebebasan = 1

= (bil. Lajur 1)( bil. Baris 1)

All Rights Reserved

By KKH

_998254714.unknown

_998258091.unknown

_998797489.unknown

_998832482.unknown

_998832701.unknown

_998851347.unknown

_998851487.unknown

_998832885.unknown

_998832577.unknown

_998831892.unknown

_998832427.unknown

_998797534.unknown

_998774688.unknown

_998797175.unknown

_998797418.unknown

_998774742.unknown

_998774560.unknown

_998774639.unknown

_998774527.unknown

_998254847.unknown

_998256824.unknown

_998257365.unknown

_998255152.unknown

_998254772.unknown

_998234013.unknown

_998234205.unknown

_998254617.unknown

_998234099.unknown

_998233907.unknown

_998191052.unknown

_998192271.unknown

_998190299.unknown

_998190351.unknown

_996182013.unknown