Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében

PÉNZÜGYI MATEMATIKA ÉS KOCKÁZATANALÍZIS

VI. Előadás

TŐKEPIACI ÁRFOLYAMOK MODELLJE

Elektronikus kereskedelem

Az Európai Szociális Alap támogatásával

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 2

Tartalom

Piaci egyensúly

Optimális portfólió

Tőkepiaci egyenes

Árazási modell

Béta faktor

Értékpapírpiaci egyenes és piaci kockázat

A CAPM alkalmazásai

A kockázatmentes egyenértékes

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 3

KÉT ALAPPROBLÉMA

• az optimális portfolió meghatározása

• a fair ár meghatározása

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 4

A PIACI EGYENSÚLY I.

Feltételek:

• minden piaci szereplő a várható hozam és a szórás figyelembevételével optimalizál (mean-variance optimális)

mindenki azonos átlagokkal és kovarianciákkal számol

• mindenki számára ugyanaz a kockázatmentes kamat: rf

Kérdés: mi fog történni a piacon?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 5

A PIACI EGYENSÚLY II.

A one – fund tétel és a feltevések következménye: minden opt. portfólió:

egyetlen kockázatos F és a kockázatmentes eszköz keveréke

Ami változik:

a portfóliók összetétele: kockázataikban különböznek

kockázatkerülés: az F hányada kicsi

kockázatkeresés: az F hányada nagy

Kérdés: mi az F ?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 6

A PIACI EGYENSÚLY III.

Meggondolás:

mindenki F -et veszi – adja → a kockázatos termékek aránya ugyanaz

ez az arány megegyezik a piacon forgalmazott összes eszköz arányával !

A piaci portfolió (market portfolio):

az összes forgalmazott eszköz együttese(a forgalmazott IBM, Microsoft stb. részvények teljessége)

Következmény:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 7

A PIACI EGYENSÚLY IV.

F = piaci portfolió

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 8

Az i -dik eszköz wi súlya = az i -dik eszközhöz tartozó tőkehányad

(capitalization weights)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 9

AZ OPTIMÁLIS PORTFOLIÓ KIALAKULÁSA

Meglepetés: Hogyan alakul ki a F az és ismerete nélkül -

vagyis a Markowitz - probléma megoldása nélkül

vagy: hogyan találja meg a paic a wi súlyokat ?

Önjavító (adaptiv) mechanizmus:

az átlaghozam és becslései alapján mean-variance opt pf. -k

ha az order nem teljesithető: adjust price →

új átlaghozam és becslések →

egyensúly: mean-variance opt. az egyensúlyi átlagh. és -ra

„Oldják meg mások a problémát!”

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 10

A TŐKEPIACI EGYENES I.

Észrevétel: F = M az síkon.

A hatékony portfoliók halmaza: a tőkepiaci egyenes (capital market line)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 11

A TŐKEPIACI EGYENES II.

Formális összefüggés:

A meredekség:

Ez a kockázat ára !

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 12

EGY PÉLDA (MR SMITH) I.

• a kockázatmentes kamat: 6%

• a piaci portfolió várható hozama: 12%

• a piaci portfolió várható szórása: 15%

• Kezdeti tőke: $ 1.000,00

• Cél: $ 1 millió

• Kérdés: hány év alatt érhető el a portfolió várható hozamával ? (10/7 rule)

• Pontosabban: 60 év alatt érhető el !

Kérdés: Elérhető-e $ 1 millió 10 év alatt valamilyen hatékony portfolió

hozamával ?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 13

MR SMITH II.

A cél átfogalmazása:

átlagos duplázás évente (210 = 1024) → 100%-os átlagos hozam évente

A tőkepiaci egyenes alapján a keresett –ra:

Innen:

= 10 vagyis = 1.000%

Nagyon kockázatos portfólió!

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 14

AZ ÁRAZÁSI MODELL I.

A tőkepiaci egyenes: egy efficiens eszköz hozama vs. kockázata (szórása)

Kérdés: tetszőleges eszköz hozama vs. kockázata ?

Tőkepiaci árfolyamok modellje (capital asset pricing model, CAPM):

Állítás: Ha az M piaci portfolió hatékony, akkor tetszőleges i eszköz várható

hozama, eleget tesz az

összefüggésnek, ahol

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 15

AZ ÁRAZÁSI MODELL II.

A bizonyítás alapgondolata:

Veszünk egy portfoliót:

rész i eszköz

1 - rész M piaci portfolió

A várható hozam:

A várható szórás:

Tekintsük a görbét.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 16

AZ ÁRAZÁSI MODELL III.

Megjegyzés: az i eszköz a tartomány belsejében van.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 17

AZ ÁRAZÁSI MODELL IV.

A görbe érintőjének meredeksége = 0 -ban (M mellett):

Ezt egyenlővé téve a tőkepiaci egyenes meredekségével, ami

és megoldva -re kapjuk a CAPM-t.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 18

BÉTA

i : az i -dik eszköz bétája

Ez egy eszköz az igazi kockázati karakterisztikája.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 19

CAPM – DISZKUSSZIÓ

Diszkusszió:

= 0, a piaccal nem korrelált eszköz →

ekkor ! Nincs kockázati prémium !

Magyarázat: a kockázat 0 -ra diverzifikálható !

Diszkusszió:

< 0 → !

Értelmezés: az eszköz piaci kockázata kisebb, mint M

Alkalmazás: biztosításban

„They do well when everything else does poorly.”

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 20

CAPM: PÉLDA

• a kockázatmentes hozam: rf = 8%

• a piaci várható hozama: = 12%

• a piaci várható hozam szórása: M = 15%

Legyen egy i eszközre: iM = 0,045

Ekkor:

Így a várható hozamra

→ 16%

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 21

RÉSZVÉNYEK BÉTÁJA I.

A béták becslése: historikus adatok alapján

pénzügyi szolgáltatók

Tapasztalati tény: a béták viszonylagos stabilitása !

Agresszív vállalkozások: magas béta érték

Konzervatív vállalkozások: alacsony béta érték (kisebb piacfüggés)

A táblázat: k és k (volatilitások)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 22

RÉSZVÉNYEK BÉTÁJA II.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 23

EGY PORTFOLIÓ BÉTÁJA

A relatív portfolió:

Innen a hozam:

Ezért:

Következik, hogy

Megjegyzés: az ri -k korreláltak is lehetnek !

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 24

ÉRTÉKPAPÍRPIACI EGYENES

Értékpapírpiaci egyenes (security market line)

Két lineáris kapcsolat: vs. Cov(r,rM) és vs.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 25

SZISZTEMATIKUS VAGY PIACI KOCKÁZAT

Szisztematikus vagy piaci kockázat (systematic risk)

Írjuk fel az ri hozamot az

alakban

Ekkor várható értéket véve ill. kovarianciát rM –mel, kapjuk:

E i = 0 Cov(i, rM) = 0

Így (javitás: gamma helyett M irandó)

Az előtag a szisztematikus vagy piaci kockázat. Nem diverzifikálható !

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 26

A CAPM BERUHÁZÁSI ALKALMAZÁSA

A piaci portfolió szintetizálása:

befektetési alapok (mutual funds)

index alapok (pl. S & P 500, index funds)

Egy kockázatmentes eszköz: pl. amerikai kincstárjegy (US Treasury bill)

Egy CAPM feltétel: azonos információk

A CAPM meghaladása: inkrementális javitás

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 27

CAPM, MINT ÁRAZÁSI FORMULA I.

Hozamok és árak:

egy eszköz ismeretlen vételi ára: P

az eszköz későbbi, véletlen eladási ára: Q

Kérdés: mi legyen a P ?

A hozam: r = (Q-P)/P. Ezt a CAPM-be írva:

P-re megoldjuk.

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 28

CAPM, MINT ÁRAZÁSI FORMULA II.

A CAPM árazási formula: egy periódus után Q véletlen kifizetésű (payoff)

eszköz jelenlegi árát a

összefüggés adja meg.

Értelmezés: P a várható hozam diszkontált értéke.

A kockázattal kiigazított hozam:

(risk adjusted interest rate)

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 29

AZ ÁRAZÁSI FORMULA LINEARITÁSA

Két eszköz együttesét vesszük:

Igaz-e, hogy:

?

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 30

KOCKÁZATMENTES EGYENÉRTÉKES I.

Kockázatmentes egyenértékes (certainty equivalence form of CAPM).

Írjuk fel, hogy r = Q / P – 1 ! Így

Innen

A CAPM-árazó formulába beírva és P -vel átosztva:

2006 HEFOP 3.3.1-P.-2004-06-18/1.10 31

KOCKÁZATMENTES EGYENÉRTÉKES II.

Állítás: Egy Q véletlen kifizetésű eszköz jelenlegi P árára:

A zárójelben:

Q kockázatmentes egyenértékes

diszkontálás: szokásos

Észrevétel: a P érték lineáris Q -ban !

A lineáris árazás más értelmezése: arbitrázs megfontolás