KEN Relativity1

เอกสารประกอบเรอง ทฤษฎสมพทธภาพพเศษ www.clipvidva.com โดย เคน อรรถเวชกล

1

ทฤษฎสมพทธภาพพเศษ (The Special Theory Of Relativity) ในบทเรยนกอนหนาน นองๆ ไดศกษา กลศาสตรดงเดม (Classical Mechanics หรอ Newtonian

Mechanics) ซงมความสมบรณในการอธบายพฤตกรรมของการเคลอนทของวตถ รวมถงเทหวตถ ในระดบหนง

เทานน หากจะนาเอาความรดงกลาวมาอธบาย ระบบทเคลอนทดวยความเรวสง (เขาใกลแสง) กเหนทวา คงจะม

ความคลาดเคลอนไมตางอะไรจากการเดาสมเอาอยางไมมทฤษฎมารองรบ และนกคอ ทมาของการศกษาใน

บทเรยนนซงเกยวพนกบกลศาสตรของระบบทมความเรวสงทเรยกกนวา กลศาสตรสมพทธภาพ (Relativistic

Mechanic)

1. ความเปนมากอนทฤษฎสมพทธภาพ

1.1 กรอบอางองเฉอย (Inertial Frame of Reference)

1.2 Galilean Transformation Equations

1.3 The Michelson-Morley Experiment

2. Einstein’s Principle of Relativity

3. ผลทตามมาของทฤษฎ

3.1 Simultaneity

3.2 Time dilation

3.3 Length contraction

4. The Lorentz Transformation Equations

5. The Relativistic Doppler Effect

6. The Relativistic Mechanical Laws

http://www.clipvidva.com/�


2

1. ความเปนมากอนทฤษฎสมพทธภาพ 1.1 กรอบอางองเฉอย (Inertial Frame of Reference) หมายถง ระบบพกดอางองทไมมความเรง กลาวคอ ไมมความเรว หรอ ความเรวคงท ถอเปนขอจากดของ

ทฤษฎสมพทธภาพพเศษ

1.2 The Galilean Transformation Equations

เวลาเปนสงสมบรณ !!

การแปลงดงกลาวดเหมอนวา (แคเหมอนวา) จะถกตอง สมเหตสมผล และประยกตใชไดกบทกกรณ

ดงนน เมอมาถงการเคลอนทของแสง นกฟสกสในยคแรกๆ จงสรปวา การเคลอนทของแสงนน กยอมจะเปน

ปรมาณสมพทธ เชนกน และเสนอแนวคดทวา แสงเคลอนทโดยผานตวกลางทเรยกวา Ether

1.3 The Michelson-Morley Experiment

- ทงคไดทดลองโดยใช interferometer

- หมนอปกรณไปในมมตางๆ แลวรวการแทรกสอดยงเหมอนเดม

- ไมม Ether !!!

- ภายหลง James Clerk Maxwell ไดใหกาเนดทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟา

และพสจนไดวา คลนแมเหลกไฟฟาเคลอนทไดโดยไมตองอาศยตวกลาง

- สงผลให Galilean Transformation Equations ลมเหลวทจะอธบายพฤตกรรม

ของวตถในวงกวางทนท

-ฟงคาอธบายเพมเตมในคลป www.clipvidva.com-



3

2. Einstein’s Principle of Relativity Albert Einstein ไดเสนอทฤษฎสมพทธภาพโดยอยบนสจพจนสองประการ คอ

3. ผลทตามมาของทฤษฎ จากพนฐานของทฤษฎสมพทธภาพทาใหเกดปรากฏการณทเหนอความเขาใจพนฐานของเรา 3 ประการ

ดงจะไดศกษาตอไป

3.1 Simultaneity

3.2 Time dilation Lorentz factor Rapidity

ขอควรจา…. !!!

β =𝑣𝑐



4

*****The proper time interval is the time interval between two events measured by an observer

who sees the events occur at the same point in space.



5

ตวอยางท 1 อนภาคมวออนเมออยนง จะสลายตวในเวลา 2.2 ไมโครวนาท จงหาวา

ก. เมออนภาคนเคลอนทดวยความเรว 0.99c ผสงเกตทอยบนโลกจะเหนการสลายตวในเวลาเทาใด

ข. จากขอ ก. ผสงเกตบนโลกจะเหนอนภาคมวออนเคลอนทไดระยะทางเทาใด

ตวอยางท 2 The period of a pendulum is measured to be 3.00 s in the reference frame of the

pendulum. What is the period when measured by an observer moving at a speed of 0.950c relative to

the pendulum? What if we increase the speed of the observer by 5.00%? Does the dilated time interval

increase by 5.00%?



6

ตวอยางท 3 Consider an experiment involving a set of twins named Speedo and Goslo. When they

are 20 yr old, Speedo, the more adventuresome of the two, sets out on an epic journey to Planet X,

located 20 ly from the Earth. Furthermore, Speedo’s spacecraft is capable of reaching a speed of 0.95c

relative to the inertial frame of his twin brother back home. After reaching Planet X, Speedo becomes

homesick and immediately returns to the Earth at the same speed 0.95c. How old are they once Speedo

are back to the Earth?

3.3 Length contraction จดรปใหมเปน

**The proper length Lp of an object is the length measured by someone at rest relative to the object.

**Often the proper time interval and the proper length are not measured by the same observer.



7

**Length contraction takes place only along the direction of motion.

ตวอยางท 4 A spacecraft is measured to be 120.0 m long and 20.0 m in diameter while at rest

relative to an observer. If this spacecraft now flies by the observer with a speed of 0.99c, what length

and diameter does the observer measure?

ตวอยางท 5 นกบนอวกาศวดความยาวของยานอวกาศขณะอยทยานได 230 เมตร เมอยานอวกาศบนผาน

สถานอวกาศ ผสงเกตบนสถานวดชวงเวลาทยานอวกาศบนผานได 3.57 ไมโครวนาท จงหาวา ยานอวกาศ

เคลอนทดวยความเรวเทาไรเทยบกบสถานอวกาศ



8

ตวอยางท 6 กาหนดใหโลกกบดาวดวงหนงหางกน L ปแสง ยานอวกาศ เคลอนทดวยความเรว v = αc

โดย α เปนคาคงทซง 0 < 𝛼 < 1 จงหา

ก. คนบนโลกจะพบวา ยานใชเวลานานเทาไรในการเดนทางจากโลกถงดวงดาว

ข. คนบนยานพบวา ดาวกบโลกอยหางกนเทาไร

ค. คนบนยานพบวา เวลาทเขาใชเดนทางจากโลกถงดาวโดยนาฬกาขอมอของเขาเองเปนเทาไร

ตวอยางท 7 A moving rod is observed to have a length of 2.00 m and to be oriented at an angle of

30.0° with respect to the direction of motion, as shown in Figure. The rod has a speed of 0.995c.

(a) What is the proper length of the rod?

(b) What is the orientation angle in the proper frame?



9

4. The Lorentz Transformation Equations

Although relative motion of the two frames along the x axis does not change the y and z

coordinates of an object, it does change the y and z velocity components of an object moving in either

frame.

ตวอยางท 8 Two spacecraft A and B are moving in opposite directions, as shown in Figure. An

observer on the Earth measures the speed of craft A to be 0.750c and the speed of craft B to be 0.850c.

Find the velocity of craft B as observed by the crew on craft A.

x′ = γ(x − vt)

y′ = y

z′ = z

t′ = γ(t −vc2

x)

x = γ(x′ + vt′)

y = y′

z = z′

t = γ(t′ +vc2

x′)

ux′ = ux − v

1 − uxvc2

uy′ = uy

γ(1 − uxvc2 )

uz′ = uz

γ(1 − uxvc2 )

ux = ux′ + v

1 + ux′vc2

uy = uy′

γ(1 + ux′vc2 )

uz = uz′

γ(1 + ux′vc2 )



10

ตวอยางท 9 ยานอวกาศยาว 100 m เมอวดขณะหยดนง ถายานอวกาศสองลาทเหมอนกนนเคลอนทออกจาก

โลกในทศทางตรงขามกนดวยอตราเรว 0.7c เทยบกบโลก ผสงเกตทอยบนยานอวกาศแตละลา จะเหน

ก. ยานอกลามเคลอนทดวยอตราเรวเทาใด

ข. ยานอกลามความยาวเทาไร

ตวอยางท 10 Two motorcycle pack leaders named David and Emily are racing at relativistic speeds

along perpendicular paths, as shown in Figure below. How fast does Emily recede as seen by David

over his right shoulder?

ตวอยางท 11 A spacecraft is launched from the surface of the Earth with a velocity of 0.600c at an

angle of 50.0° above the horizontal positive x axis. Another spacecraft is moving past, with a velocity of

0.700c in the negative x direction. Determine the magnitude and direction of the velocity of the first

spacecraft as measured by the pilot of the second spacecraft.



11

ตวอยางท 12 เมอพจารณาขณะหยดนงแทงโลหะจะมความยาว 20 เมตร ในขณะทยงฉางลก 10 เมตร ถาแทง

โลหะวงพงเขาไปหายงฉางซงหยดนง ดวยความเรว 0.9c แลว จงหา

1. ผสงเกตในกรอบของแทงโลหะจะพบวา แทงโลหะมความยาวเทาใด และยงฉางลกเทาใด

2. ผสงเกตในกรอบของยงฉางจะพบวา แทงโลหะมความยาวเทาใด และยงฉากลกเทาใด

(ตอ) กาหนดใหยงฉางมประตทงดานหนาและดานหลง โดยประตทงสองนถกออกแบบใหปดแลวเปดออกทนทได

อยางรวดเรวมากและพรอมกน ถาในทนททผสงเกตในกรอบของยงฉางเหนแทงโลหะเขามาอยในยงฉางทงแทง

แลว เขากดสวตซปดและเปดประตยงฉางทงสองดานดงกลาว แลว

3. ผสงเกตในกรอบของยงฉางจะพบวา แทงโลหะชนกระแทกประตทงสองหรอไม

ถากาหนดใหผสงเกตในกรอบของยงฉางอยในกรอบ (x,t) และผสงเกตในกรอบของแทงโลหะอยในกรอบ (x’,t’)

โดยท ในขณะทแทงโลหะเรมเขาไปในยงฉางเปน t=t’=0 และ x=x’=0 แลว จงหา

4. เวลาทหวของแทงโลหะเรมเขาไปในยงฉาง, เรมพนจากยงฉาง และเวลาทปลายของแทงโลหะเรมเขา

ไปในยงฉาง, เรมพนยงฉาง พจารณาโดยผสงเกตในกรอบของยงฉาง

5. เวลาทหวของแทงโลหะเรมเขาไปในยงฉาง, เรมพนจากยงฉาง และเวลาทปลายของแทงโลหะเรมเขา

ไปในยงฉาง, เรมพนยงฉาง พจารณาโดยผสงเกตในกรอบของแทงโลหะ

6. จากการกดสวตซในขอ 3. ผสงเกตในกรอบของแทงโลหะจะพบวา แทงโลหะชนกระแทกประตทงสอง

หรอไม จงอาศยการคานวณแสดงใหเหนจรง



12

5. The Relativistic Doppler Effect เชนเดยวกบในกรณของคลนเสยงทศกษามาแลว ถาผสงเกตและแหลงกาเนดแสงมการเคลอนทสมพทธ

กนแลว ความถของแสงทผสงเกตพบ (f) จะแตกตางจากความถของแสงทวดไดโดยผสงเกตในกรอบของ

แหลงกาเนด (Proper frequency f0 ) ถาแหลงกาเนดแสงและผสงเกตเคลอนทเขาหากน

แตถา

ดวยความเรวสมพทธ

vแลว จะได

f = f0�1 + v

c1 − v

c

เคลอนทออกจากกน

และในกรณท v ≪ c จะได

|∆λ|λ0

≈vc

เครองหมาย + - จะสลบกน

ตวอยางท 13 A physicist drives through a stop light. When he is pulled over, he tells the police officer

that the Doppler shift made the red light of wavelength 650 nm appear green to him, with a wavelength

of 520 nm. The police officer writes out a traffic citation for speeding. How fast was the physicist

traveling, according to his own testimony?

ตวอยางท 14 Spectroscopic measurements of light at λ=397 nm coming from a galaxy in Ursa Major

reveal a red shift of 20.0 nm. What is the recessional speed of the galaxy?



13

6. The Relativistic Mechanical Laws เพอใหสจพจนขอท 1 ของไอสไตนวา “กฎตางๆ ทางฟสกสจะเหมอนกนในทกกรอบอางองเฉอย” ยงคง

เปนจรง เมอวตถมความเรวสงในยานเขาใกลแสง ปรมาณตางๆ ทางกลศาสตรจงตองมการเปลยนแปลงไป โดย

จะตองลเขาสกลศาสตรดงเดม เมอพจารณาในยานความเรวตา

Classical Mechanic Relativistic Mechanic

Mass m Mass m

Linear momentum p = mu Linear momentum p = γmu

Rest energy Er = mc2

Total energy E = γmc2

Kinetic Energy K = 12

mu2 Kinetic Energy K = γmc2 − mc2

= (γ − 1)mc2 E2 = p2c2 + (mc2)2

ตวอยางท 15 An electron, which has a mass of 9.11x10-31

kg, moves with a speed of 0.750c. Find its

relativistic momentum and classical momentum.

ตวอยางท 16 An electron in a television picture tube typically moves with a speed u = 0.250c. Find its

total energy and kinetic energy in electron volts.



14

ตวอยางท 17 (A) Find the rest energy of a proton in electron volts.

(B) If the total energy of a proton is three times its rest energy, what is the speed of the proton?

(C) Determine the kinetic energy of the proton in electron volts.

(D) What is the proton’s momentum?

ตวอยางท 18 An unstable particle at rest breaks into two fragments of unequal mass. The mass of the

first fragment is 2.50x10-28

kg, and that of the other is 1.67x10-27

kg. If the lighter fragment has a speed

of 0.893c after the breakup, what is the speed of the heavier fragment?

ตวอยางท 19 โปรตอนอนภาคหนงมพลงงานจลน 3X1020

eV เดนทางจากดาวเคราะห A ไปยงดาวเคราะห B

ซงอยหางกน 9.8x104 ly จะใชเวลาในการเดนทางเทาใด เมอวดโดยกรอบอางองของโปรตอน



15

ตวอยางท 20 An unstable particle with a mass of 3.34x10-27

kg is initially at rest. The particle decays

into two fragments that fly off along the x axis with velocity components 0.987c and -0.868c. Find the

masses of the fragments.

ตวอยางท 21 อนภาคทมมวลนง m1 ความเรว v1 (เขาใกลอตราเรวของแสง) ชนกบอนภาคทมมวลนงซงมมวล

นงเทากบ m2 และรวมเปนเนอเดยวกบอนภาคนน จงหามวลนงและความเรวของอนภาคหลงชน



16

ตวอยางท 22 An object disintegrates into two fragments. One of the fragments has mass 1.00 MeV/c2

and momentum 1.75 MeV/c in the positive x direction. The other fragment has mass 1.50 MeV/c2 and

momentum 2.00 MeV/c in the positive y direction. Find (a) the mass and (b) the speed of the original

object.

ตวอยางท 23 Let us consider a perfectly inelastic collision between two protons: an incident proton with

mass mp, kinetic energy K, and momentum magnitude p joins with an originally stationary target proton

to form a single product particle of mass M. Show that the energy available to create a product particle is

given by Mc2 = 2mpc2�1 + K2mpc2

This disappointing result is the main reason that most modern accelerators, such as those at CERN (in

Europe), use colliding beams. Here the total momentum of a pair of interacting particles can be zero.

The center of mass can be at rest after the collision, so in principle all of the initial kinetic energy can be

used for particle creation. Show that Mc2 = 2mc2 + K = 2mc2(1 + K2mc2

), where K is the

total kinetic energy of two identical colliding particles.

Brought to you by Ken (#EE90)


KEN Relativity1

Documents

Transcript of KEN Relativity1