K.D. Bizon - Calcolo Delle Variazioni
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Calcolo delle variazioni
Modellistica e Ottimizzazione di Sistemi e Processi
Energetici
K.D. Bizon
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Ottimizzazione in spazi funzionali:
il calcolo variazionale
Si pu generalizzare il concetto di ottimizzazione, costruendo un cosiddetto
funzionale, ossia unespressione a valori in , lequivalente concettuale
della funzione obiettivo, che dipende non pi da un certo numero di
parametri di progetto, ma da una o pi funzioni incognite.
Tali funzionali possono per esempio essere formulati come integrali che
coinvolgono una funzione incognita e le sue derivate. Linteresse per le
funzioni estremali: quelle cio che rendono massimo o minimo il valore
del funzionale.
Come per i problemi di minimizzazione in spazi a dimensione finita, anche
in questambito esistono condizioni necessarie per lesistenza di estremi,
che corrispondono a una condizione di stazionariet per il funzionale.
Lanalisi delle piccole variazioni attorno ad una presunta soluzione porta a
una condizione necessaria del primo ordine.
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I problemi classici di calcolo delle variazioni
Tra i grandi problemi passati alla storia della matematica, vale la pena
citarne alcuni, oltrech per il loro interesse soprattutto geometrico e fisico,
per il ruolo che hanno avuto nello sviluppo del calcolo delle variazioni.
Nel problema isoperimetrico ci si chiede quale figura piana o spaziale
renda massima larea o il volume, a seconda della dimensione, a parit di
perimetro o di area della superficie che lo racchiude.
Un altro problema interessante quello della ricerca delle geodetiche di
una superficie, che sono le curve di minima lunghezza, di estremi
assegnati e giacenti su di essa. Per la sfera le soluzioni sono gli archi di
cerchio massimo.
Il celebre problema della brachistocrona venne posto nel 1696 da Jean
Bernoulli. Si tratta della traiettoria prestabilita liscia lungo la quale deve
scivolare un punto materiale pesante, con posizioni iniziale e finale
assegnate, affinch il tempo impiegato per la discesa sia minimo.
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Rampa/galleria pi veloce
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Problema isoperimetrico
Massimo volume a parit di area di superficie Massima area a parit di perimetro
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Geodetiche di una superficie
Geodetica una particolare curva che descrive localmente la traiettoria pi breve fra punti di un
particolare spazio
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Problema della brachistocrona
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Calcolo delle variazioni
Lo strumento chiave del calcolo delle variazioni classico lequazione di
Eulero-Lagrange.
Nella sua forma pi semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel
minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:
al variare della funzione y (x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni
y (x1) = y1 ed y (x2) = y2 . Si cerca dunque una funzione
y = y (x) (x1 x x2 )
che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale
d'azione I .
21
, ,x
xI f x y y dx
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Calcolo delle variazioni
Nella sua forma pi semplice, il calcolo delle variazioni consiste nel
minimizzare il cosiddetto integrale d'azione:
al variare della funzione y(x) fra tutte quelle che soddisfano le condizioni:
y (x1) = y1 ; y(x2) = y2 .
Questo appena enunciato si chiama problema fondamentale del calcolo
delle variazioni. Si cerca dunque una funzione
y = y(x) , (x1 x x2 )
che collega i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) e che minimizza l'integrale I .
21
, ,x
xI f x y y dx
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Supponiamo che f sia di classe C1 nelle tre variabili x, y ed y, e
consideriamo le due funzioni y(x) ed Y(x) = y(x) (x) , entrambe passanti per i due punti (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), dove un parametro.
Poich y(x1) = Y(x1) ed y(x2) = Y(x2) , allora (x1) = (x2) = 0 ; per il resto, la funzione (x) arbitraria.
Il termine (x) rappresenta la variazione di y(x). Noi vogliamo determinare quella y(x) per la quale il funzionale I ha un estremo
relativo, e dunque quella y(x) che, comunque perturbata dalla variazione
(x), con piccolo, lascia stazionario il valore del funzionale:
2
1
, ,x
xI I f x y y dx
Calcolo delle variazioni:
lequazione di Eulero-Lagrange
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Calcoliamo quindi la derivata rispetto ad del funzionale I . Applicando la regola di derivazione delle funzioni composte, si ha:
Scomponiamo lintegrale in somma di integrali ed integriamo il secondo
per parti:
2
1
x
x
I f fdx
y y
2 2 2
1 1 1
2
2 2
1 1
1
x x x
x x x
xx x
x xx
f f f fdx dx dx
y y y y
f d f fdx dx
y dx y y
Calcolo delle variazioni:
lequazione di Eulero-Lagrange
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Calcolo delle variazioni:
lequazione di Eulero-Lagrange
Poich (x1) = (x2) = 0, lintegrale del fattore finito si annulla e dunque, portando a fattor comune, si ha:
Dato che (x) una funzione arbitraria, lintegrale nullo se e solo se identicamente nulla la quantit in parentesi. Di conseguenza, la derivata
rispetto ad del funzionale I si annulla se e solo se y(x) soluzione dellequazione (detta di Eulero-Lagrange):
2
1
x
x
I f d fdx
y dx y
0f d f
y dx y
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Calcolo delle variazioni:
lidentit di Beltrami
Se la funzione f esplicitamente indipendente da x, si pu dimostrare che
la soluzione del problema variazionale soddisfa una forma particolare
dellequazione di Eulero-Lagrange, detta Identit di Beltrami:
dove C una costante.
fy f C
y
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Esempio 1: percorso pi corto (1)
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Esempio 1: percorso pi corto (2)
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Esempio 1: percorso pi corto (3)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (1)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (2)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (3)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (4)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (5)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (8)
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Esempio 2: problema della brachistocrona (7)
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Esempio 3: galleria pi veloce
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Problema isoperimetrico (1)
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Problema isoperimetrico (2)
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Esempio 5: cavo sospeso (1)
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Esempio 5: cavo sospeso (2)
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Esempio 5: cavo sospeso (3)
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Metodi numerici
Metodo di Eulero
Metodo di Ritz
Metodo di Kantorowicz (per pi variabili)
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Metodo di Ritz (1)
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Metodo di Ritz (2)
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Metodo di Ritz (3)
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Metodo di Ritz: esempio (1)
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Metodo di Ritz: esempio (2)
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Metodo di Ritz: esempio (3)
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Metodo di Eulero (1)
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Metodo di Eulero (1)
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Metodo di Eulero (3)
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Metodo di Eulero: esempio (1)
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Metodo di Eulero: esempio (2)
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Metodo di Eulero: esempio (3)
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Metodo di Eulero: esempio (4)
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Metodo di Eulero: esempio (5)