Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i...
Transcript of Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i...
![Page 1: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/1.jpg)
Matematika 1Vrste funkcija
Katedra za matematiku, FSB
Zagreb, 2015
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 1 / 38
![Page 2: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/2.jpg)
Ciljevi ucenja
Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcijeVeza grafa funkcije i grafa njoj invernze funkcijeNeki poznati grafovi koji nisu grafovi funkcija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 2 / 38
![Page 3: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/3.jpg)
Sadrzaj
Sadrzaj:
1 Vrste funkcijaPolinomiRacionalne funkcijeTrigonometrijske funkcijeEksponencijalne i logaritamske funkcijeElementarne funkcije
2 Graf funkcijeGraf linearne funkcijeGraf kvadratne funkcijeGraf polinoma
3 Graf inverzne funkcije
4 Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 3 / 38
![Page 4: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/4.jpg)
Vrste funkcija Polinomi
Polinomi
Polinom:
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
kazemo da je stupnja n ako je an 6= 0.
Primjer.1 y = x2 +x +12 y = x100−13 y =−3x4 +
√3x2−πx +5.25
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 4 / 38
![Page 5: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/5.jpg)
Vrste funkcija Racionalne funkcije
Racionalne funkcije
Racionalna funkcija:
y =P(x)Q(x)
,
gdje su P(x) i Q(x) polinomi.
Primjer.
1 y =2x +5x−3
2 y =3x +2
x2 +x +3
3 y =5x4 +
√7x2−πx +5
x3−2x +1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 5 / 38
![Page 6: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/6.jpg)
Vrste funkcija Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske funkcije:1 y = sinx2 y = cosx3 y = tgx4 y = ctgx
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 6 / 38
![Page 7: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/7.jpg)
Vrste funkcija Eksponencijalne i logaritamske funkcije
Eksponencijalne i logaritamske funkcije
Eksponencijalne i logaritamske funkcije: neka je a > 0, a 6= 11 y = ax
2 y = loga x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 7 / 38
![Page 8: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/8.jpg)
Vrste funkcija Elementarne funkcije
Elementarne funkcije
Elementarne funkcije su sve funkcije koje su gore navedene i one kojesu dobivene iz njih konacnim brojem primjena racunskih operacijazbrajanja, oduzimanja, mnozenja, dijeljenja, komponiranja iinvertiranja.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 8 / 38
![Page 9: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/9.jpg)
Graf funkcije
Graf funkcije
Graf funkcije y = f (x) u zadanom koordinatnom sustavu x ,y , cine svetocke (x ,y) za koje vrijedi y = f (x).Dakle sve tocke oblika (x , f (x)).
y
x0 x
f(x)(x, f(x))
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 9 / 38
![Page 10: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/10.jpg)
Graf funkcije
Graf funkcije
Zadatak.Funkcija f je zadana grafom
y
x4
3
−1
Ocitajte vrijednosti: f (0), f (52), f (4), f (−1), f (−2).
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 10 / 38
![Page 11: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/11.jpg)
Graf funkcije
Primjer 1.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest oznaci podrucje definicije tefunkcije.
Slika 1. Slika 2.
Slika 3. Slika 4.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 11 / 38
![Page 12: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/12.jpg)
Graf funkcije
Zadatak.Je li zadani graf graf funkcije? Ako jest odredi podrucje definicije tefunkcije.
-1 1
Slika 1.
-1 1
Slika 3.
Slika 2. Slika 4.
Slika 5.
Slika 6.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 12 / 38
![Page 13: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/13.jpg)
Graf funkcije Graf linearne funkcije
Graf linearne funkcije oblika y = ax +b (polinom 1. stupnja ) je pravac.
a < 0
y = ax+ b
a > 0
y = ax+ b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 13 / 38
![Page 14: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/14.jpg)
Graf funkcije Graf linearne funkcije
Zadatak.Skicirajte sljedece pravce:
1 y = 2x−32 y = 3−2x3 y = 4
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 14 / 38
![Page 15: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/15.jpg)
Graf funkcije Graf kvadratne funkcije
Graf kvadratne funkcije oblika y = ax2 +bx +c (polinom 2. stupnja ) jeparabola cija je os paralelna s osi y .
a > 0
a < 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 15 / 38
![Page 16: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/16.jpg)
Graf funkcije Graf kvadratne funkcije
Zadatak.Skicirajte sljedece funkcije:
1 y = x−x2
2 y = (x−1)2
3 y = x2−3x−44 y = x2 +x +1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 16 / 38
![Page 17: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/17.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Polinom je funkcija oblika
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38
![Page 18: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/18.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Polinom je funkcija oblika
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n paran broj, n = 2,4,6, . . .
an > 0 an < 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38
![Page 19: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/19.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Polinom je funkcija oblika
y = anxn +an−1xn−1 + · · ·+a1x +a0,
an,an−1, . . . ,a1,a0 ∈ R, an 6= 0. Prirodni broj n se naziva stupanjpolinoma.Ako je n neparan broj, n = 1,3,5,7, . . .
an > 0 an < 0
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 17 / 38
![Page 20: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/20.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38
![Page 21: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/21.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Rjesenje.
y = 4x3 − 2x2 + 1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38
![Page 22: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/22.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Rjesenje.
y = −3x4 + x
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38
![Page 23: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/23.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija, kao na prethodnom slide-u
1 y = 4x3−2x2 +12 y =−3x4 +x3 y = x−x2−x3
Rjesenje.
y = x− x2 − x3
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 18 / 38
![Page 24: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/24.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x2
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38
![Page 25: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/25.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x4
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38
![Page 26: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/26.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x6
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38
![Page 27: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/27.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x8
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38
![Page 28: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/28.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 2,4,6,8
y = x2
y = x4
y = x6
y = x8
1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 19 / 38
![Page 29: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/29.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38
![Page 30: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/30.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x3
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38
![Page 31: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/31.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x5
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38
![Page 32: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/32.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = x7
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38
![Page 33: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/33.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
SPECIJALNO: n = 1,3,5,7
y = xy = x3
y = x5
y = x7
1
1
−1
−1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 20 / 38
![Page 34: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/34.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Uocimo sljedece svojstvo prethodnih polinoma:
Funkcija y = xn za parne eksponente n ima svojstvo y(−x) = y(x);
Zato svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) = f (x) nazivamo parna.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 21 / 38
![Page 35: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/35.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Funkcija y = xn za neparne eksponente n ima svojstvo y(−x) =−y(x).
i svaku funkciju f koja ima svojstvo f (−x) =−f (x) nazivamo neparna;
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 22 / 38
![Page 36: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/36.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?
Slika 1. Slika 2. Slika 3.
Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 23 / 38
![Page 37: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/37.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Koja je od sljedecih funkcija (ne)parna?
Slika 1. Slika 2. Slika 3.
Rjesenje.1. parna, 2. neparna, 3. niti parna niti neparna.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 23 / 38
![Page 38: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/38.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Nadopunite graf funkcije f tako da:
Slika 1.
f je parna f je neparna
Slika 2.
f je parna
Slika 3.
f je neparna
Slika 4.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 24 / 38
![Page 39: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/39.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Rjesenje.Nadopunite graf funkcije f tako da:
Slika 1. Slika 2.
Slika 3. Slika 4.Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 24 / 38
![Page 40: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/40.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1x
Rjesenje.
1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞
4 x → 0− onda y →−∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 25 / 38
![Page 41: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/41.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1x
Rjesenje.
1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 x → 0+ onda y →+∞
4 x → 0− onda y →−∞
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 25 / 38
![Page 42: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/42.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1
1+x2
Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je
najveca za x = 0, onda jey = 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 26 / 38
![Page 43: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/43.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Primjer.
Skicirajte graf funkcije y =1
1+x2
Rjesenje.1 x →+∞ onda y → 02 x →−∞ onda y → 03 vrijednost funkcije je
najveca za x = 0, onda jey = 1
1
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 26 / 38
![Page 44: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/44.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1
x−1 b) y = 1x2 .
Rjesenje.
a)b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 27 / 38
![Page 45: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/45.jpg)
Graf funkcije Graf polinoma
Zadatak.Skicirajte grafove funkcija:a) y = 1
x−1 b) y = 1x2 .
Rjesenje.
a)b)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 27 / 38
![Page 46: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/46.jpg)
Graf inverzne funkcije
Graf inverzne funkcije
y = f−1(x)
y = f(x)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 28 / 38
![Page 47: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/47.jpg)
Graf inverzne funkcije
Graf inverzne funkcije
Ima li svaka funkcija y = f (x) inverz x = f−1(y)?NE, kako donja slika pokazuje.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 29 / 38
![Page 48: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/48.jpg)
Graf inverzne funkcije
Primjer.
Pokusajmo invertirati funkciju f (x) = x2.
Rjesenje.
y = x2 =⇒ x =±√y . (2 funkcije)
yx = −√y x =
√y
y = x2
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 30 / 38
![Page 49: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/49.jpg)
Graf inverzne funkcije
Suzavanje domene omogucava invertiranje:
Ako je f : [0,∞)→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =√
y .
Ako je f : (−∞,0]→ R, f (x) = x2, onda je f−1(y) =−√y .
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 31 / 38
![Page 50: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/50.jpg)
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Nadite parove inverznih funkcija
Slika 1. Slika 3.
Slika 2. Slika 4.
Slika 5.
Slika 6.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 32 / 38
![Page 51: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/51.jpg)
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 33 / 38
![Page 52: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/52.jpg)
Graf inverzne funkcije
Rjesenje.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 33 / 38
![Page 53: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/53.jpg)
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 34 / 38
![Page 54: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/54.jpg)
Graf inverzne funkcije
Rjesenje.Nema inverznu jer
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 34 / 38
![Page 55: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/55.jpg)
Graf inverzne funkcije
Zadatak.Za funkciju sa slike skicirajte inverznu funkciju (ako postoji)
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 35 / 38
![Page 56: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/56.jpg)
Graf inverzne funkcije
Rjesenje.
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 35 / 38
![Page 57: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/57.jpg)
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Kruznica radijusa r s centrom u ishodistu (x2 +y2 = r2):
r
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 36 / 38
![Page 58: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/58.jpg)
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Elipsa s poluosima a i b(
x2
a2 +y2
b2 = 1)
:
a
b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 37 / 38
![Page 59: Katedra za matematiku, FSB · PDF fileCiljevi ucenjaˇ. Ciljevi ucenja za predavanja i vjezbe:ˇˇ. Pregled vrsta funkcija-ponavljanje, elementarne funkcije Veza grafa funkcije i grafa](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042600/5a720fe07f8b9ac0538d5582/html5/thumbnails/59.jpg)
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Neki vazni grafovi koji nisu grafovi funkcija
Hiperbola s poluosima a i b(
x2
a2 −y2
b2 = 1)
:
a
b
Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 4. studenog 2017. 38 / 38