Kata Pengantar -...

1

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas

karunia dan hidayah-Nya, sehingga kami dapat menyusun modul ini.

Modul ini disusun semaksimal mungkin untuk memenuhi tugas mata

kuliah Program Komputer I.

Modul ini berisikan tentang materi-materi dan konsep-konsep

trigonometri yang ada di SMA/SMK seperti perbandingan suatu sudut

pada segitiga siku-siku, identitas trigonometri, dan sebagainya. Modul ini

menjelaskan berbagai persoalan yang berhubungan dengan trigonometri.

Dalam modul ini juga dijelaskan mengenai langkah-langkah petunjuk

penggunaan program Quis Maker yang kami gunakan untuk mendampingi

bahan ajar ini.

Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai

dari penyiapan materi modul, penyusunan, kemudian disetting dengan

bantuan alat-alat komputer. Harapannya, modul yang telah disusun ini

merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk para siswa

SMA/SMK. Namun demikian, kami sadar modul ini masih banyak

kekurangannya dan memerlukan masukan maupun perbaikan.

Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya

dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan

penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam

kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih

dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak,

terutama tim penyusun modul atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga,

dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini.

2

Kami mengharapkan kritik dan saran dari Bapak, teman-teman, dan

masyarakat pada umumnya khususnya para siswa SMA/SMK, sebagai

bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul.

Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua,

khususnya bagi para siswa SMA/SMK.

Cirebon, Oktober 2013

Tim Penyusun

3

Daftar Isi

Kata Pengantar .......................................................................................... 1

Daftar Isi ..................................................................................................... 2

Kata-kata Motivasi .................................................................................... 4

Tujuan Pembelajaran ................................................................................ 5

Trigonometri ............................................................................................... 6

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga

Siku-siku ............................................................................... 6

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut

Istimewa ................................................................................ 8

C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai

Kuadran ................................................................................ 10

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi 11

E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub ... 14

F. Identitas Trigonometri ......................................................... 16

G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana ........ 16

H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih

Dua Sudut ............................................................................. 18

I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap ................................. 21

J. Merubah Rumus Perkalian ke Rumus Penjumlahan atau

Pengurangan ........................................................................ 21

Rangkuman ............................................................................................... 23

Aplikasi Trigomometri Dalam Kehidupan Sehari-hari ........................... 26

Latihan Soal ............................................................................................... 28

Daftar Pustaka ........................................................................................... 29

Petunjuk Penggunaan Program Quiz Maker ........................................... 30

Biodata Kelompok .................................................................................... 31

Deskripsi Kerja Kelompok ........................................................................

4

Kata-kata Motivasi

“Hidup tanpa mempunyai TUJUAN sama seperti “Layang-layang

putus” Miliki tujuan dan PERCAYALAH Anda dapat mencapainya.”

“Jangan pernah putus asa atas mimpimu, karena mimpi bisa

memberimu tujuan hidup. Ingatlah, sukses bukan merupakan kunci

utama dari kebahagiaan, sebenarnya kebahagiaan adalah kunci

sukses yang utama. Semangat!”

“Waktu adalah pedang, jika kamu bisa mengguanakan dengan baik,

maka pasti akan membawa keberuntungan, tapi jika kau

menggunakan dengan buruk, pasti dia akan membunuhmu.”

5

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat :

- Memahami perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-

siku.

- Menggunakan perbandingan trigonometri, kemudian menentukan nilai

perbandingan trigonometri di berbagai kuadran.

- Memahami dan mampu menerapkan tentang perbandingan trigonometri

sudut yang berelasi.

- Memahami dan mampu menerapkan tentang konsep koordinat cartesius

dan kutub, serta pengkonversian koordinat cartsius dan kutub.

- Memahami konsep identitas trigonometri.

- Memahami dan mampu menyelesaikan tentang persamaan trigonometri

sederhana.

- Memahami konsep trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut

- Memahami konsep trigonometri sudut rangkap.

- Mampu mengubah rumus perkalian ke rumus penjumlahan/pengurangan

6

Trigonometri

Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-

perbandingan pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang

berbentuk segitiga. Pada prinsipnya trigonometri merupakan salah satu

ilmu yang berhubungan dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk

menghitung ketinggian suatu tempat tanpa mengukur secara langsung

sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.

Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua

buah kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan

sisi (segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas,

trigonometri dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang

mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila

ditinjau dari salah satu sudut pada segitiga tersbut. Dalam mempelajari

perbandingan sisi-sisi segitiga pada trigonometri, maka sgitiga itu harus

mempunyai tepat satu sudutnya (90°) artinya segitiga itu tidak lain adalah

segitiga siku-siku.

A. Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku

Gambar disamping adalah segitiga siku-

siku dengan titik sudut sikunya di C.

Panjang sisi di hadapan sudut A adalah

a, panajang sisi di hadapan B adalah b,

dan panjang sisi di hadapan C adalah c

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

A

B

C

c a

b

Gb. 2.2 perbandingan trigonometri

7

A

B

C

c a

b

Gb. 2.3 perbandingan trigonometri

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam)

perbandingan trigonometri terhadap sudut sebagai berikut :

1. c

a

hipotenusa panjang

Asudut depan di siku-siku sisi panjang sin

2. c

b

hipotenusa panjang

Asudut (berimpit) dekat di siku-siku sisi panjang osc

3. b

a

Asudut dekat di siku-siku sisi panjang

Asudut depan di siku-siku sisi panjang tan

4. a

c

Asudut depan di siku-siku sisi panjang

hipotenusa panjang csc

5. b

c

Asudut dekat di siku-siku sisi panjang

hipotenusa panjang sec

6. a

c

Asudut depan di siku-siku sisi panjang

Asudut dekat di siku-siku sisi panjang cot

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus :

cos

sin tan dan

sin

cos cot

cos

1 sec dan

sin

1 csc

Contoh :

Pada gambar di samping segitiga

siku-siku ABC dengan panjang a 24

dan c 25.

Tentukan keenam perbandingan

trigonometri untuk .

Penyelesaian :

Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras

22 2425b

576625

749

8

25

24 sin

c

a

24

25 csc

a

c

25

7 osc

c

b

7

25 sec

b

c

7

24 tan

b

a

24

7 cot

a

c

B. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya

dapat dicari tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu :

0, 30, 45,60, dan 90.

Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30, 45, dan 60.

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa

digunakan segitiga siku-siku seperti gambar berikut ini.

Dari gamabar 2.4.a dapat ditentukan

22

1

2

145 sin 2

1

245csc

22

1

2

145 cos 2

1

245sec

11

145 tan 1

1

145 cot

Dari gambar 2.4.b dapat ditentukan

2

103 sin 3

2

1

2

306 sin

Gb. 2.4.b. sudut istimewa

3

60

30

1 2

Gb. 2.4.a. sudut istimewa

2

45

1

1

9

32

1

2

303 cos

2

106 cos

33

1

3

130 tan 3

1

360 tan

21

230csc 3

3

2

3

260csc

33

2

3

230sec 2

1

260sec

31

330 cot 3

3

1

3

160 cot

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 30 45 60 90

sin 0 2

1 2

2

1 3

2

1 1

cos 1 32

1 2

2

1

2

1 0

tan 0 33

1 1 3

Tak

terdefinisi

cot Tak

terdefinisi 3 1 3

3

1 0

Contoh :

1. 2

212

2

1

2

145 cos30 sin

2. 33

12

2

132

2

160 cot 45cos60 tan 45sin

63

26

6

46

6

16

2

1

10

C. Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan

koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat

berputar terhadap titik asal O dalam koordinat

kartesius, sehingga XOP dapat bernilai 0

sampai dengan 90. Perlu diketahui bahwa

ry 22xOP dan r 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku

dapat didefinisikan dalam absis (x), ordinat (y), dan panjang OP (r)

sebagai berikut :

1. r

y

OP panjang

P ordinatα sin 4.

y

r

P ordinat

OP panjangαcsc

2. r

x

OP panjang

P absisα cos 5.

x

r

P absis

OP panjangα sec

3. x

y

P absis

P ordinatα tan 6.

y

x

P ordinat

P absisα cot

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I,

kuadran II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

y

x X

Y P(x,y)

r

1

Gb. 2.5

O

Gb. 2.6 titik di berbagai kuadran

y

x X

Y P(x,y)

r

1

O

y

x X

Y P(x,y)

r

2

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

3

O

y

x

X

Y

r

P(x,y)

4

O

11

Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri di tiap kuadran :

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Csc + + - -

Sec + - - +

Cot + - + -

D. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90

), (180 ), (360 ), dan -. Dua buah sudut yang berelasi ada

yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk

sudut dengan (90 - ) dan pelurus (suplemen) untuk sudut

dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut 50 adalah 40, pelurus

sudut 110 adalah 70.

1. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar 2.7 diketahui

Titik P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

Akibat pencerminan garis y x,

sehingga diperoleh :

a. XOP = dan XOP1 = 90 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh :

a. cos90 sin1

1

r

x

r

y

y

x

X

Y

P(x,y)

r

(90-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

y = x

Gb. 2.7. sudut yang berelasi

O

12

y

x X

Y

P(x,y) r

(180-)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O


b. sin90 cos1

1

r

y

r

x

c. cot90 tan1

1

y

x

x

y

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri

sudut dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut :

2. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P1(x1,y1) adalah bayangan dari

titik P(x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r

maka diperoleh hubungan :

a. sin180 sin1

1

r

y

r

y

b.

cos180 cos1

1

r

x

r

x

c.

tan180 tan1

1

x

y

x

y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

a. cos90 sin d. sec90csc

b. sin90 cos e. ec cos90sec

c. cot90 tan f. tan90 cot

a. sin180 sin d. csc180csc

b. cos180 cos e. sec 180sec

c. tan180 tan f. cot180 cot

13

3. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

Dari gambar 2.9 titik P1(x1,y1) adalah

bayangan dari titik P(x,y) akibat

pencrminan terhadap garis y x,

sehingga

a. XOP = dan XOP1 = 180 +

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r


a.

sin180 sin1

1

r

y

r

y

b.

cos180 cos1

1

r

x

r

x

c.

tan180 tan

1

1

x

y

x

y

x

y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus :

4. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar 2.10 diketahui titik

P1(x1,y1) bayangan dari P(x,y)

Akibat pencerminan terhadap

sumbu x, sehingga

a. XOP = dan XOP1 = -

b. x1 = x, y1 = y dan r1 = r


a.

sin sin1

1

r

y

r

y

a. sin180 sin d. csc 180csc

b. cos180 cos e. sec 180sec

c. tan180 tan f. cot180 cot

y

x X

Y

P(x,y) r

(180+)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O


y

x

X

Y

P(x,y),y) r

(360-1)

P1(x1,y1)

r1

x1

y1

O -

Gb. 2.10. sudut yag berelasi

14

b. cos cos1

1

r

x

r

x

c.

tan tan1

1

x

y

x

y

Dari hubungan di atas diproleh rumus :

Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan

360 , misalnya sin (360 ) sin

E. Menentukan Koordinat Kartesius dan Koordinat Kutub

Cara lain dalam menyajikan letgak sebuah titik pada bidang xy

selain koordinat kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar 2.11 titik P(x,y) pada koordinat kartesius dapat disajikan

dalam koordinat kutub P(r, ) seperti pada gambar 2.12.

Jika koordinat kutub titik P(r, ) diketahui, koordinat kartesius dapat

dicari dengan hubungan :

r

xcos cosrx

r

ysin sinry

a. sin sin d. csc csc

b. cos cos e. sec sec

c. tan tan f. cot cot

y

x X

Y P(x,y)

O

Gb 2.11. koordinat kartesius

y

x X

Y P(r, )

r

O

Gb. 2.12 koordinat kutub

15

Jika koordinat kartesius titik P(x,y) diketahui, koordinat kutub titik

P(r, ) dapat dicari dengan hubungan :

22 yxr

x

y tan arc tan

x

y , arc tan adalah invers dari tan

Contoh :

1. Ubahlah menjadi koordinat kutub

a. B(5,5) b. )34,4(C

2. Ubahlah P (12,60) menjadi koordinat kartesius

Penyelesaian :

1. a. B (5,5) b. )34,4(C

x 5, y 5 (kuadran I) x 4, y 34 (kuadran II)

22 55 r 22344r

252525 8644816

15

5 tan 45 3

4

34 tan

120

Jadi, B )45,25( jadi, C (8, 120)

2. P (12,60) diubah ke koordinat kartesius

x r cos y r sin

12 cos 60 12 sin 60

12(1/2) 12

3

2

1

x 6 y 36

Jadi koordinat kartesiusnya P 36,6

16

F. Identitas Trigonometri

Dari gambar di samping diperoleh

,r

ysin dan 22 yxr . Sehingga

2

2

2

222 cossin

r

x

r

y

12

2

2

22

r

r

r

yx

G. Menyelesaikan Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat

prbandingan trigonometri suatu sudut, dimana sudutnya dalam

ukuran derajat atau radian.

Menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menentukan nilai x

yang memenuhi persamaan tersebut sehingga jika dimasukkan

nilainya akan menjadi benar.

1. Menyelesaikan persamaan sin x sin

Dengan mengingat rumus

Sin (180 - ) sin dan sin ( + k. 360) sin , maka diperoleh :

2. Menyelesaikan persamaan cod x cos


cos cos dan cos ( + k. 360) cos , diperoleh

Jika sin x sin maka

x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B

Jika cos x cos maka

x + k. 360 atau x + k. 360, k B

y

x X

Y P(x, y)

r

O

Gb. 2.13. rumus identitas

sin2 +cos2 1

Jadi

17

3. Menyelesaikan persamaan tan x tan


tan (180 + ) tan dan tan ( + k. 360) tan , maka

diperoleh:

contoh :

Tentukan penyelesaian persamaan berikut ini untuk 0 x 360.

a) 2

1 sin x c) 3 tan x

b) 32

1 cos x

Penyelesaian :

a) 2

1 sin x sin x sin 30

x + k. 360 untuk k = 0 x 30

x (180 ) + k.360 untuk k = 0 x 180 30 150

b) 32

1 cos x cos x cos 30

x + k. 360 untuk k = 0 x 30

x + k. 360 untuk k = 1 x 30 + 360 330

c) 3 tan x tan x tan 120

x + k. 180 untuk k = 0 x 120

untuk k = 1 x 120 + 180 300

Catatan : satuan sudut selain derajat adalah radian, dimana satu

radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran

yang panjangnya sama dengan jari-jari.

AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360 = r

r2 rad

Jika tan x tan maka

x + k. 180 , k B

r r

O A

B

18

= 2 rad

180 = rad

pendekatan 1 rad = 57,3.

Dengan mengingat pengertian radian tersebut, maka bentuk

penyelesaian persamaan trigonometri dapat pula menggunakan

satuan radian, sebagai contoh untuk persamaan sin x sin A

maka penyelesaiannya adalah :

x A + k. 2 atau x ( A) + k. 2 , k B

dimana x dan A masing-masing satuannya radian.

H. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus cos ( + ) dan cos ( )

Pada gambar disamping diketahui

garis CD dan AF keduanya adalah

garis tinggi dari segitiga ABC.

Akan dicari rumkus cos ( + ).

AC

AD cos

cos ACAD

Pada segitiga siku-siku CGF

CF

GF sin sin CFGF …………..(1)

Pada segitiga siku-siku AFC,

AC

CF sin sin ACCF …………..(2)

AC

AFβ cos cos ACAF …………..(3)

Pada segitiga siku-siku AEF,

AF

AE cos cos AFAE …………..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

A D E B

C

G F

Gb. 2.14

19

GF AC sin sin

Karena DE GF maka DE AC sin sin

Dari (3) dan (4) diperoleh

AE AC cos cos

sehingga AD AE DE

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

jadi

Untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke rumus cos ( + ).

cos ( ) cos ( + ())

cos cos () sin sin ()

cos cos sin (sin )

cos cos + sin sin

jadi

2. Rumus sin ( + ) dan sin ( )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat

rumus seblumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan

cos (90 ) sin

sin ( + ) cos (90 ( + ))

cos ((90 ) )

cos (90 ) cos + sin (90 ) sin

sin cos + cos sin

jadi

Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua

sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).

sin ( ) sin ( + ( ))

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

sin ( + ) sin cos + cos sin

20

sin cos () + cos sin ()

sin cos + cos (sin )

sin cos cos sin

Jadi

3. Rumus tan ( + ) dan tan ( )

Dengan mengingat

cos

sin tan , maka

sin sin cos cos

sin cos cos sin

)( cos

)( sin)( tan

cos

sin

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

cos cos

sin sin cos cos

cos cos

sin cos cos sin

)( tan

tan tan1

tan tan

jadi

Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke tan ( + ).

tan ( ) tan ( + ( ))

)(- tan tan1

)(- tan tan

) tan( tan1

)( tan tan

tan tan1

tan tan

jadi

sin ( ) sin cos cos sin

tan tan1

tan tan)( tan

tan tan1

tan tan)( tan

21

I. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumus-rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat

dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

1. sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos

Jadi

2. cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos2 sin2

Jadi

Rumus-rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat

diturunkan dengan mengingat rumus dasar cos2 + sin2 1.

cos 2 cos2 sin2 cos 2 cos2 sin2

cos2 (1 cos2) (1 sin2) sin2

2cos2 1 1 2 sin2

Sehingga

3.

2tan1

tan 2

tan tan1

tan tan)( tan 2 tan

Jadi

J. Merubah Rumus Perkalian ke Rumus Penjumlahan/Pengurangan

1. Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh :



cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

Jadi

sin 2 2 sin cos

cos 2 cos2 sin2

1) cos 2 cos2 sin2

2) cos 2 2cos2 1

3) cos 2 1 2 sin2

2tan1

tan 2 2 tan

+

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

22



cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

Jadi

2. Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut diperoleh :



sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

Jadi




Jadi

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

+


sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

23

RANGKUMAN

1. Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

2. Tabel tanda nilai keenam perbandingan trigonometri tiap kuadran

3. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

a. perbandingan trigonometri sudut dengan (90 - )

0 30 45 60 90

sin 0 2

1 2

2

1 3

2

1 1

cos 1 32

1 2

2

1

2

1 0

tan 0 33

1 1 3

tak

terdefinisi

cot tak

terdefinisi 3 1 3

3

1 0

Perbandingan

Trigonometri

Kuadran

I II III IV

Sin + + - -

Cos + - - +

Tan + - + -

Csc + + - -

Sec + - - +

Cot + - + -

1) cos90 sin 4) sec90csc

2) sin90 cos 5) csc 90sec

3) cot90 tan 6) tan90 cot

24

1) sin180 sin 4) csc 180csc

2) cos180 cos 5) sec 180sec

3) tan180 tan 6) cot180 cot

b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

c. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 + )

d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

4. Menyelesaikan persamaan trigonometri

a. Jika sin x sin maka

x + k. 360 atau x (180 ) + k. 360 , k B

b. Jika cos x cos maka

x + k. 360 atau x + k. 360, k B

c. Jika tan x tan maka x + k. 180 k B

5. Rumus-rumus trigonometri

a. Jumlah dan selisih dua sudut

1) cos ( + ) cos cos sin sin

2) cos ( ) cos cos + sin sin

3) sin ( + ) sin cos + cos sin

4) sin ( ) sin cos cos sin

1) sin180 sin 4) csc 180csc

2) cos180 cos 5) sec 180sec

3) tan180 tan 6) cot180 cot

1) sin sin 4) cosec cosec

2) cos cos 5) sec sec

3) tan tan 6) cot cot

25

5)

tan tan1

tan tan)( tan

6)

tan tan1

tan tan)( tan

b. Rumus trigonometri untuk sudut rangkap

1) sin 2 2 sin cos

2) cos 2 cos2 sin2

cos 2 2cos2 1

cos 2 1 2 sin2

c. Mengubah Rumus Perkalian ke Penjumlahan/Pengurangan

1) cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

2) cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

3) sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

4) sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin

3)

2tan1

tan 2 2 tan

26

Aplikasi Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari-hari

Trigonometri merupakan alat utama ilmu ukur segitiga. Tigonometri

memiliki banyak aplikasi pada kehidupan sehari-hari, diantaranya pada

bidang teknik sipil dan astronomi.

Trigonometri memili kaitan yang sangat erat dalam kehidupan kita,

baik secara langsung dan tidak langsung. Ilmu perbintangan dan

konstruksi bangunan sangat dibantu oleh hadirnya trigonometri.

Seiring perkembangan jaman, trigonometri terus dikembangkan,

dipadukan dengan disiplin kelimuan lain guna kemaslahatan bersama.

Sebagai bagian dari rentetan artikel tentang aplikasi matematika dalam

kehidupan sehari-hari

Contoh :

28

Soal Latihan

1. Carilah nilai dari

a. sin 120 c. tan 150 e. cot 330

b. cos 300 d. sec 210 f. csc 120

2. Nilai dari sin 45 cos 135 + tan 210 sec 60 = …..

3. Jika cos = 5

4 tan 0 90 maka nilai tan adalah ……

4. Koordinat kutub dari titik (-10,10) adalah…..

5. Koordinat kartesius dari titik (9, 120) adalah …….

6. Hitunglah panjang AB gambar 2.15 disamping

7. Jika nilai tan = x

1 maka nilai dari

cos2 - sin2 = ………..

8. Himpunan penyelesaian dari sin x = 32

1 untuk 0 x 360

adalah …..

9. Himpunan penyelesaian dari sin 2x = sin 30 untuk 0 x 360

adalah ……..

10. Tulislah rumus cos (2x + 3y)!

11. Jika dan sudut-sudut lancip dngan sin = 5

3 dan sin =

13

5,

hitunglah sin ( + )

12. Sederhanakan bentuk

cos 100 cos 10 + sin100 sin 10

13. Persamaan sin x = cos x dipenuhi untuk x = ……

14. Buktikan 1 + tan2 = sec 2

15. Sederhanakan

a. (1 – cos ) (1 + cos )

b. tan2 - sec2

A

B

C 30

12

Gb. 2.15

29

Daftar Pustaka

Bernadeta Etty W, Suparno & Hutomo. (1996). Bahan Ajar STM.

Yogyakarta: PPPG Matematika.

Tumisah P. Jono & Mukimin.(2002). Trigonometri Bahan Ajar Matematika

SMK. Yogyakarta: PPPG Matematika.

Winarno & Al. Krismanto. (2011) Bahan Standarisasi SMU Trigonometri.

Yogyakarta: PPPG Matematika.

abuindri.files.wordpress.com/.../modul-matematika-ke...

setiyaantara.files.wordpress.com/.../modul-matematika...

modul.smkn1-cirebon.sch.id/indexs.php?...doc.../07%2...

30

Petunjuk Penggunaan Program Quis Maker

1. Masukan CD quis maker kami setelah anda mempelajari materi

Trigonometri dari modul yang kami buat.

2. Setelah Anda masukkan CD kuiz kami, silahkan anda klik dua kali

file yang kami beri judul kuis Trigonometri (dalam bentuk Adobe

flash player).

3. Masukkan password untuk mengaksesnya, yakni “0987654321”.

4. Klik START, kemudian akan muncul soal.

5. Pilih jawaban yang menurut anda benar. Setelah selesai menjawab

lalu klik “submit”. Ulangi langkah nomer (5) dalam menjawab soal-

soal selanjutnya.

6. Jawab soal-soal tersebut satu persatu secara teliti.

7. Apabila anda ingin mengubah jawaban yang sudah anda jawab

pada soal sebelumnya, silahkan klik pilihan “prev”, dan silahkan

rubah jawaban anda.

8. Setelah anda selesai mengerjakan 20 soal yang ada, dan anda

sudah yakin akan jawaban anda. Silahkan klik pilihan “submit”.

9. Setelah anda submit jawaban anda, silahkan anda klik pilihan

“result” untuk mengetahui hasilnya, dan nilai dari ujian anda pun

akan keluar.

10. Kriteria kelulusannya adalah 75% atau skor minimal 150.

11. Setelah keluar hasil ujian anda, silahkan klik pilihan “review”.

12. Setelah anda mengklik pilihan review, silahkan anda klik pilihan

“Review Feedback” untuk mengetahui jawaban anda benar atau

salah, serta mengetahui penyelesaian soal untuk jawaban yang

benar.

13. Setelah selesai melihat feedback satu soal, silahkan klik pilihan

“next”. Dan lakukan hal sama pada soal yang lain untuk

mengetahui jawaban anda benar atau salah, serta mengetahui

penyelesaian soal untuk jawaban yang benar.

31

BIODATA ANGGOTA KELOMPOK

Nama : Endang Nurkholis

TTL : Cirebon, 6 April 1993

Alamat : Jl. P. Antasari Blok Desa RT

002/RW 02 Desa Kejuden

Kec. Depok Kab. Cirebon

45115

No. HP : 08996380821

Email : [email protected]

Nama : Aprian Nurdin

TTL : Kuningan, 16 Juni 1992

Alamat : Jl. Raya Cilimus Gg. Kramat

RT 004 / RW 001 Desa Cilimus

Kec. Cilimus Kab. Kuningan

45556

No. HP : 087723066944

Email : [email protected]

32

Deskripsi Kerja Kelompok

Dalam pembuatan proyek UTS ini kami membagi tugas, dimana

Endang Nurkholis bertugas membuat Model Pembelajaran dan Aprian

Nurdin membuat Quiz Maker. Dalam proses pengerjaannya kami saling

membantu satu sama lain. Proses pengerjaan proyek ini kami kerjakan

secara bersama-sama di kampus, kosan teman dan kami mengerjakan

sendiri-sendiri di rumah masing-masing.

Pembuatan Model Pembelajaran

Pada tahap awal kami mengumpulkan materi bahan ajar

yang akan di buat dari berbagai sumber seperti buku dan dari

internet. Setelah kami mendapatkan bahan untuk membuat modul

ini, lalu kami ketik dan copy materi yang sudah kami dapat ke

dalam microsoft word untuk membuat modul ini. Pertama kami

mengetik Isi dari modul ini, lalu dilanjutkan dengan bagian-bagian

yang lainnya. Pengetikan modul ini dilakukan oleh Endang

Nurkholis dengan bantuan dari Aprian Nurdin.

Pembuatan Quiz Maker

Kami mengumpulkan materi yang akan digunakan untuk

membuat quiz maker. Sumbernya dari latihan soal, contoh soal

yang ada di modul, dan dari berbagai sumber lainnya. Pembuatan

quiz maker ini dilakukan oleh Aprian Nurdin dan dibantu oleh

Endang Nurkholis.

Kata Pengantar -...

Documents

Transcript of Kata Pengantar -...