T.C ANKARA ÜNĐVERSĐTESĐ

SOSYAL BĐLĐMLER ENSTĐTÜSÜ ĐŞLETME ANABĐLĐM DALI

DOKTORA PROGRAMI

KARESEL PROGRAMLAMA

(Finansal Optimizasyon Dersi kapsamında Yrd.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ’e sunulmuştur)

Sevgi Eda TUZCU

Ankara, 2010

2

Đçindekiler

Đçindekiler_____________________________________________________________ 2

Giriş _________________________________________________________________ 3

1. Doğrusal Olmayan Programlama ______________________________________ 4

2. Optimizasyon Teknikleri _____________________________________________ 6

3. Karesel Programlama _______________________________________________ 7

3.1. Karesel Form________________________________________________________ 7

3.2. Karesel Programlama_________________________________________________ 8 3.2.1. Karush – Kuhn – Tucker Koşulları ____________________________________________ 9 3.2.2. Optimal Çözümü Bulmak __________________________________________________ 10

4. Markowitz’in Portföy Seçimi Kuramı_____________________________________ 12 4.1.1. Markowitz’ in (1952) Portföy Seçimi Makalesi _________________________________ 13 4.1.2. Karesel Programlama Yardımı ile Portföy Seçimi _______________________________ 15 4.1.3. Markowitz’in Portföy Seçimi Modeli’nin ĐMKB 30 üzerindeki Örnek bir Uygulaması___ 18

Sonuç _______________________________________________________________ 21

Kaynakça ____________________________________________________________ 23

3

Giriş

Doğrusal programlama, tüm sektörlerde ve her düzeyde, karar vericinin amacının

ve kısıtlarının doğrusal olduğu her noktada başarıyla uygulanabilmektedir olan görece

basit bir yöntemdir. Öte yandan, ekonomi ve mühendislik alanlarında ortaya çıkan

problemlerin her zaman doğrusal şekilde ifade edilme şansı olamayabilir. Amaç veya

kısıt fonksiyonlarının birinin ya da birden fazlasının doğrusal olmadığı noktada, doğrusal

olmayan programlamadan yararlanılır.

Karesel programlama, aslında doğrusal olmayan programlamanın bir alt dalı gibi

düşünülebilir. Burada amaç fonksiyonu doğrusal olmayan özel bir formdayken, kısıt

fonksiyonları her zaman doğrusaldır. Ancak, pek çok alandaki önemli uygulamaları ve

doğrusal olmayan programlamanın temellerini oluşturması nedeniyle, karesel

programlama kendi başına bir disiplin olarak ele alınmaktadır.

Bu amaçla, bu çalışmada, öncelikle kısaca doğrusal olmayan formlara örnekler

verilmiş ve doğrusal olmayan programlama tanımlanmıştır. Değişik doğrusal olmayan

programlama modelleri için optimizasyon tekniklerine değinilmiştir. Daha sonraki

bölümde ise, karesel formdaki fonksiyonların genel tanımı ve önemli özellikleri

gösterilmiştir. Çalışma, karesel programlamanın genel matris gösterimi ve optimal çözüm

için geliştirilen tekniklerle devam etmektedir.

Karesel programlamanın, günümüzdeki en önemli uygulamalarından biri finans

alanındadır. Markowitz (1952) tarafından ilk olarak portföy seçimi için ortaya konan

karesel programlama modeli, analistler tarafından geliştirilerek uygulanmaya devam

etmektedir. Bu amaçla, çalışmanın dördüncü bölümünde, Markowitz’in çalışması, ortaya

koyduğu model ve literatürdeki diğer gelişmeler özetlenmiştir. Çalışmaya, ĐMKB 30

endeksinde yer alan işletmeler arasından portföy seçiminin ve bu portföylerin

oluşturduğu etkin sınırın gösterildiği örnek bir uygulama ile son verilmiştir.

4

1. Doğrusal Olmayan Programlama

Doğrusal programlamanın tersine, bu programlama yöntemi, doğrusal olmayan

amaç ve/veya kısıtları ele almaktadır. Bir başka deyişle, doğrusal olmayan bir amaç

fonksiyonunun maksimize veya minimize edildiği yöntemler, doğrusal olmayan

programlamanın konusudur. Bu maksimizasyon ya da minimizasyon, reel sayılar

kümesinde tanımlanmış bir dizi doğrusal olmayan eşitlik veya eşitsizlik altında

gerçekleştirilir (Ravindran, 2008: 2-1). Bu problem tiplerine, mühendislik, fen ve

ekonomi alanlarında sıklıkla rastlanmaktadır.

Aşağıda, doğrusal olmayan kısıtlar ve amaç fonksiyonları izlenebilir.

Şekil 1: Doğrusal olmayan amaç ve kısıt fonksiyonları örneği

Kaynak: Aydın Ulucan, Yöneylem Araştırması, Đşletmecilik Uygulamalı, Bilgisayar Destekli

Modelleme, Siyasal Kitabevi, Ankara: 2007, s.265

Öte yandan, DOP problemlerinin çözümünde genellikle Generalized Reduced

Gradient (GRG) algoritması kullanılır. Ne var ki bu algoritma, global optimal çözümden

farklı olan lokal maksimum veya lokal minimum noktaları, optimal çözüm olarak

gösterebilir (Ulucan, 2007: 266). Bu durumun maksimizasyon için örneği aşağıda

gösterilmektedir.

Uygun Çözüm Bölgesi

Uygun Çözüm Bölgesi

Uygun Çözüm Bölgesi

Amaç Fonksiyonu Optimal Çözüm

Amaç Fonksiyonu Optimal Çözüm

Amaç Fonksiyonu Optimal Çözüm

5

Şekil 2: Lokal ve global optimal çözüm örnekleri

Kaynak: Aydın Ulucan, Yöneylem Araştırması, Đşletmecilik Uygulamalı, Bilgisayar Destekli

Modelleme, Siyasal Kitabevi, Ankara: 2007, s.266

Buna benzer örnekler için, konveks (içbükey) ve konkav (dışbükey)

fonksiyonların tanımlanması, global optimal çözümlerin bulunması açısından önem

taşımaktadır. Fonksiyonların ikinci türevinin alınması ve optimal noktaların birbirileri ile

karşılaştırılarak global noktanın bulunması gerekmektedir.

Optimizasyon problemine genel bir örnek vermek gerekirse;

X ⊆ nℜ ve n Ν∈ olduğuna göre, eşitlik ve eşitsizlik kısıtlarına sahip bir

optimizasyon problemi şu şekilde yazılabilir (Ravindran, 2008: 2-1)

Min f(x) x∈X

s.t. g(x) ≤ 0

h(x) = 0

Burada f: X→ mℜ , g→ pℜ , h: → qℜ ve (m,p,q) ∈N3

Problemde, f fonksiyonu amaç fonksiyonu, g fonksiyonu eşitsizlik şeklindeki kısıt

ve h fonksiyonu eşitlik şeklindeki kısıttır. x∈X optimizasyon değişkeni olarak

adlandırılmaktadır. Eğer x, kısıtları sağlayacak şekilde bir değer alırsa, bu durumda,

uygun çözüm (feasible solution) olarak adlandırılır. Eğer f, g ve h rastsal vektörler ise, bu

Lokal Çözüm

Global Optimal Çözüm

Uygun Çözüm Bölgesi

6

durumda stokastik optimizasyon problemi elde edilir. Rastsal olmadığı durumlarda ise

deterministik optimizasyon problemleri söz konusu olmaktadır (Ravindran, 2008: 2-1).

g ve h fonksiyonlarının tanımlı bulunduğu alanda; p = q = 0 ise kısıtlanmamış

optimizasyon problemi (unconstrained optimization problem) elde edilir. Öte yandan, p

ya da q dan herhangi birinin sıfırdan farklı olması, problemi kısıtlanmış optimizasyon

haline getirir (constrained optimization problem).

Problem tipleri, f fonksiyonun tanımlı lduğu alana göre de farklılık

göstermektedir. Buna göre (Ravindran, 2008: 2-1);

• m = 0 ise problem, fizibilite problemidir.

• m = 1 ise, klasik bir optimizasyon problemi ortaya çıkar. Uygun çözümlerin

bulunduğu alan, uygun çözüm alanı olarak adlandırılır. Eğer bir x vektörü, x*∈X, uygun

çözümü sağlıyorsa, bu durumda optimal çözüm olarak adlandırılır ve f(x*) ise optimal

değer adını alır. X sürekli bir fonksiyon ve amaç fonksiyonu konveks (dışbükey) ise, bu

durumda konveks optimizasyon söz konusu olur.

• m ≥ 2 olduğunda ise çok amaçlı bir optimizasyon problemi (multiobjective

optimization problem) ortaya çıkar. Bu durumda, karar noktaları değil, karar alanı söz

konusu olur ve pareto optimallik aranır.

Literatürde en çok karşılaşılan problem tipleri ise şu şekilde özetlenebilir:

• Amaç fonksiyonu f ve kısıtlar g ve h fonksiyonları doğrusal olabilir. Bu

durumda doğrusal optimizasyon problemleri çözülür.

• Amaç fonksiyonu f karesel (quadratic) ve kısıtlar g ve h doğrusal olabilir. Bu tip

problemler, karesel optimizasyon problemlerine örnektir.

• Amaç fonksiyonu f ile beraber, kısıtlar da karesel olabilir. Söz konusu durum,

karesel olarak sınırlandırılmış karesel optimizasyon problemi olarak isimlendirilir.

2. Optimizasyon Teknikleri

Doğrusal olmayan optimizasyon için kullanılan belli başlı teknikler, 3 başlık

altında sıralanabilir (Ravindran, 2008: 2-3)

7

1. Deterministik Yöntem: Ağırlıklı olarak konveks optimizasyon için kullanılır.

2. Stokastik Yöntem: Bu yöntem temel olarak olasılıklar üzerine kuruludur.

3. Heuristic Yöntem: Karmaşık optimizasyon problemlerinde kullanılan bu

yöntem, her durumda iyi sonuç vermeyebilir. Genellikle diğer 2 yöntem,

uygun çözüm noktasını bulmakta başarılı olamadığında uygulanmaktadır.

3. Karesel Programlama

3.1. Karesel Form

Karesel programlama, doğrusal olmayan programlamanın özel bir dalı olarak

düşünülebilir. Bu yapıda, amaç fonksiyonu f(x), karesel; kısıtlar ise doğrusaldır. Bu

amaçla ilk önce, karesel fonksiyon yapısı tanımlanacaktır.

Karesel n değişkenli bir fonksiyon aşağıdaki gibi ifade edilebilir (Jensen ve Bard,

2003: 332):

f(x) = a + cTx + ½xTQx

Burada, a bir sabit, c ℜ∈ n bir doğrusal terimlerden oluşan katsayı vektördür. Q

ise karesel terimlerden oluşan katsayıları içeren simetrik bir nxn matrisidir. f(x)

fonksiyonunun tüm x değişkenlerine türevi alındığında, gradyan f1 ve Hessian2 matrisine

ulaşılır. Bir başka deyişle;

∇ f(x) = c + Qx ve Q = H

Bir örnek ile açıklamak gerekirse;

f (x) = 3x1x2 + 21x +3 2

2x

∇ f(x) = (3x2 + 2x1, 3x1 + 6x2)T ve Q = H =

63

32

n = 2 olan f (x) kuadratik fonksiyonu matris gösterimi ile şu şekilde gösterilebilir

(Doğan, 1995: 207):

1 Skalar bir alanın gradyanı; skalar alandaki en yüksek artış hızının yönünü gösterir ve fonksiyonun x değişkenlerine göre kısmi türevinin alınması ile elde edilir. 2 Hessain matrisi, bir fonksiyonun 2. Dereceden kısmi türevlerini gösteren kare bir matristir. Bu şekilde, pek çok değişkeni olan bir fonksiyonun yerel kavislerini gösterir.

8

f (x) = a1121x + a12

112x x1

12 + a21221x + a22

22x

A =

2221

1211

aa

aa ve X =

2

1

X

X olarak gösterilebilir. Bu durumda,

f (x) = [ ]21 XX

2221

1211

aa

aa

2

1

X

X = XTAX şeklini alır.

Karesel formla ilgili bazı önemli tanımlamalar şu şekildedir (Doğan, 1995: 210):

• Bütün X ≠ 0 ve XTAX > 0 koşullarını sağlayan karesel forma pozitif

belirli (positive definite) denir.

• Bütün X’ler için XTAX ≥ 0 ise ve sıfırdan farklı en az bir X için XTAX =

0 ise, bu karesel form positive yarı – belirli (positive semi - definite)

olarak adlandırılır.

• Sıfırdan farklı tüm X’ler için (X ≠ 0), XTAX < 0 ise, karesel form, negatif

belirli (negative definit) formdadır.

• Bütün X’ler için XTAX ≤ 0 ve sıfırdan farklı en az bir X için XTAX = 0

ise, karesel fonksiyon, negatif yarı belirlidir (negative semi-definite).

• Karesel form için yukarıdaki durumların hiç biri geçerli değilse, bu

durumda karesel fonksiyon belirli değildir (non – definite).

3.2. Karesel Programlama

Karesel programlama, daha önce de belirtildiği gibi, kısıtlıkları doğrusal, amaç

fonksiyonu ise karesel olan programlama türüdür. Doğrusal olmayan programlamanın

altında yer almasına karşın, pek çok uygulamaya sahip olması nedeniyle, ayrı bir disiplin

olarak değerlendirilmektedir (Jensen ve Bard, 2003: 385). Benzer bir başka tanımla,

karesel programlama; doğrusal eşitsizlik halindeki kısıtlara konu olan ve karesel bir

fonksiyonun uç noktalarında yer alan pek çok gerçek değişkenin sonucunu

belirlemektedir (Wolfe, 1959: 382).

Genel bir karesel programlama örneği şu şekilde gösterilebilir (Sun ve Yuan,

2006: 411) :

9

min Q(x) = ½ xTGx + gTx

s.t. a iT x = bi, i∈E,

a iT x ≥ bi, i∈I, E ve I, E = {1,…,me} ve I = { me+1,…,m} olarak

gösterilen sonlu birer kümedir.

Eğer Hessian matrisini gösteren G matrisi; pozitif yarı belirli ise, bu durumda

karesel programlama, konveks karesel programlama problemine dönüşür ve lokal çözüm

x* aynı zamanda global çözüm olur. G fonksiyonu pozitif belirli ise, bu durumda katı

konveks karesel programlama problemi söz konusudur ve x* tek global çözümdür. G

matrisi tanımsız olduğunda ise, konveks olmayan karesel programlama meydana gelir

(Sun ve Yuan, 2006: 411).

3.2.1. Karush – Kuhn – Tucker Koşulları

Karesel programlamada, Karush – Kuhn – Tucker (KKT) koşulları, G matrisi

pozitif belirli olduğunda global minimum için yeterlidir. Aksi halde ise ancak gerek

koşulları göstermektedir (Jensen ve Bard, 2003: 386).

Min f (x) = cx + ½ xTQx

s.t. Ax ≤ b ve x ≥ 0 karesel programlama modeli için, negatif olmama kısıtı ihmal

edilerek, Lagrange fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir (Jensen ve Bard, 2003: 386).

L (X, µ) = cx + ½ xTQx + µ ( Ax - b)

µ’ in bir m boyutlu sıra vektörü olduğu düşünülürse, lokal minimum için KKT

koşulları şu şekilde olacaktır:

0Xj

L≥

∂∂

, j = 1,...,n c + xTQ + µA ≥ 0

0≤∂∂

i

L

µ, i =1,...,m Ax – b ≤ 0

xji

L

µ∂∂

= 0, j = 1,...,n xT (cT + Qx + ATµ) = 0

µi gi (x) = 0, i=1,...,m µ(Ax – b) = 0

10

xj ≥ 0 j = 1,...,n x ≥ 0

µi ≥ 0 i =1,...,m µ ≥ 0

Yukarıdaki bu fonksiyonların çözüm için kullanması istendiğinde, negatif

olmayan boş değişkenlerin kullanılması gerekmektedir. Bu değişkenler, eşitsizlikleri

eşitlik haline getirmekte kullanılır ve kısıtlardaki kullanılmayan kısmı (fazlalığı) ifade

eder. y nℜ∈ ve v mℜ∈ artık değişkeni, programa eklendiğinde, yukarıdaki denklemler

aşağıdaki gibi gösterilebilir (Jensen ve Bard, 2003: 386).

Tc + Qx + 0=− yA TTµ ve Ax – b + v = 0

Sabit sayılar, sağ tarafa aktarıldığında, KKT koşulları şu hale gelir:

Qx + TTT cyA −=−µ

Ax + v = b

x ≥ 0, µ ≥ 0, y ≥ 0, v ≥ 0

0,0 == vxyT µ

3.2.2. Optimal Çözümü Bulmak

Optimal çözümü bulmada, doğrusal programlamada olduğu gibi simpleks

algoritmasından yararlanılır. Bunun için gerekli adımlar aşağıda sayılmıştır (Jensen ve

Bard, 2003: 387):

• Kısıtlar, KKT koşullarını sağlayacak şekilde yazılır ve eşitlik haline getirilir.

• Sağ taraf değerlerinin (RHS values) negatif olması durumunda, eşitlik -1 ile

çarpılır.

• Minimizasyon problemlerinde yapay değişkenler kullanılır.

• Bu yapay değişkenler, amaç fonksiyonuna da eklenir.

• Sonuçlar, simpleks tablosu ile gösterilir.

Bu yöntem, amaç fonksiyonu pozitif belirli olduğunda oldukça iyi sonuç

vermektedir. Öte yandan, pozitif yarı belirli amaç fonksiyonlarında hesaplamalar da

güçlükler görülebilmektedir (Jensen ve Bard, 2003: 387).

11

Buna ilişkin bir örnek şu şekilde çözülebilir:

Min f(x) = 22

2121 4168 xxxx ++−−

s.t. 521 ≤+ xx ,

31 ≤x ,

01 ≥x , 02 ≥x

KKT koşulları;

Qx + TTT cyA −=−µ

Ax + v = b

x ≥ 0, µ ≥ 0, y ≥ 0, v ≥ 0

0,0 == vxyT µ

=

16

8Tc

=

80

02Q

=

01

11A

=

3

5b

( )21, xxxT = ( )21, yyyT = ( )21, µµµ = ( )21, vvvT =

=

−

+

16

8

01

11

80

02

2

1

2

1

2

1

y

y

x

x

µµ

2x1+ µ1 + µ2 – y1 = 8

8x2 + µ1 –y2 = 16

Ax + v = b

=

+

3

5

01

11

2

1

2

1

v

v

x

x

x1+ x2 + v1 = 5

x1+ v1 = 3

Minimizasyon problemi olduğundan, doğrusal bir şekilde yazabilmek için yapay

değişkenlere de ihtiyacımız vardır.

12

Min a1 + a2 + a3 + a4

s.t. 2x1+ µ1 + µ2 – y1 + a1 = 8

8x2 + µ1 –y2 + a2 = 16

x1+ x2 + v1 + a3 = 5

x1+ v1 + a4 = 3 Bütün değişkenler ≥ 0

Buna göre, simpleks tablosu iterasyonları ile birlikte aşağıdaki sonucu verir.

Đterasyon Temel

Değişkenler

Çözüm Amaç

Fonksiyonu

Çözüme

Giren

Değişken

Çözümden

Çıkan

Değişken

1 (a1, a2, a3, a4) (8, 16, 5, 3) 32 x2 a2

2 (a1, x2, a3, a4) (8, 2, 3, 3) 14 x1 a3

3 (a1, x2, x1, a4) (2, 2, 3, 0) 2 µ1−a4

4 (a1, x2, x1, µ1) (2, 2, 3, 0) 2 µ1−a1

5 (µ2, x2, x1, µ1) (2, 2, 3, 0) 0 –– ––

Tablo 1. Simpleks Çözüm Tablosu

Kaynak: Paul A. Jensen ve Jonathan F. Bard, Operattions Research, Models and Methods, John

Wiley & Sons, Inc., NJ, 2003, s. 388

Buna göre optimal çözüm, ( ) ( ) ( ) ( )2,0,,2,3, *2

*1

*2

*1 == µµxx ve diğer tüm

değişkenlerin 0 olduğu noktadır.

4. Markowitz’in Portföy Seçimi Kuramı

Karesel programlamanın kullanım alanı çok çeşitlidir. Bu alanlara örnekler şu

şekilde sayılabilir (Wolfe, 1959: 382):

• Regresyon: Negatif olmama gibi kısıtlar sağlandığında, eldeki veriye en

uygun küçük kareler yönteminin belirlenmesinde karesel programlama kullanılabilir.

13

• Etkin Üretim: Doğrusal üretim fonksiyonları ve marjinal maliyetler koşulu

altında, kar maksimizasyonu fonksiyonu karesel formda olabilir.

• Konveks Programlama: Karesel bir yaklaşım kullanılarak, doğrusal kısıtlar

altındaki genel konveks fonksiyonun minimumu bulunabilir.

• Portföy Seçimi: Markowitz’in 1952 yılındaki makalesini takip ederek,

maksimum beklenen getiri ve minimum risk kombinasyonları, karesel programlama

yöntemiyle belirlenebilir.

Bu çalışmanın amacı doğrultusunda, Markowitz’in (1952) Portföy Seçimi

makalesi, ayrıntılı olarak ele alınmıştır.

4.1.1. Markowitz’ in (1952) Portföy Seçimi Makalesi

Markowtiz’ e (1952: 77) göre, portföy oluşturma süreci, 2 temel seçime dayanır.

Bunlardan ilki, piyasadaki menkul kıymetlerin gelecek performanslarının tahmin

edilmesi ve istenen menkul kıymetlerin belirlenmesine dayanır. Đkinci seçim ise, bu

menkul kıymetlerin oluşturduğu portföyü belirlemektir. Markowitz (1952), Nobel ödülü

kazanan bu çalışmasında ikinci seçim kriterini ele almıştır.

Markowitz (1952), makalesi boyunca genel olarak, riskten kaçınan bir

yatırımcının aynı getiri düzeyindeki portföylerden, riski düşük olanı seçmesi gerektiğini

vurgulamıştır. Bu amaçla, ortalama – varyans etkin sınırını geliştirmiştir. Bu sınır

aşağıdaki şekilde izlenebilir:

14

Şekil 3: Ulaşılabilir tüm ortalama – varyans kombinasyonları ve etkin sınır

Kaynak: H. Markowitz, “Portfolio Selection”, The Journal of Finance, Vol. 7, No.1, March 1952,

s. 82

Şekil 3’ten de anlaşılabileceği gibi, beklenen getiri ve risk birlikte

değerlendirildiğinde, ulaşılabilecek tüm ortalama – varyans kombinasyonlarından sadece

bir kısmı etkin sınır üzerindedir. Bu sınır üzerinde, veri beklenen getiriye en düşük risk

ile veya veri risk düzeyine en yüksek getiri ile ulaşılabilir. Riskten kaçınan bir

yatırımcının, bu set üzerinde nerede dengeye geleceği ise, yatırımcının risk ve getiri

tercihlerini belirleyen fayda fonksiyonuna bağlıdır (Ravindran, 2008: 21 – 10).

Markowitz’in çalışmasına kadar, portföy oluşturma sürecinde karar değişkeni

olarak, gelecekteki beklenen getirilerin bugüne indirgenmiş değeri kullanılıyordu.

Markowitz ise (1952: 77), yatırımcının sadece beklenene getirisi en yüksek portföyü

seçmesinin doğru olmadığını; portföy çeşitlendirmesi ile çeşitlendirilmemiş portföylere

göre çok daha az risk üstlenildiğini göstermiştir.

Aslında çeşitlendirmeden daha önce, Bernoulli’nin 1738’deki makalesinde de

bahsedilmiştir.3 Bernoulli (1954: 30) makalesinde sahip olunan malların ya da menkul

3 Bernoulli’nin makalesi 1954 yılında Latince’den Đngilizce’ye çevirilerek, Econometrica dergisinde yayınlanmıştır.

15

kıymetlerin hepsinin aynı riske maruz kalmasındansa, pek çok küçük parçaya bölünerek,

risk düzeyinin azaltımasını önermektedir.

Rubinstein’in 50 yıl sonraki değerlendirmesine göre (2002: 1042), Markowitz’in

literatüre en büyük katkısı, yatırımcı için önemli olanın menkul kıymetin bireysel

riskinden çok, tüm portföy varyansına katkısı olduğunu göstermesidir. Bu durumda,

menkul kıymetler arası kovaryanslar da dikkate alınmaktadır. Menkul kıymetler arası

ilişki dikkate alındığında, portföyün sistematik olmayan riski azaltılabilmekte veya

sıfırlanabilmektedir (Markowitz, 1952: 89). Varyansları birbirine eşit iki portföyün

bileşiminden oluşturulan yeni portföyün varyansı daha düşük olmaktadır. Bu nedenle

riskten kaçınan yatırımcı, elimine edilebilen bu riski üstlenmemelidir. Markowitz ayrıca,

çalışmasında portföy seçiminde çeşitlendirme yapılırken; önemli olanın çok miktarda

menkul kıymetin portföye dahil edilmesinden çok, getirileri birbirine zıt yönlü olarak

olarak değişen menkul kıymetlerden yararlanılması olduğunu belirtmektedir (1952: 89).

Gökçe ve Cura’nın (2003: 80), ĐMKB 30 endeksi üzerinde yaptıkları çalışma, iyi

çeşitlendirilmiş bir portföyün 12 ila 14 menkul kıymet içermesi gerektiğini

göstermektedir. Çalışmalarına göre, bu noktadan sonra portföye eklenen menkul

kıymetler, sistematik riski %1’den daha az azaltmaktadır.

Markowitz’in portföy seçimi makalesini geliştiren bir diğer çalışma ise, Chen, Jen

ve Zionts’e (1971) aittir. Söz konusu çalışmada, öncelikle Markowitz’in 2 kısıtlı karesel

programlama modelinden yararlanılarak, işlem maliyetlerini de dikkate alan tek dönemli

bir portföy gözden geçirme modeli kurulmuştur. Bu model, yatırımcının elinde

bulundurduğu portföyü hemen değiştirmesi gerektiğinde, yeni optimal portföyünü karesel

programlama yöntemiyle hesaplamaktadır. Model, öncelikle 2 varlık için, sonrasında ise

n tane varlık için türetilmiştir. Çalışmanın diğer kısmında ise, dinamik programlamadan

yaralanılarak 2 varlıklı bir portföyün 2’den fazla dönemde yeniden yapılandırılması

sağlanmıştır.

4.1.2. Karesel Programlama Yardımı ile Portföy Seçimi

Markowitz’in (1952) çalışmasında gösterdiği etkin sınır (her beklenen getiri

düzeyindeki minimum risk), karesel programlama yardımıyla elde edilebilmektedir.

16

Burada amaç, portföy varyansının minimize edilmesidir. Dolayısıyla amaç fonksiyonu

(Ulucan, 2007: 274),

Min ∑∑= =

N

i

N

jijşi xx

1 1

σ

N = mevcut varlık sayısı

ijσ = i ve j varlıkları arasındaki kovaryans değerini (i, j = 1,...,N)

xi = karar değişkenleri (menkul kıymetler)

Markowitz (1952) modeli, 2 kısıtı içermektedir. Đlk kısıt, hedeflenen getiri

düzeyine ulaşılması ile ilgilidir:

∑=

=N

iii Rx

1

µ iµ = i varlığının getirisi (i =1,...,N)

R = hedeflenen getiri düzeyi

Đkinci kısıt ise, portföydeki varlıkların ağırlıklarının toplamının 1 olmasını sağlar:

∑=

=N

iix

1

1

Açığa satışın olmadığı varsayıldığından, karar değişkenleri 0 ile 1 arasında

değişecektir. Buna göre model genel olarak aşağıdaki gösterilebilir.

Min ∑∑= =

N

i

N

jijşi xx

1 1

σ

s.t. ∑=

≥N

iii Rx

1

µ , ∑=

=N

iix

1

1, 10 ≤≤ ix , i =1,..,N

Markowitz’in karesel programlama modelini, Yalçıner, Atan ve Boztosun (2005),

ĐMKB 100 endeksi üzerine uygulamışlardır. Yalçıner ve diğerleri (2005), ĐMKB 100

endeksinin getirisine eşit ancak daha düşük riskli bir portföy oluşturmayı hedeflemiştir.

N. varlığı, endeksin getirisi olarak alan çalışma, kalan N-1 varlığın getirisi üzerinde bir

kısıt oluşturmuştur (Yalçıner ve diğerleri, 2005: 73 - 74). Bu durumda, karesel

programlama modeli aşağıdaki halini almıştır:

17

Min ∑∑= =

N

i

N

jijşi xx

1 1

σ

s.t. ∑−

=

=1

1

N

iNiix µµ , ∑

−

=

=1

1

1N

iix , 1−=Nx , Nx sınırsız,

10 ≤≤ ix , i =1,..,(n-1)

Amaç fonksiyonu, N tane varlığın riskini edecek şekilde, Markowitz modelinin

aynıdır. Đlk kısıt, endeks dışında kalan N-1 varlığın getirisinin, endeks getirisine eşit

olmasını ifade eder. Portföy içerisindeki N-1 varlığın toplam ağırlığı 1’e eşit olmalıdır.

Öte yandan, amaç fonksiyonu içerisinde N tane varlık bulunduğundan, N. varlık olarak

tanımlanan endeksin, N-1 varlığa karşılık gelmesi için ağırlığı -1 olarak belirlenmiştir.

Model, ĐMKB 100 endeksi içinde yer alan 97 şirket üzerine Ocak 2003 - Temmuz

2004 dönemleri arasında uygulanmıştır. Ortalama getiriler, 15 günlük, aylık ve üçer aylık

dönemler halinde hesaplanmıştır. Bu sayede ĐMKB 100 endeksine eşit getiri sağlayan

portföylerin oluşturduğu etkin sınırlar, değişik dönemler itibariyle karşılaştırılabilmiştir.

Yalçıner ve diğerlerinin (2005: 77 - 81) elde ettiği sonuçlar şu şekilde

özetlenebilir:

• Onbeş günlük periyotlar halinde hesaplanan etkin sınır, aylık periyotlarla

hesaplanana göre, daha diktir. Yatırımcının getirisini %100 arttırmak için katlanması

gereken risk düzeyi %19 oranında artmaktadır. Bir başka deyişle, yatırımcının riskindeki

artış, getirisindeki artışın çok altında kalmaktadır.

• Aylık periyotlarla hesaplanan etkin sınıra göre, yatırımcı, getirisini %100

arttırabilmek için % 585’lik bir risk artışına katlanmak zorunda kalmaktadır. Buna göre,

aylık dönemler halinde portföy oluşturan yatırımcılara, minimum risk düzeyinde

kalmaları önerilebilir.

• Üçer aylık yatırım dönemlerini kapsayan portföyler, iki bölüme ayrılıp

incelenebilir. Buna göre, ilk bölümde yatırımcı hedeflenen getirisini %35 arttırdığı halde,

katlandığı risk %30 oranında azalmaktadır. Yalçıner ve diğerleri (2005: 79), riskteki bu

azalmayı, portföy bileşimindeki hisse senetlerinin endeksle korelasyonunun çok küçük ve

18

negatif olması ile açıklamaktadır. Öte yandan, yatırımcı, hedeflenen getirisini %40’tan,

%100’e kadar arttırdığında, katlandığı riskin % 439 arttığı görülmektedir. Bu durumda,

rasyonel bir yatırımcı, hedeflenen getiriyi % 35’ten daha fazla arttırmayacaktır.

Yalçıner ve diğerlerinin (2005) çalışması sonucunda, yatırımcıların endekse eşit

bir getiriyi daha düşük risk düzeyinde elde etmesi için, yatırım dönemlerini onbeş günlük

ve üç aylık olarak belirlemeleri önerilebilir.

4.1.3. Markowitz’in Portföy Seçimi Modeli’nin ĐMKB 30 üzerindeki

Örnek bir Uygulaması

Çalışmanın bu bölümünde, Markowitz’in oluşturduğu karesel programlama

modelinin ĐMKB 30 üzerindeki örnek bir uygulaması gösterilmek istenmiştir. Bu amaçla,

ĐMKB 30’u oluşturan şirketlerin 2009 yılına ait aylık hisse senedi getirileri elde

edilmiştir. Şirketler belirlenirken, 2009 yılını oluşturan dört çeyrek boyunca, endekste

kalmayı başaran işletmeler çalışmaya dahil edilmiş; dört çeyreğin herhangi birinde ĐMKB

30 endeksinde yer almayan işletmeler analizden çıkarılmıştır. Bu nedenle, toplam 27

şirket verisi, portföy seçim probleminde kullanılmıştır.

Örnek uygulama, Ulucan’ın (2007) çalışması temel alınmıştır. Analiz, Microsoft

Excel programının Solver eklentisi yardımıyla gerçekleştirilmiştir. Đlk analizde,

hedeflenen getiri olarak ĐMKB 30’un 2009 yılı ortalama getirisi (%12) belirlenmiştir.

ĐMKB 30 hisse senetlerinin varyans ve kovaryanslarına göre, portföyde olması gereken

menkul kıymetler ve ağırlıkları hesaplanmıştır. Daha sonra ise analiz, değişik hedeflenen

getiri seviyeleri için tekrarlanmış ve her seviye için varyansı minimize edecek portföy

bileşimleri elde edilmiştir. Sonuçlar, aşağıdaki tablodan izlenebilir:

19

Hisse Senetlerinin Portföy Đçerisindeki Ağırlığı Hedeflenen

Getiri Portföy

Varyansı AKBNK AKGRT AEFES ASYAB BIMAS DOHOL ENKAĐ EREGL GARAN ISCTR KRDMD KCHOL PETKIM SAHOL 10.00% 0.00377 0.00 0.00 0.30 0.00 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

10.50% 0.00414 0.00 0.00 0.26 0.00 0.00 0.00 0.21 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

11.00% 0.00457 0.00 0.00 0.22 0.00 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

11.50% 0.00505 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.00 0.19 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12.00% 0.00558 0.00 0.00 0.13 0.00 0.00 0.00 0.18 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

12.50% 0.00615 0.00 0.00 0.08 0.00 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

13.00% 0.00677 0.00 0.00 0.04 0.00 0.00 0.00 0.16 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

13.50% 0.00743 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

14.00% 0.00817 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.08 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

14.50% 0.00900 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

15.00% 0.01041 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

Hisse Senetlerinin Portföy Đçerisindeki Ağırlığı

Hedeflenen Getiri

Portföy Varyansı SKBNK SISE HALKB TEBNK TAVHL TKFEN TOASO TCELL TUPRS THYAO TTKOM VAKBN YKBNK

Toplam Ağırlık

10.00% 0.00377 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.08 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.00 1.00

10.50% 0.00414 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.11 0.00 0.00 0.42 0.00 0.00 0.00 1.00

11.00% 0.00457 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.14 0.00 0.00 0.45 0.00 0.00 0.00 1.00

11.50% 0.00505 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.48 0.00 0.01 0.00 1.00

12.00% 0.00558 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.16 0.00 0.00 0.50 0.00 0.03 0.00 1.00

12.50% 0.00615 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.53 0.00 0.05 0.00 1.00

13.00% 0.00677 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.18 0.00 0.00 0.55 0.00 0.06 0.00 1.00

13.50% 0.00743 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.19 0.00 0.00 0.58 0.00 0.08 0.00 1.00

14.00% 0.00817 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.23 0.00 0.00 0.60 0.00 0.08 0.00 1.00

14.50% 0.00900 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.27 0.00 0.00 0.63 0.00 0.09 0.00 1.00

15.00% 0.01041 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.17 0.00 0.00 0.79 0.00 0.04 0.00 1.00

Tablo 2. Değişik Hedeflenen Getiri Düzeyleri için Portföy Bileşimleri ve Risk Düzeyleri

20

Değişik beklenen getiri ve risk düzeylerinin grafik ile gösterimi sayesinde,

Markowitz modelinin etkin sınırı elde edilmiştir. Etkin sınır, şekil 4’te izlenebilmektedir.

Etkin Sınır

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

Portföy Varyansı

Be

klen

en

Get

iri

Şekil 4: ĐMKB 30 Şirketlerinin % 10 - % 15 beklenen getiri seviyesi için

oluşturduğu etkin sınır.

Etkin sınır grafiğine göre, yatırımcı, başlangıçta %10 olan getiri beklentisini,

ĐMKB 30 endeksinin yıllık ortalama getirisi olan %12 düzeyine getirmek isterse,

üstlendiği risk, % 48.22 artacaktır. ĐMKB 30 endeksinin 100 baz puan üzerinde getiri

sağlamak istediğinde, katlanması gereken fazladan risk, % 8.33 olacaktır. Öte yandan,

portföyün beklenen getirisini % 50 arttırmak için, portföy riskindeki genel artış % 176.48

olarak hesaplanmıştır.

Rasyonel yatırımcı, ĐMKB 30 endeksine bağlı bir portföy oluşturuken, mutlaka bu

etkin sınır üzerinde kalmaya dikkat edecektir. Çünkü bu sınırın altında seçtiği noktalarda,

veri getiri düzeyinde daha fazla riske katlanmak zorunda kalacaktır. Bir başka deyişle,

etkin sınırın altındaki noktalarda katlandığı fazladan riski telafi edecek getiriyi

sağlayamayacaktır. Etkin sınır üzerinde hangi noktada yatırım yapılacağı ise, rasyonel

yatırımcının fayda fonksiyonu, bir başka deyişle, risk algısı tarafından belirlenecektir.

21

Sonuç

Karesel programlama, alanındaki önemli uygulamaları nedeniyle, uzun süredir

kendi başına bir disiplin olarak kabul edilmektedir. Bu uygulamalardan finans alanındaki

en belirgin olanlarından biri Markowitz’in 1952 yılında geliştirdiği modeldir.

Markowitz makalesinde, çeşitlendirmenin riskten kaçınan bir yatırımcı için

önemini vurgulamıştır. Ancak çalışmanın literatüre asıl katkısı, sadece portföy

çeşitlendirilmesini ortaya koyması değildir. Nitekim, Bernoulli (1954), kendisinden çok

önce bu konuya değinmiştir. Markowitz’in asıl katkısı, önemli olanın menkul kıymetlerin

bireysel riskinden çok, portföyün toplam riskine etkisi olduğunu göstermesi ve bunu

menkul kıymetlerin arasındaki kovaryansı dikkate alan karesel bir programlama yöntemi

ile ortaya koymasıdır. Bu şekilde sağlanan ortalama- varyans etkin sınırı ileride CAPM’in

temeli olacaktır. Makalede ayrıca, çeşitlendirmede önemli olanın, portföye eklenen

menkul kıymet sayısından çok, aralarında pozitiften başka ilişki bulunan menkul

kıymetlerin seçilmesi olduğu da vurgulanmaktadır. Çalışmada bu durum şu şekilde

belirtilmektedir (Markowitz, 1952: 89): “Önemli olan “doğru şekilde”çeşitlendirmenin

“doğru nedenle” yapılmasıdır. Altmış değişik demir yolu menkul kıymetinden oluşan bir

portföy; demir yolları, kamu hizmetleri, madencilik vb menkul kıymetlerden oluşan bir

diğer portföy kadar iyi çeşitlendirilmiş olmayacaktır. Bunun nedeni, aynı endüstride

birbirine çok benzeyen firmaların, farklı endüstride olanlara göre aynı anda kötü

performans göstermelerinin daha olası olmasıdır. ” Nitekim, Gökçe ve Cura’nın (2003:

80), ĐMKB 30 endeksi üzerinde yaptıkları çalışma da, Türkiye’de iyi çeşitlendirilmiş bir

portföyün 12 ila 14 menkul kıymet içermesi gerektiğini ortaya koymuştur.

Markowitz’in bu önemli çalışması, daha sonra işlem maliyetlerini dikkate alacak

ve portföyün yeniden yapılandırılmasına imkan sağlayack şekilde tekrar düzenlenmiştir

(Chen, Jen ve Zionts, 1971).

Yalçıner ve diğerleri (2005) çalışmalarında, Markowitz modelini kullanarak

ĐMKB 100 endeksinin getirisine eşit ancak daha düşük riskli bir portföy oluşturmayı

hedeflemiştir. Bu amaçla modifiye ettikleri modeli, 15 günlük, aylık ve 3 aylık periyotlar

için uygulamışlardır. Çıkan sonuçlar, yatırımcıların endekse eşit bir getiriyi daha düşük

22

risk düzeyinde elde etmesi için, yatırım dönemlerini onbeş günlük ve üç aylık olarak

belirlemeleri yönündedir.

Çalışmamızda ise, Markowitz modelinin bir örneği, ĐMKB 30 endeksinde yer alan

işletmeler arasından oluşturulacak bir portföy için 2009 yılı aylık verilerinden

yaralanılarak gerçekleştirilmiştir. Değişik beklenen getiri düzeylerinde, katlanılacak risk

düzeyleri, söz konusu işletmelerden oluşan portföyler için bir etkin sınır halinde

gösterilmiştir. Elde edilen sonuçlar, rasyonel yatırımcının beklenen getiri düzeyini,

ĐMKB 30 endeksinin ortalama yıllık getirisinin 100 baz puan üzerine çıkarması için,

riskini % 21.29 arttırması gerektiğini işaret etmektedir. Getiri düzeyini %50 arttırmak

isteyen yatırımcı ise (% 10’dan % 15’e), % 176.48’lik bir risk artışına maruz kalmaktadır.

23

Kaynakça

Bernoulli, D., “Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk”, Econometrica,

Vol.22, No.1, 1954 s. 23 – 36

Chen, A., F. C. Jen ve S. Zionts, “The Optimal Portfolio Revision Policy”, The Journal of

Business, Vol. 44, No.1, Ocak 1971, s. 51- 61

Doğani Đ., Yöneylem Araştırması Teknikleri ve Đşletme Uygulamaları, Bilim ve Teknik

Yayınevi, Đstanbul, 1995

Gökçe, A. ve T. Cura, “ĐMKB Hisse Senedi Piyasalarında Đyi Çeşitlendirilmiş Portföy

Büyüklüğünün Araştırılması”, Đstanbul Üniversitesi Đşletme Fakültesi, Đşletme

Đktisadı Enstitüsü Dergisi Yönetim, Yıl: 14, Sayı: 44, Şubat 2003 s. 63 - 81

Jensen P. Ve J. Bard, Operations Research Models and Methods, John Wiley and Sons,

Inc, NJ, 2003

Markowitz, H., “Portfolio Selection”, The Journal of Finance, Vol. 7, No:1, Mart 1952,

s. 77 - 91

Ravindran, R., Operations Research and Management Science Handbook, CRC Press

Taylor and Francis Group, Boca Raton, 2008

Rubinstein, M., “Markowitz’s “Portfolio Selection”: A Fifty – Year Retroperspective”,

The Journal of Finance, Vol. 57, No. 3, s. 1041 - 1045

Sun W. ve Y. Yuan, Optimization Theory and Methods, Nonlinear Programming,

Springer, New York, 2006

Ulucan, A., Yöneylem Araştırması, Đşletmecilik Uygulamalı, Bilgisayar Destekli

Modelleme, Siyasal Kitabevi, Ankara, 2007

Wolfe, P., “The Simplex Method for Quadratic Programming”, Econometrica, Vol. 27,

No: 3, July 1959, s.382 – 398

Yalçıner, K., M. Atan ve D. Boztosun, “Karesel Programlama Yönteminin ĐMKB 100

Endeksine Uygulanması ve Portföy Optimizasyonu”, Đktisat Đşletme ve Finans

Dergisi, Sayı: 232, Yıl: 20, Temmuz 2005, s. 70 - 82