Kapitel 9Kapitel 9 - Lunds tekniska högskola

Kapitel 9Kapitel 9Kap.9, Kompressibel p , p

strömning

Kapitel 9Kapitel 9Kompressibel strömningp g

Ekvationer:

Inkompressibel:Kompressibel:

•Kontinuitet•Kontinuitet

•Impuls

Ob k t

•Impuls

•EnergiObekanta:

Hastighet, tryck•Tillståndsekv.

Obekanta:

Hastighet, tryck, densitet, energi (entalpi, temperatur)( p , p )


Termodynamik, en kort repetition

Ideal gas: gas som följer tillståndsekvationen RTp ρ=

Gaskonstanten R Λ= ( )Kkg

J 8314=ΛAllmänna gaskonstantenM

R ( )gM Molmassan

ccR −= vp ccR

v

p

cc

k = Isentropkoefficient

pc

vc

Specifik värmekapacitet vid konstant tryck

Specifik värmekapacitet vid konstant volymv p p y

Perfekt gas: Ideal gas med konstanta cp och cv



∫2

Inre energi ∫=−1

12 ˆˆ dTcuu v

∫2

ˆˆ dThhE t l i

Om cp och cv konstanta: ( )1212 ˆˆ TTcuu v −=−

( )ˆˆ TTchh =∫=−1

12 dTchh pEntalpi ( )1212 TTchh p −=−



Isentrop tillståndsändring (adiabatisk, reversibel)

0ˆ =+= pdvuddqrTillfört värme

vdppdvudpvudhd ++=+= ˆˆˆ

dqpdvudvdphd =+=− ˆˆ

Entalpi

rdqpdvudvdphd =+=

Tdqds r=Entropi

pdvuddphdTds +=−= ˆˆρ ρ

1=v

ρ ρ



pdvuddphdTds +=−= ˆˆ pρ

vdvRTdTc

pdpRTdTcTds vp +=−=

vpp

∫∫∫∫∫ +==22222

dvRdTcdpRdTcds

Isentrop

∫∫∫∫∫ +=−=11111

vR

Tc

pR

Tcds vp

21 ss = pTp 21

1

2

1

2 lnlnppR

TTcp =

T

kkk

TT

pp

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

1

21

1

2

1

2

ρρ

1

2

1

2 lnlnρρR

TTcv =

p ⎠⎝⎠⎝ 111 ρ


Ljudhastigheten

Betrakta en tryckvåg som

C

ppp

Δ+Δ+

ρpρBetrakta en tryckvåg som

rör sig med hastigheten CV

TTΔ

Δ+

0=VTρ

Låt nu vågen stå stilla goch gasen vara i rörelse

TTppp

Δ+Δ+Δ+

ρT

pρ

VCVTT

Δ−=Δ+

CVT=


Ljudhastigheten

ppp

Δ+Δ+

ρpρ

Impuls ( )∑ −= VVmF &

VCVTT

Δ−=Δ+

CVT=

Impuls ( )∑ = inut VVmF

( ) ( )( )CVCACApppA −Δ−=Δ+− ρVCΔΔ VCp Δ=Δ ρ

Kontinuitet ( )( )AVCAC Δ−Δ+= ρρρ

ρρρΔ+

Δ=Δ CV

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ+

ΔΔ

=⇒Δ+

Δ=Δ⇒

⎪

⎪⎬⎫

Δ+Δ

=Δρρ

ρρρρρρρ

ρ122 pCCpCV

⎠⎝ΔΔ+⎪⎭Δ=Δ ρρρρρ VCp


Ljudhastigheten

ppp

Δ+Δ+

ρpρ

⎞⎛ ΔΔ ρp

VCVTT

Δ−=Δ+

CVT=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ Δ+

ΔΔ

=ρρ

ρ12 pC

I en ljudvåg är småρΔΔ ,p

Låt 220 apC =∂∂

=⇒→Δρ ljudhastigheten∂ρ

ρ

Adiabatisk processkonstkonst == ∂

∂=

∂∂

=⇒Ts

pkpaρρ konst.konst. == Ts

Fö id l äll kRTkpFör ideal gas gäller kRTpa ==ρ

Kapitel 9Kapitel 9Kompressibel strömning

När kan strömning antas vara inkompressibel?

( ) ∂∂∂∂ u∂∂ρ

p g

( )xu

xu

xu

xu

∂∂

≈∂∂

+∂∂

=∂

∂ ρρρρxu

xu

∂∂

<<∂∂ ρρ

dvs.

dVdKan skrivas som:

VdVd

<<ρρ

VV =

ρdadp 2=

ljudhastigheten

Från Bernoulli: VdVdp ρ−=

ljudhastigheten

11 22

2

22 <<⇔<<⇔<< MaVdpdp

MachtaletVanligen sätts gränsen vid:

30≤Ma222 aVa ρρ 3.0≤Ma


Ma < 0.3 Inkompressibel

0 3 < Ma < 0 8 Subsonisk strömning0.3 < Ma < 0.8 Subsonisk strömning

0.8 < Ma < 1.2 Transonisk strömning

1 2 < Ma < 3 0 Supersonisk strömning1.2 < Ma < 3.0 Supersonisk strömning

3.0 < Ma Hypersonisk strömning


Adiabatisk och isentrop stationär strömning

Sätt upp energiekvationen längs en strömlinje (försumma axeleffekt) vwqgzVhgzVh +−++=++ 2

2221

211 2

1ˆ21ˆ

För gaser är försumbar( )12 zzg −

För y större än gällerTδ ⎨⎧ = 0wv

02

222

11ˆkonstant1ˆ1ˆ hVhVh ==+=+y gT

⎩⎨ = 0q

02211 22

Perfekt gas: 0

2ˆ TcVTcTch ppp =+⇒=

Stagnationsentalpig 02 ppp

Definition: Stagnationsentalpi/temperatur = den entalpi/temperatur gasen erhåller då den bromsas till vila adiabatiskt

20

211 Mak

TT −

+=


Adiabatisk och isentrop stationär strömningkk

Om strömningen är isentrop: 12100

211

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kk

kk

MakTT

pp

Notera att stagnationstryck och

1211

00

211

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

kk

kMak

TT

ρρ

stagnationsdensitet ej är konstanta vid adiabatiskt strömning utan endast om t ö i ä i t

ρ

Kritiska värden, värden då Ma=1

*1

* ⎞⎛Både stagnationsvärdena

h d k iti k ä d ä

strömningen är isentrop.

0

*

12+

=

k

kTT

1

1

0

*

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

−

kk

ρρ och de kritiska värdena är

användbara som referensvärden

1

0

*

12 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

kk

kpp 2

1

0

*

12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

kaa


Isentrop strömning med areaförändring

y( )xh

( )yxV , Antag nu

1. Mycket tunna gränsskiktdhx

( )R

2. Liten areaökning

3. Stor kurvatur1<<

dxdh

( ) ( )xRxh <<( )xR

( ) ( )

y ( )xV

x

y( )xh

( )xV


Isentrop strömning med areaförändring

Kontinuitet ( ) ( ) ( ) konstant== mxAxVx &ρ

Diff ti k ti it t h i l k tiDifferentiera kontinuitets och impuls ekvationerna:

dAdVdρ ⎫

10

0

dpdAdVVdVdpA

dAVdVd

ρρ

−==⇒⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+

=++

22

21

0VMaAV

dadp

VdVρ

ρρ

=−

=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎬

=

=+

⎪⎭


Isentrop strömning med areaförändring 22 11

Vdp

MaAdA

VdV

ρ−=

−=

1<Ma 1>Ma

0dA 0>dA

0<dA 0<dA

1012

=⇒=⇒=

MadAMa annars ofysikaliskt!

i minsta sektionen∞→dV


Raka stötar (adiabatisk men ej reversibel)

1

1

Vρ

2

Vρ

1

1

1

pAV

2

2

pAV

1

1

1

ˆ

sh

p

2

2

ˆ

sh

p

1

1

Mas

2

2

Mas

Kontinuitet 222111 VAVA ρρ =

Impuls 2111

22222211 VAVAApAp ρρ −=−

Stöt1112222211 pp ρρ

Energi 02

222

11ˆkonstant

21ˆ

21ˆ hVhVh ==+=+

22 VV

(3)

0

22

2

21

1 22TcVTcVTc ppp =+=+

Kapitel 9Kapitel 9Kompressibel strömning 1ρ 2ρp g

Raka stötar (adiabatisk men ej reversibel)1

1

1

1

h

pAV

2

2

2

2

2

h

pAVρ

VV ρρ = (1)1

1

1

Mas

2

2

2

Mash

⇒≈ 21 AA2211 VV ρρ =

211

22221 VVpp ρρ −=−

(1)

(2)11

02

222

11ˆ

21ˆ

21ˆ hVhVh =+=+ (3)

E t iä d i ö tötEntropiändring över en stöt:

∫∫∫ +==−222

12dvRdTcdsss ∫∫∫ +==

111

12 vR

Tcdsss v

1212 ρRTss −

2

1

1

212 lnlnρρ

vv cR

TT

css

+=


Entropiändring över en stöt:

För en perfekt gas gäller:För en perfekt gas gäller:

22

2

11

1

Tp

Tp

ρρ=

21

12

1

2

ρρ

pp

TT

=⇒ Dessutom: 1−=−

= kc

cccR

v

vp

v2211 ρρ 211 ρp

⎥⎤

⎢⎡

⎟⎞

⎜⎛

=−

kpss 1212 ln ρ

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝v pc 21

lnρ

Endast kompressionsstöt möjlig, dvs. p2 > p1p j g, p2 p1



1

1

1

h

pAV

2

2

2

2

2

h

pAVρ

VV ρρ = (1)1

1

1

Mas

2

2

2

Mash

⇒≈ 21 AA2211 VV ρρ =

211

22221 VVpp ρρ −=−

(1)

(2)11

02

222

11ˆ

21ˆ

21ˆ hVhVh =+=+ (3)

( ) ( )11ˆ

−=

⎟⎞

⎜⎛

=⎟⎞

⎜⎛

=−

===k

kpc

pccc

pcRpcTch pppp ρ

ρρρ ( ) ( )1111

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

− kkc

ccccR

p

vp

vp ρρρρρ

22 kVVKombinera (1), (2) och (3) 21

1

21

1

211 kMa

kRTkV

pV

==ρ



1

1

1

h

pAV

2

2

2

2

2

h

pAVρ

1

1

1

Mas

2

2

2

Mash

Kombinera (1), (2) och (3)

( )⎤⎡21 2112 Vp ρ

22 kVV

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+= 12

11

1

11

1

2 kpV

kpp ρ

21

1

21

1

211 kMa

kRTkV

pV

==ρ

Använd:

( )[ ]121

1 21

1

2 −−+

= kkMakp

p(4)

12 >p

om 11 >Ma11>

pom 1



1

1

1

h

pAV

2

2

2

2

2

h

pAVρ

1

1

1

Mas

2

2

2

Mash

(2) kan skrivas som

212 1 kMap +22

1

1

2

11

kMakMa

pp

++

=

( ) 21 2Mk 11 MMInför (4)

( )( )12

2121

212

2 −−+−

=⇒kkMa

MakMa 11 21 <⇒> MaMa

**121221 11

AATTVVppssMaMa >><>

01020102

12121212 TTpp

AATTVV=<

>><> ρρ


Dysor

AVm ρ=&

mm && = då 1=Ma **** VAm ρ=&maxmm = då 1=Ma VAm ρ=

Att ytterligare sänka pb kommer inte att y g pbändra massflödet eftersom 1max =Ma

1121

0*1

1

0***

max 12

12 RT

kA

kVAm

kρρ

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+==&

( )( )( )2

1

00*

1121

21

12 RTA

kk

kk

ρ−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=


Dysor

Konvergent-divergent

Notera, överjudsströmning i utloppet endast i fall G,H och I,

Film


FILMFILM


Rörströmning med friktion



OBS! Eftersom stagnationsvärdena varierar längs röret måste de kritiska värdena avvändas som referens

Kritisk längd : den längd på röret som ger soniska förhållanden*L

( )( ) 2

2

2

2*

121ln

211

MakMak

kk

kMaMa

DfL

−+++

+−

= Finns i tabell B3( )



M MVilken längd krävs för att öka Machtalet från till ?LΔ 1Ma 2Ma

** ⎞⎛⎞⎛Δ fLfLL

21⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ΔDfL

DfL

DLf



Strypning, subsoniskt inlopp ( )1*

1 MaLL = ( )2*

2 MaLL =

1<Ma 1M11 <Ma

112 << MaMa

1=Ma

1<Ma 1=Ma

12mm && <

2



Strypning, supersoniskt inlopp

11 >Ma

I. Överljudsströmning i hela röret

L ökar II. Stöt någonstans på vägen ger underljudsströmning sista biten

III. Massflödet minskar inte förrän röretsIII. Massflödet minskar inte förrän rörets längd påverkar dysan så att *AAt ≠

Kapitel 9Kapitel 9 - Lunds tekniska högskola

Documents

Transcript of Kapitel 9Kapitel 9 - Lunds tekniska högskola