Kapitel 2 Modellbildung und Identi...

Kapitel 2

Modellbildung und Identi¿kation

Bisher wurde die Struktur von Regelkreisen untersucht. Dazu wurden die Wirkung der einzelnen Systemteile und ihre Funktion im Regelkreis qualitativ betrachtet.

Für den Reglerentwurf ist jedoch eine quantitative Beschreibung des zeitlichen Verhaltens derRegelstrecke erforderlich. Theoretisch ist es bei technischen Anlagen immer möglich, anhandder physikalischen Gesetze und der Bilanzgleichungen (z.B. Energieerhaltung, Impulserhaltung, Erhaltung der Masse und Erhaltung der Ladung) die Regelstrecke durch mathematischeGleichungen zu beschreiben. Die Lösung dieser Gleichungen liefert dann das gesuchte EinAusgangsverhalten des Systems.

Bei komplexen Systemen ist dieses Vorgehen zu aufwendig und häu¿g für einen zufriedenstellenden Reglerentwurf gar nicht erforderlich. Anstelle der mathematischen Analyse wirdexperimentell ein mathematisches Modell bestimmt. Dazu wird die Eingangsgröße des Systems in genau de¿nierter Weise verändert es werden Testfunktionen aufgeschaltet etwaum Sollwertverstellungen (Sprungfunktionen) oder periodische Änderungen der Führungsgröße (sinusförmige Testfunktionen) nachzubilden. Die Systemantwort wird dann verglichenmit der Systemantwort von bekannten mathematischen Modellen. Gegebenenfalls. wird einbekanntes mathematisches Modell angepasst.

Als mathematisches Modell wird also ein Modellansatz gewählt, der im allgemeinen nochfreie Parameter enthält, die dann so bestimmt werden, dass die gemessene Sprungantwort mitder Sprungantwort des Modells möglichst gut übereinstimmt. Für den Reglerentwurf genügtes dabei oft, stark vereinfachende Näherungen anzusetzen. Für diese einfachen Regelstreckenkann dann ein Regler entworfen werden. Wenn die Reglerstruktur so beschaffen ist, dass geringe Schwankungen der Streckenparameter das Systemverhalten nur wenig verändern (solcheRegler nennt man robust), dann kann der so entworfene Regler auch für die ursprüngliche Regelstrecke eingesetzt werden.

Entscheidend ist das Zeitverhalten und nicht die gerätetechnische Realisierung von Regelstrecken und Regler. Für die Zusammenschaltung der Systeme ist das Signalübertragungsverhalten maßgebend. Im Folgenden werden daher einfache Teilsysteme untersucht, die für eineangenäherte Beschreibung von komplexen Systemen geeignet sind. Solche elementare Übertragungsglieder treten in allen Anwendungsbereichen auf.

13

2.1 ElementareÜbertragungsglieder 14

In den folgenden Abschnitten wird ein Katalog von häu¿g vorkommenden ”elementaren”Übertragungsgliedern zusammengestellt. Als Testfunktion wird dazu eine Sprungfunktion gewählt. Die Sprungfunktion ist für t � t0 Null und ändert sich zum Zeitpunkt t � t0sprungförmigauf den Wert xe. Wenn xe � 1 gilt, spricht man vom Einheitssprung. Die so de¿nierte unstetigeFunktion bezeichnet man mit J�t � t0�� Häu¿g wird dabei t0 � 0 gewählt.

2.1 Elementare Übertragungsglieder

Im letzten Kapitel wurden die Regelkreise aus einzelnen Systemblöcken wie Regler, Stellglied, Regelstrecke und Messeinrichtung zusammengesetzt. Eine solche Beschreibung wirdBlockschaltbild genannt. Wenn nicht die Funktion des Teilsystems im Vordergrund steht, sondern der EinÀuss auf das Zeitverhalten von vorgegebenen Eingangsgrößen, dann ist es zweckmäßiger, die Systeme durch Übertragungsglieder darzustellen. Die Zusammenschaltung von

Übertragungsgliedern nennt man SignalÀussplan.

2.1.1 Das Proportionalglied (P–Glied)

Von einem idealen Stellglied wird man erwarten, dass die Stellgröße direkt proportional zurangelegten Eingangsgröße (dem Stellsignal) ist. Mathematisch besteht also ein linearer Zusammenhang zwischen Eingangs und Ausgangsgröße

xa � K P � xe (2.1)

Die Proportionalitätskonstante K p wird nach der Norm DIN 19226 als Proportionalbeiwert bezeichnet. Wird die Eingangsgröße sprungförmig verändert, dann reagiert auch die Ausgangsgröße sprungförmig:

xe

t

xa

t

Kp

Sprungantwort eines PGliedes


In der Realität wird das Ausgangssignal stets gegenüber dem Eingangssignal zeitlich verzögert. (Unstetige Funktionen treten in der Physik nicht auf.) Entscheidend ist das Verhältnis zuden anderen zeitlichen Änderungen im System. Für Charakterisierung von ”schnellen” Systemen ist eine Beschreibung als Proportionalglied (PGlied) häu¿g sehr zweckmäßig.

Für die gra¿sche Darstellung von Teilsystemen, deren Zeitverhalten bekannt ist, wählt manoft einen Block mit eingezeichneter Sprungantwort.

Das Blocksymbol eines PGliedes ist im Bild dargestellt.

! !xe xa

K P

Beispiele für technische Systeme mit P–Verhalten:

Neben den Stellgliedern werden vor allem Regler mit PVerhalten eingesetzt. In diesem Fallwird ein Stellsignal erzeugt, das proportional zur Regeldifferenz ist. So kann z. B. für dieoben betrachtete Regelstrecke zur Füllstandsregelung auf einfache Weise ein mechanischerPRegler entwickelt werden.

a) Regler für Füllstandsregelung

Ein Sensor, der für die Bestimmung der Füllstandshöhe eingesetzt wird, ist der Schwimmer.Wird an der Schwimmerstange ein Hebel befestigt, so kann auf diese Weise direkt ohne Hilfsenergie ein Ventil, das den ZuÀuss steuert, geöffnet oder geschlossen werden. Man erhältdamit also einen Regler ohne Hilfsenergie.

�

�

∆xw

∆h

Mechanischer Regler ohne Hilfsenergie

Aufgrund der Ähnlichkeit der beiden in der obigen Abbildung angegebenen Dreiecke kannder Zusammenhang zwischen Regeldifferenz und Stellsignal direkt angegeben werden. Bezeichnet man den Ventilhub mit �h, so erhält man wie folgt über die Tangensfunktion denProportionalitätsbeiwert:


tan�:� � �h

a� �x*

b

" �h � a

b��x* � K )

P ��x*

Normiert auf einen stationären Arbeitspunkt h0� x*0

" �h

h0

� a

b� x*0

h0

� �x*

x*0

mit xa � �h

h0

� K P � a

b� x*0

h0

� xe � �x*

x*0

" xa � K P � xe

Der EinÀuss der verschiedenen ”Reglerparameter” kann direkt aus der Abbildung entnommenwerden. Verändert man den Drehpunkt, so wird über das Verhältnis von a zu b der Proportionalitätsbeiwert K P beeinÀusst. Je größer K P ist, um so größer wird der Ventilhub bei einervorgegebenen Regeldifferenz. Um so schneller reagiert also der Regler. Der Sollwert für dieRegelgröße kann durch den Hebeldrehpunkt an der Schwimmerstange verändert werden.

Ein weiteres Teilsystem, von dem üblicherweise PVerhalten verlangt wird, ist das Messglied.Dies soll an einem Sensor zur Lagemessung demonstriert werden.

b) Potentiometer zur Messung von Lage bzw. Winkel

Ein einfacher analoger Sensor, der ein zur Lage bzw. zum Winkel proportionales Spannungssignal liefert, ist das Potentiometer.

+

- α

Ua

Ua

U0

Ua

R1

R2

U0

Ua

Der Abstand des Schleifers von einem der Endpunkte des Potentiometers entspricht der zumessenden Größe.

Nach dem Ohm’schen Gesetz U � R � I gilt:

Ua � R2 � I und U0 � �R1 � R2� � I


" Ua � R2

R1 � R2

� U0

mit R2 � Cx � x bzw. R2 � C: � :

und �R1 � R2� � Cx � xmax bzw. �R1 � R2� � C: � :max

" Ua � U0

xmax

� x bzw. Ua � U0

:max

� :

Betrachtet man anstelle der ursprünglichen Signale die auf den Maximalwert bzw. auf dieVersorgungsspannung bezogenen Werte, so erhält man nach der Normierung auf xmax �U0

bzw. :max �U0

" xa � Ua

U0

und xe � x

xmax

bzw. xe � :

:max

" xa � K P � xe mit K P � 1

Ein zum oben betrachteten Spannungsteiler analoges Bauelement ist der Druckteiler, der insbesondere in pneumatischen Reglern eingesetzt wird.

c) Druckteiler

Ein System, das sich ähnlich verhält wie ein Spannungsteiler ist der Druckteiler. Er besteht auszwei Strömungswiderständen, die z. B. durch Laminardrosseln realisiert werden können. Einemögliche Resalisierung für eine solche Drossel ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

2r

l

Laminardrossel

Mit den angegebenen Abmessungen erhält man nach dem HagenPoiseulle’schen Gesetz:

q � Hr4

8@l�p1 � p2� (2.2)

Dabei ist @ die dynamische Zähigkeit des Gases. Für trokene Luft bei 293K ist z. B. @ = 1,8Pa s.De¿niert man mit

W � 8@l

Hr4(2.3)

den Strömungswiderstand, dann erhält man eine mit dem Ohmschen Gesetz vergleichbareBeziehung:

p1 � p2 � W q� (2.4)


Analog zum Spannungsteiler kann damit ein Druckteiler aufgebaut werden (Abbildung).

pa;q

a=0

p1

p2

W1

W2

Druckteiler

Nimmt man an, dass kein Volumenstrom qa am Ausgang des Druckteilers entnommen wird,

dann erhält man eine zum Spannungsteiler analoge Beziehung

pa � p2 � W2

W1 � W2

� �p1 � p2�� (2.5)

Der Druck p2 kann z. B. dem Atmosphärendruck entsprechen. Mit einer geeigneten Bezugsgröße p0 können die Eingangs und Ausgangsgrößen de¿niert werden

xe � �p1 � p2�

p0

� xe � p1� p2

p0

(2.6)

Für den Proportionalbeiwert erhält man dann

K p � W2

W1 � W2

(2.7)

und damit den für das PGlied vorgegebenen proportionalen Zusammenhang.

xa � K P � xe� (2.8)

Ein weiteres Beispiel für einen Regler ist der auf Operationsverstärkern basierende elektronische PRegler.

d) Elektronischer P–Regler

Operationsverstärker sind mehrstu¿ge Spannungsverstärker mit großer Bandbreite und großerVerstärkung. Im Idealfall ist die Verstärkung unendlich und der Eingangsstrom Null. Mitdieser Eigenschaft kann das Ein Augangsverhalten durch die äußere Beschaltung festgelegtwerden.

Ua

UaU�

U� Ud


Die am Ausgang anliegende Spannung Ua ist proportional zur Spannungsdifferenz Ud � U��U� , die sich aus den an den beiden Eingängen anliegenden Spannungen ergibt.

Bei unendlicher Verstärkung muss die Differenzspannung Ud verschwinden. Wird in die Rückführung des Operationsverstärkers ein Widerstand gelegt, dann kann auf sehr einfache Weiseein elektronischer Summierer realisiert werden.

Mit der Anwendung des 1. Kirchhoff’schen Satzes folgt:

I1 � I2 � Id � 0 % Id � ��I1 � I2�

Das zweite Kirchhoff’sche Gesetz liefert zusammen mit dem Ohm’schen Gesetz :

I1 � U1

R1

� I2 � U2

R2

� I0 � Ua

R0

" Ua

R0

� �t

U1

R1

� U2

R2

u

% Ua � �t

R0

R1

� U1 � R0

R2

� U2

u

Normiert man die Spannungen auf eine Bezugsspannung Ub , so erhält man bei bekanntenWerten für R1� R2� R0 die Beziehung:

"t

Ua

Ub

u

� � R0

R1

�t

U1

Ub

u

� R0

R2

�t

U2

Ub

u

führt man für die bezogenen Variablen neue Größen ein, so ergibt sich mit

xa � Ua

Ub

� x1 � U1

Ub

� x2 � U2

Ub

� K P1� R0

R1

� K P2

R0

R2

" die Gleichung

xa � �K P1 � x1 � K P2 � x2

Wenn nun x1 dem negativen Sollwert �xs entspricht und x2 die Regelgröße ist, dann entsprichtdie Ausgangsgröße dem mit K P multiplizierten Wert der Regeldifferenz. Auf diese Weisekann also ein elektronischer PRegler realisiert werden, der intern bereits den SollIstwert Vergleich vornimmt.

e) Pneumatischer P–Regler

In vielen Anwendungen ist es zweckmäßig, anstelle von elektronischen Reglern pneumatischeRegler einzusetzen. Dies gilt insbesondere für explosionsgefährdete Bereiche. Meist wird dortfür die Stellglieder sowieso eine Luftdruckversorgung benötigt, so dass dafür keine zusätzlicher Aufwand notwendig ist.

Ähnlich wie beim elektronischen Regler wird ein Verstärkerelement benötigt. Ein solches Element steht mit dem DüsePrallplatteSystem zur Verfügung.


Versorgungsdruckp

v

Prallplatte

Ejektor-Düse

pa,q

a= 0

h

DüsePrallplatteSystem

Bereits geringe Abstandsänderungen zwischen Düse und Prallplatte führen zu erheblichenÄnderungen des Ausgangsdrucks. Dabei wird angenommen, dass kein Luftvolumenstrom fürdie Ausgangsleitung erforderlich ist.

1,0

0,2

50 100

Normbereich

bar

p

m

h

µ

Kennlinie eines DüsePrallplatteSystems

Werden die Luftdrucksignale mit Hilfe von Metallfaltenbälgen in Kräfte umgeformt, die amBalken wirken, so kann damit leicht die Regeldifferenz gebildet werden. Das DüsePrallplatteSystem sorgt in diesem Fall dafür, dass zusammen mit dem Stelldruck py das Kräftegleichgewicht am Balken aufrecht erhalten wird.

Der im Regler eingebaute pneumatische Leistungsverstärker dient zur Entkopplung des Systems.


l0

l1

l2

pw px

py

pv

A

Pneumatischer PRegler

Im Gleichgewichtszustand gilt:

F0 � l0 � F1 � l1 � F2 � l2

mit F0 � py � A � F1 � p* � A � F2 � px � A

Unter der Annahme, dass l1 � l2 � l ist, folgt:

py � l

l0

� �p* � px�

Normiert auf einen Bezugswert pb � 1bar

so erhält man mit xa � py

pb

� * � p*

pb

� x � px

pb

� K P � l

l0

die Gleichung

xa � K P � �* � x�

Analog zum elektronischen Regler werden dem Sollwert und der Regelgröße Drucksignale zugeordnet. Das Ausgangsdrucksignal des pneumatischen Reglers kann häu¿g direkt alsStellsignal für pneumatische Stellglieder benutzt werden.

2.1.2 Das Integrierglied (I–Glied)

Wird anstelle eines direkten proportionalen Zusammenhangs zwischen Eingangs und Ausgangsgröße die zeitliche Änderung der Ausgangsgröße proportional zur Eingangsgröße angepasst, dann erhält man folgendes mathematische Modell:

Axa � K I � xe (2.9)


Die Konstante K I wird Integrierbeiwert genannt.

Besitzt die Ausgangsgröße zu einem Zeitpunkt t0 den Wert xa�t0� , dann erhält man für dieAusgangsgröße zum Zeitpunkt t folgenden Wert:

xa�t� � xa�t0�� K I �= t

t0

xe�K � dK (2.10)

Das Integrierglied speichert also den Wert zum Zeitpunkt t0, falls die Eingangsgröße verschwindet. Es besitzt ”Erinnerungsvermögen”.

Die Ausgangsgröße ist für xe�t� � J�t � t0�eine Rampenfunktion, die zum Zeitpunkt t0.beimWert xa�t0� startet. Sie ist im folgenden Bild dargestellt

xe

t

xa

tt0

t0

xa0

Für den Spezialfall xe�t� � J�t� und xa�t0� � 0 folgt aus der Integration:

xa�t� � K I � t � J�t� (2.11)

Die Rampenfunktion beginnt nun im Ursprung. Der aufgeschaltete Wert (beim Einheitssprungalso der Wert 1) wird nach der Zeit 1�K I erreicht. Diese Zeit wird daher auch Nachstellzeit

Tn genannt(Biild)

xe

t

xa

t

1 1

Tn

De¿nition der Nachstellzeit


.

Dementsprechend besitzt das Blocksymbol des IGliedes die folgende Darstellung:

Ki

xa

xe

Blocksymbol des IGliedes

Anstelle der Konstanten K I wird manchmal auch die Nachstellzeit Tn an die linke obere Eckedes Blocks angeschrieben.

Beispiele für technische Systeme mit I–Verhalten:

Bezeichnend für Systeme mit IVerhalten ist die Akkumulation der Eingangsgröße. Dementsprechend enthalten alle Systeme, die Speicherverhalten aufweisen, ein Integrierglied. Als erstes Beispiel soll ein Flüssigkeitsbehälter betrachtet werden. Ein solcher Behälter wurde bereits im letzten Kapitel in Zusammenhang mit der Füllstandsregelung untersucht.

a) Regelstrecke der Füllstandsregelung (Behälter)

Eingangsgröße dieser Regelstrecke ist der ZuÀuss, der über ein Ventil eingestellt werden kann.Der AbÀuss soll zunächst als konstant angesehen werden können, eventuelle Änderungen müssen dann als Störung berücksichtigt werden. Die Regelgröße sei das Flüssigkeitsniveau. DieseGröße kann entweder direkt über einen Schwimmer oder indirekt über einen Drucksensor erfasst werden.

Das mathematische Modell erhält man aus Bilanzbetrachtungen.

q1

q2

ÜberlaufZufluss

Abfluss

Regelstrecke der Füllstandsregelung

Für die zeitliche Änderung des Volumens gilt:


dx

dt� A � q1 � q2 (2.12)

% x � q1 � q2

Um eine dimensionslose Beschreibung des Systems zu erhalten, wird die Gleichung auf konstante Bezugswerte normiert:

Axa � AV �T0

V0� xe � �q

q0� K I � T0 � q0

V0

" Axa � K I � xe

Der hydrostatische Druck am Behälterboden ergibt sich aus folgender Beziehung:

p � m � g

A

% p � I � V � g

A

% p � I � g

A� V

Schließlich folgt aus der zeitlichen Ableitung ein mathematisches Modell mit dem Druck alsAusgangsgröße.

Ap�t� � I � g

A� AV �t� (2.13)

Wenn anstelle von inkompressiblen Flüssigkeiten gasförmige Medien untersucht werden, dannmuss die Zustandsgleichung für Gase bei der Herleitung des mathematischen Modells berücksichtigt werden. Als zweites Beispiel soll dieser Fall betrachtet werden.

b) Druckkessel

Temperaturabsolute:

teGaskonstanspezielle:

Gasesdes Dichtemittlere:

Gasesdes Masse:

Zustrom:

volumen Behälter:

Behälterim Druck:

0

0

T

R

m

q

V

p

i

ρm

V

p

0

q

Druckbehälter


Setzt man voraus, dass nur isotherme Zustandsänderungen erfolgen, dann erhält man aus derZustandsgleichung für ideale Gase:

p�t� � V0 � m�t� � Ri � T

die Beziehung

p�t� � Ri � T

V0

� m�t�

Für die zeitliche Änderung ergibt sich daraus:

Ap�t� � Ri � T

V0

� Am�t�

Setzt man voraus, dass die Dichte sich nur wenig ändert, dann kann eine mittlere Dichteangenommen werden. Für den Massenstrom gilt dann

Am � I0 � q

Eingesetzt führt dies auf die Gleichung:

Ap�t� � Ri � T � I0

V0

� q

Der konstante Vorfaktor zeigt an, wieviel Gas gespeichert werden kann. Man de¿niert daherdie Speicherkapazität

K B � V0

Ri � T � I0

.

Eingesetzt führt dies zum mathematischen Modell des Integriergliedes:

Ap�t� � 1

K B

� q

Ein wichtiges Stellglied, das IVerhalten aufweist, ist der im nächsten Beispiel betrachtetehydraulische Hubkolben, der insbesondere dann eingesetzt wird, wenn große Stellkräfte aufgebracht werden müssen.

c) Hydraulischer Hubkolben

q

AVxk

xk : Kolbenhubq: Zu– bzw. AbÀußA: KolbenÀächeV : Volumen

Unter der Annahme, dass die Kompressibilität des Mediums vernachlässigbar klein ist und derVolumenstrom q konstant ist, ergibt sich das folgende mathematische Modell:

�xk � A � �V


Abgeleitet nach der Zeit folgt daraus wieder die bekannte Gleichung des Integriergliedes

� Axk � 1

A�� AV % � Axk � 1

A� q

Wesentlicher Bestandteil eines analog realisierten PIReglers ist der elektronische Integrierer,der im nächsten Beispiel untersucht werden soll.

d) Elektronischer Integrierer

Wie beim Summierer ist auch beim Integrierer ein Operationsverstärker in geeigneter Weisezu beschalten. Das Prinzipschaltbild ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

CR1 i2i1

u1ua

Setzt man wieder voraus, dass es sich um einen idealen Operationsverstärkter handelt, dannverschwindet der Eingangsstrom und die Spannungsdifferenz zwischen dem invertierendenund dem nicht invertierenden Eingang. Aus dem zweiten Kirchhoffschen Gesetz (der Maschenregel) folgt dann, dass am Widerstand R1 die Spannung u1 und an der Kapazität C dieSpannung ua anliegt.

Da die Kapazität eines Kondensators de¿niert ist als gespeicherte Ladung Q bei der Spannung u am Kondensator und der Strom i die Ladungsänderung pro Zeiteinheit ist, gilt für denZusammenhang zwischen Strom und Spannung am Kondensator:

" i2 � C � dua

dt

Der Strom i1 kann mit dem Ohmschen Gesetz berechnet werden.

i1 � u1

R1

Aus dem ersten Kirchhoffschen Gesetz (Knotenregel) folgt, dass die Summe der Ströme i1

und i2 Null ist. Es gilt also

i2 � �i1 (2.14)

Setzt man die oben angegebenen Ströme in diese Gleichung ein, so folgt damit das mathematische Modell des elektronischen Integrierers:


Aua � � 1

R1 � C� u1

Der Vorfaktor 1R1�C stellt den Integrierbeiwert dar. Er besitzt die Einheit 1�s�

Aua � K I � u1

Der Kehrwert von K I ist die Zeitkonstante des Integrierers.

Normiert auf eine Bezugsspannung um mit K I � � T0

R�C ergibt sich:

ua�t�

um

� �vt

u0�t�

um

u

� 1

R � C� T0

= t

t0

t

u1�K �

um

u

dK

w

2.1.3 Das Differenzierglied (D–Glied)

Ein zum Integrierglied inverses Glied ist das Differenzierglied. Die Ausgangsgröße des Differenziergliedes ist proportional zur zeitlichen Änderung der Eingangsgröße. Es besitzt daherdas folgende mathematische Modell:

xa � K D � Axe (2.15)

Die Konstante K D wird Differenzierbeiwert (DBeiwert) genannt.

Falls die Änderungsgeschwindigkeit der Eingangsgröße nicht gemessen werden kann, ist dasDGlied nur näherungsweise realisierbar. Dies wird deutlich, wenn man die Sprungantwortdes DGliedes untersucht. Die Ableitung der Sprungfunktion existiert bei t � 0 nicht. Nähertman den Sprung durch eine trapezförmige Funktion an, so erhält man Rechteckimpulse alsAusgangsgrößen.

t t

xe xa

Im Grenzfall wird aus dem Rechteckimpuls ein DiracImpuls (= � Funktion). Das Integralüber diese Funktion besitzt den Wert Eins.

Für das Blocksymbol wurde dementsprechend folgende Darstellung gewählt:

KD

xa

xe

Blocksymbol eines DGliedes


2.1.4 Das Totzeitglied (Tt–Glied)

Ein Übertragungsglied, das immer dann auftritt, wenn Transportvorgänge im System vorkommen, ist das Totzeitglied. Die Signalform wird beim Totzeitglied nicht verändert, sondern nurzeitlich verzögert

Das mathematische Modell des Totzeitgliedes ergibt sich daher aus der Eingangsfunktion dadurch, dass die unabhängige Variable t durch die verzögerte Variable t � Tt ersetzt wird:

xa�t� � xe�t � Tt� (2.16)

Wird als Eingangssignal die Einheitssprungfunktion verwendet, so gilt:

xa�t� � J�t � Tt � (2.17)

Der Zusammenhang zwischen Eingangs– und Ausgangssignal ist in der folgenden Abbildungdargestellt:

xe

t

xa

t

1 1

Tt

Sprungantwort eines Totzeitgliedes

Dies führt zu dem Blocksymbol

! !xe xa

K Tt

Beispiel eines technischen Systems mit Totzeitverhalten:

Das bekannteste Beispiel für ein System mit Totzeitverhalten ist ein Förderband, mit dem z.B.Granulat transportiert wird.


l

Cω

Wird durch eine Verstellung des Schiebers eine sprungförmige Änderung des Massenstromsvorgenommen, so erscheint diese Änderung erst nach der Zeit Tt � l

a�� am Ausgang.

Zur Demonstration der Auswirkung von Totzeitgliedern in Regelkreisen wird im Folgendeneine Regelstrecke bestehend aus einem Totzeitglied und einem Integrierglied mit einem schaltenden Regler untersucht. Im Gegensatz zu den kontinuierlichen Reglern wird bei schaltendenReglern nur zwischen wenigen Stellsignalwerten umgeschaltet. Ein Zweipunktregler besitztnur zwei mögliche Ausgangssignalwerte. Ein solcher Regler kann z.B. mit einem Relais realisiert werden. Um ein häu¿ges Umschalten zu vermeiden, wird meist eine Schaltdifferenz(Schalthysterese) in den Regler eingebaut.

Im Folgenden wird eine Sollwertverstellung für eine Regelstrecke ohne Ausgleich mit einemZweipunktregler mit Schaltdifferenz genauer untersucht. Da am Eingang des Integriergliedesstets eine Konstante anliegt, besteht der Zeitverlauf der Regelgröße aus geraden Stücken mitunterschiedlicher Steigung. Die Regeldifferenz kann nicht exakt ausgeregelt werden, vielmehrschwingt die Ausgangsgröße um den Sollwert. Die Amplitude dieser Regelschwingung ist abhängig von der Größe der Totzeit und von der Breite der Schalthysterese. In den nachfolgendenAbbildungen sind der Regelfehler, das Stellsignal und die Regelgröße in Abhängigkeit von derZeit dargestellt.

Wenn anstelle des Integriergliedes ein PT1Glied in der Regelstrecke auftritt, dann wird anstelle der geraden Stücke jeweils ein exponentieller Verlauf auftreten.

2.1.5 Verzögerungsglied 1.Ordnung (P–T1–Glied)

Beim Verzögerungsglied 1. Ordnung ist die Änderung der Ausgangsgröße nicht nur von derEingangsgröße (wie beim Integrierer), sondern außerdem auch noch vom momentanen Wertder Ausgangsgröße abhängig. Im Allgemeinen wirkt die Ausgangsgröße einer weiteren Änderung entgegen.

Das mathematische Modell dieses Übertragungsgliedes ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung:

Axa � �a � xa � b � xe (2.18)


Zur Lösung von derartigen Gleichungen wird in der Mathematik zunächst die homogene Differentialgleichung untersucht und dann die inhomogene Differentialgleichung durch Variationder Konstanten bestimmt. In der Regelungstechnik weist das Lösungsverfahren über das Faltungsintegral Vorteile gegenüber der mathematischen Methode auf. Zur Erläuterung diesesLösungsverfahrens wird angenommen, dass die Eingangsgröße durch Rechteckimpulse approximiert werden kann. Zunächst wird die Auswirkung eines einzigen Rechteckimpulses aufdie Ausgangsgröße untersucht. Für den Anfangswert der Ausgangsgröße soll gelten:

xa�t0� � 0 (2.19)

Wenn die Impulsbreite �t sehr klein ist, dann hat die Rückwirkung der Ausgangsgröße zunächst wenig EinÀuss, so dass das Übertragungsglied wie ein Integrierglied behandelt werdenkann. Nach der Zeit �t besitzt die Ausgangsgröße xa den Wert:

�xa � b � xe ��t (2.20)

Nach dieser Zeit wirkt keine Eingangsgröße mehr auf das System. Es muss dann also diehomogene Differentialgleichung mit dem Anfangswert �xa untersucht werden:

xe

xe

tt0 t1

�t

mit a ��t v b � xe

gilt die Beziehung �xa � b � xe ��t

undzur Zeit t � t1 ist xe�t� � 0

Axa � �a � xa

Die Lösung dieser Gleichung kann nun leicht durch Trennung der Variablen erfolgen.

= xa�t�

xa�t1�

1

xdx �

= t

t1

��a� dK (2.21)

" ln xa�t�� ln xa�t1� � �a � �t � t1�

% xa�t�

xa�t1�� e�a��t�t1�

% xa�t� � xa�t1� � e�a��t�t1�

% xa�t� � b � xe � e�a��t�t1��t


Eingangs– und Ausgangssignal für einen Rechteckimpuls sind in der folgenden Abbildungdargestellt:

1,0

T=1/a t

Xa

t

Xe

Impulsantwort eines PT1Gliedes

Die Systemantwort auf einen derartigen Impuls bezeichnet man auch als Impulsantwort oderGewichtsfunktion.

g�t� � b � e�a�t (2.22)

Die Antwort des Verzögerungsgliedes auf einer Eingangsfunktion, die durch Rechteckimpulseapproximiert worden ist, kann durch Überlagerung der einzelnen Impulsantworten erzeugtwerden. Für sehr kleine �t muss die Summation durch Integration ersetzt werden. Zu einemZeitpunkt t müssen dann die Werte der Eingangsfunktionen aus der Vergangenheit mit derGewichtsfunktion bewertet werden. Diese Operation bezeichnet man auch als Faltung und dasaus der Überlagerung resultierende Integral als Faltungsintegral.


)(txe

t

τ∆

t - t

.

xa�t� �= t

t0

g�t � K� � xe�K � dK (2.23)

Das Faltungsintegral wird nun dazu benutzt, um die Sprungantwort des Verzögerungsgliedeszu bestimmen. Die Eingangsfunktion ist in diesem Fall für t 0 eine Konstante. Wenn dieSprunghöhe xe beträgt, dann folgt mit dem Faltungsintegral:

xa�t� �= t

0

b � xe � e�a��t�K� dK

Da die Integrationsvariable K ist, kann die Gewichtsfunktion aufgeteilt werden. Zieht man dieKonstantenanteile vor das Integral, so folgt

% xa�t� �= t

0

b � xe � e�a�t � ea�K dK

% xa�t� � b � xe � e�a�t= t

0

�ea�K dK

% xa�t� � b � xe � e�a�t � 1

a�

b

ea�t � 1c

% xa�t� � xe � b

a�

b

1 � e�a�t c

Eingangs– und Ausgangssignal sind in der folgenden Darstellung abgebildet. Man erkennt,dass die Abweichung vom stationären Endwert exponentiell abklingt.


T=1/a

Kp

1

t

xe xa

ta

Sprungantwort des PT1Gliedes

Der Zeitverlauf des Ausgangssignals kann durch die Zeit, nach der die Abweichung vom Endwert auf e�1 abgesunken ist, charakterisiert werden. Wie man leicht sieht, kann diese Zeit ausder Tangente für t � 0 leicht bestimmt werden. e

Die so gefundene Zeit T � 1a

wird als Zeitkonstante bezeichnet.

Im Blocksymbol wird die oben beschriebene Sprungantwort dargestellt.

xe

xa

Kp T

Blocksymbol eines PT1Gliedes

Aus dem mathematischen Modell des PT1�Gliedes kann eine zur Differentialgleichung

Axa � �a � xa � b � xe

äquivalente Integralgleichung abgeleitet werden:

xa�t� � xa�t0��= t

0

�a � xa � b � xe dK

Mit Hilfe der Blocksymbole für das IGlied und für das PGlied kann ein SignalÀussplanangegeben werden, durch den diese Gleichung beschrieben wird.


! !! !�

"

� ??????�bxa�t0�

a

��xaxe

Beispiele technischer Systeme mit P–T1–Verhalten:

Wie aus dem Strukturbild ersichtlich ist, enthalten PT1Glieder einen Systemteil mit integrierendem Verhalten. Die beiden bekanntesten PT1�Glieder sind das DrosselSpeicherSystemin der Verfahrenstechnik und das RCGlied in der Elektrotechnik.

a) Drossel–Speicher System

Fügt man in die Zuleitung zu einem Behälter einen Strömungswiderstand (eine Drossel) ein,dann gilt, wie beim Druckteiler gezeigt wurde, für die Druckdifferenz ein zum Volumenstromproportionaler Zusammenhang:

q � 1

W� �p1 � p2� und

Der Behälter selbst weist integrierendes Verhalten auf:

Ap2�t� � 1KB

� q

q � p1

p2q � 0

W

K B

p1: Druck in der Leitungp2: Druck im Behälterq: Zustrom

KB : Speicherkapazität des BehältersW : Strömungswiderstand der Drossel

Eliminiert man den Volumenstrom, so ergibt sich das bekannte mathematische Modell einesPT1Gliedes.

Ap2 � � 1K B W

� p2 � 1KB W

� p1

Ein vollständig analoges Verhalten ergibt sich, wenn der Strömungswiderstand durch einenOhmschen Widerstand und der Behälter durch einen elektrischen Kondensator ersetzt werden. Das so entstandene RCGlied wird auch als Tiefpass bezeichnet. Wie noch gezeigt wird,können damit hochfrequente Störungen herausge¿ltert werden.

b) RC–Glied


ue

u R

uCZC

R

Nach dem Ohm’schen Gesetz gilt:

ue � Zges � i � u R � R � i � uC � ZC � i

weiterhin gilt:

i � dQ

dt� C � duc

dt

mit ue � u R � uC

" ue � R � i � uC

% ue � R � C � duc

dt� uC

% ue � R � C � AuC � uC

% AuC � � 1

R � C� uC � 1

R � C� ue

Lange Zeit war der fremderregte Gleichstrommotor das wichtigste Stellglied für geregelteAntriebe. Inzwischen werden zwar häu¿g stattdessen elektronisch kommutierte Maschineneingesetzt. Ihr mathematisches Modell kann jedoch in analoger Weise hergeleitet werden undunterscheidet sich nur geringfügig von dem im Folgenden beschriebenen mathematischen Modell der Gleichstrommaschine.

c) Fremderregter Gleichstrommotor mit Last

Im nachfolgenden Bild sind die Komponenten einer Gleichstrommaschine mit Last schematisch dargestellt.

MA

MR

JL � kR

�L

i A

u A

MA: AntriebsmomentMR: ReibungsmomentJL : Trägheitsmoment�L : WinkelgeschwindigkeitkR: Reibungskonstante

c: Motorkonstante

Bezeichnet man das Antriebsmoment der Maschine mit MA und das Lastmoment mit ML , sogilt nach dem Newtonschen Grundgesetz für die Winkelbeschleunigung:


JL � A�L � MA � MR (2.24)

Nimmt man an, dass ein drehzahlproportionales Reibungsmoment wirkt, dann gilt:

MR � kR � �L (2.25)

Das Antriebsmoment ist proportional zum Ankerstrom der Maschine:

MA � c � i A (2.26)

Die Ankerwicklung bewegt sich mit der Winkelgeschwindigkeit �im Magnetfeld der Maschine. Dadurch wird eine Spannung eM induziert:

eM � c � � (2.27)

Für den Ankerstromkreis folgt mit dem Ankerwiderstand RA und der Ankerinduktivität L A

u A � RA � i A � L A � diA

dt� c � �L (2.28)

Insbesondere bei kleineren Maschinen kann die Ankerinduktivität vernachlässigt werden:

u A � RA � i A � c � �L (2.29)

% iA � 1

RA

� u A � c

RA

� �L

Wird diese Beziehung in die Gleichung für den elektrischen Kreis eingesetzt, so folgt:

MA � c

RA

� u A � c2

RA

� �L (2.30)

Für das mechanische Teilsystem gilt schließlich:

JL � A�L � c

RA

� u A � c2

RA

� �L � kR � � (2.31)

Die Winkelgeschwindigkeit verhält sich also in Abhängigkeit von der Ankerspannung wie einPT1Glied:

A�L � ��L

JL

�t

kR � c2

RA

u

� c

JL � RA

� u A

Falls zusätzlich zum Reibungsmoment ein weiteres Lastmoment auftritt, muss die Gleichungum eine zweite Eingangsgröße erweitert werden.


d) drehzahlgeregelte stromrichtergespeiste Gleichstrommaschine

Wie im oben hergeleiteten mathematischen Modell für die Gleichstrommaschine gezeigt wurde, kann die Winkelgeschwindigkeit und damit die Drehzahl des Motors über die Ankerspannung beeinÀusst werden. Als Stellglied muss daher eine Leistungsverstärker zur Verfügungstehen, der es gestattet, die Ausgangsspannung in Abhängigkeit vom Stellsignal zu variieren.Da das Drehmoment proportional zum Ankerstrom ist, muss dieser Verstärker in der Lagesein, einen großen Ausgangsstrom zu liefern. Mit Transistoren kann ein derartiger Verstärkernur für relativ kleine Leistungen realisiert werden. Eine Möglichkeit, größere Leistungen zuerzeugen, bieten die Stromrichterstellglieder. Dabei wird die Tatsache ausgenutzt, dass eineGleichstrommaschine auch als Generator betrieben werden kann. Trotz Umkehr der Polaritätan den Anschlussklemmen wird der StromÀuss aufrecht erhalten. Wenn daher eine sinusförmige Wechselspannung über Thyrastoren gleichgerichtet wird, kann, wie in der folgenden Abbildung dargestellt ist, durch Phasenanschnittsteuerung der Mittelwert der Ausgangsspannungvariiert werden. Zu diesem Zweck werden in einer Brückenschaltung jeweils zwei Thyristoren durchgeschaltet und die anderen beiden Thyristoren gesperrt. Der Durchschaltzeitpunktwird mit einer Steuerspannung variiert. Dies geschieht mit Hilfe eines Zündsteuergerätes, beidem die Eingangsspannung mit einer Sägezahnspannung verglichen wird und bei Spannungsgleichheit ein Zündimpuls auf die Thyristorenpaare aufgeschaltet wird. Da Thyristoren nurdurchgeschaltet, aber bei netzgeführten Stromrichtern nicht gelöscht werden können, ist eineÄnderung des Phasenwinkels erst nach einer Totzeit möglich, die im Mittel bei Zweiphasenbrückenschaltungen 5 ms und bei Drehstrombrückenschaltungen 1,6 ms beträgt. Zur Glättungder Ankerspannung wird häu¿g eine zusätzliche Drossel (Kommutierungsdrossel) in den Ankerkreis gelegt.

2.1.6 Systeme zweiter Ordnung

Verwendet man den oben beschriebenen Gleichstromantrieb zur Einstellung der Lage, beispielsweise eines Maschinentisches, so muss der Winkel der Antriebswelle geeignet verstelltwerden. Meist wird dazu ein Getriebe eingesetzt. Da der Winkel aus der Winkelgeschwindigkeit durch Integration entsteht, muss das mathematische Modell des PT1Gliedes um einIntegrierglied erweitert werden. Es entsteht dann ein IT1Glied:

A � b1 � � " �=

b1 � � dK (2.32)

und

A� � �a � �� b2 � u A (2.33)

Hierbei handelt es sich um ein Integrierglied mit Verzögerung (I–T1–Glied)

Führt man für die physikalischen Größen � und die Systemgrößen xa1 und xa2 und für dieAnkerspannung u A die Größe xe2 ein, dann entsteht der folgende SignalÀussplan:


! �� a

aa

aa

a

b2 b1

a

xe2xa1

xa2xe1

� �

Die Sprungantwort dieses Systems kann leicht berechnet werden.

xa1�

= t

0

b1 � xe1dK (2.34)

mit xe1� xa2

� xe � b2

a�

b

1 � e�a�t c

" xa1� xe � b1 � b2

a�

= t

0

b

1 � e�a�K c

dK

% xa1� xe � b1 � b2

a�

v

t � 1

a

b

1 � e�a�K cw

Die Lage wird so lange verändert, bis der Antrieb stillsteht. Als Sprungantwort erhält mandaher eine anwachsende Ausgangsgröße. Gegenüber einer Rampenfunktion ist die Ausgangsgröße zeitlich verzögert. Die Asymptote schneidet die Zeitachse bei der Zeit T .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

TT

t

xa2

t

xa1

Sprungantwort eines IT1Gliedes

Die Lage kann z. B. dadurch geregelt eingestellt werden, dass die Ausgangsgröße mit demSollwert verglichen wird und die Ankerspannung proportional zur Regeldifferenz verändertwird. Es entsteht dann ein Lageregelkreis, der im nachfolgenden Bild dargestellt ist.


� �! !

� � aa

a

aa

a* xa

K P b2 b1

a

� � � �Regler Regelstrecke

Wenn man nur am Verhalten der Ausgangsgröße in Abhängigkeit vom Sollwert interessiertist, dann können die Zwischengrößen eliminiert werden. Man erhält dann eine Differentialgleichung zweiter Ordnung:

��x �a1� �x �a0 � x � b � u (2.35)

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist vollständig bestimmt, wenn man zu einem Zeitpunkt t0 die Größen x�t0� und Ax�t0� sowie den Verlauf der Eingangsgröße u für t t0 kennt.Physikalisch entsprechen diese Größen der Lage der Geschwindigkeit und dem Lagesollwert.Die Größen x und Ax werden daher auch als Zustandsgrößen bezeichnet. Substituiert man fürsie die Größen x1 und x2, so erhält man ein äquivalentes Differentialgleichungssystem, das auszwei Differentialgleichungen erster Ordnung besteht:Integrierbeiwert

�x1 � x2 (2.36)�x2 � �a0 � x2 � a1 � x1 � b � u (2.37)

� SignalÀussplan

� �! !

� � aa

a

aa

a* xa

K P b2 b1

a

� � � �Regler Regelstrecke

In der internationalen regelungstechnischen Literatur werden zur Darstellung des SignalÀussplans Integrierglieder durch Blöcke mit einem Integralzeichen und PGlieder durch Blöckemit einer Konstanten ersetzt.

Es entsteht dann folgender SignalÀussplan


b

= =

a1

a0

! !

�

66

66

666A

�u x2 x1

Die Berechnung der Sprungantwort kann wie beim PT1Glied mit Hilfe des Faltungsintegralserfolgen. Man muss dazu wieder die Gewichtsfunktion bestimmen. Dazu wird der Differentialquotient durch einen Differentenquotient ersetzt.

Es gelten folgende Beziehungen:

Ax1 � x2 % dx1

dt� x2 (2.38)

und Ax2 � �a1 � x2 � a0 � x1 � b � u % dx2

dt� �a1 � x2 � a0 � x1 � b � u

Analog zum PT1–Glied wird die Eingangsgröße durch einzelne Impulse approximiert. Unterder Annahme, da das System aus der Ruhelage durch einen Impuls angeregt wird, gilt:

x1�t0� � x1 � 0 und x2�t0� � x2 � 0 (2.39)

Nach der Zeit �t erhält man näherungsweise für die Zustandsgrößen: �x1 � x2 ��t und �x2 � ��a0 � x1 � a1 � x2 � b � u� ��t

Bei Erregung aus der Ruhelage folgt daraus:

�x1 � 0 und �x2 � b � u ��t

Wenn nur ein einziger Impuls betrachtet wird, verschwindet die Eingangsgröße t1 � t0 ��t

Es muss dann die Lösung der homogenen Differentialgleichungen mit den Anfangswerten

x1�t1� � 0 und x2�t1� � b � u ��t

bestimmt werden. Dabei wurde angenommen, dass ��a0 � x1 � a1 � x2� ��t �� b � u gilt.

Aus der Lösung der Differentialgleichung für das PT1Glied ist bekannt, dass Exponentialfunktionen die Differentialgleichungen erfüllen. Daher ist es naheliegend, für die homogeneDifferentialgleichung zweiter Ordnung

�x1 � a1 � Ax1 � a0 � x1 � 0 (2.40)


ebenfalls Exponentialfunktionen anzusetzen:

x1�t� � C � eDt (2.41)

Dieser Exponentialansatz führt auf folgende Gleichung:

D2 � C � eDt � a1 � D � C � eDt � a0 � C � eDt � 0 (2.42)

Da eDt nicht verschwinden kann, muss die charakteristische Gleichung erfüllt sein:

D2 � a1 � D� a0 � 0 (2.43)

Die beiden Nullstellen dieser quadratischen Gleichung werden Eigenwerte genannt. Sie lauten:

D1 � �a1

2�

U

ra1

2

s2

� a0 (2.44)

D2 � �a1

2�

U

ra1

2

s2

� a0 (2.45)

Setzt man D1 und D2 in den Exponentialansatz ein, so erhält man die Eigenbewegungen desSystems.

x1�t� � C1 � eD1t � C2 � eD2t (2.46)

Die unbekannten Konstanten C1 und C2 müssen so bestimmt werden, dass die oben angegebenen Anfangsbedingungen für den Zeitpunkt t1 erfüllt sind. Für x1�t1� gilt:

x1�t1� � C1 � eD1t1 � C2 � eD2t1 (2.47)

mit x1�t1� � 0

" C1 � eD1t1 � �C2 � eD2t1

Für x2�t1� gilt:

x2�t1� � Ax1�t1� � D1 � C1 � eD1t1 � D2 � C2 � eD2t1 (2.48)

mit x2�t1� � b � u ��t

" b � u ��t � D1 � C1 � eD1t1 � D2 � C2 � eD2t1

Setzt man die oben gefundene Beziehung ein, so folgt:

b � u ��t � D1 � C1 � eD1t1 � D2 � C1 � eD1t1 (2.49)


% b � u ��t � C1 � eD1t1 � �D1 � D2�

" C1 � 1

D1 � D2

� e�D1t1 � b � u ��t

" C2 � � 1

D1 � D2

� e�D2t1 � b � u ��t

Werden C1 und C2 in die Gleichung für die Eigenbewegungen eingesetzt, so gilt:

x�t� � 1

D1 � D2

� b � u ��t �r

eD1�t�t1� � eD2�t�t1�s

Somit gilt für die Gewichtsfunktion :

g�t� � b

D1 � D2

�b

eD1t � eD2tc

(2.50)

Damit kann die Sprungantwort aus dem Faltungsintegral berechnet werden.

xa�t� �= t

t0

g�t � K � � u�K � dK (2.51)

" xa�t� �= t

0

b

D1 � D2

� û �r

eD1�t�K� � eD2�t�K�s

dK (2.52)

% xa�t� � b � û

D1 � D2

= t

0

eD1�t�K � � eD2�t�K� dK (2.53)

% xa�t� � b � û

D1 � D2

�v

1

D1

�b

eD1t � 1c

� 1

D2

�b

1 � eD2tc

w

(2.54)

Der Verlauf der Sprungantwort hängt von den Eigenwerten D1 und D2 ab. Werden diese Werte komplex, so ist es zweckmäßig, sie durch andere Kennwerte zu ersetzen. Da das Systemfür komplexe Eigenwerte schwingungsfähiges Verhalten aufweist, de¿niert man einen Dämpfungsgrad D:

D2 � a21

4 � a0

(2.55)

und die Kennkreisfrequenz

�20 � a0 (2.56)

Mit diesen Faktoren läßt sich die Differrentialgleichung für Systeme zweiter Ordnung folgendermaßen schreiben:

��x �2 � D � �0� �x ��2

0 � x � b � u (2.57)

Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten D1�2 und den neuen Kennwerten ist:

D1�2 � �D � �0 � �0 �S

D2 � 1 (2.58)

Für die Eigenwerte D1�2 lassen sich ingesamt fünf verschiedene charakteristische Verläufe derSprungantwort bestimmen:


� konjungiert komplexes Eigenwertpaar mit negativen Realteil �0 � D � 1�

� doppelte, reelle und negative Eigenwerte �D � 1�

� konjungiert komplexes Eigenwertpaar mit Realteil gleich Null �D � 0�

� reelle positives Eigenwertpaar �D � 0�

� reelle negatives Eigenwertpaar �D 1�

a) gedämpfte Schwingung �0 � D � 1�

In diesem Fall sind die Eigenwerte D1�2 konjungiert komplex:

D1�2 � �D � �0 � j � �0 �S

1 � D2 (2.59)

Setzt man D1�2 in die Gleichung für die Sprungantwort ein, so erhält man folgenden Zeitverlauf:

xa�t� � b � u

�20

�v

1 � e�D��0�t �t

cos�S

1 � D2 � �0 � t�� DT1 � D2

� sin�S

1 � D2 � �0 � t�

uw

(2.60)

Dabei ist u die Sprunghöhe. Für die Sprunghöhe u � 1 bezeichnet man die Sprungantwortauch als Übergangsfunktion.

h�t� � b

�20

� 1 � e�D��0�t �t

cos�S

1 � D2 � �0 � t�� DT1 � D2

� sin�S

1 � D2 � �0 � t�

u

(2.61)

Der Zeitverlauf ist eine abklingende Schwingung. Die Abklingkonstante TA � 1D��0

bestimmtdie Dauer des Abklingens.

Die Frequenz der abklingenden Schwingung beträgt:

�N � �0 �S

1 � D2 (2.62)

In der Literatur wird noch das logarithmische Dekrement � de¿niert. Es besagt, das sich dasVerhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Maxima �hn und hn�1� konstant ist.

� � ln�hn

hn�1

� (2.63)

Wird für hn und hn�1 die Gleichnung für die Sprungantwort eingesetzt (zu den Zeitpunken thn

bzw. thn�

1), kann aus dieser Gleichnung die Dämpfung D ermittelt werden.

� � 2 � H � DT1 � D2

(2.64)

Umgestellt nach D, liefert die Gleichung:

D � �T4 � H2 ��2

(2.65)


-2 0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

h(t

)

Zeit t

D=0.7

D=0.5

D=0.3

h(t)u(t)

Abbildung 2.1: Übergangsfunktion h�t� für 0 � D � 1

b) aperiodischer Grenzfall �D � 1�

Für D � 1 sind die beiden Eigenwerte D1�2 gleich.

D1�2 � ��0 (2.66)

In der komplexen Ebene liegen dann beide Nullstellen beim gleichen Wert auf der negativenreellen Achse.

Die Übergangsfunktion lässt sich aus Gleichung (2.61) durch Einsetzen von D � 1 bestimmen.

h�t� � b

�20

�d

1 � e�D��0�t � �1 � �0 � t�e

(2.67)

c) ungedämpfte Schwingung �D � 0�

Nimmt die Dämpfung den Wert Null an, sind die Eigenwerte des Systems rein imaginär.

D1�2 � � j � �0 (2.68)

Die Übergangsfunktion kann wieder durch Einsetzung von D � 0 aus der Gleichung (2.61)gewonnen werden.

h�t� � b

�20

� [1 � cos� �0 � t�] (2.69)


-2 0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

h(t

)

Zeit t

h(t)u(t)

Abbildung 2.2: Übergangsfunktion h�t� für D � 1

-10 0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

h(t

)

Zeit t

h(t)u(t)

Abbildung 2.3: Übergangsfunktion h�t� für D � 0

2.2 Analogiebeziehungen bei technischen Systemen 46

d) aperiodisches Verhalten �D 1�

Für D 1 sind die Eigenwerte rein reel und negativ:

D1�2 � �D � �0 � �0

S

D2 � 1 (2.70)

In diesem Fall setzt sich die Sprungantwort aus Exponentialfunktionen zusammen, die auchdurch hyperbolische Funktionen ausgedrückt werden können:

h�t� � b

�20

�v

1 � e�D��0�t �t

cosh�S

D2 � 1 � �0 � t�� DTD2 � 1

� sinh�S

D2 � 1 � �0 � t�

uw

(2.71)

-5 0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

h(t

)

Zeit t

D=2

D=5

h(t)u(t)

Übergangsfunktion h�t� für D 1

e) instabiles Verhalten �D � 0�

In diesem Fall liegen die Eigenwerte in der rechten offenenHalbebene der komplexen Ebene:

ReD1�2� � �D � �0 0 (2.72)

für D � 0. Dies führt zu exponentiellem Anwachsen der Sprungantwort. Ein solches Verhaltenbezeichnet man als instabil.

2.2 Analogiebeziehungen bei technischen Systemen

Im ersten Kapitel wurde gezeigt, dass Systeme aus verschiedenen technischen Bereichen imHinblick auf die regelungstechnische Aufgabenstellung die gleiche Struktur besitzen. Teilsysteme der unterschiedlichen Regelkreise können durch das gleiche mathematische Modell


beschrieben werden. Sowohl Drosselspeichersysteme als auch RCGlieder sind hinsichtlichihres dynamischen Verhaltens PT1Glieder. Unterschiedliche physikalische Größen wie z. B.der Druck und die elektrische Spannung verhalten sich ähnlich.

Man kann nun zeigen, dass nicht nur die Systeme als Ganzes, sondern auch die physikalischenKomponenten und die physikalischen Zustandsgrößen analog behandelt werden können. Zudiesem Zweck führt man verallgemeinerte Zustandsgrößen und Bilanzgrößen ein. Analysiertman mechanische Systeme, elektrische Systeme, Strömungssysteme und thermische Systeme,so erkennt man, dass jeweils zwei Arten von physikalischen Zustandsgrößen vorkommen. Dieerste Sorte beschreibt die Flussgrößen wie z. B. den elektrischen Strom oder den DurchÀuss(diese Größen werden daher auch ÀowGrößen genannt). Die zweite Sorte wie z. B. die elektrische Spannung oder der Druck wird messtechnisch stets zwischen zwei Größen bestimmt. Siewerden daher auch Quergrößen oder effortGrößen genannt. Vor allem in der Elektrotechnikkönnen Bauelemente vollständig durch diese Zustandsgrößen an zwei Anschlüssen beschrieben werden. Näherungsweise gilt dies jedoch auch für die anderen genannten technischenBereiche. Man approximiert damit die Systemkomponenten durch konzentrierte Parameter.

Die Systemkomponenten lassen sich in Speicherelemente und Dämpferelemente unterteilen.Für jede Zustandsgröße existiert eine Speichersorte. Man unterscheidet daher fSpeicher undeSpeicher. Die Menge, die von der Zustandsgröße im Speicher enthalten ist, bezeichnet manals akkumulierte Zustandsgröße oder Bilanzgröße. Für diese Größen gelten die Erhaltungssätze der Physik. So wird z. B. in einem Kondensator die Ladung gespeichert. Jede Ladungsänderung führt zu einem elektrischen Strom. Die in den Speichern gespeicherte Energie erhältman aus der Integration der Zustandsgröße über die Bilanzgröße der dualen Zustandsgrößen.Diesen Zusammenhang kann man in einem Diagramm darstellen, das von Paynter entwickeltwurde (Abbildung).

Durchgröße f

(Àow)

akkumulierteDurchgröße fa

akkumulierteQuergröße ea

Quergröße e

(effort)

�

��

��

Dämpfer

potentielle Energie=

f dea

kinetische Energie=

e d fa

d

dt

d

dtf –Speicher e–Speicher

Leistung P � f � e

In den folgenden Abschnitten werden nun die wichtigsten technischen Systeme in dieses Schema eingepasst.


2.2.1 Mechanisch–translatorische Systeme

Mechanische Systeme können meist durch Massen, die man sich im Schwerpunkt konzentriert denkt, sowie durch Federn, die zwischen den Massen angebracht sind, approximiert werden. Der Zustand eines Massenpunktes wird durch die angreifende Kraft und durch seineGeschwindigkeit charakterisiert. Die Zuordnung der Zustandsgrößen zu den Àow bzw. effortGrößen ist nicht eindeutig. Intuitiv ist es vielleicht naheliegend, die Kraft in Analogie zur elektrischen Spannung als Quergröße anzusetzen. Es zeigt sich jedoch, dass es für das Aufstellenvon elektrischen Ersatzschaltbildern zweckmäßiger ist, die Kraft als Flussgröße zu wählen.Der zugehörige Energiespeicher ist dann die träge Masse. Die entsprechende Bilanzgröße istder Impuls.(Es gilt der Impulserhaltungssatz.) Daraus resultiert, dass die Geschwindigkeit derQuergröße entspricht. Die Integration der Geschwindigkeit liefert als akkumulierte Zustandsgröße den Weg. Energiespeicher ist dann die Feder. Zusammengefasst erhält man:

Zustandsgrößen:

� Kraft (Durchgröße)

� Geschwindigkeit (Quergröße)

Bilanzgrößen:

� Impuls ( fa–Größe)

� Weg (ea–Größe)

Speicher:

� Träge Masse ( f Speicher)� Feder (e–Speicher)

Für die Entwicklung des mathematischen Modells verwendet man die physikalischen Grundgleichungen für die Komponenten. Bei mechanisch translatorischen Systemen mit einem Freiheitsgrad sind dies das Newtonsche Grundgesetz für die träge Masse und die Federkennlinie.

mx

c

Fe

d

Dies führt auf folgende Beziehungen:

für die Masse Fm � d

dt� �m � )�

% Fm � d)

dt� m


für die Feder Fc � c � x

" dFc

dt� c � )

Nimmt man an, dass die auftretenden Reibungskräfte proportional zur Geschwindigkeit sind,dann kann als zusätzliches konzentriertes Element ein Dämpfer eingeführt werden. Als mathematisches Modell erhält man

für den Dämpfer Fd � d � )

Für die im Schwerpunkt der Masse angreifenden Kräfte gilt:

Fm � Fc � Fd � Fe (2.73)

Für die Analyse mit regelungstechnischen Simulationsprogrammen ist es zweckmäßig, einDifferentialgleichungssystem bestehend aus Differentialgleichungen 1. Ordnung aufzustellen.Als Zustandsgrößen wählt man dann die den Bilanzgrößen der Energiespeicher entsprechenden Zustandsgrößen. Für das hier betrachtete System sind dies die Geschwindigkeit und dieFederkraft. (Bei einer linearen Federkennlinie kann die Federkraft direkt durch die Auslenkung ersetzt werden.) Damit liegt eine Differentialgleichung fest. Die zweite Differentialgleichung erhält man durch Einsetzen der Kräfte Fm und Fd aus der Newtonschen Gleichung:

m � A) � �d � ) � Fc � Fe (2.74)

Eine äquivalente Differentialgleichung 2. Ordnung erhält man, wenn man berücksichtigt, dassdie Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Weges ist und außerdem die Komponentengleichung für die Feder einsetzt:

m � �x � d � Ax � c � x � Fe

Die Energiebeziehungen des Paynterschen Vierecks liefern die kinetische Energie der trägenMasse und die in der Feder gespeicherte potentielle Energie.

Für die in der Feder gespeicherte potentielle Energie gilt:

E p �=

f dea (2.75)

" E p �=

Fc dx

% E p � 1

2� c � x2

Für die in der Masse gespeicherte kinetische Energie gilt:

Ek �=

e d fa (2.76)


" Ek �=

) d�m � )�

% Ek � 1

2� m � )2

Generell gilt für die in einem dissipativen Element umgesetzte Leistung:

P � e � f

Im Dämpfer wird also folgende Leistung umgesetzt:

" P � Fd � )bzw. bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung:

% P � d � )2

2.2.2 Mechanisch–rotatorische Systeme

Die für translatorische Systeme hergeleitete Beziehungen können direkt auf rotatorische Systeme übertragen werden. Für die Kraft ist dann das Drehmoment und für die Geschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit einzusetzen. Auch hier ist es zweckmäßig, als Durchgröße dasDrehmoment zu wählen. Für die Zustandsgrößen und für die Bilanzgrößen erhält man danndie nachfolgende Zuordnung:

Zustandsgrößen:

� Drehmoment (Durchgröße)

� Winkelgeschwindigkeit (Quergröße)

Bilanzgrößen:

� Drehimpuls ( fa–Größe)

� Winkel (ea–Größe)

Speicher:

� Trägheitsmoment ( f –Speicher)

� Torsionsfeder (e–Speicher)

Die Torsionsfeder ist meist das Ersatzelement für die Elastizität von Wellen oder anderenSystembestandteilen. Reibungsverluste können in einem dissipativen Element zusammengefasst werden. Dieses Element entspricht dem Dämpfer bei mechanisch translatorischen Systemen.

Mit diesen Näherungen kann für eine Arbeitsmaschine folgendes System angesetzt werden:


M

c � M

�1

MR � d

�2

J

Für die einzelnen Systemkomponenten gelten folgende Beziehungen:

Welle (Torsionsfeder) M � c ��M% AM � c ��

rotierende Masse J � A�2 � MJ

Reibung d � �2 � MR

Die Momentenbilanz und die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten liefern:

�� 1 � �2 und M � MR � MJ (2.77)

Setzt man die Beziehungen für die Komponenten ein, so erhält man das folgende mathematische Modell für dieses FederMasseSystem:

AM � �c � �2 � c � �1

A�2 � � d

J� �2 � 1

J� M

Natürlich kann man dieses Differentialgleichungssystem wieder in eine Differentialgleichung2. Ordnung überführen.

2.2.3 Elektrische Systeme

Die Komponenten von elektrischen Systemen stehen als Bauelemente für die Realisierungvon elektronischen Schaltungen zur Verfügung. Für die Analyse solcher Schaltungen wurdenleistungsfähige Softwaretools entwickelt. Aus diesem Grunde werden für die anderen Systemarten häu¿g elektrische Ersatzschaltbilder entwickelt. Die Zuordnung der ZustandsgrößenStrom bzw. Spannung zu Durchgröße bzw. Quergröße ist hier eindeutig. Dem Impulserhaltungssatz entspricht der Satz von der Erhaltung der Ladung. Ladungsspeicher ist der Kondensator, der durch seine Kapazität beschrieben wird. Als eSpeicher stehen magnetische Drosseln, die durch ihre Induktivität beschrieben werden, zur Verfügung.


Zustandsgrößen:

� Strom (Durchgröße)

� Spannung (Quergröße)

Bilanzgrößen:

� Ladung ( fa–Größe)

� Fluß (ea–Größe)

Speicher:

� Kapazität ( f –Speicher)

� Induktivität (e–Speicher)

Dämpfer:

� Widerstand

Für die Analyse elektrischer Schaltungen werden zunächst die Komponentengleichungen aufgestellt und dann mit den Kirchhoffschen Regeln die Beziehung zwischen den Zustandsgrößen untersucht. Für jeden Speicher erhält eine Diffentialgleichung. Die Vorgehensweise wirdan einem Parallelschwingkreis demonstriert.

C

iC

R

iR

L

iL

u

i

Die Komponentengleichungen liefern

Kapazität iC � C � du

dt

Induktivität u � L � diL

dt

% u � L � AiL

Widerstand iR � 1

R� u

Mit dem 1. Kirchhoffschen Gesetz (Knotenpunktgleichung) erhält man:

i0 � iR � iC � iL


Die Komponentengleichungen eingesetzt ergibt:

Au � � 1

R � C� u � 1

C� iL � 1

C� i0 (2.78)

AiL � 1

L� u (2.79)

Eliminiert man die Zustandsgröße u, so ergibt sich wieder eine Differentialgleichung 2. Ordnung mit der gleichen Struktur wie das mathematische Modell des FederMasseSystems:

C � L � ïL � L

R� iL � iL � i0 (2.80)

Die Kennkreisfrequenz des Schwingkreises wird also durch C � L festgelegt.

2.2.4 Strömungssysteme

Bei den Strömungssystemen muss man unterscheiden, ob das Strömungsmedium Àüssig odergasförmig ist. Im ersten Fall erhält man hydraulische Systeme, im zweiten Fall pneumatischeSysteme. In beiden Fällen sind die Zustandsgrößen der Volumenstrom und der Druck. DieZuordnung zu Durchgröße und Quergröße ist hier eindeutig. Bei den Bilanzgrößen muss manzwischen den beiden Systemtypen unterscheiden.

a) hydraulische Systeme

Zustandsgrößen:

� Volumenstrom (Durchgröße)

� Druck (Quergröße)

Bilanzgrößen:

� Volumen ( fa–Größe)

� „Druckmoment” (ea–Größe)]

Speicher:

� hydraulische Kapazität ( f –Speicher)� Strömungsträgheit (eSpeicher)

Ein einfaches Beispiel für eine hydraulische Kapazität ist ein offener Behälter.


p1

p2

A

m

V

Für den Druck am Behälterboden gilt bei einem zylindrischen Behälter:

p2 � p1 � m � g

A(2.81)

% p2 � p1 � I � g

A� V

Falls der Umgebungsdruck p1konstant ist, gilt:

AV � A

I � g� dp

dt(2.82)

% q�t� � A

I � g� dp

dt

In Analogie zur elektrischen Kapazität de¿niert man die hydraulische Kapazität:

K H � A

I � g

Der zweite Speichertyp beschreibt näherungsweise den EinÀuss eines im Vergleich zum Querschnitt langen Rohrstückes. Die gespeicherte Energie entspricht der kinetischen Energie desdurchgeschobenen Flüssigkeitspfropfens.

p1 p2

AR

R

l

Das Newtonsche Gesetz liefert:

�p1 � p2� � AR � I � l � AR � A) mit ) � q

AR

(2.83)

" �p � I � l

AR

� dq

dt

Damit erhält man für die Strömungsträgheit die Beziehung:


Ml � Il

AR

bzw. bei kreisförmigen Querschnitten:

Ml � I�lHr2

Die Reibungsverluste können in einem dissipativen Element, das als Strömungswiderstandbezeichnet wird, zusammengefasst werden.

Bei laminarer Strömung gilt nach dem HagenPoiseuille’schen Gesetz:

WH � 8@l

Hr4(2.84)

Hydraulische Systeme werden meist zur Erzeugung von großen Kräften eingesetzt. Die Wandlung der hydraulischen Energie in mechanische Energie erfolgt mit einem Hydraulikkolben.

F � )

A

q � p

Man hat es hier also mit einem mechanisch– hydraulischen Wandler zu tun, für den folgendeBeziehungen gelten:

F � A � p sowie ) � q

A(2.85)

Für die zugeführte Leistung gilt:

Pzu � p � q (2.86)

Für die abgeführte Leistung gilt:

Pab � F � ) (2.87)

Beim idealen Wandler ist die zugeführte Leistung gleich der abgeführten Leistung.

b) pneumatische Systeme

Im Gegensatz zu hydraulischen Systemen muss bei pneumatischen Systemen die Kompressibilität der strömenden Medien berücksichtigt werden. Häu¿g wird daher in der Literatur alsDurchgröße der Massenstrom gewählt. Das hat zur Folge, dass die Energiebeziehungen nichtmehr gelten. Aus diesem Grunde soll hier der Volumenstrom weiterhin als Durchgröße verwendet werden und mit einer näherungsweise konstanten mittleren Dichte gerechnet werden.Als Quergröße wird auch hier der Druck gewählt. Da die Dichte im Allgemeinen relativ klein


ist, kann die Strömungsträgheit vernachlässigt werden. Als Speicher tritt also nur der Behälterauf.

Aus der Gasgleichung für isotherme Zustandsänderungen folgt:

p � V0 � m � R` � T (2.88)

Dabei ist R` die spezielle Gaskonstante, m die Masse des Gases und T die absolute Temperatur. Für den Massenstrom gilt:

Am � I0 � AV (2.89)

� I0 � q (2.90)

Setzt man die Gasgleichung ein, so erhält man:

Ap � I0 � R` � T

V0

� q (2.91)

Für die pneumatische Kapazität gilt also:

K B � V0

I0 � Ri � T(2.92)

2.2.5 Thermische Systeme

Schon bei den Strömungssystemen hat sich gezeigt, dass die Darstellung der Komponentendurch konzentrierte Parameter nur näherungsweise gültig ist. Diese Problematik tritt bei thermischen Systemen in verstärktem Maße auf. Hinzu kommt hier, dass für die Durchgröße eigentlich der Entropiestrom angesetzt werden müsste, um die Analogie zu den übrigen Systemarten aufrecht zu erhalten. Der Entropiestrom ist jedoch eine Größe, die nur dem mit derThermodynamik vertrauten Ingenieur bekannt ist. Für die Systemanalyse ist es zweckmäßiger,stattdessen den Wärmestrom als Durchgröße zu wählen. Die zugehörige Bilanzgröße ist danndie Wärmemenge, also bereits eine Energieform. Die Speicherung der Durchgröße erfolgt inder Wärmekapazität. Als Quergröße wählt man die Temperatur. Eine Bilanzgröße existiertebenso wenig wie ein eSpeicher. Dies entspricht der Erfahrung, dass man bei thermischenSystemen, die aus passiven Komponenten aufgebaut sind, bisher keine Schwingungserscheinungen beobachtet hat.

Man erhält damit folgende Zuordnung für die Zustandsgrößen:


Zustandsgrößen:

� Wärmestrom (Durchgröße)

� Temperatur (Quergröße)

Bilanzgrößen:

� Wärmemenge ( fa–Größe)

� (ea–Größe) existiert nicht

Speicher:

� Wärmekapazität ( f –Speicher)

Als Beispiel für ein thermisches System soll der im ersten Kapitel vorgestellte Glühofen betrachtet werden.

Wenn die gesamte an der Wärmespeicherung beteiligte Masse in m zusammengefasst wirdund für die spezi¿sche Wärme c gilt, dann erhält man für die Wärmekapazität den Wert:

Cm � c � m (2.93)

Nimmt man an, dass der Wärmestrom im Wesentlichen durch die Wärmeleitung übertragenwird, dann erhält man bei einer Wärmeleitfähigkeit D den Wärmestrom:

�1 � �D�d��T2 � T1� (2.94)

Dabei ist A die an der Wärmeleitung beteiligte Fläche und T2 � T1 die Temperaturdifferenzzwischen Innen und Außenraum. Als dissipatives Element kann damit der Wärmewiderstandde¿niert werden:

RW � d

D

Der Wärmestrom, der zum Erwärmen einer Masse m mit der spezi¿schen Wärmekapazität c

notwendig ist, hängt von der Temperaturänderung des betrachteten Körpers ab. Es gilt:

�2 � CW � dT

dt(2.95)

Dabei ist T die Temperatur der Masse m. Nimmt man an, dass dem Ofen der Wärmestrom �0

zugeführt wird, dann erhält man aus der Wärmebilanz:

�0 � �1 ��2 (2.96)

Mit der oben de¿nierten Wärmekapazität und dem Wärmewiderstand erhält man damit als mathematisches Modell eine Differentialgleichung erster Ordnung für die Temperatur des Glühgutes der Masse m:

2.3 Der Frequenzgang 58

dT

dt� � 1

CW � RW

��T � 1

CW

��0

Bei der Bewertung des Modells muss man berücksichtigen, dass bei der Herleitung des Modells einige Effekte vernachlässigt wurden und ein System mit verteilten Parametern durch einSystem mit konzentrierten Parametern ersetzt worden ist.

2.3 Der Frequenzgang

Bisher wurde das dynamische Verhalten der elementaren Übertragungsglieder durch die Sprungantwort charakterisiert. In der Praxis entspricht dies einer momentanen Sollwertverstellung.Eine zweite wichtige Testfunktion für die Beschreibung des Systemverhaltens ist die Sinusfunktion. Dabei wird die Reaktion des Systems auf sinusförmig veränderliche Eingangsgrößenmit unterschiedlicher Frequenz untersucht.

Mathematisch kann ein sinusförmiges Eingangssignal durch die Beziehung

xe�t� � xe � sin�t (2.97)

mit xe: Amplitude�: Kreisfrequenz

beschrieben werden.

Für die Kreisfrequenz � gilt:

� � 2 � H � f " � � 2H

Tp

(2.98)

mit f : FrequenzTp: Periodendauer

Für die Rechnung ist es zweckmäßig, die Sinusfunktion als den Imaginärteil einer komplexenZeitfunktion aufzufassen:

xe�t� � xe � e j�t (2.99)

In der komplexen Ebene (der Gauß’schen Zahlenebene) kann diese Funktion als Zeiger, dersich mit der Kreisfrequenz � um den Ursprung dreht, dargestellt werden. Die Sinusfunktionergibt sich dann aus der Projektion auf die imaginäre Achse.

Im

Re

xe

t

Tp

t1�t1

xe � cos�t1

xe � sin�t1

xe


Mit der Eulerschen Gleichung

e j�t � cos�t � j � sin�t (2.100)

erhält man die komplexe Eingangsfunktion, dargestellt durch Realteil und Imaginärteil:

xe�t� � xe � �cos�t � j � sin�t�

Für einige spezielle Werte von �t folgt damit:

�t � 0 " e j0 � 1

�t � H4

" e j�

4 � cos H4

� j � sin H4

� 12

�T

2 � �1 � j�

�t � H2

" e j�

2 � cos H2

� j � sin H2

� j

Wenn zum Zeitpunkt t ein beliebiger ”Phasenwinkel” zugelassen wird, dann erhält man fürdie ”komplexe Schwingung”:

x�t� � x � e j ��t�� (2.101)

� x � e j�t � e j (2.102)

x�t� � x � �cos��t � �� j sin��t � � (2.103)

Für den Zusammenhang der komplexen Zahl in der Darstellung nach Betrag und Phase

x � x � e j (2.104)

mit der Beschreibung durch Realteil und Imaginärteil

x � a � j � b

erhält man für den Betrag:

�x� �S

a2 � b2 (2.105)

� x (2.106)

Der Phasenwinkel kann mit Hilfe der Arcustangensfunktion aus Imaginärteil und Realteilberechnet werden:

� arctanb

a(2.107)

Eine andere häu¿g verwendete Schreibweise für den Phasenwinkel ist:

� / x (2.108)


2.3.1 Frequenzgang eines P–T1–Gliedes

Das mathematisches Modell eines PT1Gliedes lautet:

Axa � �a � xa � b � xe (2.109)

Die Systemantwort kann mit dem Faltungsintegral berechnet werden:

xa�t� �= t

t0

g�t � K� � xe�K � dK (2.110)

Die für das Faltungsintegral notwendige Gewichtsfunktion des PT1Gliedes lautet:

g�t� � b � e�a�t (2.111)

Wählt man als Eingangsgröße

xe�t� � xe � e j�t (2.112)

dann kann das Faltungsintegral wie folgt berechnet werden:

xa�t� �= t

0

b � e�a��t�K� � xe � e j�K dK

% xa�t� � b � xe � e�a�t= t

0

e�a� j��K dK

% xa�t� � b � xe � e�a�tv

1

a � j�� e�a� j��K

wt

0

% xa�t� � b � xe

a � j��

b

e j�t � e�a�t c

Die Darstellung des Vorfaktors durch Betrag und Phase liefert:

xa�t� � b � xeTa2 � �2

� e j �b

e j�t � e�a�tc mit tan � ��a

Schließlich folgt für die komplexe Ausgangsgröße:

xa�t� � b � xeTa2 � �2

�r

e j ��t�� e�a�t � e js

(2.113)

Die tatsächliche Ausgangsgröße wird durch Realteilbildung mit Hilfe der Euler’schen Gleichung bestimmt:

xa�t� � b � xeTa2 � �2

�d

cos��t � �� e�a�t � cose

(2.114)

Nach dem Abklingen des Einschwingvorgangs e�a�t erhält man die ”stationäre” Lösung:

xa�t� � b � xeTa2 � �2

� cos��t � � (2.115)


Aus dieser Beziehung folgt, dass die Ausgangsgröße stationär ebenfalls eine Sinusfunktionmit gleicher Frequenz, aber veränderter Amplitude und Phase ist. Für die Berechnung derAusgangsgröße kann daher ein komplexer Ansatz verwendet werden:

xa � xa � e j � e j�t

Aus dem mathematischen Modell des PT1Gliedes folgt damit:

j� � xa � e j � e j�t � a � xa � e j � e j�t � b � xe � e j�t (2.116)

% xa

xe

� e j � b

a � j�

Durch diese Gleichung wird die Amplitudenveränderung und die Phasenverschiebung desAusgangssignals vollständig beschrieben. Man bezeichnet daher

G� j�� b

a � j�(2.117)

% G� j�� G� j�� e j / G� j��

als ”Frequenzgang” des PT1Gliedes.

Um das Systemverhalten vollständig zu beschreiben, muss der Frequenzgang für alle positiven Frequenzen betrachtet werden. Eine mögliche Darstellung des Frequenzgangs ist die”Ortskurve”. Dazu wird der Realteil und der Imaginärteil von G� j�� in Abhängigkeit von� in der komplexen Ebene dargestellt. Jeder Punkt der Ortskurve kann als Endpunkt einesZeigers aufgefasst werden, der Betrag und Phase des Ausgangssignals festlegt.

Die Ortskurve eines P–T1–Gliedes ist für positive Frequenzen ein Halbkreis, der auf der reellenAchse beginnt, und für � � * im Ursprung endet.

ImG� j��

ReG� j��

�

�M

n

n

ba

n

n

Man erkennt, dass durch die Phasenverschiebung das Ausgangssignal gegenüber dem Eingangssignal verzögert wird. Die Länge des Zeigers und damit der Betrag des Ausgangssignalsnimmt mit wachsendem � kontinuierlich ab. Das PT1Glied besitzt daher ”Tiefpassverhalten”. Bei der Kreisfrequenz � � a ist die Phasenverschiebung � �45i�

2.3.2 Frequenzgang eines P–T2–Gliedes

� mathematisches Modell


�xa � a1 � Axa � a0 � xa � b � xe (2.118)

Der komplexe Ansatz für die Ausgangsgröße ist:

xa � xa � e j � e j�t (2.119)

Eingesetzt in die allgemeine Form der Differentialgleichung eines P–T2–Gliedes, die �xa � a1 �Axa � a0 � xa � b � xe lautet, folgt:

� j��2 � xa � e j � e j�t � a1 � j� � xa � e j � e j�t � a0 � xa � e j � e j�t � b � xe � e j�t (2.120)

% xa

xe

� e j � b

� j��2 � a1 � j�� a0

Diese ermittelte Beziehung ist der Frequenzgang eines P–T2–Gliedes:

G� j�� b

� j��2 � a1 � j�� a0

% G� j�� G� j�� e j / G� j��

� Ortskurve eines P–T2–Gliedes

ImG� j��

ReG� j��

2.3.3 Frequenzgang einer Reihenschaltung von elementaren Übertragungsgliedern

Betrachtet man nun eine Reihenschaltung von elementaren Übertragungsgliedern, so sind diese durch ihre verschiedenen Frequenzgänge charakterisiert.

G1� j�� G2� j��xe1

xa2xa1

xe2

Dieser Blockschaltplan führt auf folgende Beziehungen:

xa1� G1� j�� xe1

und xa2� G2� j�� xe2

(2.121)


Da das Eingangssignal xe2gleich dem Ausgangssignal xa1

ist, folgt:

xa2� G2� j�� G1� j�� xe1

(2.122)

% xa2� G� j�� xe1

" G� j�� G1� j�� G2� j��

2.3.4 Logarithmische Frequenzkennlinien

Eine weitere Möglichkeit, den Frequenzgang graphisch darzustellen, besteht darin, den ”‘Amplitudengang”’ �G� j�� xa

xesowie den ”‘Phasengang”’ / G� j�� getrennt in Abhängig

keit von der Frequenz aufzuzeichnen. Die daraus enstandenen Funktionsverläufe bezeichnetman als ”‘Betrags–”’ und ”‘Phasenkennlinie”’ . Zeichnet man beide Funktionen in ein Diagramm bei entsprechender Teilung, so heißt diese Art der Darstellung ”‘Bode – Diagramm”’.

Für den Frequenzgang gilt:

G� j�� G� j�� e j mit � / G� j�� (2.123)

Dieser Frequenzgang kann durch eine Reihenschaltung mehrerer Übertragungsglieder entstanden sein. Unter dieser Annahme gilt:

G� j�� G1� j�� G2� j�� (2.124)

% �G� j�� e j � �G1� j�� G2� j�� e j �1�2�

Addiert man nun die Phasenwinkel der beiden Teilsysteme, so erhält man den Phasenwinkeldes Frequenzgangs G� j��:

� 1 � 2 (2.125)

Der Betrag des Gesamtfrequenzgangs berechnet sich allerdings durch eine Multiplikation derBeträge beider Teilsysteme:

�G� j�� G1� j�� G2� j�� (2.126)

Um den Gesamtfrequenzgang zu berechnen, bietet das Logarithmieren eine einfache Möglichkeit, es gilt:

log �G� j�� log �G1� j�� log �G2� j�� (2.127)

De¿nitionsgemäß gilt für die Darstellung des Amplitudengangs im Bode – Diagramm , unterder Voraussetzung, man benutzt den Logarithmus zur Basis n � 10, was im Allgemeinen derFall ist:

�G� j��d B � 20 lg �G� j�� 20 lgT

ReG� j��2 � I mG� j��2 (2.128)

Aus dieser De¿nition erkennt man, daß der Betrag des Frequenzgangs in ”‘Dezibel (dB)”’gemessen wird.

Tabelle mit einigen charakteristischen Werten


�G� 0� 01 0� 1 0� 5011T2

1

�G�d B �40 �20 �6 s �3 0

1�G�d B

�40 �20 �6 s �3 0

a) logarithmische Frequenzkennlinien eines P–Gliedes


xa�t� � V � xe�t� (2.129)

� Frequenzgang

G� j�� V (2.130)

% G� j�� V � e j0

In der komplexen Ebene ist in diesem Fall der Frequenzgang ein Punkt. Für die Betragskennlinie ergibt sich also eine Gerade parallel zur 0 d B Achse.

� Betragskennlinie

�G� j�� V (2.131)

Eine Änderung von V bewirkt eine vertikale Verschiebung der Betragskennlinie. Z.B wirddurch eine Verdopplung von V die Betragskennlinie um 20 lg 2 r� 6d B nach oben verschoben.Die Phasenkennlinie entspricht der 0o Achse.

� Phasenkennlinie

/ G� j�� 0o (2.132)

� Darstellung als Bode – Diagramm für V � 20

b) logarithmische Frequenzkennlinien eines I–Gliedes


Axa�t� � V � xe�t� (2.133)


ω/ω0

Ph

ase

(d

eg

)

B

etr

ag (

dB

)

19

19.5

20

20.5

21

10-1

100

101

102

-1

-0.5

0

0.5

1

Abbildung 2.4: BodeDiagramm PGlied

� Frequenzgang

G� j�� V � 1

j�� j � V � 1

�(2.134)

% G� j�� e� j ��

2 �n

n

n

n

V

�

n

n

n

n


�G� j��d B � 20 lg

n

n

n

n

V

�

n

n

n

n

(2.135)

% �G� j��d B � 20 lg �V � � 20 lg ��

Bei logaritmischer Teilung der � Achse führt dies auf eine Gerade der Form Y � A � B�

mit der Steigung B � �20d B/Dekade.

Den Achsenabschnitt A erhält man aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der 0o Achse. Für� � V ist �G� j�� 1, also �G� j��d B � 0. Der Verlauf der Geraden ist damit eindeutigfestgelegt. Die Phasenkennlinie ist eine horizontale Gerade durch �90o.

� Phasenkennlinie

/ G� j�� 90o (2.136)


ω/ω0

Ph

ase

(d

eg

)

B

etr

ag (

dB

)

-20

0

20

40

60

10-2

10-1

100

101

102

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Abbildung 2.5: BodeDiagramm IGlied

� Darstellung als Bode – Diagramm für V � 1

c) logarithmische Frequenzkennlinien eines P–T1–Gliedes


Axa�t�� a � xa�t� � b � xe�t� (2.137)

� Frequenzgang

G� j�� b

a � j��

ba

1 � j �b

�a

c (2.138)

% G� j�� V

1 � j �r

��1

s

(Dabei wird angenommen, daß im mathematischen Modell als Folge einer geeigneten Normierung nur dimensionslose Größen vorkommen.)

mit V : Verstärkungsfaktor�1 : Eckfrequenz (Knickfrequenz)



�G� j�� V �U

1 �r

��1

s2(2.139)

" �G� j��d B � 20 lg �V � � 20 � 1

2lg

�

1 �t

�

�1

u2�

Bei veränderlicher Kreisfrequenz kann man drei Bereichei unterscheiden.Für � v �1 (z.B. für �

�1� 0� 1) kann der quadratische Term vernachlässigt werden. Es gilt

dann folgende Beziehung:

�G� j��d B � 20 lg �V � (2.140)

In diesem Frequenzbereich verhält sich das P–T1–Glied wie ein P–Glied.

Für � w �1 (z.B. für ��1

� 10 überwiegt bei der Betragsbildung der quadratische Term, somitgilt dann:

�G� j��d B � 20 lg �V � � 20 lg

t

�

�1

u

(2.141)

In diesem Bereich verhält sich das P–T1–Glied wie ein I–Glied.

Im Übertragungsbereich muß für den oben bestimmten asymptotischen Verlauf eine Korrekturberücksichtigt werden. Besonders für �

�1� 1 gilt:

�G� j��d B � 20 lg �V � � 10 lg 2 mit 10 lg 2 s 3 (2.142)

Die Abweichung des asymptotischen Verlaufes für andere � Werte wird in folgender Tabelleangegeben:

�

�10,1 0,5 0,8 1 1,5 2 10

�G�d B 0,41 1,76 2,55 3,01 2,22 1,76 0,41

Für die Phasenkennlinie folgt aus folgender Beziehung

tan � I mG� j��ReG� j�� (2.143)

der Verlauf:

tan � � �

�1

(2.144)

Für � v �1 erhält man näherungsweise den Phasenwinkel Null (P–Glied), für � w �1

strebt der Phasenwinkel gegen �90o (I–Glied) in Übereinstimmung mit den Überlegungenzur Betragskennlinie.

Für die Betragskennlinie und die Phasenkennlinie erhält man bei einem VerstärkungsfaktorV � 10 und einer Eckkreisfrequenz �1 � 1 folgende Verläufe:


� Darstellung als Bode – Diagramm für V � 10 und �1 � 1

ω/ω0

Ph

ase

(d

eg

)

B

etr

ag (

dB

)

-20

-10

0

10

20

10-2

10-1

100

101

102

-80

-60

-40

-20

0

BodeDiagramm PT1Glied

d) log. Frequenzkennlinien einer Reihenschaltung von zwei P–T1–Gliedern

Wie schon in Kapitel 2.3.4 erläutert wurde, erhält man den Frequenzgang des Gesamtsystemsals Produkt der Frequenzgänge der Teilsysteme. In der logarithmischen Darstellung könnendann auch die Betragskennlinien (Amplitudengang) die Beträge der Teilsysteme überlagert(also addiert) werden.

lg��G1� � �G2�� lg��G1�� lg��G2�� (2.145)

Die Konstruktion dieser Frequenzkennlinien wird am folgenden Beispiel verdeutlicht.


0� 5 : Ax1 � x1 � 2 : xe

10 : Axa � xa � 2� 5 : x1

� SignalÀußplan

! ! !xe xa

2 2� 50� 5 10


Für den Frequenzgang des Gesamtsystems erhält man in normierter Darstellung:

G� j�� 2

1 � jb

�2

c � 2� 5

1 � jr

�0�1

s

Die Betragskennlinie ergibt sich, wie schon erwähnt, aus den einzelnen Teilbeträgen. Für denasymtotischen Verlauf kann die oben erläuterte Näherung angewendet werden:

�G� j��d B � �2�d B � �2� 5�d B �n

n

n

n

1 � j

t

�

0� 1

un

n

n

n

d B

�n

n

n1 � jr�

2

sn

n

n

d B

Darstellung als Bode – Diagramm

ω/ω0

Ph

ase

(d

eg

)

B

etr

ag (

dB

)

-80

-60

-40

-20

0

10-2

10-1

100

101

102

-150

-100

-50

Abbildung 2.6: Reihenschaltung zweier PT1Glieder

Für � v 0� 1 können die von � abhängigen Terme vernachlässigt werden. Für das P Verhalten gilt dann:

�G� j��d B � 6d B � 8d B � 14d B

Ab einer Eckkreisfrequenz �1 � 0� 1 fällt die Betragskennlinie mit 20d B/Dekade. Das zweiteP–T1–Glied macht sich in diesem Bereich nur durch den Beiwert �k�d B � 8d B bemerkbar.Ab der zweiten Eckkreisfrequenz fällt die Betragskennlinie dann mit 40d B/Dekade. Für dentatsächlichen Verlauf der Betragskennlinie müssen in der Nähe der Eckkreisfrequenz die Korrekturen nach folgender Tabelle korrigiert werden.


Für die Phasenkennlinie ist es zweckmäßiger, anstelle von Näherungen die Teilbeträge dereinzelnen Übertragungsglieder mit dem Taschenrechner zu bestimmen, z.B.:

1 � arctan

t

�

�1

u

Die ermittelten Werte sind in folgender Tabelle aufgeführt:

�1 �2

�1 0,01 0,02 0,04 0,07 0,1 0,2 0,4 0,7 1,0 2,0 4,0 7,01 6 11 22 35 45 63 76 82 84 87 89 902 1 2 3 6 11 19 27 45 63 74 6 11 23 37 48 69 87 101 111 132 152 164

Wie aus der Tabelle zu ersehen ist, ergibt sich die Gesamtphasendrehung aus der Summe derTeilbeträge.

Da P–T1–Glieder bei der Frequenz 0 keine Phasendrehung bewirken, beginnt die Phasenkennlinie für � 0. Jedes P–T1–Glied trägt für hohe Frequenzen eine Phasendrehung von �90o

zur Gesamtphasendrehung bei. Für große Kreisfrequenzen ergibt sich asymptotisch eine Phasendrehung von �180o.

e) log. Frequenzkennlinien eines P–T2–Gliedes

� mathematisches Modell (schwingungsfähig)

�xa � 2D � �0 � Axa � �20 � xa � V � �2

0 � xe (2.146)

� Frequenzgang mit Dämpfungskonstante 0 � D � 1 und Kreisfrequenz �0

G� j�� V

1 � 2Dr

j��0

s

�r

j��0

s2(2.147)

Innerhalb dieses Systems ist V der Verstärkungsfaktor.Für D � 1 erhält man den Frequenzgang von zwei hintereinander geschalteten P–T1–Gliedermit gleicher Eckkreisfrequenz �0. Für D � 0 besitzt G� j�� an der Stelle � � �0 einen Pol��G� j�� *�. Zwischen diesen beiden Fällen besitzt die Betragskennlinie für 0 � D � 1T

2ein Maximuman an der Stelle:

�m � �0

S

1 � 2D2 (2.148)

Die Ableitung von �G� j�� nach �

�G� j A�� V �V

t

1 �r

��0

s2u2

�r

2D ��0

s2

(2.149)


liefert die Resonanzüberhöhung:

Mm � �V �2D

T1 � D2

(2.150)

Betragskennlinie

�G� j��d B � �V �d B � 10 lg

n

n

n

n

n

n

�

1 �t

�

�0

u2�2

�t

2D�

�0

u2

n

n

n

n

n

n

(2.151)

Der Verstärkungsfaktor V bewirkt also nur eine Verschiebung der Betragskennlinie in vertikaler Richtung.Der asymptotische Verlauf stimmt mit demjenigen der Reihenschaltung von zwei P–T1–Gliedernmit gleicher Eckkreisfrequenz überein, da für � v �0 gilt:

�G� j��d B s lg 1 � 0d B

Für � w �0 betrachtet man nur den Term mit der höchsten Potenz im Nenner:

�G� j��d B s 10 lg

t

�

�0

u4

� �40 lg

t

�

�0

u

Für die logarithmisch geteilte� Achse erhält man also eine Gerade mit der Steigung �40d B/Dekade.Die Phasenkennlinie ergibt sich aus Realteil und Imaginärteil des Frequenzgang – Nenners:

tan �2D

r

��0

s

1 �r

��0

s2(2.152)

Für die Kreisfrequenz �0 ergibt sich also unabhängig von D eine Phasenrückdrehung von90o�tan � *��Für D � 0, so springt die Phasenkennlinie an der Stelle � � �0 von 0o auf �180o. Für große� Werte strebt die Phasenkennlinie für alle Dämpfungswerte D gegen �180o.

� Darstellung Betragskennlinie

f) log. Frequenzkennlinien eines Totzeitgliedes

Das Totzeitglied bewirkt eine zeitliche Verzögerung des Eingangssignals und beeinÀußt daherdie Amplitude des Signals nicht.


xa�t� � xe�t � Tt� (2.153)


ω/ω0

Ph

ase

(d

eg

)

B

etr

ag (

dB

)

-20

-10

0

10

20

30

40

10-1

100

101

-150

-100

-50

0

Abbildung 2.7: BodeDiagramm PT2Glied

Handelt es sich um sinusförmige Eingangssignale, so gilt:

xe�t� � xe sin��t�

xa�t� � xe sin��t � Tt � für t o Tt

Das Totzeitglied bewirkt also eine Phasenrückdrehung, die linear mit der Frequenz anwächst:

� ��Tt (2.154)

In komplexer Darstellung folgt aus

xe � xee j�t

für das Ausgangssignal:

xa � xee j�t � e� j�Tt

Somit gilt für den Frequenzgang:

G� j�� xa

xe

� e� j�Tt (2.155)

Daraus ist ersichtlich, da die Ortskuve eines Totzeitgliedes ein Einheitskreis ist. Die Betragskennlinie ist folglich die 0 � d B Achse:

�G� j�� 1 � �G� j��d B � 0 (2.156)


Die Phasenkennlinie ist die logarithmische Darstellung der oben erwähnten Geraden. Speziellergibt sich für � � 1

Ttder Winkel:

� ��Tt � �1 bzw. � �180o

H� �57� 3o (2.157)

Das BodeDiagramm ist in Abbildung2.8 dargestellt.

ω/ω0

Ph

ase

(d

eg

)

B

etr

ag (

dB

)

19

19.5

20

20.5

21

10-2

10-1

100

101

102

-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

Abbildung 2.8: BodeDiagramm TotzeitGlied

Kapitel 2 Modellbildung und Identi...

Documents

Transcript of Kapitel 2 Modellbildung und Identi...