Kapitel 14 Trends und Unit-root- Tests. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 2 Trends Trend:...
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Kapitel 14
Trends und Unit-root-Tests
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 2
Trends
Trend: Der Erwartungswert eines Prozesses Yt nimmt mit Fortschreiten der Zeit zu (oder ab)
Deterministischer Trend: ist eine Funktion f(t) der Zeit, die den Erwartungswert von Y beschreibt:
Yt = f(t) + ut mit Weißem Rauschen ut
Beispiel: das Modell Yt = + t + ut für Y nennt man linearer Trend; ein steigender Trend entspricht > 0
Stochastischer Trend: Das Modell Yt = + Yt-1 + ut oder Yt = Yt Yt-1 = + ut mit Weißem Rauschen ut beschreibt ein irreguläres oder zufälliges Fluktuieren der Differenzen Yt um den Erwartungswert ; Yt folgt einem random walk mit Trend
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 3
Konsumfunktion
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
PCR
Privater Konsum, AWM-Datenbasis; Niveauwerte (PCR) und erste Differenzen (PCR_D)
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
15000
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000
PCR_D
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 4
Trends: Random walk und AR-Prozess
-12
-8
-4
0
4
8
12
16
20
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
ra nd o m w a lkra nd o m w a lk mit .Drift A R (1 )- P ro ze s s
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 5
Random walk mit Drift
Das Modell Yt = + Yt-1 + ut kann geschrieben werden als
Yt = Y0 + t + i≤tui
: Drift
Komponenten des Prozesses: Deterministischer Wachstumspfad Y0 + t
Kumulierte Störgrößen i≤tui
Eigenschaften: Erwartungswert Y0 + t ist nicht konstant!
Var{Yt} = t wird beliebig groß!
Corr{Yt,Yt-k} = √(1-k/t) Nicht-stationär
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 6
Random walk mit Trend, Forts.
Aus Corr{Yt,Yt-k} = √(1-k/t) folgt:
Für fixes k sind Yt und Yt-k umso stärker korreliert, je größer t
Mit wachsendem k geht Korrelation gegen Null, aber umso langsamer, je größer t (long memory property)
Vergleich von random walk mit AR(1)-Prozess
Yt = + Yt-1 + ut
Bei AR(1)-Prozess fallen die Gewicht von ut-i mit i Bei nahe bei Eins ist ähnlicher Verlauf des AR(1)-
Prozesses zu erwarten wie bei random walk
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 7
Nicht-Stationarität: Konsequenzen
AR(1)-Prozess Yt = Yt-1 + ut mit Weißem Rauschen u
OLS-Schätzer für :
Für || < 1: konsistent Asymptotisch normalverteilt
Für = 1: wird unterschätzt Schätzer nicht normalverteilt spurious regression Problem bei 2 nicht-stat. Proz.
1
2ˆ t tt
t t
YY
Y
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 8
Spurious Regression
Yt sei ein random walk ohne Drift (wahres Modell):
Yt =Yt-1 + ut mit Weißem Rauschen u
Yt ist ein nicht-stationärer Prozess; stochastischer Trend Varianz von Yt ist Vielfaches von t
wird modelliert als (misspezifiziertes) Modell: Yt = + t + vt Deterministischer Trend Konstante Fehlervarianz
Was kann für den OLS-Schätzer für erwartet werden?
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 9
Spurious Regression, Forts.
Modellierung eines stochastischen Trends Yt =Yt-1 + ut durch einen deterministischen Trend Yt = + t + vt
Verteilungen der t- und F-Statistiken sind nicht die t- und F-Verteilung; kritische Schranken sind wesentlich größer!
Nullhypothese wird im t-Test zu oft verworfen! Bestimmtheitsmaß liegt bei etwa 0.45 (n=100), obwohl Yt
ein random walk ohne Trend!
Regression von Yt auf einen anderen, unabhängigen random walk Xt:
Testverteilungen sind nicht t und F. R2 ist zu groß ! [Granger & Newbold (1974)]
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 10
Modelle für Variable mit Trend
Liegt ein deterministischer Trend Yt = + t + ut vor
wird Yt im Niveau modelliert Yt = + t + ut
Modellieren in 1.Differenzen Yt = + vt hat auto- korrelierte Störgrößen vt zur Folge
(Schätzer sind unverzerrt, konsistent, HAC-Korrektur, asymptotisch normal verteilt)
Liegt ein RW vor Yt =Yt-1 + ut
fehlerhafter Entscheidungen, Varianz wird unterschätzt wird Yt in der 1.Differenz modelliert Yt = + ut
ut ist nicht autokorreliert, und hat konstante Varianz
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 11
Modelle für Variable mit Trend
Der unit-root-Test hilft beim Entscheiden, welche Spezifikation korrekt ist.
Stationärer Prozess Random walk (stoch. Trend) Deterministischer Trend
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 12
Eliminieren von Trends
Eliminieren eines Trends kann Stationarität herbeiführen. Trend-stationärer Prozess: der Prozess kann durch
Subtrahieren eines deterministischen Trends in einen stationären Prozess übergeführt werden.
Differenz-stationärer Prozess oder integrierter Prozess: stationärer Prozess kann durch das Bilden von Differenzen abgeleitet werden.
Ein stochastischer Prozess Y heißt integriert von der Ordnung Eins, wenn die ersten
Differenzen einen stationären Prozess ergeben: Y ~ I(1) integriert von der Ordnung d, wenn die d-fachen
Differenzen einen stationären Prozess ergeben: Y ~ I(d)
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 13
Eliminieren von Trends, Beispiele
Random walk Yt = + Yt-1 + ut mit Weißem Rauschen u:
Yt = Yt Yt-1 = + ut
ist ein stationärer Prozess; ein random walk ist ein differenzen-stationärer oder integrierter Prozess der Ordnung eins
Linearer Trend Yt = + t + ut besteht aus einem linearen Trend und Weißem Rauschen; Subtrahieren der Trendkomponente ( + t) liefert einen stationären Prozess; Yt ist ein trend-stationärer Prozess
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 14
Integrierte stochastische Prozesse
Random walk Yt = + Yt-1 + ut mit Weißem Rauschen u ist integriert von der Ordnung eins
Viele ökonomische Zeitreihen zeigen stochastische Trends; aus der AWM-Datendasis:
ARIMA(p,d,q)-Prozess: d-te Differenzen folgen einem ARIMA(p,q)-Prozess
Variable d
YER Brutto-Inlandsprodukt, real 1
PCR Privater Konsum, real 1-2
PYR Verf. Einkommen der HH, real 1-2
PCD Konsumdeflator 2
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 15
Unit-root-Test
AR(1)-Prozess Yt = Yt-1 + ut mit Weißem Rauschen u
OLS-Schätzer für
Verteilung von (sprich „Tau“)
|| < 1: näherungsweise t(n-1) = 1: Perzentile nach Dickey & Fuller
DF-Test zum Testen von H0: = 1 gegen H1: < 1
= 1: das charakter. Polynom hat die Wurzel eins
1
2ˆ t tt
t t
YY
Y
ˆ
ˆ( )se
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 16
Dickey & Fuller Perzentile
Monte Carlo geschätzt nach Fuller (1976)
n p = 0.01 p = 0.05 p = 0.10
25 -2.66 -1.95 -1.60
-3.75 -3.00 -2.63
-4.38 -3.60 -3.24
100 -2.60 -1.95 -1.61
-3.51 -2.89 -2.58
-4.04 -3.45 -3.15
N(0,1) -2.33 -1.65 -1.28
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 17
DF-Test: Alternative Darstellung
AR(1)-Prozess: Yt = Yt-1 + ut (auf beiden Seiten -Yt-1)oder Yt = (-1)Yt-1 + ut = Yt-1 + ut
DF-Test testet H0: -1) = 0 gegen H1: -1< 0
bzw. H0: = 0 gegen H1: < 0
bzw. H0: = 1 gegen H1: < 1
Teststatistik: = d/se(d)
mit d = und se(d) = se( )̂ˆ 1
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 18
DF-Test: Das Verfahren
Zwei Schritte:
1. Regression von Yt auf Yt-1 . Schätzen mit OLS. Yt = Yt-1 + ut
OLS-Schätzer d für
2. Test von H0: = 0 gegen H1: < 0 Teststatistik (t-Test): = d/se(d)Kritische Werte aus der Tabelle G3
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 19
DF-Test: Erweiterungen
DF-Test für Modell mit Interzept:
Yt = + Yt-1 + ut
DF-Test für Modell mit Interzept und Trend:
Yt = + t + Yt-1 + ut
DF-Test testet H0: = 0 gegen H1: < 0
Teststatistik: = d/se(d) (Modell mit Interzept)
= d/se(d) (Modell mit Interzept u Trend)
Kritische Werte aus Tabelle G3. Verteilungen sind unterschiedlich.
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 20
ADF-Test: Augmented DF-TestErweitertes Modell entsprechend einem AR(p)-ProzessYt = Yt-1 + 1Yt-1 … pYt-p + ut
Test von H0: = 0 gegen H1: < 0
Zwei Schritte: 1. Regression von Yt auf Yt-1 und Yt-1, …, Yt-p: OLS-
Schätzer d für 2. Test von H0: = 0 gegen H1: < 0
Teststatistik = d/se(d) Kritische Werte aus Tabelle G.2
Wahl von p automatisch mit AIC oder SBC.
Erweiterungen analog zum DF-Test
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Hackl, Einführung in die Ökonometrie (14) 21
Weitere Verfahren
Phillips-Perron-Test Alternatives Verfahren zum ADL-Test Teststatistik d/se(d) mit HAC-korrigiertem se(d)
Verfahren von Perron Mehrstufiges Verfahren für Yt = + t + Yt-1 + ut Schränkt das Modell mehr und mehr ein Siehe Abschnitt 14.5.1