KalkulusII Fungsi Transenden · Sifat-Sifat Logaritma Alami Jikaa danb bilangan-bilanganpositifdanr...

Kalkulus IIFungsi Transenden

Oleh:Tim Dosen Kalkulus II

Tahap Persiapan BersamaProgram Studi Matematika

ITK

1 Pebruari 2018

137

Kalkulus II

Tim Dosen Kalkulus II

2 Pendahuluan

Fungsi LogaritmaAlami

Fungsi Invers danTurunannya

Fungsi EksponensialAlami

Fungsi Eksponen danLogaritma Umum

Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen

Fungsi InversTrigonometri danTurunannya

Fungsi Hiperbolik danInversnya

Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi TransendenFungsi Logaritma Alami

Pendahuluan

137

Kalkulus II


3 Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi TransendenMateri

2.1 Fungsi Logaritma Alami2.2 Fungsi Invers dan Turunannya2.3 Fungsi Eksponen Alami2.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum2.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen2.6 Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya2.7 Fungsi Hiperbolik dan Inversnya

137

Kalkulus II


Pendahuluan

4 Fungsi LogaritmaAlami







Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi TransendenFungsi Logaritma Alami

Fungsi Logaritma Alami

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiDefinisi 2.1.1

Dx (x2

2 ) = x1,Dx (x) = x0,Dx (??) = x−1,

Dx (−1x ) = x−2,Dx (−

x−22 ) = x−3

Definisi 2.1.1Fungsi Logaritma Alami, dinyatakan oleh ln, didefinisikan oleh

f (x) = ln x =

∫ x

1

1t dt, x > 0

Daerah asal fungsi logaritma alami adalah himpunan bilangan realpositif.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiTurunan Fungsi Algoritma Alami

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus Pertama, kita dapatkan

Dx

∫ x

1

1t dt = Dx ln x =

1x , x > 0

Hasil tersebut dapat dikombinaskan dengan Aturan Rantai.Misalkan u = f (x) > 0 dan f terdeferensialkan, maka

Dx ln u =1u Dx u

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiContoh 2.1.1

contoh 2.1.1Carilah Dx ln(x2 − x − 2)PenyelesaianSoal ini bisa diselesaikan jika x2 − x − 2 > 0Karena x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) > 0 maka x < −1 atau x > 2Jadi daerah asal ln(x2 − x − 2) adalah (−∞,−1)

⋃(2,∞).

Pada daerah asal ini

Dx ln(x2 − x − 2) = 1x2 − x − 2Dx (x2 − x − 2) = 2x − 1

x2 − x − 2

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiTeorema 2.1.1

Teorema 2.1.1

Dx ln |x | =1x , x 6= 0

Setiap rumus diferensiasi, terdapat rumus integrasi yangberpadanan, yaitu∫ 1

x dx = ln |x |+ C , x 6= 0

BuktiPembuktiannya akan terbagi menjadi 2 kasus. Kita mulai dengankasus I yaitu x > 0, Dx ln |x | = Dx ln x = 1

x .Selanjutnya, untuk kasus II yakni x < 0,Dx ln |x | = Dx ln(−x) = 1

−x (−1) =1x �

Teorema ini menjawab∫

x r dx = x r+1/(r + 1) kecuali untukpangkat r = −1.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.1.2Carilah

∫ x2−xx+1 dx

Jawab

x2 − xx + 1 = (x − 2) + 2

x + 1∫ x2 − xx + 1 dx =

∫(x − 2)dx + 2

∫ 1x + 1dx

=x2

2 − 2x + 2∫ 1

x + 1dx

=x2

2 − 2x + 2 ln |x + 1|+ C

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiTeorema 2.1.2

Teorema 2.1.2Sifat-Sifat Logaritma AlamiJika a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilanganrasional, maka(i) ln 1 = 0 (ii) ln ab = ln a + ln b

(iii) ln ab = ln a − ln b (iv) ln ar = r ln a

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.1.3Dapatkan turunan dari y = ln 3

√(x−1

x2 x > 1Jawab menggunakan sifat logaritma alami untukmenyederhanakan y .

y = ln(x − 1x2 )1/3 =

13 ln(x − 1

x2 )

y =13 [ln(x − 1)− ln x2] =

13 [ln(x − 1)− 2 ln x ]

jadi,

dydx =

13 [

1x − 1 −

2x ] =

2− x3x(x − 1)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.1.4Dapatkan turunan dari y =

√1−x2

(x+1)2/3

Jawab Berdasarkan sifat logaritma alami didapatkan

ln y =12 ln(1− x2)− 2

3 ln(x + 1)

kemudian kita deferensialkan secara implisit terhadap x

1y

dydx =

−2x2(1− x2)

− 23(x + 1) =

−(x + 2)3(1− x2)

sehinggadydx = − y(x + 2)

3(1− x2)=−√1− x2(x + 2)

3(x + 1)2/3(1− x2)

=−(x + 2)

3(x + 1)2/3(1− x2)1/2

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiGrafik Logaritma Alami

Telah kita ketahui bahwa daerah asal dari f (x) = ln x adalahDf = {x > 0|x ∈ R} dan daerah hasilnya adalah Rf = R.Akibatnya, Dx ln x = 1

x > 0 dan D2x ln x = − 1

x2 < 0 pada (0,∞).lim

x→∞ln x =∞ dan lim

x→0+ln x = −∞

Gambar :

ddx ln |x | =

1x , x 6= 0;

∫ dxx = ln |x |+ C , x 6= 0

ddx ln |u(x)| =

u′(x)u(x) ,dengan syarat u(x) 6= 0 dan u terdiferensialkan

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiIntegral Trigonometri

Contoh 2.1.5Hitunglah

∫tan x dx

Jawab karena tan x = sinxcosx sehingga dapat membuat substitusi

u = cos x , du = − sin x dx untuk memperoleh∫tan x dx =

∫ sin xcos x dx =

∫−1cos x (− sin x dx) = − ln | cos x |+C

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Logaritma AlamiLatihan 2.1

nomor 1.Carilah turunan fungsi ln berikut dengan mengasumsikan dalamsetiap fungsi bahwa x dibatasi sehingga fungsi ln terdefinisia. Dx ln

√x

b. Dx ln(x2 + 3x + π)

c. Dx ln(x − 4)3

d. dydx jika y = sin(ln 2x)

d. dydx jika y = ln(sin 2x)

e. dydx jika y = ln 1−x2

1+x2

f. dydx jika y = x2 ln x2 + (ln x)3

g. dydx jika y = ln x

x2 ln x2 + (ln 1x )

3

h. dydx jika y = ln(x +

√x2 + 1)

i. dydx jika y = ln(x +

√x2 − 1)

j. f ′(81) jika f (x) = ln 3√

xk. f ′(π4 ) jika f (x) = ln cos x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 2.Carilah integral-integral berikuta.∫ 6v+9

3v2+9v dvb.∫ −1

x(ln x)2 dx

c.∫ 30

x4

2x5+π dx

d.∫ π/30 tan x dx

e.∫ 10

t+12t2+4t+3 dt

f.∫ cos x

1+sin x dx

g.∫ x2

x−1 dx

h.∫ x2+x

2x−1 dx

i.∫ x4

x+4 dx

j.∫ x3+x2

x+2 dx

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 3.Tuliskan ekspresi berikut sebagai logaritma suatu besaran tunggala. 2 ln(x + 1)− ln xb. 1

2 ln(x − 9) + 12 ln x

c. ln(x − 2)− ln(x + 2) + 2 ln xd. ln(x2 − 9)− 2 ln(x − 3)− ln(x + 3)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 4.Carilah dy

dx dengan menggunakan diferensiasi logaritmika. y = x+11√

x3−4

b. y = (x2 + 3x)(x − 2)(x2 + 1)

c. y = (x2+3)2/3(3x+2)2√x+1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 5.Manfaatkan grafik fungsi y = ln x yang telah diketahui untukmensketsakan grafik persamaan-persamaan berikuta. 2 ln |x |b. ln 1

xc. ln

√x

d. ln(x − 2)

137

Kalkulus II


Pendahuluan


20 Fungsi Invers danTurunannya






Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi TransendenFungsi Invers dan Turunannya

Fungsi Invers dan Turunannya

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Salah satu cara mengkonstruksi fungsi baru dari fungsi yang telahada adalah mem-"balik" (melakukan inversi) fungsi tersebut.Suatu fungsi f mengambil suatu nilai x dari daerah asalnya D danmemadankannya dengan nilai tunggal y dari daerah hasilnya R.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Gambar :

Perhatikan bahwa daerah asal f −1 adalah R dan daerah hasilnyaadalah D. Fungsi ini disebut fungsi invers (fungsi balikan) f .Gambar diatas adalah y = f (x) = 2x , maka x = f −1(y) = 1

2y .Begitu pula jika y = f (x) = x3 − 1, maka x = f −1(y) = 3

√y + 1.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Invers dan TurunannyaKeberadaan Fungsi Invers

Teorema 2.2.1Jika f monoton murni pada daerah asal, maka f mempunyaiinvers.Bukti Misalkan x1 dan x2 adalah dua bilangan dalam daerah asalf , dengan x1 < x2. Karena f monoton, f (x1) < f (x2) atauf (x1) > f (x2). Bagaimanapun f (x1) 6= f (x2). Jadi x1 6= x2 berartif (x1) 6= f (x2) yang bermakna bahwa f adalah fungsi satu-satudan karenanya mempunyai invers.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Berdasarkan Teorema sebelumnya kita mempunyai cara mudahuntuk menentukan apakah fungsi f monoton murni dengan cukupmemeriksa tanda f ′ serta kita perlu membatasi daerah asal fungsiagar fungsi tersebut monoton murni pada daerah tersebut,sehingga terdapat fungsi invers.

Contoh 2.2.1Perhatikan bahwa f (x) = x5 + 2x + 1 memiliki invers.Jawab f ′(x) = 5x4 + 2 > 0 untuk semua x . jadi f naik padaseluruh garis real (domainnya) sehingga f memiliki invers.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Terdapat cara untuk membuat suatu fungsi memiliki invers darisuatu fungsi yang awalnya tidak memiliki invers dalam daerahasalnya karena tidak monoton, kita cukup membatasi daerahasalnya pada suatu himpunan sehingga fungsi tersebut pada selangdaerah asal yang baru akan turun atau akan naik saja (monoton).Misalnya untuk y = f (x) = x2 kita dapat membatasi pada daerahasal x ≥ 0 atau x ≤ 0 sedangkan untuk y = g(x) = sin x , kitadapat membatasi pada interval [−π/2, π/2]

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.2.2Perhatikan bahwa f (x) = 2x + 6 memiliki invers, cari rumus untukf −1(y) dan periksa kebenarannya.Jawab oleh karena f fungsi naik, maka mempunyai invers. Untukmencari f −1(y), kita memecahkan f (x) = 2x + 6 untuk x ,sehingga x = (y − 6)/2 = f −1(y).

f −1(f (x)) = f −1(2x + 6) = (2x + 6)− 62 = x

f (f −1(y)) = f (y − 62 ) = 2(y − 6

2 ) + 6 = y

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Invers dan TurunannyaGrafik Fungsi Invers

Misalkan f memiliki invers, maka

x = f −1(y) ⇔ y = f (x).

Akibatnya y = f (x) dan x = f −1(y) menentukan pasangan (x , y)yang sama, sehingga memiliki grafik yang identik. Dapat kitabayangkan bahwa dengan menukar peranan x dan y pada grafiktidak lain merupakan hasil pencerminan grafik terhadap garisy = x . Jadi grafik y = f −1(x) adalah gambar cermin grafiky = f (x) terhadap garis y = x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Gambar :

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Dari y = f (x) ⇔ x = f −1(y), aturan fungsi invers dapatditentukan dengan tiga langkah berikut

1 Selesaikan persaman y = f (x) untuk x dalam bentuk y .2 Gunakan f −1(y) untuk menamai ekpresi yang dihasilkandalam y .

3 Gantikan y dengan x untuk mendapat rumus untuk f −1(x)Perhatikan bahwa pada saat y = f (x) = x2 didapatkan x = ±√y ,yang segera memperlihatkan bahwa f −1 tidak ada, tentu sajaterkecuali kita membatasi daerah asal untuk menghilangkan salahsatu tanda (+) atau (-)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.2.3Carilah f −1 jika y = f (x) = x

1−xJawabLangkah 1

y =x

1− x(1− x)y = x

y − xy = xx + xy = y

x(1+ y) = y

x =y

1+ y

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.2.3Langkah 2

f −1(y) = y1+ y

Langkah 3

f −1(x) = x1+ x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Invers dan TurunannyaTurunan Fungsi Invers

Teorema 2.2.2Teorema Fungsi InversMisalkan f adalah fungsi yang dapat diturunkan dan monotonmurni pada interval I. Jika f ′(x) 6= 0 di suatu x tertentu dalam I,maka f −1 dapat diturunkan di titik yang berpadanan y = f (x)dalam daerah hasil f dan

(f −1)′(y) = 1f ′(x)

Kesimpulan Teorema diatas seringkali dituliskan dalam

dxdy =

1dy/dx

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.2.4Tentukan turunan dari invers y = x3

Jawab Gunakan relasi

y = x3 ⇔ x = 3√y = y1/3

maka

dxdy =

1dydx

=13x2 =

13(y1/3)2

=1

3y2/3 =1

3 3√

y2

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.2.5Misalkan y = f (x) = x5 + 2x + 1, carilah (f −1)′(4)Jawab perhatikan bahwa y = 4 berpadanan dengan x = 1, dankarena f ′(x) = 5x4 + 2Berdasarkan Teorema Fungsi Invers maka,

(f −1)′(4) = 1f ′(1) =

15+ 2 =

17

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Invers dan TurunannyaLatihan 2.2

nomor 1Dalam setiap kasus dalam gambar 4, tentukan apakah fmempunyai invers.

Gambar :

[!h]

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 2Perlihatkan bahwa f memiliki invers dengan memperlihatkan fmonoton murni.a. f (x) = −x5 − x3

b. cos θ, 0 ≤ θ ≤ πc. cot x = cos x

sin x , 0 < x ≤ π2

d. f (z) = (z − 1)2, z ≥ 1e. f (x) = x7 + x5

f. f (x) = x2 + x − 6, x ≥ 2

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 3Carilah rumus untuk f −1(x)a. f (x) = x + 1b. f (x) = − x

3 + 1c. f (x) =

√x + 1

d. f (x) = −√1− x

e. f (x) = − 1x−3

f. f (x) =√

1x−2

g. f (x) = 4x2, x ≤ 0h. f (x) = (x − 3)2, x ≥ 3i. f (x) = (x − 1)3j. f (x) = x 5

2

k. f (x) = x−1x+1

l. f (x) = ( x−1x+1 )

3

m. f (x) = x3+2x3+1

n. f (x) = ( x3+2x3+1 )

5

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 4Batasi daerah asal f , agar f memiliki invers, tetapi tetapmempertahankan daerah hasil seluas mungkin. Kemudian carilahf −1(x) dengan menggambar f terlebih dahulua. f (x) = 2x2 + x − 4b. f (x) = x2 − 3x + 1

nomor 5Hitunglah (f −1)′(b) jika f (x) = x3 + x + 1 dan b = 1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 6Sketsakan grafik y = f −1(x)dan estimasi nilai (f −1)′(3).

Gambar :

[!h]

137

Kalkulus II


Pendahuluan



40 Fungsi EksponensialAlami





Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi TransendenFungsi Eksponensial Alami

Fungsi Eksponensial Alami

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Fungsi logaritma alami adalah fungsi yang diferensiabel (karenanyaia kontinu) dan naik pada domain D = (0,∞); dengan daerahhasil R = (−∞,∞). Fungsi yang demikian telah kita pelajari padasubbab 2.2, dan karenanya y = f (x) = ln x memiliki invers ln−1dengan domain (−∞,∞) dan daerah hasil (0,∞).

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Gambar :

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Eksponensial AlamiDefinisi 2.3.1

Definisi 2.3.1Invers dari ln disebut fungsi eksponensial alami dan dinotasikansebagai exp. Dengan demikian,

x = exp y ⇔ y = ln x

Berdasarkan definisi tersebut, kita dapatkan1. exp(ln x) = x , x > 02. ln(exp y) = y , untuk semua y

Karena exp dan ln adalah fungsi yang saling invers, maka grafikdari y = exp x adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadapgaris y = x .

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Gambar :

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Eksponensial AlamiSifat-Sifat Fungsi Eksponensial

Definisi 2.3.2Huruf e menotasikan suatu bilangan real positif dan tunggalsedemikian sehingga terpenuhi ln e = 1.

Pendefinisian bilangan Euler e sering muncul dalam banyak versi,di antaranya adalah

I e = ln−1 1I e = limh→0(1+ h) 1

h

I e = limn→∞(1+ 1

1! +12! + · · ·+

1n!)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Eksponensial AlamiSifat-Sifat Fungsi Eksponensial

Teorema 2.3.1Misalkan a dan b adalah sebarang bilangan real, makaeaeb = ea+b dan ea/eb = ea−b.

Bukti Untuk membuktikannya, pertama kita tulis

eaeb = exp(ln eaeb) persamaan (1)= exp(lnea + ln eb) Teorema sebelumnya= exp(a + b) persamaan (2)’= ea+b karena exp x = ex

Bagian kedua dibuktikan dengan cara yang hampir sama.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Eksponensial AlamiTurunan dari ex

Karena exp dan ln adalah dua buah fungsi yang saling invers,maka exp x = ex dapat diturunkan.

x = ln ykita turunkan kedua sisi terhadap x . Dengan menggunakanAturan Rantai, diperoleh:

1 =1y Dx y

Dengan demikian,Dx y = y = ex

Kita telah membuktikan fakta bahwa ex adalah turunan bagidirinya sendiri; yaitu

Dx ex = ex

Dengan demikian, y = ex adalah solusi bagi persamaan diferensialy ′ = y . Jika u = f (x) dapat diturunkan, maka Aturan Rantaimenghasilkan

Dx eu = euDx u

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.3.1Dapatkan Dx e

√x

Jawab Dengan memisalkan u =√

x , kita dapatkan

Dx e√

x = e√

x Dx√

x = e√

x · 12x−1/2 = e√

x

2√

x

Contoh 2.3.2Dapatkan Dx ex2 ln x

Jawab

Dx ex2 ln x = ex2 ln x Dx (x2 ln x)

= ex2 ln x(

x2 · 1x + 2x ln x))

= xex2 ln x (1+ ln x2)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.3.3Hitung

∫e−4x dx

Jawab Misalkan u = −4x , maka du = −4 dx . Selanjutnya kitaperoleh∫

e−4x dx = −14

∫eudu = −1

4eu + C = −14e−4x + C

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.3.4Hitung

∫ 21

6e1/x

x2 dxJawab Dengan memisalkan u = 1/x , kita dapatkandu = (−1/x2)dx . Selanjutnya, u = 1 untuk x = 1 dan u = 1/2untuk x = 2. Kemudian,∫ 2

1

6e1/x

x2 dx =

∫ 1/2

1−6eudu

=

∫ 1

1/26eudu

= [6eu]11/2

= 6(e −√

e)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Eksponensial AlamiLatihan 2.3

nomor 1Dengan menggunakan kalkulator, dapatkan nilai-nilai berikut:(a) e3 (b) e2,1

(c) e√2 (d) ecos(ln 4)

nomor 2Sederhanakan ekspresi berikut:(a) e3 ln x (b) e−2 ln x

(c) ln ecos x (d) ln(x3e−3x )

(e) e ln 3+2 ln x (f) e ln x2−y ln x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 3Dapatkan Dx y(a) y = ex+2 (b) y = e2x2−x

(c) y = e√

x+2 (d) y =√

ex2 + e√

x2

(e) y = e1/x2+ 1/ex2 (f) y = ex3 ln x

(g) exy + xy = 2 Hint: Gunakan turunan implisitnomor 4Dapatkan daerah asal fungsi f yang diberikan. Kemudiantentukan selang di mana daerah asal naik, turun, cekung ke atas,dan cekung ke bawah. Identifikasi semua nilai ekstrim dan titikbeloknya. Kemudian sketsakan grafiknya(a) f (x) = e2x (b) f (x) = ln(x2 + 1)(c) f (x) = ln(2x − 1) (d) f (x) = e1−x2

(e) f (x) =∫ x0 e−t2dt (f) f (x) =

∫ x0 te−tdt

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 5Hitung masing-masing integral berikut:(a)

∫e3x+1dx (b)

∫xex2−3dx

(c)∫ ex

ex−1dx (d)∫ e−1/x

x2 dx(e)

∫ x+ex

e dx (f)∫(x + 3)ex2+6x dx

(g)∫ 10 e2x+3dx (h)

∫ 21

e3/x

x2 dx

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


nomor 6Dapatkan volume benda padat yang didapatkan dengan caramemutar daerah yang dibatasi kurva y = ex , y = 0, x = 0, danx = ln 3 terhadap sumbu−xnomor 7Daerah yang dibatasi oleh y = e−x2 , y = 0, x = 0, dan x = 1diputar terhadap sumbu−y . Dapatkan volume benda padat yangdihasilkan.nomor 8Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = e−x dan garisyang melalui titik (0, 1) dan (1, 1/e).nomor 9Tunjukkan bahwa f (x) = x

ex−1 − ln(1− e−x ) turun pada x > 0.

137

Kalkulus II


Pendahuluan




55 Fungsi Eksponen danLogaritma Umum




Post Test I


ITKBalikpapan

Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

Fungsi Eksponen dan LogaritmaUmum

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum

ar = exp(ln ar ) = exp(r ln a) = er ln a

Definisi 2.4.1Untuk sebarang a > 0 dan sebarang bilangan real x ,

ax = ex ln a

Selanjutnya, berdasarkan definisi di atas, kita dapatkan sifatsebagai berikut:

ln(ax ) = ln(ex ln a) = x ln a

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Sifat-Sifat ax

Teorema 2.4.1Sifat-sifat eksponenMisalkan a > 0, b > 0 dan x dan y adalah bilangan real, maka

(i) ax ay = ax+y

(ii) ax

ay = ax−y

(iii) (ax )y = axy

(iv) (ab)x = ax bx

(v)( a

b)x

= ax

bx

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Bukti(ii)

ax

ay = e ln(ax/ay ) = e ln ax−ln ay

= ex ln a−y ln a = e(x−y) ln a = ax−y

(iii) (ax )y = ey ln ax= eyx ln a = ayx = axy

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Aturan Fungsi Eksponen

Teorema 2.4.2

Dx ax = ax ln a∫ax dx =

(1ln a

)ax + C , a 6= 1

buktiDx ax = Dx (ex ln a) = ex ln aDx (x ln a) = ax ln a

Pembuktian formula integral secara langsung mengikuti dariformula turunan

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.4.11. Dapatkan Dx (3

√x )

2. Dapatkan dy/dx jika y = (x4 + 2)5 + 5x4+2

3. dapatkan∫2x3x2dx

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.4.1Jawab1. Dengan Aturan Rantai dan misalkan u =

√x ,

Dx (3√

x ) = 3√

x ln 3 · Dx√

x

=3√

x ln 32√

x

2.

dydx =

d[(x4 + 2)5 + 5x4+2

]dx

= 5(x4 + 2)4 · 4x3 + 5x4+2 ln 5 · 4x3

= 20x3[(x4 + 2)4 + 5x4+1 ln 5

]

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.4.1Jawab Misalkan u = x3 maka du = 3x2 dx , sehingga∫

2x3x2dx =

∫ 132

udu

=13

(1ln 2

)2u + C

=13

(1ln 2

)2x3

+ C

=2x3

3 ln 2 + C

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Fungsi loga

Definisi 2.4.2Misalkan a adalah bilangan positif selain 1. Maka

y = loga x ⇔ x = ay

Secara umum, jika logaritma tersebut memiliki basis 10, maka kitasebut sebagai logaritma biasa. Namun, dalam kalkulus maupunilmu matematika lanjut, basis signifikan yang dipakai adalah e.Perhatikan bahwa loge adalah invers dari f (x) = ex yangmerupakan bentuk lain dari ln; yaitu

loge x = ln x

Misalkan y = loga x , sehingga x = ay , maka

ln x = y ln a

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Dengan demikian, kita simpulkan bahwa

loga x =ln xln a

Dari bentuk di atas, terlihat bahwa loga memenuhi sifat-sifat yangberhubungan dengan logaritma. Akibatnya, kita peroleh

Dx loga x =1

x ln a

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.4.2jika y = log10(x4 + 13), dapatkan dy

dx

jawab Misalkan u = x4 + 13, maka du = 4x3 dx dan denganAturan Rantai,

dydx =

1(x4 + 13) ln 10 · 4x3 =

4x3

(x4 + 13) ln 10

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Fungsi ax , xa, dan x x Turunan dari fungsi eksponensial y = ax

dan fungsi pangkat y = xa masing- masing adalah

Dx (ax ) = ax ln a

dan

Dx (xa) = Dx (e ln xa) = ea ln x · a

x = xa · ax = axa−1

Formula di atas berlaku untuk a rasional maupun irasional. Aturanintegral pun berlaku untuk a irasional, yaitu∫

xadx =xa+1

a + 1 + C , a 6= −1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.4.3Jika y = x x , x > 0, dapatkan Dx y dengan dua metode yangberbeda.

jawab Metode 1 Pertama, kita tulis

y = x x = ex ln x

Dengan Aturan Rantai dan Aturan Perkalian,

Dx y = ex ln x Dx (x ln x) = x x(

x · 1x + ln x)

= x x (1+ ln x)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Metode 2 Ingat kembali teknik turunan logaritma pada subbabsebelumnya.

y = x x

ln y = x ln x1y Dx y = x · 1x + ln x

Dx y = y(1+ ln x) = x x (1+ ln x)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.4.4Jika y = (x2 + 1)π + πsin x , dapatkan dy/dx .

jawab Dengan menggunakan turunan logaritma, kita dapatkan

dydx = π(x2 + 1)π−1(2x) + πsin x lnπ · cos x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.4.5Hitung

∫ 11/2

51/x

x2 dx

jawab Misalkan u = 1/x , sehingga du = (−1/x2) dx . u = 2untuk x = 1/2 dan u = 1 untuk x = 1. Dengan demikian,∫ 1

1/2

51/x

x2 dx =

∫ 1

2−5udu

=

∫ 2

15udu

=

[5u

ln 5

]21

=52ln 5 −

5ln 5

=20ln 5

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.4.nomor 1 Dapatkan nilai x . Hint: loga b = c ⇔ ac = b1. log2 8 = x2. logx 64 = 43. 2 log9 x

3 = 14. log4 1

2x = 35. log2(x + 3)− log2 x = 26. log5(x + 3)− log5 x = 1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.4.nomor 2 Dapatkan turunan atau integral dari1. Dx (62x )

2. Dx (32x2−3x )

3. Dx log3 ex

4. Dx log1 0(x3 + 9)5. Dz [3z ln(z + 5)]6.∫

x2x2dx7.∫105x−1dx

8.∫ 41

5√

x√

x dx

9.∫ 10 (10

3x + 10−3x )dx

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.4.nomor 3 Dapatkan dy/dx1. y = 10(x2) + (x2)10

2. y = sin2 x + 2sin x

3. y = xπ+1 + (π + q)x

4. y = (x2 + 1)ln x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.4.nomor 3 Dapatkan daerah asal dari setiap fungsi f yangdiberikan, kemudian cari selang naik, turun, cekung atas, dancekung bawah. Identifikasi juga nilai-nilai ekstrim dan titikbeloknya. Selanjutnya sketsakan grafik y = f (x)1. f (x) = 2−x

2. f (x) = log2(x2 + 1)3. f (x) =

∫ x1 2−t2dt

4. f (x) =∫ x0 log10(t2 + 1) dt

137

Kalkulus II


Pendahuluan





75 Pertumbuhan danPeluruhan Eksponen



Post Test I


ITKBalikpapan


Pertumbuhan dan PeluruhanEksponen

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Dalam bentuk limit, kita dapatkan bentuk persamaan diferensial

dydx = ky

Jika k > 0, maka populasi akan naik. Jika k < 0, maka populasiakan turun. Untuk populasi dunia, sejarah mengindikasikan nilai ksekitar 0,0132(dengan mengasumsikan t yang diukur dalam tahun)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Menyelesaikan Persamaan Diferensial

dyy = k dt∫ dyy =

∫k dt

ln y = kt + C

Syarat y = y0 pada saat t = 0 memberikan C = ln y0. Dengandemikian,

ln y − ln y0 = kt ⇔ yy0

= ekt

atauy = y0ekt (1)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Saat k > 0, tipe persamaan disebut pertumbuhan eksponensial,dan saat k < 0, disebut sebagai peluruhan eksponensial.Kembali ke permasalahan populasi dunia, kita coba untukmenghitung t sebagai waktu dalam satuan tahun setelah 1 Januari2004, dan y dalam satuan miliar orang. Dengan demikian,y0 = 6, 4 dan kita pilih k = 0, 0132, maka

y = 6, 4e0,0132t

Menjelang tahun 2020, saat t = 16, kita bisa memprediksikanbahwa y akan sekitar

y = 6, 4e0,0132(16) ≈ 7, 9 miliar orang

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.5.1Berdasarkan asumsi di atas, berapa lama jumlah populasi duniamenjadi dua kali dari jumlah sekarang?

JawabPertanyaan tersebut ekivalen dengan menanyakan "dalamberapa tahun setelah 2004, populasi akan mencapai 12,8 miliar?"Dengan demikian, kita perlu menyelesaikan

12, 8 = 6, 4e0,0132t

2 = e0,0132t

ln 2 = 0, 0132t

t =ln 2

0, 0132 ≈ 53 tahun

Jika populasi dunia akan menjadi dua kali lipat pada 53 tahunpertama setelah 2004

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Peluruhan RadioakifDalam berbagai kasus, tidak semuanya mengalami pertumbuhan.Namun, ada beberapa yang mengalami penurunan ataupengurangan sehingga jumlahnya menjadi lebih kecil dari jumlahawal. Sebagai contoh, elemen radioktif mengalami peluruhandengan laju yang sebanding dengan jumlah saat ini. Dengandemikian, laju perubahannya juga memenuhi persamaan diferensial

dydx = ky

tetapi dengan nilai k negatif dan y = y0ekt tetap menjadi solusibagi persamaan diferensial tersebut

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.5.2Carbon 14 bersifat radioaktif dan meluruh pada sebuah laju yangsebanding dengan jumlah awalnya. Waktu paruhnya adalah 5730tahun, yakni, ia membutuhkan 5730 tahun untuk meluruhsetengah dari jumlah aslinya. Jika saat ini terdapat 10 gramCarbon, berapakah massanya setelah 2000 tahun?

JawabKarena waktu paruh Carbon 14 adalah 5730 tahun, makakita dapat menentukan nilai k dari

12 = 1ek(5730)

− ln 2 = 5730k

k =− ln 25730 ≈ 0, 000121

y = 10e0,000121t

Pada t = 2000, kita dapatkany = 10e0,000121(2000) ≈ 7, 85 gram

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Hukum Pendinginan NewtonHukum Pendinginan Newton menyatakan bahwa laju perubahanpada sebuah benda yang mendingin atau memanas sebandingdengan selisih antara suhu benda tersebut dengan suhulingkungan. Lebih khusus, misalkan sebuah benda yangditempatkan di dalam sebuah ruang bersuhu T memiliki suhu awalT0. Jika T (t) menotasikan suhu benda pada waktu t, makaHukum Pendinginan Newton menyatakan

dTdt k(T − T1)

Persamaan diferensial ini bisa diselesaikan dengan pemisahanvariabel sebagaimana masalah pertumbuhan dan peluruhan padasubbab ini.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.5.3Sebuah benda diambil dari oven pada suhu 3500F kemudianditinggalkan agar mendingin pada suatu ruang yang bersuhu 700F .Jika suhu benda tersebut turun menjadi 2500F dalam waktu satujam, menjadi berapakah suhunya pada tiga jam berikutnya?

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Lanjutan Contoh 2.5.3

JawabKita bisa menulis persamaan diferensial sebagai

dTdt = k(T − 70)

dTT − 70 = k dt∫ dTT − 70 =

∫kdt

ln |T − 70| = kt + C

Karena suhu awalnya lebih besar dari 70, maka cukup masuk akaljika benda tersebut akan mendingin hingga suhunya mencapai 70,dengan demikian T − 70 akan bernilai positif dan nilai mutlaknyatidak dibutuhkan. Akibatnya

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan



Jawab

T − 70 = ekt+C

T = 70+ C1ekt

dengan C1 = eC . Sekarang kita substitusikan nilai T (0) = 350untuk mendapatkan C1:

350 = T (0) = 70+ C1ek·0

280 = C1

Dengan demikian, solusi dari persamaan diferensial adalah

T (t) = 70+ 280ekt

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan



Jawab Untuk mendapatkan k kita masukkan syarat batas bahwapada waktu t = 1, benda tersebut bersuhu T (1) = 250.

250 = T (1) = 70+ 280ek·1

280ek = 180ek =

180280

k = ln 180280 ≈ −0, 44183

Akibatnya, kita peroleh solusi

T (t) = 70+ 280e−0,44183t

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Bunga MajemukJika kita menabung di bank Rp 100 juta dengan suku bungamajemuk bulanan 12%, maka tabungan tersebut akan bernilaiRp 100(1, 01) juta pada akhir bulan pertama, Rp 100(1, 01)2 jutapada akhir bulan kedua, dan setelah satu tahun atau pada akhirbulan keduabelas besarnya tabungan adalah Rp 100(1, 01)12 juta.Secara umum, jika kita menabung sebesar A0 rupiah di bankdengan suku bunga majemuk 100r persen selama n tahun, makatabungan tersebut akan bernilai A(t) rupiah pada akhir tahun ke tdengan

A(t) = A0

(1+ r

n

)nt

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.5.4Misalkan Karina menabung di bank sebesar Rp 500 juta dengansuku bunga majemuk harian 4%. Berapakah uang Karina setelahakhir tahun ketiga?

Jawab Dalam kasus ini, r = 0, 04 dan n = 365, sehingga

A = 500(1+ 0, 04

365

)365(3)≈ Rp 563, 74 juta.

Sekarang, perhatikan apa yang terjadi apabila suku bunganyaterhitung secara kontinu, yakni saat n, banyaknya periode yangterhitung dalam satu tahun, menuju tak hingga. Maka,

A(t) = limn→∞

A0

(1+ r

n

)nt= A0 lim

n→∞

[(1+ r

n

)n/r]rt

= A0

[limh→0

(1+ h)1/h]rt

= A0ert

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan



Jawab Di sini kita mengganti r/n dengan h dan perhatikan bahwan→∞ bersesuaian dengan h→ 0. Namun, langkah besarnyaadalah memahami bahwa pernyataan yang ada di dalam kurungadalah bilangan e. Hasil ini cukup penting dan karenanya disebutdalam sebuah teorema sebagai berikut

Teorema 2.5.1

limh→0

(1+ h)1/h = e

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Teorema 2.5.1

Bukti Pertama ingat kembali bahwa jika f (x) = ln x , makaf ′(x) = 1/x dan f ′(1) = 1. Kemudian, berdasarkan definisiturunan dan sifat-sifat dari ln, kita dapatkan

1 = f ′(x) = limh→0

f (1+ h)− f (1)h = lim

h→0

ln(1+ h)− ln 1h

= limh→0

1h ln(1+ h) = lim

h→0ln(1+ h)1/h

Dengan demikian, limh→0 ln(1+ h)1/h = 1, sebuah hasil yang akankita gunankan nanti. Sekarang, g(x) = ex = exp x adalah sebuahfungsi yang kontinu dan oleh karenanya ia dapat mencapai limitpada fungsi eksponensial dalam argumen berikut:

limh→0

(1+ h)1/h = limh→0

exp[ln(1+ h)1/h] = exp[limh→0

ln(1+ h)1/h]

= exp 1 = e�

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.5.5Misalkan bank pada contoh 2.5.4 memberlakukan suku bungamajemuk kontinu, Berapa banyak uang Karin yang akan diterimasetelah akhir tahun ketiga?

Jawab

A(t) = A0ert = 500.000.000e(0,04)(3) ≈ Rp 563.750.000

�

cara lain untuk menghitung pembayaran suku bunga majemukyang dibayarkan secara kontinu. Misalkan A adalah besarnyamodal pada waktu t dari A0 rupiah yang diinvestasikan dengansuku bunga r , dengan mengatakan bahwa laju perubahan Aterhadap waktu adalah rA, dengan demikian,

dAdt = rA

Persamaan diferensial ini mempunyai solusi A = A0ert .

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.5Pada soal nomor 1 sampai 4, selesaikan persamaan diferensialdengan syarat batas yang diberikan. Perhatikan bahwa y(a)menotasikan nilai dari y pada saat t = a.

1. dydt = −6y , y(0) = 4

2. dydt = 0, 005y , y(10) = 2

3. dydt = 0, 003y , y(−2) = 3

4. dydt = 6y , y(0) = 1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.5

nomor 5a. Populasi awal bakteri sebanyak 10.000 dan setelah

inkubasi selama 10 hari menjadi 20.000. Berapakahbanyaknya bakteri dalam populasi tersebut setelah25 hari?

b. Berapa waktu inkubasi yang dibutuhkan agarpopulasi tersebut menjadi dua kali lipat dan tigakali lipat?

nomor 6Massa sebuah tumor tumbuh dengan laju yang sebanding denganukurannya. Saat pertama kali diukur, massanya 4 gram. Empatbulan kemudian massanya menjadi 6,76 gram. Berapa besar tumortersebut saat enam bulan sebelum pertema kali diukur?

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.5

nomor 7Cesium 137 dan strontonium 90 merupakan dua bahan kimia yangbesifat radioaktif dan dilepas pada reaktor nuklir Chernobyl padabulan April 1986. Waktu paruh cesium 137 adalah 30,22 tahundan waktu paruh strontonium 90 adalah 28,8 tahun. Pada tahunberapakah masing-masing Cesium dan Strontonium menjadi 1%dari pertama kali dilepaskan?nomor 8Seseorang yang telah meninggal ditemukan pada 10 P.M. Saat itubersuhu 820F . Satu jam berikutnya, suhunya menjadi 760F .Ruangan bersuhu konstan 700F . Apabila tubuh orang tersebutsaat masih hidup bersuhu 98, 60F , perkirakan berapa lama orangtersebut telah meninggal?

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.5

nomor 9Selesaikan persamaan diferensial Hukum Pendinginan Newtonuntuk sebarang T0,T1, dan k dengan mengasumsikan bahwaT0 > T1. Tunjukan bahwa limt→∞ T (t) = T1nomor 10Jika $375 ditabung di bank hari ini, menjadi berapakah tabungantersebut pada akhir tahun kedua jika suku bunganya 3, 5%dibayarkan:

a. setiap setahun sekalib. setiap sebulan sekalic. setiap harid. kontinu

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.5

nomor 11Diberikan persamaan untuk pertumbuhan logistik sebagai berikut:

dydx = ky(L− y).

Tunjukkan bahwa persamaan diferensial ini memiliki solusi

y =Ly0

y0 + (L− y0)e−Lkt

Hint: 1y(L−y) =

1Ly + 1

L(L−y) .

137

Kalkulus II


Pendahuluan






97 Fungsi InversTrigonometri danTurunannya


Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya

Fungsi Invers Trigonometri danTurunannya

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


kita akan memperkenalkan notasi invers untuk fungsi-fungsitrigonometri dengan cara membatasi domain (restricting domain)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Invers Sinus dan CosinusGrafik dari invers fungsi sinus dan cosinus didapatkan dengan caramencerminkan terhadap garis y = x . Namun, sebelumnya kitaperlu menentukan domain mana yang berlaku agar masing-masingfungsi sinus dan cosinus memiliki invers. Pada sinus pembatasandomain dilakukan pada [−π2 ,

π2 ] sedangkan pembatasan domain

untuk cosinus dilakukan pada [0, π]

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Definisi 2.6.1Secara formal, invers dari sinus dan cosinus dituangkan dalamdefinisi berikutBatasan domain dari masing-masing invers fungsi sinus dancosinus adalah [−π/2, π/2] dan [0, π], sedemikian sehingga

x = sin−1 y ⇔ y = sin x ,−π2 ≤ x ≤ π

2x = cos−1 y ⇔ y = cos x , 0 ≤ x ≤ π

Simbol arcsin seringkali digunakan untuk sin−1 dan arccosseringkali digunakan untuk cos−1. x = arcsin y bermakna"besarnya busur atau sudut (arc or angle) x sehingga sinus dari xbernilai y".

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.6.1Hitung

(a) sin−1(√2/2)

(b) cos−1(− 1

2)

(c) cos(cos−1 0, 6)(d) sin−1(sin 3π/2)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.6.1

Jawab(a) sin−1(

√2/2) = π

4(b) cos−1

(− 1

2)= 2π

3(c) cos(cos−1 0, 6) = 0, 6(d) Perhatikan bahwa daerah asal (domain) dari sin−1 y

adalah [−π/2, π/2]. Akibatnya,sin−1(sin 3π/2) = sin−1(−1) = −π/2

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Invers Tangent dan Secant

Definisi 2.6.2Untuk mendapatkan invers untuk tangent dan secant, kita batasidomain untuk invers tangen pada (−π/2, π/2), sedangkanbatasan domain untuk invers secant adalah [0, π/2) ∪ (π/2, π],sedemikian sehingga

x = tan−1 y ⇔ y = tan x ,−π2 ≤ x ≤ π

2x = sec−1 y ⇔ y = sec x , 0 ≤ x ≤ π, x 6= π

2

Untuk memudahkan kita mengingat formula invers secant,perhatikan bahwa sec x = 1/ cos x , sehingga bisa kita dapatkanbahwa

sec−1 y = cos−1(1/y).

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Beberapa Identitas Trigonometri

Teorema 2.6.1(i) sin(cos−1 x) =

√1− x2

(ii) cos(sin−1 x) =√1− x2

(iii) sec(tan−1 x) =√1+ x2

(iv) tan(sec−1 x) ={ √

x2 − 1, untuk x ≥ 1;−√

x2 − 1, untuk x ≤ −1.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.6.2Dengan menggunakan formula sudut ganda pada sinus,sin 2θ = 2 sin θ cos θ, kita bisa menghitung sin

[2 cos−1

( 23)]

sebagai berikut:

jawab

sin[2 cos−1

(23

)]= 2 sin

[cos−1

(23

)]cos[cos−1

(23

)]

= 2 ·

√1−

(23

)2· 23 =

4√5

9

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Turunan Fungsi Invers TrigonometriPada Matematika Dasar I, kita telah belajar turunan dari keenamfungsi trigonometri, yaitu

Dx sin x = cos x Dx cos x = − sin xDx tan x = sec2 x Dx cot x = − csc2 xDx sec x = sec x tan x Dx csc x = − csc x cot x

Sekarang, kita bisa mengkombinasikan dengan aturan rantai.Misalkan u = f (x) adalah fungsi yang dapat diturunkan, maka

Dx sin u = cos u · Dx u

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Berdasarkan Theorema Fungsi Invers, kita dapat menarikkesimpulan bahwa sin−1, cos−1, tan−1, dan sec−1 adalahfungsi-fungsi yang dapat diturunkan. Tujuan kita adalah untukmendapatkan formula untuk turunan fungsi-fungsi tersebut.Turunan dari keempat fungsi invers trigonometri disajikan dalamTeorema berikut.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Teorema 2.6.2Turunan dari Empat Fungsi Invers Trigonometri

(i) Dx sin−1 x = 1√1−x2

− 1 < x < 1

(ii) Dx cos−1 x = − 1√1−x2

− 1 < x < 1

(iii) Dx tan−1 x = 11+x2

(iv) Dx sec−1 x = 1|x |√

x2−1|x | > 1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.6.3Dapatkan Dx sin−1(3x − 1).

jawab Kita gunakan Teorema 2.6.2 dan aturan rantai.

Dx sin−1(3x − 1) =1√

1− (3x − 1)2Dx (3x − 1)

=3√

−9x2 + 6x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


lanjutan contoh 2.6.3

Setiap formula turunan akan mengantarkan kita ke sebuah formulaintegral. Secara khusus,1.∫ 1√

1−x2dx = sin−1 x + C

2.∫ 1

1+x2 dx = tan−1 x + C3.∫ 1

x√

x2−1dx = sec−1 |x |+ C

Formula-formula ini bisa diperluas sebagai berikut:1’.∫ 1√

a2−x2dx = sin−1

( xa)+ C

2’.∫ 1

a2+x2 dx = 1a tan

−1 ( xa)+ C

3’.∫ 1

x√

x2−a2dx = 1

a sec−1(|x |a

)+ C

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.6.4Hitung

∫ 10

ex

4+9e2x dx .

jawab Misalkan a = 2 dan u = 3ex sehingga du = 3ex dx . Untukx = 0, u = 3, sedangkan untuk x = 1, u = 3e. Akibatnya,∫ 1

0

ex

4+ 9e2x dx =13

∫ 3e

3

14+ u2 du

=13 ·

12

[tan−1

(u2

)]3e

3

=16

(tan−1

(3e2

)− tan−1

(32

))

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.6.5Seseorang berdiri di atas tebing setinggi 200 meter di atas sebuahdanau. Dia melihat sebuah perahu motor yang bergerak menjauhikaki tebing dengan kelajuan 25 meter perdetik. Berapa cepatkahperubahan sudut depresi terhadap penglihatan orang tersebut saatperahu motor tersebut berada di 150 meter dari kaki tebing?

jawab Perhatikan bahwa θ, sudut depresi diberikan oleh

θ = tan−1(200x

)Dengan demikian,

dθdt =

11+ (200/x)2 ·

−200x2 · dx

dt =−200

x2 + 40.000 ·dxdt

Saat x = 150 dan dx/dt = 25, maka kita dapatkandθ/dt = −0, 08 radian perdetik.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Memanipulasi IntegranSebelum melakukan substitusi untuk menyelesaikan integral, adabaiknya kita ubah terlebih dahulu integran dalam bentuk yangsesuai. Integral fungsi rasional dengan penyebut yang berbentukpolinomial kuadrat biasanya dapt kita ubah dalam bentukmelengkapkan kuadrat sempurna. Ingat kembali, bahwa x2 + bxmenjadi bentuk kuadrat sempurna dengan menambahkan (b/2)2.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


contoh 2.6.5Hitung

∫ 1x2−6x+13dx

jawab ∫ 1x2 − 6x + 13dx =

∫ 1(x − 3)2 + 4dx

=12 tan−1

(x − 32

)+ C

Dalam hal ini, kita misalkan u = x − 3.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.61. Dapatkan nilai eksaknya tanpa menggunakan kalkulator

a. arccos(√

22

)b. arcsin

(− 1

2)

c. arctan(√

3)

2. Dapatkan dy/dx dari:a. y = ln(2+ sin x)b. y = etan x

c. y = sin(

1x2+4

)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.6nomor 3Dapatkan integral dari:

a.∫cos 3x dx

b.∫sin 2x cos 2x dx

c.∫ 10 e2x cos(e2x ) dx

d.∫ ex

1+e2x dxe.∫ 1

2x2+8x+25 dxf.∫ x+1√

4−9x2dx

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.6nomor 4Dengan menggunakan formula sudut ganda

tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1− tan x tan y)

tunjukkan bahwa

π

4 = 3 tan−1(14

)+ tan−1

(599

)nomor 5Seorang pengamat mengamati Sebuah pesawat yang terbang padaketinggian yang tetap yaitu 2 mil dan kecepatan tetap 600 milperjam pada sebuah garis lurus. Berapa cepat peningkatan sudutelevasi dari garis penglihatan pengamat saat jarak dari pengamatdan pesawat sejauh 3 mil? Tuliskan hasil Anda dalam radianpermenit

137

Kalkulus II


Pendahuluan







118 Fungsi Hiperbolik danInversnya

Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Hiperbolik dan Inversnya


137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Definisi 2.7.1sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan keempat hubunganlainnya didefinisikan sebagai berikut:

sinh x = ex−e−x

2 cosh x = ex+e−x

2tanh x = sinh x

cosh x coth x = cosh xsinh x

sech x = 1cosh x csch x = 1

sinh x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Dari definisi fungsi hiperbolik, kita bisa menarik beberapa sifatsebagai berikut (buktikan):1. cosh2 x − sinh2 x = 1;2. Persamaan parametrik x = cosh t dan y = sinh t

mendeskripsikan hyperbola satuan x2 − y2 = 1;3. fungsi sinus hiperbolik adalah fungsi ganjil,

sinh(−x) = − sinh x , sedangkan fungsi cosinus hiperbolikadalah fungsi genap, cosh(−x) = cosh x ;

4. tanh adalah fungsi ganjil, dan sech adalah fungsi genap.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Teorema 2.7.1Dx sinh x = cosh x Dx cosh x = sinh xDx tanh x = sech2 x Dx coth x = −csch2 xDx sech x = −sech x tanh x Dx csch x = −csch x coth x

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.7.1Dapatkan Dx tanh(sin x)

Jawab

Dx tanh(sin x) = sech2(sin x)Dx (sin x)= cos x · sech2(sin x)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.7.2Dapatkan

∫tanh(3x − 1)dx

JawabMisalkan u = cosh(3x − 1), maka du = 3 sinh(3x − 1)dx , sehingga∫

tanh(3x − 1)dx =

∫ sinh(3x − 1)cosh(3x − 1)dx =

13

∫ 1u du

=13 ln |u|+ C =

13 ln | cosh(3x − 1)|+ C

= ln(cosh(3x − 1)) + C .

Kita dapat menghilangkan tanda mutlaknya karenacosh(3x − 1) > 0.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Invers Fungsi HiperbolikKarena sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik masing-masingmemiliki turunan yang positif, maka mereka adalah fungsi naikdan secara langsung memiliki invers. Untuk mendapatkan inversdari cosinus hiperbolik dan secant hiperbolik, kita perlu membatasidomainnya pada x ≥ 0.

x = sinh−1 y ⇔ y = sinh xx = cosh−1 y ⇔ y = cosh x dan x ≥ 0x = tanh−1 y ⇔ y = tanh xx = sech−1 y ⇔ y = sech x dan x ≥ 0.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Invers Fungsi HiperbolikKarena fungsi hiperbolik didefinisikan dalam ex dan e−x , makainvers dari fungsi hiperbolik juga dituliskan dalam logaritma alami.Misalkan y = cosh x untuk x ≥ 0. Kita bisa menuliskannya sebagai

y =ex + e−x

2 , x ≥ 0

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Tujuan kita adalah mendapatkan fungsi bagi x , yang akanmembawa kita pada cosh−1 y . Dengan mengalikan kedua sisi oleh2ex , kita dapatkan 2yex = e2x + 1, atau

(ex )2 − 2yex + 1 = 0, x ≥ 0

Selanjutnya dapat kita tulis,

ex =2y +

√(2y)2 − 42 = y +

√y2 − 1

Akibatnya,x = ln

(y +

√y2 − 1

).

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Dengan argumen yang tidak jauh berbeda, kita dapatkan inversfungsi hiperbolik sebagai berikut:

sinh−1 x = ln(

x +√

x2 + 1)

cosh−1 x = ln(

x +√

x2 − 1), x ≥ 1

tanh−1 x =12 ln 1+ x

1− x , −1 < x < 1

sech−1 x = ln(1+√1− x2

x

), 0 < x ≤ 1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Turunan Invers Fungsi Hiperbolik

Dx sinh−1 x =1√

x2 + 1

Dx cosh−1 x =1√

x2 − 1, x > 1

Dx tanh−1 x =1

1− x2 , −1 < x < 1

Dx sech−1 x =−1

x√1− x2

, 0 < x < 1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.7.3Buktikan Dx sinh−1 x dengan dua cara

Jawab Cara 1Misalkan y = sinh(−1)x , maka x = sinh y . Selanjutnya kita cariturunan kedua sisi terhadap x, yaitu

1 = (cosh y)Dx y

Dengan demikian,

Dx y = Dx (sinh−1 x) = 1cosh y =

1√1+ sinh2 y

=1

1+ x2

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.7.3

Cara 2Menggunakan bentuk logaritma untuk sinh−1 x .

Dx (sinh−1 x) = Dx ln(

x +√

x2 + 1)

=1

x +√

x2 + 1Dx

(x +

√x2 + 1

)=

1x +√

x2 + 1

(1+ x√

x2 + 1

)=

1√x2 + 1

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Contoh 2.7.4Dapatkan panjang dari kurva y = a cosh(x/a) antara x = −a danx = a.

Jawab Dengan menggunakan rumus mencari panjang kurva, kitadapatkan

∫ a

−a

√1+

(dydx

)2dx =

∫ a

−a

√1+ sinh2

(xa

)dx = 2a sinh 1.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.7nomor 1Periksa identitas berikut

a. e2x = cosh 2x + sinh 2xb. sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh yc. tanh(x − y) = tanh x+tanh y

1−tanh x tanh ynomor 2Dapatkan Dx y

a. y = 5 sinh2 xb. y = x−2 sinh xc. y = cosh−1(cos x)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan


Latihan 2.7nomor 3Dapatkan integral berikut

a.∫sinh(3x + 7)dx

b.∫tanh x ln(cosh x)dx

c.∫

x coth x2 ln(sinh x2)dxnomor 4

a. Dapatkan luas daerah yang dibatasi olehy = cosh 2x , y = 0, x = − ln 5, dan x = ln 5

b. Daerah yang dibatsi oleh y = sinh x , y = 0, x = 0dan x = ln 10 diputar terhadap sumbu−x .Dapatkan volume yang dihasilkan

c. Kurva y = cosh x , 0 ≤ x ≤ 1 diputar terhadapsumbu−x . Dapatkan luas permukaan yangdihasilkan

137

Kalkulus II


Pendahuluan








Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Transenden

TERIMA KASIH

137

Kalkulus II


Pendahuluan








135 Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Transenden

Post Test Materi 2.1., 2.2., 2.3.

137

Kalkulus II


Pendahuluan








136 Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Transenden

nomor 1.Carilah turunan fungsi ln berikut dengan mengasumsikan dalamsetiap fungsi bahwa x dibatasi sehingga fungsi ln terdefinisidydx jika y = ln(x +

√x2 + 1)

nomor 2.Tuliskan ekspresi berikut sebagai logaritma besaran tunggalln(x − 2)− ln(x + 2) + 2 ln xnomor 3.Carilah integral berikut∫ x2−x

x+1 dxnomor 4.Carilah dy

dx dengan menggunakan diferensiasi logaritmiky = (x2 + 3x)(x − 2)(x2 + 1)

137

Kalkulus II


Pendahuluan








137 Post Test I


ITKBalikpapan

Fungsi Transenden

nomor 5.Carilah rumus untuk f −1(x)f (x) = x−1

x+1nomor 6Batasi daerah asal f , agar f memiliki invers, tetapi tetapmempertahankan daerah hasil seluas mungkin.f (x) = x2 − 3x + 1nomor 7Dapatkan Dx yy = e2x2−x

nomor 8Hitung integral berikut:∫

e3x+1dx

KalkulusII Fungsi Transenden · Sifat-Sifat Logaritma Alami Jikaa danb bilangan-bilanganpositifdanr...

Documents

Transcript of KalkulusII Fungsi Transenden · Sifat-Sifat Logaritma Alami Jikaa danb bilangan-bilanganpositifdanr...