Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan
-
Upload
agma-tinoe-mauludy -
Category
Documents
-
view
706 -
download
24
Transcript of Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan
![Page 1: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/1.jpg)
OPTIMASI MULTIVARIAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN
Oleh : Hafidh Munawir
![Page 2: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/2.jpg)
BENTUK-BENTUK FUNGSI MULTIVARIAT DARI SEGI BENTUK GRAFIK
I. Fungsi Linier : Y = ao + a1X1 + a2X2
Contoh: Y = 50 + 0,50 X1 + 0,60 X2
II. Bentuk Non- Linier:II. Bentuk Non- Linier:2.1. Fungsi Kuadrat :
Y = 12X1 + 18X2 - 2X12 - X1.X2 – 2X2
2
2.2. Fungsi Eksponen : Y = ao.a1X1.a2
X2
Y = 5. 0,8X1. 0,4X2
![Page 3: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/3.jpg)
Lanjutan:
2.3. Fungsi Pangkat : Y = ao.X1a1.X2
a2
Contoh: Y = 50.X10,7.X2
0,4
2.4. Fungsi Transedental : 2.4. Fungsi Transedental :
Y = ao.X1a1.X2
a2 .eb1X1.eb2X2
Y = 50.X10,7.X2
0,4. e 0,6X1.e.0,5X2
![Page 4: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/4.jpg)
BENTUK-BENTUK FUNGSI DARI SEGI KENDALA
Fungsi Tak Berkendala
Fungsi Berkendala
![Page 5: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/5.jpg)
PENGERTIAN FUNGSI TAK BERKENDALA
Contoh : Fungsi Keuntungan :
),( 21 QQf
π = KeuntunganQ1 = Output Q1Q2 = Output Q2
![Page 6: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/6.jpg)
2221
2121 2.21812 QQQQQQ
Dari fungsi ini :Variabel Q1 dan Q2 independen
(tidak saling tergantung)(tidak saling tergantung)Besaran Q1 dan Q2 tidak ada
pembatasTitik optimum fungsi adalah titik
”Optimum Bebas”
![Page 7: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/7.jpg)
Titik optimum bebasnya dicapai diwaktu π’ = 0
)1....(..........04120Q 21
)2...(..........04180
)1....(..........04120Q
212
211
QQQ
![Page 8: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/8.jpg)
Substitusi (1) & (2), didapat :
4*
2*
2
1
Q
Q *)*,(* 21 QQf
asOptimumBebQQ **,2*,1
![Page 9: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/9.jpg)
PENGERTIAN FUNGSI BERKENDALA
Fungsi Berkendala:
Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas
),( 21 QQf ……… Fungsi Tujuan
Q1 + Q2 = 950 …Pers.pembatas
Perusahaan memproduksi 2 macamproduksi (Q1&Q2) dengan tujuanmemaksimumkan keuntungan;
![Page 10: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/10.jpg)
Lanjutan:
Masalah yang dihadapi adalah terbatasnyamodal, sehingga jumlah produksi dibatasi(kuota produksi) 950 satuan.Jika jumlah produksi dibatasi (kuota produksi = 950 satuan), berapa jumlah Q1 dan Q2 untuk mencapai keuntungan maksimum....?
![Page 11: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/11.jpg)
Lanjutan:
Keuntungan Maksimum tersebutdisebut ‘Titik Optimum Terkendala”atau “Maksimum Terkendala”atau “Maksimum Terkendala”Salah satu Cara menentukan titik
optimum terkendala yaitu denganMetode pengali Lagrange (LagrangeMultipliers)
![Page 12: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/12.jpg)
Persamaan dengan kendala U = f (x, y)………Fungsi Tujuan
ax + by = c…...Pers.Kendala.
Persamaan lagrange
Persamaan fungsi diatas kemudian diubah menjadi persamaan lagrange
Persamaan Lagrange:Z = f(x,y) + λ (c – ax – by)
![Page 13: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/13.jpg)
Langkah2 metode lagrange Membentuk persamaan kendala menjadi persamaan
lagrange Mencari turunan pertama untuk semua variabel : Zx =
0, Zy = 0, dan Zλ = 0 Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga Eliminasikan persamaan turunan pertama diatas sehingga
mendapatkan nilai x0, y0, dan λ0 Menentukan nilai kritis dengan masukkan nilai x0, y0, λ0
ke dalam persamaan awal f(x,y) atau persamaan lagrange Menentukan apakah nilai kritis maks/min/saddle pointa. Jika Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimumb. Jika Zxx < 0, Zyy < 0, dan D > 0maksimumc. Jika D < 0 titik pelana (saddle point)
![Page 14: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/14.jpg)
Contoh Soal :
Diketahui Fungsi Tujuan (Fungsi Biaya):C = 6x2 + 3y2
Dengan Kendala:x + y = 18x + y = 18Tentukan :a. Nilai x*, y* yang Meminimisasi Biaya, dan Besarnya
Biaya Minimum C*; b. Buktikan C* adalah Optimum Minimum.
![Page 15: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/15.jpg)
Jawaban:Fungsi Lagrange:
C = 6x2 + 3y2 + λ ( 18 – x – y)
Turunan Pertama = 0dC/ dx = Zx = 12x – λ = 0……….(1)dC/ dy = Zy = 6y - λ = 0…………(2)dC/ d λ = Zλ = 18 –x – y = 0 .....…(3)
![Page 16: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/16.jpg)
MENENTUKAN TITIK KRITIS
Eliminasi pers (1) dan (2); persamaan (3) dan (4):(1) Zx=0=12x-λ(2) Zy=0=6y-λJadi : 12x-6y=0 ..............(4) (3) 18 - x -y = 0 x 6 108 – 6x – 6y = 0(3) 18 - x -y = 0 x 6 108 – 6x – 6y = 0(4) 12x-6y = 0 x 1 12x – 6y = 0Jadi : 108-18x = 0
x = 6 ; y = 12, λ = 72f(x,y) = 6x2 + 3y2 = 6*36 + 3*144 = 216+432 = 648Titik kritis (6,12,648)
![Page 17: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/17.jpg)
Menentukan maks/min/saddle Zxx = 12; Zyy = 6; Zxy = 0; Zyx = 0 D= 12*6 – 0*0 = 72
Karena Zxx > 0, Zyy > 0, dan D > 0 minimum Nilai minimum = 648 Titik kritis/titik minimum = (6,12,648)
![Page 18: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/18.jpg)
Lanjutan: Fungsi Utilitas
Contoh Soal : Optimasi Fungsi Multivariat Berkendala:
Seorang konsumen memiliki fungsi utilitas :U = Q1 . Q2 + 2 Q1 … Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas)Nilai U adalah positif untuk Semua nilai Q1 dan Q2.dan Q2.
Persamaan Kendala (Garis Anggaran): P1.Q1 + P2.Q2 = M........4Q1 + 2Q2 = 60.
Tentukan Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas....?
![Page 19: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/19.jpg)
Persamaan Kendala Anggaran (Persamaan Pembatas):
6024.. 212211 QQMQPQP QQ
BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)
Q2
I : Fungsi Tujuan (Fungsi Utilitas tertentu)
BL: Pers.Kendala (garis Anggaran)
Q1Q1*
Q2*
0
![Page 20: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/20.jpg)
Metode Pengali LagrangeMenentukan Fungsi Lagrange:
U = Q1.Q2 + 2Q1 + λ ( 60 – 4Q1- 2Q2).
Turunan Petama Fungsi = 0.dU/dQ1 = f1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 ……(1)dU/dQ2 = f2 = Q1 - 2 λ = 0 ...….(2)dU/d λ = f λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0….(3)
![Page 21: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/21.jpg)
Subtitusikan (1) ke (2):
Eliminasi pers.(1) dan (2) dengan cara menyamakan λ :(1)....dU/dQ1 = Q2 + 2 – 4 λ = 0 …......( x1)(2)....dU/dQ2 = Q1 - 2 λ = 0 ……...(x2)Jadi : (1)....Q2 + 2 – 4 λ = 0
(2)....2Q1 - 4 λ = 0.jadi: Q2 + 2 – 2Q1 = 0 Q2 = 2Q1 – 2 ……………(a)
![Page 22: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/22.jpg)
Substitusikan (a) ke Persamaan kendala:
Substitusikan (a) ke persamaan (3):dU/d λ = 60 – 4Q1 – 2Q2 = 0…….(3)Jadi: 60 – 4Q1 – 2 (2Q1 – 2) = 060 – 8Q + 4 = 0………Q * = 8.60 – 8Q1 + 4 = 0………Q1* = 8.
(3)…....60 – 4(8) – 2Q2 = 028 – 2Q2 = 0 ……..Q2* = 14.
![Page 23: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/23.jpg)
II. KOMBINASI INPUT DENGAN BIAYA TERKECIL
Formulasi Masalahnya adalah:Meminimisasi biaya:C = P1.X1 + P2.X2………Fungsi Tujuan
(Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost)(Persamaan Biaya Tetrtentu/ Isocost)
Dengan Kendala Quota Produksi:Q0 = f ( X1, X2 )…………Pers.Kendala
(Fungsi Produksi Tertentu/ Isoquant)
![Page 24: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/24.jpg)
Fungsi Lagrange:
C = P1.X1 + P2.X2 + λ [ Qo – f (X1,X2)]Menentukan Turunan Pertama Fungsi:dC/dX1 = f1 = 0 …………..(1)dC/dX2 = f2 = 0 …………..(2)dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)dC/d λ = f3 = 0 ………….(3)
![Page 25: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/25.jpg)
SOAL JAWAB LATIHAN OPTIMASI FUNGSI BERKENDALA
1. Minimisasi biaya dengan kendala output:
Diketahui Tungsi tujuan: TC = 4Q12 +5Q22-6Q2;
dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18;dan persamaan kendala: Q1 + 2Q2 = 18;Tentukan:a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum minimum.
![Page 26: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/26.jpg)
Lanjutan: soal latihan
2. Minimisasi Biaya Kendala Output:
Diketahui TC = 6Q12 + 3Q2
2; dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan:dengan kendala : Q1 + Q2 =18; Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum
minimum.
![Page 27: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/27.jpg)
Lanjutan: soal latihan
3. Minimisasi Biaya kendala output:Diketahui fungsi tujuan: TC=Q1
2+2Q22-Q1.Q2;
dengan kendala: Q1+Q2=8. Tentukan:
a.Jumlah Q dan Q yang meminimum a.Jumlah Q1 dan Q2 yang meminimum biaya;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum minimum.
![Page 28: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/28.jpg)
Lanjutan: Soal latihan
4. Optimum produksi kendala Cost: Diketahui TP=-5X1
2 +10X1.X2-7X22+40X1; kendala
X1+X2=1. Tentukan:a.Jumlah Q dan Q yang memaksimum TP;a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
![Page 29: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/29.jpg)
Lanjutan: soal latihan5. Maksimisasi produksi kendala Biaya:Diketahui fungsi tujuan: TP=X1
2+5X1.X2-4X22, dengan
kendala: 2X1+3X2=74. Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum TP;
b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah optimum maksimum.
![Page 30: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/30.jpg)
Lanjutan: Soal jawab
6. Maksimimisasi Utilitas Kendala Anggaran:
Diketahui fungsi utilitas U=Q1.Q2; dengan kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan:kendala: 15Q1+5Q2=150. Tentukan:
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut
adalah optimum maksimum.
![Page 31: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/31.jpg)
Lanjutan: Soal jawab
7. Maksimisasi Utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan: U = 4Q1.Q2 – Q22 ; dan Kendala:2Q1 + 5Q2 = 11. Tentukan :
a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum U;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
![Page 32: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/32.jpg)
Lanjutan: soal latihan8. Optimasi utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan: U = 27 + 6Q1.Q2 – 2Q12 –
Q22. dengan kendala: Q1+Q2 = 9.Tentukan:a.Jumlah Q dan Q yang memaksimum Utilitas;a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
![Page 33: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/33.jpg)
Lanjutan: soal latihan
9. Optimasi utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan :U = 16Q1 + 26Q2 – Q12 –
Q22. Kendala: 3Q1 + 4Q2 = 26.Tentukan:Tentukan:a.Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Buktikan bahwa titik optimum tersebut adalah
optimum maksimum.
![Page 34: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/34.jpg)
Lanjutan: Soal jawab
10. Optimum Utilitas kendala anggaran:Diketahui fungsi tujuan :U = Q12 +2Q22 +5Q1.Q2.
Dengan kendala:5Q1 + 10Q2 = 90. Tentukan:a. Jumlah Q1 dan Q2 yang memaksimum Utilitas;b. Tentukan U optimum;c. Buktikan bahwa U Optimum Maksimum.
![Page 35: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/35.jpg)
Lanjutan: soal latihan
11. Optimasi utilitas kendala anggaran:Fungsi Utilitas :U = 4Q1Q2 – Q1
2 – 3Q22
Fungsi Anggaran :Fungsi Anggaran :2Q1 + 3Q2 = 45Tentukan:a. Q1 dan Q2 yang memaksimumkan utilitasb. Tentukan U optimum,buktikan bahwa Uoptimum adalah optimum maksimum.
![Page 36: Kalkulus_13_optimasi Dengan Kendala Persamaan](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022050616/55cf9bf9550346d033a8113d/html5/thumbnails/36.jpg)