Kalkulus (bab 1)
-
Upload
-eq-wahyou- -
Category
Education
-
view
1.246 -
download
3
Transcript of Kalkulus (bab 1)
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 11
Pertemuan #2:Pertemuan #2:
VVariabelariabel dan dan
FFungsi ungsi
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 22
Sistem Bilangan
Bilangan Riil
Bilangan Rasional
Bilangan Irrasional
Bilangan bulat positif
Bilangan bulat negatif
Bilangan nol
Pecahan a/b,dengan a & b bulat
2 = 1,4142
= 3,14159
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 33
Garis Bilangan, Konstanta dan Peubah
Garis bilangan suatu penyajian bilangan-bilangan riil secara grafis oleh titik-titik pada suatu garis lurus.
Membentuk suatu garis bilangan pada suatu garis tertentu : (i) pilih sembarang titik pd garis sbg titik asal (sesuai dgn 0) (ii) pilih suatu arah positif (ditunjukkan o/ sebuah ujung panah) (iii) dengan sembarang satuan ukuran yg cocok, tempatkan titik +1 pada jarak satu satuan dari 0. Jika a & b bilangan yg berbeda; a<b berarti bahwa a berada
dikiri b pd garis bilangan sedang a>b berarti bahwa a ada dikanan b.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 44
Dalam definisi selang a < x < b :
(i) simbol a & b menyatakan suatu bilangan tunggal & disebut suatu konstanta
(ii) simbol x menyatakan tiap bilangan suatu himpunan (kumpulan) bilangan-bilangan dan disebut peubah (variabel).
Jangkauan (range) suatu peubah ad. nama lain untuk himpunan bilangan yang diwakilinya.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 55
PertidaksamaanPersyaratan seperti a < b, a > b, a b & a b disebut pertidaksamaan. Ketentuan :a) a > 0, jika & hanya jika a positif ; f) Jika a < b, maka a+c < b+c, jika c bil. riilb) a < 0, jika & hanya jika a negatif ; g) Jika a < b & c < d, maka a+c < b+dc) a >0, jika & hanya jika –a < 0 ; h) Jika a < b & c bil. positif, maka ac < bcd) a < 0, jika & hanya jika –a > 0 ; i) Jika a < b & c bil. negatif, maka ac > bce) Jika a < b dan b < c, maka a < c ; j) Jika 0 < a < b & 0 < c < d, maka ac < bd
Menyelesaikan pertidaksamaan :Sama dgn persamaan, prosedur u/ menyelesaikan pertidaksamaan satu langkah tiap kali sampai himpunan pemecahan jelas. Dpt melaksanakan operasi2 tertentu pd suatu pertidaksamaan tanpa mengubah himpunan pemecahannya. Khususnya :1. Dapat ditambahkan bil. yg sama pada kedua pihak suatu pertidaksamaan2. Dapat dikalikan kedua pihak suatu pertidaksamaan dgn suatu bilangan positif,3. Dapat dikalikan kedua pihak dgn suatu bilangan negatif, tetapi kemudian harus membalikkan arah tanda pertidaksamaan.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 66
2. Selesaikanlah pertidaksamaan kuadrat berikut ini : Penyelesaian : Seperti pers. kuadrat, pindahkan semua suku bukan nol ke salah satu ruas & faktornya.
)faktorkan(0)2x)(3x(
)6tambahkan(06xx
6xx2
2
62 xx
-2 3(-2,3)
-2 & 3 ad. Titik-2 pemecahannya, titik-2 ini membagi garis riil menjadi 3 selang (-, -2), (-2, 3) & (3, ). Pd tiap selang ini (x – 3)(x + 2) bertanda tetap, selalu positif a/ selalu negatif. U/ mencari tanda ini dlm tiap selang dipakai titik-2 uji -3, 0, & 5 (sembarang titik pd ketiga selang tsb yg memenuhi).Hasilnya : titik uji -3 bertanda positif (+) ; titik uji 0 bertanda negatif (-) & titik uji 5 bertanda positif (+). Shg dapat disimpulkan bahwa himpunan pemecahannya ad. selang (-2,3).
Contoh :1. Selesaikan pertidaksamaan 2x – 7 < 4x -2 & perlihatkan grafik himpunan. Penyelesaian : 2x – 7 < 4x – 2 2x < 4x + 5 (tambahkan 7) - 2x < 5 (tambahkan – 4x) x > -5/2 (kalikan dengan – ½ )
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
5:
2
5xx
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 77
Nilai Mutlak
Nilai mutlak (absolut) dari suatu bilangan riil didefinisikan sbg :x = x jika x 0x = - x jika x 0
Misalnya : 5 = 5, karena 5 0 dan - 2 = - (-2) = 2 , karena – 2 0
Sifat-sifat dari harga mutlak :Jika a, b R, maka :1) a b jika dan hanya jika –b a b, dimana b 02) a b jika dan hanya jika a -b atau a b3) ab = a b 7) a - b ≤ a + b 4) a + b ≤ a + b 8) 5) a - b a - b
b
a
b
a
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 88
1) Carilah harga x yang memenuhi x - 5 < 4 Penyelesaian :
x - 5 < 4 - (x – 5) < 4 x – 5 < 4 atau - x + 5 < 4
x < 9 -x < -1 x > 1
Harga x yang memenuhi : 1 < x < 9
1 9
Contoh :
2. Tentukan harga x yang memenuhi : Penyelesaian : atau :
6523 xx
65x23x
65x23x
1/2x
48x
4x
82x
265x3x
65x2)3x(
Harga x yang
memenuhi adalah : x = ½ atau x = 4
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 99
FUNGSI
Fungsi suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Unsur-unsur pembentuk fungsi : variabel, koefisien dan konstanta
Variabel Unsur pembentuk fungsi yg mencerminkan atau mewakili faktor tertentu.Berdasarkan kedudukan/sifatnya variabel dibedakan :
variabel bebas variabel terikat.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1010
Variabel Variabel bebas : variabel yg nilainya tidak tergantung pada
variabel lain.
Variabel terikat (tetap) : variabel yg nilainya tergantung pada variabel lain
Koefisien dan Konstanta Koefisien : bilangan/angka yg terkait pada dan terletak didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi.
Konstanta : bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1111
Fungsi Dari Sebuah Variabel y = f(x) variabel y merupakan fungsi dari variabel x jika terdapat
suatu hubungan, shg u/ setiap harga x dalam daerahnya dapat ditentukan suatu nilai y : x = variabel bebas, sedang
y = variabel tdk bebas karena nilainya ditentukan pilihan nilai x.
Simbol f(x) dibaca ”fungsi x” atau ”fungsi dari x” digunakan u/ menyatakan fungsi dari x. Jika dalam soal yg sama dijumpai fungsi lain dari x, maka digunakan notasi lain sbg berikut :g(x), h(x), F(x), G(x), ........
Dlm mempelajari fungsi y = f (x) perlu diketahui daerah dari variabel bebas x, juga disebut ”domain” yang menentukan dari fungsi.
a) Fungsi f(x) dikatakan tertentu dalam suatu interval jika dapat ditentukan u/ tiap nilai x dari inteval tersebut. b) Jika f(x) ad. fungsi dari x & a dalam domain yg menentukan, maka f (a) diartikan sebuah bilangan yg diperoleh dari f (x) menggantikan x
oleh a.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1212
Contoh : Jika f(x) = maka :
24xx3
124124(1)(1)f(1) 3
228822)4(2)(2)f( 3
24aa24(a)(a)f(a) 33
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1313
Operasi pada Fungsi
Operasi pada fungsi Rumus
Penjumlahan (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Selisih (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Hasil Kali (f . g)(x) = f(x) . g(x)
Hasil Bagi
Fungsi bukanlah bilangan.Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a + b, demikian juga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsi baru f + g.
)(
)()(
xg
xfx
g
f
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1414
Fungsi Aljabar
Fungsi Aljabar terdiri dari : Fungsi Linier Fungsi Kuadrat Fungsi pangkat banyak Fungsi pecah
Fungsi Linier (fungsi garis lurus) :
Fungsi Linier (fungsi garis lurus) : adl. st fungsi dimana variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linier :
y = f(x) = ax + b a & b : konstanta x : variabel bebas y : variabel tidak bebas/yg
dipengaruhi
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1515
Contoh Fungsi Linier
x -2 -1 0 1 2
y -4 -1 2 5 8
1) y = 3x + 2 Penyelesaian : Dengan menggunakan tabel x dan y :
Dgn menggambarkan grafik fungsi : titik potong dgn sumbu y pd x =0 maka y =2 titiknya adl. A (0,2)
titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, maka x = -2/3 titiknya adl. B (-2/3 ; 0)
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1616
Fungsi Kuadrat Fungsi kuadrat merup. Suatu fungsi non-linier (garis tdk lurus) yang variabel bebasnya berpangkat dua.
Grafik dari fungsi kuadrat apabila digambarkan merupakan garis tdk lurus yg berbentuk parabola.
Bentuk umum fungsi kuadrat : 1) y = f(x) y = ax2 + bx + c dimana : a, b, c : adl. Konstanta x : variabel bebas y : variabel tdk bebas
2) x = f(y) x = ay2 + by + c dimana : a, b, c : adl. Konstanta y : variabel bebas x : variabel tdk bebas
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1717
Fungsi Kuadrat : y = f(x) y = ax2 + by +c
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : * dengan menggunakan tabel x dan y ”curve tracing process” :
X -2 -1 0 1 2½ 3 4 5Y 20 12 6 2 -¼ 0 2 6
* Gambarkan Grafik : dgn menghubungkan titik-titik koordinat tersebut, grafik fungsi akan merupakan suatu garis tdk lurus yang berbentuk parabola.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1818
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Grafik fungsi :
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 1919
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Ciri-ciri matematis dari fungsi kuadrat, bila y = f(x) = ax2 + bx + c : a) Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. pada x = 0, maka y = c. Titiknya adalah a (0,c) b) Titik potong fungsi dengan sumbu x adl. Pada y = 0, jadi ax2 + bx + c = 0. Ada 3 kemungkinan yang terjadi, yaitu : i) Bila deskriminan (D) b2 – 4ac > 0 , maka terdapat 2 buah titik potong :
ii) Bila D adl. Sama dengan 0 (b2 – 4ac = 0), maka hanya terdapat satu buah titik potong fungsi kuadrat dgn sumbu x.
iii) Bila D < 0, maka tdk terdapat titik potong fungsi kuadrat dgn sumbu x.
2a4acb
1
2
2a
bx
2a
4acb2
2
2a
bx
;
Lanjutan
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2020
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab :
c) Titik puncak, yaitu titik dimana arah dari grafik fungsi kuadrat (parabola) kembali ke arah semula. Titik puncak :
d) sumbu simetri : sumbu yg membagi/membelah dua grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yg sama. Persamaan sumbu simetri :
Lanjutan
4a
4ac)(by;
4a
D
2a
bxP
2
2a
bx
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2121
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Untuk soal : Titik potong fungsi dgn sumbu y adl. Pada x = 0, y = 6 titiknya : A (0,6) Titik potong fungsi dgn sumbu x pd y = 0, dimana : D = b2 – 4ac = 25 – 4(6) = 1 > 1. Maka terdapat 2 titik potong : a) titiknya B1 (3,0)
b) titiknya B2 (2,0)
Titik puncak :
Lanjutan
32
4(6)255x1
22
4(6)255x2
1/4
4
4(6)(25y;
2
5xP
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2222
1) diketahui : y = x2 – 5x + 6 Jawab : Untuk soal : Sumbu simetrinya :
Lanjutan
212
2
5x
2) diketahui : y = -x2 + 6x - 9 Gambarkan grafik fungsi tersebut.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2323
Pembentukan Persamaan Linier Pers. Linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pd data yg tersedia :
1. cara dwi-koordinat2. cara koordinat-lereng3. cara penggal-lereng4. cara dwi-penggal
Apabila diketahui 2 buah titik A dan B dengan koordinat masing2 (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan liniernya adalah :
1. Cara Dwi-koordinat
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2424
Pembentukan Persamaan Linier
contoh :1. Tentukan pers. Linier yang garisnya melalui titik A (2, 3) dan B (6, 5). Jawab :
2. Tentukan pers. linier yg garisnya melalui titik C (-1, 4) dan B (1, 0)
1. Cara Dwi-koordinat
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
26
2
35
3
xy
4
2
2
3
xy
42124 xyxyxy 5,02824
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2525
Pembentukan Persamaan Linier
Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan liniernya adalah :
Contoh :Jika diketahui bahwa titik A (2, 3) dan lereng garisnya adalah 0,5; maka tentukan pers. Linier yg memenuhi kedua data tsb.Jawab :
2. Cara Koordinat -Lereng
garis lerengb )( 11 xxbyy
)( 11 xxbyy
)2(5,03 xy
xyxy 5,0215,03
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2626
Pembentukan Persamaan Linier
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggalnya pd salah satu sumbu dan lereng garis yg memenuhi persamaan tsb.Persamaan liniernya adl :
Mis. Penggal & lereng garis y = f(x) masing-masing adalah 4 dan 2,maka pers. Liniernya adalah :
3. Cara Penggal-Lereng
lereng)b penggal,(a bxay
xy 24
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2727
Pembentukan Persamaan Linier
Sebuah pers. Linier dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tsb pd masing2 sumbu, yaitu penggal pd sumbu vertikal (pd saat x = 0) dan Penggal pd sb horizontal (pd saat y = 0).Apabila a & c adalah penggal pd sumbu vertikal & horizontal dari sebuah garis lurus, maka pers. Garisnya adalah :
Contoh :Mis. Penggal sebuah garis pd sumbu vertikal & sb horizontal adalah 2 dan 4, maka pers. Linier yg memenuhi adalah :
4. Cara Dwi-Penggal
horizontal penggalb vertikal; penggala xc
aay
xc
aay
xyxy 5,02)4(
22
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2828
Pencarian Akar-akar Persamaan Linier akar-akar pers. Linier besarnya nilai variabel-variabel didalam
persamaan tsb.
Penyelesaian pers. Linier dapat dilakukan dengan :1. cara subsitusi2. cara eliminasi3. cara determinan
1. Cara Subsitusi 2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya
dapat diselesaikan dgn cara : selesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan u/ salah satu variabel subsitusikan hasilnya ke dalam persamaan yg lain.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 2929
1. Cara Subsitusi
Contoh :Carilah nilai-nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab :Mis. Selesaikan dahulu pers (2), diperoleh : x = 23 – 4y, kemudian subsitusikan hasil ( x = 23 – 4y) ke dalam pers. (1), sehingga :
2x + 3y = 212 (23 – 4y) + 3y = 2146 – 8y + 3y = 2146 – 5y = 21 y = 5
Hasil y = 5, masukkan ke dalam salah satu pers. untuk memperoleh nilai x :2x + 3y = 212x + 3 (5) = 21 x = 3
Jadi, akar-akar pers. Tsb adalah : x = 3 dan y =5
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3030
2. Cara Eliminasi 2 buah persamaan dgn 2 bilangan/variabel yg belum diketahui nilainya
dapat diselesaikan dgn cara : menghilangkan sementara (mengeliminasi) salah satu dari variabel yg
ada, shg dapat dihitung nilai dari variabel yg lain.
Contoh :Carilah nilai variabel x dan y dari 2 persamaan berikut :
2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23
Jawab :Mis. Variabel yg akan dieliminasi adalah x, maka kalikan pers. (1) dgn 1 dan pers (2) dgn 2, sehingga :
2x + 3y = 212x + 8y = 46 (-) -5y = -25
y = 5
Dgn memasukkan hasil y = 5 ke dalam salah satu persamaan, diperoleh x =3.
Jadi, akar-akar persamaannya adalah :
X = 3 dan y = 5
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3131
3. Cara Determinan Digunakan u/ menyelesaikan persamaan yang jumlahnya besar 2
2 buah pers. Dengan 2 buah variabel :ax + by = cdx + ey = f
penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan sbb :
dbae
fbce
e d
b a
e f
bc
D
Dxx
dbae
da
e d
b a
f d
c a
D
Dyy
cf
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3232
3. Cara Determinan
3 buah pers. dengan 3 buah variabel :ax + by + cz = kdx + ey + fz = lgx + hy + iz = m
penyelesaian untuk x, y dan z dapat dilakukan sbb :
afhdbigecchdbfgaei
i h g
f e d
c b a
D
kfhlbimecchlbfmkei
i h m
f e l
c b k
Dx
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3333
3. Cara Determinan
3 buah pers. dengan 3 buah variabel :
Sehingga :
afmdkiglccmdkfgali
i m g
f l d
c k a
Dy
alhdbmgekkhdblgaem
m h g
l e d
k b a
Dz
D
Dx x
D
Dy y dan
D
Dz z
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3434
3. Cara Determinan
Contoh :1. Tentukan nilai variabel x dan y dari kedua persamaan berikut :
2x + 3y = 21 x + 4y = 23
Jawab :
Maka :
5)3)(1()4).(2( 4 1
3 2D 15)3)(23()4).(21(
4 23
3 21Dx
25)21)(1()23).(2( 23 1
21 2Dy
35
15
D
Dx x 5
5
25
D
Dy y
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3535
3. Cara Determinan
Contoh :2. Tentukan nilai variabel x, y dan z dari persamaan-persamaan berikut :
x + 2y - z = 0 2x + 5y + 2z = 14
y – 3z = -7
Jawab :
7(1)(2)(1)3)(2)(2)(1)(0)(5)(1)(1)(2)((2)(2)(0)3)(1)(5)(
3- 1 0
2 5 2
1- 2 1
D
7(0)(2)(1)3)(14)(2)(1)7)(5)((1)(1)(14)(7)(2)(2)(3)(0)(5)(
3- 1 7-
2 5 14
1- 2 0
Dx
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3636
3. Cara Determinan
2. Jawab :
Maka :
147)(1)(2)(3)(2)(0)(1)(0)(14)(7)(2)1)(((0)(2)(0)3)(1)(14)(
3- 7- 0
2 14 2
1- 0 1
Dy
21(1)(14)(1)7)(2)(2)((0)(5)(0)(0)(1)(2)(2)(14)(0)7)(1)(5)(
7- 1 0
14 5 2
0 2 1
Dz
17
7
D
Dx x 2
7
14
D
Dy y 3
7
21
D
Dz z
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3737
Fungsi TrigonometriSifat-sifat dasar Sinus dan Kosinus
Andaikan t menentukan titik P(x,y) seperti ditunjukkan diatas. Makasin t = y dan cos t = x
x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga :
Karena t dan t + 2 menentukan titik P(x , y) yang sama,
Kesamaan penting yang menghubungkan fungsi-fungsi sinus dan kosinus :
1sin t 1cos t
tt sin)2sin( tt cos)2cos(
tt cos2
sin
tt sin
2cos
1cossin 22 ttt
ttsin
coscot
t
ttcos
sintan
ttcos
1sec t
tsin
1csc
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3838
Grafik Sinus dan KosinusUntuk menggambarkan grafik y = sin t dan y = cos t dalam mode radian dapat diberikan sebagai berikut :
1. Sin t & cos t keduanya berkisar dari -1 s/d 12. Kedua grafik berulang
dgn sendirinya pada selang yg berdampingan sepanjang 2.
3. Grafik y = sin t simetri terhadap titik asal dan
y = cos t terhadap sumbu y.
4. Grafik y = sin t sama seperti y = cos t, tetapi digeser /2 satuan ke kanan.
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 3939
Soal-soal :1. Jelaskan dan gambar selang-selang berikut ini :
a) c) 2 x 6
b) d)
Penyelesaian : a) : ini adalah selang terbuka -2 < x < 2 :
b) Dua selang tak berhingga ditetapkan : x < -3
dan x > 3
2x
-2 2
3x
-3 3
13 x
2x
3x
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 4040
d) Ini ad. selang terbuka sekitar titik 3. U/ mendapat- kan titik ujung, ambil x – 3 = 1 maka x = 4 dan ambil 3 - x = 1 maka diperoleh x = 2. Titik-titik ujung ad. 2 dan 4; selangnya ad. 2< x <4.
Perhatikan bahwa selang ini terdiri dari semua titik yg jaraknya terhadap 3 adalah kurang dari 1.
2 43
c) 2 x 6 Ini ad. selang tertutup 2 x 6, semua bilangan yang sama dgn atau lebih besar dari 2 dan kurang dari atau sama dengan 6.
13 x
2 6
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 4141
6) Tentukan harga x yang memenuhi : Penyelesaian :
atau :
Jadi harga x yang memenuhi adalah : x = ½ atau x = 4
6523 xx
6x52x3
6x52x3
2/1
48
x
x4
82
2653
65)23(
x
x
xx
xx
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 4242
7) Buktikan :
dan tsecttan1 22 tcsctcot1 22
Penyelesaian :
tcos
tsintcos2
22
tcos
tsin1 ttan 1 a)
2
22
tsectcos
1 22
tsin
tcos1tcot1b)
2
22
tcsctsin
1tsin
tcostsin
22
2
22
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 4343
Soal-soal tambahan :
1. Tentukan harga x yang memenuhi pertidaksamaan berikut ini dan perlihatkan himpunan penyelesaiannya pada garis riil :
a) c) (x + 3)(x -2)(x – 4) < 0 b) d)
070172 xx0452 2 xx 0)3()1( 2 xx
2. Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan yang diberikan dibawah ini :
a) c) b) d)
452 x
372 x
102x4
7x32x
3. Diketahui : f(x) = sin (2x) + cos (x), maka tentukan f(/2) !
Variabel & Fungsi
KALKULUS - 1 Slide - Slide - 4444
4) Jika diketahui :
Buktikan bahwa :
3) Diberikan
Hitung : f (0) ; f (2a) ; dan
4
2)(
2
x
xxf
x
f1
x
1)x(f
ab
abfbfaf )()(