Matematike – klasa e 10

Tema -Kalimi nga grafiku i nje funksioni te

te dhen ne nje tjeter duke marre si

baze grafikun e pare.

Qellimi : Formimi i shprehive praktike per ndertimin e grafikeve te tjere duke u mbeshtetur tek funksioni baze .Objektivat : Ne fund te ketij projekti nxenesit duhet te jene ne gjendje te : 1 – te pershkruajne evolimin e konceptit te funksionit 2 – te shpjegojne vetite e funksioneve lineare dhe te fuqise se dyte 3 – te shohin praktikisht si ndertohen grafike te tjere duke u nisur nga funksioni baze Koha : Nje muaj Buxheti : Vullnetare

Historiku i evolimit te funksionit

Termi “ FUNKSION “ u shfaq per here te pare ne nje punim te Leibnicit ( 1646 – 1716 ) ne vitin 1962 dhe me pas gjeti zbatime nga vellezerit Jakob (1654 – 1705 ) dhe Johan Bernuli ( 1667 – 1748 ) ne inrpretimin e disa grafikeve te njohur . Me 1718 Johan Bernuli , per here te pare jep perkufizimin e funksionit , te çliruar nga paraqitja grafike .

ME TEJ… Nxenesi i tij Leonard Eiler ( 1707 – 1783 )

ne librin e tij “ Hyrje ne analizen e madhesive pambarimisht te vegjel “ ( 1748 ) , me te cilen kane mesuar breza te tere matematikanesh , ripohon perkufizimin e Bernulit , duke e saktesuar me tej dhe konkretisht

“ Funksioni i madhesise se ndryshueshme , eshte shprehje analitike , e formuar nga kjo madhesi e ndryshueshme dhe nga madhesite konstante ( te pa ndryshueshme ) “ .

Siç shihet , ne kete perkufizim , funksioni identifikohet me ate shprehje analitike me te cilen ajo paraqitet .

Ne kete periudhe , Eileri perpunoi vetem kuptimin e funksioneve qe ai i quan “ te dukshme “ ( funksione qe jepen me nje shprehje analitike ) por edhe funksionet qe ai i quan “ te padukshme “ ( funksione te tipit x² + y² = a² , per y ≥ 0 . Ne te njejten kohe , ne studimet e tij mbi lekundjet i lind nevoja per te futur dhe kuptimin e funksioneve , qe ai i quan “ te perziera “ dhe konkretisht ato funksione qe ne intervale te ndryshme paraqiten me shprehje analitike te ndryshme .

Ne parathenien e vepres “ Njehsimi diferencial “ ( 1775 ) gjejme nje formulim akoma me te pergjithshem ndonese me pak te percaktuar te funksionit : “ Kur disa madhesi varen nga madhesi te tjera ne menyre te tille qe , ndryshimi I ketyre te fundit sjell ndryshimin e tyre , ne kete rast te parat quhen funksione te te dytave “ .

Gjate disa dhjetevjeçareve , te nje perparimi te dukshem ne matematike , nuk ka patur ndonje zhvillim te dukshem te konceptit te funksionit . Ne vitin 1837 , Dirichle ( 1805 – 1859 ) jep kete perkufizim te funksionit : “ Ne qofte se çdo x i pergjigjet nje y i vetem … , atehere y quhet funksion i x ne kete interval . per kete nuk eshte aspak e domosdoshme qe y , gjate gjithe ketij intervali , te varet nga x sipas te njejtit ligj.” Pavaresisht nga mangesite ky perkufizim luajti nje rol te veçante ne historine e zhvillimit te analizes matematike .

Kuptimi i funksionit Pas kuptimit te bashkesise , kuptimi i

funksionit eshte kuptimi me i rendesishem qe ndeshet ne matematike . Kuptimi i funksionit mund te jepet ne menyra te ndryshme . Ne do t’a trajtojme kuptimin e tij ne ate menyre dhe ne ate mase sa ç’eshte e volitshme per trajtimin e atyre kuptimeve matematike qe jane te lidhura ngushte me funksionin .

Jepen dy bashkesi te çfardoshme X = { x } dhe Y = { y } . Per keto bashkesi mund te krijohen lidhje dyore te ndryshme . Nder to , interes e veçante paraqisin te ashtuquajturat “ lidhje funksionale “ ose shkurt “ funksione

Funksioni eshte nje lloj relacioni, ku cdo element I bashkesise se fillimit lidhet me nje dhe vetem nje element nga bashkesia e vlerave te tij.

Funksioni paraqitet me disa menyra:1.Me tabele2. Me diagrame Veni3. Me formule (menyra analitike)4. Me grafik

Bashkesia e percaktimit te funksionit (E)

Bashkesia e vlerave te funksionit (F) Grafi I funksionit (ExF)

Grafiku I nje funksioni eshte paraqitja ne planin koordinativ I grafit te tij.

Funksionet qe do te shqyrtojme jane te formes se pergjithshme:

y=ax + b y=ax2 + bx + c Bashkesia e percaktimit te ketyre funksioneve

do te jete R (bashkesia e numrave reale) pasi keta funksione nuk kane vlera te palejuara (duke qene se jane polinome te grades s epare dhe te dyte).

Marrim rastet kur b=0.Funksioni do te marre trajten y=ax. (Kjo

quhet forma e paplote e funksionit linear) Kemi tre raste ne varesi te vleres se a-se: 1. a>02. a=03. a<0

Zgjedhim nje vlere pozitive te a-se: psh. a=1 dhe a=3

Funksionet kane trajten y1=x dhe y2=3x.

Ndertojme grafiket e funksioneve duke gjetur vlerat perkatese te y per x € R.

x -1 0 1

y2 -3 0 3

x -1 0 1

y1 -1 0 1

Ç’verejme?•Kalojne nga origjina e boshteve•Kalojne nga kuadranti I dhe III•Jane funksione monotone rrites.•Keta funksione nuk kane vlere me te madhe dhe as vlere me te vogel sepse ne R paraqitja e tyre grafike eshte nje drejtez qe vazhdon pafundesisht.•Kendi qe drejteza y=x formon me boshtin x’x eshte me I vogel se kendi qe formon drejteza y=3x

.

Funksioni ka trajten y=0, qe do te thote se per cdo vlere te x-it, y ka vleren 0.

Ndertojme grafikun e funksionit, I cili do te jete vete boshti x’x.

Ç’verejme?•Perputhet me boshtin x’x•Eshte funksion konstant•Vlera e vetme per cdo lloj x, eshte 0.Kendi midis drejtezes y=0 dhe boshtit x’x eshte 0o pasi ata vendosen mbi njeri-tjetrin

Zgjedhim nje vlere negative te a-se: psh. a=-1 a=-3

Funksionet kane trajten y1=-x dhe y2=-3x. Ndertojme grafiket e funksioneve duke

gjetur vlerat perkatese te y per x € R.

x -1 0 1

y2 3 0 -3

x -1 0 1

y1 1 0 -1•Ç’verejme?•Kalojne nga origjina e boshteve•Kalojne nga kuadranti II ,IV•Jane funksione monotone zbrites.•Nuk kane vlere me te madhe dhe as vlere me te vogel sepse paraqitja grafike eshte drejtez e pakufizuar ngaqe edhe vete E eshte bashkesi e pafundme.•Kendi qe drejteza y=-x formon me boshtin x’x eshte me I vogel se kendi qe formon drejteza y=-3x.

Shqyrtojme tani tre rastet e mesiperme per b>0.

Per shembull zgjedhim b=2.Do kemi funksionet e formes:1. y=x +2 dhe y=3x+22. y=23. y=-x+2 dhe y=-3x+2

Funksioni ka trajten y1=x+2 dhe y2=3x+2 Ndertojme grafikun e funksionit duke gjetur vlerat

perkatese te y per x € R.x -1 0 1

y1 1 2 3

x -1 0 1

y2 -1 2 5

Ç’verejme?•Grafiket jane dy e nga dy paralele me njeri tjetrin.•Perftohen nga zhvendosja paralele e drejtezes y=x dhe y=3x me vektor v=(0

2)•Jane funksione monotone rrites.•Funksionet nuk kane vlere me te madhe, as vlere me te vogel.

Funksioni ka trajten y=2, qe do te thote se per cdo x, y ka vleren 2. Ndertojme grafikun e funksionit, I cili eshte drejtez paralele me boshtin

x’x.

Ç’verejme?•Grafiket jane paralele me njeri tjetrin.•Perftohen nga zhvendosja paralele e drejtezes y= 0 me vektor v=(0

2)•Jane funksione konstante.•Funsionet kane nje vlere te percaktuar te y-it per cdo lloj x.

Funksioni ka trajten y1=-x+2 dhe y2=-3x+2 Ndertojme grafikun e funksionit duke gjetur vlerat perkatese te

y per x € R.x -1 0 1

y1 3 2 1

x -1 0 1

y2 5 2 -1

Ç’verejme?•Grafiket jane dy e nga dy paralele me njeri tjetrin.•Perftohen nga zhvendosja paralele e drejtezes y=-x dhe y=-3x me vektor v=(0

2)•Jane funksione monotone zbrites.•Funksionet nuk kane vlere me te madhe, as vlere me te vogel.

Duke marre si baze grafikun e funksionit y=ax themi se grafiket e funksioneve te formes y=ax+b:

Kane te njejten monotoni me funksionin baze. Ne R, funksionet nuk kane vlere me te madhe apo me te

vogel pasi grafiku nuk ka pike me te larte apo me te ulet, meqe grafiku eshte drejtez.

Grafiku i funksionit y=ax+b perftohet nga zhvendosja paralele ne boshtin koordinativ e grafikut y=ax me vektor v=(0

b) Keto perfundime jane te njejta per cdo vlere te a-se dhe b-

se, si pozitive, ashtu edhe negative por dallojme qe: Per a>0, funksioni eshte monoton rrites, per a<0 eshte

monoton zbrites dhe per a=0 eshte konstant. Sa me e madhe te jete vlera absolute e a-se, aq me i madh

eshte kendi qe formon drejteza e grafikut me boshtin x’x, pra aq me e pjerret eshte drejteza.

Per b>0, grafiku zhvendoset lart ne boshtin y’y, per b<0 zhvendoset poshte boshtit y’y.

Marrim si baze funksionin y=x2, pra xx2

Ne baze te tabeles se vlerave bejme paraqitjen e tij ne planin koordinativ.

x -1 0 1

y 1 0 1

Ç’verejme?•Paraqitja grafike e ketij funksioni eshte parabole, me deget e drejtuara nga lart.•Dy pjeset (deget) e paraboles jane simetrike ne lidhje me boshtin y’y•Parabola e funksionit y=x2, shtrihet ne kuadrantet I dhe II.•Ne R, funksioni ka vlere me te vogel sepse grafiku ka pike me te ulet kulmin e paraboles O(0;0), por nuk ka vlere me te madhe meqe krahet e paraboles zgjaten pafundesisht.

Marrim vlera te ndryshme te a-se, psh a=1/2, a=-1/2, a=2, a=-2. Ndertojme grafiket e tyre dhe bejme krahasimin me y=x2.

Ç’verejme?•Paraqitja grafike e ketyre funksioneve jane parabola me kulm ne origjinen e boshteve.•Secila prej dy pjeseve (deget) e paraboles jane simetrike ne lidhje me boshtin y’y•Per a<0 deget e paraboles jane te drejtuara nga poshte dhe kalojne ne kuadrantin III, IV.•Funksioni ka vlere me te madhe kulmin e paraboles por nuk ka vlere me te vogel.•Per a>0 jane te drejtuara lart dhe kalojne ne kuadrantet I, II.•Me rritjen e vleres absolute te a-se shohim se deget e paraboles “mbyllen”, pra I afrohen gjithnje e me shume boshtit y’y.

Marrim si baze y=x2 dhe ndertojme grafikun e funksionit y=x2+3 dhe y=x2-3 (c>0 dhe c<0), duke bere dallimet mes tyre.

Ç’verejme?•Parabolat e funksioneve te reja kane te njejtat karakteristika me funksionin baze y=x2, por ndryshojne nga koordinata e kulmit te tyre dhe per pasoje nuk kalojne ne te njejtet kuadrante.•Gjithashtu ndryshon dhe vlera me e vogel e funksionit, per x=0 kemi vlera te ndryshme te y=c.•Per te perftuar grafikun e funksionit y=x2+3 mjafton te zhvendosim parabolen y=x2 me vektor v=(0

3), ndersa per parabolen y=x2-3, e zhvendosim me vektor v=(0

-3).•Pra ne pergjithsi per te ndertuar grafikun e funskionit y=ax2+c mjafton te zhvendosim paralelisht parabolen y=x2 me vektor v=(0

c).

Ndertojme grafikun e ketij funksioni per a=1 dhe m=2 dhe e krahasojme me grafikun e funksionit baze y=x2

Ç’verejme?•Funksioni y=(x-2)2 paraqet nje parabole, me dege nga lart (sepse a>0) dhe me koordinaten e kulmit te saj ne piken A(2;0)•Keshtu themi se vlera me e ulet e funksionit y=0 merret per x=m.•Deget e saj jane simetrike ne lidhje me drejtezen x=2 dhe kalojne ne kuadrantin I, II.•Kjo parabole mund te perftohet nga zhvendosja paralele e grafikut te funksionit y=x2 me vektor v=(2 0).•Pra ne pergjithsi themi se per te ndertuar grafikun e funksionit y=a(x-m)2mjafton te zhvendosim paralelisht parabolen y=x2 me vektor v=(m

0).

Ndertojme grafikun e ketij funksioni per a=1 dhe m=2 dhe n=3 dhe e krahasojme me grafikun e funksionit baze y=x2

Ç’verejme?•Funksioni y=(x-2)2 +3 paraqet nje parabole, me deget nga lart dhe me koordinaten e kulmit te saj ne piken C(2;3) ose me piken C(m;n)•Funksioni ka vlere me te vogel y=n per x=m.•Deget e saj jane simetrike ne lidhje me drejtezen x=2 ose x=m dhe kalojne ne kuadrantin I, II.•Kjo parabole mund te perftohet nga zhvendosja paralele e grafikut te funksionit y=x2 me vektor v=(2 3).•Pra ne pergjithsi themi se per te ndertuar grafikun e funksionit y=a(x-m)2 +n mjafton te zhvendosim paralelisht parabolen y=x2 me vektor v=(m

n).

Funksioni i pare mund te kthehet ne formen e funksionit te dyte duke zevendesuar ndryshoren

m=-b/2a n=-D/4a (D=b2-4ac), por te dy paraqesin te njejten parabole ne

planin koordinativ. I pari na ndihmon me shume per ndertimin

e paraboles sepse m, n na japin koordinatat e kulmit te saj.

Si mund ta shohim funksionin?

Materiali i prezantuar u punua

FISNIK KAJOLLI