Matematika román nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1413

MATEMATIKA ROMÁN NYELVEN

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI

ÉRETTSÉGI VIZSGA

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

ÉR

ET

TS

ÉG

I V

IZ

SG

A ●

2

01

5.

má

jus

5.

írásbeli vizsga 1413 2 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

Informaţii utile! Indicaţii referitoare la forma evaluării:

1. Corectarea lucrărilor se va efectua cu o culoare diferită de cea folosită de candidat. Marcarea greşelilor, lipsurilor se face conform practicii de corectare.

2. Primul dintre chenarele gri de lângă probleme conţine punctajul maxim care se poate acorda la problema respectivă, punctajul acordat de profesorul examinator se va înscrie în chenarul de alături.

3. În cazul rezolvării ireproşabile a unei probleme, este de ajuns să se înscrie punctajul maxim în chenarele corespunzătoare.

4. În cazul rezolvării cu greşeli, sau cu lipsuri a problemei, vă rugăm să scrieţi şi punctele parţiale acordate pe unele părţi ale lucrării.

5. Profesorul examinator nu va lua în considerare acele părţi ale lucrării, care sunt scrise cu creionul, exceptând figurile.

Indicaţii referitoare la conţinutul evaluării:

1. La unele probleme s-a dat punctajul pentru mai multe soluţii. Dacă soluţia obţinută de

candidat este diferită de acestea, căutaţi părţi echivalente cu cele din soluţia din barem, pe baza căruia se corectează şi se notează lucrarea.

2. Punctele din baremul de corectare-notare pot fi divizate în puncte parţiale, exceptând cazurile când baremul dă alte indicații. Punctele nu pot fi acordate decât sub formă de numere întregi.

3. Dacă pe parcursul rezolvării s-au comis greşeli de calcul, sau apar inexactitudini, nu se acordă punct pentru partea la care a greşit candidatul. Dacă candidatul lucrează mai departe cu o logică corectă, dar cu valori iniţiale parţial greşite, punctajele parţiale trebuie să fie acordate în continuu.

4. În cazul greşelilor de principiu, în cadrul unei unităţi logice (acestea sunt marcate prin linie dublă în baremul de corectare-notare) nu se acordă punct, nici dacă formal operaţiunea matematică este corectă. Însă dacă candidatul calculează în continuare corect, cu valorile iniţial obţinute în urma unei greşeli de principiu, i se acordă punctajul parţial maxim posibil în această unitate logică sau parte a problemei, dacă problema de rezolvat în esență nu s-a schimbat.

5. Dacă în baremul de corectare-notare o remarcă sau o unitate de măsură apare între paranteze, rezolvarea se consideră a fi de valoare integrală, chiar dacă această unitate de măsură lipsește din rezultatul obţinut.

6. Dacă la o problemă apar mai multe încercări de rezolvare, se va lua în considerare numai rezolvarea indicată de către candidat.

7. Pentru rezolvare nu se pot acorda puncte în plus ( faţă de punctajul maxim indicat pentru rezolvare, sau pentru rezolvare parţială ).

8. Nu se scad puncte pentru calculele parţial greşite sau pentru operaţiunile parţial greşite, dacă acestea nu sunt efectiv folosite în continuare la rezolvarea problemei.

9. În partea II. B a lucrării vor fi notate numai 2 dintre cele 3 probleme date. Candidatul a trecut – probabil – în pătratul alăturat numărul problemei pe care nu o vom lua în considerare la determinarea notei finale a lucrării. Ca atare, o eventuală rezolvare la problema respectivă nici nu trebuie corectată. Astfel, dacă pentru profesorul examinator nu este indicat clar care problemă nu a fost aleasă spre rezolvare de către candidat, ultima problemă în ordinea celor prezentate spre rezolvare nu va fi corectată.

írásbeli vizsga 1413 3 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

I.

6. a) –3 1 punct b) –54 1 punct

Total: 2 puncte

1. { }5;4;3=∩ BA 1 punct { }10;9;8;7;6;5;4;3=∪ CB 1 punct

A \ B = {1; 2} 1 punct Total: 3 puncte

2. 14 2 puncte Nu se descompun.

Total: 2 puncte

3. A) adevărat B) fals C) adevărat

2 puncte

Pentru 2 răspunsuri corecte se acordă 1 punct, pentru un răspuns corect 0 puncte.

Total: 2 puncte

4.

[–2; 2] 2 puncteSe va accepta și altă notație corectă a intervalului.

Total: 2 puncte

5. 99)1)(9( 2 −−+=−+ aaaaa 1 punct

168)4( 22 +−=− aaa 1 punct După reducerea termenilor avem: 72 2 +a . 1 punct

Total: 3 puncte

7. 17 ani 2 puncte

Total: 2 puncte

írásbeli vizsga 1413 4 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

Observație: Cele două soluții posibile sunt {1; 1; 4; 4; 5} și {1; 2; 4; 4; 4}.

8.

Graficul funcției se obține prin translatarea graficului funcției modul. 1 punct

Locul minim al funcției reprezentate grafic este–1, valoarea minimă este–2. 1 punct

Domeniul de definiție al funcției este redus la intervalul dat. 1 punct

Total: 3 puncte

9.

Grafic corespunzător. 1 punct

Se va acorda acest punct chiar dacă candidatul nu reprezintă grafic funcția dar calculează corect.

Înălțimea conului (din teorema lui Pitagora) =− 22 941 1 punct = 40 (cm). 1 punct

Total: 3 puncte

10. Candidatul a indicat cinci numere întregi pozitive. 1 punct Mediana numerelor date este 4, 1 punct valoarea media este 3. 1 punct

Total: 3 puncte

11. =−+ 22 )3(yx 1 punct

4= 1 punct Raza cercului este 2. 1 punct

Total: 3 puncte

12.

)125,0(81 = 2 puncte

Se va accepta rezultatul corect și sub formă de procente.

Total: 2 puncte

írásbeli vizsga 1413 5 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

II. A

13. a) 217)7(3 =+−⋅ p 1 punct

p = 6 1 punct Total: 2 puncte

13. b) Un vector normal al dreptei e este vectorul ne(3; 7). 1 punct Astfel un vector normal al dreptei f perpendicular pe vectorul normal al dreptei e este nf (–7; 3). 1 punct

)2(31)7(37 −⋅+⋅−=+− yx 1 punct Ecuația dreptei f: –7x + 3y = –13. 1 punct

Total: 4 puncte 13. c) prima soluție

Panta dreptei g este 73−=gm . 1 punct

Ecuația dreptei e după reordonarea termenilor

373 +−= xy . 1 punct

Panta dreptei e este 73−=em . 1 punct

Cele două pante fiind egale, dreptele sunt paralele. 1 punct Total: 4 puncte

13. c) a doua soluție În ecuația dreptei e se înlocuiește y din ecuația dreptei g. 1 punct

3x – 3x + 35 = 21 1 punct Această ecuație nu are rădăcini, 1 punct deci cele două drepte nu au puncte comune, de unde rezultă că sunt paralele. 1 punct

Total: 4 puncte Observație:Se va acorda 1 punct dacă candidatul reprezintă corect graficul celor două funcții în același sistem de coordonate. Dacă pe baza figurii constată fără justificare că dreptele sunt paralele i se va acorda încă 1 punct. Iar dacă și citește corect panta ambelor drepte și justifică că dreptele sunt paralele, i se acordă punctajul total.

írásbeli vizsga 1413 6 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

14. a) (Notăm prin α unghiul căutat, avem)

tg(180º – α) 46= 1 punct

α ≈ 56,3º 1 punct Deci măsura unghiului căutat este cca. 123,7°. 1 punct

Total: 3 puncte 14. b)

Numărul tuturor cazurilor: )3276(328

=

. 1 punct

Numărul cazurilor favorabile: )1520(220

18

=

⋅

. 2 puncte

Probabilitatea căutată :

⋅

328

220

18

≈ 0,464. 1 punct

Se va accepta rezultatul corect și sub formă de număr zecimal rotunjit logic și corect la două zecimale, sau valoarea corectă sub formă de procente.

Total: 4 puncte 14. c) Corpul de rotație este compus dintr-un cilindru, respectiv din două trunchiuri de con congruente, așezate pe cercurile de la baza cilindrului.

1 punct

Se va acorda acest punct chiar dacă raționamentul reiese numai din rezolvare.

Raza cercului de la baza cilindrului respectiv înălțimea cilindrului sunt de 6 cm. 1 punct

Volumul: π216Vc = (≈ 678,58) (cm3). 1 punct Raza cercului de la baza mare, respectiv înălțimea trunchiului de con sunt 6 cm, raza cercului de la baza mică este 2 cm.

1 punct

Volumul =+⋅+⋅⋅= )2266(3

6πV 22tc

= 104π (≈ 326,73) (cm3). 1 punct

Volumul căutat: π424V2V tcc =+ ≈ 1 punct ≈ 1332 cm3. 1 punct

Total: 7 puncte

írásbeli vizsga 1413 7 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

15. a)

=⋅= −1623)6(f 1 punct

Se va acorda acest punct chiar dacă raționamentul reiese numai din rezolvare.

= 96 1 punct Total: 2 puncte

15. b)

125,02 1 =−x 1 punct

812 1 =−x 1 punct 125,0lg2lg 1 =−x

31 22 −− =x 1 punct 125,0lg2lg)1( =⋅−x

(Funcția exponențială fiind strict monotonă avem) x – 1 = –3. 1 punct 1

2lg125,0lg +=x

x = –2 1 punct Verificarea prin substituție sau prin referire la transformări echivalente. 1 punct

Total: 6 puncte 15. c) Primul termen al progresiei 31 =a , 1 punct rația q = 2. 1 punct

Suma primilor 10 termeni =−−⋅=12123

10

10S 1 punct

= 3 069. 1 punct Total: 4 puncte

Observație: Dacă candidatul calculează corect primii 10 termeni și îi adună corect i se vor acorda 4 puncte. La o greșeală i se acordă 2 puncte, la mai multe greșeli nu i se acordă nici un punct.

írásbeli vizsga 1413 8 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

II. B

16. a)

Determinăm numărul de familii fără copii în 1990 respectiv în 2011. 1 punct

Se va acorda acest punct chiar dacă raționamentul reiese numai din rezolvare.

Numărul de familii fără copii în 1990: 48,02896 ⋅ ≈ 1 390 (de mii), 1 punct

în 2011 a fost de 52,02713⋅ ≈ 1 411 (de mii). 1 punct

13901411 ≈ 1,015 1 punct

Numărul de familii fără copii a crescut cu cca 1,5% din 1990 până în 2011. 1 punct

Se va accepta și o altă valoare corectă rotunjită la o zecimală.

Total: 5 puncte 16. b) prima soluție

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅100

2453162251520 2 puncte

= 0,8 (în 2011 media de copii întreținuți pe familie este 0,8.) 1 punct Nu se acceaptă o valoare

rotunjită la întreg. Total: 3 puncte

16. b) a doua soluție

Numărul de copii întreținuți

Numărul de familii (în mii ) în 2011

0 1411 1 678 2 434 3 136

4 sau mai mulți 54

1 punct

271354413634342678114110 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ≈ 1 punct

≈ 0,8 (în 2011 media de copii întreținuți pe familie este 0,8.) 1 punct

Se va accepta și o altă valoare corectă rotunjită la o zecimală.

Total: 3 puncte Observație: Dacă candidatul în locul valorii pentru anul 2011calculează corect (0,84), valoarea corepunzătoare anului 1990, i se vor acorda 2 puncte.

írásbeli vizsga 1413 9 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

16. c) prima soluție Reducerea unei cantități cu 0,7%, înseamnă o înmulțire a cantității prin 0,993. 1 punct Se va acorda acest punct

chiar dacă raționamentul reiese numai din rezolvare.

Creșterea unei cantități cu 6,3% înseamnă o înmulțire a cantității prin 1,063. 1 punct

Dacă notăm prin x numărul de menaje (în mii) din 1990, se obține ecuația: 4106063,1993,0 =⋅⋅x . 1 punct

x ≈ 3890, 1 punct

deci în 1990 au fost în țară cca. 3 890 de mii de menaje. 1 punct

Nu se acordă acest punct dacă candidatul nu rotunjește deloc sau rotunjește greșit.

Total: 5 puncte 16. c) a doua soluție

În 2001 numărul de menaje (în mii) 063,1

4106 ≈ 1 punct

≈ 3862,65. 1 punct

în 1990 993,0

65,3862 ≈ 1 punct

x ≈ 3890, 1 punct

deci în 1990 au fost în țară cca. 3 890 de mii de menaje. 1 punct

Nu se acordă acest punct dacă candidatul nu rotunjește deloc sau rotunjește greșit.

Total: 5 puncte 16. d) prima soluție

Raportul dintre ariile celor două cercuri 946

1317λ2 = (≈ 1,39). 2 puncte

deci λ ≈ 1,18. 1 punct Raza de cerc căutată λ5,4( ⋅ ≈) 5,3 cm. 1 punct

Total: 4 puncte 16. d) a doua soluție Aria cercului care reprezintă datele pentru anul 1990 este: π5,4 2

1 =t (≈ 63,62) (cm2). 1 punct

Deci aria celui de al doilea cerc 946

131712 ⋅= tt (≈ 88,57) (cm2). 1 punct

De unde raza de cerc căutată = π2t ≈ 1 punct

≈ 5,3 cm. 1 punct Total: 4 puncte

Observație: Se va accepta rezultatul corect și sub altă formă de număr zecimal rotunjit corect.

írásbeli vizsga 1413 10 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

17. a) prima soluție (Dacă notăm prin x km distanța traseului mai scurt, distanța mai lungă este (x + 140) km. Ecuația obținută pe baza datelor problemei:)

106140

71+= xx .

2 puncte

106x = 71x + 9940 1 punct x = 284 1 punct Distanța traseului mai scurt este 284 km. 1 punct Verificare pe baza textului problemei. 1 punct

Total: 6 puncte

17. a) a doua soluție (Se notează cu y timpul în ore, necesar pentru parcurgerea distanței. Ecuația obținută pe baza datelor problemei:) 71y + 140 = 106y

2 puncte

y = 4 1 punct 284471 =⋅ 1 punct

Distanța traseului mai scurt este 284 km. 1 punct Verificare pe baza textului problemei. 1 punct

Total: 6 puncte

17. b)

Consumul de benzină al mașinii pe traseu =⋅ 5,6100396 1 punct

= 25,74 liter. 1 punct Se acceptă și 25,7 sau 26 litri.

Costul benzinei cca. 11 000 Ft. 1 punctNu se acordă acest punct dacă candidatul nu rotunjește deloc sau rotunjește greșit.

Total: 3 puncte

17. c) prima soluție (Dacă notăm prin v viteza medie, ecuația obținută pe baza

datelor problemei este:) 116

396396 ++

=vv

. 2 puncte*

)16(396)16(396 ++=+ vvvv 2 puncte* 06336162 =−+ vv 1 punct

881 −=v , 722 =v 1 punct (Rădăcina negativă nu este soluția problemei, astfel)

viteza medie a fost de 72 h

km . 1 punct

Verificare pe baza textului problemei. 1 punct Total: 8 puncte

írásbeli vizsga 1413 11 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

17. c) a doua soluție (dacă notăm prin t timpul necesar pentru parcurgerea distanței, obținem ecuația următoare pe baza datelor

problemei:) 1

39616396−

=+tt

. 2 puncte*

396(t – 1) + 16t(t – 1) = 396t 2 puncte* 03961616 2 =−− tt 1 punct 09944 2 =−− tt

5,41 −=t , 5,52 =t 1 punct (Rădăcina negativă nu este soluția problemei, astfel)

viteza medie a fost de 725,5

396 =h

km . 1 punct

Verificare pe baza textului problemei. 1 punct Total: 8 puncte

Cele 4 puncte marcate prin * se vor acorda candidatului și pentru raționamentul următor: (Dacă notăm prin t timpul necesar pentru parcurgerea distanței iar prin v viteza medie, obținem următorul sistem de ecuații pe baza datelor problemei:)

=−+=⋅

396)1)(16(396

tvtv

.

2 puncte

Descompunem parantezele în cea de a doua ecuație și substituim tv ⋅ prin 396, astfel obținem: 16t – v – 16 = 0.

1 punct

Exprimăm una dintre necunoscute și întroducem în ecuația 396=⋅ tv : 1 punct

írásbeli vizsga 1413 12 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

18. a) prima soluție Avem 5 coduri care conțin cifra 2 o dată și cifra 9 de patru ori, 1 punct

La fel avem 5 coduri care conțin cifra 9 o dată și cifra 2 de patru ori, 1 punct

Avem 10 coduri care conțin cifra 2 de două ori respectiv cifra 9 de trei ori. 1 punct

La fel avem 10 coduri care conțin cifra 9 de două ori respectiv cifra 2 de trei ori, 1 punct

Astfel avem în total 30 de coduri corespunzătoare. 1 punct Total: 5 puncte

18. a) a doua soluție Numărul corespunzător de coduri se obține prin scăderea numerelor care nu conțin ambele cifre 2 și 9 din numărul tuturor numerelor de cinci cifre care se formează cu ajutorul ambelor cifre 2 și 9.

1 punct

Se va acorda acest punct chiar dacă acest raționament reiese numai din rezolvare

Numărul codurilor posibile obținute din cifrele 2 și 9 este egal cu numărul tuturor numerelor de 5 cifre, adică =52

1 punct

= 32. 1 punct Dintre aceste coduri numai 2 sunt care care nu conțin ambele cifre. 1 punct

Astfel numărul codurilor corespunzătoare este 30. 1 punct Total: 5 puncte

18. b) Cifrele codului lui Béla pot fi : 2, 3, 5 sau 7. 1 punct

Un cod pentru a fi divizibil cu 6 trebuie să fie divizibil cu 3 și 2. 1 punct

Se va acorda acest punct chiar dacă acest raționament reiese numai din rezolvare

Fiind divizibil cu 2 se termină cu cifra 2. 1 punct Codul este divizibil cu 3 când pe lângă această cifră avem cifrele 3 și 7, 1 punct

în ordine descrescătoare. 1 punct

Se va acorda acest punct chiar dacă acest raționament reiese numai din rezolvare

Astfel codul căutat este 732. 1 punct Total: 6 puncte

írásbeli vizsga 1413 13 / 13 2015. május 5.

Matematika román nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

18. c) prima soluție

Se poate alege poziția cifrelor 3 în

26

feluri. 1 punct

Apoi se poate alege poziția cifrelor 4 în

24

feluri. 1 punct

Restul de două cifre se pot plasa în cele două locuri rămase libere în două feluri. 1 punct

Astfel numărul tuturor codurilor posibile este

produsul: 180224

26

=⋅

⋅

1 punct

Numărul cazurilor favorabile este 1. 1 punct

Probabilitatea căutată este 500,0180

1 = . 1 punct

Se va accepta atât rezultatul corect sub formă de număr zecimal rotunjit, cât și cel exprimat corect în procente.

Total: 6 puncte 18. c) a doua soluție Șase cifre diferite se pot înșira în 6! feluri, 1 punct dacă candidatul face

referință la formula permutării cu repetiție atunci i se acordă aceste puncte .

dar din cauza cifrelor care se repetă se înjumătățește nunărul cazurilor posibile, 1 punct

chiar de două ori. 1 punct

Astfel numărul tuturor codurilor posibile este: 180. 1 punct Numărul cazurilor favorabile este 1. 1 punct

Probabilitatea căutată este 500,0180

1 = . 1 punct

Se va accepta atât rezultatul corect sub formă de număr zecimal rotunjit, cât și cel exprimat corect în procente..

Total: 6 puncte