k Matnem 15maj Ut

Matematika német nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1413

MATEMATIKA NÉMET NYELVEN

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI

ÉRETTSÉGI VIZSGA

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA

ÉR

ET

TS

ÉG

I V

IZ

SG

A ●

2

01

5.

má

jus

5.

írásbeli vizsga 1413 2 / 13 2015. május 5.

Matematika német nyelven — középszint Javítási-értékelési útmutató

Wichtige Hinweise Formvorschriften:

1. Die Arbeit ist mit einem andersfarbigen Stift, als der Abiturient ihn benutzt hat, zu korrigieren. Die Fehler und die fehlenden Schritte sind wie üblich zu markieren.

2. In den Kästchen neben den Aufgaben steht zuerst die maximale Punktzahl. Der Kor-rektor trägt die von ihm gegebene Punktzahl in das zweite Kästchen ein.

3. Bei einwandfreier Lösung kann ohne Angabe von Teilpunkten die maximale Punkt-zahl eingetragen werden.

4. Bei fehlerhaften oder mangelhaften Lösungen geben Sie bitte auch die Teilpunkte an. 5. Außer den Abbildungen dürfen die mit Bleistift geschriebenen Teile nicht bewertet

werden!

Inhaltliche Fragen: 1. Bei einigen Aufgaben sind verschiedene Lösungswege angegeben. Wenn eine von

diesen unterschiedlichen Lösungen vorkommt, suchen Sie die gleichwertigen Teile und verteilen die Punkte entsprechend.

2. Die vorgeschriebenen Punktzahlen lassen sich weiter zerlegen, es sei denn der Lö-sungsschlüssel etwas anderes verschreibt, dürfen aber nur als ganze Punkte vergeben werden.

3. Wenn der Schüler einen Rechenfehler macht oder ungenau wird, bekommt er nur für den Teil keinen Punkt, wo der Fehler lag. Wenn er mit falschem Teilergebnis, aber mit richtigem Gedankengang weiterrechnet, und dadurch das zu lösende Problem sich nicht wesentlich verändert, sind die weiteren Teilpunkte zu gewähren.

4. Begeht der Schüler einen theoretischen Fehler, so bekommt er innerhalb einer Ge-dankeneinheit (diese wird in der Anweisung mit Doppellinie markiert) auch für die formell richtigen mathematischen Schritte keinen Punkt. Wenn der Schüler in einer folgenden Teilaufgabe mit diesem falschen Ergebnis als Ausgangswert richtig weiter-rechnet, dadurch aber das zu lösende Problem sich nicht wesentlich verändert, be-kommt er die maximale Punktzahl für diesen neuen Teil.

5. Wenn in der Anweisung eine Einheit oder eine Bemerkung in Klammern steht, dann kann die Lösung auch ohne diese mit voller Punktzahl bewertet werden.

6. Bei mehreren Lösungen für eine Aufgabe ist nur die eine zu bewerten, die der Schü-ler markiert hat.

7. Zusatzpunkte (mehr Punkte als die vorgeschriebene maximale Punktzahl für die Aufgabe) sind nicht zugelassen.

8. Es gibt keinen Punktabzug für Berechnungen und Schritte, die zwar falsch sind, aber vom Schüler bei der Lösung der Aufgabe nicht weiterverwendet werden.

9. Im Teil II. B sind aus den 3 Aufgaben nur Lösungen von 2 Aufgaben zu bewer-ten. Der Abiturient hat die Nummer der Aufgabe, die nicht bewertet werden soll, in das entsprechende Kästchen – vermutlich – eingetragen. Dementsprechend wird die eventuell vorhandene Lösung für diese Aufgabe nicht korrigiert. Wenn die abgewählte Aufgabe nicht eindeutig feststeht, dann ist die nicht zu bewertende Aufgabe automa-tisch die letzte Aufgabe der vorgegebenen Aufgabenreihe.



I.

6. a) –3 1 Punkt b) –54 1 Punkt

Insgesamt: 2 Punkte

1. { }5;4;3=∩ BA 1 Punkt { }10;9;8;7;6;5;4;3=∪ CB 1 Punkt

A \ B = {1; 2} 1 Punkt Insgesamt: 3 Punkte

2. 14 2 Punkte Nicht weiter zu zerlegen.

Insgesamt: 2 Punkte

3. A) richtig B) falsch C) richtig

2 PunkteBei 2 richtigen Antworten ist 1 Punkt, bei 1 richti-gen 0 Punkte zu geben.

Insgesamt: 2 Punkte

4.

[–2; 2] 2 PunkteAndere richtigen Be-zeichnungen sind auch akzeptabel.

Insgesamt: 2 Punkte

5. 99)1)(9( 2 −−+=−+ aaaaa 1 Punkt

168)4( 22 +−=− aaa 1 Punkt Nach dem Zusammenfassen: 72 2 +a . 1 Punkt

Insgesamt: 3 Punkte

7. 17 Jahre alt. 2 Punkte

Insgesamt: 2 Punkte



Anmerkung: Die zwei möglichen Lösungen sind {1; 1; 4; 4; 5} und {1; 2; 4; 4; 4}.

8.

Der dargestellte Graph entsteht durch Verschiebung einer Absolutbetrag-Funktion.

1 Punkt

Minimumstelle: –1, Minimumwert: –2 der darge-stellten Funktion.

1 Punkt

Der Definitionsbereich der Funktion ist das ange-gebene Intervall.

1 Punkt

Insgesamt: 3 Punkte

9.

Richtige Abbildung. 1 Punkt

Dieser Punkt ist auch dann zu geben, wenn der Kandidat ohne Abbildung richtig rechnet.

Höhe des Kegels (Pyth.-Lehrsatz) =− 22 941 1 Punkt = 40 (cm). 1 Punkt

Insgesamt: 3 Punkte

10. Der Kandidat hat fünf positive ganze Zahlen ange-geben.

1 Punkt

Der Median der Zahlen ist 4, 1 Punkt ihr Durchschnitt ist 3. 1 Punkt

Insgesamt: 3 Punkte

11. =−+ 22 )3(yx 1 Punkt

4= 1 Punkt Der Radius des Kreises ist 2. 1 Punkt

Insgesamt: 3 Punkte

12.

)125,0(8

1 = 2 PunkteIn Prozent angegebene richtige Lösung ist auch akzeptabel.

Insgesamt: 2 Punkte



II. A

13. a) 217)7(3 =+−⋅ p 1 Punkt

p = 6 1 Punkt Insgesamt: 2 Punkte

13. b) Ein Normalvektor der Geraden e ist ne(3; 7). 1 Punkt So ist ein Normalvektor der orthogonalen Geraden f: nf (–7; 3).

1 Punkt

)2(31)7(37 −⋅+⋅−=+− yx 1 Punkt Die Gleichung der Geraden f ist –7x + 3y = –13. 1 Punkt

Insgesamt: 4 Punkte

13. c) erste Lösung

Die Steigung der Geraden g ist 7

3−=gm . 1 Punkt

Die Gleichung von e umgeformt ist: 37

3 +−= xy . 1 Punkt

Steigung der Geraden e 7

3−=em . 1 Punkt

Da die Steigungen der zwei Geraden gleich sind, deshalb sind sie parallel.

1 Punkt

Insgesamt: 4 Punkte

13. c) zweite Lösung Aus der Gleichung von g wird y in die Gleichung von e eingesetzt.

1 Punkt

3x – 3x + 35 = 21 1 Punkt Diese Gleichung hat keine Lösung, 1 Punkt also die zwei Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt, deshalb sind sie parallel.

1 Punkt

Insgesamt: 4 Punkte Anmerkung: Wenn der Kandidat die zwei Geraden in einem gemeinsamen Koordinatensystem richtig darstellt, bekommt er 1 Punkt. Wenn er anhand der Abbildung, ohne Begründung fest-stellt, dass die Geraden parallel sind, bekommt er noch 1 Punkt. Wenn er noch –als Begrün-dung – die Steigungen beider Geraden richtig abliest, dann muss er die volle Punktzahl be-kommen.



14. a) (Der gefragte Winkel sei α)

tg(180º – α) 4

6= 1 Punkt

α ≈ 56,3º 1 Punkt Die Größe der gefragten Winkel ist also. 123,7°. 1 Punkt

Insgesamt: 3 Punkte

14. b)

Die Anzahl aller Fälle ist: )3276(3

28=

. 1 Punkt

Die Anzahl der günstigen Fälle ist:

)1520(2

20

1

8=

⋅

. 2 Punkte

Die Wahrscheinlichkeit ist

⋅

3

28

2

20

1

8

≈ 0,464. 1 Punkt

Alle sinnvoll (auf mindes-tens zwei Nachkomma-stellen) richtig gerunde-ten Werte, sowie in Pro-zent angegebenen richti-gen Antworten sind auch akzeptabel.

Insgesamt: 4 Punkte

14. c) Der entstandene Rotationskörper besteht aus einem Zylinder und zwei kongruenten Pyramidenstump-fen.

1 Punkt

Dieser Punkt ist auch zu geben, wenn dieser Ge-dankengang nur aus der Lösung hervorkommt.

Der Grundkreisradius und auch die Höhe des Zy-linders sind jeweils 6 cm lang.

1 Punkt

Sein Volumen ist: π216VZ = (≈ 678,58) (cm3). 1 Punkt Der Grundkreisradius und auch die Höhe des Py-ramidenstumpfes sind jeweils 6 cm lang, der Radi-us des Deckkreises ist 2 cm.

1 Punkt

Sein Volumen ist =+⋅+⋅⋅= )2266(3

6πV 22

Ps

= 104π (≈ 326,73) (cm3). 1 Punkt

Das gefragte Volumen ist: π424V2V PsZ =+ ≈ 1 Punkt ≈ 1332 cm3. 1 Punkt

Insgesamt: 7 Punkte



15. a)

=⋅= −1623)6(f 1 Punkt


= 96 1 Punkt Insgesamt: 2 Punkte

15. b) 125,02 1 =−x 1 Punkt

8

12 1 =−x 1 Punkt 125,0lg2lg 1 =−x

31 22 −− =x 1 Punkt 125,0lg2lg)1( =⋅−x

(Da die exponentielle Funktion streng monoton ist) x – 1 = –3.

1 Punkt 12lg

125,0lg +=x

x = –2 1 Punkt Probe: durch Einsetzen oder durch einen Hinweis auf die Äquivalenz

1 Punkt

Insgesamt: 6 Punkte

15. c) Das erste Glied der Folge ist 31 =a , 1 Punkt ihr Quotient ist q = 2. 1 Punkt

Summe der ersten 10 Glieder ist =−−⋅=12

123

10

10S 1 Punkt

= 3 069. 1 Punkt Insgesamt: 4 Punkte

Anmerkung: Wenn der Kandidat die ersten 10 Glieder der Folge berechnet und sie richtig addiert, bekommt er 4 Punkte. Bei einem Fehler (ein Glied wird falsch ausgerechnet oder falsche Addition der Glieder) bekommt er 2 Punkte, bei mehr als einem Fehler bekommt er keinen Punkt.



II. B

16. a)

Man muss die Anzahl der Familien bestimmen, die in den Jahren 1990 und 2011 keine Kinder hatten.

1 Punkt


Anzahl der kinderlosen Familien 1990: 48,02896 ⋅ ≈ 1 390 (Tausend), 1 Punkt

2011: 52,02713⋅ ≈ 1 411 (Tausend). 1 Punkt

1390

1411≈ 1,015 1 Punkt

Die Zahl der kinderlosen Familien wuchs von 1990 bis 2011 etwa um 1,5%.

1 Punkt

Andere, auf eine Nach-kommastelle richtig ge-rundete Werte sind auch akzeptabel.

Insgesamt: 5 Punkte

16. b) erste Lösung

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅100

2453162251520 2 Punkte

= 0,8 (Kinder waren durchschnittlich in einer Fa-milie im Jahr 2011) 1 Punkt

Rundung auf einen gan-zen Wert ist nicht akzep-tabel.

Insgesamt: 3 Punkte

16. b) zweite Lösung

Anzahl der Kinder Anzahl der Fami-lien (2011, Tau-

send) 0 1411 1 678 2 434 3 136

4 oder mehr 54

1 Punkt

2713

54413634342678114110 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅≈ 1 Punkt

≈ 0,8 (Kinder waren durchschnittlich in einer Fa-milie im Jahr 2011)

1 Punkt

Andere, auf eine Nach-kommastelle richtig ge-rundete Werte sind auch akzeptabel.

Insgesamt: 3 Punkte Anmerkung: Wenn der Kandidat statt des Jahres 2011 die Werte von 1990 richtig berechnet (0,84), bekommt er dafür 2 Punkte.



16. c) erste Lösung Bei einem Rückgang von 0,7% bedeutet es eine Multiplikation mit 0,993.

1 Punkt Diese 2 Punkte sind auch zu geben, wenn dieser Gedan-kengang nur aus der Lö-sung hervorkommt.

Bei einem Anstieg von 6,3% bedeutet es eine Multiplikation mit 1,063.

1 Punkt

Bezeichne man die Anzahl der Haushalte (in Tausend) im Jahr 1990 mit x, dann gilt:

4106063,1993,0 =⋅⋅x . 1 Punkt

x ≈ 3890, 1 Punkt

also etwa 3 890 Tausend Haushalte gab es im Jahr 1990.

1 PunktDiesen Punkt bekommt der Kandidat nicht, wenn er nicht oder falsch rundet.

Insgesamt: 5 Punkte

16. c) zweite Lösung Die Anzahl der Haushalte im Jahr 2001 (Tau-

send) 063,1

4106≈ 1 Punkt

≈ 3862,65. 1 Punkt

1990: 993,0

65,3862≈ 1 Punkt

x ≈ 3890, 1 Punkt

also etwa 3 890 Tausend Haushalte waren im Jahr 1990.

1 PunktDiesen Punkt bekommt der Kandidat nicht, wenn er nicht oder falsch rundet.

Insgesamt: 5 Punkte

16. d) erste Lösung Das Flächenverhältnis der zwei Kreise ist

946

1317λ2 = (≈ 1,39). 2 Punkte

also λ ≈ 1,18. 1 Punkt Der gefragte Radius ist λ5,4( ⋅ ≈) 5,3 cm. 1 Punkt

Insgesamt: 4 Punkte

16. d) zweite Lösung Die Fläche des Kreises für 1990 ist

π5,4 21 =t (≈ 63,62) (cm2).

1 Punkt

Die Fläche des anderen Kreises ist

946

131712 ⋅= tt (≈ 88,57) (cm2). 1 Punkt

Der gefragte Radius ist = π2t ≈ 1 Punkt

≈ 5,3 cm. 1 Punkt Insgesamt: 4 Punkte

Anmerkung: Andere, sinnvoll gerundete Ergebnisse sind auch akzeptabel.



17. a) erste Lösung (Wenn die Länge der kürzeren Route x km ist, dann ist die längere (x + 140) km lang. Die Gleichung anhand des Textes ist:)

106

140

71

+= xx.

2 Punkte

106x = 71x + 9940 1 Punkt x = 284 1 Punkt Die Länge der kürzeren Route ist 284 km. 1 Punkt Probe im Text. 1 Punkt

Insgesamt: 6 Punkte

17. a) zweite Lösung (Die nötige Zeit zur Fahrt bezeichnet y in Stunden. Die Gleichung anhand des Textes ist:) 71y + 140 = 106y

2 Punkte

y = 4 1 Punkt 284471 =⋅ 1 Punkt

Die Länge der kürzeren Route ist 284 km. 1 Punkt Probe im Text. 1 Punkt

Insgesamt: 6 Punkte

17. b)

Der Benzinverbrauch des Autos war =⋅ 5,6100

396 1 Punkt

= 25,74 Liter. 1 Punkt25,7 oder 26 Liter sind auch akzeptabel.

Die Kosten sind etwa. 11 000 Ft. 1 Punkt

Diesen Punkt bekommt der Kandidat nicht, wenn er nicht oder falsch run-det.

Insgesamt: 3 Punkte

17. c) erste Lösung (Die Durchschnittsgeschwindigkeit mit v bezeich-net, kann die Gleichung aufgestellt werden:)

116

396396 ++

=vv

. 2 Punkte*

)16(396)16(396 ++=+ vvvv 2 Punkte*

06336162 =−+ vv 1 Punkt

881 −=v , 722 =v 1 Punkt (Die negativen Lösungen sind keine Lösungen der Aufgabe). Die Durchschnittsgeschwindigkeit war

72 h

km.

1 Punkt

Probe im Text. 1 Punkt Insgesamt: 8 Punkte



17. c) zweite Lösung (Die nötige Zeit zur Fahrt mit t bezeichnet, kann

man die Gleichung aufstellen):1

39616

396

−=+

tt. 2 Punkte*

396(t – 1) + 16t(t – 1) = 396t 2 Punkte* 03961616 2 =−− tt 1 Punkt 09944 2 =−− tt

5,41 −=t , 5,52 =t 1 Punkt Die negativen Lösungen sind keine Lösungen der Aufgabe. Die Durchschnittsgeschwindigkeit war

725,5

396 =h

km.

1 Punkt

Probe im Text. 1 Punkt Insgesamt: 8 Punkte

Die mit * markierten 4 Punkte kann der Kandidat auch für den folgenden Gedankengang be-kommen: (Die nötige Zeit zur Fahrt mit t und die Durch-schnittsgeschwindigkeit mit v bezeichnet, kann man das folgende Gleichungssystem aufstellen:)

=−+=⋅

396)1)(16(

396

tvtv

.

2 Punkte

Wenn man die zweite Gleichung auflöst und an-stelle von tv ⋅ 396 einsetzt, ergibt sich: 16t – v – 16 = 0.

1 Punkt

Daraus wird eine der Variablen ausgedrückt und in die Gleichung 396=⋅ tv eingesetzt:

1 Punkt



18. a) erste Lösung Es gibt 5 Codes die eine 2 und viermal die 9 ent-halten,

1 Punkt

es gibt 5 Codes die eine 9 und viermal die 2 enthal-ten.

1 Punkt

Es gibt 10 Codes die zweimal die 2 und dreimal die 9 enthalten,

1 Punkt

Es gibt 10 Codes die zweimal die 9 und dreimal die 2 enthalten,

1 Punkt

Es sind insgesamt 30 entsprechende Codes. 1 Punkt Insgesamt: 5 Punkte

18. a) zweite Lösung Man bekommt die Zahl der entsprechenden Codes, indem man aus der Zahl aller Möglichkeiten die subtrahiert, die beide Ziffern nicht enthalten.

1 Punkt


Die Zahl der Codes aus den Ziffern 2 und 9 ist =52

1 Punkt

= 32. 1 Punkt Daraus gibt es 2 solche, die nicht beide Ziffern enthalten.

1 Punkt

Es sind insgesamt 30 entsprechende Codes. 1 Punkt Insgesamt: 5 Punkte

18. b) Die Ziffern von Bélas Codes können: 2, 3, 5 oder 7 sein.

1 Punkt

Für die Teilbarkeit durch 6 müssen die Codes so-wohl durch 2 als auch 3 teilbar sein.

1 Punkt


Da sie durch 2 teilbar sind, müssen sie auf 2 enden. 1 Punkt Durch 3 teilbar ist der Code, wenn neben 2 noch die Ziffern 3 und 7 vorkommen,

1 Punkt

nach ihrer Größen in fallender Reihenfolge. 1 Punkt


So ist der gefragte Code der 732. 1 Punkt Insgesamt: 6 Punkte



18. c) erste Lösung

Die Stellen der Ziffern 3 kann man auf

2

6 Wei-

sen auswählen.

1 Punkt

Die Stellen der Ziffer 4 kann man auf

2

4 Weisen

auswählen.

1 Punkt

Die übriggebliebenen zwei verschiedenen Ziffern kann man in den letzten zwei Stellen in zwei ver-schiedenen Reihenfolgen aufschreiben.

1 Punkt

Die Zahl aller möglicher Codes ist das Produkt

dieser Zahlen: 18022

4

2

6=⋅

⋅

1 Punkt

Anzahl der günstigen Fälle ist 1. 1 Punkt

Die gefragte Wahrscheinlichkeit ist 500,0180

1 = . 1 Punkt

Andere sinnvoll und rich-tig gerundete Werte, so-wie in Prozent angegebe-ne richtige Antworten sind auch akzeptabel.

Insgesamt: 6 Punkte 18. c) zweite Lösung Sechs verschiedene Ziffern können insgesamt in 6! Reihenfolgen nacheinander kommen,

1 Punkt Wenn sich der Kandidat auf die Formel der Per-mutation mit Wiederho-lung richtig bezieht, dann bekommt er diese Punkte.

aber die wiederholten Ziffern halbieren die Anzahl der Möglichkeiten,

1 Punkt

sogar zweimal. 1 PunktSo ist die Anzahl der Fälle, die allen Bedingungen entsprechen: 180.

1 Punkt

Die Anzahl der günstigen Fälle ist 1. 1 Punkt

Die gefragte Wahrscheinlichkeit ist 500,0180

1 = . 1 Punkt

Andere sinnvoll und rich-tig gerundete Werte, so-wie in Prozent angegebe-ne richtige Antworten sind auch akzeptabel.

Insgesamt: 6 Punkte

k Matnem 15maj Ut

Documents

Transcript of k Matnem 15maj Ut