3.6. Aplicaciones del teorema de  Poincaré­Bendixon.

Para aplicar el teorema uno tiene que hallar un dominio  2RD ⊂  el cual contiene 

solo puntos ordinarios y tiene que encontrar  al menos una orbita la cual para  0≥t de él. 

Entonces D debe contener al menos una orbita periódica.

Ejemplo 3.6.1.

El ejemplo típico es el sistema:

( )( )22

22

'

'

yxyxyy

yxxyxx

+−+=

+−−=

Por el criterio de Bendixon:

  ( ) 223223 442, yxyyxxyxyxyx −−=−−+−−−⋅∇

El único punto critico es  ( )0,0 , este es un punto espiral con atracción negativa. 

Nosotros construimos el dominio anular con centro en  ( )0,0  y de radio interior  11 <r  y 

de   radio   exterior   12 >r .   Por   ser   el   origen     un     atractor   negativo   las   orbitas   que 

comienzan  dentro del circulo mas pequeño entraran en el anillo. Se pueden analizar las 

isoclinas de el sistema y concluir que las orbitas que comienzan fuera del circulo mas 

grande entraran en el anillo. Como el anillo no contiene puntos críticos, de acuerdo  al 

teorema de Poincaré­Bendixon debe contener al menos una orbita  periódica.

Este análisis  es confirmado  transformando la ecuación a coordenadas polares:

1')1(' 2

=θ−= rrr

Existe una solución periódica:  tttr +θ=θ= 0)(,1)( . En el  plano de fase esto es 

un ciclo limite.

Fig(3.12)

51

Ejemplo 3.6.2.

Considere el sistema:

( )( ) yxyxxx

xxyxyy

−−−+=

+−−+=

32'

32'22

22

El único punto critico  del  sistema es    ( )0,0 ,  esto es un punto espiral  con atracción 

positiva.   para   ver   si   las   orbitas   cerradas   son   posibles   apliquemos   el   criterio   de 

Bendixon:

( )

−+

−=−−+=⋅∇

1633

43

46644, 22

22 yxxyxgf

Dentro del circulo de Bendixon con centro en 

0,

43

 y radio 433  la expresión es de 

signo definido y  no hay orbitas cerradas en el interior de este circulo.

Las orbitas cerradas son posibles solo si interceptan el circulo de Bendixon o están fuera 

de él. Transformando a coordenadas polares:

( ) ( )( )1'

332' 222

=θθ−−θ−=−θ−= CosCosrrrCosrrr

Si  1<r  se ve que  0'<r , si  3>r  se ve que  0'>r . De acuerdo con el Teorema 

de Poincaré­Bendixon en el anillo  31 << r  debe existir uno o mas ciclos limites.

Fig(3.13)

Ejemplo 3.6.3 (La ecuación de Liénard y de Van der Pool)

52

Considere la ecuación de Liénard:

0')('' =++ xxxfx (3.10)

con  )(xf  Lipchitz­continua en R. Asumamos que:

a.­ ∫=x

dssfxF0

)()(  es una  función impar.

b.­ +∞→)(xF  cuando  ∞→x  y existe una constante  0>β  tal que para 

0)(, >β> xFx  y es monoticamente creciente.

c.­ Existe una constante  0>α  tal que para  α<< x0 ,  0)( <xF .

Fig(3.14)

En la figura (3.14) el comportamiento de   )(xF  ha sido esquematizado donde el 

número de oscilaciones de   )(xF   entre   β−   y  β   ha sido elegido aleatoriamente. Para 

analizar la ecuación (3.10) es conveniente transformar  xx →' ,  )(' xFxy +→ , entonces:

xy

xFyx

−=−=

')('

(3.11)

Debemos demostrar que la ecuación (3.10) tiene al menos una solución periódica.

Teorema  3.6.1.

Considérese la ecuación de Lienard (3.10) o equivalentemente el sistema (3.11). 

Si las condiciones a­c son satisfechas, la ecuación tiene al menos una orbita  periódica o 

solución   periódica.     Si   β=α   existe   una   única   solución   periódica   y   la   orbita 

correspondiente es el conjunto  ω ­limite para todos las orbitas excepto para el punto 

critico  ( )0,0 .

53

a βa­β−

Prueba.

En primer lugar observemos que el sistema (3.11) tiene un único punto critico en 

( )0,0 . Además:  

−

−=

011)('

),(xF

yxJ  y  

−

−=

011)0('

)0,0(F

J  y los valores propios 

son:

4)0('21

2)0(' 2

2,1 −±−=λ FF

.

Si F(x) es impar,   )0('F   es negativa si es diferente de cero, así   ( )0,0   es un atractor 

negativo.

Para aplicar el teorema de Poincaré Bendixon debemos probar que para este sistema, 

existe un dominio anular el cual es invariante positivo. Debemos usar la coordenada 

polar r, o simplificar la expresión:

( )222

21

21

yxrR +==

Para las soluciones de (3.11) se tiene que : )('

)())(('''xxFR

xyxFyxyyxxR

−=−+−=+=

Notar que para  α<<α− x   se tiene que   0'≥R , esto esta de acuerdo con la atracción 

negativa de  ( )0,0 . Las orbitas que comienzan en la frontera de un dominio circular con 

radio menor que   α , no pueden entrar en este dominio circular. Debemos probar ahora 

que para las orbitas que empiezan muy lejos del origen, las trayectorias deben decrecer 

hasta una distancia del origen. Primero recordemos que al reemplazar (x,y) en (3.11) por 

( )yx −− ,  el sistema no cambia  pues F(x) es impar. Esto significa que si  ( ))(),( tytx  es 

una solución, la reflexión a través del origen  ( ))(),( tytx −−  también es solución.

Investigaremos el comportamiento de las orbitas que comienzan en  ( )0,0 y  con 

00 >y ; de (3.11) se tiene que  para las orbitas:

)(xFyx

dxdy

−−

= (3.13)

La tangente a la orbita es horizontal si  0=x , y vertical si  )(xFy = .

54

Debemos demostrar que eligiendo un   0y   suficientemente   largo   el   comportamiento 

de   las   soluciones   que   comienzan   en   ( )0,0 y   es   semejante   al   comportamiento 

esquematizado en  la   figura(3.15)  donde   01 yy < .  Si  este  es  el  caso   la  prueba esta 

completa, pues la reflexión de la orbita produce en conjunto invariante, acotado  por las 

dos orbitas y os segmentos  [ ] [ ]1001 ,,, yyyy −− ,

Fig(3.15)

Para probar que  01 yy <  considere  ),( yxR , en particular:

∫=−ABECD

dRyRyR ),0(),0( 01

∫∫∫ +−−

+=

BECCDAB

dRxFy

xdx)(

F(x)   es   acotado   para   β≤≤ x0 ,   así   la   primera   integral   tiende   a   0,   cuando 

∞→0y ; notar que asumimos que   −∞→1y  cuando  ∞→0y , sino, la prueba debe ser 

finalizada.

Usando la ecuación (3.13), podemos escribir la segunda expresión en un camino 

diferente:

∫∫ =BECBEC

dyxFdR )(

Si  β>x  se tiene que  0)( >xF ; la integración corre de valores positivos de y a 

valores negativos, asi la integral es negativa.  La integral se aproxima a   ∞−   cuando 

55

1y−

1y

2y−

2y A

B

CD

Eα β

∞→0y , por el incremento sin acotación  de   la   longitud   de   la   curva   BEC. 

Concluimos que si  0y  es suficientemente grande:

0101 0),0(),0( yydRyRyRABECD

<→<=− ∫

El   teorema   de   Poincaré­Bendixon   garantiza   la   existencia   de   al   menos   una 

solución periódica.

El caso  β=α  (Figura 3.16):

Si   uno   elige   0y   suficientemente  pequeño,   la   orbita   se   comporta   como   1C . 

Estuvimos que  0)(111

11 >=− ∫DEA

AD dyxFRR  pues  0)( <xF  para  α<< x0 . Así ninguna 

orbita  periódica puede comenzar en  ( )0,0x  con  α<< 00 x . Ahora considere una curva 

2C  que intercepta el eje x en   2E , a la derecha  de  ( )0,α :

∫=−=222

22 )(DEA

AD dyxFRRI

Para  α≥x ,  )(xF  es monótonamente creciente de 0 a  ∞+ .

Sabemos que esta integral tiende a  ∞−  cuando  ∞→0y . Por la monotonía de 

F(x), la integral I tiende a cero, es decir, un  0y   tal que  22 DA RR =  y así una solución 

periódica.

El   teorema   3.6.1.   provee   una   demostración   de   la   existencia   de   una   única 

solución periódica de la ecuación de Van der Pool:

')1('' 2 xxxx −µ=+ ,      0>µ

En este caso  )1()( 2 −µ= xxf ,  

−µ= x

xxF

3)(

3

. Las condiciones a), b) y c) se 

cumplen con   3=β=α .

56

A 1

A 2C 2

E 2

C 1

D 1

D 2

E 1

)( xF

β=α

Fig (3.16)                       Fig(3.17)

3.7. Ejemplos de sistemas no lineales clásicos.

3.7.1. El  Atractor de Lorentz.

El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el atractor de Lorentz es:

( )

zxyz

yxxzy

xyx

28

'

28'10'

−=

−+−=−=

En su forma general, las ecuaciones del Atractor de Lorentz son:

( )

bzxyz

yrxxzy

xyx

−=−+−=

−σ=

'''

En Matlab se ha efectuado la programación numérica que calcula la trayectoria 

de las soluciones del Atractor de Lorentz. Este sistema es uno de los ejemplo 

clásicos para mostrar un ejemplo de   un sistema dinámico en el cual el caos 

aparece, pues no es posible indicar una curva hacia la cual converge las orbitas 

sino que, aparentemente “fluctúan” sin periodicidad en dos regiones del espacio.

Previamente se define en Matlab la función lorentz.m:

function a=lorentz(x,y,z)

x1=10*(y­x);

y1=­x.*z+28*x­y;

z1=x.*y­(8/3).*z;

a=[x1,y1,z1];

El código para el programa  glorentz.m es el siguiente:

57

% Autor: Lic. Juan Valentín Mendoza Mogollón.

% Departamento Académico de Matemática.

% Facultad de Ciencias.

% Universidad Nacional de Piura.

% figure(1);

hold on;

x0=0;

y0=1;

z0=0;

h=0.005;

for i=1:10000,

    k1=h*lorentz(x0,y0,z0);

    k2=h*lorentz(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);

    k3=h*lorentz(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);

    k4=h*lorentz(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));

    x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;

    y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;

    z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;

    plot3(x0,y0,z0);

 end

 x0=0;

 y0=1;

 z0=0;

 for i=1:1000,

    k1=h*lorentz(x0,y0,z0);

    k2=h*lorentz(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);

    k3=h*lorentz(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);

    k4=h*lorentz(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));

    x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;

    y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;

    z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;

    plot3(x0,y0,z0,'.r');

 end

view([1,1,1])

Para mostrar este sistema, es necesario digitar en Matlab el siguiente comando:

58

» glorentz

Si se quiere observar el atractor de Lorentz desde otra vista, basta digitar:

» view([1 1 0])

Las   dos   figuran     siguientes   muestran   dos   vistas   diferentes   del   atractor   de 

Lorentz  en las que se puede apreciar que las trayectorias el comportamiento caótico de 

las orbitas:

59

 

3.7.2. El atractor de Chua

Este   es   un   sistema   en   el   cual   el   caos  nuevamente   aparece.   Las   ecuaciones 

diferenciales que gobiernan este modelo matemático provienen de la aplicación 

de las matemáticas a los circuitos eléctricos. Estas ecuaciones son las siguientes

( )( )ycz

zyxcy

xgxycx

3

2

1

'

'

)('

−=+−=−−=

,   con   ( )112

)( 101 −−+

−+= xx

mmxmxg

De la  misma manera se define en Matlab la función chua.m:

function a=chua(x,y,z)

m1=­5/7;

m0=­8/7;

x1=15.6*(y­x­(m1*x+((m0­m1)/2)*(abs(x+1)­abs(x­1))));

y1=x­y+z;

z1=­33.8*y;

a=[x1,y1,z1];

El   código   que   dibuja   las   trayectorias   en   el   espacio   esta   almacenado   en   el 

programa gchua.m, este es el siguiente:

% Autor: Lic. Juan Valentín Mendoza Mogollón

% Departamento Académico de Matemáticas

% Facultad de Ciencias

% Universidad Nacional de Piura

hold on;

%x0=1;

60

%y0=0;

%z0=0;

x0=1;

y0=0.5;

z0=0.8;

h=0.005;

for i=1:20000,

    k1=h*chua(x0,y0,z0);

    k2=h*chua(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);

    k3=h*chua(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);

    k4=h*chua(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));

    x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;

    y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;

    z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;

    plot3(x0,y0,z0);

 end

Para compilar este programa se debe digitar en Matlab el comando:

» gchua

Otras vistas de este modelo son:

61

 

En las figuras se nota que este es un sistema dinámico no lineal y caótico.

3.7.3. El atractor de Rossler

Otro ejemplo de dinámica no lineal lo constituye el Atractor de Rossler. Las 

ecuaciones diferenciales en este caso son dadas por:

( ) zcxbz

ayxy

zyx

−+=+=

−−=

'''

Como   en   los   ejemplo   anteriores,   se   define   la   función  rossler.m  que 

almacena el valor del campo vectorial para este atractor:

function a=rossler(x,y,z)

x1=­y­z;

y1=x+0.1*y;

z1=0.1+(x­18).*z;

a=[x1,y1,z1];

Y para las órbitas se requiere crear el programa grossler.m: 

% Autor: Lic. Juan Valentín Mendoza Mogollón

% Departamento Académico de Matemáticas

% Facultad de Ciencias

% Universidad Nacional de Piura

hold on;

62

x0=15;

y0=15;

z0=0.2;

h=0.005;

for i=1:30000,

    k1=h*rossler(x0,y0,z0);

    k2=h*rossler(x0+k1(1)/2,y0+k1(2)/2,z0+k1(3)/2);

    k3=h*rossler(x0+k2(1)/2,y0+k2(2)/2,z0+k2(3)/2);

    k4=h*rossler(x0+k3(1),y0+k3(2),z0+k3(3));

    x0=x0+(k1(1)+2*k2(1)+2*k3(1)+k4(1))/6;

    y0=y0+(k1(2)+2*k2(2)+2*k3(2)+k4(2))/6;

    z0=z0+(k1(3)+2*k2(3)+2*k3(3)+k4(3))/6;

    plot3(x0,y0,z0);

 end

Para compilar este programa se debe digitar en Matlab el comando:

» grossler

Nuevamente mostramos vistas diferentes de este atractor:

63

 

64