J.R. Kaschny (2004) - itligado.files.wordpress.com · SUPERPOSIÇÃO A corrente em qualquer...
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ANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOSANALISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOSJ.R. J.R. KaschnyKaschny
(2004)(2004)
Lei dos NósLei dos Nós
O somatório de todas as correntes que entram e saem de um nó é nulo.Nó em um circuito elétrico é qualquer ponto/junção por onde flui uma corrente elétrica.
Esta lei expressa a continuidade do fluxo de cargas elétricas!
Lei das MalhasLei das Malhas
O somatório de todas as quedas ou elevações de tensões em uma malha é nulo.Malha ou laço em um circuito elétrico é qualquer caminho fechado por onde flui uma corrente.
Esta lei expressa a conservação de energia!
Leis de Leis de KirchhoffKirchhoff
V1 + V2 + V3 = 0
I1 − I2 + I3 = 0
N1: I1 + I2 − I3 = 0 ⇒ I3 = I1 + I2
M1: V1 − R1I1 − R3I3 = 0 M2: V2 − R2I2 − R3I3 = 0
com VRj = RjIj j∈{1,2,3}
(R1 + R2)I1 + R3I2 = V1
R3I1 + (R2 + R3)I2 = V2
EXEMPLOEXEMPLO::
323121323
331 RRRRRR)R(RR
R)R(R∆ ++=
++
=
32321322
311 RV)R(RV
)R(RVRV
∆ −+=+
=
3131223
1312 RV)R(RV
VRV)R(R
∆ −+=+
=
323121
3232111 RRRRRR
RV)R(RV∆∆I
++−+
==323121
3131222 RRRRRR
RV)R(RV∆∆I
++−+
==
1 2 2 13
1 2 1 3 2 3
V R V RIR R R R R R
+=
+ +
como:
portanto:
LINEARIDADELINEARIDADE
Um elemento linear é aquele elemento passivo que apresenta uma relação tensão-corrente linear.
Um circuito linear é aquele circuito composto inteiramente de fontes independentes, fontes dependentes lineares e elementos lineares.
Entendemos como fonte dependente linear toda a fonte dependente cuja magnitude seja uma função linear de alguma quantidade mensurável no circuito considerado. Se o parâmetro de controle for externo, esta fonte constituíra uma variável independente.
Exemplo: .... um resistor, onde V = R.I (Lei de Ohm)
SUPERPOSIÇÃOSUPERPOSIÇÃO
A corrente em qualquer elemento linear, ou a tensão através de qualquer elemento linear, de um circuito linear, é a soma das correntes ou tensões produzidas separadamente por cada fonte de energia (fonte de corrente ou tensão).
EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito anterior, vamos novamente determinar as correntes.
1o Passo: Substituindo V2 por um curto circuito!
( )321111 //RRRVI +=
32
3232 RR
RR//RR
+=
( )[ ] 1132312 IRRRI ⋅+=
( )[ ] 1132213 IRRRI ⋅+=
onde:
2o Passo: Substituindo V1 por um curto circuito!
( )312222 //RRRVI +=
31
3131 RR
RR//RR
+=
( )[ ] 2231321 IRRRI ⋅+=
( )[ ] 2231123 IRRRI ⋅+=
onde:
3o Passo: Aplicando a superposição!
I1 = I11 − I21 I2 = I22 − I12 I3 = I13 + I23
TEOREMA DE THEVENINTEOREMA DE THEVENINQualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuitoque pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalentecomposto por uma fonte de tensão, com tensão igual a do circuito em aberto, em serie com uma resistência de valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.
EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito original, vamos determinar a corrente I3.
via Thevenin
Rede de 2 terminais Circuito equivalente
1o Passo: Calculando VTh!
2o Passo: Calculando RTh!
21
2121Th RR
RR//RRR+
==
'R222Th IRVV +=
0VIRIRV 2'R22
'R111 =−−−
''R2
'R1 III ==
21
21'
RRVVI
+−
=( ) '2121 IRRVV ⋅+=−
21
2122Th RR
VVRVV+−
⋅+=21
2112Th RR
RVRVV++
=
com
⇒
⇒ ⇒
3o Passo: Calculando I3!
0IRIRV 333ThTh =−−
21
211233
21
21
RRRVRVIR
RRRR
++
=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
21
21123
21
323121
RRRVRVI
RRRRRRRR
++
=⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++
323121
21123 RRRRRR
RVRVI++
+=⇒
Que constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
TEOREMA DE NORTONTEOREMA DE NORTONQualquer circuito linear de dois terminais, ou seja, um circuitoque pode ser reduzido a um dipolo, contendo fontes de tensão e/ou corrente, pode ser representado por um circuito equivalentecomposto por uma fonte de corrente, com corrente igual a corrente de curto circuito, em paralelo com uma resistência de valor igual a resistência equivalente medida no circuito original.
EXEMPLOEXEMPLO: : Considerando o circuito original, vamos novamente determinar a corrente I3.
via Norton
Rede de 2 terminais Circuito equivalente
1o Passo: Calculando VN!
2o Passo: Calculando RN!
21
2121N RR
RR//RRR+
==
' ' 1 2N R1 R2
1 2
V VI I IR R
= + = +
1 2 2 1N
1 2
V R V RIR R+
=⇒
3o Passo: Calculando I3!
N3N
N3 I
RRR
I+
=
1 2
1 2 1 2 2 13
1 21 23
1 2
R RR R V R V RI
R RR R RR R
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎛ ⎞+⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎢ ⎥⎜ ⎟+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
323121
21123 RRRRRR
RVRVI++
+=⇒
Que também constitui o mesmo resultado obtido inicialmente!
EQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTONEQUIVALÊNCIA ENTRE THEVENIN E NORTONVia as definições de VTh, RTh, IN e RN, é possível constatar facilmente a intima relação entre ambos os teoremas, onde:
RVIRRR Th
NNTh === e
TEOREMA DE MILLMANTEOREMA DE MILLMANUm conjunto de N fontes de tensão, Vn (n=1,2,3, ...., N), associadas em paralelo, cada qual com uma resistência interna Rn, pode ser representado por uma única fonte de tensão V em serie com um resistor R, tal que:
∑∑
=
= ==N
1n n
N
1nnn
R1
R1
R1
RVV
→
Demonstrando este teorema via indução, temos:
(i) Já que N = 1 é obviamente valido, vamos demonstrar o caso N = 2!
Determinando o circuito equivalente Thevenin, temos:
VRR
RVRVVRRR
RRR21
1221Th
21
21Th =
++
==+
= e
R1RVRV
RR1RR1
RRRVRVV 2211
21
21
21
1221 +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=⇒ √
(ii) Supondo que para N = M o teorema é valido .....
⇒ ∑∑
=
= ==M
1n n
M
1nnn
R1
R1
R1
RVV
OK!
(iii) Vamos mostrar que para N = M+1 o teorema também é valido .....
⇒ ⇒
Aplicando novamente o teorema de Thevenin, temos:
V'RR
RVVRVR'R1
RRRRR
1M
1M1MTh
1M
1n n1M
1MTh =
++
==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+=
+
++
−+
=+
+ ∑ e
1
R'1RVRV
RR1RR1
RRRVVRV' 1M1M
1M
1M
1M
1M1M ++
+
+
+
++ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=⇒
R'1
RVV'
1M
1nnn∑
+
==⇒ √ OK!
DUAL DO TEOREMA DE MILLMANDUAL DO TEOREMA DE MILLMANUm conjunto de N fontes de tensão, In (n=1,2,3, ...., N), associadas em serie, cada qual com uma resistência interna Rn, pode ser representado por uma única fonte de corrente I em paralelo com um resistor R, tal que:
∑∑
=
= ==N
1nn
N
1nnn
RRR
RII
....
.... +++
via o teorema de Thevenin ....
Vn = In.Rn n∈{1, 2, .... N}
⇒
e via o teorema de Norton obtemos oresultado final, tal como anunciado.
∑∑==
=⋅=N
1nnn
N
1nn RRRIV
TEOREMA DE MILLERTEOREMA DE MILLERO teorema de Miller estabelece que, analisando o circuito abaixo (esq.), obteremos:
Analisando o circuito original, temos:
V = R.I - Vy = R.I − a.V ⇒ V.(1 + a) = R.I
⇒ V/I = RM com RM = R/(1 + a)
ou seja:
“A resistência aparente de circuito, olhado sob o ponto de vista da fonte V, é (1 + a) vezes menor que o valor do elemento resistivo realmente presente.”
- Este é o chamado Efeito Miller -
MÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIAMÁXIMA TRANFERENCIA DE POTÊNCIAA máxima potência é transferida de uma fonte quando a resistência de carga, RL, é igual a resistência interna, Ri, da fonte.
LRL 2
i L i L
2 LRL RL
i L
V.RVI VR R (R R )
RP I.V V .R R
= =+ +
⇒ = =+
( )
2RL L
L i2L i Li L
quandodP 2RV 1 0 R RdR R RR R
⎡ ⎤= ⋅ − = =⎢ ⎥++ ⎣ ⎦
084
166
RV
dRPd
3i
2
RR2
L
RL2
iL
<⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅=
=
⇒ RL = Ri é de fato um máximo!
No presente caso, teremos ainda: PRL = V2/4.Ri e Pfonte = V2/2.RiPortanto o rendimento será η = PRL/Pfonte = 50%
Transformação Y Transformação Y ↔↔ ∆∆
( )CBA
CBA3112 RRR
RRRRRR
+++
=+=
( )CBA
BAC2113 RRR
RRRRRR
+++
=+=
( )CBA
CAB3223 RRR
RRRRRR
+++
=+=
CBA
BA3
CBA
CB2
CBA
CA1
RRRRRR
RRRRR
R
RRRRR
R
++=
++=
++=
3
133221C
1
133221B
2
133221A
RRRRRRR
R
RRRRRRR
R
RRRRRRR
R
++=
++=
++=
Y → ∆∆→ Y
Referencias bibliográficasReferencias bibliográficas• Analise de Circuitos em Engenharia, William H. Hayt e Jack E. Kemmerly, editora McGraw-Hill do Brasil (1973).
• Circuitos Elétricos, Robert A. Bartkowiak, Makron Books do Brasil, Brasil (1999).
• Analise de Circuitos Elétricos, Victor da Fonte Dias, Instituto Superior Técnico - IFR, disponível em http://www.estg.ipleiria.pt/~lneves/ce_eic/capa.htm, Portugal (1996/97).