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José Agüera Soriano 2011 1
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS
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José Agüera Soriano 2011 2
• EQUILIBRIO DE UN LÍQUIDO• LÍQUIDO EN REPOSO• LÍQUIDO GIRANDO ALREDEDOR DE EJE VERTICAL• LÍQUIDDO UNIFORMEMENTE ACELERADO • MANÓMETROS • FUERZA SOBRE UNA PARED• PRESAS
ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS
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José Agüera Soriano 2011 3
Concepto de equilibrio Cuando no existe movimiento relativo de unas partículasrespecto a otras. No hay pues gradiente de velocidadentre capas: el fluido se comporta como no-viscoso y se mueve como si fuera un sólido.
G
cF
R
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José Agüera Soriano 2011 4
Ecuación de equilibrio
F
z
x
y
A d y Ed x
HDd z
B
C G
p M x , y , z( ) p d p+N
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅=⋅dzdydxZdzdydxYdzdydxX
dzdydxRdmRρρρ
ρ
),,( zyxXX =
),,( zyxYY =
),,( zyxZZ =
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José Agüera Soriano 2011 5
F
z
x
y
A dy Edx
HDdz
B
C G
p M x, y, z( ) p dp+N
),,( zyxpp =
dzzpdy
ypdx
xpdp ⋅
∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂
=
dyypdp ⋅
∂∂
=
;
Yyp
dzdydxYdzdxdyyp
⋅=∂∂
⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂
ρ
ρ
Entre M y N,
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José Agüera Soriano 2011 6
ZzpY
ypX
xp
⋅=∂∂
⋅=∂∂
⋅=∂∂ ρρρ ; ;
)( dzZdyYdxXdzzpdy
ypdx
xp
⋅+⋅+⋅⋅=⋅∂∂
+⋅∂∂
+⋅∂∂ ρ
)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ
0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX
Condiciones de equilibrio
Ecuación de equilibrio
Ecuación de las isobaras
F
z
x
y
A dy Edx
HDdz
B
C G
p M x, y, z( ) p dp+N
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José Agüera Soriano 2011 7
ap
x
z
y
M
g
SLLLíquido en reposo
X = 0Y = 0Z = − g
0 ;0 ==⋅− dzdzg
Kz =
Ecuación de las isobaras
∫ ⋅−⋅=− 2 112 dzgpp ρ )( 2112 zzpp −⋅=− γ
Diferencia de presión entre dos puntos
0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX
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José Agüera Soriano 2011 8
)( 2112 zzpp −⋅=− γ
Presión en un punto
: :
⋅=⋅+=
⋅=−hprelativapresión
hppabsolutapresiónhpp a
a γγ
γ
Hzpzp=+=+ 2
21
1
γγ)( 2112 zzpp −⋅=− γ
plano de referencia
z1
h
H
1
SLL
/p γ=1 1
M
2z
2z
2ph =2 γ/
ap
/=h p γ
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José Agüera Soriano 2011 9
zgm ⋅⋅
J/kg zg ⋅
EHgzgpzgp=⋅=⋅+=⋅+ 2
21
1
ρρ
Multiplicando por g, los términos resultantes representanenergía por unidad de masa. En el S.I. de Unidades, (N m, ó J); y por kilogramo:
la energía total, suma de la energía de presión y de la de posición, es la misma en todos los puntos de un líquido en reposo.
Hzpzp=+=+ 2
21
1
γγ
zgm ⋅⋅
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José Agüera Soriano 2011 10
gZyYxX
2
2
−=⋅=
⋅=
ω
ω
0=⋅+⋅+⋅ dzzdyYdxX
0 22 =⋅−⋅⋅+⋅⋅ dzgdyydxx ωω
KzgrKzgyx =⋅⋅
−=⋅⋅
−+ 22
222 2 y/o 2
ωω
Líquido girando alrededor de un eje vertical
Familia de isobaras: paraboloides de revolución.
x
z
( )
·2 x
gg
r M
2·yy
·2=Fc
x, y, zr
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José Agüera Soriano 2011 11
)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ
)( 22 dzgdyydxxdp ⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅= ωωρ
( ) ( )21
21
222
12 2zgyxpp ⋅⋅−+⋅⋅=− ρωρ
)()(2 12
21
22
2
12 zzrrpp −⋅−−⋅⋅=− γωρ
Diferencia de presión entre dos puntos
máxpp=preferencia
plano de
máx
H
rR
z1
2z2
γ/p1
=p ppa
/12p γ
H
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José Agüera Soriano 2011 12
z
y
x
γp/
H zg
-aa
M
gZaY
X
−=−=
=
0
0=⋅+⋅+⋅ dzZdyYdxX
Kygaz +⋅−=
gatg −=α
Líquido uniformemente acelerado Aceleración horizontal
dygadz
dzgdya
⋅−=
=⋅−⋅−
;0
Familia de isobaras: planos inclinados paralelos al eje x.
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José Agüera Soriano 2011 13
)( dzZdyYdxXdp ⋅+⋅+⋅⋅= ρ)( dzgdyadp ⋅−⋅−⋅= ρ
)()( 212112 zzyyapp −⋅+−⋅⋅=− γρ
Hzpzp=+=+ 2
21
1
γγ
Diferencia de presión entre dos puntos
Si los puntos 1 y 2 están en un mismo plano paralelo al x-z (y1 = y2):
en general, la diferencia de presión entre dos puntos de una masa líquida en equilibrio que estén en la misma vertical, viene dada por el producto g · ∆z en todos aquelloscasos en los que, Z = − g.
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José Agüera Soriano 2011 14
h
M
MANÓMETROS
Tubos piezométricosPresión positiva
hp ⋅= γM
Presión negativa
⋅+===
=hpp
pppp a
γM2
121
(relativo) 0
hp ⋅−= γM
h
M
1 2
h
M
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José Agüera Soriano 2011 15
Manómetros de aire libre
p2 = p3 p3 = p4
hphpp ′⋅+=′⋅+= γγ 24M
hhp m ′⋅+⋅= γγM
que además se deduce directamente.
γ mMγ
h
3
'h
4 2
1
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José Agüera Soriano 2011 16
Manómetros diferenciales
hpphpppp
pppmm ⋅+=⋅+=
===
γγ 514354
321 ;
221151NM225N
111M )( hhpppphpphpp
⋅−⋅+−=−
⋅+=⋅+=
γγγγ
2211NM hhhpp m ⋅−⋅+⋅=− γγγ
h
54
γ
1γmγ
N
1 M
1 2 3
2
2h
h
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Manómetros metálicos
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José Agüera Soriano 2011 18
extensímetro
Manómetros eléctricos
bobinasecundaria nº2
bobinasecundaria nº1
bobina primaria
tubo bourdon
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José Agüera Soriano 2011 19
+ s _
altapresión
presiónbaja
potenciómetro
carcasacápsula diafragma
placa basecristal decuarzosoldado
al arco
casquilloal puntosoldado
eléctricoconductor
carcasaconector
Manómetros eléctricos
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José Agüera Soriano 2011 20
FUERZA DE UN LÍQUIDO SOBRE UNA PARED
Pared horizontal
pa
h Fap
AhApF ⋅⋅=⋅= γ pa
Para efectos de fuerzas sobreparedes, las presiones que intervienen son lógicamente las relativas, ya que la presión del entorno queda compensadaal actuar por dentro y por fuera.
siendo A el área de la pared.
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José Agüera Soriano 2011 21
dAxdAhdApdF ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= αγγ sen
AhApF ⋅⋅=⋅= GG γ
Pared plana inclinada
x
CxG
α
x
CM( )x, y
A
x
αα
G
h hG
hgC
F·sen=h x
xCG
h = ·C senG
·=h x senα
SLLEl plano y-x es el quecontiene a la superficieA (área A), formandoun ángulo α conla SLL.
y
x
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José Agüera Soriano 2011 22
Centro de presiones C
x
CxG
α
x
CM( )x, y
A
x
αα
G
h hG
hgC
F·sen=h x
xCG
h = ·C senG
·=h x senα
SLL
y
x
dFxFxA∫ ⋅=⋅C
yAIdAxAxx =⋅=⋅⋅ ∫ 2
GC
AxI
x y
⋅=
GC
)sen( )sen( GC
dAxxAxx
A ⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅
∫ αγαγ
siendo Iy el momento de inercia de la superficie A, respecto al eje y.
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José Agüera Soriano 2011 23
Es mejor expresarlo respecto del eje g, paralelo al eje y, y que pasepor el centro de gravedad G de la superficie A (Ig):
AxII gy ⋅+= 2G
AxI
xx g
⋅+=
GGC
)( G AxI g ⋅ GC
0GC =
GC
teorema de Steiner
El término
Si giramos la superficie A alrededor del eje g, la línea de intersección(eje y) con la SLL se aleja a medida que el ángulo α disminuye; es decir, la abscisa xG aumenta y el punto C se iría aproximando a G:
cuando α = 0, y es infinito cuando α = 90º.
xG
y
AG
g
xes igual a
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José Agüera Soriano 2011 24
x
xGhG=
Ch =xC
SLL
α
FC
GA
y
x
Pared vertical
AhI
hh g
⋅+=
GGC
Cuanto más sumergida esté la superficie A, mayor será la altura hG y en consecuencia menor la distancia entre G y C.
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José Agüera Soriano 2011 25
b
SLL
A
G
C
GhCh
b
h
dz
z
dzbzdApdF
⋅⋅⋅==⋅=
γ
∫ ⋅⋅⋅=h dzzbF
0γ
2
2hbF ⋅⋅= γ
EJERCICIO Calcúlese la fuerza y el centro de presiones sobre un rectángulovertical, cuando el lado superior emerge o coincide con la superficie libre del líquido. Resuélvase: a) sin aplicar las fórmulas (a modo de ejercicio teórico); b) aplicando las fórmulas.
Solución Sin aplicar las fórmulas
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José Agüera Soriano 2011 26
b
S L L
A
G
C
GhCh
b
h
d z
z
b
SLL
A
G
C
GhCh
b
h
dz
z
∫ ⋅=⋅h dFzFh
0C
3
2
3
0 2
C
2 hbdzzbhhb h⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ∫ γγγ
hh ⋅=32
C
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José Agüera Soriano 2011 27
22
2
GhbhbhAhF ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= γγγ
622/12/
2
3
GGC
hhhhb
hbhhA
Ihh g +=
⋅⋅⋅
+=⋅
+=
hh ⋅=32
C
Aplicando las fórmulas
b
SLL
A
G
C
GhCh
b
h
dz
z
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José Agüera Soriano 2011 28
hF
hC
h
SLL
F
dx
Mh
A''
C
A
Fd h
G
2h
B''G
1h
d
Fv
dzN
Bv
z
A M'
b
B'N' '
dxbzdApdFv ⋅⋅⋅=⋅= γ
∫∫ ⋅⋅=⋅⋅⋅=B
A
B
ANN'MM' área bdxzbFv γγ
BB'AA'áreabFv ⋅⋅= γ
Pared curva Componente vertical
fuerza de gravedad de lamasa de líquido que quedasobre la superficie.
A veces es más sencillo utilizar esta característica en superficiesplanas inclinadas.
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José Agüera Soriano 2011 29
hF
hC
h
SLL
F
dx
Mh
A''
C
A
Fd h
G
2h
B''G
1h
d
Fv
dzN
Bv
z
A M'
b
B'N' '
Componente horizontal La componente horizontal será la fuerza sobre el rectánguloA”B”, proyección de la pared AB sobre un plano vertical.
Punto de aplicación
G
2
GG
3
GG
GC 1212/
hhh
hbhhbh
AhI
hh g
⋅+=
⋅⋅⋅
+=⋅
+=
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José Agüera Soriano 2011 30
21 vvv FFF −=
( )MAA'M'áreaMBB'M'área −⋅⋅= bFv γ
Si la pared curva fuese como la AMB:
GMhF C
A
2Fv
F 1v
B
MSLL ' 'A B'
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José Agüera Soriano 2011 31
' SLLBA'
hF BCAF
N
v
F
Fv
v
C
1
M
C
2
2
1
hF
EJERCICIO
Εl principio de Arquímedes dice que todo cuerpo sumergido enun líquido sufre un empuje hacia arriba igual al peso del líquidoque desplaza. Comprobarlo basándose en el epígrafe anterior, y analizar la causa que origina dicho empuje. Solución
plazadoíquido despeso del lerpovolumen cuáreab
áreab-áreabFv
==⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=
AMBNA
AMBB'A'ANBB'A' γγγγ
SLL
vF
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José Agüera Soriano 2011 32
221
mhhahapaE m
+⋅⋅=⋅⋅=⋅= γγ
221
221hhahaEEE −
⋅⋅+⋅⋅=+= γγ
221
2hhakhaE −
⋅⋅⋅+⋅⋅= γγ
Presa de gravedad Fuerzas del agua sobre la presa
SLL
A
h1
γ h1··h2γ
Fh1
e inspección
EE
2
aa mp·=
1E
FrG
BvF 2 2h
2hF
SLL
1vF
galería de drenaje
Fh1, Fh2, Fv1, Fv2, y ademásel empuje E:
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José Agüera Soriano 2011 33
SLL
A
h1
γ h1··h2γ
Fh1
e inspección
EE
2
aa mp·=
1E
FrG
BvF 2 2h
2hF
SLL
1vF
galería de drenaje
Fuerza que contrarresta la acción del agua
)( 21 EFFGF vvr −++⋅= µ
El rozamiento de la presa sobre la base: fuerzas verticales multiplicadas por un coeficiente de fricción, µ
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José Agüera Soriano 2011 34
A BC A B A AB C BC C
(b)(a) (c) (d)
vR Rv vR
D
Rv
Posibilidad de vuelco
GEFFFFR vvhh +++++= 2121
ha de cortar a la base entre A y B, más aún, en el tercio central de la misma y cuanto más centrado mejor. En efecto:
R R RR
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José Agüera Soriano 2011 35
EJERCICIOEstúdiese el deslizamiento y el vuelco de la presa de la figura.Densidad del material: ρm = 2400 kg/m3.Coeficiente de rozamiento: µ = 0,4.Coeficiente: k = 0,5.Solución
G3
SLL
30 m
vF
2GG1
E
A B
21 m5 m
hF
3 m29 m
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José Agüera Soriano 2011 36
kN/m 1059,5 N/m 105,1059 2/330240081,9 1
31m1
=⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ
kN/m 6,5313 N/m 106,3531 530240081,91
32m2
=⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ
kN/m 4,4167N/m 104,7416
2/2130240081,913
3m3
=⋅=
=⋅⋅⋅=⋅⋅= AG γ
Fuerza de gravedad de la presa
G3
SLL
30 m
vF
2GG1
E
A B
21 m5 m
hF
3 m29 m
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José Agüera Soriano 2011 37
Empuje sobre la base
kN/m 7,21332
30100081,9295,0
221
2
=⋅⋅⋅⋅=
=−
⋅⋅⋅+⋅⋅=hhakhaE γγ
G3
SLL
30 m
vF
2GG1
E
A B
21 m5 m
hF
3 m29 m
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José Agüera Soriano 2011 38
kN/m 4414,5 N/m 105,4414
13015100081,93
G
=⋅=
=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= AhFh γ
kN/m 441,5N/m 105,441
2/3031100081,93 =⋅=
=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= áreabFv γ
Fuerza del agua sobre la presa
G3
SLL
30 m
vF
2GG1
E
A B
21 m5 m
hF
3 m29 m
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José Agüera Soriano 2011 39
Fuerza de rozamiento de la presa
kN/m 1,4126)7,21335,4415,12007(4,0)(
=−+⋅==−+⋅= EFGF vr µ
Al ser Fr < Fh, la presa deslizaría;habría que poner una cimentaciónadecuada para que esto no ocurra, o bien aumentar las dimensionesde la presa.
G3
SLL
30 m
vF
2GG1
E
A B
21 m5 m
hF
3 m29 m
Fr
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José Agüera Soriano 2011 40
G3
SLL
30 m
vF
2GG1
E
A B
21 m5 m
hF
3 m
h
E
A
1GhF
3G
G2
Fv
SLL
BD H C
R
29 m
Estudio del vuelcoLa suma de momentos respecto del punto C, por donde pasa la resultante R, ha de ser nula:
0HB31AHAC
DH21ADAC AD
32AC
AD31ACAB
31AC
3
3
21
=
−−⋅−
−
−−⋅−
−⋅−
−
−⋅−
−⋅+⋅
G
GG
FEhF vh
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José Agüera Soriano 2011 41
03218AC4,7416
253AC6,3531
332AC5,1059
33AC5,441
329AC7,2133
3305,4414
=
−−⋅−
−
−−⋅−
−
⋅−⋅−
−⋅−
−
−⋅+⋅
156742AC3,10315 =⋅
m 20,15AC =
m, 29AB =Como el punto C ha quedado casi en el centro, por lo que el reparto de esfuerzos sobre la base es bastante uniforme.
h
E
A
1GhF
3G
G2
Fv
SLL
BD H C
R
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José Agüera Soriano 2011 42
F
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José Agüera Soriano 2011 43
F
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José Agüera Soriano 2011 44
compuerta
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José Agüera Soriano 2011 45