15) a(n) adalah banyaknya pembagian n menjadi bilangan-bilangan yang nilainya 1 atau 2, b(n) adalah banyaknya pembagian n menjadi bilangan-bilangan yang nilainya minimal 2, dan F(n) adalah bilangan Fibonacci ke-n. Buktikan bahwa a(n-1) = F(n) = b(n+1) untuk n bilangan bulat yang lebih besar dari 1!

SOLUSI

Banyaknya pembagian n menjadi bilangan-bilangan yang nilainya 1 atau 2 dan akhirannya 1 sama dengan a(n-1) karena hanya ditambah 1 di akhirannya. Banyaknya pembagian n menjadi bilangan-bilangan yang nilainya 1 atau 2 dan akhirannya 2 sama dengan a(n-2) karena hanya ditambah 2 di akhirannya. Contohnya,

4 = 1 + 1 + 1 + 1 4 = 2 + 2

= 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2

= 1 + 2 + 1

a(3) = 3 a(2) = 2

Oleh karena itu, a(n) = a(n-1) + a(n-2).

Banyaknya pembagian n menjadi bilangan-bilangan yang nilainya minimal 2 dan akhirannya 2 sama dengan b(n-2) karena hanya ditambah 2 di akhirannya. Banyaknya pembagian n menjadi bilangan-bilangan yang nilainya minimal 2 dan akhirannya bukan 2 sama dengan b(n-1) karena cukup dengan menambahkan 1 di digit terakhirannya. Contohnya,

6 = 3 + 3 <=> 5 = 3 + 2 6 = 4 + 2

= 2 + 4 <=> 5 = 2 + 3 = 2 + 2 + 2

= 6 <=> 5 = 5

b(5) = 3 b(4) = 2

Oleh karena itu, b(n) = b(n-1) + b(n-2).

Perhatikan bahwa a(1) = F(2) = b(3) = 1 dan a(2) = F(3) = b(4) = 2. Karena a(n), F(n), dan b(n) mempunyai peraturan rekursi yang sama, pastilah a(n-1) = F(n) = b(n+1) untuk n bilangan bulat lebih besar dari 1.

Terbukti

19) S adalah himpunan yang berisi semua bilangan bulat dari 1 sampai 20. Buktikan bahwa banyaknya himpunan bagian S dengan banyaknya elemen adalah ganjil sama dengan banyaknya himpunan bagian S dengan banyaknya elemen adalah genap!

SOLUSI

Himpunan bagian S yang jumlah elemennya ganjil dapat dibuat korespondensi 1-1 dengan himpunan bagian S yang jumlah elemennya genap dengan cara menambahkan atau mengurangi angka 1 dari himpunan bagian S yang jumlah elemennya ganjil.

Sebagai contoh: {1, 2, 3} dihubungkan dengan {2, 3}, {1, 4, 7, 8, 15} dihubungkan dengan {4, 7, 8, 15}, dan {5, 19, 20} dihubungkan dengan {1, 5, 19, 20}.

Sebaliknya, himpunan bagian S yang jumlah elemennya genap bisa ditambahkan atau dikurangkan angka 1 untuk mendapatkan korespondensinya yang jumlah elemennya ganjil.

Maka, banyaknya himpunan bagian S yang jumlah elemennya ganjil sama dengan banyaknya himpunan bagian S yang jumlah elemennya genap.

Terbukti

21) Definisikan jumkar (jumlah bertukaran) dari sebuah himpunan sebagai bilangan terbesar dikurangi bilangan kedua terbesar ditambah bilangan ketiga terbesar dikurangi bilangan keempat terbesar dan seterusnya. Contohnya, jumkar dari {3, 5, 11, 7} adalah 11 – 7 + 5 – 3 = 6. Carilah jumlah dari jumkar semua himpunan bagian dari N, dengan N himpunan yang berisi semua bilangan bulat dari 1 sampai 10.

SOLUSI

Misalkan A adalah kelompok himpunan bagian N yang mengandung 10, contohnya {2, 4, 8, 10}. Misalkan juga B adalah kelompok himpunan bagian N yang tidak mengandung 10.

Jelas bahwa A bisa ditarik korespondensi 1-1 dengan B dengan cara menghilangkan atau menambahkan 10 dari A ataupun B. Jelas juga bahwa himpunan bagian N masuk di A ataupun B.

Misalkan X adalah himpunan bagian N yang masuk ke B dengan X = {a1, a2, ..., an}, a1 < a2 < a3 < ... < an < 10. Maka jumkar X ini adalah an – an-1 + an-2 - .... Misalkan Y adalah korespondensi himpunan bagian X dari A. Maka jumkar Y ini adalah 10 – an + an-1 – an-2 + ....

Perhatikan bahwa jumlah dari jumkar dari X dan Y sama dengan 10.

Karena ada 1024 himpunan bagian dan kelompok A dan B sama besar dan mencakup seluruh 1024 himpunan bagian, A dan B masing-masing mengandung 512 himpunan bagian.

Maka, jumlah total dari seluruh jumkar himpunan bagian N adalah 512 x 10 = 5120.