Játsszunk káoszt!

Gáspár VilmosDebreceni Egyetem

Fizikai Kémiai Tanszék

„Akár egy halom hasított fa,hever egymáson a világ,szorítja, nyomja összefogjaegyik dolog a másikáts így mindenik determinált.”

József Attila: Eszmélet (1934)

Henri Poincaré (1854-1912)

„Én fölnéztem az est alólaz egek fogaskerekére -csilló véletlen szálaibóltörvényt szőtt a mult szövőszékeés megint fölnéztem az égreálmaim gőzei alóls láttam, a törvény szövedékemindíg fölfeslik valahol.”

József Attila: Eszmélet (1934)

December 18, 2000.

Magyar Értelmező Kéziszótár (1972), 644. oldal

káosz fn. 1. Zűrzavar. 2. Mit Hitregékben: a világ keletkezésétmegelőző rendezetlen ősállapot. [nk:lat<gör]kaotikus mn vál Zűrzavaros

Royal Society (1986, London)chaos Math Stochastic behaviour occcuring in a deterministic systemkáosz Math A determinisztikus rendszerek sztochasztikus (véletlenszerű) viselkedése.

• A káosz olyan szabálytalan viselkedés, amelyet teljes egészében szabályok, determinisztikus törvények irányítanak.

• A véletlenszerűség abban nyilvánul meg, hogy az ismert (egyszerű) törvények ellenére sem tudjuk egy kaotikus rendszer viselkedését hosszú távon előrejelezni,

• Az előrejelzés pontatlansága abból származik, hogy a kezdeti állapot leírására használt adatokat mindig csak véges pontossággal ismerjük.

• A káosz az állandósult instabilitás, amelyhez a változók fázisterében egy végtelen periódusidejű határciklus (kaotikus attraktor) rendelhető.

• A kaotikus mozgás önmagát sohasem ismétlő, aperiodikus mozgás. Ez különbözteti meg a káoszt a véletlenszerű zajtól.

Játsszunk káoszt!

Játsszunk káoszt!

Iterációs (ciklikus) eljárás:

1) kezdőértékek megadása

2) behelyettesítés a közelítő formulákba

3) megoldás egy kis t időpontra

2) 3) 2) 3) ...

Mozgásegyenletek közelítő megoldása

Instabilis steady state, nyeregpont

1E-200

1E-150

1E-100

1E-50

1

1E+50

1E+100

1E+150

1E+200

0 5 10 15 20 25 30

n

xn

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.00001

2

10

0.99999

x2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

x2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

x2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

x1/2

x1/2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

x1/2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

x1/2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

Stabilis steady state, csomó

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

n

xn

1/2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

10

cos x

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

xn

xn

+1

cos x

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

xn

xn

+1

Stabilis steady state, fókusz

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 5 10 15 20 25 30

n

cos

x n

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

10

1/x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

1/x

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

xn

xn

+1

Oszcilláció, konzervatív

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25 30

n

1/x

n

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2

10

x2 - 1

x2 -1

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3

xn

x n+

1

x2 -1

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3

xn

x n+

1

x2 -1

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3

xn

x n+

1

Oszcilláció, határciklus, disszipatív

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30

n

xn

2 - 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

2x2 -1

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3

xn

x n+

1

2x2 -1

-2

-1

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3

xn

x n+

1

Káosz

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

n

2 x

n2 -

1 0.2

0.4

0.6

0.8

Káosz, érzékenység

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

n

2 x

n2 -

1

0.54321

0.54322

kx2 -1

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

xn

xn

+1

x(n+1)=x(n)

1

1.2

1.3

1.74

1.76

2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

n

k x

n2 -

1

1.2

1.3

Rendből Káosz

Káoszból Rend

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

n

k x

n2 -

1

1.74

1.76

k*X2 - 1

k Xn Xn+1

2.0000 0.5 -0.5 -1 -1 1-0.5 -0.5 -0.9 -0.9 0.62-0.5 -0.5 -0.8 -0.8 0.28-0.5 -0.5 -0.7 -0.7 -0.02-0.5 -0.5 -0.6 -0.6 -0.28-0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5-0.5 -0.5 -0.4 -0.4 -0.68-0.5 -0.5 -0.3 -0.3 -0.82-0.5 -0.5 -0.2 -0.2 -0.92-0.5 -0.5 -0.1 -0.1 -0.98-0.5 -0.5 0 0 -1-0.5 -0.5 0.1 0.1 -0.98-0.5 -0.5 0.2 0.2 -0.92-0.5 -0.5 0.3 0.3 -0.82-0.5 -0.5 0.4 0.4 -0.68-0.5 -0.5 0.5 0.5 -0.5-0.5 -0.5 0.6 0.6 -0.28-0.5 -0.5 0.7 0.7 -0.02-0.5 -0.5 0.8 0.8 0.28-0.5 -0.5 0.9 0.9 0.62-0.5 -0.5 1 1 1-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.5-0.5 -0.50001

-0.50001 -0.49999-0.49999 -0.50002-0.50002 -0.49996-0.49996 -0.50009-0.50009 -0.49983-0.49983 -0.50034-0.50034 -0.49932-0.49932 -0.50136-0.50136 -0.49727-0.49727 -0.50544-0.50544 -0.48906-0.48906 -0.52165-0.52165 -0.45576-0.45576 -0.58456-0.58456 -0.31659-0.31659 -0.79955-0.79955 0.2785520.278552 -0.84482-0.84482 0.4274340.427434 -0.6346

-0.6346 -0.19456-0.19456 -0.92429-0.92429 0.7086220.708622 0.0042890.004289 -0.99996-0.99996 0.9998530.999853 0.9994110.999411 0.997646

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80 100

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

k*X*(1-X)

k Xn Xn+1

0.8425 0.5 0.210625 0 0 01.1000 0.210625 0.140076 0.05 0.05 0.040019

0.140076 0.101483 0.1 0.1 0.0758250.101483 0.076823 0.15 0.15 0.1074190.076823 0.059751 0.2 0.2 0.13480.059751 0.047332 0.25 0.25 0.1579690.047332 0.03799 0.3 0.3 0.1769250.03799 0.030791 0.35 0.35 0.191669

0.030791 0.025142 0.4 0.4 0.20220.025142 0.02065 0.45 0.45 0.2085190.02065 0.017038 0.5 0.5 0.210625

0.017038 0.01411 0.55 0.55 0.2085190.01411 0.01172 0.6 0.6 0.20220.01172 0.009758 0.65 0.65 0.191669

0.009758 0.008141 0.7 0.7 0.1769250.008141 0.006803 0.75 0.75 0.1579690.006803 0.005693 0.8 0.8 0.13480.005693 0.004769 0.85 0.85 0.1074190.004769 0.003999 0.9 0.9 0.0758250.003999 0.003355 0.95 0.95 0.0400190.003355 0.002817 1 1 00.002817 0.0023670.002367 0.0019890.001989 0.0016730.001673 0.0014070.001407 0.0011840.001184 0.0009960.000996 0.0008380.000838 0.0007060.000706 0.0005940.000594 0.0005

0.0005 0.0004210.000421 0.0003550.000355 0.0002990.000299 0.0002520.000252 0.0002120.000212 0.0001790.000179 0.000150.00015 0.000127

0.000127 0.0001070.000107 8.99E-058.99E-05 7.57E-057.57E-05 6.38E-056.38E-05 5.38E-055.38E-05 4.53E-054.53E-05 3.81E-053.81E-05 3.21E-053.21E-05 2.71E-052.71E-05 2.28E-052.28E-05 1.92E-051.92E-05 1.62E-051.62E-05 1.36E-051.36E-05 1.15E-051.15E-05 9.68E-069.68E-06 8.16E-068.16E-06 6.87E-066.87E-06 5.79E-065.79E-06 4.88E-064.88E-06 4.11E-06

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

?!

Bevezetés2 H2 + O2 2 H2O

2 CO + O2 2 CO2

- exoterm folyamat

- elágazó láncreakció versengése a gyökrekombinációval

- a szénhidrogének égetésének utolsó reakciólépése

- a folyamat szerepe az üvegházhatás kialakulásában

- bizonyos nyomás- és hőmérséklettartományban oszcillációs illetve kaotikus viselkedés

Kísérleti körülmények

- gömb alakú reakcióedény (jet-stirring), 0,57 dm3

- számítógépvezérelt szelepek a gázok adagolására

- levegőcirkulációs kályha

- hőmérsékletszabályozás lokális fűtőelemekkel (± 0,5 K) (Pt-ellenállás hőmérő)

- a gerjesztett CO2 kemilumineszcenciás felvillanásainak detektálása fotoelektronsokszorozó segítségével

(CO + 1 % H2) : O2 = 7,2 : 5,6

“The scientist does not study nature because it is useful; he studies it because he delights in it, and he delights in it because it is beautiful. If nature were not beautiful, it would not be worth knowing, and if nature were not worth knowing, life would not be worth living.”

Henri Poincaré (1854-1912)

Hyperion, a Szaturnusz egyik holdja