Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen...
Transcript of Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen...
![Page 1: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Jäykän kappaleen liikeTähän asti on tarkasteltu ”massapistemekaniikkaa”:
Oikeasti fysikaaliset systeemit ovat äärellisen kokoisia, esim.
Koordinaatiston valinta (tärkeä tehdä fiksusti!)
Kappaleen (mahdollisesti ei-inertiaalinen)lepokoordinaatisto {y}
Jos valitaan {y}:n origoksi massakeskipiste (CM),
Aiempi tulos:
0 , koska kappale on jäykkä
Huom. tämä ei riipu CM:n valinnasta origoksi.Valinta on usein (muttei aina!) hyödyllinen
![Page 2: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/2.jpg)
2
PyörimisenergiaTavoitteena määrittää• Lagrangen funktio jäykälle kappaleelle• hitausmomentit
ja
Yksinkertaistetaan merkintöjä jättämällä pois hiukkaset numeroiva indeksi
Ja ottamalla käyttöön Einsteinin summaussääntö:Toistetun indeksi yli summataan automaattisesti
![Page 3: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Muodostetaan hitaustensori
Lagrangen funktio
![Page 4: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen
summaus i:n yli!
Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksiannetussa kooridinaatistossa
Tensorit, samoin kuin vektorit (esim. nopeus), ovat matemaattinen otuksia, joidenolemassaolo ei riipu koordinaatistosta, mutta niiden komponentit riippuvat!
![Page 5: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Hitausmomentit ja hitaustulot
Tässä
Diagonaalielementit: Hitausmomentit koordinaattiakselien suhteenEi-diagon.elementit: Hitaustulot
ja tällöinkin
Pääakselikoordinaatisto
pääakselikoordinaatisto
ovat kappaleen päähitausmomentit
![Page 6: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Tarkastellaan homogeenista kappaletta
• Jos kappaleella on symmetria-akseli, niinCM ja yksi pääakseleista on tällä suoralla
• Jos on olemassa symmetria-akseliavastaan kohtisuora symmetriataso, niinloput pääakselit ovat tässä tasossa
Steinerin sääntö
![Page 7: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/7.jpg)
7
HitausellipsoidiMääritellään toisen asteen pinta
Pääakselikoordinaatistossa
eli pinta on ellipsoidi, jonka akselit ovat kappaleen pääakselit: Hitausellipsoidi
Homogeenisen pallon ja kuutionhitausellipsoidit ovat pallopintoja.
Kappaleet ovat siis samanlaisiahyrräliikkeen kannalta elipallohyrriä
Hyrrän liike
![Page 8: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Vapaan hyrrän prekessio
![Page 9: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Saatiin siis
Hyrrän liikeyhtälötHyrrällä on 6 vapausastetta ja niihin liittyvät liikemäärätpaikka kokonaisliikemääräasento liikemäärämomenttiTarkastellaan liikeyhtälöitä Newtonin mekaniikassa koordinaatistossa {x}
![Page 10: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Eulerin yhtälöt
Ristituloja laskettaessa kannattaa usein käyttää nk. permutaatiosymbolia
Ja Eulerin yhtälöt ovat muotoa
![Page 11: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Vapaa symmetrinen hyrrä
![Page 12: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Eulerin kulmat
![Page 13: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/13.jpg)
13
![Page 14: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Kulmanopeus Eulerin kulmien avulla
Vapaan hyrrän prekessiosta
![Page 15: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Lagrangen hyrräMassiivinen, symmetrinen hyrrä, jonkasymmetria-akselin yksi piste on kiinnitetty
Jää 3 vapausastetta, esim. Eulerin kulmat!Kiinteä piste (sidos): –3 vapausastetta
![Page 16: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/16.jpg)
16
liikemäärämomentin projektio x3-akselille
liikemäärämomentin 3-komponentti {y}:ssä
Weierstrassin elliptinen integraali (katso jostain hyvästä taulukkokirjasta)
![Page 17: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Sijoitetaan tämä yhtälöihin
Nutaatio
![Page 18: Jäykän kappaleen liike - Prujut · 4 Tensoreilla laskemisesta, eli mitä liittyy lausekkeeseen summaus i:n yli! Karteesisen tensorin laskemisen voi aina palauttaa matriisilaskennaksi](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022022118/5c66a25b09d3f230488c7a02/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Kevättasauspisteen prekessio
(katso lasku esim. Goldsteinin oppikirjasta)