ReviSla M•• icana de Física 22 (1973) El -E9

INSTl; ~;:O ~f, FISICA

EL PENDULO ADlABAllCO: DETERMINAOON EXPERIMENTALDEL INVARIANTE ¡Je4

J. Lo Boldú. 11. Riveras R. Y J. Rubio O.

InstitulO de Física, Universidad Nacional de l~ixico

(Recibido: agoslO 23. 1973)

El

ABSTRACT: Thc: adiabatic invariance of a simple pendulum is studied,

both theoretically and experimentally. ne invariance of (he

quanlity 1384 is determined cxperimentally with a deviation of

less (han 1% between (he observed and (he theoretical result.

INTRODUCCION

Recientemente, el imerés por los invariantes adiabáticos ha aumen~rado considerablemente debido fundamentalmente al hecho de que éstos jue-gan un papel importante, no sólo en la teoría cuántica moderna sino tam.bién en la teoría de los aceleradores de partículas, tan utilizados en nues-tros días.

Un invariante adiabático es una función de los parámetros y de lasconstantes de movimiento de un sistema tal. que permanece constante den-tro del límite en el cual los parámetros varían lentamente con el tiempo.Tanto los parámetros que aparecen en el Hamiltoniano, como las constantesde movimiento, cambian cuando los parámetros varían lentamente, pero el in-

E2 Boldú et al

variante adiabático, que es una {unción de ellos, no sufre ningún cambio.La razón para llamar a estos cambios de los parámetros, adiabáticos,

está basada en el hecho de que durante ellos no se realizan transiciones en-tre los estados de energía manteniéndose constante la encropia 1, lo cual co-rresponde a la definición termodinámica de un cambio adiabático.

posiblemcmc el ejemplo más conocido de un invariante adiabáticoes la razón entre la energía y la frecuencia de un péndulo. En 1902Lord Raleigh2 y posteriormente en 1929, W.B. Morton3.consideraron un pén-dulo en el límite de oscilaciones pequeñas y demostraron que, si la longitud,efectiva I del péndulo varía lentamente con el tiempo, E('Í , ,3rt ó equivalen-temente e/v permanecen constantes durante el movimiento del sistema; aquíE es la energía del péndul0

1e la amplimd y v la frecuencia de oscilación

medidas en un intervalo de tiempo donde' no cambia apreciablemente ..tI propósito fundamental de este trabajo es el de determinar el inva.

riante ,Ji? desde el punto de vista experimental, así como también mostrarlas dificulrades que presenta una determinación de este tipo.

%LOS INVARIANTES ADIAIlATICOS E' ',"O',E/JI.

Considérese el arreglo mostrado en la figura 1 siendo' la longituddel péndulo, e su desplazamiento angular, E la energía, v la frecuencia y mla masa de la plomada.

Supongamos que bajo la influencia de ciertas' causas exteriores lalongitud ¡varía lentamente (adiabáticamcnte) con el tiempo; se entiende poruna variación lenta una transformación en la cual' varía lentamente compara-do con el movimiento del sistema es decir:

/« 'JI .

T' «,

(1)

(2)

Un sistema de este tipo no es cerrado y por lo tanto la energía no esuna constante de movimiento. Sin embargo, como la longitud varía lentamen-te, el ritmo de variación de la energía es proporcional al ritmo de variacióndt., la longitud, lo que significa que cuando' varía, la energía del sistema secomporta como si fuese una cierta función de la longitud, es decir, existiráuna relación enut.' E y ¡que permanece constante durante el movimiento delsistema.

El ppndulo adiabático .... E3

\\\\

\\\

II1

I1I1

III1

I

I ~

II

1

I,.I1

,I \I \I \I \

I \I \

1 \\\\\\\ 1- di\

\ ,

-._-~

Fi~. l. Cambio en el movimiento de un péndulo simple cuando su longitud varíaadiabáticamente de 1 al-di.

El siguiente paso será cnronces establecer una relación entre f: y 1,que permanezca constante durante el movimiento del sistema, es decir, queconstituya un invariante adiabático.

Existen diversos procedimientos 2, 3." para encontrar esta (unción: no-sotros discutiremos aquí el utilizado por Ter-lfaar1.

El trabajo dW hecho cuando I cambia de la 1+ di consiste en ¿os par-tes: el trabajo realizado en contra de la fuerza centrípeta y en contra de lafuerza de gravedad

dW --- '2- mg cos e dl- mi e di

E4 Aoldú er al

Aquí el promedio temporal, que se indica mediante la barra sobre lavariable promediada se wma durante el período del movimiento en ,,1 cual lalongitud cambia. Después de que el péndulo ha alcanzado la nueva lon~itud.el trabajo realizado queda expresado por

dI!' ~ - mgdl + dE , (4)

donde - mgdl es el cambio de energía potencial debido a la nueva postelaode la plomada en el campo gravitacional y di: es el cambio de eneeg ia de Ipéndulo.

Si nos limicamos al caso de oscilaciones pequeñas {'"fOnC{'S

eos 8 ~ 1- 82/2 de tal forma que sustituyendo en (3) y empleando (4) se ob.tiene

dE 2 • 2~1mg 8 di - mi 8 di (5)

Por otfO lado, usando el teorema del vicial tenemos

(6 )

SI tomamos ahora esta relación, la Ec. (5) se pued{' expresar en la (orma

dE ~ - (E /21) di , (7)%

de donde se concluye qU{' El 2 es invariante. Así pues, la función de 1: yque constituye un invariante adiabático es

cte, (8)

Ahora bien, de la a'lación (6), la energía es proporcional a le2 , don-de e (.'s la amplitud de oscilación, de tal forma que sustituyendo en (8) St' oh.[lene

1'8' ~ ete . (9)

EJ pe"lduJo adíab¿lico. . . ES

Por último, teniendo en cuenta que para un péndulo simpleS la frecuencia es,proporcional i.l (~, de la relación (8) se puede obtener que

E/v = ele. (10)

Esta ccuación establece el invariante más conocido para un péndulo adiabá-tico en el límite de oscilaciones pequeñ"ls.

DESARROLLO EXPERIMENTAL

Siendo J Y 8 las variables naturales desde el pumo de vista experi-memal, de los tres invariantes establecidos en la sección anterior para unpéndulo adiabático, se escogió determinar la constancia de J384..

Ahora bien, como para la deducción de este invariamc se desprecianimplícitamente las pérdidas de energía debidas a las fuerzas de fricción, pa-ra que esto fuera cierto experimemalmente se hizo necesario utilizar una ma-sa grande (1200 gr) en la plomada, pequeñas amplilUdes y una longirud del or-den de 240 cm. Bajo estas condiciones las pérdidas de energía son meno-res de 0.1% en 5 minuws, tiempo en el cual se realizó la determinación.

Para la medida del ángulo se p<'nsó inicialmente en fotografiar al ob-jcw en los pumos de retorno. Sin embargo, después de haber hecho un aná-lisis de errores, la idea fue desechada pueslo que el error por paralaje era losuficientememe grande para no poder distinguir entre una medida y otra. Seusó enWnces el arreglo mostrado en la figura 2.

Para medir la amplitud de oscilación con este arreglo, se tanó un PIn-to de referencia situado 6 cm encima del centro de masa de la plomada y so-bre cada una de las cinco reglas se midió d. Como en todo momento se co-noce J, el ánguJo puede calcularse por medio de la relación sen 8 = di!. Sinembargo, para la amplitud de oscilación usada (~3°) se puede aproximar elseno del ángulo al ángulo, de tal forma que para cada una de las longitudesla amplitud de oscilación se calculó a partir de la relación

e '" d/I . ( 11)

Para asegurar que el proceso fuera adiabádco y que la relación (1) sesatisfaciera, la velocidad con la que se tuvo que variar la longitud debió sermucho menor que 0.7 m/seg. Se utilizó entonces una velocidad de0.000750 :t 0.000005 m/seg fundamentalmente por tres razones: 1) Se asegu-

E6 Holdú et al

1 /-USPEJO

O

I1

O \I1

O

.10m.,

jI

o

l _I,

V£RTlCAL

Fi~. 2. Dispositivo experimental usado para la medida d(,¡ án~ulo e. Las rCj.:la~se encuenlr::ln ~raduadas en milímetros e i,lo:ualmente separadas (4.5 ems).

El péndulo adiabático ...

Lag ~

2.39

2,31

2.37

2.36

2.35

Lag l.0.695~0.019-(I.341! 0.021)Lag.~

Log B-

E7.

-LU - L24 - 1.23

ril-':'" Griifica de los valores promedios d" una serie de diez mediciones paralas variables 1 y (J.

E8 Holdú e[ al

ca así plenamente que el proceso s{'a adiabático. 2) debido a la Icncirud delcambio se puede asegurar la confiabilidad en cada una de nuestras medidasy 3) el motor utilizado es estable a esta ,'elocidad.

RESULTADOS

Los valores promedio de una s(:ric de 10 mediciones para las varia-

bies' y O se encuclltran representados en (',o,;c01la Iog-log en la figura 3. A

los logaritmos de estos datos exp<:rirncntaies se ajustó una recta por el mé-todo de mínimos cuadrados6 y la pendien((' obtcnida fue

m = - l.}í! :t 0.021

El error se calcula a partir de la desviación media. Como puede observarsela p<-'ndicnrc obtenida a partir de los daws experimentales difiere en menosdel 1% del valor esperado m = -4/3 calculado a partir de la relación (9).

CONCLUSION

En el pn'.sente trahajo se ha determinado experimentalmente el inva-riante adiabático ¡3eJ, para un péndulo .simple, cuya longitud se acorta lenta-

ment<.', Para poder realizar las mediciones. hubo que hacer un análisi.s pre-

vio de los errores esperados y sólo entonces se pudo establecer la constan-cia de la cantidad ¡JeJ"

Consid{'ramo.s que el experimento que aquí hemos descrito proporcio-

na un ejemplo muy útil para estudiantes de laboratorio, pues implica d deter-

minar condiciones experimentales relativamente estrictas, para que los resul-tados de las mediciones tengan sentido,

AGRADECI~lIENTOS

A,gradecemos a la Facultad de Cit'ncias cit.. la UNA~f, el habernos fa-cilitado parte del equipo utilizado en este trabajo y al Sr, Juan Caire por laayuda prestada en la colocación y construcción del mismo, Así mismo quere-mos agradecer al Dr. Jorge Flores la ayuda y el interés mostrado a lo largo dela realización de este trabajo,

El pé,.,dulo adiabático ...

REFERENCIAS

l. D. Tn lIaar. r:.lemetl/s ojlfamilt(miaTl ,\f('chanics, (;'\'onh lIo11andPublishing Company 196-i).

2. L. Raleigh. Phi!. .\lag. 3 (902) 338.3. W. B. Morton. Phi!. .\Iag. 8 (1929) 181>.4. 11. Goldstcin, Classlca/ .\lecbarúcs (,\disson-\X.!esicy 19(9).5. G. R. Fowles, Atlalylica/ .\fechallics (110ft, Rinchan and ',X'inston 19(2).6. D.C. Bair. Experimf'1Jtatiú11 (Prentict:'-lIal1. Inc., 19(2).

RESUMEN

E9

El problema de un péndulo cuya longitud varía lentamente con eltiempo se ('studia tan[O de.o;¡deel punto de vista teórico como experimental.Se determina la constancia del innuianre adiabático IJrr experimentalmenteobreniéndose una desviación menor del 1% del valor teórico esperado.