ITK-121KALKULUS I

3 SKS

Dicky Dermawanwww.dickydermawan.890m.com

DERIVATIF

Kalkulus adalah ilmu tentang perubahan

Derivatif adalah laju perubahan

Pada umumnya f(x) berubah bila x berubah.Rasio antara perubahan output terhadap (yang diakibatkan oleh)perubahan inputnya, yaitu:

Pada umumnya rasio ini bergantung pada:- berapa x mula-mula- berapa besar perubahan yang terjadi (h)

xhx

xfhxfG

h

xfhxfG

Contoh: f(x) = x2

Dari x = 3 ke x = 4 G = ........ Dari x = 2 ke x = 3 Dari x = 2 ke x = 2,1 Dari x = 2 ke x = 2,01 Dari x = 2 ke x = 2.001

Apabila....

Perubahan input yang terjadi kecil saja h → 0 maka dikatakan: perubahan di x = 2

Perubahan output = f’(2) kali perubahan inputnya.

Secara matematis: )2(')2()2(

lim0

fh

fhfh

Derivatif adalah limit.

Derivatif merupakan suatu bentuk khusus dari limit

Definisi-Definisi Dalam Aplikasi

Gradien adalah slope suatu kurva fungsi f di titik [x, f(x)] adalah f’(x)

Bila posisi suatu objek berubah terhadap waktu, s = f(t), maka kecepatan objek itu pada saat t adalah v = f’(t). Laju perubahan kecepatannya adalah v’(t).

Pada umumnya proses bekerja pada input yang berubah-ubah dan perubahan itu tidak kecil. Untuk kasus seperti itu, dibuat perubahan kecil-kecil yang jumlahnya sama dengan perubahan yang terjadi. Konsekuensinya, derivatif berubah-ubah di tiap posisi antara → fungsi turunan perlu ditentukan.

Contoh-contoh1.Hitung f’(x) bila f(x) = x3

2.Hitung f’(x) bila f(x) = x4

Perumusan:

3. Hitung f’(x) bila f(x) = x-1 = 1/ x , x 0

4. Hitung f’(x) bila f(x) =

Perumusan:

xx 22 23 3 xx 34 4 xx 45 5 xx 1 nn xnx

2

1

x

21 xx32 2 xx1 nn xnx

5. Hitung f’(x) bila f(x) = , x > 0

Karena derivative adalah limit, maka sifat-sifat derivatif sama dengan sifat limit.

Contoh: Karena f’(x) = 2x untuk f(x) = x2 dan g’(x) = - untuk g(x) =

x

2

1

x x

1

Soal-Soal

Hitung turunan fungsi-fungsi berikut berdasarkan definisi turunan:

1.

2.

3.

4.

Gunakan teorema untuk menentukan turunan fungsi berikut

dititik-titik yang diberikan:

5. Di x = 8

x7

xx 22

xx 33

xx 32

11 nn xnx

32x

6. Di x = 2

7. Di x = 3

8 Di

9. Hitung bila

10. Hitung bila

11. Hitung bila

12. Hitung bila

13. a) Buat kurva b) Buat kurva pada kertas grafik yang sama

x2x

5 4x 32

1x

2'f 3

1

xxf

8'f 3

1

xxf

2'f 7,2xxf

3'f 2xxf

2xxy 22 x'y

Gunakan teorema untuk menentukan turunan fungsi berikut dititik-titik yang diberikan:

5. Di x = 832x

14. Diketahui

a. Sketsa kurva b. Perkirakan di x = 1,2,3,4,5,6 c. Sketsa kurva pada kertas grafik yang sama

15. Suatu benda menempuh jarak tn meter setelah bergerak selama t menit

a. hitung kecepatan rata-rata sejak t = 1,99 menit t = 2,0 menit

b. hitung kecepatan rata-rata sejak t = 2,0 menit t = 2,01 menit

c. hitung kecepatannya saat t = 2 menit

16. Hitung bila

x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) 0.4 1.5 2.5 2.6 1.5 1 1.8 3.5

xfy xf '

xfy '

0'f xxf 3