Iterasi Gauss Seidel

A. Pengertian

Eliminasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga

diperoleh nilai-nilai yang berubah.

Bila diketahui persamaan linier simultan:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

Berikan nilai awal dari setiap )1( nixi kemudian sistem persamaan linier

tersebut akan menjadi :

112211

23232212

22

2

13132121

11

1

1

1

1

nnnnnn

nn

n

nn

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

B. Teknik Penyelesaian :

Hitung nilai-nilai )1( nixi dari persamaan-persamaan di atas.

Lakukan sehingga nilai-nilai ix tersebut mendekati nilai ix pada iterasi

sebelumnya, dengan batas toleransi tertentu.

Proses iterasi akan berhenti ketika selisih dari ix dengan 1ix kurang dari

nilai toleransi error yang ditentukan.

C. Contoh Soal :

1. Tentukan solusi SPL

1552

2184

74

zyx

zyx

zyx

Jawab :

Berikan nilai awal 0,0,0 000 zyx

Susun persamaan menjadi :

5

215

8

421

4

7

yxz

zxy

zyx

Lakukan Proses Iterasi

Iterasi 1 :

75.14

0071

x

5.38

0)75.1(4211

y

35

5.3)75.1(2151

z

Iterasi 2 :

875.14

35.372

x

9375.38

3)875.1(4212

y

9625.25

9375.3)875.1(2152

z

Iterasi 3:

99375.14

9625.29375.373

x

992188.38

9625.2)99375.1(4213

y

999063.25

992188.3)99375.1(2153

z

⋯

3

4

2

8

8

8

z

y

x

Terlihat bahwa selisih nilai x, y, z pada iterasi ke-7 dan ke-8 semakin kecil

Sehingga x =2, y=4 dan z=3

k xk yk zk

0 0 0 0

1 1.75 3.5 3

2 1.875 3.9375 2.9625

3 1.99375 3.992188 2.999063

4 1.998281 3.999023 2.999508

5 1.999879 3.999878 2.999976

6 1.999975 3.999985 2.999993

7 1.999998 3.999998 3

8 2 4 3

9 2 4 3

10 2 4 3 5

215

8

421

4

7

yxz

zxy

zyx