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ITERACIÓN SIMPLE DE
PUNTO FIJO
Prof.: Ing. Marvin Hernández C.
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Métodos Abiertos
Sólo requieren un valor inicial o un par.
Pueden no encerrar la raíz.
Pueden ser divergentes conforme se
realizan iteraciones.
Si un método abierto converge a la
solución, usualmente lo hace con mayor
rapidez que los métodos cerrados
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Método de iteración de punto fijo
Básicamente, consiste en reordenar los
términos de la función.
Se iguala a cero, para que la variable “x”
quede a la izquierda.
x = g(x) ; xi+1 = g(xi)
Existen dos técnicas:
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1- Despejando la variable x
Ejemplo: f(x)= 3x2 - 4x + 5
Primero se iguala a cero la función.
Luego se despeja la variable x .
4
53
0543
2
2
xx
xx
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2- Sumando x a ambos lados de la
ecuación (cos(x), sen(x), etc)
Ejemplo: f(x)= cos (x)
Primero se iguala a cero la función.
Luego se suma la variable x a ambos lados.
xxx
x
xxf
cos
0cos
cos
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Dos métodos gráficos para
determinar la raíz de f(x) = e-x–x
f(x) = e-x-x
f(x) = e-x-x
0 = e-x-x
x = e-x
f1(x) = x
f2(x) = e-x
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Funciones Convergentes
abs(g’(x)) < 1
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Funciones Divergentes
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De lo anterior se puede concluir que
cuando el método converge, el error es
proporcional, y menor que la iteración
anterior, por esto se dice que la iteración
simple de punto fijo es linealmente
convergente.
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Ejemplo 1 (Chapra, pág 141)
2
3
032
32
2
2
2
xx
xx
xxxf
Iteración x a %
0 0 -
1 1.5 100
2 2.625 42.86
3 4.945 46.92
4 13.728 63.98
5 95.730 85.66
1001
1
i
iia
x
xx %100100
5.1
05.1
a
Función:
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Método Gráfico
Gráfica del ejemplo 1
Gráfica del ejemplo 1
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Ejemplo 2
(Chapra, problema 6.1, Pág. 165)
xsenx
xxsen
xxsenxf
0
Por iteración de punto fijo con xi = 0.5 y εa ≤ 0.01%
Iteración X a %
0 0.5
1 0.649636939 23.0339333
2 0.721523797 9.96319987
3 0.750901166 3.91228175
4 0.762096851 1.46906324
5 0.766248143 0.54176864
6 0.767771654 0.19843287
7 0.76832866 0.07249574
8 0.768532022 0.02646108
9 0.768606231 0.00965506
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Método Gráfico
Gráfica del ejemplo 2
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Ejemplo 3
xxx
x
xxf
cos
0cos
cos
Función: Por iteración de punto fijo con xi = 0
iii xxx cos1
10100coscos 0010 xxx
Iteración xi a % t %
0 0 - 100
1 1 100.0 36.34
2 1.54030 35.08 1.941
3 1.57079 1.941 0.000301
4 (½)·π 0.0003 0
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Método Gráfico
Gráfica del ejemplo 3
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EJEMPLOS EN MATLAB