it is di cult to get across a real feeling as to the beaut...

Université Lille1 UFR de Physique S1 Physique

To those who do not know mathematicsit is dicult to get across a real feeling as tothe beauty, the deepest beauty, of nature a

Richard Feynman

a. À ceux qui ne connaissent rien aux mathématiques, il est dif-cile de transmettre le sentiment de la beauté de la nature, de sabeauté la plus profonde

1


.

2

Table des matières

Organisation du semestre 4

Préambule 5Rédaction de la solution d'un problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Compétences mathématiques attendues en n de semestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Compétences à acquérir à l'issue de l'enseignement de Physique du S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Statique et mouvements -TD 1, 2 & 3 9Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Description du mouvement en mécanique classique Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Interactions gravitationnelle et coulombienne -TD 4, 5 & 6 13Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Force électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Mouvement dans un champ gravitationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Mouvement d'une particule chargée dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Mouvement en présence d'un frottement uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Force de Lorentz -TD 7&8 21Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Forces de Pression -TD 9, 10&11 24Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Statique des uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Théorème de Pascal Poussée d'Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Ondes Progressives -TD 12,13 & 14 31Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Mouvements Périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Oscillateurs harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Propagation d'une onde Temps retardé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Ondes progressives sinusoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Généralités sur les ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Surfaces d'onde Eet Doppler -TD 15& 16 41Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Surfaces d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Eet Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Miscellaneus 44

3


Organisation du semestre

Semaine du CM TDTP de physique Tutorat

de

PhysiqueGr no im-

pairs

Gr no pairs

12 sept. XMeca 1

19 sept. XMeca 2 X

26 sept. XX X

3 oct. XMeca 3 X X

10 oct. XX X

17 oct. XRévision X X X

24 oct.-26 oct. ou 3 nov.- 4 nov. X

27 oct. - 2 nov. : Interruption pédagogique

7 nov. XPression X

14 nov. XOndes 1 X X

21 nov. XX X

28 nov. XOndes 2 X X

5 déc. XX X

12 déc. X X

17 déc.2 janv. : Vacances de Noël

311 janv. : Semaine du 2eDS

Vériez régulièrement le panneau d'achage

CM : Cours MagistralTD : Travaux Dirigés

4


Préambule

Ce document précise ce qui sera évalué lors des colles, devoirs surveillés ou examens. Il est important de souligner que ce qui suitn'est pas exhaustif et ne peut en aucun cas se substituer à ce que vous préciseront vos enseignants.

A Rédaction de la solution d’un problème

La qualité de la rédaction est un élément fondamental detout écrit scientique y compris vos copies d'examens ! La ré-daction doit être à la fois claire pour faciliter la lecture, maisaussi démontrer la rigueur de vos raisonnements. Ceci signieque les calculs doivent toujours être accompagnés de phrasesexplicitant par exemple les hypothèses faites, les théorèmes uti-lisés. De plus n'oubliez pas qu'un schéma est souvent indispen-sable en Physique pour raisonner, expliquer ou tout simplementdénir des variables, des axes ou un système.

En ce qui concerne les calculs ...

Il est important (sauf indication explicite contraire dansun énoncé) de ne pas mélanger calcul littéral (encore ap-pelé calcul analytique ou calcul formel) et applicationnumérique (utilisation des valeurs aectées à chacune des va-riables dans le problème traité). En eet, lorsqu'on veut relire unraisonnement soit pour le vérier, soit pour rechercher une er-reur, il est beaucoup plus simple de le faire sur des résultats ana-lytiques que numériques. Et surtout, le résultat analytiquepermet de discuter la signication physique de l'équa-tion et de faire une analyse dimensionnelle permettant,entre autres, de vérier la cohérence du résultat.

Il est important que vous preniez cette habitude dès le débutde vos études supérieures. Aucun des points du barème aectéau calcul analytique ne pourra être attribué si vous avez mé-langé calcul littéral et numérique (sauf si cela est exceptionnel-lement et explicitement demandé dans l'énoncé) ! De plus vousdevez veiller à ce que le résultat analytique nal soit présentésous la forme la plus élégante et la plus compacte possible. Ildoit être mis clairement en évidence (en l'encadrant). Lors dupassage à l'application numérique, il est recommandé d'expri-mer les grandeurs intervenant dans le résultat dans les unités

de base du système international. N'oubliez pas d'indiquer pourchaque grandeur gurant dans le résultat littéral l'unité qui seraemployée lors de l'application numérique qui va suivre.

Une part importante des barèmes sera aectée au soin aveclequel les calculs seront rédigés.

Exemple : Si vous devez obtenir la valeur de la vitesse v àl'aide de l'équation 2a

3v+b = c et que vous savez que a = 3, 0 m ;b = 4, 0 m/s et c = 1, 0 s, vous devez présenter les calculs sousla forme suivante 1 :

2a3v+b = c ⇔ 2a = c (3v + b) ⇔ 2a

c = 3v + b

⇔ 3v + b = 2ac ⇔ 3v = 2a−bc

c

⇔ v = 2a−bc3c

une autre forme élégante possible du résultat est v = 2a3c − b

3

unités : a en mètres (m), b en mètres par seconde (m.s−1) et cen secondes (s).Application Numérique 2 : v = 2×3−4×1

3×1Le reste du calcul est à faire soit sur le brouillon soit sur la

calculatrice. Inutile d'en donner les détails sur la copie, seul lerésultat compte maintenant soit :

v = 0, 67 m.s−1 (arrondir le résultat numérique en fonc-

tion du nombre de chires signicatifs des paramètres a, b et cet ne pas laisser d'expressions de la forme 1

2 par exemple)Vous ne devez pas introduire les valeurs numériques de a,

b ou c dans le calcul formel (littéral) même si cela semble (parhasard !) faciliter le calcul. Si vous introduisez les valeurs nu-mériques dans les formules, vous perdez une bonne partie de lasignication physique des équations ainsi que leur généralité

Enn votre calcul ne doit pas s'arrêter en route : 3v = 2a−bcc

n'est pas un résultat acceptable par exemple 3.

B Compétences mathématiques attendues en fin de semestre

La modélisation physique nécessite un minimum de tech-niques mathématiques, entre autres de savoir dériver et inté-grer les fonctions simples. Les formules élémentaires de trigono-métrie et l'utilisation du cercle trigonométrique pour retrouver

facilement certaines d'entre elles doivent être maîtrisées rapide-ment en ce début de semestre. Nous rappelons ici pour exemplequelques-unes des formules indispensables à savoir ou à savoirretrouver.

1. Si vous êtes sûrs de vous, il est évidemment possible de présenter le calcul avec moins de lignes intermédiaires2. chaque valeur numérique y-compris 1 est reportée à la même place que la variable correspondante dans l'expression littérale et dans l'unité

annoncée.

3. 2a−bc3c

= v n'est pas non plus l'expression nale (vous cherchez v qui doit se retrouver à gauche)

5


Trigonométrie élémentaire

M

θ

1

1

0 cos

sin θ

θ

B

A

θ

C

Dans un triangle rectanglecos2 θ + sin2 θ = 1,sin θ = AC

BC , cos θ = ABBC , tan θ = sin θ

cos θ = ACAB

Sur le cercle trigonométriqueLe cercle trigonométrique sert à repérer et à mesurer la valeurde certains angles, ainsi que le cosinus, le sinus et la tangentede ceux-ci. Ce cercle a un rayon de longueur unitaire.

Savoir retrouver avec le cercle trigonométrique : sin(−x) = − sinx ; cos(−x) = cosx ; tan(−x) = − tanx

sin(0) = 0 ; cos(0) = 1 ; sin

(π6

)= 1

2 ; cos(π6

)=√32 ;

sin(π4

)=√22 ; cos

(π4

)=√22

sin(π3

)=√32 ; cos

(π3

)= 1

2 ; sin

(π2

)= 1 ; cos

(π2

)= 0 ;

sin(π2 ± x

)= cosx ; cos

(π2 ± x

)= ∓ sinx ;

cos (π + x) = − cosx . . .

Connaître les relations sin(a± b) = sin(a). cos(b)± cos(a). sin(b) cos(a± b) = cos(a). cos(b)∓ sin(a). sin(b)

La mesure des angles est exprimée en radians, unité interna-tionale.

Fonctions

Il est indispensable de sa-voir établir rapidement unereprésentation graphique pré-cise des fonctions simples,composées à partir des fonc-tions élémentaires (exp,ln, sin, cos, tan), commex(t) = x0 exp(−t/τ) parexemple sans recourir à l'étude d'un tableau de variation maisen précisant la valeur caractéristique t1/2 en fonction du para-mètre τ : t1/2 = τ ln 2, ainsi que sa signication physique.

Dérivation

La dérivée de la fonction f est notée en f ′ en mathéma-thique, mais la physique privilégie la notation d

dxf . On utiliseaussi des notations spéciques pour désigner la dérivée par rap-port au temps qui s'écrit avec un point surmontant la lettre : f ,la dérivée seconde s'écrivant f ( notation de Newton ).

Déf. dfdx (a) = limh→0

f(a+h)−f(a)h

Règles générales de dérivation

Constante : ddxf(y) = 0 (si y indep de de x)

Linéarité : ddx (αf(x) + βg(x)) = α d

dxf(x) + β ddxg(x).

Produits : ddx (f(x) · g(x)) = df

dx · g(x) + f(x) · dgdx (x)

Composée : ddxf [g(x)] = df

dg (g(x)) · dgdx (x)

Dérivées usuelles

ddxx

r = r xr−1, r ∈ R d

dxex = ex d

dx ln(x) = 1x , x > 0.

ddx sin(x) = cos(x) d

dx cos(x) = − sin(x).

ddx tan(x) = 1

cos2(x) = 1 + tan2(x).

Calcul intégral

Déf. S =∫ baf(x)dx = [F (x)]

ba = F (b)− F (a)

Propriétés de l'intégrale

Linéarité :∫

(a f(x) + b g(x)) dx = a∫f(x) dx+b

∫g(x) dx

Rel. de Chasles :∫ caf(x) dx =

∫ baf(x) dx+

∫bcf(x) dx et

en particulier :∫abf(x) dx = −

∫baf(x) dx

IPP :∫f(x) g′(x) dx = [f(x) g(x)]−

∫f ′(x) g(x) dx

Changement de variable (si f et ϕ′ sont continues) :∫ baf(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ϕ(a)

ϕ(b)f(x) dx

et en particulier :∫ baf(ct) dt = 1

c

∫ cbcaf(x) dx

6


Vecteurs

Dénitons : Un vecteur est représenté par un segmentorienté (une èche) ayant pour extrémités un point de départ etun point d'arrivée. L'emplacement dans le plan ou l'espace n'apas d'importance, deux déplacements de deux points d'originedistincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptentsa longueur, sa direction et son sens. Il est donc possible de lefaire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même.

Composantes d'un vecteur : La décomposition d'un vec-teur de l'espace dans un repère orthonormé doit être parfaite-ment maîtrisé. Dans le repère orthonorméR = (O,−→e x,−→e y,−→e z)le vecteur −→r se décompose de la manière suivante

−→r = x−→e x + y−→e y + z−→e z.

Le triplet (x, y, z) forme les composantes du vecteur −→r dans lerepère R

Vecteur position : La représentation particulière−→OA de

−→r qui va de l'origine O du repère au point A est appelée levecteur position du point A.

Produit scalaire : Le produit scalaire des vecteurs −→u et−→v , noté −→u · −→v est égal à 0 si l'un des deux vecteurs est nul,il vaut ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos(−→u ,−→v ) sinon. Le produit scalaire estpositif si l'angle est aigu et négatif si l'angle est obtus.

Propriétés du produit scalaire −→u · −→v = −→v · −→u −→u ⊥ −→v ⇔ −→u · −→v = 0. −→u · −→u = ‖−→u ‖2Dans le repère orthonormé R = (O,−→e x,−→e y,−→e z) deux

vecteurs −→u et −→v de composantes respectives (ux, uy, uz) et(vx, vy, vz) ont pour produit scalaire

−→u · −→v = uxvx + uyvy + uzvz.

Produit vectoriel : On dénit le produit vectoriel des deuxvecteurs −→u et −→v , noté −→u ∧ −→v , comme étant le vecteur :

normal au plan vectoriel de base (−→u ,−→v ) ;

dont la norme vaut ‖−→u ‖ ‖−→v ‖ | sin(−→u ,−→v )| tel que (−→u ,−→v , (−→u ∧ −→v )) forme une base directe.

Si −→u et −→v sont colinéaires on a alors −→u ∧ −→v =−→0 .

Le produit vectoriel est antisymétrique : −→u ∧−→v = −−→v ∧−→uBase orthonormée directe de l'espace : Ensemble de

trois vecteur −→e x, −→e x et −→e z vériant les propriétés suivantes −→e x · −→e x = 1, −→e y · −→e y = 1, −→e z · −→e z = 1 −→e x · −→e y = 0, −→e y · −→e z = 0, −→e x · −→e z = 0

−→e x ∧ −→e y = −→e z, −→e y ∧ −→e z = −→e x, −→e z ∧ −→e x = −→e y.Les composantes (ux, uy, uz) dans une base orthonormée directe(−→e x,−→e y,−→e z) d'un vecteur −→u quelconque sont dénies par lesrelations

x = −→u · −→e x, y = −→u · −→e y, z = −→u · −→e z.

Nombres complexes

Dénitons : Un nombre complexe z est représenté par uncouple de deux réels (a, b), ou (ρ, θ) tel que

z = a+ ib = ρ eiθ; ρ ≥ 0

i tel que i2 = −1 a : partie réelle de z (a = <(z)) b : partie imaginaire de z (b = =(z)) ρ : module de z (ρ = |z|). θ : argument de z (θ = arg(z)). z∗ = a− ib = ρ e−iθ : complexe conjugué de z ; a+ ib : forme cartésienne de z ρ eiθ : forme polaire de zReprésentation graphique :

Un nombre complexe z se représente comme un point dans leplan complexe (<(z),=(z)).

O ℜ(z)a

θ

ρ

z = a+ ibb

ℑ(z) z = ρeiθ

Ce que l'on peut en déduireLes expressions suivantes se déduisent directement de la déni-tion ou de la représentation dans le plan complexe, essayez deles retrouver !

a = ρ cos θ ; b = ρ sin θ et donc eiθ = cos θ + i sin θ Sur le module : ρ = |z| ≥ 0 ; |z|2 = a2 + b2 = z.z∗ ;∣∣ 1

z

∣∣ = 1|z|

Sur l'argument : tan θ = ba ; z

∗ = ρe−iθ ; cos θ = eiθ+e−iθ

2 ;

sin θ = eiθ−e−iθ

2 i . Sur les conjugués : (z∗)∗ = z ;

(1z

)∗= 1

z∗ ;(z1 + z2)

∗= z∗1 + z∗2 ; (z1z2)

∗= z∗1z

∗2

Addition et multiplication de deux complexesSi z1 = a1 + ib1 = ρ1e

iθ1 et z2 = a2 + ib2 = ρ2eiθ2 alors :

z1 + z2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2) ; z1z2 = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + b1a2) = ρ1ρ2e

i(θ1+θ2) ; z1

z2= ρ1

ρ2ei(θ1−θ2).

Remarque : on utilise de préférence : la forme cartésienne pour les additions et les soustrac-

tions

la forme polaire pour les multiplications et les divisions

7


C Compétences à acquérir à l’issue de l’enseignement de Physique du S1

Les concepts, dénitions et démonstrations faites en courssont la base indispensable des compétences exigibles en n desemestre pour valider votre module de Physique. Nous donnonsci-dessous la liste des points sur lesquels il y aura une ou plu-sieurs questions de cours au DS1 et au DS2.

N'oubliez pas qu'une question de cours sous-entend toujoursque vous devez parafaitement dénir les variables et notationsutilisées. La rigueur et la qualité de la rédaction sont primorialesdans l'évaluation. Enn, il est presque toujours indispensable defaire un schéma associé à votre réponse.

Cinématique — Dynamique

Dénitions des vecteurs positions, vitesses, accélérations,

Propriété du vecteur vitesse tangent à la trajectoire. Ex-plication à l'aide d'un schéma,

Repère de Frenet, expression des accélérations normaleet tangentielle et sa représentation graphique sur unexemple,

Dénition du référentiel Galiléen,

Dénition de la quantité de mouvement −→p = m−→v , Enoncé des trois lois de Newton et de leurs noms associés 4,

Loi universelle de la gravitation (entre deux masses ponc-tuelles),

Dénition du champ de pesanteur,

Loi de Coulomb (interaction electrostatique entre deuxcharges ponctuelles),

Dénition du champ électrostique,

Expression de la force de Lorentz (en explicitant force élec-trique et magnétique).

Pression

Dénition d'un uide incompressible,

Dénition de la force de pression avec le schéma associé,

Origine microscopique de la force de pression dans unuide,

Enoncé et démonstration de la loi fondamentale de l'hy-drostatique,

Enoncé du principe de Pascal,

Dénition, énoncé et démonstration de la Poussée d'Ar-chimède.

Ondes

Représentation complexe d'un signal ou d'une fonction si-nusoidale,

Dénitions : onde, onde longitudinale, onde trans-verse, onde matérielle, onde électro-magnétique, longueurd'onde, période, fréquence, pulsation, amplitude

Enoncer les causes de déformations d'une onde en sachantdénir chaque terme : perte (attenuation), dispersion, pro-pagation à deux ou trois dimensions (diraction),

Enoncé, schéma et explication claire de la forme mathé-matique d'une onde progressive à une dimension qui ne sedéforme pas f(z−vt) vers les z croissants et f(z+vt) versles z décroissants. Graphiques explicatifs associés,

Dénition d'une onde monochromatique,

Forme mathématique d'une onde monochromatique pro-gressive à une dimension. Savoir représenter une onde mo-nochromatique en fonction du temps et de l'espace. Expli-citer les termes,

Dénition du vecteur d'onde et de sa norme. Relationentre k, ω et v. Démonstration du lien entre k et λet entre ω et T ,

Dénition d'une surface d'onde. Cas particuliers des ondesplanes et des ondes sphériques. Savoir positionner le vec-teur d'onde sur des schémas représentant les surfacesd'onde.

Démonstration de la formule de l'eet Doppler (dans lecas d'impulsions périodiques et dans le cadre de la méca-nique classique),

Démonstration de la formule du battement (superposi-tion d'ondes de fréquences voisines).

4. Principe d'inertie, principe fondamental de la dynamique (Attention : expression avec la quantité de mouvement ET le passage à m−→a quand mest constant), principe d'action-réaction.

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Statique et mouvements -TD 1, 2 & 3

A Objectifs

1. Maîtriser le calcul vectoriel dans le plan.

2. Résoudre un problème de statique dans le cas d'un système de forces concourantes.

3. Étudier le mouvement d'un point : Préciser le référentiel et le repère qui lui est lié ; Repérer la position M du point par son vecteur position

−−→OM ou par son abscisse curviligne.

4. Dénir les vecteurs vitesse et accélération ;

5. Maîtriser les mouvements rectilignes uniformes et uniformément variés ;

6. Traiter les exercices dans repères galiléens

7. Utiliser le principe de l'inertie

B Statique

Exercice 1 Tension d'un câble

Quelle est la tension du câble si m = 200 kg dans les trois casde la gure 1 ?

Fig. 1 Statique.

Exercice 2 Statique du solide

1. Rappeler l'énoncé de la première loi de Newton.

2. Comme l'indique la gure 2-a, on considère une caissecubique de masse m immobile sur le sol. Faire l'inven-

taire des forces extérieures agissant sur la caisse et donnerl'égalité vectorielle régissant l'équilibre de la caisse. Pro-jetter l'équation vectorielle obtenue et en déduire l'ex-pression de la norme N de la force de normale de contactentre la caisse et le sol. On notera g la norme de l'accé-lération de la pesanteur.

3. Reprendre la question 2 dans le cas où la caisse est im-mobile sur un plan incliné d'un angle α par rapport àl'horizontale (gure 2-b). La caisse est retenue par unecorde qui l'empêche de glisser sur le plan incliné.

α

(b)(a)

Fig. 2 Statique du solide.

C Description du mouvement en mécanique classique – Cinématique

Exercice 3 Révisions

1. Un mobile en mouvement circulaire uniforme est-il accé-léré ?

2. Dans le repère (0,−→e x,−→e y,−→e z) le vecteur vitesse d'unpoint est −→v à la date t. Varieratil au cours du tempssi le point est animé

(a) d'un mouvement rectiligne uniforme ?

(b) d'un mouvement rectiligne uniformément retardé ?

(c) d'un mouvement circulaire uniforme ?

3. Une balle de ping - pong rebondit sur un miroir horizon-tal. Les vitesses de la balle et de son image sont-elles demême signe :

(a) Si la verticale est orienté vers le haut ?

(b) Si la verticale est orienté vers le bas ?

4. Qu'appelle-t-on un référentiel ? un repère ? Rédiger unedénition et donner un exemple. (DS 2016)

9


Exercice 4Le mouvement d'une balle rebondissante est capturé sur uneseule photographie (Fig. 4) à l'aide d'un stroboscope émettantdes ashs lumineux intenses avec une période τ = 50 ms.

Fig. 4

Sachant que la balle est une boule de diamètre 5 cm :

1. Déterminer le sens du mouvement.

2. Déterminer la vitesse moyenne avant et après les deuxpremiers rebonds.

3. En dehors des rebonds, déterminer l'accélérationmoyenne en diérents endroits de la trajectoire et mon-trer qu'elle est constante.

Exercice 5Un joggeur s'entraîne sur l'avenue Paul Langevin (Fig. 5) enmaintenant une foulée régulière de vitesse moyenne constantede 15 km/h. En chacun des points A, B, C, D et E qui ja-lonnent son parcours

Fig. 5 Plan du campus universitaire

1. Déterminer la position par rapport à la BU et à la stationde métro 4 cantons en représentant le vecteur position.

2. Représenter sur la gure la vitesse instantanée en préci-sant l'échelle utilisée et déterminer ses composantes.

3. Représenter sur la gure l'accélération instantanée.

4. Déterminer la distance sur la trajectoire depuis le pointA et les temps de passage en B, C, D et E.

Exercice 6 Mouvement rectiligne

Une bille, assimilée à un point, est lancée dans une gouttière in-clinée et la remonte. Dans le repère (O,−→e x), (ascendant) choisiselon sa trajectoire, à la date t = 0, le point occupe la positionM0 (x0 = 5 m) et a une vitesse −→v 0 = v0−→e x. Il est soumis àl'accélération −→a = a−→e x.

1. À quelle date t1 et en quel point M1 la billes'arrêtetelle ?

2. À quelle date t2 repassetelle enM0 ? Quel est alors sonvecteur vitesse ?

3. À quelle date t3 passetelle à l'origine ?

4. Préciser les phases de son mouvement pour t ≥ 0.

Application numérique v0 = 3 m.s−1 ; a = −2 m.s−2.

Exercice 7Un train roule à la vitesse de 72 km.h−1 ; après freinage, il ra-lentit de 0, 4 m.s−2. Trouver la durée de la phase de freinage etla distance à laquelle elle doit commencer avant l'arrêt du trainà la gare.

Exercice 8 Cinématique (DS1 2014)

Une voiture se déplaçant en ligne droite eectue une phase defreinage, caractérisée par un mouvement uniformément retardéde la voiture. L'objectif de cet exercice est de déterminer ladurée et la distance de freinage du véhicule.

On choisit le début de la phase de freinage comme instantinitial (t = 0) et on note :

−→v0 = −→v (t = 0) le vecteur vitesse initial de la voiture parrapport à la route.

−→a le vecteur accélération de la voiture par rapport à laroute.

(−→a est donc supposé constant sur toute la phase de freinage.)

1. Déterminer les lois horaires régissant l'évolution de la po-sition et de la vitesse de la voiture par rapport à la routepour t > 0.

2. Déterminer en fonction de a = ||−→a || et de v0 = ||−→v0 || ladurée ∆t nécessaire à l'arrêt du véhicule.

3. Déterminer en fonction de a et de v0 la distance D par-courue par la voiture entre l'instant t = 0 et l'instant oùla voiture s'arrête.

10


Exercice 9Le diagramme temporel de la vitesse verticale d'un ascenseurest donné par la gure 9.

1. Déterminer graphiquement le distance parcourue parl'ascenseur pendant les deux premières secondes. Pourcela montrer que la distance correspond à la valeur del'aire limitée par OA, l'axes des abscisses et l'axe verti-cal passant par A.

2. Calculer également la distance totale parcourue auxdates 3 s et 4 s.

3. Déterminer les accélérations (éventuelles) du point et tra-cer le diagramme a = f(t).

A B

CO

1O

1O t (s)

v (m/s)

Fig. 9

D Dynamique

Exercice 10Répondre aux questions suivantes en justiant le choix fait. Lessituations suivantes sont décrites dans un référentiel galiléen.

1. Toutes les actions, sauf une nécessitent l'interventiond'une force. Laquelle fait exception ?

(a) Faire passer un solide, assimilable à un point matérielde l'état de repos à l'état de mouvement.

(b) Conserver à cet objet un mouvement de vecteur vi-tesse constant.

(c) Modier la vitesse de cet objet sans changer le senset la direction du mouvement.

(d) Modier la direction du mouvement de cet objet sanschanger sa vitesse.

2. Un solide glisse sans frottement sur un plan incliné. Quelgraphique de la gure 10 représente la distance x parcou-rue par son centre d'inertie en fonction du temps t ? Ladistance x est mesurée dans un repère convenablementchoisi, associé au référentiel galiléen.

x

tO

x

tO

x

tO

x

tO

Fig. 10

Exercice 11 Raisonnement qualitatif

Utiliser la troisième loi de Newton pour décrire la progressiond'un nageur. En ottant dans l'espace, pourriez-vous avancer enbougeant vos mains et vos pieds comme si vous nagiez ?

Exercice 12Un corps de poids P = 3 N repose sur une table. On attacheune celle à ce corps an de la soulever. Si la celle rompt pourune tension de T = 4, 2 N, avec quelle accélération maximalepeuton tirer sur la celle.

Exercice 13 jeu du vrai-faux ! (DS Janv. 2016)

Attention, pour (a), (b) et (e), plusieurs réponses peuvent être bonnes.Mais, une réponse fausse enlève des points ! Ne répondez pas au ha-sard !

1. Pour un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse est constant et le vecteur accéléra-

tion est constant le vecteur vitesse varie et le vecteur accélération est

nul le vecteur vitesse est constant et le vecteur accéléra-

tion est nul

2. Pour un mouvement circulaire uniforme, la norme de la du vecteur vitesse est constante et la

norme de l' du vecteur accélération est constante la norme de la du vecteur vitesse varie et la norme de

l' du vecteur accélération est nulle la norme de la du vecteur vitesse est constante et la

norme de l' du vecteur accélération est nulle

3. Notre poids est-il le même sur Terre et sur Mars ? Justi-er votre réponse.

4. Notre masse est-elle la même sur Terre dans l'air et dansl'eau ? Justier votre réponse.

5. Un solide sur un support incliné, glissant sans frottement,a une vitesse qui dépend de l'angle de la pente du support incliné ? de l'accélération de pesanteur ? de sa masse ? de la planète sur laquelle il est placé ?

6. Le poids d'un mètre cube de uide est de 1000 Nà un endroit où l'accélération gravitationnelle estg = 10, 00 m.s−2. Si on déplace ce uide dans une ré-gion où g = 9, 50 m.s−2, son poids deviendra : 101, 9 N 950 N 9500 N Aucune de ces valeurs n'est exacte juste.

11


Exercice 14 Déplacement par lancement d'ob-jets

Imaginez que vous êtes sur des patins à roulettes (on négligela perte d'énergie par frottement) tenant un sac d'oranges. Sivous lancez l'une d'entre elles vers le nord, vous reculez versle sud, exactement comme un fusil lorsqu'il envoie un projec-tile. Pendant le lancement, vous poussez l'orange dans une di-rection et elle vous repousse dans la direction opposée. Lancezplusieurs oranges et vous avez une fusée à oranges ; c'est exac-tement le fonctionnement d'une fusée. Plutôt que de lancer unpetit nombre de grands objets, le moteur d'une fusée éjecte àgrande vitesse un très grand nombre de petits objets, des mo-lécules. C'est ainsi que les fusées sont propulsées dans l'espace,et non par une poussée contre le sol ou l'atmosphère.

Le patineur

1. En appliquant le principe de conservation de la quantitéde mouvement, décrire le mouvement du patineur (po-sition & vitesse au cours du temps) qui est initialementau repos, et qui à t = 0, lance une première orange àla vitesse ve = 4 m.s−1. On supposera que le patineur aau départ n = 2 oranges, qui ont chacune une masse demo = 1 kg. Le patineur a une masse mp = 79 kg. Onnéglige les frottements et on suppose que les roues despatins sont parallèles à la direction du lancement.

2. Continuer la description du mouvement du patineurlorsque ∆t plus tard, il lance une seconde orange. Lavitesse de lancement (vitesse de l'orange par rapport aupatineur) est toujours de ve.

La fuséeOn considère une fusée dans une région éloignée de l'espace quin'éprouve aucune force externe. Comme elle consomme du car-burant, sa masse M(t) varie avec le temps. Le taux auquel legaz est éjecté par le moteur, lorsqu'il est allumé, est de ρ kg/s(débit massique). Ce gaz est éjecté à la vitesse Ve par rapport àla fusée, qui a une vitesse V (t). Pour connaître l'évolution de la

fusée, on va appliquer le principe de conservation de la quantitéde mouvement entre le temps t et le temps t+ ∆t, sachant quela durant l'intervalle ∆t, la fusée a éjecté la masse ∆M , et quesa vitesse a augmentée de ∆V (Fig. 14).

v v+Δv

M M-ΔM

t t+Δt

ΔM

vc

Fig. 14

1. Exprimer ρ en fonction de ∆M et de ∆t.

2. Exprimer la vitesse des particules éjectées Vc en fonctionde V et Ve

3. Appliquer le principe de la conservation de la quantitéde mouvement au système (fusée + carburant) entre letemps t et le temps t+ ∆t, et faire apparaître le terme ρ.

4. Remplacer les petites variations (∆t, ∆v) par des va-riations innitésimales (dt, dV ), pour en déduire que lafusée a une accéleration égale à Veρ/M. Est-ce que cetteaccélération est constante ?

5. On appelle "poussée" la force eective que ressent la fuséedue à l'éjection du carburant. Quelle est son expression ?Est-elle constante ?

6. Application numérique : calculer la valeur de la forcede poussée et de l'accélération initiale sachant queρ = 2700 kg/s, ve = 2500 m/s et que la masse initiale dela fusée est de 3000 tonnes (valeurs de Saturn V, lanceurde la NASA utilisé pour les missions Apollo).

12


Interactions gravitationnelle et coulombienne -TD 4, 5 & 6

A Objectifs

1. Maîtriser la loi de gravitation universelle−→F = −Gm1m2

r2−→e r ;

2. Déterminer le champ de gravitation induit par une distribution de masse ;

3. Maîtriser la force de Coulomb−→F = 1

4πε0

q1 q2r2−→e r ;

4. Déterminer le champ électrique induit par une distribution de charge ;

5. Déterminer la force électrostatique−→F = q

−→E

6. Traiter les exercices dans repères galiléens

7. Résoudre un problème de mécanique préciser le système considéré ; choisir le référentiel galiléen et le munir d'un repère orthonormé rechercher les forces appliquées au système ; faire un schéma représentant le système et les forces s'y appliquant ;

appliquer la relation fondamentale de la dynamiqued−→pdt = Σ

−→F ext

préciser les conditions initiales ; calculer par deux intégrations successives la vitesse, puis les équations horaires permettant de déterminer le

centre d'inertie ; déterminer la trajectoire.

B Champ de gravitation

Exercice 15 Questions de cours

1. Deux projectiles de masses diérentes sont lancés avecla même vitesse, verticalement. Atteindront-ils la mêmehauteur ?

2. Dénir les termes : interaction gravitationnelle ; champsde gravitation uniforme ; satellite géostationnaire.

3. Exprimer l'unité de la constante gravitationnelle G enfonction des unités du système international. Même ques-tion pour la constante G.Ms (Ms désignant la masse duSoleil). La constante G.Ms (Ms estelle une constanteuniverselle ?

Exercice 16 Questions de cours (DS1 2014)

On considère un corps ponctuel de masseM placé en un point Ode l'espace et un corps ponctuel de masse m placé en un pointP de l'espace. La distance séparant ces deux corps est notéed = OP .

1. Représenter sur un schéma clair la force−→F exercée par

l'objet de masse M sur l'objet de masse m.

2. Donner l'expression mathématique de la norme F = ||−→F ||de la force exercée par le corps de masse M sur le corpsde masse m.

3. Donner l'expression mathématique de la force−→F exercée

par le corps de masse M sur le corps de masse m.

4. Dénir le champ gravitationnel généré par le corps demasse M en un point P repéré par le vecteur −→r =

−−→OP .

Exercice 17 Force de pesanteur

Dans cet exercice, on négligera les eets de la rotation des corpscélestes sur le champ de pesanteur qui sera assimilé au champde gravitation ; les corps pesanteur seront considérés sphériques.(R⊕ = 6400 km)

Tab. 17 Rayons et masses de quelques corps célestes

Objet Masse (M⊕) Rayon Terrestre (R⊕)

Mercure 0,053 0,3825Vénus 0,815 0,9488Terre 1 1Mars 0,107 0,53226Lune 0,012 0,2726Vesta 4,5 10−5 0,0414

1. Déterminer le poids d'une masse de 1 kg à la surface descorps célestes de la table 17.

2. À quelle altitude l'accélération de la pesanteur est-elledivisée par deux ?

13


Exercice 18 Expérience de Cavendish

L'expérience de Cavendish 5 a été la première expérience pour me-surer la force de gravité entre masses en laboratoire et la premièreà produire des valeurs précises pour la constante de gravitation. Enraison des conventions de l'unité alors en usage, la constante de gra-vitation n'apparaît pas explicitement dans le travail de Cavendish. Aulieu de cela, le résultat a été exprimé comme le poids spécique de laterre, ou de manière équivalente de la masse de la Terre. Son ex-périence a donné les premières valeurs précises pour ces constantesgéophysiques.

Fig. 18 Balance de Cavendish

La gure 18 illustre le dispositif utilisé par Cavendish pour

mesurer la constante de gravitation G. Il s'agit d'un pendule detorsion constitué de deux petites sphères identiques de massem,disposées aux extrémités d'une tige de longueur 2l, suspendueen son milieu à un l dont la constante de torsion est C . On ad-mettra pour les besoins de l'exercice qu'une torsion d'un angle θcorrespond à une force d'intensité C

2lθ de direction orthogonaleà la tige à chacune de ses extrémités. Deux grosses sphères demasse M sont approchées des deux petites sphères à la distancer. La tige eectue alors une très petite rotation, le l se tordantd'un angle α.

1. Étudier l'équilibre nal de la tige et montrer que laconstante de gravitation est donnée par l'expression :

G =C α (r − l α)

2

2Mml.

2. Calculer sa valeur avec m = 50 g ; M = 30 kg ;C = 4, 5 10−7 N.m.rad−1 ; r = 0, 15 m ; l = 10 cm etα = 1, 98 10−3 rad.

Exercice 19Le Soleil attire les objets à la surface de la Terre avec une plusgrande force que la Lune. Cependant le phénomène de maréeest principalement provoqué par l'agencement de la Lune, pour-quoi ?

C Force électrostatique

Exercice 20Le modèle de l'atome d'hydrogène en mécanique classique consi-dère un électron (de masse me = 9, 109× 10−31 kg et de chargeqe = −1, 602× 10−19 C) orbitant autour d'un proton (de massemp = 1, 672 × 10−27 kg et de charge qp = 1, 602 × 10−19 C) àune distance de l'ordre de l'Angstr÷m.

1. Déterminer la force d'interaction coulombienne du pro-ton sur l'électron.

2. Déterminer la force d'interaction gravitationnelle du pro-ton sur l'électron.

3. Conclure.

Exercice 21Deux ions Na+ et Fe2+ sont maintenus xes à une distance dl'un de l'autre. Déterminer, en l'absence d'autre charge la (oules) positions d'équilibre stable d'un ion Cl− dans l'espace.

Exercice 22Une petite sphère de centre S est attachée au point O par unl isolant de masse négligeable et de longeur l. La sphère, demasse m, porte une charge électrique q.

1. On applique un champ électrostatique uniforme−→E hori-

zontal. Le l s'incline alors, dans le sens du champ, d'unangle α = 10 degrés par rapport à la verticale.En déduire la valeur de la charge q en fonction de E, met α.

2. On superpose au champ électrostatique précédent unautre champ électrique uniforme

−→E′, vertical.

Quels doivent être le sens et l'intensité du champ−→E′pour

que le l s'incline d'un angle double ?

A.N : m = 5 10−2 g ; α = 10 ; E = 103 V.m−1.

5. réalisée en 1797-1798 par le scientique britannique Henry Cavendish

14


D Mouvement dans un champ gravitationnel

Exercice 23 Résolution mathématique

Cet exercice est un prérequis pour l'ensemble des exercices de ce

chapitre, il est inutile d'attaquer les exercices suivants tant que

celui-ci n'est pas parfaitement maîtrisé

On étudie le mouvement du centre de masse d'un corps, demasse m, en mouvement dans un uide par rapport à un réfé-rentiel galiléen. Ce corps est soumis à l'action unique d'une forceconstante

−→F . On note

−−→OM(t) et −→v (t) les vecteurs position et

vitesse instantanée du centre de masse par rapport au référentielgaliléen. À la date t = 0, le centre de masse est confondu avecle point géométrique M0 et possède une vitesse

−→V 0.

1. Montrer que l'application du principe fondamental de ladynamique conduit à l'équation diérentiellem d

−→vdt =

−→F

2. En déduire rigoureusement les expressions des vecteursaccélération instantanée, vitesse instantanée et position,et montrer qu'elles s'expriment sous les formes suivantes −→a (t) = 1

m

−→F ,

−→v (t) = 1m

−→F t+

−→V 0,

−−→OM(t) = 1

2m

−→F t2 +

−→V 0 t+

−−→0M0.

3. Quelle est la nature du mouvement ?

4. Sous quelles conditions le mouvement estil plan ?

Exercice 24 Mouvement parabolique

Dans le repère orthonormé (O,−→e x,−→e y,−→e z),(−→e z vertical ascendant) un projectileponctuel est lancé dans l'espace du pointOà la date t = 0 avec la vitesse −→v 0 = v0−→e x.On suppose que la particule n'est soumisequ'à l'accélération de la pesanteur (on né-glige la résistance de l'air).

1. Montrer que la trajectoire est plane. Déterminer ce plan.

2. Écrire les lois horaires x(t) et z(t) du mouvement duprojectile, puis l'équation cartésienne z = f(x) de sa tra-jectoire.

3. Déterminer le vecteur vitesse et la valeur de la vitesse duprojectile à la date t1 = 0, 5 s ainsi que les coordonnéesde sa position M1.

4. À quelle date t2 le projectile rencontretil leplan z = −5 m?

Application numérique : v0 = 3 m.s−1 ; a = −10 m.s−2.

Exercice 25An de mesurer la vitesse initiale v0, d'un projectile sortant d'unpistolet jouet, on tire verticalement depuis un point O pris pourorigine et situé à 2 m au-dessus du sol. Le projectile retombesur le sol 2,5 s après son départ. Calculer la vitesse v0.

Exercice 26 Dynamique (DS Janvier 2015)

Un enfant lance une balle en l'air selon la direction verticale z.

A l'instant du lâcher, la balle de masse m se situe à une hauteurH par rapport au sol et elle est animée d'une vitesse −→v0 = v0−→ez(v0 > 0) où −→ez est un vecteur unitaire colinéaire à l'axe z. Lorsdu mouvement, on néglige les frottements de l'air et on supposeque la balle n'est soumise qu'à son poids. On suppose que lechamp de pesanteur −→g = −g−→ez (g > 0) est constant.

1. Déterminer l'accélération de la balle au cours du mouve-ment.

2. Déterminer les lois horaires gouvernant l'évolution de lavitesse vz(t) et de la position z(t) selon l'axe z.

3. Déterminer l'expression de la hauteur maximum HM at-teinte par la balle par rapport au sol en fonction de g, Het v0.

4. Déterminer l'expression de la vitesse vM de la balle re-tombant au sol en fonction de g, H et v0.

Exercice 27 Coup de pied de pénalité (DS Juin 2015)

On se propose d'étudier un coupde pied de pénalité au cours d'unmatch de rugby. Au moment ducoup de pied, le ballon de masse500 g se trouve au sol en un pointO face au poteaux situés à une dis-tance de 60 mètres du point O. Le botteur (tireur) le faitpartir dans le plan (O,−→e x,−→e z) avec un angle α = 60 degréspar rapport à l'horizontale.

La vitesse initiale du ballon est de v0 = 20 m.s−1. On négli-gera l'action de l'air ; on admettra que le champ de pesanteur devaleur g = 10 m.s−2 est uniforme et on étudiera le mouvementdu centre d'inertie du ballon.

1. Etablir l'équation de la trajectoire du centre d'inertie duballon dans le plan (O,−→e x,−→e z) en fonction de g, α etv0. Montrer que celle-ci peut se mettre sous la forme :

z =−gx2

2v20 cos2 α+ tanαx

2. Pour marquer, il faut que le ballon passe au-dessus de labarre transversale qui se trouve à la hauteur H = 3 mau-dessus du sol. La pénalité est-elle marquée ?

3. Donner l'expression littérale, puis calculer, la durée entrel'instant du tir et l'arrivée du ballon au sol.

Exercice 28 Saut à ski (DS Octobre 2015)

Un skieur, assimilable à un corps ponctuel de masse m, s'élancesans vitesse initiale depuis le haut d'une pisteO1 sur un tremplinde saut à ski (g. 28). On suppose qu'il glisse sans frottementsur une distance d = O1A, sur la piste inclinée d'un angle α parrapport à l'horizontale. Puis le skieur saute en A suivant unedirection β par rapport à l'horizontale. Au point A de hauteurh par rapport au sol, le skieur possède une vitesse de norme v.Il atterrit au sol au point B.

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On négligera l'inuence de la courbure de la piste autourdu point A. On négligera de plus tous les frottements dans l'air.Les phases du mouvement sont étudiées en deux partiesindépendantes.

Fig. 28

Partie 1 : Le mouvement de O1 à A.On choisit un repère le long du tremplin avec pour origine lepoint O1 d'où part le skieur sans vitesse initiale à t = 0.

1. À partir d'un bilan des forces agissant sur le skieur, dé-terminer la composante de l'accélération suivant O1A.

2. Déterminer les lois horaires régissant l'accélération, la vi-tesse et la position du skieur.

3. En déduire la vitesse du skieur au point A en fonction deg, d et α

Partie 2 : Le saut de A à B.On suppose que le skieur ne donne aucune impulsion en A. Aupoint A, il a donc une vitesse de norme égale à et le vecteurfait un angle [F062 ?] avec la direction horizontale −→e x. Pourcette étude, l'origine du repère est choisie en O2 et les vecteursunitaires −→e x et −→e z sont portés respectivement par les droitesO2B et O2A. L'origine du temps est choisie au moment où leskieur entame son saut.

Le champ de pesanteur est supposé homogène, vertical etdirigé vers les z négatifs.

1. À partir d'un bilan des forces, déterminer les compo-santes de l'accélération du skieur suivant les axes dénispar (O2,−→e x) et (O2,−→e z).

2. Donner l'expression des équations horaires de la vitesseet de la position du skieur. En déduire l'expression de satrajectoire en fonction de ? ? , β, g et h = O2A.

3. En déduire la distance L = O2B en fonction ? ?, β, g eth.

Exercice 29 Parabole de sûreté

Calvin lance une boule de neige, assimilée à un point matérielMde masse m,du point A de l'espace de coordonnées (0, zA) avecune vitesse v0, sous un angle α avec l'horizontale. On négligerala résistance de l'air.

1. Trouver l'équation de la trajectoire dans le champ de pe-santeur −→g supposé uniforme.

2. Exprimer la portée et la èche (altitude maximale at-teinte), en fonction de v0, α, za et g.Calculer la potée maximale et la valeur correspondantede l'altitude atteinte, dans le cas où v0 = 4 m.s−1,α = 25o et za = 1 m.

3. La vitesse étant xée, comment choisir l'angle de tir αpour que la trajectoire passe par le point B de l'espacede coordonnées (xb, zb) ?Application numérique : v0 = 4 m.s−1 ; za = 1 m ;zb = 1 m ; xb = 10 m.

Exercice 30Une petite bille d'acier de masse m = 200 g, est abandonnéesans vitesse, de la hauteur h, audessus d'une plaque d'acierhorizontale placée sur le sol. Elle tombe, rebondit verticalementet remonte à la même hauteur.

1. Exprimer sa vitesse juste avant le choc sur la plaque enfonction de h et de g, accélération de la pesanteur. Cal-culer la valeur de v pour h = 5 m.

2. Calculer la valeur de la quantité de mouvement −→p , de labille, juste avant le choc.

3. Quel est le vecteur quantité de mouvement −→p ′ de la billebille juste après le choc ? Justier.

4. Déterminer alors la force−→F , supposée constante, que la

plaque a exercée sur la bille au cours du choc qui durée∆t = 0, 02 s.

5. En appliquent le principe des actions réciproques aucours du choc, déterminer la force

−→F′que la bille a exer-

cée sue la plaque posée au sol.

Exercice 31 Problème (calcul)

Un avion A vole à l'altitude h avec la vitesse horizontale v1.À l'instant où il se trouve à la verticale du canon B, celui-citire sur l'avion. On suppose que l'obus tiré n'est soumis qu'àl'accélération de la pesanteur (on néglige la résistance de l'air).

Déterminer l'altitude maximale de l'obus. Quel condition doit remplir la vitesse initiale de l'obus−→v 0 pour faire mouche ?

Lorsque le tire fait mouche, quelle est la trajectoire del'obus pour le pilote de l'avion.

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E Mouvement d’une particule chargée dans un champ uniforme

Exercice 32Un électron (de masse m = 9, 109 × 10−31 kg et de chargeq = −1, 602× 10−19 C) suit une trajectoire rectiligne uniformehorizontale à une vitesse v. À l'instant initial, l'électron pénètredans une portion de l'espace de longueur d où il règne un champélectrique E vertical et ascendant.

1. Établir les équations horaires du mouvement et la trajec-toire.

2. Déterminer la déexion angulaire de l'électron due auchamp électrique.

Exercice 33 Tube cathodique

Un tube cathodique est un tube àvide constitué d'un canon à élec-tron dont le faisceau est déviépar interaction électrostatiqueavant de frapper l'écran, sur le-quel est déposée une couche élec-troluminescente réagissant auchoc des électrons en créant un point lumineux.

Le tube cathodique fut utilisé pendant plusieurs dizaines d'annéespar la plupart des postes de télévision, des écrans d'ordinateur et desoscilloscopes, jusqu'à l'avènement des écrans LCD et écrans plasmas.

Dans un tube sous vide (Fig. 33), un faisceau d'électronsest émis, sans vitesse initiale, par une cathode C. Ce faisceauest accéléré par un champ électrique horizontale d'intensité Ea,dirigé de la plaque P vers la cathode C. L'intensité du champélectrique d'accélération Ea dépend de la tension U appliquéeentre la plaque et la cathode et de la distance d de la manièresuivante Ea = U

d .

1. Étudier le mouvement des électrons entre la plaque et lacathode pour déterminer les lois horaires du mouvementet la trajectoire.

2. En déduire que la vitesse des électrons arrivant sur laplaque ne dépend pas de d.

3. Calculer U pour que les électrons arrivent sur la plaqueavec la vitesse v1 = 25 000 km.s−1.

C

A

HIO

P

B

lD

ÉcranE

a

d

Fig. 33 Schéma de principe d'un tube cathodique

La plaque P est percée d'un trou et le faisceau entre ensuite,suivant l'axe horizontal (0,−→e x), avec la vitesse v1, entre les ar-matures A et B de forme carrée d'un condensateur plan où règneun champ électrique vertical uniforme et constant

−→E d d'inten-

sité Ed.

On note : h la distance entre les deux armatures ; l leur lon-gueur ; D la distance au centre I du condensateur à l'écran.

4. Calculer la trajectoire d'un électron entre les armatures.

5. Montrer que, sur l'écran, la déviation est proportionnelleà Ed. Calculer cette déviation pour Ed = 400 V.m−1 ;D = 0.4 m ; l = 0, 1 m.

Exercice 34Deux plaques métalliques rectangulaires A et B, de longueur l,horizontales, produisent dans l'espace qui les sépare un champélectrique uniforme

−→E , dirigé vers le haut (Fig. 34). On a choisi

un repère (O,−→e x,−→e y) dans un plan vertical. À la distance l deO, en C, on a placé un écran, perpendiculaire à (O,−→e x). Lors-qu'un faisceau électronique frappe l'écran, on observe une tachelumineuse.

1. Un électron arrive en O avec la vitesse −→v 0, contenue dansle plan (O,−→e x,−→e y). La mesure α de l'angle (−→e x,−→v 0) estcomprise entre −π2 et π

2 . Établir l'équation de la trajectoire de cet électron.

Quelle est la nature géométrique de cette trajectoire ? Exprimer la condition qui doit être vériée par α si

l'on veut que l'électron arrive sur l'écran en C.

2. On envoie maintenant un faisceau d'électrons homo-cinétique entièrement situé dans le plan (O,−→e x,−→e y),convergent en O, de demiangle au sommet β. La traceobservée sur l'écran estelle ponctuelle ? Sinon, quelle estsa longueur ?

Données numériques : l = 15 cm ; E = 790 V.m−1 ;v0 = 107 m/s.

v0

l

O

B

x

y

E

A

Cα

Fig. 34

Exercice 35 Déviation d'un proton par un champélectrique (DS1 2014)

On considère un proton émis sans vitesse initiale au niveaud'un point A de coordonnées (xA = −D, yA = 0) situé en sortied'une chambre d'ionisation (voir gure). Ce proton est accélérésous l'action d'un champ électrique uniforme

−→E1 régnant entre

deux plaques métalliques parallèles situées en x = −D et enx = 0. On notera q la charge électrique du proton (q > 0) et msa masse.

Dans tout l'exercice, on négligera les forces gravitationnellesdevant les forces électrostatiques.

1. On considére que le champ−→E1 est parallèle à un axe

(Ox) de vecteur unitaire −→ex de sorte que−→E1 = E1

−→ex

17


(avec E1 > 0). Déterminer dans le repère (O,−→ex,−→ey) lescomposantes du vecteur accélération −→a1 du proton entrele point A et le point O de coordonnées (xO = 0, yO = 0).

2. Dans le repère (O,−→ex,−→ey), déterminer les composantes duvecteur vitesse −→vO du proton au point O en fonction deD, E1, q et m .

ey

ex

E2E1

OA B x

x=−D x=L

y

Fig. 35 Déviation d'un proton par un champ électrique

On s'intéresse maintenant au mouvement du proton dans unerégion de l'espace située entre x = 0 et x = L (Fig. 35). Danscette région règne un champ électrique

−→E2 parallèle à l'axe Oy :−→

E2 = E2−→ey (avec E2 > 0).

3. Déterminer l'accélération −→a2 subie par le proton danscette région de l'espace.

4. Considérant que le proton dispose de la vitesse initiale−→vO calculée à la question 2, déterminer les lois horairesx(t) et y(t) donnant l'évolution dans le temps de la po-sition du proton dans le repère (O,−→ex,−→ey). Représenterschématiquement l'allure des fonctions x(t) et y(t).

5. Déterminer l'équation de la trajectoire du proton dansle repère (O,−→ex,−→ey). Représenter schématiquement cettetrajectoire et faites-y gurer le vecteur vitesse en un pointarbitrairement choisi.

Exercice 36 DS Janvier 2016

dO

α

−→v 0−→e y

−→e xS−→

E

l

Fig. 36 Schéma du condensateur

Entre deux plaques d'un condensateur (Fig. 36), espacéesd'une distance d, une particule de masse m et de charge q po-sitive pénètre en O, au milieu entre les deux plaques. La Levecteur vitesse initiale −→v 0 situé dans le plan (O,−→e x,−→e y) fait

un angle α avec le vecteur unitaire −→e x. Le champ électrique−→E régnant entre les deux plaques est dirigé en sens opposé à−→e y :

−→E = −E−→e y (E > 0). Le poids est négligé devant la force

électrostatique.

1. Trouver les composantes du vecteur accélération de laparticule selon −→e x et −→e y. Représenter le vecteur accélé-ration sur le votre schéma.

2. Trouver les composantes du vecteur vitesse de la parti-cule dans le repère (O,−→e x,−→e y).

3. Trouver les composantes du vecteur position de la parti-cule dans le repère (O,−→e x,−→e y).

4. En supposant que la charge est positive, quelles doiventêtre la longueur l des plaques et la distance minimale dpour que la particule ressorte en S, en fonction de α, q,m, E et −→v 0 ?

Exercice 37 Accélérateur d'électrons

Les chercheurs surent accélérer les électrons dès le début de XXe siècleet il utilisèrent la mécanique relativiste dès 1930, lors de la mise enservice des premiers cyclotrons.

En 1964, W. Bertozzi, au M.I.T. à Boston, a réalisé, dans unbut pédagogique, une expérience très claire pour illustrer le problème.Il utilisa un petit accélérateur linéaire d'électrons, dont il t varierla tension accélératrice u de 0 à 15 MV, pour bombarder une cibled'aluminium. Les mesures d'échauement de la cible montrèrent uneénergie cinétique proportionnelle à e et u. Mais les mesures très pré-cises de temps de vol des électrons, donc de leur vitesse (Tab. 37)montrèrent que : Ec 6= 1

2mv2.

Ec (MeV) 0,5 1 1,5 4,5 15vc 0,752 0,828 0,922 0,974 1,0

Tab. 37 Résultats de l'expérience de Bertozzi

Un électron initialement au repos dans le référentiel du labo-ratoire est accéléré par un champ électrique uniforme E pendantun temps τ .

1. Établir l'équation horaire du mouvement : dans le cadre de la mécanique classique (−→p = m−→v ) ; dans le cadre de la mécanique relativiste

(−→p = m−→v√1+v2/c2

).

2. Superposer sur un même graphique les deux résultatspour la vitesse nale l'électron si τ = 1 ms et E varie de0 à 10 V/m ; calculer la distance parcourue à t = τ .

On suppose maintenant que le champ électrique est appliqué surune distance d.

3. Déterminer la vitesse nale de l'électron.

4. À partir de quelle intensité du champ électrique E la cor-rection relativiste est-elle signicative ?Faire l'application numérique pour d = 1 m.

18


F Mouvement en présence d’un frottement fluide

Exercice 38 Frottement uide

Un frottement uide est une force de frottement qui s'exerce sur

un objet qui se déplace dans un uide ; elle dépend de la vitesse

relative de l'objet et du uide. L'exemple typique est celui d'une

bille qui tombe dans un liquide visqueux : plus elle va vite, plus

la force de frottement uide qui s'exerce sur elle est importante,

jusqu'à ce que soit atteint un régime d'équilibre où la force de

frottement compense exactement la force de gravitation : la vi-

tesse de la bille devient alors constante.

Dans certaines conditions on peut admettre que la force de

frottement uide qui s'exerce sur elle est de la forme−→F = −k−→v ,

où k représente le coecient de résistance de l'objet dans le li-

quide en question et−→V sa vitesse instantanée.

On étudie le mouvement du centre de masse d'un corps enmouvement dans un uide par rapport à un référentiel galiléen.Ce corps est soumis à l'action d'une force constante

−→F et d'une

force de frottement uide−→f = −k−→v , où −→v est la vitesse ins-

tantanée du centre de masse par rapport au référentiel galiléen.

1. Montrer que l'application du principe fondamental de ladynamique conduit à l'équation diérentielle

md−→vdt

=−→F − k−→v

2. Vérier que l'expression −→v (t) =−→A exp

(− km t)

+ 1k

−→F est

solution de l'équation diérentielle (−→A est une constante

vectorielle).

3. En posant −→v (t = 0) =−→V 0, où

−→V 0 est la vitesse ini-

tiale, montrer que la solution de l'équation diérentielles'écrit :

−→v (t) =−→V 0 exp

(− kmt

)+−→F

1− exp(− km t)

k.

4. Quelle est la nature du mouvement aux temps longs(t→∞) ? Que représente le rapport k/m ?

5. En déduire une forme approchée du mouvement dans lescas limites suivants : k → 0 et m→ 0.

6. Quel est le sens physique de ces deux cas limites ?

Exercice 39 Expérience de Millikan

Vers 1906, le physicien Robert Andrew Millikan (1868-1953) essayade mesurer la charge électrique élémentaire, charge qu'étaient censésporter les hypothétiques corpuscules de matière lors de phénomènesélectriques. Sa méthode expérimentale est basée sur le fait que desgouttelettes d'huile pulvérisée ont une légère charge électrique acquiselors de la pulvérisation (électricité statique) : on peut donc inuen-cer leur mouvement grâce à un champ électrique. Par l'étude de cesgouttes, Millikan montra que leurs charges étaient des multiples d'unemême charge élémentaire -e.

Fig. 39 Schema du dispositif utilisé par Millikan

On pulvérise des gouttes d'huile entre deux armatures mé-talliques (condensateur plan) entre lesquelles règne un champélectrique uniforme. On observe les gouttelettes avec une lunettede visée de façon à mesurer à l'aide d'un micromètre étalonné ladistance parcourue et à l'aide d'un chronomètre le temps corres-pondant : on en déduit la vitesse de la gouttelette sélectionnée(Fig. 39)

Dans le cas d'une modélisation simple, une goutteletted'huile est soumise à quatre forces :

son poids :−→P = 4

3πr3ρh−→g avec r rayon de la gouttelette,

ρh la masse volumique de l'huile et g l'accélération de lapesanteur ;

la force électrostatique :−→F E = q

−→E avec q la charge de

la gouttelette et E le champ entre les électrodes ; la poussée d'Archimède :

−→F A = − 4

3πr3ρa−→g avec ρa la

masse volumique de l'air ; la force de traînée (résistance de l'air) dont l'expres-

sion la plus simple est probablement la loi de Stokes :−→F R = −6πηr−→v avec η coecient de viscosité de l'air etv vitesse de la gouttelette.

Si les valeurs de ρa, η et ρh sont connues, alors on peut mesurerla charge q de la gouttelette de plusieurs méthodes diérentes.

Méthode de l'équilibrePrincipe de la méthode : dans un premier temps, champ élec-trique E est nul, et on mesure la vitesse limite v0 de la gouttepour déterminer le rayon inconnu de la goutte r0. Puis on ajustele champ électrique jusqu'à ce que la goutte soit immobiliséepour déterminer la charge.

1. Le champ électrique E est nul. Déterminer la vitesse li-mite v0 de chute de la goutte.

2. Montrer que la mesure de v0 permet de déterminer lerayon r0 de la goutte.

3. Le champ électrique est maintenant réglé à une intensitéE1 tel que la goutte soit en équilibre. Connaissant r0,montrer que la mesure de E1 permet de déterminer lacharge q de la gouttelette d'huile.

Méthode à champ constantPrincipe de la méthode : on mesure la vitesse de la goutte pourles deux polarités du champ et on détermine avec ces deux me-sures le rayon r et la charge q de la goutte.

1. Le champ électrique est vertical descendant d'intensitéE2. Déterminer la vitesse limite v+ de chute de la goutte.

19


2. Le champ électrique est vertical ascendant d'intensité E2.Déterminer la vitesse limite v− de chute de la goutte.

3. Combiner les deux mesures v+ et v− pour déterminerle rayon et la charge de la goutte, on supposant connuel'intensité E2 du champ.

Exercice 40 Chute d'une bille dans l'air

Une bille de masse m tombe selon la verticale. Initialement savitesse est nulle. Elle est soumise à la gravité et à une forcede frottement visqueux de coecient k. On néglige la pousséed'archimède.

1. Faire un schéma, placer les forces et appliquer le principefondamental de la dynamique (2ème loi de Newton).

2. Il existe un régime pour lequel la vitesse est constante etmaximale. Trouvez l'expression de cette vitesse, que l'onnotera vmax.

3. On peut aussi connaître la valeur de la vitesse à tout ins-tant. Pour cela, résolvez l'équation diérentielle du pre-mier ordre (sur la vitesse), obtenue en (a) en trouvantd'abord la solution de l'équation sans second membre(notée v0(t)), et ensuite la solution de l'équation avec se-cond membre (v(t) = v0(t)+C, avec C une constante quel'on trouvera en remplaçant v(t) dans l'équation diéren-tielle avec second membre). Utilisez la condition initialepour connaître la valeur de la constante restante.

4. Application :Un petit garcon veut connaitre la profondeur d'un puits

(vide). Pour cela il lance une bille de masse m = 50 g etchronomètre le temps à attendre pour entendre le son duchoc de la bille avec le fond du puit. Il chronomètre 2 se-condes. Qu'elle est la profondeur du puit ? (on négligele temps de propagation du son dans l'air). On pren-dra comme coecient de frottement de l'air sur la billek = 2× 10−5 kg s−1 (air à 20C, bille de rayon 10 cm).Quelle correction faut-il eectuer pour tenir compte dela célérité nie (340 m/s) du son dans l'air.

Exercice 41De la terrasse d'un immeuble de 20m de haut, un enfant aban-donne une bille sans vitesse.

1. Combien de temps après, un autre enfant situé 5 mplus bas doitil lâcher sans vitesse, une autre bille, pourqu'elles arrivent ensembles au sol ?

2. Où était la première bille lorsque la deuxième fut aban-donnée ?

3. Reprendre l'exercice en tenant compte d'une force defrottement de l'air sur la bille d'expression

−→f = −6πηr−→v

où r est le rayon de la bille et η le coecient de viscositéde l'air (η = 1, 8 0−5 SI.

20


Force de Lorentz -TD 7&8

A Objectifs

1. Maîtriser les mouvements circulaires uniformes.

2. Utiliser l'accélération dans la base de Frenet ;

3. Maîtriser le produit vectoriel dans un repère cartésien.

4. Résoudre un problème de mécanique en présence d'une force de Lorentz−→F = q−→v ∧ −→B :

préciser le système considéré ; choisir le référentiel galiléen et le munir d'un repère orthonormé Identier les forces appliquées au système ; Faire un schéma représentant le système et les forces s'y appliquant ;

Appliquer la relation fondamentale de la dynamiqued−→pdt = Σ

−→F ext

préciser les conditions initiales ; calculer par deux intégrations successives la vitesse, puis les équations horaires permettant de déterminer le

centre d'inertie ; déterminer la trajectoire.

B Mouvement circulaire

Exercice 42 mouvement circulaire uniforme

On considère un pointM se deplaçant dans le plan (O,−→e x,−→e y)suivant un mouvement régi par les lois horaires suivantes :

x(t) = A cos(ωt); y(t) = A sin(ωt)

où A et ω sont deux constantes positives.

1. Montrer que la trajectoire est un cercle de rayon A

2. Calculer les composantes du vecteur vitesse en coordon-nées Cartésiennes. Montrer que le vecteur vitesse est per-pendiculaire au vecteur accélération.

3. Calculer les composantes du vecteur accélération en co-ordonnées Cartésiennes. Montrer que le vecteur accéléra-tion est colinéaire au vecteur position mais que son sensest opposé à celui du vecteur position.

Exercice 43 Mouvement circulaire

Une bille, supposée ponctuelle, xée à un l de longueurR = 1, 5 m décrit un cercle de centre O à la vitesse constantev =√

2 m.s−1.

1. Déterminer les caractéristiques de son vecteur vitesse−→v à un instant t quelconque.

2. Déterminer les caractéristiques de son vecteur accéléra-tion −→a , au même instant.

3. Calculer la valeur de sa vitesse angulaire ω.

4. Donner les lois horaires s(t) et α(t) du mouvement de labille.

5. Calculer la période de son mouvement.

Exercice 44Un train dont la vitesse initiale est de 54 km.h−1 a parcouru600 m dans les premières 30 s. Déterminer la vitesse et l'accélé-ration du train à la n de la 30e seconde

si le train roule en ligne droite. si le train roule suivant une circonférence de rayon

R = 1 km.On supposera accélération tangentielle constante.

Exercice 45Une pierre pesant 3 N est attachée à une celle longue de 1 met décrit une circonférence dans le plan vertical. Déterminer laplus petite vitesse angulaire ω de la pierre pour laquelle la cellese rompt, si la résistance à la rupture est de 9 N.

21


C Force de Lorentz

Exercice 46Dans le repère cartésien, (O,−→e x,−→e y,−→e z) trouver la force quiagit sur une particule de charge q et en déduire l'accélération dela particule si :

1. La particule a une vitesse initiale −→v = v0−→e x, dans unchamp magnétique

−→B = B0

−→e x.2. La particule a une vitesse initiale −→v = v0−→e x, dans un

champ magnétique−→B = B0

−→e y.3. La particule a une vitesse initiale −→v = v0−→e x + v0−→e y,

dans un champ magnétique−→B = B0

−→e y +B0−→e z.

4. La particule a une vitesse initiale −→v dans le plan(O,−→e x,−→e y) et dont sa direction fait un angle θ avecl'axe (O,−→e x), dans un champ magnétique

−→B = B0

−→e y.

Exercice 47Une particule de masse m et de charge q (q>0) ayant une vi-tesse initiale −→v 0 est placée dans un champ magnétique uni-forme

−→B . On suppose que

−→B⊥−→v 0 . Dans un repère orthonormé

(O,−→e x,−→e y,−→e z), on a : −→v 0 = v0−→e x et−→B = B0

−→e z. La parti-cule est placée en O à t = 0,

−−→OM(t = 0) =

−→0 .

1. Rappeler l'expression de la force de Lorenz. Faire unschéma représentant le problème à l'instant t = 0. Préci-ser, notamment, le vecteur force et le vecteur accélérationà l'instant t = 0.

2. Rappeler l'expression du vecteur accélération dans le re-père de Frenet. En déduire que à tout instant t, l'accé-lération est normale et que la norme du vecteur vitessereste constante.

3. Montrer que le vecteur accélération est contenu dans leplan (O, x, y). En déduire que le mouvement de la parti-cule est plan et que la norme du vecteur accélération estconstante.

4. Déduire que le mouvement est circulaire uniforme derayon R = mv0

q B

Exercice 48Quelle est la vitesse d'une particule α animée d'un mouvementcirculaire uniforme de rayon 1 m dans un champ magnétique de0,1 T ?

Exercice 49Combien de tours par seconde un électron eectue-t-il lorsqu'ilévolue dans un champ magnétique de 50 mT orthogonal à savitesse initiale ? Ce résultat dépend-il de la vitesse initiale del'électron ? De la valeur de champ ?

Exercice 50On injecte des électrons dans un champ magnétique uniforme−→B . La vitesse −→v de ces électrons fait un angle de θ avec

−→B .

1. Déterminer, en grandeur et en direction, l'accélérationdes électrons.

2. Trouver la composante de la vitesse suivant le champmagnétique. Comment cette composante varie-t-elle aucours du temps ?

3. Trouver la composante de la vitesse perpendiculaire auchamp. Montrer que cette composante est en rotation au-tour du champ et trouver le rayon qui correspond à cetterotation.

4. Quelle est la distance parcourue parallèlement au champdurant une rotation complète ?

5. Quelle sera l'allure de la trajectoire ?

Exercice 51 Chambre à Bulle

La chambre à bulles a étéinventée par Donald A. Gla-ser en 1952, ce qui lui valutle Prix Nobel de physique en1960. Elle permet de visuali-ser la trajectoire de particuleschargées émises lors de réac-tion nucléaire. Ces particulesqui passent dans une chambre àbulles laissent des traces visibles formées de très petites bulles d'hydro-gène gazeux dans de l'hydrogène liquide maintenu à une températureproche de la température d'ébullition.

Les chambres à bulles étaient très utilisées comme détecteur departicules au milieu du XXe siècle. La plus célèbre, Gargamelle(CERN), permis la mise en évidence de l'interaction faible par cou-rant neutre (boson Z0) en 1973.

Fig. 51

La gure 51 représentetrois trajectoires (dans le plande la feuille) ainsi révélées departicules ainsi que le champmagnétique qui est constantet perpendiculaire à la feuille.

1. Si les trois particulesont toute la mêmemasse et la mêmecharge en valeur abso-lue, laquelle se déplace le plus vite ?

2. Si les trois particules ont toute la même masse et la mêmecharge en valeur absolue, laquelle se déplace le plus vite ?

3. Si les trois particules ont la même vitesse et la mêmecharge, laquelle est la plus lourde ?

4. Comparer les charges électriques de ces 3 particules sielles ont la même masse et la même vitesse ?

5. Dans une chambre à bulles règne un champ magnétiqueuniforme et stationnaire de module B et parallèle à −→e z(le champ électrique y est nul). Une réaction nucléaireen O crée une particule élémentaire de masse m et decharge q avec une vitesse initiale contenue par le choixdes axes dans le plan (O,−→e x,−→e z), de composante v0 sur

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−→e x et v1 sur −→e z. Mettre en équation le mouvement dela particule et en déduire sa trajectoire.

Exercice 52 Cyclotron

Le cyclotron est un type d'accélérateur de particules circulaire inventépar Ernest Orlando Lawrence et Milton S. Livingston de l'universitéde Californie à Berkeley au début des années 1930.

Fig. 52

Dans un cyclotron, les particules placées dans un champ ma-gnétique suivent une trajectoire en forme de spirale et sont ac-célérées par un champ électrique alternatif (Fig. 52).

1. Si la particule est chargée positivement, indiquer quelledoit être la direction du champ magnétique, est-elleconstante ?

2. Quelle relation lie la vitesse d'une particule avec le rayonet la durée d'une demi révolution décrit par une particulechargée dans le champ magnétique. En écrivant que l'ac-célération du mouvement circulaire vaut v2

R , démontrerque cette particule passe périodiquement dans le champélectrique et que cette période est bien indépendante dela vitesse.

3. Application numérique : Des noyaux d'hélium de masse6, 68 10−27 kg et de charge 2e sont accélérés dans uncyclotron. La période orbitale est 10−7 s.

(a) Que vaut le champ magnétique ?

(b) Si le rayon maximum des orbites vaut 2 m, quelle estla vitesse maximum atteinte par les particules ?

Exercice 53Un faisceau de particules de charge +e (e = 1, 6.10−19 C) esten mouvement circulaire sur une orbite de rayon 3 m dans unchamp magnétique orthogonal de 0, 2 T.

1. Que vaut la quantité de mouvement des particules ?

2. Si les particules sont des protons, quelle est leur vitesse(masse du proton 1.67.10−27 kg) ?

Exercice 54 Microscope électronique

Dans cet exercice nous allons nous intéresser au fonctionne-ment d'une lentille électromagnétique pour en dénir ses carac-téristiques. Comme une lentille optique, une lentille électroma-gnétique est entièrement dénie par sa distance focale image,c'est-à-dire la distance entre le plan de la lentille et le lieude focalisation d'un faisceau parallèle à l'axe optique (voir leschéma 54).

La zone grisée schématise la lentille électromagnétique, ellereprésente donc la région (disque d'épaisseur e) où est appli-qué un champ magnétique. R représente le rayon du faisceaud'électrons incident, qui est considéré comme parfaitement cy-lindrique et parallèle à l'axe optique.

1. Dénir le sens et la direction du champ magnétique quipermet d'obtenir la trajectoire qui correspond au trajetdes électrons en périphérie du faisceau incident (Fig 54).

2. Par simplication, on considérera que le champ magné-tique ne dépend pas de z. On rappelle que la lentille estcylindrique. Le champ magnétique est-il constant dans lalentille ? Quelle est la géométrie de ce champ ?

3. Pour l = 20 mm, e = 50 µm et R = 100 µm, déterminerθ. En déduire que tan θ ' sin θ, ρ ' R et la valeur de rainsi que l'intensité du champ magnétique.

4. Donner l'expression du champ magnétique B en fonctionde x.

Fig. 54 Lentille électromagnétique

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Forces de Pression -TD 9, 10&11

A Objectifs

1. Énoncer la dénition de la pression exercée par un uide

2. Utiliser la loi de l'hydrostatique dans des cas simples

3. Savoir écrire et utiliser l'expression de la poussée d'Archimède

B Statique des fluides

Exercice 55 Pression et forces pressantes

1. Rappelez les diérentes unités servant à mesurer la pres-sion.

2. Un avion vole en palier à l'altitude 10 km, à cette alti-tude la pression atmosphérique vaut 300 mb. La cabineétant pressurisée à 1000 mb, calculez la force qui s'exercesur un hublot dont la surface vaut 1000 cm2.

3. Une porte fermée de 2 m2 de surface sépare deux pièces.La pression dans l'une des deux pièces vaut 0,01 atm demoins que dans l'autre. Quelle est la force résultante surla porte ? Conclusion.

Exercice 56 Principe de l'hydrostatique

1. Rappelez sans démonstration la diérence de pression quiexiste entre deux points A et B pris dans un liquide demasse volumique constante ρ. Quel point a la pression laplus élevée ?

2. Calculez à quelle profondeur un homme-grenouille voitsa pression doubler (c'est à dire valant deux fois la pres-sion atmosphérique). On prendra ρ = 1000 kg.m−3 etg = 10 m.s−2.

3. Une caméra sous-marine est immergée à 9000 m. Calcu-lez la force qui s'exerce sur la vitre qui protège l'objectif(10 x 10 cm).

4. La mer du nord a une supercie de 575 000 km2 et uneprofondeur moyenne de 40 m. Un enfant hollandais sepromenant le long de la digue qui protège son pays decette mer aperçoit un petit trou de 1 cm2 situé à 5 mau-dessous du niveau de la mer.

(a) Quelle est la masse d'eau contenue dans la mer duNord ?

(b) Pour empêcher l'eau de couler, il enfonce son doigtdans le trou. Pourrait-il résister à la pression de toutela Mer du Nord ?

Exercice 57 Forces de pression (DS janvier 2015)

On considère un uide incompressible à l'équilibre dans un ré-cipient.

1. Question de cours : Rappeler de manière claire et pré-cise la dénition de la pression P exercée par le uide surla paroi.

2. Question de cours : Soit un uide incompressible aurepos dans un récipient dont on isole articiellement unvolume élémentaire cubique de cotés dx, dy, dz (Fig. 57).Ce uide de masse volumique ρ est placé dans un champde pesanteur −→g homogène. Le vecteur −→g est vertical etorienté dans le sens des z décroissants (−→g = −g−→ez avecg = ||−→g ||)). A partir d'un bilan de forces eectué surles parois du volume élémentaire, démontrer que l'évolu-tion de la pression dans le uide est régie par la loi del'hydrostatique : dP = −ρgdz.

x

y

z

dx

dz

dy

Fig. 57 .

3. Un plongeur évolue à une profondeur H sous la surfacede l'eau de masse volumique ρ. Sachant que la pressionatmosphérique régnant à la surface de l'eau s'écrit P0, dé-terminer la pression P (H) à laquelle est soumis le plon-geur en fonction de P0, ρ, g et H.

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Exercice 58 Le crève tonneau de Pascal

Le crève-tonneau de Pascal est une des plus anciennes expériencesmontrant des phénomènes liés à la pression hydrostatique. Elle a étéréalisée par Blaise Pascal en 1646. Dans cette expérience Pascal in-sère une paille de 10 m de long dans un tonneau rempli d'eau. Ilverse alors de l'eau dans le tube et fait éclater le tonneau et a démon-tré ainsi l'incroyable pouvoir de la pression hydrostatique.

Nous allons ici renouveler cette expérience en mettant en évi-dence les conséquences théoriques. Un tonneau, d'un diamètrede 40 cm et de 50 cm de hauteur, est fermé dans sa partie in-férieure par un bouchon de diamètre 4 cm. La force nécessairepour retirer ce bouchon est de 35 N. Cette valeur a été dé-terminée le tonneau vide. On perce le tonneau dans sa partiesupérieure à l'aide d'un tube de 1 cm de diamètre et de hauteur10 m.

1. Quel est le volume d'eau que peut contenir le tonneau,même question pour le tube ? Quelles masses corres-pondent à ces deux volumes ?

2. Quelle masse faudrait-il suspendre au bouchon pour at-teindre la force de 35 N ?

3. Le tube étant vide et le tonneau rempli, le bouchon va-t-iltenir ? justiez.

4. On remplit progressivement le tube avec de l'eau, à partirde quelle hauteur d'eau le bouchon va-t-il sauter ?

5. Y a-t-il correspondance entre la masse d'eau contenuedans un récipient et la pression qui s'exerce sur les pa-rois de ce dernier ?

Exercice 59 Mesure de densité d'un liquide

On considère un tube en U (Fig. 59) contenant du mercure demasse volumique ρHg = 13 600 kg.m-3.

1. On ajoute 20 cm d'eau dans la branche de gauche. Cal-culez la diérence de niveau des surfaces de mercure àdroite et gauche du tube en U.

2. On ajoute ensuite 10 cm d'huile dans la branche dedroite. La diérence de niveau des surfaces de mercurevaut désormais 8 mm (le niveau de mercure dans la par-tie de droite est supérieur à celle dans la partie gauche).Calculez la densité de l'huile.

3. On prend un tube en U contenant uniquement du mer-cure et on introduit directement 10 cm d'huile dans labranche de droite. Quelle diérence de hauteur de mer-cure va-t-on avoir ?

Fig. 59

Exercice 60 Le baromètre de Torricelli

Vers 1635, les ingénieurs de Florence sont chargés de construire degigantesques installations hydrauliques dans les jardins des palais. Ilsinstallent des pompes aspirantes, mais découvrent avec stupéfactionqu'elles sont incapables d'élever l'eau de plus d'une dizaine de mètres.

Galilée est sollicitée, mais il meurt en 1642 sans avoir eu le tempsde résoudre ce problème. A l'époque on imagine que l'eau s'élève dansle tuyau uniquement parce que la nature a horreur du vide, et sansimaginer le rôle joué par la pression atmosphérique. Torricelli succèdeà Galilée comme physicien à la cour du Duc de Toscane.

Reprenant les notes de son prédécesseur, ilfait des expériences pour prouver que la pres-sion atmosphérique est responsable de la mon-tée de l'eau dans un espace vide. Il en remplitde mercure un long tube de verre, le boucheavec le doigt et le retourne sur un bassin rem-pli, lui aussi, de mercure. Il observe que le tubene se vide que partiellement dans le bassin etqu'il y reste toujours une colonne de mercure d'environ 76 cm dehauteur, quel que soit l'enfoncement du tube dans le bassin.

Il en déduit que la pression de l'air sur la surface du bassin contre-balance le poids de la colonne de mercure et que c'est elle qui permetde faire monter l'eau dans les pompes d'une hauteur d'environ 10 m,mais pas davantage. C'est ainsi que Torricelli invente le baromètreen 1643

Fig. 60 Baromètre deTorricelli

La gure 60 représente un baromètre de Tor-ricelli : un tube de section s = 1 cm

2

et long de1 m environ, empli de mercure puis retourné, ou-verture vers le bas, dans un récipient contenantlui aussi du mercure. On constate que le niveaudans le tube s'immobilise à une hauteur h.

1. Qu'y a-t-il dans la partie supérieure dutube ? Quelle est alors la pression quis'exerce dans le tube à la surface du mer-cure ?

2. Exprimez la pression atmosphérique Patmen fonction de h et de la masse volumiqueρ du mercure.

3. La densité du mercure est 13,6 et h vaut760 mm. Calculez la pression Patm.

4. Pourquoi ce dispositif est-il rarement uti-lisé avec de l'eau ?

5. Si l'on double la section s du tube, la hau-teur h : double ? Diminue ? Reste la même ?

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Exercice 61 Mesure de pression dans un réservoir

Le dispositif de la gure 61 permet de mesurer la pression exis-tant dans un réservoir. Le tube en U de section 1 cm2 est remplide mercure (masse volumique de 13 600 kg.m−3).

Fig. 61

1. Calculez la pression P0 dans le réservoir en fonction deh1 et h2 et des données du problème. A.N : h1 = 10 cmet h2 = 40 cm.

2. Comme le mercure est un métal lourd toxique, on rajoutedans le tube de droite 68 cm d'eau. L'eau et le mercurene sont pas miscibles de sorte que le mercure n'est plusen contact avec l'air. Le niveau de mercure dans le tubebouge alors et la hauteur à gauche vaut désormais h′1 etcelle de droite h′2, on considère que la pression dans leréservoir ne varie pas. que vaut alors h′2 − h′1 ?

3. En déduire les nouvelles valeurs de h′1 et h′2 (la quantité

de mercure dans le tube en U n'a pas changé).

Exercice 62Un récipient est constitué de deux parties cylindriques C1 et C2

de section respective s et S (Fig 62). Un disque amovible, demasse négligeable, permet d'obstruer la partie C2 et sert de fondau récipient. La partie C2 a une hauteur h. Tout en tenant avecla main le fond du récipient ainsi constitué, on l'enfonce verti-calement dans une cuve contenant de l'eau de masse volumiqueρ. La pression atmosphérique est P0.

Fig. 62 .

1. On lâche alors le disque et on maintient le récipient en-foncé à la profondeur x1.

(a) Que se passe-t-il ?

(b) Exprimer en fonction de P0, ρ, g et x, la pression exis-tant en un point A du liquide situé juste au-dessousle disque.

(c) Quelle est la pression s'exerçant en B situé juste au-dessus du disque ? En déduire la résultante

−→R des

forces appliquées au disque.

2. On dépose au fond du récipient un objet solide de masseM . On soulève alors lentement l'ensemble jusqu'à ce quele disque du fond se détache. Déterminer la profondeurx1 à laquelle il se trouve lorsqu'il se détache ?

3. Le dispositif étant de nouveau immergé profondément,on remplace l'objet solide par une masse égale d'eau M .

(a) Calculer à quelle hauteur z, au-dessus du fond, arrivele niveau d'eau dans le récipient.

(b) Calculer la pression au fond du récipient.

(c) On soulève lentement le dispositif. À quelle profon-deur x2 se trouve maintenant le disque lorsqu'il sedétache ?

Application numérique : s = 4 cm2, S = 10 cm2,h = 10 cm, ρ = 1000 kg.m−3, x = 40 cm, M = 0, 2 kg,g = 10m.s−2.

C Théorème de Pascal – Poussée d’Archimède

Exercice 63 Le freinage hydraulique

Le système de freinage d'un véhicule permet, de manière contrô-lée par le conducteur, de réduire sa vitesse et de l'immobiliser.Ce freinage est obtenu par le frottement entre un élément soli-daire du véhicule (plaquettes) et un élément solidaire des roues(disque) qui dissipe l'énergie cinétique sous forme de chaleur.L'action du conducteur sur la pédale de frein entraîne le contactentre ces deux éléments (voir g. 63).

Une force de plusieurs milliers de Newtons étant nécessairepour arrêter un véhicule (équivalent à pousser une masse deplusieurs centaines de kg), un système d'amplication de forceest donc indispensable. On s'intéresse ici au second systèmed'amplication (le premier étant le bras de levier de la pédale),

l'amplication hydraulique, basée sur le théorème de Pascal.Le maître-cylindre assure la conversion de l'énergie mécanique(pression sur la pédale) en énergie hydraulique (compression duliquide de freinage) par le déplacement du piston moteur (voirg. 63), puis transmet cette pression à travers le circuit hydrau-lique vers les pistons actionnant les plaquettes.

1. Exprimer la force F1 appliquée au piston moteur par lapédale de frein en fonction de sa surface S1, de la surfaceS2 du piston appuyant sur les plaquettes et de la forceF2 s'appliquant sur celui-ci. (rappel : la pression est une

force par unité de surface).

2. Pour stopper un véhicule sur la distance la plus courtepossible et sans bloquer les roues, une force F2 = 4000 N

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est nécessaire. Sachant que le bras de levier multiplie par10 l'eort du conducteur, quelle force doit-il appliquersur la pédale de frein ? Conclure.Données : S1 = 1 cm2 et S2 = 5 cm2.

Fig. 63 Schéma de principe du freinage hydraulique

Exercice 64 Flottage du bois

Le ottage du bois est une desméthodes les plus anciennes detransport sur de longues dis-tances. Elle est encore utiliséede nos jours, mais est soumise àune forte réglementation à causede son impact environnemen-tal (pollution des eaux, modi-cation des berges et du cours desrivières,etc.). Elle est rendue possible grâce à la poussée d'Archimèdes'exerçant sur le bois.

Essence masse volumique (kg.m-3)

Acajou 700Balsa 140Buis 910 1320Cèdre 490Chêne 610980Chêne (c÷ur 1 170Ébène 1 150Frêne 840Hêtre 800Liège 240Peuplier 390Pin 500Platane 650Sapin 450Teck 860

Tab. 64 Masse volumique à température ambiante

Pour simplier, on considère un tronc d'arbre parfaitementcylindrique de rayon r, de longueur l et de masse volumique ho-mogène ρa. Comme l'indique la gure, il otte dans de l'eau, demasse volumique ρe, à moitié immergée dans sa position d'équi-libre (la hauteur dont le tronc est immergé à l'équilibre est égaleà son rayon). On supposera que le bloc est uniquement soumisà son poids et à la poussée d'Archimède. On notera g l'accélé-ration de la pesanteur.

1. À partir d'un bilan de forces, déterminer la masse volu-mique du bois composant cet arbre. Donnée : on prendraρe = 1000 kg.m−3.

2. Quelle est cette essence de bois (cf tableau 64)

Exercice 65 Colonne à gradient de densité

Une colonne à gradient de densité est un tube transparent gradué (leplus souvent une éprouvette) rempli de deux liquides partiellementmiscibles de telle sorte que le bas du tube contienne plus de liquidedense alors que le haut du tube contient plus de liquide moins dense.Elle permet de mesurer la masse volumique de petits échantillons àgéométrie complexe, tels que des polymères, comprise entre celle desdeux liquides utilisés (par exemple entre 790 et 1000 kg.m−3 dans lecas d'un mélange éthanol/eau). Placé dans la colonne, l'échantillondescendra et se stabilisera à un niveau correspondant à sa propremasse volumique.

Deux récipients, le premier contenant le liquide dense, le se-cond le liquide moins dense, sont reliés en série et placés audessus de la colonne. Un capillaire, relié à la sortie du second,plonge jusqu'au fond de la colonne. Ainsi, celle-ci commenceà se remplir avec le liquide le moins dense, Une petite quan-tité du liquide plus dense entre dans le second récipient élevantlégèrement sa masse volumique. Ce liquide continue à remplirla colonne, le liquide déjà présent ottant au-dessus du nou-veau liquide plus dense, et ainsi de suite jusqu'au remplissagecomplet assurant un gradient de densité uniforme dans toute lacolonne. Le système doit être maintenu à température constanteet loin de toute source de vibrations an d'éviter tout courantde convection qui mélangera les liquides, donnant à toute lacolonne une densité moyenne.

On place alors dans la colonne des otteurs qui se stabilisentà un niveau correspondant à leurs masses volumiques connuesprécisément (Les résultats de mesure de hauteurs h sont ras-semblés dans le tableau 65).

otteur no 1 2 3 4 5 6 7 8 9ρ (kg.m−3) 978 957 938 916 894 873 853 833 812h (cm) 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Tab. 65 Position des otteurs de référence

1. À partir d'un bilan de forces, montrer que l'échantillonse stabilise à un niveau où la masse volumique du liquideest la même que la sienne.

2. En utilisant le tableau 65 montrer que la hauteur où sestabilise le otteur varie linéairement avec la masse vo-lumique.

3. Calculer la masse volumique ρe d'un échantillon se sta-bilisant à une hauteur he = 18, 5 cm. données suivantes :

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Exercice 66 La couronne de Zeus.

Selon une légende (probable-ment non fondée) racontée parVitruve, Archimède aurait éta-bli sa théorie des corps ottantssuite à un problème posé parHiéron II de Syracuse. En eet,an de vérier si un orfèvre, àqui il avait coné une certainequantité d'or à façonner en unecouronne, ne l'avait pas dupé ensubstituant de l'argent (métal moins cher) à une partie de l'or, Hiérondemanda à Archimède de déterminer si cette couronne était eecti-vement constituée d'or uniquement, et sinon, d'identier sa composi-tion exacte. C'est dans une baignoire qu'Archimède trouva la solutionet il en sortit en prononçant le fameux "Eurêka !". Il lui susait demesurer le volume de la couronne par immersion dans l'eau puis lapeser an de comparer sa masse volumique à celle de l'or massif.

La méthode utilisée par Archimède pour déterminer la massevolumique d'un objet est très précise, surtout lorsque son volumen'est pas calculable géométriquement.

1. L'expérience d'Archimède aurait pû être la suivante : Àl'aide d'une balance, il pèse la couronne dans l'air (onconsidéra la poussée d'Archimède négligeable dans l'air).Il obtient : m = 3, 217 kg. Toujours à l'aide d'une ba-lance, il pèse la couronne complètement immergée dansl'eau. Il obtient la masse apparente : m′ = 3, 039 kg.

(a) En exprimant le poids apparent de la couronne im-mergé en fonction de son poids réel et de la pousséed'Archimède, déterminer le volume de la couronne.Masse volumique de l'eau : ρe = 1000 kg.m−3.

(b) En déduire la masse volumique de la couronne. Est-elle en or pur ?

(c) S'il s'agit d'un alliage d'or et d'argent, déterminer sacomposition en terme de pourcentage des deux com-posants.

Données numériques : ρor = 19 300 kg.m−3 ;ρargent = 10 500 kg.m−3.

2. L'orfèvre fut nalement exécuté, mais on peut douter dela précision de la mesure, l'orfèvre aurait-il été décapitépour rien ? Pour répondre à cette question (même s'il esttrop tard pour l'orfèvre), on peut comparer les résultatsobtenus sur un objet de volume calculable (un cylindrede rayon r et de hauteur h) par deux méthodes.

(a) On pèse tout d'abord un cylindre d'or avec unebalance d'une précision de 0, 1 g. On obtientm = 1386, 3 g. Compte tenu de la précision de labalance, déterminer la masse maximale et minimalede ce cylindre.

(b) Première méthode : On mesure le rayon et la hau-teur du cylindre avec un réglet d'une précision de0, 5 mm. On obtient r = 19, 0 mm et h = 65, 5 mm.Compte tenu de la précision du réglet, déterminer levolume maximum et minimum de ce cylindre. En dé-duire sa masse volumique et l'intervalle d'incertitudesur la mesure.

(c) Deuxième méthode : On immerge le cylindre dansl'eau et avec la même balance on pèse sa masse ap-parente. On obtient m′ = 993, 2 g. Compte tenu dela précision de la balance, déterminer la diérence demasse (m˘m′) maximale et minimale. À l'aide de laquestion 1-a, calculer le volume maximum et mini-mum de ce cylindre. En déduire sa masse volumiqueet l'intervalle d'incertitude sur la mesure.

(d) L'orfèvre a-t-il été décapité à tord ? Expliquer pour-quoi la méthode d'Archimède est plus précise.

Exercice 67 Le thermomètre de Galilée

Galilée, célèbre pour ses travaux sur la chutedes corps et pour ses observations célestes,travailla aussi sur la mesure de la tempéra-ture. C'est à partir de l'une de ses idées qu'aété confectionné le thermomètre dit de Gali-lée.

Cet objet décoratif est constitué d'unecolonne remplie d'un liquide incolore etde plusieurs boules en verre soué, lestéespar une petite masse métallique ou un li-quide coloré. Le liquide contenu dans lacolonne a une masse volumique ρL(T ) qui décroît fortementlorsque la température augmente. Les boules ont chacune lemême volume, mais possèdent des masses diérentes. Un petitmédaillon indiquant une température est accroché sous chacuned'elles.

Chaque boule possède une masse ajustée de manière précise.Pour un modèle commercial courant, on trouve onze boules in-diquant des températures comprises entre 17C et 27C. Danscet appareil, on peut observer que certaines boules sont situéesen bas de la colonne et que d'autres ottent en haut. La tempé-rature de la colonne est indiquée par la boule qui se trouve enéquilibre dans le liquide c'est-à-dire par la plus basse des boulessituées en haut de la colonne.

Pour simplier, on négligera les frottements avec le uide ensupposant que les boules sont uniquement soumises à leur poidset à la poussée d'Archimède. On supposera également que lamasse volumique et le volume des boules sont indépendants dela température contrairement à ceux du liquide dans lequel ellessont immergées.

1. On s'intéresse d'abord à la boule 1, de masse m1 et derayon r, indiquant la température de l'instant, c'est-à-dire 20C. Elle est immobile, en équilibre dans l'huile.

(a) Faire un inventaire des forces s'exerçant sur la boule 1.Les représenter sur un schéma sans souci d'échelle.Exprimer ces diérentes forces en fonction de m1, r,ρL(T ), Vb et de g.

(b) Expliquer pourquoi, hormis la boule 1, les unes sonten haut de la colonne et les autres en bas.

(c) Etablir l'expression littérale de la masse volumiqueρb que doit avoir la boule 1 pour rester immobile. Endéduire et calculer sa masse.

2. Durant la nuit, la température s'abaisse jusqu'à 17C.

28


(a) Lorsque la température du liquide s'abaisse, la boule 1se met en mouvement. Justier dans quel sens.

(b) Quelle est la masse de la boule indiquant 17C?

3. La masse volumique du liquide varie linéairement avec latempérature.

(a) Quelle est sa masse volumique à 27C? En déduire etcalculer la masse de la boule indiquant 27C?

(b) Commenter la précision de la balance nécessaire à laréalisation des boules.

A.N. Rayon des boules (supposées parfaitement sphériques)r = 1, 5 cm ; Masse volumique du liquide : ρL(20) = 790 kg.m−3

à 20C ; ρL(17) = 794, 5 kg.m−3 à 17C ; g = 9, 81 m.s−2.

Exercice 68 Le ballon sonde

Un ballon sonde, en caoutchoucmince très élastique, est goné àl'hélium. Une nacelle attachée auballon emporte du matériel scienti-que an d'étudier la compositionde l'atmosphère. Sa paroi élastiquenit par éclater à une altitude géné-ralement comprise entre 20 et 30 kilomètres. Après l'éclatement,un petit parachute s'ouvre pour ramener la nacelle et son ma-tériel scientique au sol.

1. On s'intéresse dans un premier temps à la phase de décol-lage. À partir d'un bilan de forces, déterminer la massemaximale du matériel scientique pouvant être embarquédans la nacelle pour que le ballon décolle. On négligerale volume de la nacelle et son matériel devant celui duballon.A.N. ρa(0) = 1, 225 kg.m−3 la masse volumique de l'airau niveau du sol, ρHe = 0, 1785 kg.m−3 la masse volu-mique de l'hélium, V b(0) = 21 m3 le volume du ballonau décollage, mb = 1.55 kg la masse de l'ensemble (enve-loppe du ballon + nacelle vide).

2. Lors de l'ascension, plusieurs paramètres variables inter-viennent : l'accélération de la pesanteur g diminue avec l'alti-

tude ; la pression atmosphérique diminue avec l'altitude ; la masse volumique de l'air diminue avec l'altitude ; des frottements uides entre le ballon et l'air appa-

raissent lors de son mouvement.On négligera les eets du vent et les variations de tempé-rature (l'échauement dû aux frottements se compensanten partie avec la diminution de température avec l'alti-tude).

(a) Sans faire de calculs, expliquer qualitativement les ef-fets de ces variations sur l'ascension du ballon.

(b) On se propose d'étudier la situation à l'altitudeh = 10 km en considérant la vitesse limite du ballonatteinte (accélération nulle à masse constante, doncla somme des forces est nulle). L'ascension du ballon

est-elle toujours possible à cette altitude ?On considéra que l'enveloppe est susamment souplepour que les pressions intérieures et extérieures s'équi-librent, et que l'Hélium suit la loi thermodynamiquePV γ = Cte (avec γ = 1, 67) lors de cette transforma-tion. On notera V b(10) le volume du ballon à 10 km.A.N. : Pa(0) = 1, 013 105 Pa la pression atmosphé-rique au sol, Pa(10) = 0, 265 105 Pa la pression at-mosphérique à 10 = km, ρa(10) = 0, 413 kg.m−3 lamasse volumique de l'air à 10 km, g = 9, 77 m.s−2

l'accélération de la pesanteur à 10 km, f = 23 N laforce de frottement.

(c) Calculer la masse maximale du matériel scientiquepouvant être embarqué dans la nacelle pour assurerune ascension jusqu'à au moins 10 km.

Exercice 69 Le ludion, vessie natatoire et prin-cipe du ballast

Le ludion est un plongeur, souvent sous forme d'une gurine,montrant qu'un corps plongé dans un liquide peut monter oudescendre en faisant varier sa masse volumique. Il fait appelaux notions de gravité, poussée d'Archimède, pression hydro-statique, théorème de Pascal et thermodynamique (compressi-bilité d'un uide). Il en existe deux types, l'un faisant varier sonvolume à masse constante et l'autre le contraire 6.

Fig. 69 a

Le premier (g. 69-a) serapproche de la vessie nata-toire des poissons osseux. Envidant ou remplissant cettevessie (par échange gazeuxavec les vaisseaux sanguinsde la paroi), ils font varierleur volume à masse quasiconstante (masse du gaz né-gligeable), ce qui leur permetde se maintenir à une profon-deur donnée sans nager (ottabilité nulle).

Fig. 69 b

Le deuxième (g. 69-a)rappelle le principe de bal-last des sous-marins. En vi-dant ou remplissant des réser-voirs d'eau (environ 1000 foisplus lourd que l'air), la massedu sous-marin varie, lui per-mettant une ottabilité nulleà une profondeur donnée.

1. On s'intéresse dans un premier temps à un ludion à mem-brane souple remplie d'air (g. 69-a). On le place dansune éprouvette pratiquement remplie d'eau et fermée parune membrane souple et étanche. La membrane étant aurepos, le ludion est en équilibre en un point voisin dela surface de l'eau (voir gure ci-après). Lorsqu'on ap-puie sur la membrane, la pression augmente à la surface.Cette pression est transmise à travers l'eau (théorèmede Pascal) jusqu'au ludion. L'air étant compressible et

6. Une vidéo montrant le principe de l'expérience est visible (entre autres) à l'adresse suivante http://www.youtube.com/watch?v=c555xS91q90

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http://www.youtube.com/watch?v=c555xS91q90


la pression s'équilibrant de part et d'autre de sa mem-brane, son volume (et donc sa poussée d'Archimède) va-rie avec la pression. On suppose que le ludion est unique-ment soumis à son poids et à la poussée d'Archimède.On notera g = 9, 81 m.s−2 l'accélération de la pesanteur.ρe = 1000 kg.m−3 la masse volumique de l'eau, sa massem = 12, 5 g, la pression P1 = 105 Pa à la surface de l'eau.

(a) À partir d'un bilan de forces, déterminer le volumeV1 à l'équilibre au voisinage de la surface.

(b) On appuie sur la membrane de manière à obtenir àla surface une pression P2 = 2 105 Pa. On considèreque l'air est un gaz décrit par la loi thermodynamiquePV γ = Cte, avec γ = 1, 4, lors de cette transforma-tion. On rappelle que, en plus de la transmission de lapression à la surface, celle-ci varie avec la profondeurz selon le principe de l'hydrostatique. Déterminer lanouvelle profondeur z d'équilibre du ludion.

2. On s'intéresse à présent à un ludion rigide remplie d'airterminé vers le bas par un tube cylindrique ouvert sur leliquide (g. 69-b). Lorsque l'on appuie sur la membrane,le volume d'air diminue, comme précédemment, mais celudion étant indéformable, l'air est remplacé par de l'eauqui monte dans le tube cylindrique. Ainsi, sa masse achangé (donc son poids) pour un volume constant (mêmepoussée d'Archimède). On notera r = 1 cm le rayon in-térieur du tube, h la hauteur d'eau dans le tube (elledépend de la pression à la surface et de la profondeur z).Déterminer la profondeur z d'équilibre du ludion dans lesmêmes conditions que précédemment.

.


1. Un ballon sphérique de volume V , rempli de méthane (demasse volumique ρm = 0, 678 kg.m−3) otte dans l'eau(ρeau = 103 kg.m−3). On note Vim le volume immergé duballon dans l'eau et on néglige la masse de l'enveloppe duballon.

(a) Préciser les forces qui s'exercent sur le ballon et leurexpression mathématique de manière détaillée.

(b) Etablir le bilan des forces et trouver l'expression duvolume immergé Vim du ballon dans l'eau en fonctionde V , ρm et ρeau. La poussée d'Archimède de l'air estnégligée face à celle de l'eau ici.

2. Le ballon est ensuite arraché de l'eau par le vent et em-porté dans les airs.

(a) Faire le bilan des forces en précisant de manière dé-taillée leur expression mathématique.

(b) D'après le bilan des forces, l'équilibre statique est-ilpossible ? Justier. Que fait donc le ballon ?

(c) Sachant que la masse volumique de l'air ρair dimi-nue en fonction de l'altitude z, comme indiqué dansle tableau 70, trouver jusqu'à quelle altitude le ballons'élève dans les airs ?

Tab. 70 Évolution de la masse volumique de l'air en fonction del'altitude.

Altitude (km) Temp. (C) ρair (kg.m−3)

0 15,0 1,225

0,658 10,7 1,149

1,421 5,8 1,066

1,909 2,6 1,016

2,877 3,7 0,921

4,421 -13,7 0,783

4,810 -16,3 0,751

5,915 -23,7 0,678

6,194 - 25,3 0,645

8,848 -42,5 0,475

11,000 -56,5 0,364

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Ondes Progressives -TD 12,13 & 14

A Objectifs

1. Caractériser le mouvement harmonique (amplitude période fréquence, pulsation)

2. Représenter graphiquement un signal sinusoïdal.

3. Maîtriser la représentation complexe d'un signal sinusoïdal.

4. Connaître la nature d'une onde : mécanique ou électromagnétique ;

5. Distinguer une onde transversale d'une onde longitudinale ;

6. Identier les grandeurs physiques associées aux diérents signaux étudiés ;

7. Connaître les ordres de grandeur des célérités et des fréquences dans les domaines acoustique et électromagnétique ;

8. Exprimer le retard temporel associé à la propagation ;

9. Écrire les signaux sous leurs formes spatiotemporelle f(x± c t) et g(t± x/c)10. Prédire l'évolution temporelle d'une onde à position xe et sa forme spatiale à diérents instants ;

11. Décrire une onde progressive sinusoïdale : amplitude, double périodicité spatiale et temporelle, déphasage ;

12. Établir la relation entre la période spatiale, la période temporelle et la célérité ;

13. Dénir la norme du vecteur d'onde ;

14. Établir la relation entre pulsation, norme du vecteur d'onde et célérité ;

15. Maîtriser la représentation complexe d'une onde progressive sinusoïdale.

B Mouvements Périodiques

Exercice 71 Représentation de fonctions sinusoïdales

Représenter schématiquement les fonctions suivantes en préci-sant les valeurs de t ou de x pour lesquelles elles s'annulent.

f(x) = cos(x) ; g(t) = A sin(t) ; h(x) = cos(x− π/2).

Quelle est la période de chacune de ces trois fonctions ? Quelleest l'amplitude de chacune de ces trois fonctions ?

Exercice 72Déterminer la période des fonctions de la variable réellex suivantes : sin(x) ; 4 cos(x − 2) ; 5 sin(3x) ; cos

(23x− 3π

8

);

sin(−8x+ 5π

5

); a cos(k x+ b).

Exercice 73Représentation réelle de signaux sinusoïdaux

1. On considère le signal sinusoïdal f(t) = A sin(ωt). Représenter schématiquement le signal f(t) en indi-

quant les instants auxquels il s'annule. Que vaut la période T du signal ? Exprimer f(t+ T ). Que vaut la fréquence ν du signal ? Application numérique : déterminer la période T et

la pulsation ω d'un signal secteur de fréquence 50 Hz

observé aux bornes d'une prise EDF.

2. On considère la fonction g(x) = A cos(kx). Représenter schématiquement la fonction g(x) en in-

diquant les positions x auxquelles elle s'annule. Que vaut la période spatiale λ de la fonction ? Que vaut son amplitude ? Calculer g(x+ 2λ).

Exercice 74 Oscillateur harmonique

La gure 74 donne le diagramme temporel de la vitesse d'unpendule élastique vertical de masse m = 0, 04 kg.

t (s)

v (m/s)

0,20,1

0,2

0

Fig. 74

1. Déterminer les lois horaires donnant la vitesse v(t), l'abs-cisse x(t) et l'accélération a(t).

2. À partir de ces expressions, quelle relation mathématiquesimple peuton établir entre l'accélération et la position ?

31


3. En déduire l'expression de la force appliquée si le mou-vement est observé dans un référentiel galiléen.

Exercice 75 La roue tourne !

Une roue à rayons tourne autour de sonaxe, perpendiculaire au plan de la roue etpassant par son centre (point de concor-dance des rayons). On suppose la roueéquilibrée de telle sorte que son centre degravité reste sur l'axe de rotation. On no-tera O le centre de la roue etM l'extrémitéextérieure d'un des bâtons et l la distanceOM . Sa vitesse de rotation ω0 est suppo-sée constante (on néglige les frottements).

1. En dénissant le plan de la roue par un repère car-tésien orthonormé (0,−→e x,−→e y), montrer que la posi-tion M à un instant t quelconque est donnée par :−−→OM = l cos(ω0t)−→e x + l sin(ω0t)−→e y.

2. Représenter schématiquement l'évolution temporelle deM le long d'un des deux axes du repère.

3. À quel type de mouvement correspond cette évolution.Donner l'expression de la période du mouvement et dela fréquence de rotation de la roue. Faire les applicationsnumériques pour une vitesse de rotation ω0 = 5 tr.s−1.

Exercice 76Représentations réelle et complexe de signaux sinusoïdaux

1. Représenter sur un même graphe les fonctionsf(t) = A sin(2πt), g(t) = A sin(2πt + π/2) eth(t) = A sin(2πt+ π).

2. Les fonctions f(t) et g(t) ont-elles en phase, en quadra-ture de phase ou en opposition de phase ?

3. Même question pour les fonctions f(t) et h(t).

4. Exprimer f(t) + g(t).

5. Écrire la représentation complexe des fonctions f(t), g(t)et h(t).

6. Retrouver le résultat de la question 3 à l'aide de la re-présentation complexe.

Exercice 77 Représentation complexe d'une grandeursinusoïdale

On considère une vibration sinusoïdale décrite par la fonctionx(t) = A cos(ωt + φ). Par dénition, la représentation com-plexe de cette vibration sinusoïdale est la grandeur complexex(t) = A exp[i(ωt+ φ)]

1. Donner le module et l'argument de x(t).

2. Donner une représentation graphique de x(t) dans le plancomplexe. Donner la partie réelle de x(t) et la faire ap-paraître sur la représentation graphique.

3. Donner l'expression du complexe conjugué x∗(t) de x(t).Donner le module et l'argument de x∗(t). Donner unereprésentation graphique de x∗(t) dans le plan complexe.

Lorsque l'on choisit de s'aranchir de la rotation à vitesse an-gulaire ω dans le plan complexe, on dénit simplement la repré-sentation complexe de la vibration sinusoidale par la grandeurcomplexe x(t) = Aeiφ.

4. Donner le module et l'argument de x(t).

5. Donner une représentation graphique de x(t) dans le plancomplexe. Donner la partie réelle de x(t) et la faire ap-paraître sur la représentation graphique.

On considère deux vibrations sinusoïdales x1(t) = A cos(ωt+ π4 )

et x2(t) = A cos(ωt+ 3π4 ) de même pulsation ω et de même am-

plitude A. On s'intéresse à la superposition x(t) = x1(t) + x2(t)de ces deux vibrations.

6. Donner la représentation complexe de x1(t) et de x2(t).Donner une représentation graphique de x1(t) et de x2(t).

7. Donner la représentation graphique de x(t) = x1(t)+x2(t).En déduire l'expression mathématique de x(t) puis cellede x(t).

8. Retrouver le résultat précèdent à partir d'un calcul tri-gonométrique et sans utiliser la représentation complexe.

Exercice 78 StroboscopieAu cinéma, on peut observer les roues d'unvéhicule immobiles alors que celui-ci est enmouvement, voir même avoir l'impression queles roues tournent à l'envers. Cet eet est dûau séquençage d'une vidéo par un délementd'images à une fréquence donnée. On peut retrouver cet eet en ob-servant une roue sous lumière stroboscopique.

Une roue comporte une jante bien régulière, reliée au moyeupar 12 rayons identiques. Elle tourne uniformément à raison de5 tr.s−1. Elle est éclairée par un stroboscope qui émet des éclairsà une fréquence fs.

1. Pour quelle fréquence fs du stroboscope a-t-on l'impres-sion de voir la roue immobile avec ses 12 rayons ?

2. Et immobile avec 24 rayons ?

3. Pour conserver la sensation de continuité, deux phéno-mènes doivent se succéder à des intervalles de temps in-férieurs à 0, 1 s, du fait de la persistance des impressionslumineuses de l'÷il. Au-delà de ce temps, les périodesd'obscurité seront observées, donnant une image hachéede la roue. Quelle est la vitesse minimale de rotation dela roue pour laquelle l'impression d'immobilité peut êtreobservée ?

32


C Oscillateurs harmoniques

Exercice 79 Oscillateur horizontal

L'une des extrémités d'un res-sort de constante de raideurk et de masse négligeable estaccrochée à support verticalxe. On vient attacher unbloc de masse m à l'autre ex-trémité du ressort. On noteraO la position du bloc à l'équilibre correspondant à la longueurl0 du ressort. Le bloc est écarté d'une distance A0 de sa positiond'équilibre. Il est ensuite lâché sans vitesse initiale.

1. En utilisant les lois de Newton, déterminer l'équation dif-férentielle vectorielle régissant l'évolution temporelle dela position du bloc. On notera M la position du bloc àun instant quelconque.

2. En projetant dans un repère cartésien (0,−→e x,−→e y,−→e z)montrer que l'équation diérentielle du mouvements'écrit :

x(t) + ω20 x(t) = 0,

si−−→OM = x(t)−→e x + y(t)−→e y + z(t)−→e z et ω0 =

√km .

3. Montrer qu'une fonction périodique du type

x(t) = A cos (ω0t+ ϕ)

est solution de cette équation.

Exercice 80 Mesure de masse en impesanteur

Fig. 80 body mass measurementdevice (BMMD) de Skylab

La plus grande fusée de laNASA fut le géant Saturne V,développé par la NASA pourles missions lunaires du projetApollo. Après plusieurs alunis-sages réussis, la NASA a décidéd'utiliser le dernier Saturne Vnon plus vers la lune, mais pourplacer sur une orbite terrestrebasse une grande station spa-tiale, nommée Skylab. Skylab estmise en orbite le 14 mai 1973et se désintègre en rentrant dansl'atmosphère le 11 juillet 1979.

Les mesures de masse à bord de Skylab faisaient partie des expé-riences médicales. Avant la mission Skylab, on avait constaté que lesastronautes américains ou russes revenant de mission avaient perdudu poids dans l'espace, et la NASA se demandait si cela n'impliquaitpas une détérioration physique pouvant s'aggraver lors de vols pluslongs.

Dans sa cabine, un astronaute en état d'impesanteur veutdéterminer sa masse.

1. Peutil utiliser un pèsepersonne ?

2. Un fauteuil de masse 9 kg est attaché dans la cabine àun ressort. Lorsque le fauteuil est vide, la période desoscillations vaut T0 = 1, 4 s. Tandis que lorsque l'astro-naute se xe au siège, la période des oscillations devientT1 = 5, 3 s. Quelle est alors la masse de l'astronaute ?

Exercice 81 Retard d'une horloge à balancierLe balancier d'une horloge est assimilable à un pen-dule simple constitué par une mince tige en acier, demasse négligeable et de longueur l, munie à son ex-trémité d'une massem quasiment ponctuelle. L'hor-loge est réglée à la température de 20C.

1. La période T des oscillations est donnée par la relation

T = 2π√

lg . Sachant que la fréquence f des oscillations

vaut 0, 5 Hz à 20C, calculer l.

2. La température s'abaisse à 5C. Calculer l'avance ou leretard de l'horloge au bout de 24 heures sachant que lecoecient de dilatation de l'acier vaut λ = 12 10−6K−1.Si l0 désigne la longueur à 0C, le coecient λ représentel'allongement par unité de longueur et de température θsoit : λ = l−l0

θl0.

Exercice 82 Oscillation d'un otteurOn considère un bloc solide homogènede section S, de hauteur h et de massevolumique ρ0. Comme l'indique la -gure, il otte dans de l'eau de massevolumique ρe. Dans tout l'exercice, onsupposera que le bloc est uniquementsoumis à son poids et à la poussée d'Ar-chimède 7. On notera g l'accélération dela pesanteur. dans cet exercice, on né-gligera tout les frottements.

1. À partir d'un bilan de forces, déterminer la hauteur h0dont le bloc est immergé à l'équilibre.

2. Pour t < 0, le bloc est soulevé verticalement de sa po-sition d'équilibre d'une quantité e < h0. À t = 0, il estlâché sans vitesse initiale.

(a) Établir l'équation du mouvement du point M se dé-plaçant vis-à-vis de la face supérieure du bloc le longd'un axe vertical (0,−→e y) (voir Figure). Veillez à ex-pliquer de manière claire toutes les étapes de votredéveloppement (Certains éléments ne gurent pas surle schéma de la gure et devront y être clairement in-troduits).

(b) Quel type général de système physique l'équation ob-tenue décrit-elle ?

7. Rappel de l'énoncé de la loi d'Archimède : Tout corps plongé dans un uide reçoit une poussée verticale, dirigée du bas vers le haut, de normeégale au poids du volume de uide déplacé.

33


(c) Montrer qu'un fonction périodique du typey(t) = A cos(ω0t+ ϕ) est solution de cette équation.

3. Représenter schématiquement l'évolution temporelle dela position du bloc. Faites apparaître sur votre schémales échelles de temps caractéristiques vous paraissant im-portantes.

A.N. : ρe = 103 kg.m−3, ρ0 = 2.102 kg.m−3, g = 10 m.s−2,h = 50 cm.

Exercice 83 Oscillateur vertical

L'une des extrémités d'un ressort deconstante de raideur k et de masse négli-geable est suspendue à support horizontalxe. On vient attacher un bloc de masse m àl'autre extrémité du ressort.

1. Déterminer l'allongement du ressortconsécutif à la suspension du bloc. Onnotera R la position de repos du res-sort et O la position d'équilibre dubloc.

2. Le bloc est écarté d'une distance A0 desa position d'équilibre. Il est ensuite lâ-ché sans vitesse initiale.

(a) En utilisant les lois de Newton, déterminer l'équationdiérentielle vectorielle régissant l'évolution tempo-relle du bloc par rapport à R (la position de reposdu ressort). On notera M la position du bloc à uninstant quelconque.

(b) En s'aidant de la question 1, réécrire cette équationpar rapport à O (position d'équilibre du bloc).

3. En projetant dans un repère cartésien d'origine O :(0,−→e x,−→e y,−→e z) , montrer que l'équation diérentielle dumouvement s'écrit :

x(t) + ω20 x(t) = 0,

si−−→OM = x(t)−→e x + y(t)−→e y + z(t)−→e z et ω0 =

√km .

4. Montrer qu'une fonction périodique du type

x(t) = A cos (ω0t+ ϕ)

est solution de cette équation.

Exercice 84 Microscope à force atomique

Dans un microscope à force atomique, une pointe d'exploration por-tée par l'extrémité d'un levier est placée à très faible distance de la

surface à observer. Elle est soumise, de la part des atomes de cetéchantillon, à une force qui varie fortement en fonction de cette dis-tance. Cette force atomique, à une distance de 1 nm, dont l'origineest essentiellement électrostatique, est attractive. Lorsque la pointe sedéplace devant le matériau, la variation de cette force permet d'analy-ser ce dernier. Plusieurs modes de fonctionnement existent. On peutpar exemple mesurer la fréquence d'oscillation du levier, laquelle estmodiée par la présence de la surface.

Fig. 84 Schéma de priincipe d'un microscope à force atomique

Mécaniquement, on peut représenter la pointe A du micro-scope par un pendule élastique vertical de masse m, à l'extré-mité d'un ressort de constante de raideur k et de longueur àvide l0. On peut montrer que la force exercée par les atomes surla pointe s'écrit :

−→F (z) = Kf (z(t)− lc)−→e z ou z est la coordon-

née de la pointe selon la direction verticale, lc est une longueurconstante ; Kf est un coecient de force atomique positif quidépend très fortement de la distance qui sépare la pointe de lasurface à analyser.

1. Établir l'équation diérentielle gouvernant l'évolution dela position z(t) de la pointe.

2. Déterminer la position d'équilibre autour de laquelle au-ront lieu les oscillations.

3. Montrer que l'équation diérentielle gouvernant la posi-tion de la pointe peut s'écrire :

mz(t) + (k −Kf ) z(t) = 0.

4. Quelle est la pulsation propre de l'oscillateur ?

D Propagation d’une onde – Temps retardé

Exercice 85 Propagation d'une impulsion

À l'instant initial (t = 0), une impulsion est décrite mathémati-quement par la fonction y(x, 0) = A

a2+x2 le long de la coordonnéespatiale x.

1. Quelle est la fonction qui la décrit à un instant quel-conque sachant qu'elle se déplace dans la direction des xpositifs à une vitesse v ?

2. Dessiner l'impulsion aux dates t = 0, t1 > 0 et t2 > t1.

34


Exercice 86Parmi les fonctions suivantes, indiquer celles qui représententune onde progressive :1. y(x, t) = A sin

(a x2 − b t

); 2. y(x, t) = A (x+ b t)

3 ;

3. y(x, t) = A cos (a x+ b t)2 ; 4. y(x, t) = A exp [−a (x− b t)] ;

5. y(x, t) = Ab+α (t−a x) ; 6. y(x, t) = A sin2

(a(t− x

v

));

7. y(x, t) = Ae−α t sin (a x− b t)Indiquer la célérité dans le cas où l'onde est progressive.

Exercice 87Une corde, supposée élastique, repose initialement le long d'unaxe appelé (O,−→e z). On suppose que cette élasticité permet dedéformer la corde en un de ses points, dans une direction per-pendiculaire à −→e z, sans que le point ne se déplace selon −→e z.

Un opérateur ébranle l'extrémité O de la corde, qui se dé-forme dans la direction −→e y comme le montre la gure 87, imagede la corde à un instant précis que l'on prendra comme originedes temps : t = 0 (les échelles selon (O,−→e y) et (O,−→e z) sontdiérentes pour une question de commodité du schéma).

Fig. 87 Élongation transversale à l'instant initialL'ébranlement ainsi provoqué se propage ensuite le long de

la corde à la vitesse constante, appelée également célérité del'onde : c = 2 m.s−1. On suppose que cette propagation se faitsans atténuation.

1. L'ébranlement est un déplacement de 10 mm vers le hautsuivi d'un retour à la position initiale. À quel momentdu geste de l'opérateur correspond l'instant t = 0 ? À cetinstant, l'onde a-t-elle déjà commencé sa progression ? Sioui, de quelle distance a avancé le front d'onde ? Endéduire la durée le geste de l'opérateur.

2. (a) Représenter la forme de la corde aux instantst = 0, 5s, t = 1s, t = 2s puis à t quelconque.

(b) Soit y(z; 0, 5) l'élongation du point P d'abscisse z àl'instant t = 0, 5s. À quelle distance se trouve le pointde la corde qui possédait, à l'instant initial t = 0,la même élongation que le point P ? Même questionpour t = 1s, t = 2s, t quelconque.

(c) En déduire la relation mathématique y(z; t) = y(z−c t; 0)pour tout z et pour tout t.

3. (a) Que deviendrait cette relation mathématique si l'ondeproduite au point O se propageait dans la directiondes z décroissants ? On imaginera pour cela que lacorde n'existe que sur la partie z < 0 de l'axe.

(b) Au nal, en considérant les deux sens de propagationpossibles à partir de O, comment se traduit mathé-matiquement l'idée de progression sans atténuation ?Comment intervient le sens de la propagation danscette expression ?

4. (a) Quelle est la nature du mouvement d'un point de lacorde : trajectoire, sens, vitesse ?

(b) Représenter la vitesse v d'un point de la corde devotre choix (par exemple O) au cours du temps.

(c) Comparer cette vitesse v à la célérité c de l'onde :sont-elles identiques, égales ? justier ainsi le termede célérité utilisé pour la vitesse de propagationde l'onde.

Exercice 88Une corde, supposée élastique, repose initialement le long d'unaxe appelé (O,−→e z). On suppose que cette élasticité permet dedéformer la corde en un de ses points, dans une direction per-pendiculaire à −→e z, sans que le point ne se déplace selon −→e z.

Un opérateur ébranle l'extrémité O de la corde, qui se dé-forme dans la direction −→e y comme le montre la gure 88, imagede la corde à un instant précis que l'on prendra comme originedes temps : t = 0 (les échelles selon (O,−→e y) et (O,−→e z) sontdiérentes pour une question de commodité du schéma).

Fig. 88 Élongation transversale à l'instant initialL'ébranlement ainsi provoqué se propage ensuite le long de

la corde à la vitesse constante, appelée également célérité del'onde : c = 2 m.s−1. On suppose que cette propagation se faitsans atténuation.

1. (a) Représenter la forme de la corde aux instantst = 0, 5s, t = 1s, t = 2s puis à t quelconque.

(b) Soit y(z; 0, 5) l'élongation du point P d'abscisse z àl'instant t = 0, 5s. À quelle distance se trouve le pointde la corde qui possédait, à l'instant initial t = 0,la même élongation que le point P ? Même questionpour t = 1s, t = 2s, t quelconque.

(c) En déduire la relation mathématique y(z; t) = y(z−c t; 0)pour tout z et pour tout t.

2. (a) Représenter maintenant l'élongation du point O aucours du temps. Faire de même pour les points d'abs-cisse z = 2 m, z = 4 m, z = 6 m et un point P d'abs-cisse z quelconque. Ces graphes sont-ils identiques àceux de la question 1(a) ? Pour quelle raison évidente,mais importante ?

(b) Si y(2; t) est l'élongation à l'instant t du point situé à2 mètres de O, à quel instant l'origine O de la cordepossédait-elle la même élongation ? Même questionpour z = 4 m, z = 6 m, z quelconque.

(c) En déduire la relation mathématique y(z; t) = y(0; t−z/v)pour tout z et pour tout t.

3. Que faudrait-il changer dans les réponses aux questions1(c) et 2(c) si la corde occupait en fait la partie négativede l'axe (O,−→e z) et si donc l'ébranlement se propageaitdans l'autre sens ?Conclusion : comment se traduit mathématiquementl'idée de progression sans atténuation ? Comment inter-vient le sens de la propagation ?

35


4. Au nal, en considérant le fait que y est une fonction à lafois de l'espace (z) et du temps (t), comment se traduitmathématiquement l'idée de progression sans atténua-tion ? Comment intervient le sens de la propagation danscette expression ?

Exercice 89 Propagation d'une onde périodique dansun milieu unidimensionnel

On opère toujours avec la même corde élastique qu'aux exercicesprécédents, mais le mouvement du point source O est mainte-nant périodique, de période T , comme le montre le graphique 89.L'onde se propage toujours à la vitesse c = 2 m.s−1.

Fig. 89

1. Quelle est la valeur de la période T du mouvement dupoint O ?

2. (a) Représenter la forme de la corde à t = 2 s, 4 s, 8 s etpour t quelconque valant plusieurs fois T .

(b) La forme de la partie de la corde atteinte par l'ondeprésente-t-elle une périodicité ? Si oui, déterminer lavaleur en mètres de cette période spatiale que l'onnotera λ. Comment appelle-t-on λ ? .

(c) Existe-t-il une relation entre la période temporelle Tet la période spatiale λ ? Si oui laquelle ? Commentpourrait-on la démontrer de façon générale à l'aidedes deux relations suivantes qui traduisent :i. la progressivité de l'onde : y(z; t) = y(0; t − z/v)pour tout t et tout z

ii. la périodicité temporelle de la déformation en O :y(0; t+ T ) = y(0; t) pour tout t.

3. Quelle serait l'allure de la corde à un instant quelconquesi la corde s'étendait sur l'ensemble de l'axe (O,−→e z) , Oétant toujours la source de l'onde ?

Exercice 90Une corde repose initialement le long de l'axe (O,−→e x). Àl'instant t0 (diérent de zéro), l'extrémité O de cette corde(x0 = 0 cm) est soumise à un ébranlement qui se propage de lagauche vers la droite sans atténuation à une vitesse V égale à50 cm.s−1. La gure 90 représente la forme de la corde à l'instantt1 = 2 s.

1. Soit M un point de la corde d'abscisse x. Sonélongation Ψ(x, t) à l'instant t vérie la relationΨ (x, t) = Ψ (0, t+ b x) . Exprimer le facteur b et pré-ciser en quelques lignes la signication physique de cetterelation.

2. Tracer la courbe Ψ = Ψ(0, t) donnant l'élongation dupoint O au cours du temps. Quelle est la valeur de t0(date à laquelle l'extrémité O commence à bouger) ?

Fig. 90

Exercice 91On étudie la propagation sans amortissement d'une perturba-tion le long d'une corde élastique. À la date t = 0, le front del'onde quitte l'extrémité O de la corde. À la date t1 = 3, 5 s,on prend un cliché de la corde ; la gure 91 reproduit le clichéavec deux échelles de longueurs diérentes suivant l'horizontaleet suivant la verticale. A1 est la position du front de l'onde à ladate t1, B1 celle de la crête et C1 celle de la queue de l'onde.

1. L'onde qui se propage le long de la corde est-elle trans-versale ou longitudinale ? Quelle est son amplitude ?

2. Calculer la vitesse de propagation v de l'onde le long dela corde.

3. Quelle est la durée τ du mouvement d'un point de lacorde au passage de l'onde ?

4. À la date t1, quels sont les points de la corde quis'élèvent ? ceux qui descendent ?

5. Dessiner l'aspect de la corde à la date t2 = 4, 5 s.

6. Soit M le point de la corde situé à 12, 0 m de O.

(a) À quelle date t3 commence-t-il à bouger ?

(b) À quelle date t4 passe-t-il par un maximum d'alti-tude ?

(c) À quelle date t5 cesse-t-il de bouger ?

(d) À l'aide des résultats précédents, schématiser l'allurede la courbe yM = f(t) où yM représente l'élongationdu point M à la date t.

(e) Comparer à la courbe yO = g(t′) où yO représentel'élongation de l'origine O à la date t′.

(f) Quel lien y a-t-il entre ces deux élongations ?

7. Comment se traduit mathématiquement l'idée de pro-gression de l'ébranlement, sans atténuation ? Où inter-vient le sens de la propagation ?

Fig. 91

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E Ondes progressives sinusoïdales

Exercice 92 DS Juin 2015

On considère l'onde ψ(z, t) décrite par l'évolution spatiale ettemporelle suivante :

ψ(z, t) = D sin(At−Bz + C);

z est la coordonnée selon un axe (0,−→e z) et t est le temps.1. Que représentent D, A, B et C ?

2. On considère que A > 0 et B > 0. Dans quel sens sepropage l'onde ? Justier votre réponse.

3. On considère que A < 0 et B > 0. Dans quel sens sepropage l'onde ? Justier votre réponse.

4. On considère que A > 0 et B < 0. Dans quel sens sepropage l'onde ? Justier votre réponse.

5. Que vaut la période (temporelle) d'oscillation de l'onde ?Exprimer le cas échéant votre résultat en fonction de A,B, C et D. Justier votre réponse.

6. Comment s'appelle la période spatiale ? Comments'exprime-t-elle en fonction des paramètres du problème ?Justiez votre réponse.

7. Que vaut la vitesse de propagation de l'onde ? Justiervotre réponse. Exprimez le cas échéant votre résultat enfonction de A, B, C et D. Justier votre réponse.

8. Tracer l'allure de l'onde en fonction de z à t = 0 et tquelconque. Indiquez soigneusement les points particu-liers. De quelle distance sont séparées les deux ondes ?

9. Tracer l'allure de l'onde en fonction de t à z = 0 et zquelconque. Indiquez soigneusement les points particu-liers.


1. Question de cours : Dénir une onde monochroma-tique.

2. Question de cours : On considère une onde s'écrivant :

ψ(x, y, z, t) = ψ(z, t) = A cos(ω(t− z

v) + φ0) (93.a)

avec v > 0. De quel type d'onde s'agit-il ? Qu'est ce que la phase de cette onde ?

3. Question de cours : Pour l'onde donnée par l'équa-tion (93.a), démontrer qu'il existe une relation liant lapulsation ω de l'onde à sa période temporelle T .

4. Question de cours : Quelle est la dénition de la lon-gueur d'onde ? Démontrer qu'il existe une relation liantla longueur d'onde, ω et v.

5. Question de cours : Quelle est la dénition d'une sur-face d'onde ?

6. Question de cours : Quelle est la surface d'onde carac-térisant l'onde donnée par l'équation (93.a) ? La repré-senter schématiquement.

7. On considère un émetteur d'ondes ultrasonores du typede celui que vous avez utilisé dans le TP sur l'eet Dop-pler. On considère que celui-ci émet une onde plane mo-nochromatique se propageant à une vitesse v dans une di-rection de l'espace notée z. L'émetteur est placé en z = 0et il émet le signal ψ(z = 0, t) = f(t) = Acos(ωt). Repré-senter schématiquement la fonction ψ(z = 0, t) en faisantclairement apparaître son amplitude et sa période.

8. Comment s'écrit mathématiquement l'onde ultrasonoreψ(z, t) se propageant dans l'espace ?

9. Un récepteur xe est placé sur l'axe z à une distance dde l'émetteur. Quelle est l'expression mathématique dusignal recueilli par le récepteur ? Représenter graphique-ment celui-ci. Le signal recueilli par le récepteur est-ilmodié si on déplace le récepteur perpendiculairement àl'axe z. Justier votre réponse.

10. À quelle condition le signal recueilli par le récepteur est-ilen phase avec le signal délivré par l'émetteur ?


Une expérience de physique consiste à tendre horizontalementune corde entre deux extrémités (A et B). On prendra l'axe(O,−→e z) correspondant à la direction de la corde (voir la -gure 94). Le point d'attache en A (en z = 0) peut être dé-placé verticalement par un actionneur (c'est-à-dire suivant l'axe(O,−→e y). Cette perturbation peut alors se propager le long dela corde à une vitesse v qui dépend de la valeur de la tension dela corde.

Y

Z

O

CordeA

Mur

B

actionneur

Fig. 94 Schéma de l'expérience

A. Dans un premier temps, l'actionneur déplace le point Aà vitesse constante suivant le cycle de déplacement ci-dessousdécrit :• de 0 à 2 s le point A passe de la position (0,0) à la position(0,4)

• de 2 à 6 s la position du point A ne varie pas• de 6 à 10 s le point A passe de la position (0,4) à laposition (0,0)

• de 10 à 12 s le point A ne bouge pas• au bout de 12 s le cycle reprend.

1. Représenter en fonction du temps la perturbation del'onde soit l'évolution temporelle du point A (z = zA)entre 0 et 30 s.

2. Quelle est la période temporelle de l'onde ainsi créée ?

37


3. La vitesse de propagation de l'onde sur la corde est de2 m.s−1. Représenter à l'instant t = 30 s, la forme prispar la corde (ψ(z)).

4. Quelle est la longueur d'onde de l'onde progressive ainsifabriquée ?

5. On modie la tension de la corde de sorte que la vitessede propagation est maintenant de 4 m.s−1. La périodetemporelle de l'onde a-t-elle changé ? Si oui que vaut-elle ? Sa longueur d'onde a-t-elle était modiée ? Si ouique vaut-elle maintenant ?

B. Au point A, est créée une perturbation grâce à un mouve-ment sinusoïdal de l'actionneur. La corde au point A a alors unmouvement également sinusoïdal d'équation ψ(t) = y0 cos(ωt).

1. Représenter l'évolution temporelle du mouvement dupoint A sur un graphe ψ(t). On s'attachera à indiquerles valeurs de t pour lesquelles ψ(t) passe par des valeursremarquables.

2. L'onde se propage le long de la corde à la vitessev = 2

π m.s−1 sans subir de déformation. Quelle est lanature de l'onde ainsi produite ? Donner sa forme ma-thématique en fonction de ω, v, z et t.

3. Représenter la photographie de cette onde à l'instantt = 3

2T .

C. Un actionneur similaire est ajouté en B de sorte qu'uneperturbation similaire z(t) = y0 cos(ω t+φ0) est créée en B. Ona alors deux ondes se propageant en sens opposé, l'une partantde A et l'autre de B.

1. Quel est le phénomène mis en évidence lorsque les deuxondes se rencontrent ?

2. À quelle condition ces deux ondes s'annulent-elles ? Onsupposera que les deux ondes partent simultanément dechaque côté et que leur rencontre s'eectue donc au mi-lieu de la corde.

F Généralités sur les ondes

Exercice 95 Calculs de base et ordres de grandeur

1. Une onde pulsée sur une corde tendue parcourt une dis-tance de 10 m en 0,05 s.

(a) Quelle est la vitesse de propagation de l'impulsion ?

(b) b) Quelle est la fréquence d'une onde périodique sepropageant sur la même corde si la longueur d'ondeest 0,8m ?

2. Typiquement l'onde sonore associée à la voix humaine aune fréquence de l'ordre de 500 Hz, alors que la fréquencede la lumière jaune est de l'ordre de 5 1014 Hz.

(a) Rappeler quelles sont les vitesses typiques de propa-gation dans l'air de ces deux ondes.

(b) Quelles sont les longueurs d'onde de ces deux phéno-mènes ondulatoires ?

Exercice 96 À propos du TGV

Une caténaire est le conducteur tendu, situé au-dessus d'un trainélectrique, servant à alimenter les motrices. Celles-ci captent lecourant électrique à l'aide d'un pantographe solidaire de la mo-trice et glissant sur la caténaire, il existe un mur de la caténaire au-delà duquel la caténaire se rompt ; ce mur est atteintlorsque la vitesse du train dépasse la vitesse de propagation desondes transverses dans la caténaire.

1. Les caténaires des lignes des trains à grande vitesse(T.G.V.) ont une masse linéique µ = 1, 25 kg.m−1 etsont tendues en fonctionnement normal avec une tensionF = 2, 104 N.

(a) La vitesse de propagation des ondes transverses enfonction de F et µ se met sous la forme : V = Fαµβ .Trouver les valeurs des coecients α et β (par uneanalyse des dimensions ou des unités).

(b) Quelle est la vitesse maximale que peut atteindre leT.G.V avant rupture de la caténaire ?

2. Lors d'un dernier record, un T.G.V. a atteint une vitessede 515, 3 km.h−1. Quelle tension minimale a-t-il fallu uti-liser pour permettre d'établir ce record ?

Exercice 97 Onde lumineuse

On utilise en TP une onde électromagnétique qui se présentesous forme d'un faisceau laser cylindrique. On considère que lafonction d'onde (forme de l'onde) s(M, t) la caractérisant esttelle que

s (M, t) = 330 cos(

95 1013π(t− z

V

)),

dans le système d'unités internationales.

1. Quelle grandeur physique cette fonction d'ondereprésente-t-elle ?

2. Quelle est l'allure des surfaces d'ondes ? Commentappelle-t-on une telle onde ?

3. Déterminer :

(a) l'amplitude de l'onde,

(b) sa pulsation, sa fréquence ainsi que sa période T ,

(c) la norme de son vecteur d'onde et sa longueur d'ondedans l'air (nair ' nvide). Quelle est la couleur du fais-ceau laser ?

(d) Quelle est la signication du terme(t− z

V

)? Préciser

le sens de propagation de l'onde et représenter l'allurede l'onde aux instants : 0, T/4, T/2 et T . Conclure.

38


Exercice 98 Marégraphes cotiers

Depuis 1992, le Service Hydrographique et Océanographiquede la Marine (SHOM) a décidé de placer sur les cotesfrançaises un réseau de marégraphes numériques permanents,appelés MCN (marégraphes côtiers numériques). Ces dis-positifs sont destinés à observer les hauteurs des marées.Le MCN est équipé d'un télé-mètre. Certains télémètres enservice sont constitués d'unémetteur et d'un récepteur d'ul-trasons : placés au-dessus del'eau, ils émettent des salvescourtes d'ultrasons et détectentle signal rééchi par la surfacede l'eau. Le temps écoulé entrel'émission et la réception du si-gnal peut être traduit en hauteurd'eau : on utilise ainsi le MCNpour mesurer la hauteur de lamarée. Le schéma de l'observa-toire de Brest-Penfeld illustre ceprincipe.

Les ondes ultrasonores sont des ondes mécaniques longitudi-nales.

1. Dénir une onde mécanique. Dénir une onde longitudi-nale. Dénir une onde mécanique transversale.

2. Exprimer la durée dt écoulée entre l'émission et la récep-tion d'une salve d'ultrasons, en fonction de L et v, oùv désigne la célérité du son dans l'air. L représente ladistance entre l'émetteur et la surface de l'eau.

Le télèmètre est placé à 10 m au-dessus du zéro hydrogra-phique. La table 98 rassemble un extrait des hauteurs de maréesmesurées le dimanche 31 juillet 2005 à Fort-Mahon :

Heure 3h19 9h00 15h52 21h32Hauteur (m) 3,07 7,50 3,20 7,63

Tab. 98

3. Calculer la durée dt1 qui a permis de calculer la hauteurd'eau à marée basse à 15h52. On supposera qu'au mo-ment de cette mesure, la célérité du son dans l'air vaut340 m.s−1 et la température de l'air est T1 = 14C.

Le même jour au Cap Ferret, avec une installation identiqueà celle de Fort-Manon, une durée dt2 supérieure à dt1 a conduità la même valeur de hauteur d'eau H que précédemment.

4. Dans l'expression établie ci-dessus, quelle est la grandeurphysique responsable de la diérence de la durée dt depropagation des salves d'ultrasons entre Le Cap Ferret etFort-Mahon ? Justier la réponse. Cette grandeur a-t-elleaugmenté ou diminué ?

5. Justier la présence d'un capteur de température dans lemarégraphe.

.Exercice 99 Tsunami

Un tsunami est une vague géante ou une série de vagues, venant dufond de l'océan. Il peut être provoqué par un séisme : celui-ci provoquele soulèvement ou l'eondrement d'une partie du fond océanique, lamasse d'eau située au-dessus est alors, sur plusieurs centaines de ki-lomètres brusquement déplacée.

Un tsunami peut être assimilé à une onde circulaire se propa-geant depuis son point de formation, exactement comme les rondsdans l'eau qui apparaissent après avoir jeté un caillou dans une mare.

La vitesse de propagation d'un tsunami est donnée par larelation v =

√gh avec g : intensité de la pesanteur ( 10 m.s−2 )

et h la profondeur du fond océanique, exprimée en mètres.

1. À partir d'une analyse dimensionnelle, montrer que larelation précédente est homogène.

En se rapprochant des côtes, le tsunami perd de la vitesse,mais conserve presque la totalité de son énergie. Les vagues, ense rapprochant des côtes, prennent de l'amplitude. Lorsque letsunami atteint le rivage, il peut prendre la forme d'une série devagues déferlantes, au cours desquelles la mer monte et descendbrusquement, ou d'un mur d'eau dévastateur. Le schéma 99 re-présente qualitativement l'évolution de l'onde responsable d'untsunami à l'approche des côtes.

Fig. 99 Onde responsable d'un tsunami à l'approche des côtes

On se propose d'étudier la propagation du tsunami qui, en1960, t plus de 2000 victimes au Chili. Ce tsunami fut provo-qué par un séisme dont l'épicentre E se trouvait au large descôtes chiliennes à une profondeur h0 = 7000 m.

La carte ci-dessous simule, heure par heure à partir de sondéclenchement au niveau de l'épicentre E, la position du frontde l'onde générée par ce séisme.

Les valeurs de la vitesse de propagation v et la longueurd'onde λ pour diérentes profondeurs h sont données dans letableau 99

Profondeur h (m) 7000 4000 2000 200 50 10Vitesse v (km/h) 943 713 504 159 79 36

Longueur d'onde λ (km) 282 213 151 48 23 10,6Tab. 99

2. Calculer la vitesse de propagation ( ou célérité ) du tsu-nami à la profondeur h = 1000 m.

3. Rappeler la dénition de la longueur d'onde.

4. Quelle relation y a-t-il entre la longueur d'onde et la pé-riode de l'onde T ?

39


5. Représenter en annexe la courbe λ = f(v).6. Quelle est l'allure de cette courbe ? En déduire l'ordre de

grandeur de la période T de l'onde.

An d'améliorer la prévision des tsunamis en temps réel,la N.O.A.A. (National Oceanic and Atmospheric Administra-tion, U.S.A.) a mis en place un réseau de détection D.A.R.T.(Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunami). Il permetde détecter les mouvements en profondeur grâce à des capteursde pression situés au fond de l'océan : le signal est envoyé paronde acoustique (onde sonore) vers une bouée en surface qui en-voie immédiatement, sous forme d'onde électromagnétique, les

informations au centre de contrôle d'Hawai via un satellite géo-stationnaire, situé à 3.6104 km d'altitude.

7. Quelle est la durée ∆t nécessaire à la transmission d'uneinformation entre le capteur de pression et la bouée ensurface si la distance qui les sépare est d = 3000 m?(vitesse du son dans l'eau 1500 m.s-1)

8. Quelle est la durée ∆t′ nécessaire à la transmission d'uneinformation entre la bouée et le satellite ?

9. Donner l'ordre de grandeur du temps séparant la détec-tion du tsunami et le déclenchement de l'alerte.

10. Conclure quant à l'ecacité de ce dispositif.

Exercice 100 Onde mécanique sinusoïdale

On considère une onde mécanique se propageant suivant l'axedes x dans un milieu matériel. L'expression du déplacement quien résulte est :

s (M, t) = s (x, t) = 10−2 sin(103π t− 10x

),

dans le système d'unités internationales. Déterminer :

1. L'amplitude, la pulsation, la fréquence et la période del'onde.

2. La norme du vecteur d'onde, la longueur d'onde, la vi-tesse de l'onde et le sens de propagation.

40


Surfaces d’onde — Effet Doppler -TD 15& 16

A Objectifs

1. Maîtriser la notion de surface d'onde ;

2. Maîtriser les notions d'ondes plane et sphérique ;

3. Savoir établir lexpression du décalage en fréquence et en longueur d'onde Pour une source mobile et un récepteur xe Pour une source xe et un récepteur mobile

4. Savoir retrouver le décalage de fréquence et donc la vitesse d'un objet à partir de la réexion d'une onde (radar)

5. Savoir représenter les surfaces d'onde

B Surfaces d’onde

Exercice 101

Fig. 101 Ondes à la surface de l'eau

On rappelle l'expression d'une onde plane monochromatiqueprogressive se propageant selon l'axe (O,−→e z) selon les z crois-sants :

Ψ(z, t) = Ψ0sin(ωt− kz + φ0) (101.b)

On rappelle l'expression d'une onde sphérique au pointM émisepar une source monochromatique ponctuelle S :

Ψ(M, t) =1

SMΨ0sin(ωt− k SM + φ0) (101.c)

1. Pour l'onde plane et pour l'onde sphérique, rappelez ladénition de la phase de l'onde. Donnez son expression àpartir des expressions (101.b) et (101.c)

2. Sur la gure 101 sont représentées des surfaces d'onde àun instant t = t0. Les traits noirs représentent des sur-faces d'onde. Rappelez la dénition d'une surface d'onde.

3. Que pouvez vous dire de la direction de propagation del'onde dans le cas a) (onde sphérique monochromatiqueémise par une source ponctuelle S) et b) (onde planemonochromatique) ?

4. Sur la gure 101, tracez en plusieurs endroits la directionde propagation et représentez le vecteur d'onde.

5. Représentez dans les deux cas les surfaces d'onde à uninstant t = t0 + δt où δt < T avec T = 2π/ω. Commentsont les surfaces d'onde à l'instant t = t0 + T .

S

a) b)

Fig. 101 Surfaces d'onde a) Onde sphérique b) Onde plane.

C Effet Doppler

Exercice 102 Bagages sur un tapis roulant

À l'aéroport, un employé dépose sur le tapis un nouveau bagagetoutes les deux secondes. De l'autre côté du tapis, son supérieurl'appelle et lui demande de le rejoindre. L'employé saisit alorsplusieurs bagages et se dirige vers lui tout en continuant à dépo-

ser les bagages sur le tapis toutes les deux secondes sur le tapis.Mais là, curieusement, lorsque les bagages arrivent au scannerla chaîne se bloque et l'appareil indique : Temps insusantpour procéder au contrôle .Question : Expliquer pourquoi la chaîne de contrôle a été in-

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terrompue.En posant f , la fréquence à laquelle les bagages sont déposéssur le tapis, fr la fréquence avec laquelle il arrive au scanner, Vela vitesse de déplacement de l'employé, V la vitesse de déplace-ment des bagages sur le tapis, et L la longueur du tapis.

1. Exprimer le temps t1 auquel le 1erobjet arrive au scanner.2. Exprimer le temps t2 auquel le 2eobjet arrive au scanner.3. Déterminer la relation liant Tr à TS en fonction de V etVe.

4. En déduire la relation liant fr à fe en fonction de V etVe.

5. En déduire Ve en fonction du décalage de fréquence ∆f ,de V et de fr.

Exercice 103 Le Bruit du Klaxon

La fréquence du son émis par un klaxon de voiture est de 880 Hz.Le véhicule se déplace à la vitesse de 100 km.h−1.

1. Quelle est la fréquence entendue par un observateur im-mobile

(a) lorsque la voiture se rapproche ?

(b) lorsque la voiture s'éloigne ?

2. L'observateur perçoit-il une note diérente ?

3. Représenter les surfaces d'onde dans chacun des cas pré-cédents

Notes Do Do# Ré Ré# Mi Fa Fa# Sol Sol# La La# Si DoF (Hz) 523 554 587 622 659 698 740 784 830 880 932 988 1046

Tab. 103 Fréquence des notes de musique pour l'octave 4

Exercice 104 Radar routier

Les radars routiers émettent des ondes de fréquencesf = 24, 125 Ghz, se propageant à la célérité c de la lumière dansl'air. L'onde se rééchit sur le véhicule de vitesse v se rapprochantdu radar. Le véhicule renvoie l'onde vers l'appareil, lequel prend unephoto si la vitesse du véhicule est trop importante.

Pour simplier les calculs, on admet que la voiture se déplaceexactement dans la direction du radar.

1. Quelle est la longueur d'onde de l'onde émise par le ra-dar ? De quel type d'onde s'agit t-il ?

2. Représenter les surfaces d'onde de l'onde émise.

3. Exprimer la fréquence perçue f ′ par l'automobiliste enfonction de f , v et c.

4. Suite à la réexion sur la voiture, le radar devient, à sontour, récepteur. Exprimer la fréquence f ′′ perçue par lerécepteur en fonction de f ′, v et c.

5. En déduire f ′′ en fonction de f , v et c. Calculer l'écartde fréquence ∆f = f ′′ − f lorsque la voiture roule à130 km.h−1.

6. Exprimer v en fonction de ∆f . Si le radar mesure4, 02 kHz , quelle est la vitesse du véhicule ?

7. Les radars sont conçus pour mesurer des écarts de fré-quence de l'ordre de 45 Hz. Quelle est la plus petite va-riation de vitesse qu'ils sont capables de détecter ?

Exercice 105 Vélocimétrie Doppler

On utilise l'eet Doppler en médecine pour mesurer la vitessedes globules rouges. Il permet de déceler des anomalies commeles obturations partielles au niveau desquelles la vitesse d'écoule-ment est plus élevée. On utilise un émetteur d'ultrasons à quartzde fréquence fe = 4 MHz. L'onde ultrasonore se propage à unevitesse d'environ Vu−son = 1540 m.s−1. On mesure la fréquencereçue fr en retour.

1. La vitesse des globules rouges se calcule à l'aide de larelation suivante

V =Vu−son

2fe

fr − fecosα

.

Quelle est la diérence avec le radar routier de l'exer-cice 104 ?

2. Au cours d'une échographie Doppler, le décalage en fré-quence mesuré est de 4,6kHz pour un angle α = 30.Calculer la vitesse d'écoulement du sang.

3. Bien que la célérité de l'onde soit connue l'angle α dif-cile à xer de manière rigoureuse. Si l'erreur maximalesur l'angle est de 5, quelle est l'incertitude sur la vitessemesurée ? s'agit il d'une méthode précise ?

Exercice 106 Expansion de l'univers

En 1925, l'astronome Edwin Hubble a découvert l'existenced'autres galaxies que la Voie Lactée. Il a ensuite montré queles galaxies s'éloignent toutes les unes des autres. Nous allonsvoir comment dans le problème suivant.

1. Une annéelumière est la distance parcourue par la lu-mière (dans le vide) en un an. Que vaut 1 annéelumière(al) en mètres (m) ?

2. On considère un univers unidimensionnel. Soit une ga-laxie qui s'éloigne de la nôtre à une vitesse v et qui émetde la lumière dans notre direction. La galaxie en questionainsi que la Voie lactée seront traitées comme des objetsponctuels. La galaxie qui s'éloigne émet de brefs éclairslumineux à intervalles de temps réguliers Te. Avec quellepériode Tr recevons-nous ces éclairs ?

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3. En déduire la fréquence fr des éclairs reçus en fonction decelle d'émission fe. Cette fréquence de réception est-elleplus grande ou plus petite que la fréquence d'émission ?

4. Pourquoi qualie-t-on de décalage vers le rouge ce chan-gement de fréquence ?

5. On imagine qu'on analyse la lumière provenant de la ga-laxie Virgo A (ou M87) avec un spectromètre (i.e. unappareil qui permet d'analyser les fréquences contenuesdans la lumière reçue). On détecte dans la lumière re-çue des raies correspondant à l'atome d'hydrogène. Onconstate alors que ces raies sont décalées par rapport àce qu'on mesure habituellement dans une lampe à va-peur d'hydrogène sur terre). Par exemple, la raie Hβ

est trouvée avec une longueur d'onde de 487,9 nm alorsque cette même raie est mesurée à une longueur d'ondeλt = 486, 1 nm dans une lampe à vapeur d'hydrogène(sur terre).(a) Quelle hypothèse fait-on quand on écrit que la lon-

gueur d'onde de la lumière émise λe = λt ?(b) En faisant cette hypothèse, calculer la vitesse d'éloi-

gnement v de la galaxie Virgo A et la comparer à cellede la lumière.

Exercice 107 Atterrissage de la sonde Cassini-Huygens

En 2004 la sonde Cassini-Huygens est arrivée dans le système deSaturne. Le module Huygens s'est détaché de la sonde Cassinipour aller se poser à la surface de Titan. An de ne pas s'écra-ser sur le sol, Huygens était doté d'un radar émetteur-récepteurpermettant par eet Doppler-Fizeau de mesurer sa vitesse derapprochement du sol de Titan.

1. Décrire le fonctionnement d'un émetteurrécepteur etquelle est son utilité dans ce cas ?

2. En décrivant le trajet suivi par une onde émise par Huy-gens, rééchie par le sol de Titan et revenant à Huygens,déterminer le décalage entre la longueur d'onde émise λset la longueur d'onde perçue λr en fonction de la vitessede la lumière c, λs et la vitesse de rapprochement dela sonde Huygens du sol de Titan vr (on considère quevr c).

3. Les ondes radar émises ont une longueur d'ondeλs = 2 cm. Sachant que la vitesse de rapprochement dela sonde Huygens à l'instant de son largage par la sondeCassini est de 20 m.s−1, calculer le décalage en longueurd'onde correspondant.

4. Quelle est la vitesse de rapprochement de la sonde lorsquele décalage λr − λs = 5, 337 nm (ce décalage correspondà l'ouverture d'un parachute permettant de ralentir lachute de la sonde).

Exercice 108 Refroidissement Doppler

Le refroidissement Doppler d'atomes par laser est une tech-nique qui permet de refroidir un gaz atomique, jusqu'à des tem-pératures de l'ordre du mK. La température d'une assembléed'atomes correspond à l'agitation thermique qui y règne : elleest liée aux vitesses microscopiques que conservent les atomes,malgré l'immobilité apparente de l'assemblée à l'échelle macro-scopique.

Si un atome est placé dans un faisceau laser incident dont lafréquence ν est proche d'une fréquence ν0 de transition atomiqueentre deux niveaux d'énergie Ea et Eb, soit ν0 = Eb−Ea

h (fais-ceau résonant), alors les phénomènes d'absorption et d'émis-sion spontanée peuvent donner naissance à une force qui poussel'atome dans le sens de propagation de l'onde, et permet doncde le manipuler.

En eet, les photons sont chacun dotés d'une quantité demouvement hν

c . Les phénomènes d'absorption et d'émissionspontanée induisent une modication de la quantité de mouve-ment de l'atome. Pour illustrer ce fait et xer un ordre de gran-deur, calculer la vitesse vr qu'acquiert un atome initialement aurepos par absorption ou émission d'un photon en faisant l'appli-cation numérique pour l'atome de rubidium (m = 1, 45 10−25 kget λ = 0.78 µm, qui est un atome couramment utilisé lors de lamanipulation d'atomes froids

Le principe du refroidissement Doppler à une dimension uti-lise deux lasers face-à-face, contre-propageants, accordés sur unemême fréquence ν diérente de la fréquence de transition ato-mique ν0. Un atome, plongé dans ces champs lasers et ayant unevitesse −→v voit dans son référentiel propre deux champs lasers defréquences diérentes. Sachant que la probabilité d'absorptiond'un photon diminue quand le désaccord δ = ν − ν0 augmenteen valeur absolue,

Mettre en évidence la possibilité du refroidissement pareet Doppler.

Déterminer le signe du désaccord à utiliser.Le procédé se généralise sans peine à trois dimensions, on obtientainsi une mélasse optique qui ralentit les atomes ; leur agi-tation thermique, en particulier, diminue, et l'on peut de cettemanière atteindre des températures de l'ordre de 100 microkel-vins 8.

8. pour plus de détails, vous pouvez consulter le site http://www-old.lkb.ens.fr/recherche/atfroids/tutorial/index2.htm

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http://www-old.lkb.ens.fr/recherche/atfroids/tutorial/index2.htm


Miscellaneus

Constantes universellesNom Symbole Valeur Incertitude relative

Célérité de la lumière dans le vide c (ou c0) 299 792 458 m.s−1 exacte (déf. mètre)Perméabilité magnétique du vide µ0 4π 10−7 kg.m.A−2.s−2 exacte (déf. ampère)Permittivité diélectrique du vide ε0

1µ0 c2

Par dénitionConstante de Planck h 6,626 069 57 10−34 kg.m2.s−1 (ou J.s) 4,4 10−8

Charge élémentaire e 1,602 176 565(35) 10−19 A.s (ou C) 2,2 10−8

Constante gravitationnelle G 6,673 84(80) 10−11 m3.kg−1.s−2 1,2 10−4

Constantes physico-chimiques

Nom Symbole Valeur Incertitude relative

Température du point triple de l'eau T0 273,16 K Par dénitionPression standard de l'atmosphère atm 101 325 Pa Par dénition

Nombre d'Avogadro NA 6,022 141 29(27) 1023 mol−1 4,4 10−8

Constante des gaz parfaits R 8,314 462 1(75) J.K−1.mol−1 9,1 10−7

Constante de Boltzmann kB 1,380 648 8(13) 10−23 J.K−1 9,1 10−7

Unité de masse atomique uma 1,660 538 86(28) 10−27 kg 1,7 10−7

Constantes atomiques et nucléaires

Nom Symbole Origine Valeur et Incertitude

Rayon de Bohr a0h2 ε0πme e2

5,291 772 108(18) 10−11 mMasse du proton mp Mesure 1,672 621 71(29) 10−27 kgMasse du neutron mn Mesure 1,674 927 28(29) 10−27 kgMasse de l'électron me Mesure 9,109 382 6(16) 10−31 kgMasse du muon mµ Mesure 1,883 531 40(33) 10−28 kgMasse du tau mτ Mesure 3,167 77(52) 10−27 kg

Masse du boson Z mZ Mesure 1,625 56(13) 10−25 kgMasse du boson W mW Mesure 1,433 4(18) 10−25 kg

Alphabet GrecA α alpha I ι iota P ρ rhoB β beta K κ kappa Σ σ sigmaΓ γ gamma Λ λ lambda T τ tauE ε epsilon M µ mu Y υ upsilon∆ δ delta N ν nu Φ φ phiZ ζ zeta Ξ ξ xi X χ chiH η eta O o omicron Ψ ψ psiΘ θ theta Π π pi Ω ω omega

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it is di cult to get across a real feeling as to the beaut...

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