ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury...
Transcript of ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury...
![Page 1: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/1.jpg)
SüsteemiteooriaISS0010 2-1-1 E 5 EAP
Diskreetaja süsteemid: mudelid, analüüs, modelleerimine, parameetrite hindamine
http://www.a-lab.ee/edu/ISS0010 Eduard Petlenkov
[email protected], TTÜ ICT-502b, tel. 6202104TTÜ Arvutisüsteemide instituut
Arukate süsteemide keskus
Kursuse koostamisel on kasutatud Ennu Rüsterni poolt ettevalmistatud loengumaterjale
![Page 2: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/2.jpg)
Pidevaja süsteemi mudelidÜlekandemudelid: Olekumudel:[sisend–väljund mudelid] [sisend-olek-väljund mudel]● diferentsiaalvõrrand / ● olekuvõrranddif.võrrandite süsteem ● väljundvõrrand● ülekandefunktsioon /ülekandemaatriks● hüppekaja /hüppekajade maatriks● impulsskaja /impulsskajade maatriksPoolused [ülekande- ↔ Omaväärtused [oleku-funktsiooni nimetaja juured] võrrandi A maatriksi oma-
väärtused]Poolused / omaväärtused määravad süsteemi käitumise.
![Page 3: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/3.jpg)
Pidevaja süsteemi olekumudel
îíì
=+=)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
.
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)(;
)(
)()(
)( 2
1
2
1
2
1
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
ty
tyty
ty
tu
tutu
tu
tx
txtx
tx
mrn
!!!
kus A – nxn; B – nxr; C – mxn;
ïïî
ïïí
ì
=
+= ò¬
-
-
¬-
Cx(t)y(t)
)()0()(0
)(min
)(
)0(min
t
tuesundliiku
tA
xevabaliiku
At dBuexetx !! "!! #$"#$ ttt
![Page 4: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/4.jpg)
Ekvivalentne diskreetne süsteem (1)
Antud on pidevaja süsteemi olekumudel
îíì
=+=
)0(),()()()()(
xtCxtytButAxtx!
)()()()()()(
k
k
k
tytytxtxtutu
®®®
tk-1 tk tk+1
D/A A/DSüsteem
Kell
u(tk) u(t) y(t) y(tk)
kus A – nxn; B – nxr; C – mxn.
![Page 5: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/5.jpg)
Lähtume pidevaja olekumudeli lahendist
ò -+=t
AAt dtBuexetx0
)()0()( ttt
● tk→t (üleminek)
ò -- +=t
t
tAk
ttA
k
k dBuetxetx ttt )()()( )()(
● t→tk+1
ò
ò+
++
+
++
--
--+
+=
=+=
1
11
1
11
)()(
)()()(
)()(
)()(1
k
k
kkk
k
k
kkk
t
tk
tAk
ttA
t
t
tAk
ttAk
tBudetxe
dBuetxetx
t
tt
t
t
NB! tk → tk+1 u(t)=u(tk)
Ekvivalentne diskreetne süsteem (2)
![Page 6: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/6.jpg)
kus
),(),()(),()( 111 kkkkkkk tutttxtttx +++ G+×F=
ò-
+
-+
+
+
×=G
=Fkk
kk
ttA
kk
ttAkk
Bdett
ett1
1
01
)(1
.),(
,),(
tt
Eeldame !,2,1,01 ==-+ khtt kk
teisiti .,2,1,0 !== kkhtk
îíì
=G+F=+);0(),()(
)()()(xkhCxkhy
khukhxhkhx
kus
,
,
0ò=G
=Fh
A
Ah
Bde
e
tt
Ekvivalentne diskreetne süsteem (3)
ekvivalentne diskreetne süsteem.
![Page 7: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/7.jpg)
Probleem – h valik!?îíì
=G+F=+)0(),()(
)()()1(xkCxky
kukxkxh!
Olekuvõrrandi lahendamine: k=k0 (→ tavaliselt k0=0)
)1()()()1()1()2(
)()()1(
0002
000
000
+G+FG+F=
=+G++F=+G+F=+
kukukx
kukxkxkukxkx
å-
=
---
---
GF+F=
=-G+GF+F=1
10
01
0
0
0
00
)()(
)1()()()(k
kj
jkkk
kkkk
jukx
kukukxkx !
Ekvivalentne diskreetne süsteem (3)
![Page 8: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/8.jpg)
tk tk+1
t ?ò-
-
=G
=Fk
k
ttA
k
ttAk
Bdett
ett
0
)(
.),(
,),(
tt
),(),()(),()( kkkk tutttxtttx G+F=
kus
NB! h valitakse Shannon-Kotelnikovi teoreemi alusel.
Näide No.1 Φ ja Γ arvutamine
îíì
=+=),()(
)()()(tCxty
tButAxtx!
[ ].01,10
,0010
=úû
ùêë
é=úû
ùêë
é= CBAkus
![Page 9: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/9.jpg)
Leiame Φ ja Γ üldkujul
úû
ùêë
é=+úû
ùêë
é+úû
ùêë
é+úû
ùêë
é=+++==F10
10000
000
1001
!2
22 hhhAAhEeAh !!
òò úû
ùêë
é=úû
ùêë
é×úû
ùêë
é==Ghh
A
hh
dBde0
2
0
2/10
101
tt
tt
[ ] )(01)(
)(2/
)(10
1)(
2
khxkhy
khuhh
khxh
hkhx
=
úû
ùêë
é+úû
ùêë
é=+
Φ Γ
CΦ ja Γ arvutasime eAh astmerea alusel.
![Page 10: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/10.jpg)
Meil on antud olekumudel
îíì
=G+F=+)0(),()(
)()()1(xkCxky
kukxkx
Soovime leida ülekandemudeli (sisend-väljund mudeli).
Võtame kasutusele operaatori z
)1()()1()()(
1 -=
+=- kykyz
kykzyky
)()()()()()(
)()()()1(
kukxzEkukxkzx
kukxkzxkx
G=F-G=F-
G+F==+
)()()()(
)()()(
)(),(
1
)(
1
kuzECkCxky
kuzEkx
zHuyzH
zHux
!!"!!#$
!"!#$
GF-==
GF-=
-
-
![Page 11: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/11.jpg)
H(z) – ülekandemaatriks– m x r.
Eeldame, et m=r=1 → ühemõõtmeline süsteem.
)()()(
1)()()()()(
11
11
1
1
kukyzH
zazazbzb
zAzBzAzBzH
nn
nn
=
+++++
==
=
--
--
-
-
!!
ülekandefunktsioon
),()1()()1()( 11 nkubkubnkyakyaky nn -++-=-++-+ !!
diferentsvõrrand.
Kui u(k)! on antud, siis y(k) !on leitavad
)()1()()1()( 11 nkubkubnkyakyaky nn -++-+-----= !!
![Page 12: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/12.jpg)
Näide No.2
îíì
=G+F=+
),()()()()1(
kCxkykukxkx
[ ].01,2/
,10
1 2
=úû
ùêë
é=Gúû
ùêë
é=F Chhh
kus
h!
úû
ùêë
é---
=úû
ùêë
é-úû
ùêë
é=F-
GF-= -
101
101
1001)()( 1
zhzh
zzE
zECzH
Olgu h=1, siis ,1011úû
ùêë
é---
=F-z
zzE úû
ùêë
é---
-=F- -
1011
)1(1)( 2
1
zz
zzE
[ ] =-
+=
úúû
ù
êêë
é×úû
ùêë
é-
--
= 22 )1(
)1(21
121
1011
)1(101)(
z
z
zz
zzH
21
21
2 215.05.0
125.05.0
--
--
+-+
=+-
+=
zzzz
zzz
![Page 13: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/13.jpg)
)()(
215.05.0)( 21
21
kuky
zzzzzH «
+-+
=--
--
)2(5.0)1(5.0)2()1(2)( -+-=-+-- kukukykyky
)2(5.0)1(5.0)2()1(2)( -+-+---= kukukykyky
[ ].)2(),1(),2(),1()( ----= kukukykyfky
Süsteemi järk on 2.
8115.4245.41125.032115.0025.010001000000)()1()2()1()2( kykukukykyk ----
u(k)=1, k≥0
![Page 14: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/14.jpg)
1 2 3 4
8
6
4
2
y(k)
k
reaalaeg !?
h=1 → k=4 → kh=4h≠1 → k → kh=t
z-teisendus
{ }!,2,1,0);( =kkx jada
å¥
=
-=0
)()(k
kzkxzX
kujutis originaal
1952 – 1958Jury
BarkerTsõpkin
![Page 15: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/15.jpg)
îíì
=G+F=+)0(),()(
)()()1(xkCxky
kukxkx
å å
å å¥
=
¥
=
--
¥
=
¥
=
--
G+F=
=úûù
êëé -+=+
0 0
0 0
)()(
)0()1()1(
k k
kk
k k
kk
kuzkxz
xkxzzkxz
)()(
)()(
0
0
zUzku
zXzkx
k
k
k
k
=
=
å
å¥
=
-
¥
=
-
[ ] )()()0()( zUzXxzXz G+F=-
!!! "!!! #$!! "!! #$ )()()0()()( 11 zUzEzxzEzX GF-+F-= --
GF-= -1)()( zECzH
![Page 16: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/16.jpg)
Mõned z-teisendused:
,1
)(0,1)(-
=®³=zzzXkkx
)()( kxtx h¾®¾[ ]
ïî
ïíì
+=
=
=
ò¥
-
wt js
dtetxsX
txLsX
st
!0
)()(
)()( [ ]
ïî
ïíì
+=
=
=
å¥
=
-
Jr jz
zkxzX
kxZzX
k
k
0)()(
)()(
Aeg - pidev Aeg - diskreetne
x(t), t ≥ 0 x(k), k ≥ 0
z=esh, h-diskreetimissamm
2)1()(0,)(
-=®³=zhzzXkkhkhx
alati
alati ei saa !
s zR=1
![Page 17: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/17.jpg)
Näide No.3x(k) arvutamine X(z) alusel.
ïî
ïí
ì
=
+-=
+-=
å¥
=
-
--
-
0
21
2
2
)()(
5.05.1110
5.05.110)(
k
kzkxzX
zzz
zzzX
10 5.05.12 +- zz!+++ --- 432 5.171510 zzz
- 21 51510 -- +- zz21 5150 -- -+ zz
321 5.75.2215 --- ++ zzz-32 5.75.170 -- -+ zz
432 75.825.265.17 --- +- zzz-43 75.875.180 -- -+ zz
x(0)=0x(1)=0 ← x(h)x(2)=10 ← x(2h)x(3)=15 ← x(3h)x(4)=17.5 ← x(4h)
![Page 18: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/18.jpg)
H(z)u(k) y(k)
U(z) Y(z)
Y(z)=H(z)∙U(z)
Süsteemifunktsioonid diskreetaja süsteemides (nullised algtingimused):
)()(
)()()(
)()()( 1
1
-
-
===zAzB
zAzBzH
sAsBsH
Lugeja järk võib olla nimetaja järguga võrdne
Neg.astmete puhul: lugeja ja nimetaja järgud võrdsed
[ ]
úûù
êëé=
=
-
-
ssHLtg
sHLth)()(
)()(
1
1 [ ]
úûù
êëé
-×=
=
-
-
1)()(
)()(
1
1
zzzHzkg
zHzkh
H(s)/ H(z) –ülekandefunktsioon, h(t)/ h(k) – impulsskaja, g(t) / g(k) – hüppekaja.
![Page 19: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/19.jpg)
Süsteemide modelleerimine (1)Vaatleme reaalsele süsteemile (matemaatilise) mudeli koostamise protsessi:
● Matemaatilise mudeli koostamisel on aluseks antud rakendusvaldkonnas kehtivad seaduspärasused ja süsteemis toimuvad protsessid ning tulemuseks on modelleeritava süsteemi mudel.
● Mudel oma ülesehituselt on kas ülekandemudel (ehk sisend-väljund mudel) või olekumudel (sisend-olek-väljund mudel). On oluline märkida, et sisend- ja väljundmuutujad on reaalsed ning seega üldjuhul mõõdetavad.
![Page 20: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/20.jpg)
Süsteemide modelleerimine (2)● Reaalse süsteemi mudeli koostamisel on probleemiks mudeli parameetrite (ehk kordajate või koefitsientide) määramine, mida nimetatakse parameetrite hindamiseks.
● Parameetrite hindamisel on aluseks süsteemi muutujate (tavaliselt sisend- ja väljundmuutujate) mõõtetulemused ja mudeli struktuur. Parameetrite hindamine võib toimuda ka reaalajas.
● Parameetrite hindamise baasmeetodiks on vähimruutmeetod. Johann Carl Friedrich Gauss`i poolt 1795.aastal välja pakutud ja tema poolt planeetide orbiitide määramisel kasutatud meetod.
![Page 21: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/21.jpg)
Süsteemide modelleerimine (3)● Meie kõik tunneme vähimruutmeetodit kui ülemääratud lineaarsete võrrandisüsteemide ligikaudse lahendamise meetodit.
● Sõltuvalt mudeli kujust on lisaks klassikalisele vähimruutmeetodile süsteemide modelleerimisel kasutusel ka mitmed selle meetodi modifikatsioonid.
● Praktikas on olulise tähtsusega rekurrentne vähimruutmeetodi arvutusskeem, mis võimaldab mudeli parameetrite hindamist reaalajas.
● Süsteemide modelleerimisega seonduvad märksõnad: system modeling, system idendification, parameter estimation, least-squares estimation.
![Page 22: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/22.jpg)
Parameetrite hindamine - süsteemimudelParameetri hindamise probleemi esitamisel lähtume skalaarse lineaarse statsionaarse süsteemi diskreetaja mudelist kujul
)k(u)z(Bz=)k(y)z(A 1-d-1- (*)
kus
m-m
2-2
1-1
1-
n-n
1-1
1-
zb...+zb+zb=)z(B
,za+...+za+1=)z(A
ja d hilistumine mõõdetuna diskreetimise sammudes.
Lineaarse statsionaarse süsteemi mudel võib olla antud ka diferentsvõrrandi kujul
)--(...)2--()1--()-(...)1-()(
2
11
mdkubdkubdkubnkyakyaky
m
n
+++=+++
(**)
![Page 23: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/23.jpg)
Eeldame, et y(k) ja u(k) tähistavad signaalide variatsioone s.t. reaalsete signaalide Y(k) ja U(k) kõrvalekaldeid väljakujunenud väärtustest Y∞ ja U∞
.Y-)k(Y=)k(y,U-)k(U=)k(u
∞
∞
Parameetrite hindamine seisneb polünoomide A(z-1) ja B(z-1)kordajate ai ja bj hindamises u(k) ja y(k) mõõtetulemuste alusel, eeldusel, et polünoomide astmed n ja m ning hilistumine d on teada.
![Page 24: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/24.jpg)
Parameetrite hindamine - vähimruutmeetod
Parameetrite hindamisel enamkasutatavaks meetodiks on vähimruut-meetod. Vähimruutmeetodi tuletamiseks lähtume matemaatilisest mudelist kujul (**). Ajahetkel k on meil olemas järgmised u(k) ja y(k)mõõtetulemused:
...),2-k(u),1-k(y
...),2-k(u),1-k(u
Kui teame polünoomide A(z-1) ja B(z-1) kordajate hinnanguid ai ja bj on võimalik mudeli (**) alusel hinnata (prognoosida) süsteemi väljundit
).m-d-k(ub+...+)1-d-k(ub+
+)n-k(ya-...-)1-k(ya-=)1-kk(y
m1
n1
![Page 25: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/25.jpg)
Väljundi hinnangu vea defineerime järgmiselt
),1-kk(y-)k(y=)k(ekus y(k) on mõõdetud väärtus.
Arvestades eelnevat on mudel (**) esitatav kujul
),k(e+)1-k()k(=)k(y T Qj
kus φ(k) on andmevektor kujul
[ ],)m-d-k(u,...),1-d-k(u);n-k(y,...),1-k(y=)k(Tj
(***)
1)-(kΘ on parameetrite vektor kujul
[ ]m1n1T b,...,b;a,...,a=)1-k(Q
ja e(k) väljundi prognoosi viga.
![Page 26: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/26.jpg)
Eeldades, et meil on piisavalt u(k) ja y(k) mõõdetud väärtusi, moodustame
─ andmemaatriksi, mille ridadeks on andmevektorid
)1-N+d+m(,...),1-d+m( TT jj ja
m+n>N (hinnatavate parameetrite arv);
─ parameetrite vektori Q─ väljundite vektor Y, on veeruvektor, mille elementideks on
väljundi mõõtetulemused y(m+d), ... , y(m+d+N);─ veavektori E, on veeruvektor, mille elementideks on
e(m+d), ... , e(m+d+N).
;
Mudel (***) on esitatav kujul
.E+=Y FQ
![Page 27: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/27.jpg)
)-Y()-Y(21
=EE21
=I TT FQFQ
saame, et selleks tuleb lahendada normaalvõrrandite süsteem
,Y=ˆT FQFFmille lahend on esitatav kujul
.Y)(=ˆ T FFFQ -1
Saadud tulemus ei ole kasutatav reaalajas, kuna eeldab teatava aja vältel mõõteandmete kogumist ja alles siis on võimalik saada parameetrite hinnangud.
Järgnevalt lahendame parameetrite hindamise ülesande vähimruutmeetodil, minimiseerides vea ruutu
![Page 28: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/28.jpg)
Saab tõestada, et vähimruutmeetod on esitatav kujul
[ ],)1-k(ˆ)k(-)k(y)k(K+)1-k(ˆ=)k(ˆ QjQQ
,)k()1k(P)k()1k(P)k()1k(P)1k(P1)k(P T
T
÷÷ø
öççè
æj-j+l-j-
-l
= -
,)k()k(P=)k(K j
kus φ(k) on andmevektor,
Θ(k) ja Θ(k-1) on parameetrite vektorid,
P(k) ja P(k-1) on (n+m)*(n+m) parameetrite hinnangute kovariatsioonmaatriksid,
K(k) on kaalukoefitsientide vektor,
λ on mälutegur (λ<1).
![Page 29: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/29.jpg)
Parameetrite hindamine -vähimruutmeetodi kasutamisega seonduvad probleemid
Vähimruutmeetodi kasutamisega seonduvad probleemid:
1. Mudeli parameetrite algväärtustamine;
2. Meetodi koonduvustingimused;
3. Sisendite ja väljundite väljakujunenud väärtuste U∞ ja Y∞ hindamine;
4. Vähimruutmeetod ( ja selle erinevad modifikatsioonid) on realiseeritud ja kasutatavad rakenduskeskkonnas Matlab/Simulink.
![Page 30: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/30.jpg)
Rekkurrentse vähimruutmeetodi kasutamisel on probleemiks parameetrite algväärtustamine. Otstarbekas on valida algväärtused järgmiselt:
.1kus,I)0(P,0)0(ˆ
>>aa=-=Q-
Vähimruuthinnangud koonduvad parajasti siis, kui on täidetud järgmised tingimused:
- polünoomide astmed n ja m ning hilistumine d on antud;- u(k)=U(k)-U∞ ja y(k)=Y(k)-Y∞
- E{e(k)}=0 ja e(k) ei ole korreleeritud andmevektorielementidega s.t. e(k) väärtused on statistiliselt sõltumatud.
Järelikult põhiprobleemiks vähimruutmeetodi rakendamisel on U∞ ja Y∞ väärtuste hindamine ja mudeli (**) modifitseerimine.
![Page 31: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/31.jpg)
,C)mdk(Ub...)1dk(Ub)nk(Ya...)1k(Ya)k(Y
m1
n1
+--++--++-----=
Mudeli (**) esitame kujul
kus ¥¥ +-+++= U)b...b(Y)a...a1(C m1n1
Sisuliselt on vaja laiendada andmevektorit φ(k) lisades lõppu ühe elemendi väärtusega 1 ja samuti tuleb lisada parameetrite vektorile
lõppu üks element – parameeter C ning siis võib korraldada kõik arvutused sisendite ja väljundite reaalsete väärtustega.
1)(kΘ -ˆ
![Page 32: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/32.jpg)
Parameetrite hindamine - üldistatud vähimruutmeetod
Järgnevalt vaatleme diskreetaja süsteemi parameetrite hindamist juhul, kui süsteem kirjeldub stohhastilise mudeliga
kus
ja d on hilistumine mõõdetuna diskreetimissammudes ning v(k)valge müra, matemaatilise ootusega null ja dispersiooniga σ2.
Vähimruutmeetod ei ole otseselt kasutatav, kuna v(k) on mitte-mõõdetav.
,)k(v)z(C)k(uz(Bz)k(y)z(A 11d1 ---- +=
nn
11
1
mm
11
1
nn
11
1
zc...zc1)z(C
,zb...zb)z(B
,za...za1)z(A
---
---
---
+++=
++=
+++=
![Page 33: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/33.jpg)
Üheks võimaluseks on kasutada v(k) asemel väljundi prognoosi viga
)1k(ˆ)k()k(y)k(e T -Qj-=
ja laiendada andmevektorit ja parameetrite vektorit järgmiselt
,)nk(e,...),1k(e
);mdk(u,...),1dk(u);nk(y,...),1k(y)k(T ú
û
ùêë
é--
--------=j
[ ].c,...,c;b,...,b;a,...,a)1k(ˆ n1m1n1T =-Q
Nüüd võib kasutada polünoomide A(z-1), B(z-1) ja C(z-1) kordajate hindamiseks rekurrentset arvutusskeemi, vastavat meetodit nimetatakse üldistatud vähimruutmeetodiks.
![Page 34: ISS0010 3osa 2018 - a-lab.ee · 1 2 1 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ... 1952 –1958 Jury Barker Tsõpkin. ... ja e(k)väljundi prognoosi viga. Eeldades, et meil on piisavalt](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022021714/5bb82a9409d3f2751e8c3e28/html5/thumbnails/34.jpg)