iSOOIACION FISIC! ARGENTINA

Volumen XIX Número 1

REVISTA CE LA

UN ION MATEMATICA' ARGENTINA , .

(MIEMBRO DEL PATRONATO DE LA MÁTREMATIOAL REVIEWS)

y DE LA

iSOOIACION FISIC! ARGENTINA Director: José Babini

Redactores de la U. M. A.: J. Rey Pastor, L. A. Santa16, A. González DOminguez Redactores de la A. F. A.: Enrique Gaviola, Guido B'eck, Rodolfo Busch

o

s U M A RI O

'Generalized potential oparators, por M. COTLAR y R, PANZONE 3

-- Profesor Charles Ehr.esmann ....... ,................................ 41

Un-l~ón Matemática A?·gen'tinaJ. Resúmenes de comunicaciones científicas. Reunión 17 - 20 octubre 1959 .................... ,"', ......... ,.. 42

-Asamblea de la Unión Mate{;¡átieu Argcntina ............ ,........... 48'

BibUog?·o;fía. W. H. Gottscllnlk y, G. A. Heldung, Topological Dinámics. -R. Rillgleb, Matllematische, FOl'melsammlung. - Colloque sur les ques-tions de realité en GéO!ñétrie (L. A. Santa16). - Tables of tlle in-complete elliptic integrals of the first ¡¡nd thirdkincl (M. S.) ...... 50

¡,~"

o

BUENOS AIRES 19 60

I :

, "'

,,'

-,

UNION MATEMATICA ARGENTINA

La, U. M. A. reconoce cuatro categorías de miembros: honorarios¡ protectores, titulares y adherentes. El miembro protector paga una cuota anual de

'$ 2000, por lo menos; el titular una cuota anual '1:1e $ 200 Y el adherente (estu- , diantes so!amente) una cuota anual de $ 100~ Los pagos deberán efectuarse por cheque, guo u otro mecHo dé 'gastos, a la orden de UNION MATEMATICA ARGENTINA, Casilla de Correo 3588, Buenos Aires.

Por ser la U. M. A. miembro del patronato de la Mathematical Reviews (sponsoring member), los socios' de ,la U. M. A. tienen derecho a suscribirse a esa importante revista de bibliografía y crítica con 50 % de rebaja sobre el precio de suscripción que es de 20 dólares por año. Los socios de la U. M. A. pagarán por tanto s610 10 dólares por año.

'P Los autores de' trabajos reciben gratuitamente una ,tirada aparte de 50 ejemplares. Las correcciones extraordin,arias de pruebas, sbn por C1~enta de los autores.

JUNTA DIRECTIVA President~, Ing. José Babini; Vigepresidente 1\', Dr. Antonio Monteiro;

Vice presideilte 2\>, Dr. Mischa Cotlar; Secretario, Ing .• Roque S,carfiello; Tesorero, Lic. Concepción Ballester; Protesorero, Lic. Elisa Quastler; Director de Publicaciones, Ing. José Babini;' Secretarios Locales: Buenos Ah'es, Lic", Cora Ratto de Sadosky; La Platn, Dr. Alberto Sagastume Berra; Rosario,. ProL Eduardo Gaspar 'Babía Blanca, Prof. ~ntonio Diego; Tucumán, Prof. !lda G. de D' Angelo ; SanJ uan, Prof. Carlos Loisseau; San Luis, PrÓf. Modesto GOllziilez; Saltn, Ing. Rqberto Ov.ejero; Córdoba, ProL Emilio A. Machado; Miendoza, Dr. Eduardo Zarantonello; San Garlos de Bariloc)¡e, Dr. Manuel Balanzat; Nordeste, Ing. Juan Enrique Borgua.

ASOCI'ACION FISICA ARGENTINA

La A. F. A., asociación privada de investigadores, profesores y estudiantes de física, y de astronomía, tieno por objeto fomentar el progreso de la investigaciqn y de la enseñanza de, dichas materias por medio de reuniones científicas periódicas y de la publicación de trabajos originales.

l;'odrán ingresar como socios activos quienes hayan efectuado investiga· ciones originales; pueden ser socios adherentes los profesores que no cumplan este requisito; y socios estudiantes los que hayan aprobado el primer año de estudios de física o de--astronomia.

Las solicitudes de ingreso, que' deberán llevar la firma de dos socios activos o adherentes, habrán de, dirigirse, al secretario .]ocal que corresponda. Los socios activos abonnr{ui, un[L cuota! anual de :ji 400, los [Ldherentes de $ 300 Y los estudiantes de $ 200,' pudiendo hacerlo en dos cuotas semestrales. En estas lOuotas estún incluíclas las suscripciones a la "Revista de la U .M,A. Y do la A.F.A." y, a "Ciencia. e Investigación".

La conespondencÍn. relacionada con las colaboraciones (articulos originales, informes y reseñas bibliográficas) deben dirigirso al Dr. Mario Bimge, Facultad de Ciencins Exactas y Naturales, Perú 222, Buenos Aires.

Se solicita a las instituciones a que pertenc,cen los autores contribuyan con ulla cuota de $ 200 por página impresa, la que les darfu derecho a recibir 100 apartados libres de cargo. '

COMISION DIRECTIVA (1958-60) Presidente: Prof. Dr. José A. Balseiro. Instituto de Física, San Carlos do

Ba.riloche. Tesorero: .Frof. Dr. Moisés .J. Sametband. Facultad de Ciencias Exactas y Na-

'" turales, Ruenos Aires., , 'Secretario en Buenos Aires: Prof. Ing. Ernesto E. GallonL 'Facultad de Ingenierín., Buenos Aires. Se,cretario en Tucumím: Prof. Dr. Augusto Battig, Faeultacl de Ciencias Exactns y Tecnología, Tucum{m. Secretario de Publicaciones: Prof. DI': Mario Bunge. Facultad ele Filosofía' y Letras, Buenos Aires.

Abollnemcnt a l'eranger (cOIl1pr~nllnt un volume complet): 5,00 dollars (Etats-Unis) .

Priere d ~adresser touto la corresponc1ance scientifique, administrative et 'les échanges a l 'adresse ci-d~ssous:

., REVISTA DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA

Casilla de Correo 3588 Buenos Aires (Argentina)

, " I

REVISTA CE LA

UNION MATEMATICA ARGENTINA (MIEMBRO DEL PATRONATO DE LA MATBEMATIOAL REVIEWS)

y DE LA

ASOCIACION FISICA ARGENTINA

VOLUMEN XIX 1960

BUENOS AIRES 1960

GENERALIZED POTENTIAL OPERATORS

by M. OOTLAR (*) ando R. PANZONE (**)

Th:l n-dimensional Hilbert transforms studied by Calderón

ancl Zygmund [1] are convolution operators f = f * h such that the kernel h(x) satisfies tha homoganoU3 property h(ax) = a-nh(x),XEEn, fór an a:>O and the integral of h(x) taken over the set 1 < Ixl < 2 is zero. In the paper [2] Lhe CalderónZygmund I1esults have been extended to convolution operatol's H on f = f * K with kernels !( satisfying the homogenous property only fol' one value of a, for instance a=2 :1((2x)=2-n!((x). The operatars H on in elude as special cases the .operators of F1ej.er and ergodic type.

In this paper a similar generalization is done for the potential

operators fyn=f* IxIY-n, O<y<n, XE En, wherle the kernel h(x)=lxIY-n satisf~es the homogenous property h(ax)=ay- n h(x), for aH a>O. W,econsideroperatorsoftheform HYnf(x)= f * !("fn where the kernel satisfies the condition !(yn(2l) = 2Y-n !(yn (t), t E En. Such ap'erators may be called generalized ·potential operators. We show that if K"(n satisfies certain con-

ditions then the basic properties of the elassical operators !yn, due to Hardy-Littlewaod, Thorin, Sobolieff, Zygrnund, Du Plessis and athers, ar,e true for these generalized operatars Hyn' '"Ve deriv·e these results fram general properties of linear apera tora. and we complete the results of Sobolieff in the case f(t) E

V(En), x E Em, m-=/=n (1).

(*) University of Buenos ,Aires and Wáshington University, Sto Louis, Missoul'Í.

(**) University of Buenos Aires. (') Sorne of the results of this paper were presented at the 1957 meeting

of the UMA in Babin. Blanca.

-4-

1. In t r o d u c t ion. W'e consider the n-dimensional Eu-clidean spaoe En = {x, y, ... t, ... } , X = ('~1> '" ~n)' Y = (111' ... 11n) .. . andusethenotations X+ y= (~1 +111'" ~n + 11n)' (x, Y)~111 ~1 + .. . +~n11n, IxI2=(x,x),dx=d~1'" d~n. If E~En, IEI wilLdenote the measure, and cp(x, E) the characteristic function of E. By Lp = LP (En) we mean the set of measurable functions I such that

If I(x) is defined on En and if Em_~En, then the p-uorm of the r,estriction of l· to . Em will be denoted by

(2)

W,e say that h = TI is an operator 01 type (p, s), or more pl'iecisely 01 type (Lp (En), La (Em», if for every lE LP(En), h = TI is defin'ed in Em and satisfies

(3)

wher.e the constant M is independent of l. The least value of M is the norm of T. If h is defined in Em and if a> O, . we denote by D( Ihl, a) the (m-dimensional) measure of the 'set E= {XE Em; Ih(x) I >a}. If s <00, W18 say with Zygmund [3] that T is 'of weak type (p, s) with constant M, if

D( ITII,a) «M 1I/IIp(n)/a)s ( 4)

holds for any \a> O and any lE LP. If s = 00 then, by definition, Wieak type .(p, s) is the same as type (p, s). The least valU!9 of M in (4) is the wBak norm of T. If T is· of type (or Wleak type) (p, s), we say also that T is of type P, where P is the poinf' of tha plane of coordinates (l/p, l/s); if p > 1, s > 1, then P is in the unit square, called the square of types. Given 8¡n operator T, one of the basic problema which arise is to de-: termin,e the points P such that T is of type, or weak type P.

In the case oí the oparators Irn we have the following results.

-5-

A) The n-dimeIisional Hilbert transform t = ton = t '" h is a singular integral defined as a Cauchy principal value. 1t was proved by Privaloff, Lusin, M. R1esz and Kolmogoroff in the case n = 1, and by Calderónand Zygmund [1] in the general case, that if the kernel h satisfies sorne continuity condition,

then t lexists' as a principal value for any tE LP, P > 1, and

the.operator 7=t~h is .oftype (p,p) if l<p<oo, and of

""eale type (1,1). Thus, 10n is of type P for every interior point P of the diagQnal Ao Boof the square of types, and of weak type at the cnd point Bo. (See figure 1).

B) Consider now the Riesz potentials or fractional integrals

fyn(X) =eyn r f(t) !x-t!y-n dt=t* !t!y-n, ,(5) } En

0< y< n, eyn --':'1tn/2 2Y r (Y/2)/r ((n - y)/2). (5a)

Sinoe the kernel h = ! t !y-n is non-negativa the integral (5) is. wleU defined- for any t > 0, so that (5) is not a singular integral. It was 'pr¡OVled by Hardy-Littlew.qod in the case n = 1, and by Thorin and Sobolieff in the case n> 1, [4], (cfr. also [5]), that the operator ,( 5) is of type (p, s) for every p, s such that

1/p-1/s=y/n, y/n < l/p < 1. (6)

Hence, tho operator (5) is of type P for .any interior point of the 'segment AB obtained by translating the diagonal in y In. Zygmund [3] . prov,ed that this operator is of weale type at the cnd point B= (1, (n - y)/n). .

C) Let Em.c::. En 'be a subspaoe of En. Let in (5) t vary in En and 'x in Em, then the operator .(5) assigns to func-

tions t defined on .En, functions f(x) defined on Em.Sobq:" l1eff prov·ed [6] that in this case the operator (5) is type (LP En), Ls (Em» for

l/p-(m/n)/s=y/n, y/n<l/p<l, (n-y)/m<1. (7)

Hence here the 'operator is of type P in any interior point of the segment AB' obtained by translating and rotating

-6-

tha 'diagonal. Soholieff 'really proved only'a much weakér result,

assuming that f and fyn are considered on bounded domains and that l/p - m/ns < y/n; (he' proposed the fuH restilt as a prob1em. The, problem', was so]ve.d by Ilin [7]. Without lmowing the papel' of' Ilin we obtained the same result ,by a different method (2) which is giv'en below for more general' operators. Moneov'er I we proved that the operator is of weak type at the end point B'. Similar results hold if Em;J En (cfr. [8]).

D) Ú the functions f( t) and f (x) are considered on bounded domains Dn.L. En, and Dm L. Em (so that the integral in (5) 1s talCJen over Dn), then it was proved by Sobolieff and KondracMeff ([6], cfr. [9]) that the operator (5) is of type (LP (Dn), LB (Dm» for

n l/p-~m/n)/s<y/n, y =l:p,l<s<oo, n-y<m, (8)

that for

l/p- (m/n)/s<y/n (9)

the operator is completely continous, and if in addition O,<l/p<y/n. then (5) is a comp1etely continous oparator from LP(Dn) to C(Dm).

E) It was proVled by Du Plessis [10] that if fE LP, y/n<:. l/p'< 1/2 then the set where (5) is not finite is of zero ~-capacity for ~ >)n -,- 'P y; if 1 l,'thafif fELip.~, 0<~<1, then fynELip(a,+~), O<y+

~,<1; and if !.ELP, p>1,1/n+1/p>y/n>1/p, than fynE lip (y-n/p). '

The results mentiooed in A) ha",e be en extended in [2] to opar.ators H on f = f * Kon where the kernel satisfies tha homo@EmOUS condition only' for a = 2. If. for each kernel K we associate the kernel k(t) = K(t) in '1< I ti < 2 and zero other-

(") Sea our cómmunications ,to the 1957 meeting of the UMA.

- 7

wise, then, K= '[(on satisfies the' hom'ogeneous ' conditióri [(on(2t) = 2-n [(on( t) 'if and only if

[(on(t) = 2::'" it=-~ 2-ni lf.(2-i t). ~ ____________________ ~5o , , , , , , , , , , , , ,

" , , ,

Ao ~ ___ --'~-.,-__ ---'-" 1 ,'------..vr----J/ A

'1< In

(10)

Thus, tho results A) hold for kernels of fotm (10), provided k( t) satisfios sorne continuity condition and its integral is zero.

The aim of this pap'er is to obtain a similar generalization

for the oper,ators !Yn.', y "> O. Since the kernel h( t) = I t I y-'n satisfi,es the homogenous property h( at) = ay-n h(t) for aH a> O, w-e consider generalized potential operators of the form

Hynf(x) = r f(t) Kyn(x"':"'t)dt,O<y<n, (11) J'En

where the kernel satisfies the condition Kyn(2t) = 2y-it [(( t). This is the same as to say that Kyn is of the form

Ky~( t) = 2:: '" i=-", 2(y-n)i lf.(2-i t). (12)

W'e shall prove that properties B)-E) hold for operatora (11) if k sati,sfiesoertain conditions. In the case .y> O, the integral of k need not to be zero and w,e may tako lí: > O.

Moreover, in [2] was given' a further generalization of th~

Hilbert operators ton which is as follows. Let K = Kon be oI theform(10) andletk¡(t)=2":'ni lc(2-i t), so that Kon=I/'_o,k¡

-8-

If . the generating kernel k satisfies k E Lip (1, 1), then the «generated» kernels k¡ satisfy the conditions

where IIkll(l~Y) denotes the least constant e such that

r Ik(x+h)-k(x)ldx<clhIY, (y<l), and kELip(l,y) J En

means IIk 11 (l,Y) < oo. (If y> 1, Y = y' + y", y' = integer, y" < 1, we say that k E Lip(l, y) if k has absolutely continous derivativas up to order y' and if the derivativ·eg of order y' belong to Lip (1, y"». COlIlditions (13) imply that the lé¡ are «almost orthogOlIlal», that is Ilk¡+i * k¡lIl < 2-j e, if j > O. It Was proved in [2] that the properties A) hold for operators of the form Honf=Zjf*k¡ if the k¡ satisfy (13) or the almost orthogonal oanditions. Similarly if Kyn is of the form (12) and if le E

Lip (1, 1), then the corresponding le¡ satisfy

and the orthogoJ?ality condition Illc¡ * k¡+jIlCl,2Y) < Z-j, e holds. Fmm the results bf this paper and from our previous pa.per [11 ] it will folLow that prop·arties B)-D) hold for operators of the form f * Zj k¡ if the k¡ satisfy' (14) or the orthogonality conditions. (In [11] the method is only sketched very briefly, tha details will be given .. in [12]).

W"" gi\"e diret proofs, based on general properties of linear operators, and do not assume known the properties of the classical potentialoperators.

2. Genleral remarks on types. Let Lo=Lo(En) be the set of aH step functions of En; by a step function we mean a linear combination of characteristic funcions of n-dimensional cubas. w'e say that the operator T is of type (or Wleack type) on Lo, if (3) (or (4» holds for f E Lo. Since Lo is.denseinaHthe LP,p<oo,anyoperatoroftype (p,s) on L(} can be extended to an operator of type (p, s) on LP. Our main purpose is to establish that Hyn is of type P=(lfp,lfs)t for a11 interior 'points of a oertain segment AB, and of weak

-9-

type I!t B.' The fQllowing general properties show that' it wilI be sufficLent to establish the types only on Lo and only for two special cases: P = e and P = B. . The case P = e is easier to handle since in this case s=p'=p/(p-1) and Ls is the dual of LP (see section 3); and in the case P = B we hav-e p = 1 and some special arguments can be used (see B) below and section 4).

A) In many cases is considered an operator T which is the limit of «good» , operators TE' More precisely, let TE, E'> 0, be a S1~ence of linear operators satisfying the following conditions:

(i) Foreach E>O,TEf assigns to any functÍon fELP, p>l, a function TeI(x), finite for aH x. (ü) If InELP (fix,ed p) andif IIfnllp--+O as n~oo, then limTEln(x)=O,for eachfix'ed E> ° and for each x. (iii) lim TeI(x) =Tf(x) exists foI' almost all x and aH I E Lo. Tlms the limit operator Tf is defined and is finite for aH I E Lo.

For instance, if Tf=fyn=f* Itly-n,hE(t) I Itly-n if E<ltl< E-1 and zero otherwise, and if TE 1 = 1 * hE' then each hE is a bounded integrable function and properties (i)-(iii) are satisfied.

Let: Mf be the maximal operator of the sequence TE f, that is

(15)

By (iii) Mf(x) is finita for every fE Lo .and almost aH x, and I Tf I <M f. MI is not a linear operator, but. it is sublinear: f=g+h implies Mf(x) < Mg(x) +Mh(x).

Pro p o s i tío n 1. Let T be a set of lineal' operators .satisfying (i), (ii), (iii). a ) JI MI is 01 type (01 wea/¡: type) (p, s) on Lo, then Mf is of type (weak type) (p, s) on LP, and (iii) holdsforanY/ELP. b) JI Mf'isoftype (p,s) on Lo then Te! converges to Tf in the s-mean 101' lE LP; if 111 is 01 weak type (p, s) then TE f converges in the s-mean only on bounded sets and only if Ifl P log(1 + 1/1) is integrable.

Proposition 1 was proVled in [2] (p. 119)- in tha case p = s, the proof in the general case is essentiaHy the same (sea [15]) and we shall not repeat it. Proposition 1 shows that under oonditions (i)-(iii) we may restrict ourselves to types on Loo

~ 10-

B) We say that Tf satisfies the condition (p, s)' ,of Kol..:. mogoroff with constant M', if for an.y s' <s, for any' f, and for any' bounded set XJ~. E1JI. it is true:

f r } l/s' , U x 1 Tf(y) Is' dy < M'(s/(s -s') ) l/s' IXll/s'-l/s llfllp. (16)

Pro p ,0 s it ion 2. 1fT satisfies inequality (16) for one va{ue s' < s and with constant M', then T is ol weak type (p, s) with constant M <M'(s/(s ~ s') ) l/s' . lf T is of weak type (p, s) then T satisfies the Kolmogoroff condition with the same constant M'=M. '

This Proposition was prov;ed iri' [2] (p. 67) in the case s = p; the proof is almost theisame in the general case. It is important to obs'erve that. the 'proof of Proposition 2,gives ,somewhat more: if (4)is true for a fixed f and for an a> O, then '(16) is true for this fand for an s' <s and X, and conversely. From this remark we deduoe the following.

, Prop'o'sition 3. lf p=l,l<s<oo, and if (4) is true for the characteristic functions of cubes, then T is of weak type (1, s) on Lo.

Proof. Any ~unction gELo,g>O, is of the for~ g(x)= clfl(X)+, ... :czh(x), where fi are characteristic functions of cubes. By hypothesis (4) is true for each fi' and since (4) impUes (16) for an individual f (16) is true ioreach f i . ,Sinoe s>l, we may take l<s'<s, and since p=l,

{r ' , } l/s' lf } l/s' } x ITg(y) 1

8' dy < ~i )ciTfi(Y) Is' dy <

<:: M(s/(s - s') ) l/s' IXll/s'-l/s II~ cifilll =

=M(s/(s -S'»l/s' IXjl/s'-1/SllgI11•

He:noe (16) is true for g(x), and therefore (4).is true for ,g. Propo~ition 3, provides a v.ery simpl,e proóf of the. following

theor,em due to Zygmund [3] (Zygmund considered only the case n=m):"

f . :',

Pro p o s i t ion 4. 11 Em.Lo En and m > n-y, then the poten,tial operator .(5) is of weak type (V (En), Ls(Em», with s ' m/(n-y).

-11~

Proof. Sinoe s>l, it is enough toprove that,(4) holds if f . characteristic function of a cube. Q .. If c i.s the oenter

and 1>0 the side of Q, then !Yn(x) <the integral of Itly-n -extended over the set I t - (x - c) I < n l. . An easy. computation :shows that the last integral is < c lnlxly-n. Therefore if x. is snch

that fyn(x»a then C[nlxly-n>a, or /x/«cln/a)l/(n-Y)=r.

H.enoo D (!yn, a) < voIume of the sphere of radius r ~ .( cl ln/a)m/(n-Y) < (C2I1flll/,a)m/(n-y).

e) Let T be a linear (or sttblinear) operator on Lo. TIte 'Riesz-Thorin convexity theorem asserts tl~at if T is type Pl ~nd of type P 2' then T is of type P for any P of segment P 1 P 2; mor,eover, the corresponding norms M l' M 2' M satisfy tha inequality M < Ml aM21-a where a is the ratio in which P divides tbe segmento The Riesz-Thorin theorem is a particular cas·e of the fol1owing Cnnvexity theor.em for analytic operalors ([13], [14]): Assume that for each complex numher z, O <Rz< 1, is given an operator T z clafined on Lo such ~hat 1) for fix·ecl j, 9 of Lo, (Tz 1, g) is an analytic and (for instance) bounded function of z; 2) IITiu/llsl::sMlll/l1PI and IIT1+iu/lls2<M211/1Ip2, iu = (_1)1/2 u, for all f E Lo and all real u, (Pi' Si > 1 for i = 1,2). Then for ·each t, 0< t < 1, the operator T t is oI type (p, s), where l/p = (1- t) /Pl + t/P2' l/s = (1- t) ¡Sl + t/52, ~nd l11'tI/5M1l-tM2t.

Another important generalization is the following 1'heorem 01 M.a¡·cinlúew,icz-Z ygtnund: If T is of weak type P 1 and of weak type P2,Pi= (l/pi, l/si), Pi<si,sl,,"/=S2' then l' is of type P in ,any interior point P of P 1 P 2' with norm M satisfying M<cMll-aM2a,. where c depends only on the,points Pi and tends to infinity as P approaches one of theend points. The theor·em is not true if sl =S2.

It is well known that a linear operator1' is of type (p, s), 1 <p, s, s <00, if and only if / (TI; g) / <M IIfll p IIglls' (this is nót trua if s = 00 ). Therefore, for convolution operators 1'1 = 1* l( is true the following property: if T = f * l( is of type (LP (En), Ls(Em», p> 1, s >1, then l' is also o~ type (V' (Em), (LPI (En». That is, ~f l' is of type P it is also of .type p*= the simmetricpoint to . P withrespect to the diagonal; this property is not true if p = 1. . .

-12 -

Applying this remark and the l\1arcinkiewicz-Zygmund theol1em to the operator. Hyn we see that, in order to prove that H yn is of type in the interior of AB and of weak type in B ~ it is .,e;nough to prove that Hyn is 01 weak type al the end point B and 01 type at e = intersection of AB with the diagonal 1/p+1/s=1. . \ Let us still l1emark that if w.e al1e interested only in weak types and weak norms, then the Marcinkiewicz-·Zygmund theorem tak,es the following perfected form: liT is 01 wealc type P 1

with we,ak norm M l' and 01 wealc type P 2 with wealc norm M2, the.n T is 01 weak type P in any point P 01 P1 P2, wilh norm M satislying M <2 M11-aM2a. Here, as in the RieszThorin theor,em, Pi al'e arbitrary points in the square of types and the case sl -:- S2 is not excluded. The proo! is essentialIy the the same, and much simpler, as that of Marcinkiewicz's theorem (see [15] and [12]).

Finally, the definition of weak type may be formulated in the following form, which is more similar to that of type.For any function h(x) let us defin·e the weak s-norm by

{h} s= (suPa>o{asD(lhl; a)} )l/s. (17)

Then T is of wleak type (p,s) if {Tf}s<Mll/llp' Let {Ls} he the set oí all measurable functions h such that {h} 8 < 00 •

rrhe weak norm {h} s is not a norm but it defines in {Ls} a topology equivalent to that of a normed space. In fact, as C. Tr,ejo showed in a forthcoming note, if Vd is the set {h} s < d, and if [1]8 is the infimum of the numbers d > O sllch that tE Conv {Vd}, then [1]8 is a norm in {Ls} which defines the safiod topology as {h} S' Thus [Ls] is a normed space, and a linear operatorT is of weak type (p, s) if and only if T is a continous transformation from U to [Ls]. Proposition 4 asserts thell thal the potential operator (5) is a bounded operator from LP{En) to [Ls(Em)] for s=m/(n-y). Let us define the space {Ws(l)} as the set of all functions which admit generaliz·ed. deri-

vativ;es . up to order. l, and with norm IIJs + Z; [DI tJ8 < 00, ··where DI I denotes the generic l- th order dervative. Then from Proposition 4 we may deduce the following generalization of the immersion theorem of Sobolieff [6]: if k > O, k >l- n and s=nf\n- (l-k)), then W 1(l).<=[W/']. In particular if n> l~

-13 -

m>n-l and s=m/(n-l), then W 11(En)_C[Ls(Em)]. W'e shall return to this question in another paper.

3. L 'e m m as f o r t y P e s (p, p'). For each p > 1 we write p'=p/(p-1). Let k¡(x),xEEn, be a sequence oI integrablle kerneIs, so that I * k¡ is well-defi:ned for each i. Let us see under. which conditions theoperator

(18)

will be of type (p, p'). For any N we put

We say that kELip(p,y),O<y<l, ií Ilk(x+h)-k(h)llp< 111 Ih I y holds íor a~y h E En; the least vaIue of M wiII be denoted by Ilkll<p,~) (for y> 1, see .the definition on the end of the Introduction). The Fourier transform of I will be denoted by .... .... f = F 1, 1= F * 1, and the following well-Imow:n inequalities (see [16]) will be used (1 < p < 2) :

IIF * fll pl < II/IIp, (19)

fE" I f(u)IP lul n(P-2)du<cp fEn I/(x)IPdx, (20)

I f (u) I <Cy 11/11(1,y)I U I-Y. (21)

L re m m a 1. 11 lor almost all u E En exists the limit

limNo+ooKN(U) = h(u), (22)

IKN(U) I <Mlul-Y, for all N and almost all a, (23)

O<y<n=dimEn, p=2n/(n+y), p'=2n/(n-y), (24)

. then: a) IIHN IIIpl <M cpll/llp' where Cp does not depend oí N; b) lor leach lE LP (En) the lunction,s H N I converge in LP' to

'" a limit HIELP'(En) and IIHlllp,<Mcpll/llp. c) HI=F*(fh). Rence HI is 01 type (p, p') =type C. (See figure 1).

-14-

Proof. Considero first thecase tE Lo . so that aH. Fourier-

'" transforms will be well-defined. By (22) the sequence I/(u) h(u)-" " t (u) KN(U) IP conv'erges to z,ero for almost all u, by (23) this~

. " sequenoe is dominated by the function G(u) = (2M)P 1I (u) 11"

" lul-Yll = (2M)P 1 I (u) IP lul n(P-2), and by (20) G is intewa-ble with integral < (2M)P (e p 11t!lp)p. Therefore we may integrat~

" " term by term and we obtain that I (u) [(N(U) converges in LP" '" '" to I(u)h(u) and IIlhdlp«2Mep)lIfllp. From (19) follows;

A

then that 1* KN converges in LPI to F * (f h) = HI and' A

IIH/llr' < I:f hll n < ep M 1I/lI p. This proves the theorem for the: case lE Lo· If lE LP, we takc 1m E Lo such that 111 - Imllp ~ O .. Then HNlm .converges in LPI to a function GN, as m~oo. Sinoe IIGNllp,=lim IIHNfmllr':::; epM IIfll p' and sinoe IIHNf-· HNlmllll< 1I[(Nlll 1I/-lmllp~O,HNfm convergesin LP to HNf,· sothat Wd must have HNf=GN. Henoe IIHNlllp,<ellMII/llp~ Thus IIHNII < ep 111 and HN f conv'erges on a dense subset Lo, of LP, and by a known theorem this provas the lemma.

Bemark 1: 1f Ik¡'(x) 1 <k¡(x) and if the k¡ satisfy (22)" (23), then a), b), of lamma 1 are true for the oparator I * I.lc¡'.

L,emma 2 .. Let 0<1<1. 1f lIic¡Jll<2¡YM,1I1c¡II(1,1)< 2-(l-Y)iM, and it p=2n/(n+ I ), then pl'opel'ttes a), b) and e)' of lemma 1 are trUJe.

Proot. From the hypothesis and (21) we obtain

A A

Ik¡(u) 1 <e M 2-(1-Y)i lul-1, and Iki(u) I <M 2iY. (25}

Lel us fix u and let r be such that 21' < 1 u 1-1 < 2/'1-1 .. Then, using (25) and 1-1 > O, we have

A

I.i>r 1 ki( u) 1 ~ C. M I U 1-1 I.i>r 2-(1-Y)i <

< cM 2-r (l-.y) 1 u 1-1 I.i>O 2-¡(1-Y) <'

< e' M(2-r lul-1)(1-Y)lul-Y < el! Mlul-Y;:

-15 -

A

Henoe' (23) is true, and aLso (22) is true, since X. k¡( u) con-v,ergesabsolutely for each u =j= O.

Lemma 3. Let l<y<n and let kj*=lkjla, a= (n -lj2)j(n - y). If Ilkj*lll < 2j/2 M, IIkj*llcl.l) < 2-j/2 M, and if kj vanishes outsicle of the set 2j < Ixl < 2j+1, then a) ami. b) of Lemma 1 hold for p=2nj(n+y).

Proof. For any complex number z and for any fixed IV we-defiIl!e the operator . '

(26)

I For any r'eaI number u we have Ilkj*(x) liul < 1 . and by hypothesis k l* kj* . O if l '='j= j, so that IX.I kj*( x) I iu I < 1; hence:

IIH*udllce < IIflll (iu= (_1)1/2 u). (27)

On the other hand, Ilkj*(x) 11+iu l < kj*(x) afid the Ici'~' satisfy the hypothesis of Iemma 2 with y = 1j~. Hence by lem-· ma 2 and Hemark 1,

(28).

where c is independent of N. But it is easy to sea that H* z f is a bounded analytic operator in z, for O <Rz< 1, hence frOl.n (27), (28) and from tJ¡e conv'exity theoreJll for analytic operators, it follows that H*t is of type (p, s) for 1jp= (1-l)j1 + t/r, l/s = (1- t)j ce + t/r', O < t < 1. Letting t= (n - y)/n -1/2) we' obtain that H*t is of type (p, p') and IIHt* fll p' < cM IIfllp, c independent of N. Hence the operator H'N f= f * X.N_N 1J.:¡j sa~ tisf1es IIH'N fll p' < cM Ilfllp and this provas part a) of the lemma. Part b) les easily deduced from the last inequality, observing that IHNf-Hfl is dominated by IR'Nf-H'fl, that /HNfl < H'N( Ifl), and that H'N( Ifl), is non-decreasing.

Consider now a subspace Em,.L:. En, and l,et En = Em X En-m,. Em={x1},En-m= {X2},En={x},x= (X1'X2). If [(x) is defiIl!ed on En then the operator

Tf(x)=F(x)=f*[(= ( f(t)[(x-t)dt (29) J En

-16 -

assigns to functions f(x) defined on En functions F(x) defined Qn EIl. If in (29) we let x vary only in Em, that is if we consider the restriction G(x1) =F(Xl' O) of F to Em, then we obtain a second operator T 1 f = G which assigns to functions f defined on En functions G defined on Em. Finally if 'g( Xl) is defined on Em, we have a third operator ' ,

T2 g(x) =Fl(~) =f 9(ti)l((x -'- t1) dt1 (29a) Em which assigns to functions 9 def~ed on Em functions F 1 defined on En. Thus the convolution with l('defines three diferent operators T, T l' T 2' It was already observed in e) of Section 1, that if T1 is of typ~ (U'(EIl),Ls(Em» then T2 is of type (Ls' (Em),LP' (En», provided p>l,s>1.

If we fix X2 and consider [((Xl' X2) as a function of :c 1>

then the Fourier transform of this function will be denoted by Fll((~,x2)' Similarly is defin,ed F2Iqxl>_u2). If IC is in L2 tiloen we hav.e '

, A

so that F1 [((Ul' x2) = F*2 [((ul> x2). If F=Tf, G=Ti/, F1 =T2 9 A A A

ar·e the three aboye definad operators, tiloen F(u) = f (u) [((u), but instead we haVoe:

(31)

A A A

F1( u) = F F1(U1, u2) = 9 (u1) [( (Ul> U2)' (31a)

IF 1 G(u1) I < {lEn-m I F 1 f(Ul> X2) I P dX2 J l/P

{lEn-m I F 1 [( (u1, X2) I p, dX2 } l/P'. (31b)

L1emma 4. If O<y<n, if p=(n+m)j(m+y), and if [( satisfies

(32)

-17 -

~then T1 =f*[( is of type (LP(EII),Lp'(Em)) and IITlfllp,(m)< ·cM IIfll p(n)

Proof. Sinoe n·..:.... m - py= m(p - 2), taking in account '(32), (31b), (20) and (19),

;IIT1 fll p'= II Gll p,$; IIGllp<M {!Em lu1 Im(P-2)

[!En-m I F 1 f(Ul> x2) IP dx2] du! } l/P

< Mcp {!En~m l!Em If(xl, x2) IP dXl ] dX2 r/p

=Mcp lIfllp·

Similarly is proV'ed

LHmma 5. lf O<y<n,p=(n+m)/(n+y), and if

L(n-m II((u·l,u2)I Pc!u2 } 1¡p <M lu1 1(n-m-PY)/P,

then T2 g=g*[( is of type (LP(Em),Lp'(En)).

(32a)

W'e denote by IIg 11 (r,s) the least constant ,M' such that IIg(x+ h) - g(x) 111' < Mlhls. With this notation we have,

L'emma 6. Let En=EmxEn-m,m<n <m+2y, and let p=(n+m)/(m+y),2<p'.<2+1/m. lf ki(x) vanishes outside of Ixl < 2i, and if

then· Hf=f*~ki is of type (LP (En),Lp'(Em)). Proof. ' Let us fix N. By lemma 4 it is enough Lo provc

that K = KN satisfies condition (32). Let us fix Ul> and let g(x2) e LP(En-m) be such that IIgll p=1 and

-18 -

Then

J=Fj {r [(N(Xl'X2) g(x2) dX2 }=~Ni=-NL¡(Ul)' (34) J En-m

where

I L¡( Xl) I = /J En-m k¡( Xl X2) g( X2) dX2 / <

< IIgllp(n-m) Ilh:¡lIin- m) = IIk¡llp,(n-'m).

'Sinoe k¡ vanishes for I Xli> 2i, Wre deduoe from the aboye inequality and (33):

< 2¡m/P e 2-im/PI = 2¡.¡. e, (34a)

where ¡..r.=m(2/p,-1) >0. Similarly, since IL¡(Xl+h)-L¡(x1)1< IIgllp Ilk¡(Xl + h, x2) - k¡(x1> x2) 1I¡1,(n-m), we obtain

(34b)

Let r be such that 2r O. we obtain, usmg (34b) and (21), that

Similarly from (34a) we obtain

'--' 19 ---'

A

Henoe X,N_N IL¡(u1) 1 <clul-¡'¡',fJ.=(p¡-n+m)/p, SO that in virtue of (34) I(N satisfies oondition (32).

Sinoe the condition 2 < p' < 2 + l/m of lemma 6 implies n-(n+m)/2<¡<n-m(n+m)/(2m+1), lemma 6 does not apply to aH ¡ < n. However:

Lemma 7. Let O<¡<n, m<n<m+2¡, p=(n+m)/ (m+¡) and let lc¡*(x) = Ik¡(x) la, la=(n+m)/2(n-¡). If k¡( x) vanishes outside 01 the set 2¡ <1 x 1 < 2i+1 arid il

thlen HI=X,I*I1:¡ is 01 type (LP (En),Lp' (Em». Thus, llt is pi type e' (see figure 1).

Prool. Using the convexity theorem for analytic operaLors, l'emma 7 is deduoed from lemma 6 in the same way as lemma 3 was deduced from lemma 2.

4. PSleudo types (l,r; d). In this section we cOllsider a generalizati:on of Riesz's conv,exity thearem in the case P2 = 1 <S2' 1 < Pi < Si' For Pi = S1> P2 = S2 = 1, this g'eneralization reduoes to one given in [2] (p. 77). In this section we consider only operators TI defined on Lo( En), so that I is darined on En and TI on Em. We shall use the following notations:

S (1) = the support of 1= the set of points x where 17'-= 0,

m(l) =the minimum of Ilion S(I),

fJ.(f; Q) = IQI-l!Q 1I1 dx

In the case P2 = 1, Riesz's theorem says that if (i) T is of type (1, r), ancl (ii) T is of type (p, s), then T is of Lype P for any interior point P of Pi P 2" where 1\ = (l/p, l/s), P2 = (1, l/r). In the theorem oí Marcinki:ewicz, type es replacecl by w.eak type in both conclítions (i), (ii). We shall now replaoe type by weak type only in (ii), ancl (i) will bereplacecl by anotbrer weaker conclition, as follows. Conclition (i) says that

(36)

- 20 ---,

, We coru;ider the following weaker condition: ~Qr -each func-non f E Lo there is a function h and a set F c:: Em such that

{fEm_FIT(f-h)(x)lrdXr/l' <e 11/111 (37)

If h=O, and F=O, then (37) reduces to (36). Since (37) is always satisfiecl if h = f or' if F = Em, we must impose further conditions upon h and F. In the case of Hilhert tral1JSformsand other ~ingular integraLs Tf(x)is bad if x belongs to the support of f. This suggests to take F=S(f). Since IS(I) I <1I/111/m(f), it is natural to impose on F. the more general conclUion IFI < e 1I/IIdm(f), or still mor,e generally, the condition

IFI < [e IIfIl1/m(f)J/d, d> O. , (38)

Similarly the case of singular integraLs suggests to, impose on h t11.e conditions:

Ih(x) I <em(f), anclllhll1:Sc 11/111' '(39)

The condition I h I <e m(f) ii; a very strict one. For this I1eaSOIl, instead of (38) and (39) wre shall cOnSider, also condi-tions of ihe following type: '

h(x)=O if XEEn_Q, and Ih(x)l<

< e p.(f; Q) = el QI-1 11/111' (41)

'JJ.e¡initwn 1: We say that the operator T, defined on Lo(En), is of pseudo type * (1, r; d) with constant e, if for each f E Lo th'er,e is a Siet F."c Em and a funtion hE Lo( En) , such that (37), (38) and(39) ar,e satisfied.

, D,efi¡nition 2,' We say that T is of pseudo type (1, r; d), or more !precisely of pseudo type ((V(En), Lr(Em); d), with constant e, if for Mch fE Lo( En) and for each cube Q ~ S (f), there is a Stet F_c Em and a function hE Lo( En) such that condition (37») (40) and (41) ar,e sa tisfied.

-21 -'-

W,ci have then the 'following geheralizatfons of 'Rie.sz's 'con:" vexi ty theore;m., ", '

" Th,eorem 1. Let l<p<s, 1<r,d=(s-r)ps-i/(p-1) >0, ~nd let T be a linear (01' sublinear) operator defined on Lo( En). 1/ T is of we,ak type (p, s) and of ps,eudo type * (1, r; d), then r is of weak type' (1, r), and therefore oftype P for each interior point of P i P2,Pi = (l/p, 1/s),P2 = (1,1/1').

R:emark: The constant d has the' following meaning: If& is the argument' of the vector OP 2 and" cp the ~rgument .of P i P 2, then d=tgep/tg&. Therefore the condition d>O says that theorem 1 is, true if the point P2 1s «above» Pi in' the ,square of type.s.

Th'eorem 2. lf d<r and if T is of pseudo type (1, 1';: d), then, T is also 01 pseudo type * (1, r; d).

Th'eorem 2a. L'et d=(s-r)ps-i/(p-1),d<r,1<p<s, l<r. lf T is of weak type (p,s) and of ps~udo type (1,1'; d), then T is of weak type (1, r), and therefore of type P for each interior point of Pi P 2' .

The proofs oí these theol"ems are based on the following two l,emmas.

, ',' L 'e m In a 8. Assume that for any f E Lo, IIfllp < 1, is true that '

D(ITfl; (m(f»i/d) < c(lIfll p)I/(m(f»r/d, (42)

whe,.,e e, l, d are positive constants independent of f. Then fo,.. ,any f E Lo, Ilfllp < 1, and any a, 0< a < m(f), it is true that

(43)

'Proof. w'e may assume ilfllp < 1. Let S, S' be two sets such that S.c.S(f),S' n S(f)=O, ISI <E, IS'I <E, and let 9 be defined. by: g= f in En - (S U S'), 9 = a/2d < m(f) in S U S'. If E is sma,llenough we have IIgllp < 1, and since m(g) = a/2d,

m(f - g) -< a/2d, we have by hypothesis,

- 22-

D( ITII; al/d) < D( ITgl; a1/d/2) + D( IT(f - g) 1; a1/d/2) <

<D(.ITgl; a1/d/2) +D(IT(f-g) 1 (m(f-g»1/d) <

< 2r c(ll/lIp)l/ar/d + c(1I1 - gllp)l/(m(f _ g) )r/d.

Let e tend to zero. Then 11I - gllp tends to zero, and sinoe m(f - g) = mf {m(f) - a/2d; a/2d} = fixed positive nurnber, we obtain (43).

Lernrna 9. Let d=(s-r)ps-1j(p-l),1<p<s,1<r. II T satislies condition (42) and il T is of weak type (p, s) then T is 01 weak type (l,r).

Prool. W'e have to prove that D( 11'11; "1) < 1~/I(11/1I1/a)r, andw~rnayassurne 11/111=1. Let g(x)=/(x) if I/(x)l>ad andz,erüotherwise,sothat h(x) =/(x) - g(x)is I(x) if I/(xl<ad and z,ero otherwise. Frorn ITII < ITgl + IThl we have

D(ITII; a) <D(ITgl; a/2) +D(IThl; a/2), (44)

and using the hypothesis and lernrna 8, and that m(g) > ad, we have

D( ITgl ;10/2) < c1(llgll p)l/al' < c1(lIfl:TY/al' = c1/ar,

D(IThl; 0/2):'S (cllhllp/a)s=

=(,{JEn (lh(x)1 a-d)p-1Ih(x)1 a-P- d (l-P)dx }s/P <

c{JEn Ih(x)la-P+d(P':"'l) dX r/p < c(lIflb)s/Pa-r= ca-r.

Hence D( ITII; a) < (c + c1) a-ro Proo! 01 Theorem 1. Given I I,et us put m(f) = a, b = d-1.

By 1ernrna 9 it is sufficient to prove that D(ITII; ab) <c(1I/1I1)1 a-br, and we rnay assurne 11/111 < 1. By hypothesis, (37), (38) .and (39) are 'true. Let h be the fundion of (39) and let 9=I-h, so that (44) is true. Using (39) and that T is of .weak type (p, s), we have

-23 -

e [lEn (lh(x)la-l )P-l (lh(x)la-l+P-Pb)dxr/p

~ Cl [JEn Ih(x) I a-rPb/s dx ] slP ,<

(45)

If G={x; I Tg(x) I >abj2}

we haya

D(ITgl; ab/2) < IGn (Em_F)1 + IFI. By (38),

and by (37) we have

IG n (Em -F) I abr < 21' JEm-F ITgl1' dx < (2cll/lll)r,

Therefore

From (44), (45) and (46) we obtain the desired inequality D( ITI I é) < c (1I/I1l)lla-br with l = inf (1', br, s/p).

Prool 01 Theoroem 2. The proof of this theorem is qulle similar to that of theI'lem 4, p. 77, of [2], so that we only sketch briefly the maill steps. By hypothesis, given a cube Q;) S(f) there is a function h and a set F satisfying (37), (40) and (41)., For any point XiE S(f) there is a cube Qi= Q(Xi), with oenter in .xi, such that

/-l(Qi; 1) =3/4m(f)=a, (-17)

IQil ::::4/3 (m(f»-lJ III dx. Qi

(47a)

By hypothesis, to each set E¡e Q¡ there correspond a soet Fi e Em and a functiort h¡ such that

-24 -

{J . }f;r J .IT(erd-h¡)lrdx <e '.lfldx=cllter¡lIl' . (48) Em-Fi E,

JFil"<c IQilr/d,h¡=O in En_Q¡. Ih¡1 <cp.(Q¡,fer¡) <c,a3j4,

. (48a)1

where eri is the characteristic function of Ei' As in [2] ,:we, shall s'ee that 8(f) may be covcred by a finite number of these Q¡, and E¡, in such a way that any point of E belongs to at most 4n cubes Q¡ and the E¡ are disjoint. Writing h = ~ h¡.: F= U Fi , we have f=~fer¡ and

(49)-

Taking in account that r/d > 1, that each point belongs to, at most 4n cubes and (47 a), we obtain

I

Similarly we obtain that IIhl11 < e Ilflll' so that .F and hsatisfy conditions (38) and (39), as well as condition (37)= (49),. bence T is of pseudo type * (1, r; d).

Proof of Th,eorem 2a. This is a direct consequence oí theo. rems 1 and 2.

Finally, lemmas 2 and 6 have the following correspondents. for .pseudo types:

Llemma 10. Let .Hf=~_(/j""f*lf¡,k¡EV(En), and r>L Jf IIk¡II(",l/r) < 2-i/" c,i=± 1,±2, ... ; k¡(x) =0 in Ixl >2i+1, then::

- 25-

a) Hf is of ps,eiLdo type (L1(En),U(En); r):b) If Emc:ETlj. then Hf is of pseudo type (L1(Em), Lr(Eri) ;mr/n).

Proof. Let fELo(En) ·and let Q:;;;S(f); we may assume, that oenter of Q is the _ origin O. Let j he an integer sucli th,at,. Ixl<2j implies XEQ, and such that Ixl>n1/2 2j implies. x E En - Q, so thll.t"x E En - 2 n1/2 Q implies Ixl > 2j+l n1/ 2 (m.Q' is the oube of same renter as Q and m ·times the side.· Lét: h(t) be defined by

h(x)=p.(Q,f) if XEQ, h(x)=O if xEEn_Q, (50),

so that h satisfÍ!e.s condition (41). If g = I - h, we haye

J g=J g=O, En Q (51).,

Let F=2Iri1/ 2 Q. F sat1sfies condition (40) with d=r., Sinoe g=O in En - Q, and ki=O in Ixl > 2i+l, we have that. if x E En - F and i < j then

g * k/x) = J Q g(y) k¡(x- y) dy=O. (XE. En - F). (52)'"

Henoe for any xEEn-F, Hg(x)~H(f-h)(x)=I.i>J_' g *k¡(x), and by (51),

llg(x) ·I.i>j!Qg(y)[ki(x-y)-k¡(X)]dy. (53)~

Applying to (53) the integral inequality of Minkowski anct. using the hypothesis, we have

{JEn-F IHg(x) Il'dx rr <

::::: I.¡ >j}' Ig(t) I {J Ik¡(x ~ t) - k¡(x) Ir dX} 1/1' dt ;;;;, Q En-F

I.i>j fQ I g( t) I 2~i/1' C I t 11/1' dt < c I.i>j 2-i/r nr/2 2j/r llgIl1.

< c12j/rllglll I.i>j 2-¡/r <cllglll < cll/lll"

- 26-

Hence condition (37) is also satisfied. This proves parí a). Part b) is prov,ed in the same way.

If le is defined on En = Em X En-m = { ( Xl' x2)}, we say that k E Lip(p, r, Em) if for al1y h = (hl' h2) E En,

and the l,east value of M denoted by Ilkl/(p,r)(m). Then the same proof give uso

L'emma lOa. Let HI="Z;I*k¡,k¡EU(En), -and lel Em_c En, r > 1. If I/k¡lkr,l/r)(m) < 2-i!r e, i = ± 1, ± 2, ... , then HI is 01 ps,eudo type (U(En), Lr(Em); nr/m).

5. Type properties of Hrn. Let k(X)EU(En) be a fix'ed kernel defined 011 En, leí 0< y <n, and let

k¡(x)=2-¡(n-r)k(2-¡x), i=0,±1,±2,... (54)

[(rn(x) = ~i=-CQ"" k¡(x) ="Z; _CQ ""2- i(n-r) k(2-¡ x), (54a)

Hrn I = I * [(rn ="Z; I * le¡, (55) so that

[(rn l(2j x) = 2-j(n-r) [(rnl(x). (55a)

W,e assume that the ge.nerating kernel k satisfies the foIlowing conditioIlS:

0.) k >0, and k = ° outside of the set 1 < Ixl < 2.

~) Ik(x) laE U(En) n Lip(l, 1, En) for a= 1,a=n/(n-y) and a= (n-1/2)/(n-y).

In dealing with subspaces Em w,e sball also assume the following ,conditioIlS:

y) If Em.cEn then Ik(x) laE U(En) 'n Lip(l, 1, En) for a=(n+ m)/(n-y).

ó) If Em~cEn then Ik(x)laf;Lip(l,l,Em)for a=m/(n-y).

- 27-

In most theorems below it will be enough to assume that k( x) vanishes outside of a compact set and that I k I E V( En) 'n Lip (1, 1; En), but for sake of simplicity we shall stick to conditions a.) - b).

If k( x) = Ixl Y-n for 1 < Ixl < 2 and z'ero otherwise, then J(Yn(X) =" Ixly-n and Hyn f r'educes to the clas.sical potential

operator Iyn. It is easy to see that in this case k(x) is bounded and conditions a.) - b) are satisfied.

From (54) and 0.) - b) we obtain the following propertlcs of the generated kernels:

al) ki(x)=O outside of 2i< Ixl <2i+l.

131) IIk¡1115 2¡y e, IIk¡II(1.1) < 2-(1-y)i c.

132) Ilkllcr,l/r) <2-¡¡rc, for r=n/(n-y).

(33) IIlklc'll! < 2i/2 e, Ill klall(l,l) <2-i/2 c, for a=(n-1/2)/(n-y).

Yl) IIlc¡lIr< 2-im/r for r= (n + m)/(n -y), m<n.

12) IIkill(r,1/r)<2-i(m+l)/r for r=(n+m)/(n-y),m<n.

b1) IIlcill(r,1/r)(m)<2-i/r c for r=m/(n-y),m<n.

From 0.1) -b1), from l,emmas 2, 3, 6, 7, 10, lOa), theorems 1, 2, and taking in account Proposition 1, woe obtain the following ,theorems:

Th,eorem 3. lf O<y<n, then Hyn is of type (LP(En), V(En», fOl' any p, s satisfying

1/p-1/s=y/n, l<p<n/y. (56)

For p=l,Hyn is of weak type (V(En),LIl/(n-Y) (En». Thus, 'HYIl is of type P for every interior point P of AB, and of ,w,eak type at B.

Th,eorem 4. lf O<y<n,Emr:::.En and m<n<m+y, then Hyn is of type (LP(En), Ls(Em» for any p,s suchthat

l/p - (m/n) l/s = y/n, (1 < P < n./y) (57)

For .p .l,.Hyn lS of weak· type (V (En) , Lm¡'(n-Y) (Em).' : Thus: lJyn is of.type in AB' and weak type at B< . ,

Theorem 5. If O<y<n,m<n<m+y, and if Emc:::.j]n,.. then Hyn is of type (LP(Em) , Ls(En» for

l/p-(n/m)l/s=(y+m-n)/m, (n/(n-y) <s<oo). (58),

Fol' p=I,Hyn is of weak type (V(Em),Lm/(m+y-n)(En». In all cas,es the series (55) is convergent for almost all x·

01 En 01' of Em. If 1 < p < n/y then this series conver:ges also in Ls(En) , 01' in Ls(Em). For y < 1, we have in addition thai"

A .

Hyn is a multiplier transform: Hynf=F*(h f), where h(u)=, A

lim 2;'V,i=-N ki(u), N -+- 00, and !h(u)! <clul-Y• For the case of bounded domains we have the following'

theorems.

Th·eor·em 6. Let Dnc:::.En, Dm.c:::.Em b,e bounded doma:.... ins, Em.c:::.EI!, and let O<y<n, m<n<m+y. Then: a) Hy",: is 01 type (LP (D,n, Ls (Dm», that is Hyn is a bounded transformation from LPtDn) to Ls(Dm), for any p, s, such that

ljp-(m/n) (l/s) < y/n , (l<p<oo, p=/='n/y, 1 <s<oo), ' ,(59).

and for

,p=1. s<m/(n-y), and p=n/y, s<oo. (59a).

b) If

l/p-(m/n)l/s<y/n, l<p<oo, p=/= n/y, 1 <s<oo, (60);

"~han Hyn is ct completely continous operation from . LP(Dn). to Ls(Dm).

Proof. a) Now f(t) is defined on· Dn, so that we mayo consider that f( t) = O for t E En - Dn, and H yn f( x) is consí-dered only for XEDm. Hence, since k¡=O for Itl>22i, there, is number io = O, so that H yn is now of the form .

Hyn f = 2;i=-oo O f * k¡ = f * K'y/1. (61)"

where (61a)

Since y> O, we obtain from ~1) and ~2)

II[{' rn111::: 2;_",0 IIlcdl1 <" c 2;_",,0 2yi < cl:; 111('rnll,. <" e 2::_",0 2-i(n-r) 2inlr < c2 . if l' < n/en - y).

Hence . we have now

[('rnEV(En); [('rnELr(En) if 1'<n/(n-y). (62)

'(f p, s' satisfy (57) tIl·en, by theorem 4, Hrn is of type '(LP(Dn), Ls(Dm», and sin03 Dm is a bounded domain, Hr~ :is of typ-e (p, s') for all s' < s. This proves part a) for p < n/y. For p>n/y we have IIHrnfll",,< IItllpll[{'rnllp" and sinoe p'< n/ (n - y), wo obtain from (62) that H rn is of type (p, 00 )

and hence also of type (p, s) for any s <00 •

b) Let p,s satisfy (60), so that l/p-m/(ns)-y/n--d, d > O. For any N let H rn = HN + RN wherEi

HN f =: I.°_N f * ki, RN f= f * [(Nrn , (63)

](l\n(X) = 2;-r/> -N-1 le¡(x) = 2;~<fj -N-1 2N(n-r) k¡+N (2N x)-

2N(n-r) [('rn (2N x). (63a)

Each le¡ is a «good» memel, hence HN f is a complet-ely cOntinous operation froni LP(Dn) to Ls(Dm), so that it is enough to prov,e that IIRNII-+O. If g(x) is defined by g(x)= f(2-Nx), thenfrom (63a) we obtain RNf(x) =2-Nr(g * [(,) (2N x) =2-Nr Hrn g(2N x); . hence by part a) alreadyproped, we have

IIRN flls=2-Nr 2;-Nm/s IIHyn glls < 2;-Nr-Nmls cllgllp = 2-Nr-Nm/s+NnIP cllfllp = 2-Nnd cllfllp,

and . tnenefone

IIRlVlI < 12-nd I N c -+ O for N -+ 00 •

Similarly, for p> n/y we l~ave:

- 30 --'

Thleorlem i6a. Jf Dnc:En, Dmc:Em, a¡1e bounded domains, Emj:=En,O<y<n, and 'if n/y<p<oo, then H,n is a completely continuos operation from LP(Dn) to C(Dm).

R 'e m a r k. The classical kernel k( x) = Ixl ,-n satisfies also the . fol1owing condition: If Em = {y}, En-m = {z}, En = Em X

En-m = {(y, z)} , m<n, then thera is a kernel k*(y) such that. k(x) <cl{'6*(y), x=(y,z), b=m-n+y>O. If thiscondition is satisfied, thcn t11.eorem 4 holds for any m < n if 1 < p < s. p<n/y (cfr. [12]).

N o t a t ion s : The rest of this section is devated to capacity properties of H,n, and only Borel sets, functions and measul'es will be considered. fJ- will denote a non-negativa measure in En. If fJ-( En) = 1 then fJ- is a distribution; if fJ-( En - S) = O then fJ- is concentrated in S. If K, L, N are generating kernels (that is Borel,functions satisfying conditions a), ~» then K,n, L,n, N In, denote the corresponding kcrnels diefined as in (54a). We shall write K, instead of J(,n and cp(A) instead of cp(x, A).

GiY·en a function N(x), we sa.y that the set S is of zero N-capacity (cfr. [15]), and write c(S, N) =0, if for any distribution fJ- conoentrated in S,

V(N,J-t)=SUPtEEn r IN(t-x) I dfJ-(x)=sup(INI *fJ-)=oo. } En

The following properties are easily verified:

a) If IMI < INI in S'_c:S and IN(x)1 <c in S-S', then c(S, M) =0 implies c(S, N) =0.

b) c(A¡, N) =0, kc: Ut' A¡ imply c(A, N) =0.

c) If fEV(En). and S={x; IN*f(x)l=oo}, theiIl c(S, N) =0.

d) If the ~enerating kernel [( satisfies I K (x) I <c and if O<y<b<n, than c(S,1('6)=O implies c(S,K,)=O (becauoe then IK'6(x) I < I](,(x) I in Ixl < 1, and 1]('61 < c in Ixl > 1).

If K,= Ixl,-n then the notion of zero l{y -capaeity r·e:duoes to t11.e classical notion of zero y -capaeity, and theorems ~,7a, hel~w re,duce (taking in aecount properties e) and d» to theOl'lems of Du Plessis [10]. However, theorem 7b, is probably new leyen in the case [(,= Ixl,-n (cfr. [15]).

1,

-31-

L 'e m m a 11. Let K, N, L b,e three generating kemels such that L=(K)r.N, and INI2>cN,c>0, let V=V(Ny,f.l.) and let b=y-yr/p'. Then for any sel A,

where 1 < r < 00, and el is a fix.ed eonstant.

Proof. By hypothesis, 2-i(n-y/P) K(2-i x) <

C2 2-iY/P' K(2-i x) 2-i(n-y) N(2-i x). hence

!Ky/p(t-x) df.l.(x) <e2 !Kn_y/pl(t-X) Ny(t-x) df.l.(x) < '

ea {!IKn_y/pl(t - x) 1: Ny(t - x) df.l.(x) V/r {V}1/r'.

Obs,erving that

and integrating over A~he last inequality we obtain the desired inequality.

L'e m m a 12. Let. 1 <r < 2, 1[(1 2 > elKI, e> 0, L= IKlr'/2. N(x) = I[((x) Ir'/(r'-2), W = V(Ny, f.I.). Then

(II[(Y/r * f.l.llr/)r' < WrI-2 (110/2 * f.l.112)2.

Proof. Let a=n+ (r'-2) (y-n)/r', b=n+ (Y-2n)/r'. Then w-a have:

2-i(n-y/r)[((2-i x) < e 2i(Y-n) (r'-2)p N(2-i x) 2-i(2n-y)/r' K(2-i x),

Ky/r(x) < e Na(x) K¡(x), and hence

I J Ky/r(t - x) df.l.(x) Ir, <c IJ INu(t-~)lr'/(r'-2)df.l.(x) 1 r

l

-2\J 1[(b(t-x)lr'/2d f.l.(x) 12

•

-32 -

'Taking· in account that

.and integrating in t, weobtain the desired. incquality. The following lamma is easily verüied and we omit the proof.

L'emma 13. If (l(Y/2* [('Y/2)(t) < e [(y(t) , where [('(x)= .l(( - x), then [11 (I(m * ¡.A) 112)2 < cll([{y * ¡.A)1I1,~ < 01 V([{y, ¡.A).

Th,eor'em 7. Let f>o,fELP(En),S={x; l[{y/p*f(x)l=oo} , and let L=[{PI/2, N=I(PI/(PI-2), 1(2)c[{, c>O, a) If (Ly/2 * LY(2)( t) < c Ly( t), then S is of zero Ly - oapacity for 1 < p < 4/3, and of z,ero Hy-cap'1city for 4/3<p<2. b) If p=l, then S is of zero [(y - capacity.

Proof. a) W'e may assume that S is a bounded set, und let ¡.A be conoentrated in S, then by lammas 12 and 13,

00 = L ([{Y/r * f(x)) d¡.A < J EJ(t) [L [(y/p(t - x) d¡.A(x) ] dt <

Jlfllp 11 [{Y/p * ¡.Allp' < IIfllp (WP1-2I1LY/2 * ¡.A 11 22) l/PI <

[o( W) (PI-2) V]1/PI Ilfll p, (64)

where V=V(Ly, ¡.A), W=V(Ny, ¡.A). If p<4/3 then L>c1 N, V >Cl W,' and if p > 4/3 then W >c1 V.

b) This follows diIlecfly from property e).

L 'e m m a .' 14. 'Let' [{y/P = [{I Y/P + [{" Y/P, whel',e [(1 Y/P is defil1!ed ·as in (61a), O<y<n, l<p<oo, and let ¡.A be a diswibution. a) If [{ E LPI then [(/y/p * ¡.A E LPI. b) If ICE L1 then Re" * ¡.A E L1 for any e> O.

Proof. á) W'e have

11 [{/y/p * ¡.All p' . 112:::=0"'2(y/p-n)iJI((2-i(x-t)) d¡.A(t)llp' <

<2::i=0""2(Y/P-n)i f UEn 1[{(2-i(x-:-t))I Pl dx r/P1 d¡.A(t)

< 'Ili=o 00 2(y/P-n)i 2ni/PI 1I[{ll p' = 11[{llp' 2::i=O'" 2i(y-n)/P< oo.

-- 33-

b) The proof is the same as in a) and we will not repeat it.

T h e o r e m 7 a. Suppose that the generating kernel satisfies the condition 1 [{ 12 > C [(, c> O, [{ E LP+l. JI.t E LP, 2 < p<oo, andil S={x;l[{y!p*f(x)l=oo}, then Sisal zero [(y - capacity for all ó, 0< ó < y.

Proof. Let ó<y, y/p=ó/r, r'-p'=e>O. W;e may assume that S is a bounded set; let the distribution /-'- be conoentrated in S. Sinde [(" y!P vanishes outside .of ! xl ~ 1, [(" y!P * /-'- va¡mshes ou1lsMe of a bounded set A, so that [("y!p*/-'=cp(A) [{"y!p*/-'-, henoe by lemma 11 (with N=[{) and by b) of l'emma .14 (with [( = L),

11 [{"y!P* /-,-ll p'= Ilcp(A) [("'b!r* /-'-lIr'-e< <cIVlbllL"a*/-'-lIl <c1 IVlb, (65)

where L=[(P+1ELi and V=V([('b'/-'-)' sinoe a=ó-ó(r'-e)r' >0. Sinoe I[{IPI~ clIKIP+1E Li, we hav'e by a) of lemma 14,

(65a)

Since lI[{y!p * /-'-11 p' < 11[(' y!p * /-'-llp' + II[{" y!p * /-,-lI p" from t110e second il1!equality of (64), (65) and (65a) we obtain

Let EIl = Em X EIl-m. Wc say that S is of N-capacity in Em, if S_cEm and if SUPtEEmIN*/-,-(t)l=oo for any /-,-conoentrabed in S. For simplicity let us assume that [(y(x),--: IX IY-Il,

Hylll=f* [(y = IYIl= fy· Thell we have:

Th,eorem 7b.· Let O<yp<n, fE LP(EIl) , ó=inl (y(n-m)/p; y), s=inf(n,m). Jf 1<p<2, ,then the set S= {xEEm; l[{y*f(x)l=oo} is 01 zero [('bP-capacity in Es. JI 2 n, we have

- 34-

where the norrn is taken in the variable t, and x = (xl' x2).

If X 2 =-/= 0, the last norm is finite: In fact, we may taIc,e p> 1, so that we. have r< n and (r - n) p' < n. If X 2 =0, then

fr(x) = f f(t) IXl - tlr-n dt and we obtain the preceding case.

Let now m < n. Then

where Ihl = 1, t2= Itl - xl u2• Sinca (r -n) p' < m - n, thelast integral isfinite. Sinoe g(tl) = IIfUl' t2)II p E LP(Em), and IIfllin) = IIgllp(m), we obtain

Ifr(x) I <c fEmg(t) It-·xl~-mdt,

ancl we obtaiin again the pr.eoedent case, alreacly provecl. Remal'k: We observe that the hypothesis le E Lip(l, 1) oí"

~) was nol used in theorems 7 -7b). Similar theor.ems holcl in' the case En n Em = Et, 'even if Em is not contained in En. ( cfr. [15]).

6. Li.pschitz proplerti·es of Hrn• Now we shalI' g.eneralize sorne th~orems due to Hardy ancl Littlewood [17] (cfr. [10] ancl [15]). In this section we consider a fixed generating' roer,nel k(x) which is assumecl to satisfy conclition a) of § 5. ancl to belong to V(En) n Lip(l, 1, En) (sorne adclitional conclitions ar·e assumed in theorems 8a and 8b). [(rn, k i clenote the' generatecl lsernels clefined by (54), (54a), ancl we write [(r ins-· tead of [(rn, and Hf instead of Hrll f. The set {y E En; a < Iy-xl <b} is denoted by (x,a,b) and En_(x,a,b) by (x,a,b)/~

- 35-

We say that f ~ Lip ~(En) if If(x + h) - f(x) I <clhll3 O( Ih ll3), and that fElip~ if If(x+h)-f(x)1 =o(l h ll3).

Let ~-«J o ki be denoted by [(y-, I.o ""k i by [{y+ and I._ooN ki by [(~-. Then, w¡e have the following properties of the g,enerated kernels, whieh 'are easily dedueed from the definition (54) and al)' ~1)'

a) 1I[(y+(t+h) - [(y+(t)111=0(lhl).

b) Illtl13I[(y- (t+ h) - [(y- (t) 1111'= O (lhll3+Y), ~ > O.

(For proof, taI\!e N < O sueh, that 2N 2ij in estimating [{y-_[{yN-- us,e eondition 11 kili (1,1) < 2(y-l)i e ( cfr. the proof of lemma 2).

e) By similar splittings is prov'ed that if k E Lip ( q', 1) and if N is sueh that 2-N- 1 i=-", { f Iki(X) Iq' dX}l/q, =

(0,0,471)

=I._ co-N-2 {f Iki lq,}l/ql

< (0,0.4Ih\)

< I 2-N Iy-n/q Ilkllq' < IIkllq,( Ihl¡-n/q).

e) I."",_ {J Ik,(X+h)-k-(X)lq'dx}l/q, <

1- '" (O,a,!) 1 l.

Th,eorem 8. Lel O<y<l, a=inf(~+y,l). Jf fE L1(En) 'n Lip ~ (En), O <~, then Hf E Lip a (En).

- 36-

Proof. From the hypothesis we have If(x) 1 < e <00, We haya

IHf(x +h) - Hf(x) 1 = I tn f(x - t) [Ky(t + h) -Ky(t)] dtl ~

IJ f(x-t) [Ky+(t+h) -Ky+(t)Jdt I + (0,0,1)'

JJ (f(x - t) - f(x» [Ky-(t + h) - Ky-(t)] dt + (0,0,1) .

+ If(x)11 [J I{y-(t)dt-I Ky-(t)dt] 1,· (k,O,l) (0,0,1)

and If(X+t)~f(X)I=O(ltl~), hence using a) and b) we obtain IHf(x + h) - Hf(x) 1--.:. O( Ihl~+r + Ihl).

Th'eorem 8a. Let kEL(q',l), q>l, l+n/q>y>njq, O<y<n. lf fE Lq then HjE lip(y-njq).

Proof. W:e have

IHf(X+h)-Hf(x)l<f If(x-t)IIKy+(t+h)-I{y+(t)ldt+ . (0,0,1)'

[J +J +J ] [lf(x-t)IIKy-(t+h)-Ky-(t)ldt]. (O,O,8h) (O,Sh,a) (O, a, 1)

W'e take N> 1 such that 2-N- l < 1 h I < 2-N and b such that 2-M < b < 1 - 31 h I and

J If( x - t) 1 q dt < e .. (O, a) -

Applying Holder's inequality and using Cl)' C2)' cs) we obtain IHf(x +h) -Hf(x) I =o( Ihly-n/q) +O( Ihl ) = o( Ihly-n/q).

Th'e.orem 8b. Let O<y<l, k.E La! (En). lf fE LP(En), l<p<oo, then HfElip(p,y).

Proof. Let

Yl(X)=J f(t) Ky(x-t)dt; (:r.,O,clhl) .

- 37-

g2(X) . f f(t) Ky(x-t) dt, (ro,c¡lI¡,d¡lI¡>

gS(X)=j f(t) I{y(x-t) dt; . (ro,O,d\"\)'

It fis sufficient to prova that, givan E> 0, for suffici.elltly small constant e and sufficiently large. d, it is true that (for small h tending to zero):

j li:>gsIPdx< ElhIPY, (66)

(116g i llp)P= jli:>glIPdX<ElhIPY, (67)

We first prova (68). Let A= (x, clhl, d/h/), ¡-10 = (O, clhl, dlhl). If tE A, u=x- t, and Ihl small, then 2::- 00 aJ /lc¡(u) I < 2n-Y M luly- n, hence

Ii:> g2(X) 1= \J A [f(t) - f(t - h)] 2:: ki(X - t) dt I <

<2n-Y M J I!(t) -f(t-hllx- tIY-ndt~ A .

Mi dlhlY-n [(d - e) Ihln]l/PI {fA If(t) - f(t - h) IP dt f/P =

=M(c,d) Ih/y-nIP{L If(t)-f(t-h)/Pdt f/P:

~1I6g2I1p)P<M(c,d) IhIYP- n tn dx L /f(t)-f(t-h)IPdt=

= MlhlYP-nf dxf If(t)-f(t-h)IPdt=o(lhIY). A En

Now we prova (67). Let B= (O, 0, clhl). Since ·/Ky(u) I <

- 38-

M I u I Y-n if u E B and I h I is amall, we have for sufficiently amall e, .

IIg1(x)lIp<1I IB If(x-u)IIKy(u)1 dullp<

<Mil In If(x-u)lluIY-ndullp<

M In lul y- n IIfllp du<M1(clhI)Y <elhIY.

Similarly IIgl(X - h)lIp < elhl Y. Now l,et us prove (66). Let D=(O,O, (d+1) Ihl),D'=

(h, dlhl, (d + 1) Ihl), 2-N < (d + i) Ihl <2-N+1. W,e havoe

I~ gs(x) I < I In f(x '- u) 2::-00 00 [ki(u - h) - ki(U)] du 1+ In !f(x - u) 12::-00 '" Iki(u) I dú +

+ ID' !f(x- u) 12::-00 00 Ik¡(u) I du=Rl + R2 + Rs·

I

If d is sufficiently large, then

IIRlllp < {I I f D 2:: Iki(u - h) - ki(u) l!f(x -u) I du I P dx VIP <

<JDZl Iki(li-h)-k¡(u)lllf(x-u)lIpdu

< IIfll p 2::"'¡=N 2i(Y-n)l hl < Mldly- n IhIY< elhl Y.

Let D"= (O, dlhl, (d + 1) Ihl), then applying Minkowki's integral ,IDelquality,

(IIR2I1p)P< Jdx [In;, !f(x-u)I'2::-oo"'lki(u)!'dur < .

. ~Ml(dlhl)(r-n)¡: J [J. !f(x- u) I du lP dx

En D"

- 39-

M2dP6-n)+(n-l)(P-l)lhIPy-n J If(x) IP dx I(x, dlhl, (d + 1) Ihl) 1= En .

=MsdP(Y-l) IhIPY< elhl PY, sinoe y<1.

Similarly we see that (IIRallp)P < elhl YP.

Th'e ore m 8e. Let 1 0, lc(x)= lc(-x). 1f fELPn Lip(p,a), then HfELip(p,y+a). 1f fE lip(p,a) then HfElip(p,y+a).

Proof. We proy,e the first part of the theorem; the other part is proved in the same way. Let A=(0,0,3Ihl),B=En-A, I((t) = I<y(t) , then

~Hf(x+h) -Hf(x- h) 1= 16Hf(x) 1=

IJ f(x+u)I«u-h)du-f f(x-u) I«u-h) du 1= En En

= 1 t (f(x +u) - f(x - U)) [I((u- h) -I«u)] du +

+ L[f(X-U)-f(x+u)]I«u)du+

+ J )f(x+u) - f(x- U)] I«u- h) du:1 = IJ1 +J2 +Jal.

Applying the integral inequality of Minkowski, and letting

< {J E,.I t If(x+ u) - f(x- u) IIK(~- h) - K(u) Idu¡V dx }l/P <

~ fB IK(u-h) -K(u)1116fllp du::;

<M L lula IK(u-h) -':"K(u)1 du<

< M f Ixla 2:;:0 ~co 2(y-n)i Ilc((x -h)/2i) - k(2-i x) Idx

<Ml 2:;'" _N2ai+in (Y-n) 12-ih l =

= Ml(2:;l_N + 2:;000

) Ihl < MslhlY+C1

- 40-

IIJ211 11 < L /I((u) / { tn /f(x + u) - f(x - u) /P dx r/p, du <

<M f /,u/ a Z:_«>-N+12i(Y-n)/k(2-iu) / du<

<M2 Z:_ oo":"N+12(Y-n+a)i f k(2-iu) du<Ms/h/a+Y.

IIJsllp<Mf /·J(u-h)/luladu<M J /,J(u)/Iuladu (O,n,SI1t1l . (O,O,4Ih Il

I

and the last integral ~ e3timated in the same fashion as J 2'

R e m a r k. It was proV'ed in [2] that in the case of y = O the proprerties of Hilbert transIorms hold also for «ergodic Hilbert tranSfOrIDS», that is for operators of the form

where {Ol x} is a gr,oup of measur.e-preserving transformations of an abstraet measure space X = {x}. The eorresponding extensiQIl for y> O i.s not clear and the few results we obtained are mostly of ll'egati~e eharaeter ( cfr. [15]). Henee it is an open prob1€Jm wh~eh are the' type and eapaeity properties of the «'ergodic potential operators».

REFERENOES

[1] A. OALDERÓN and A. ZYGMUND. Bitngular Integrals, Aeta Math. 88 (1952).

[2] M. (JoTLAR. Hilbert transforms and ergodic theorems. Revista Mat. Ouyana vol. 1 (1955), fase. 2.

[3] A. ZYGMUND. On a theorem of Marci1~kiewicf!. Journal Math. Pures et Appliquées (1956), 223·48.

[4] S.SOBOLlEFF. On a the.orem in ]functiondl .t1nalySÍ8, Mat. Sbornik, 4 (1938) .

[5] E. STEIN' and G; WEIss. Fractional Integrals, Jour. Math. and Meehanies, Vol. 7,4 (1958), 503·14.

[u] S. SOBOLIEFF. Bome applications of tlle Functiona~ .t1nalySÍ8. (1950) Leningrad.

-41 -'-

[7] V. ILIN . .t1.n i","tegral inequality. Uspehi M. Nau"h. Xl,4 (1956).

[8] J. SMOLITZKI. Uspehi Mat. Na'll"h, 64,4, (76) (1957).

[9] L. KANTOROVIOH. Integral operators. Uspehi. M. Nau"h. Xl,2 (1956).

[10] N. Du PLESSIS. Trans. of.t1.mer. Math. Soco 80,1, (1955), 124-35.

[11] M. CoTLAR and ,R. PANZONE . .t1.ota Seicn. M.athematio. XlX,3, (1958).

[12] M. OoTLAR. Seminar on Singular Integrals (mimiographied r'-otes). Uni. versity of Buenos Aires (to appear).

[13] l. HIRSHMAN. ;Journal d'.t1.nalyse 2 (1952), 209-18.

[14] E. STEIN. Intcl'polation of linear op61'ators. T.A.M.S. 83,2. (1956).

[15] R. PANZONE. Thesis. University of Buenos Aires, 1958.

[16] A. ZYGMUND. Trig,onometrical s,er¡]es. 1935 and 1959.

[17] HARDY and LxTTLEWOOD. Fl'aotional ilbtegrals. Mat. Zeit, 27 (1928).

PROFESOR CHARLES EHRESMANN

En la Asamblea General de la Unión Matemática Argentina celebrada en Córdoba el dia 20 de octubre de 1959, se nombró Miembro Honorario de la sociedad al Profesor Charles Ehresmann. ' . .

Nacido el 19 de Abril de 1905 en Strasbourg el profilsor Ehresmann, dilspués de habe~ sido profesor en la Universidad de su ciud.'1.d natal, es actualmente (desde 1954) profesor de la Sorbonne en París. Su especialidad es la Geometria Diferencial,' de cuyas tendencias modernas es uno de los más caracterizados fundadores. Sus numerosas publicaciones pueden clasificarse eJ1. los siguientes grupos, cuyos titulos genéricos indican los campos abarcados, en todos los cuales ha contribuido con aportes significativos y de algunos de ellos ha sido el creador: Topologia de ciertos espacios homogéneos, Grupos de Lie, Estructuras localils y espacios localmente homogéneos, Espacios fibrados, Variedades casi ~omplejas, Variedades foliadas, Conexiones infinitesimales en un espacio fibrado, Pseudogrupos de Lie.

Actualmente, de unos afios a esta parte, está interesado principalmente en la fundamentación de la' geometria diferencial, Sus ideas y resultados a este respecto han sido expuestos de manera sistemática en el curso que bajo el titulo de "Estructuras, locales y geometria diferencial' , ha dado, en la, Fa7 cultnd de Ciencias de la Universidad de Buen?s Aires durante los meses dEl agosto a noviembre de 19.59.

-42 -


Eesi"tmenes iM comunicaciones científicas 06rdoba. 17-20 octubre 1959.

J. P. KAHANE. Propiedooes locaJlcs de las f1mc~ones sumas de series de F01wwr con coeficien1Jes aleatorios.

Se trata de las funciones periódicas aleatorias que se pueden definir por ro

:sus series de Fourier 21 En cos (nt + cb n) donde las amplitudes En y l/ls fases 1

<IIn son variables aleatorias independientes entre sí, de manera que sen ([ln y cos <11ft tienen valor medio cero.

C. RATTO DE SADOSKY, Algv.nas propiedades de contin1bidad de operad01'es hiperbólicos potenoiales generalizados.

Extensión de teoremas clásicos sobre tipo de operadores potenciales eUpti'cos al caso hiperbólico.

M. CoTLAn. y E. On.TlZ, Tipos pondej'ados de operadores potenciales.

Se extienden teorelllas de Sobolieff, Thorin y Zygmund sobre el tipo de 1lperadores potenciales reemplazando la medida de Lebesgue por medidas ponderadas; se indcian aplicaciones al Problema de Dirichlet.

J. C. MERLO, Un criteriO' pam la oo?npletidad ({,e un sistema ortonoj'mal die fun-f.Íones. 1

Dado un sistema Ol·tonormal [q¡i (x)], (i = 1, 2, ... ), se demuestI'a que 'ElS condición suficiente para que sea completo, que el núcleo asociado

'Sea singular. os decir: lCn (t, lV) = 21 1" q¡i (x) q¡i (t)

b

lím (lcn (t, u;) dt = 1 n-+- oo ..

a

pára todo (a, b) ~ x. Se dan también condiciones con hipótesis más débiles, y unll, condición necesarill, y 8uficiente.

{). A. VAn.sAVSKY, Un teorema taulleriano para anillos.

El teorema de Wiener;Tauber se ha expresado en el contexto de álgebras ·de Banach de la siguiente manera: "Todo ideal l3errado propio está contenido -en: un ideal regular maximal", y es cierto para álgebras de Banach conmutativas semisimples, regulares y tales que los elementos con transformada de Fourier-Gelfand de soporte compacto son densos.

Damos aquí una generalización de este resultado para anillos, mediante el uso de una topología¡ para ideales maximales que parece ser cómoda para este tipo de cuestiones.

- 43-

Sea A un anillo conmutativo semisimple y M el conjunto de sus ideales lllaximales regulares. Para liada a de A y M de M, sea a(M) la proyecci6n 'can6nÍlla de aen el cuerpo .tJ./M y sea

Ea=~ MeMI a(M) = 1. ~.

Estos En, y M, forman una base de cerrados de una topolog~a E de M ,que tiene las siguientes propiedades:

E es compacta, T" y más débil que la topología HK (cápsula-núcleo), con la que coincide si A, tiene 1.

Si no ,hay 1, es irreducible: dos abiertos no vacíos se cortan. En cambio ·es "normal" en el sentido que, dados dos E-cerrados disjuntos, B y O, hay un a de A tal que a(M) vale cero en B y uno en O.

Los E-cerrados propios pueden caracterizarse como aquellos HK-ce~rados ,cuyo núcleo es un ideal regular. Por lo tanto para álgebras de Banach regu-lares coinciden con los compactos. '

Sus propiedades tauberianas elementales son:

1) Sea, I un ideal de A, y U un E-abierto que contiene a la cápsula de I. :Entonces el núcleo de U está contenido en I.

2) Sea I un ideal de A cuya cápsula ·es vacía. Entonces I contiene a todo '8lemento de A cuyo soporte (= E-clausura de los maximales a que no pertenece) es propio. (De aquí resulta de inmediato el teorema de Wiener-'fauber -para anillos topo16g~cos en que los elementos de soporte propio son densos).

J'OSÉ BARRAL SOUTO, PoliJnowios ouyas ¡'aíoes satisfacen eouaoiones hom6gradas '; imposibilidad de que esas raíces sean todas enteras si 'el grado t'ljel polinomio es mayor que ocho.

Síntesis: El procedimiento de interpolaci6n polin6mica reiterada de Aitken, 'Con la variante introducida por Neville. (Cap. III. The Calculus of Finite Differences by L. M. Milne Thomson; London 1933) permite acelerar el proceso de eálculo y, en un trabajo posterior (Interpolación polimonial de recurren,cia ace' 1erada, por J. Barral Souto; Anales del Instituto Aetuarial Argentino, años 1953 al 57) demostré como eligiendo convenientemente los a,rgumentos de interpolaci6n, el proceso podía acelerarse aún más.

Dichos argument'os coinciden con los ceros de polinomios de grado 211

de la forma

Pena:) = «(n¡>;·-.tJ.n-l)·-Án-~)O- .. -Al)'

que pueden presentarse de manera explicita,

n ro = ± A1I-1 + An-2 + ( ... =1= (Al ± A 1/2) 1/2 ••• ) 1/2 ) 1/2 ) 1/2

Para n inferior a 3; se pueden elegir convenientemente los valores de Á8

de modo que los polinomios tengan todos sus ceros distintos y ra,cionales ; pero para n superior a tres tal elecci6n es, en cambio, imposible.

Los ceros antedichos satisfacen las ecuaciones hem6gradas siguientes:

~ " ro 82i = ~ n ro 82i+1 ; s, i = 0, 1, 2, ... , 211 "'" - 1. i i

-44-

Sobre acotaci6n de los valores no tabulados mediante interpolaci6n parab6lica.

Síntesis: Con las f6rmulas o proeedimientos de interpolaci6n se persigue la determinaei6n de valores de la funci6n para argumentos que no han sido tabulados. Teniendo presente el carácter te6rico o empírico de las funciones generalmente tabuladas habría interés en que la acotaci6n de la funci6n para argumentos no tabulados prescindiera de la condici6n de derivabilidad considerando, v.g. una característica menos restrictiva como la continuidad.

El análisis del término complemnetario de las f6rmulas de interpolaci6n permtie, en muchos casos, una acota.ci6n del error de aproximaci6n y, por lo tanto, también de los valores de la funci6n, admitiendo la derivabilidad hasta un cierto orden, en el menor intervalo que contiene a todos los argumentos en juego. En ese sentido prestan utilidad notable dos teoremas poco difundidos y conocidos como primero y segundo teorema del valor medio para las diferencias divididas.

En vez de la exgiencia de la derivabilidad hasta un cierto orden puede imponerse la existencia de diferencias divididas del mismo orden -calculable con argumentos tabulados- si se la supone contínua respecto de uno de sus argumentos tomado Ilomo variable, en un intervalo que contenga al menos al argumento no tabulado. En tal caso, si $o,x

" ... ,xn son argumentos para los

cuales se encuentran tabulados los valores de la funci6n; x, es un argumento cuales se encuentran tabulados los valores de la funci6n; x, es. un argumento a y b también tabulados, puede enunciarse el teorema siguiente: S1 las diferencias divididas de orden, n + 1, no cambian de signo; el valor no-tabulado, de la funci6n, f (x), se encuentra comprendido necesariamente entre el mínimo, m y el múximo, M, de los dos valores obtenidos por interpola,ci6n de grado, n +1, siguientes:

f(x!wo, ... ,Wn,a) f (a;! wo, ••• , \v", b)

Biendo

a < re < b ; m < f(re) < 1YI.

A. GoNZÁLEZ DOMfNGUEZ, Un método general de IñnteBis de cVrOl¿itos lineales n& disipativos no recíprocos, de matriz de dispersi6n prefijada.

Toda matriz de dispersi6n de un cir.cuito lineal no disipativo puede expresarse en forma de. producto de Blaschke matricial; '1 cada uno de los factores es a su vez la matriz de dispersi6n de un circuito no disipativo fúcilment'e realizable. La aplicaci6n adecuada de teoremas de Oono-Yasuura permite realizar el circuito total.

E. T. OXLANDER. Generalizacwn de una f6rmula del radio espectral de operadores.

'Se trata de generalizar la f6rmula de Gelfand liT II = lím II Tn Ill/n váli-• . 11-+00

da para operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert,a operadores acotados de t~po (p, B).

-45 -

FEDERIOO GAETA, Reduooión de '!IIn pl'oblema fundamental de geometría integral o:l oaso partioular eJe los espaoios, lineales variables o fijos. (1)

La correspondencia biunivoca P +--+ P X P = P 6. entre los puntos P e E y los P X P e 6. de la diaoonal (o identidad) (') de E X E asocia a todo O ~ E su imagen diagonal O b.. lugall de las imágenes diagonales P b.. de todos los P e O; En partciular se tiene la importantísima propiedad:

(A n B) \! = A X B n 6. Indicaremos con X, Y, Z..... las variedades que corresponden a los ele

mentos x, y, z, ... " de un grupo G de transformaciones que suponemos actúa transitivtimente sobre E, es decir X es el lugar de los pares P X reP si x e G y xp es el hom610go de P en re. A todo conjunto C~ E, ilol'responde una imagen O ro en E X E, lugar de los P X xP si P e O: En particular P = P X xP. Se verifica inmediatamente

(A n xB)rx.=A xB nX-l

que reduce la inters~cci6n del conjunto "fijo" .ti Y el "variable" xB en eJ. espacio dado a la del producto .ti X B con la "gráfica" o imagen X -1 de a;

sobre el espacio producto EJ X EJ. La ventaja de esta reduc,ci6n es que todas estas gráficas X son variedades

muy sencillas, de la misma naturaleza que 6. (a la que se reducen para x = 1) Y por tanto de la misma Ilaturaleza que EJ.

En cuanto a la operación grupal G X G también 'actúa transitivamente sobre E X E Y G X G es compacto, o localmente compacto si lo ,es G. Además el subgrupo cerrado 9 de ,G X G que deja invariante una X es isomorfo aG y el espacio homogéneo G X G/O es homeomol'fo :11 grupo G.

En el-caso afín (E espaoio afin y G un grupo de afinidades) las gráficas X son espacios lineales de dimensi6n n del espacio afin de dim 2n que representa el producto, por lo cual las interse,cciones .A /\ Il'Bse reducen a las de .A X B con un conjunto x X x b,. '= X de espacios lineales variables.

En el caso proyectivo E X E es una variedad de SEGRE y las X son variedades de VERONERE.

El objeto de esta comunicaci6n es demostrar, usando inmediatamente la observaci6n anterior que el cálculo de las integrales

(1) 1 = f F (Ko n 'XHo) cl'X

G

(2) I f F(Ko n Ho) dHo

G/U

que constituye según, SANTALÓ (3), "the main purpose" de la Geometría inte-

(") Sus resultados aparecerán en breve con mayor detalle en la l'evista de la Universidad de La Plata, aún cuando todo lo que aquí se expone es "a'elf· contained' '.

(") Utilizamos la idea, ya familiar en Geometría algebraica y Topología de considerar las correspondencias entre E y F como subvariedades det' producto E X F. Aquí E = F Y 6 es la imagen de la identidad.

(3) L. A. SANTAL6 b~tegral Geometry in general spaoes. Proceedings of the international Congress of mathematicians, 1950, Vol. I, p. 483. dx es el !llemento de volumen inval'iante por la izquierda y F (Ko n xHo) es una funci6n de la intersecci6n indicada.

'.

-'- 46 -

gral en ,el sentido de BLASCHKE, aunque se refiere a, conjuntos fijos K. ¡variables H. muy genemles, desde eZ punto de vista geométrico cc;r¡'esponM siempre a una integraZ del tipo «2) en que eZ conj1mto va'rÍabZe es un espacio d8 tipo E (sub espacios ZineaZes en eZ caso afín), mient¡'as que eZ conjunto fijo es. deZ tipo K. X H., Esto explica porque los resultados son simétricos en los dos conjuntos, y también justifica a posteriori la predilección por medir conjuntos, de espacios lineales por razones intrínsecas y no de sencillez o por encontrar ojemplos inmediatos,

R, SCARFlELLO. Sobre eZ producto éle élistribucion6s.

Se muestran las dificultades a que da origen la extensión a n variables d& la fórmula

(1)

Para ello se considera, en primer lugar, el n'Ú,cleo de Poisson en n variables ~

(2) ay (x) =_1_ y + ' . Cn (1 x 12 + y2) u 2

1

Y su conjugado, transformada de Hilbert-Riesz de (2), a saber:

donde:

1

ro' = rol, tt.:!!, •••• , lron. ; Iml = l/Xl!! + m!!~+ ... + a;:J"

",+1 1t-

2-

Gn = r("';+). Se obtiene la siguiente relación:

4

(4) n-1 4 2 X

( Ixl2 + y2) -2- ay (X) by (x) = On y n+3 (lxl2 + y2) -2-

1 - = n + 1 A ay (x) ,-

Tomando límites pam y -+ 0, se tendría:

(5)

4

X n+l Ixl"-1 a vp -- = - -- Aa Ixln+1 l'

que para n = 1 coincide con (1), Por otra parte si se efectúan los cálculos análogos, tomando el núcleo po-

tencial de Riesz

(6) r (n /)

Ra=---'---n ; 2a r (:)

1

Ixl"-a '

Las integrales de tipo (2) se extienden al espacio homogéneo G/g en la-·, hipótesis que exista una medida inval'iante cuyo elemento de volumen es dH,.

y su conjugado:

(7)

resulta:

(8) .

Es decir se tendría:

-47 -

1 Ixln- 1 Ra·H Ra ~ - - va. 2n

-+ . X 1

Ixl n-l. a . vp Ixln+1 = - 2n va. Para n = 1 obtenemos nuevamente la fórmula (1) pero se tiene ahora UD!.

f ·· t 1 1 1 ( ) coe ~Clen e - - en ugar de - -- que aparece en 5. 2n n+l

G. KLIMOVSKY. Oomputabilidad, de las funoiones ?'eoursivas primitivas.

Se muestra, por construcción directa de las máquinas de Turing correspon·· dientes, que las funciones recursivas primitivas son computables Turing.

W. E. DAuB. Generalizaoi6n de la f6r?nula de~ facto?' central de Gibbs para ~8-'

paoios de Riemann' de fo·rm . .a ouadráUoa fundamental positiva.

Se generaliza a espacios de Riemann n-dimensionales la fórmula clásica; del doble producto vectorial, mediante una definición apropiada del productovectorial de vectores en estos espacios.

L. A. SANTAL6. Medida de oonjuntos de supespaoios paralelos en el espacio afín ..

Sea An el espacio afín de n dimensiones y G el grupo de las afjJn~dades

unimodulal'es del mismo. Se estable0en las condiciones para que conjuntos de' subespacios paralelos transf'ormables transitivamente por G tengan una medida, invariante respecto del mismo grupo, y se lmcen algunas aplicaciones geo-métricas.

V. UIWIOLO. Un 'ensayo de 8omoi6n del problema de la t?·iooto?l1lÍa.

Se introduce un nuevo principio, el de ind1tooi6?~ general que viene a generalizar para conjuntos Ilualesquiera, los de inducoi6n oOll~pleta y de inducciów transfinita aplicables. a conjuntos finitos y transfillitos ordenados.

O. VILLAMAYOR. M6dulos playos.

Un módulo a izquierda F sobre un anillo A se llama playo si el funtor O F' es exacto en la categoría de 108 A-mómulos a derecha. En esta nota se da una caracterización de los mómulos' playos que se utiliza para demostrar algunas'. propiedades homológicas de álgebras locabnente finitas.

E. RoxIN. Proble1nas aotua~es de ecuaoiones dife?'enoiales ordinarias.

Panorama de los temas de interés actual en este campo.

-48 -

CHARLES EHRESMANN", Grupoides diferenciables y pseudogl'upOS' de IAe.

Sea 11 un grupoide diferenciable. Sea 110 el conjunto dé BUS unidades i a (1) y ~ (1) designan las unidades a derecha y a izquierda de f e 11. Llamaremos secci6n de 11, a todo levantamiento s de un abierto U de la variedad 110 en 11, tal que as sea la aplicaci6n idéntica de U y ~s un homeomorfismo de U sobre un abierto U, de 110' U se llama la fuente de s y U, el blanco de s. El conjunto r de las secciones de 11 es un pseud?grupo respecto de la multiplicaci6n siguiente: Sean s, s' er entonces s' s es la sec,ci6n s" tal que s" (x) = 8' (x') B(X), donde w' = ~ (b'(x», X6 U" e U tal que x' e U' (f1wnte We s'). Si 11 opera de mauera continua sobre un espacio topol6gico E, :¡, toila seC,ci6n s el' corresponde el homeo~orfism.) z -+ s(p(z»z de p-(U) sobre p-'(U, ) donde p es ~a proyección de E sobre 11 o' El conjunto de estaa aplicaciones es un pseudogrupo de tmnsfo1'lnaciones, representaci6n del pseudogrupo r.

Sea r,· el subgrupo de r formado por las secciones diferenciables de clase l' de 11. Los elementos de contacto de, ord,en l' de estus sec,ciones forman un grupoide, IIr , pl'olongalJión de orden l' de U Sea cpr un subgrupoide de IIr • Una sección de s de 11 será llamada soluci6n de </Jr cuando sus f:llementos de contacto de orden l' pertenezcan a (J>r. El conjunto de las solucIones de ~¡.

se llamará pseuclogmpo de Lie (generalizado) A. Las soluciones cuya fuente y blanco estún en 110 forman un grupo, llamado subgrupo maximal de A.

Teorema. Sea <lit un subgrupoide de 11' representado por un campo diferenciable de elementos de conta,cto en 11. En este caso el subgrupo maximal del pseudogrupo de- las soluciones de ~t es un grupo de Lie.

COl'olario: Dada sobre una variedad dfierenciables un G-estructura que udmita una conexi6n afin covariante subyacente, el grupo de sus automorfismos os un grupo de Lie.

Este corolario' se aplica, por ejemplo, a las métricas riemannianas o casihermitianas y también a las estructuras casi-cuaternonianas. Ver: Catégorie.9 topologiques et oatégor~es diffél'entiables, Colloque Bruxelles 1958 i' Sur les pseudógroupes de Lie d.e type fini, Comptes Rendus Ac. Se. Paris, enero 1958 i Estl'uoturas localeb' y geometría diferencial, Curso en la Universidad de Buenos Aires, Agosto-Noviembre 1959.

ASAMBLEA DE LA UNION MATEMATICA ARGENTINA

En la ciudad de C6rdoba, a las 15 lloras del (Ua 20 de octubre de 1959, se celebr6 en el local del Observatorio astron6mico, la Asamblea general de socios de la Uni6n Matemática Argentina, convocada para tratar los asuntos que se mencionan a llontinuaci6n y elegir autoridades para el. periodol1959-1961.

Presidi6 la Asamblea el titular Ing, José Babini, estando presentes los siguientes socios: C. Ratto de Sadosky, I. G. de D' Angelo, C. Sadosky, M. L. Bruschi, E, Quastler, O. Ballester, L. Iglesias, N. Karanowycz, B. Margolis, G. R, Olivel', E. Gaspar, O. Varsavsky, F. Gaeta, L. A. Santa16, J, Barral

- 49

Souto, A. González Dominguez, E. Ortiz, E. T. Oklandel', M. Cotlar, R. Scar· fiello, E. Machado, R. E. Luccioni, J. N. Aguirre, J. O. Merlo, C. Loisseau, G. Klimovsky. Abierto el acto por el Ing. Babini se tratal'On los siguientes puntos:

No·mbmmiento ele 1niembl'o honom1'io elel Pl·of. D,·. Chal'Zes Eh1'es1lta11n. El Dr. L. A. Santaló expuso la iniciativa ,de varios socois, aceptada por In, Jun, ta directiva de nombrar miembro honorario al Prof. Charles Ehresmann, pro· fesor de la Sorbonne, actualmente en B. Aires dictando un curso de tres meses invitado por la Universidad de Buenos Aires con la colaboración de la UNESCO. La propuesta es aprobada por unanimidad.

Fallecimie1rto elel Dl'. S. Sispanov. El presidente da cuenta del falled· miento, durante el ejercicio terminado, del socio Dr. S, Sispanov, prOff:lSOl' en la Facultad de Ingeniería de San Juan, haciendo resaltar su entusiasmo y con' tinua labor desarrollada durante los aúos en que fue socio y secretario local de la U.M.A. en San Juan. La Asamblea se pone un momento de pie en ho· menaje a su memoria.

Info1"llLe elel sec1"e·twrio Ing. R, Scwl'ficllo. El secretario informa acerca de la actividad desarrollada por la U.M.A. en el período último, haciendo llotar, entre otras, las siguientes iniciativas: 1) Habilita.ción del nuevo 10.cal de la U.l\'CA. en la sede del Departamento de lIfatemática de la Facultad de Ciencias, Avda. de Mayo 760, 2Q piso; 2) Organización de la' biblioteca y ca.nje en ese local; 3) Vinculación con la I.M.U. (Interna.cional Mathematical Union); 4) Obtención por parte del Consejo Nacional de Investigaciones científicas y técnicas de subsidios para la Revista y para el pago de la cuota de la I.M.U,; 5) Nombramiento del Ing. Babini como delegado argentino en la International Commission for Mathematical Instruction de la I.M.U.; 6) Propuesta de la terna: González DomÍnguf:lz, CotIar y Babini para cubrir una vacante del Consejo Nacional de Investigaciones (fue designado el Ing. Babini); 7) D'ilsignación de la U.M.A. para integrar la Comisión Nacional! argentina para UNESCO; 8) Nombramiento del Dr. M. Gutiérrez Burzaco como delegado de la U.M.A. en el Congreso de la Unione matemática italiana celebrado en Nápoles ero. se' tiembre último.

Sobl'e la matcmática en laJ ense'ñanza secunclm'ia. E~ presidente, en su cnrácter de delegado argentino ante la ICMI, informaquo se ha designado una Bubcomisión ua.cional que ha emprell(lido el estudio (le los temas, relativos a la enseñanza matemática, que se tratarlm en el Congreso de Estocolmo de 1962, y solicita la colaboración de los socios de la UMA en ese sentido.

]¡fodificaci6n ele las cltotas c1e los socios. Se aprueba elevar las cuotas de los miembros de la UMA en la siguiente forma: Miembros protectores, cuota mínima anual de dos mil pesos; miembros titulares, cuota anual de Doscientos pesos; y miembl~os adherentes, cuota anual de Cien pesos.

Elecci6n e~e auto1·ielacles. Al tratarse este punto ha.ce uso de la palabra el DI'. A. González Dominguez, quien hace resaltar la excelente labor realiza(la, durante el ejercicio que hoy vence, por la actual Junta directiva pidiendo un voto de aplauso para la misma, lo quo es aprobado unánimemente por la Asamblea. A continuación se procede a la elecci6n de las nuevas autoridac1es para el períoc1o bienal 1950-1961, resultando elegidas las siguientes personas:

'j; :{

- 50-

Presidente, rng. José Babini; Vicepresidente 19, Dr. Antonio Monteiro; Vicepresidente 2\>, Dr., Mischa Cotlar; Secretario, rng. Roque Scarfiello; Tesorero, Li,c. Concepción Ballester; Protesorero, Lic. Elisa Quastler; Director de publicaciones; rng. J. Babini;, Secretarios locales: n. Aires, Lic. Cora Ratto de Sadosky; La Plata, Dr. Alberto Sagastume Berra; Rosario, Prof. Eduardo Gaspar; Bahía Blanca, Prof. Antonio Diego; Tucumáll, :rro~. Ilda G. de D' Angelo; San Juan, Prof. Carlos Loiseau; San Luis, Prof. Modesto González; Salta, Tng. Roberto Ovejero; Qórdoba, Prof. Emilio A. Machado; Mendoza, Dr. Eduar· do Zarantonello; San Carlos de Bariloche, Dr. Manuel Balanzat; Nordeste, rng. J'uan Enrique Borgna.

BIBLIOGRAFIA

W. H. G{)TTSOHALK y G. A. HEDLUNG, Top%gioal Dinamios, American Mathematical Society, Colloquim PUbliCIJ.tions, Vol. 36, 1955, pág. 151.

El origen, propósitos y contenido del libro Jo exponen los autores en breves y claras palabras en la introdu,cción: "En sentido clásico, un sistema dinámico es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con ciertas condiciones para asegurar, por lo menos, la continuidad y la unicidad de la solución. De esta manera, un sistema dinámico define una corriente (" flow") en cierto espacio. Muchos resultados acerca de estas corrientes, de interés para la dinámi,ca clásica, han sido desarrollados desde Poincaré sin referencia. al hecho de que ellas procedan de ecuaciones diferenciales. La extensión de estos resultados de los movimientos continuos a grupos de transformaciones más generales 1m sido hecha durante los últimos años y ella es proseguida mi. el presente libro".

En otras palabras, se cntjc:nde por dinlÍmica topolúgica, el estuuio ue lqa grupos de transformaciones con respecto a aquellas propiedades topológicas cuyos modelos más fehacientes se oncuentran en la dinámica clásica. Poincaré y Birlrhoff pueden considerarse los iniciadores de esta disciplina. En ella, varios conceptos y teorías clásicas de los sistemas dinámicos son generalizados al punto de vista mucho más general de los grupos de transformaciones topológicas.

Así, si S es un subgrupo del grupo topológico T que actúa sobre el espacio, X, dado un elemento ro do X, se llama órbita ele ro en S al subconjunto roS de X. Se estudian propiedades de estas órbitas, sus clausuras y sus relaciones con subconjuntos invariantes. Otras definiciones se refieren a la periodicidad: se llama pC1'íodo de ro respecto T al mayor subconjunto P de T tal que roP = ro; el grupo T se dice que es pel'iódioo en ro si existe algú:tl subconjunto compacto K ele T tal que T = KP (o T = PK). Se dan diversas generalizaciones de este concepto y muchos teoremas que resultan al variar las condiciones del espacio X o del grupo T.

- 51

Otros capítulos de la primera parte, que ocupa las 102 primeras páginas de la obra, tratan de ?'tÍmm'cnoia (T e9, recurrente en x si para todo entorno U de IV existe un subconjunto extensivo A de T tal que xA e U), inoomp?'esibiZidad; transitiviila'il (el punto IV se dice trnnsitivo si para todo SUbconjunto U del es· pacio X existe una transformación t de T tal que rot esté contenido en U) y asintotioidail (si B es un subconjunto cerrado e invariante de X, el punto x ,se dice que es asintótico a B respecto cp siempre que u; no pertenezca a B y :ae ,cumpla que el límite de la distancia p (x cpn, B), para n tendiendo a infi· nito, tienda a cero).

La segunda parte comprende tres capítulos: dinámica simbólica, movi. mientos geodésicos sobre variedades de curvatura constante negativa y movi· mientos cilíndricos y planos.

El libro es no solo una puesta al día, sino -gna importante contribuci6n .a todas estas cuestiones, en las cqales tanto han aportado los mismos autores por sus contribuciones originales, El estilo es, tal vez, demasiado conciso, lo .que hace la lectura no fácil, pero la ordenación y las oport1.lnas citas biblio· gráficas hacen en conjunto una obra de importancia fundamental, tanto para los ya versados en la materia como lugar de futuras referencias, como para .quienes deseen introducirse en ese atractivo campo de interesantes perspectivas. ,

L. A. Santal6

::R. RINGLEB, 1I'Iathclllatisc/¡lc Fo?"?nelsa?l!ml~¡u, Sammlung Goschen, vols. 51.51a; 6\\ edici.ón, Walter de Gruyter, Berlín, 1956, R. M. 4, 80; págs. 278, Se trata no solo de un compendio de fórmulas, SUlO también de defini·

,ciones, teoremas y propiedades fundamentales pertenecientes a los capítulos mús característicos de la matemática elemental,

Los capítulos que contiene son los siguientes: Aritmética y combinatoria, 'Teol'ía iLe números, Series elementales, Geometría plana y del espacio, Trigo· nometría plana y esférica, Geografía matemática y Astronomía, Geometría ,analítica del plano y del espacio, Cúlculo vectorial, Cálculo diferencial e inte,gral, Geometría diferencial, Ecuaciones difer,eneiales,

En todos los capítulos el contenido es más bien elemental, pero muy bien :seleccionado, de manera que pueiLe servir de excelente ayuda memoria para los J~esultados básicos de los distintos tópicos tratados,

L, A. Santal6

,OoUoq~!e Sm' Les Question de Realité en Géomét?'ie, Liege, del 23 al 26 de mayo de 1955; Centre BeIge de recherches mathématiques, Georges Thone, Liege, y Masson et Cie, París, 1956, " Las cuestiones de realidad se presentan bajo muy diversos aspectos en el

-campo de la geometría. En todas las ramas donde el método usual sea el alge"hraico, la particulariza,ción al campo real suele llevar a interesantes y difíciles

52 -

problemas, En aquellas ramas (geometría diferencial, cuerpos convexos",,) en que los métodos usuales pertenecen de por sí al campo real, los problemas se presentan de manera inversa, al tratar de introducir en ellas conceptos inherentes al campo algebraico, POI' ej'emplo, al generalizar para las curvas trascendentes propiedades de las curvas algebraicas,

En este Coloquio los distintos participantes trataron varios de este tipo de cuestiones. Bastará dar el índic,e para dar una idea del contenido:

MONTEL, p" Sobl'e la geolltetría finita y los trabajos de Juel. MONTEL, p" Los comienzos ele la geometría finita. MARCHAUD, A., Pl'opiedades eliferenciales de las curvas y superficies ile

m'den finito. HAuPT, O., Sobl'e algtmos pl'oblemas de la teol'ía; dc ól'denes gemnétl'icos, VINCENSINI, p" Sobre la aplicación ele 1m lltétodo geomét1'ico al estucHo (];e

ciertos con,i1mtos ele C'lte?'pos convexos. FENCIlEL, W" Sobre las vm'ieelaeles localmente convexas en espacios pro

~/eotivos.

BRUSOTTI, L., Sobl'e alg7mas c1/,estiones ele T'ealielad: sus mé'lodos, l'esultados y problemas,

G.ELAI'ASSI, V. E" Desarrollos clás-icos y l'ecientes sob1'e las mlperficies algebraicas reales,

SEGRE, B., ReC1tbrimientos de csferas y cOl'I'espondene-ias entre va?'ieelacles topológicas,

SANTALÓ, L, A" Sobl'e la medie1a de e,~pacios lineales q1te cm'tan a tm

C1tC1'pO convexo y problemas con ello l'elacionados.

El volúmen está precedido de una alocuci6n del Presidente del Centro Belga de Investigaciones Matemáticas, Profesor L, Godeaux, quien hizo resal-, tal' la inlportancia de los temas del Coloquio. A ello podemos nosotros agregar la importancia que para el público matemático tiene eeta ya lnrga sucesi6n de coloquios que con tanto acierto y éxitd viene organizando desde 1949 .el Centro Belga de Investigaciones Matemáticae.

L, A. S,

Tables of the incomplete el/iptie integrals of 'the tú'st and thú'd 7eine/, Editadas por la División ele Investigación de. la Corporación Curtiss-Wright,

Quehnllna, Pcnnsylvania, Estados Unidos de América, Junio de 1959,

Utilizando un computador electrónico IBM 704, los señores F, A, Paxton y J, E, Rollin han preparado una tabla de integrales elípticas incompletas de primern. y tercera clase en los intervalos

a2= D (0,02) 1,00

k 2= O (0,02) 1,00

cp= O ( 1 ) 90

El volumen, esmeradamente presentado, tiene 436 páginas,

U. fI.

'1 '

,1

"",

" .-....~


MIEMBROS HONORARIOS

Tulio Levi-Civita (t); Beppo Levi; Alejandro Terracini; George D. Bir· kllOff (t); MaI'~hall H. Stone; GeorgesValiron (t); Antoni 'Zygmund, Godo. frodo García, Wilhalm Blaschke, L,aurent SchwaI'tz, Charles Ehresmann.

REPRESENTANTES EN EL EXTRANJERO

Ing. Rafael Laguardia (Uruguay). Ing. José Luis Massera (Uruguay). Dr. Godofredo GaI'cía (Perú). Dr. Leopoldo N achbin (Brasil). Dr. Roberto Frucht (Chile). D.r. Mario González (Cuba). Dr. Alfonso Nápoles Gandara (México). Pedro Puig (España). Alejandro Terracini (Italia). '

Este número de la Revista de la Unión Matemática Argentina y de la Asociaci6n Física ,Argentina se ha publicado con la contI'ibuci6n del Consejo Nacional de' Investigaciones Científicas y ~'écnicas. Tal contl'ibuci6n no significa quc al Consejo asuma l'esponsabilidad alguna pOI' el contenido del mismo.

/)

r

PUBLICACIONES DE LA U. M. A.

'Revista d" la U. M. A . .,. Vol. 1 (1936-1937); Vol. II (1938-1939); Vol. III (Hl38-1939); Vol. IV (1939); Vol. V (1940); Vol. VI (19,40-1941); Vol. VII (1940-1941); Vol. VIII (1942); Vol. IX (1943); Vol. X (1944.194:5).

Revista de la U. M. A. Y 6rgano de la A. F. A. - Vol. XI (1945-1946); Vol. XII (1946-1947); Vol. XIII (1948) ¡ Vol. XIV (1949-1950).

Revista de la U. }I. A. Y ile la A. F. A. - Vol. XV (1951-1953); Vol. XVi (19154-1955); Vol. XVII (1955); Vol. XVIII (1959).

Loa volúmenes III, IV, V Y VI comprenden. los siguientes fascículos B6-

parados:

NQ 1. GINO LORIA. Le ]¡[ate71lafliohe in Ispagna e in Argentina. - NQ 2. A. GoNZÁLEZ DOMÍNGUEZ. Sob¡'e las series ile f-unciones ile Hcrmito. - NQ 3. MIOREL PETROVIOH. Rcmarques al'ith¡nétiques sur 7me équation ilifferentielZe d?¡ premier orilre. - NI> 4. A.GoNZÁLEZ DOMÍNGUEz.Una mwva ile?nostraoi6n del ~eorema límite del Cáloulo de Probabilidades. Condioiones 1Ieoesarias y suficientes para que una fU1l0i6n sea integral de Laplace. - NI> 5. NIKOLA OBREORKOFF. Sur, la sommation avsol'ue par la t"ansfor71lation .a'Euler des séries divergentes. -' NQ 6. RIOARDO SAN JUAN. Derivaoi6n e integ¡'aoi6n de series asintótioas. -NI> 7. Resolución adoptada por la U. M. A. en la cuestión promovida por el Sr. Carlos Biggeri. - N9 8. F. AMODEO. Origelt y desarrollo de la Geometría Proyectiva. - NI> 9 CLOTILDE A. BULA. Teoría y cálculo de los momentos dobles. - NI> 10. CLOTILDE A. BULA. Cáloulo de 87iperficies de freouencia. - NQ 11. R. FRUORT. Z7Lr Geometría auf einer Flaohe mit indefiniter Meti'ik (Sob¡'e la Geomet¡'!a de 7¿na superficie; con métrioa indefinilda). - NQ 12. A. GONzÁLEZ\ DOMÍNGUEZ. Sobre 7¿na memoria del Prof. J. C. Vi!lna'lUlJ. - NI> 13. E. TORANZOS. Sobre las sing7Llaridades de la.!! ourvas de Jordan. - NQ 14. M. BALANzAT.F6rmulas integrales de la interseoci6n de conj7mtos. - NQ 15. G. KNIm. El problema de varios electrones en la mecánioa cuantista. - NQ 16. A. TERRAOINI. Sob¡'c la existencia de superficies c7Lyas líneas principales son dailas. ~ NQ 17. L. A. SANTALÓ. Valor medio del' número de partes l'tl qUtl

una figura convexa /lS dividida por n reotas a¡·bitrarias. - NQ 18. A> WINT· NER. On thlft itemtion 01 distrib7Ltion functions in the calclLlus 01 probability (Sobl'e la ite¡'aei6n de funciones de distrib7ici6?~ en eZcáZculo de probabiZida~ des). - NQ 19. E. FERRARI. SObl'C la paradoja de Bertranld. o- NQ 20. J. BADINI. Sobre aZgmws propiedades de las derivadas y ciertas primitivas de 103

polinomios de Ll'gendre. - NQ 21. R. SAN JUAN. Un algoritmo de &umaoi6n de series divergentes. - NQ 22. A. TERRAClNI. So'bre algunos l7LgareIJ geom6-trioo:. - NI> 23. V. y A. FRAILE Y C. CRESPO. El 17/.gar geomét"ico y lugares de p7mtos árcas cn el plano_ - NQ 24. R. FRUCllT. Corona.!! de grupos y sus s'¡¡bg!'1Lpos, oon una aplioaoi6n a los determinan.tes. - NQ 25. E. R. RAIMONDI. Un problema ele probabilidades geornét¡'icas sobre los oonjuntos de triáng7Llos.

En 1942 la U. M. A: ha iniciado la publicnci6n de una nueva serie de "Memorias y monografías" de lns que hall ápnrecido hasta ahora las siguientes:

Vol. 1; NQ 1. - GUILr,ERMo KNIE, Mecánica ondulatol'ia en el espaaio curvo. NQ2! - GUIDO BECK, El espacio físico. NQ 3. - Jur,1O REY PASTOR, Integmles parciales dc las funciones de dos va1'iables en intervalo infinito. NQ 4. - J'ULTO REY PASTOR, Los últ,imos teoremas geométricos de Poincaré y su, aplicaciones. Homenaje póstumo al Prof. G. D. BIRKllOFF.

VoL II;, NQ 1. - yANNY FRENKEL, Critm'ios ile bicompacidad y de H-(!()mpletidad de un espacio topol6gico acoesible de F,·ecllet-Riesz. NQ 2. - GEOR-GES VALIRON, Fonctions entiel·es.' /

Vol. III; NO l.-E. S. BERTOMEU y C. A. MALLMANN, F~tnc'ionamie7lto cl~ un genel'ador en cascadas de a.lta tensi6n. -

Ademús han aparecido tres cuadernos de Miscelánea Matemática.

'-

. ... ~.-r

iSOOIACION FISIC! ARGENTINA

Documents

Transcript of iSOOIACION FISIC! ARGENTINA