Iqbal Robiyana 350412 MK3
-
Upload
iqbal-robiyana -
Category
Documents
-
view
254 -
download
6
description
Transcript of Iqbal Robiyana 350412 MK3
14 Oktober 2014
Mekanika Klasik Tugas 3
Iqbal Robiyana (13/350412/PPA/04086) S2 ILMU FISIKA - UNIVERSITAS GADJAH MADA
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 1
1. A. Potensial Sentral
Jawab:
1. Gunakan koordinat polar 2D
πΏ = π β π
πΏ =1
2π (οΏ½ΜοΏ½2 + π2οΏ½ΜοΏ½2) β π(π)
Misal,
π(π) = βπΌ
π
Maka,
πΏ =1
2π (οΏ½ΜοΏ½2 + π2οΏ½ΜοΏ½2) +
πΌ
π
Untuk koordinat r, persamaan lagrangenya:
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½) β
ππΏ
ππ= 0
π
ππ‘(ποΏ½ΜοΏ½) β πποΏ½ΜοΏ½2 +
πΌ
π2= 0
ποΏ½ΜοΏ½ = πποΏ½ΜοΏ½2 βπΌ
π2
οΏ½ΜοΏ½ = π2οΏ½ΜοΏ½2 βπΌ
ππ2 . . . . (1.1)
Untuk koordinat π, persamaan lagrangenya:
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½) β
ππΏ
ππ= 0
π
ππ‘(ππ2οΏ½ΜοΏ½) β 0 = 0
ππ2οΏ½ΜοΏ½ = ππππ π‘ππ = β . . . . (1.2)
Dan
οΏ½ΜοΏ½ =β
ππ2 . . . . (1.3)
r
m
1. Carilah penyelesaian
persamaan Lagrangenya.
Apabila partikel bebas bergerak
pada potensial gravitasi
terhadap titik pusat.
2. Tentukanlah koordinat yang
siklik dan besarak yang kekal.
3. Gambarkan gaya pada arah
radial sebagai fungsi jarak.
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 2
Dengan memasukkan nilai οΏ½ΜοΏ½ pada persaaan (1.3) ke persamaan (1.1) diperoleh:
οΏ½ΜοΏ½ = π2 (β
ππ2)
2
βπΌ
ππ2
οΏ½ΜοΏ½ = β2
π2π3β
πΌ
ππ2
Energi sistem:
πΈ = π + π
πΈ =1
2π (οΏ½ΜοΏ½2 + π2οΏ½ΜοΏ½2) β
πΌ
π
πΈ =1
2ποΏ½ΜοΏ½2 +
1
2ππ2οΏ½ΜοΏ½2 β
πΌ
π
πΈ =1
2ποΏ½ΜοΏ½2 +
1
2ππ2
β2
π2π4β
πΌ
π
πΈ =1
2ποΏ½ΜοΏ½2 +
1
2
β2
ππ2β
πΌ
π
1
2ποΏ½ΜοΏ½2 = πΈ β
1
2
β2
ππ2+
πΌ
π
οΏ½ΜοΏ½2 =2πΈ
πβ
β2
π2π2+
2πΌ
ππ
οΏ½ΜοΏ½ = β2πΈ
πβ
β2
π2π2+
2πΌ
ππ
2. Koordinat siklik π, besaran yang kekal adalah β, momentum sudut.
3. Karena
π(π) = βπΌ
π
Maka
πΉ = ββ π(π) =πΌ
π2
Grafiknya:
F
r
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 3
1.B. Titik kesetimbangan
Sebuah biji tasbih dapat berputar dalam simpai vetikal tanpa gesekan. Berapakah
selisih energi ketika π = 0 dan π = πππππ‘ππ
πΏ = π β π
πΏ =1
2π(π2οΏ½ΜοΏ½2 + π2 sin2 ππ2) + πππ cos π
πΏ =1
2ππ2οΏ½ΜοΏ½2 +
1
2ππ2 sin2 ππ2 + πππ cos π
πΏ =1
2ππ2οΏ½ΜοΏ½2 β (β
1
2ππ2 sin2 ππ2 β πππ cos π)
ππππ = β1
2ππ2 sin2 ππ2 β πππ cos π
Syarat Stabil
π2ππππ
ππ2> 0
πππππ
ππ= βππ2 sin π cos π π2 + πππ sin π = 0
Dievaluasi di π = π0
βππ2 sin π0 cos π0 π2 + πππ sin π0 = 0
sin π0 (βπ π2 cos π0 + π) = 0
sin π0 = 0
dan
cos π0 =π
ππ2
π2ππππ
ππ2= ππ2π2 cos2 π + ππ2π2 sin2 π + πππ cos π
Apakah
sin π0 = 0 stabil?
ππ2π2 cos2 π0 + ππ2π2 sin2 π0 + πππ cos π0
π
r π
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 4
ππ2π2(1 β sin π0) + ππ2π2 sin2 π0 + πππβ1 β sin2 π0
β ππ2π2 + πππ β₯ 0
πππππ‘ππ = βπ
π
Selisih energi hanya mungkin ada saat
π = 0 (π = 0) dan cos π0 =π
π π2
πΈ = π + π
πΈ = 1
2π(π2οΏ½ΜοΏ½2 + π2 sin2 ππ2) β πππ cos π
πΈπ=0 β πΈπ=ππ=
1
2ππ2οΏ½ΜοΏ½2 β πππ β (
1
2π (π2οΏ½ΜοΏ½2 + π2 sin2 π
π
π) β πππ
π
π π2)
πΈπ=0 β πΈπ=ππ= βπππ β π2(1 β πππ 2π)
π
π+ πππ
πΈπ=0 β πΈπ=ππ= βπ2(1 β
π2
π2π4)
π
π
πΈπ=0 β πΈπ=ππ= 0
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 5
2. Tentukanlah lagrangan dan penyelesaiannya bagi sistem tersebut di atas
Jawab:
Koordinat untuk benda m:
(π₯ + ππ cos π) πΜ + (π» β ππ sin π) πΜ
Koordinat untuk benda M:
π₯ π Μ
Kecepatan benda m:
ππ = (οΏ½ΜοΏ½ + ποΏ½ΜοΏ½ cos π) πΜ + (βποΏ½ΜοΏ½ sin π) πΜ
ππ2 = οΏ½ΜοΏ½2 + π2οΏ½ΜοΏ½2 cos2 π + 2ποΏ½ΜοΏ½οΏ½ΜοΏ½ cos π + π2οΏ½ΜοΏ½2 sin2 π
ππ2 = οΏ½ΜοΏ½2 + π2οΏ½ΜοΏ½2 + 2ποΏ½ΜοΏ½οΏ½ΜοΏ½ cos π
Kecepatan benda M:
ππ2 = οΏ½ΜοΏ½2
Tenaga Kinetik benda m:
ππ =1
2π(οΏ½ΜοΏ½2 + 2ποΏ½ΜοΏ½ cos π + π2οΏ½ΜοΏ½2) +
1
2πΌοΏ½ΜοΏ½2
ππ =1
2π(οΏ½ΜοΏ½2 + 2ποΏ½ΜοΏ½ cos π + π2οΏ½ΜοΏ½2) +
1
4ππ2οΏ½ΜοΏ½2
Tenaga potensial benda m:
ππ = ππ(π» β ππ sin π)
Tenaga Kinetik benda M:
ππ =1
2ποΏ½ΜοΏ½2
Tenaga potensial benda M:
ππ = 0
Lagrangannya:
πΏ = π β π
πΏ =1
2ποΏ½ΜοΏ½2 +
1
2π(οΏ½ΜοΏ½2 + 2ποΏ½ΜοΏ½ cos π + π2οΏ½ΜοΏ½2) +
1
4ππ2οΏ½ΜοΏ½2 + ππππ π πππ β πΎπππ π‘πππ‘π
x
H
M
m
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 6
Persaman lagrang untuk koordinat x:
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½) β
ππΏ
ππ₯= 0
ποΏ½ΜοΏ½ + ποΏ½ΜοΏ½ + πποΏ½ΜοΏ½ cos π = 0
οΏ½ΜοΏ½(π + π) + πποΏ½ΜοΏ½ cos π = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ (2.1)
Persaman lagrang untuk koordinat π:
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½) β
ππΏ
ππ= 0
πποΏ½ΜοΏ½ cos π + πποΏ½ΜοΏ½ +1
2ππ2οΏ½ΜοΏ½ β πππ sin π = 0
οΏ½ΜοΏ½ cos π +3
2ποΏ½ΜοΏ½ β π sin π = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ (2.2)
Penyelesaian persamaan lagraange:
Dari persamaan (2.1) diperoleh:
οΏ½ΜοΏ½ = βπποΏ½ΜοΏ½ cos π
(π + π) β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ (2.3)
Substitusi persamaan (2.3) ke persamaan (2.2) diperoleh:
βπποΏ½ΜοΏ½ cos2 π
(π + π)+
3
2ποΏ½ΜοΏ½ β π sin π = 0
οΏ½ΜοΏ½ =π sin π
π (32 β
π πππ 2π(π + π)
)β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ (2.4)
Apabila hendak dicari fungsi π terhadap waktu, t, maka integralkan persamaan (2.4)
terhadap dt. Diperoleh:
π(π‘) =ππ‘2 sin π
2π (32 β
π πππ 2π(π + π)
)
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 7
3. a. Carilah ungkapan gaya kendala untuk kasus sistem mesin atwood berikut ini:
Jawab:
Kendala pada sistem atwood di atas adalah:
π§1 = 0 π§2 = 0 π§3 = 0
π¦1 = 0 π¦2 = 0 π¦3 = 0
π₯3 = 0 π₯1 + π₯2 β π = 0 π₯1 β ππ = 0
Persamaan lagrange dan fungsi kendalanya adalah:
πΏ = π β π
πΏ =1
2π1οΏ½ΜοΏ½1
2 +1
2π2οΏ½ΜοΏ½2
2 +1
2πΌοΏ½ΜοΏ½2 + π1ππ₯1 + π2ππ₯2 + ππππ π‘πππ‘π
π1(π₯1, π₯2, π) = π₯1 + π₯2 β π = 0
π2(π₯1, π₯2, π) = π₯1 β ππ = 0
Persamaan lagrange dengan kendala dalam koordinat π₯1, π₯2, π adalah:
Untuk koordinat π₯1:
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½1) β
ππΏ
ππ₯1β π1
ππ1
ππ₯1βπ2
ππ2
ππ₯1= 0
π1οΏ½ΜοΏ½1 β π1π β π1 β π2 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 1)
x1 x2
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 8
Untuk koordinat π₯2:
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½2) β
ππΏ
ππ₯2β π1
ππ1
ππ₯2β π2
ππ2
ππ₯2= 0
π2οΏ½ΜοΏ½2 β π2π β π1 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 2)
Untuk koordinat π:
π
ππ‘(
ππΏ
ππ) β
ππΏ
ππβ π1
ππ1
ππβπ2
ππ2
ππ= 0
πΌοΏ½ΜοΏ½ β π2π = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 3)
Dari persamaan (3a.1) dan (3a.2) serta turunan kedua dari fungsi kendala
π1(π₯1, π₯2, π) = π₯1 + π₯2 β π = 0 yaitu οΏ½ΜοΏ½1 = βοΏ½ΜοΏ½2 diperoleh:
βπ1οΏ½ΜοΏ½2 β π1π β π1 β π2 = 0 kalikan π2
π2οΏ½ΜοΏ½2 β π2π β π1 = 0 kalikan π1
Persamaan di atas menjadi
βπ1π2οΏ½ΜοΏ½2 β π1π2π β π2π1 β π2π2 = 0
π1π2οΏ½ΜοΏ½2 β π1π2π β π1π1 = 0
_________________________________________+
β2π1π2π β (π1 + π2)π1 β π2π2 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 4)
Turunan kedua fungsi kendala π2(π₯1, π₯2, π) = π₯1 β ππ = 0 yaitu, οΏ½ΜοΏ½1 = ποΏ½ΜοΏ½ dan dari
hubungan οΏ½ΜοΏ½1 = βοΏ½ΜοΏ½2 maka,
οΏ½ΜοΏ½ =βοΏ½ΜοΏ½2
π
Dengan mensubstitusi οΏ½ΜοΏ½ pada persamaan (3a.3) lalu menulis ulang persamaan
(3a.2) diperoleh:
βπΌοΏ½ΜοΏ½2 β π2π2 = 0 kalikan π2
π2οΏ½ΜοΏ½2 β π2π β π1 = 0 kalikan πΌ
Persamaan di atas menjadi:
βπ2πΌοΏ½ΜοΏ½2 β π2π2π2 = 0
π2πΌοΏ½ΜοΏ½2 β π2πΌπ β π1πΌ = 0
______________________+
βπ2πΌπ β π1πΌ β π2π2π2 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3.5)
Dari persamaan (3a.4) dan (3a.5)
β2π1π2π β (π1 + π2)π1 β π2π2 = 0 kalikan π2
βπ2πΌπ β π1πΌ β π2π2π2 = 0 kalikan 1
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 9
Persamaan di atas menjadi:
β2π1π2π2π β (π1 + π2)π1π2 β π2π2π2 = 0
βπ2πΌπ β π1πΌ β π2π2π2 = 0
_____________________________________-
β2π1π2π2π + π2πΌπ β π1π2 (π1 + π2 +πΌ
π2)) = 0
π1 =π2π(
πΌπ2 β 2π1)
π1 + π2 +πΌ
π2
Maskukkan nilai π1 ke dalam persamaan (3a.5), dipeoleh:
βπ2πΌπ βπ2ππΌ(
πΌπ2 β 2π1)
π1 + π2 +πΌ
π2
β π2π2π2 = 0
π2 = βπΌπ
π2(1 +
πΌπ2 β 2π1
π1 + π2 +πΌ
π2
)
Gaya kendala dinyatakan secara umum sebagai
οΏ½ΜοΏ½π = β ππ
πππ
ππ₯ππ=1
οΏ½ΜοΏ½1 = π1
ππ1
ππ₯1+ π2
ππ2
ππ₯1=
π2π(πΌ
π2 β 2π1)
π1 + π2 +πΌ
π2
βπΌπ
π2 (1 +
πΌπ2 β 2π1
π1 + π2 +πΌ
π2
)
οΏ½ΜοΏ½2 = π1
ππ1
ππ₯2+ π2
ππ2
ππ₯2=
π2π(πΌ
π2 β 2π1)
π1 + π2 +πΌ
π2
οΏ½ΜοΏ½3 = π1
ππ1
ππ+ π2
ππ2
ππ=
πΌπ
π(1 +
πΌπ2 β 2π1
π1 + π2 +πΌ
π2
)
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 10
3.b. Carilah ungkapan gaya kendala untuk kasus sistem mesin atwood berikut ini:
Persamaan kendala sistem atwood di atas adalah:
π1(π₯1, π₯2, π₯3, οΏ½Μ οΏ½) = π₯1 + οΏ½Μ οΏ½ β π1 = 0
π2(π₯1, π₯2, π₯3, οΏ½Μ οΏ½) = π₯2 + π₯3 β π2 = 0
Lagrangian dari sistem,
πΏ =1
2π1οΏ½ΜοΏ½1
2 +1
2π2(οΏ½ΜοΏ½2 + οΏ½ΜΜ οΏ½)
2+
1
2π3(οΏ½ΜοΏ½3 + οΏ½ΜΜ οΏ½)
2+ π1ππ₯1 + π2π(π₯2 + οΏ½Μ οΏ½) + π3π(π₯3 + οΏ½Μ οΏ½)
Persamaan Lagrange dengan kendala dalam koordinat (π₯1, π₯2, π₯3, οΏ½Μ οΏ½) adalah sebagai
berikut:
Untuk koordinat π₯1
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½1) β
ππΏ
ππ₯1β π1
ππ1
ππ₯1βπ2
ππ2
ππ₯1= 0
π1οΏ½ΜοΏ½1 β π1π β π1 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 1)
Untuk koordinat π₯2
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½2) β
ππΏ
ππ₯2β π1
ππ1
ππ₯2βπ2
ππ2
ππ₯2= 0
π2(οΏ½ΜοΏ½2 + οΏ½ΜΜ οΏ½) β π2π β π2 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 2)
x1 οΏ½Μ οΏ½
x2
x3
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 11
Untuk koordinat π₯3
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜοΏ½3) β
ππΏ
ππ₯3β π1
ππ1
ππ₯3βπ2
ππ2
ππ₯3= 0
π3(οΏ½ΜοΏ½3 + οΏ½ΜΜ οΏ½) β π3π β π2 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 3)
Untuk koordinat οΏ½Μ οΏ½
π
ππ‘(
ππΏ
ποΏ½ΜΜ οΏ½) β
ππΏ
ποΏ½Μ οΏ½β π1
ππ1
ποΏ½Μ οΏ½βπ2
ππ2
ποΏ½Μ οΏ½= 0
π2(οΏ½ΜοΏ½2 + οΏ½ΜΜ οΏ½) + π3(οΏ½ΜοΏ½3 + οΏ½ΜΜ οΏ½) β π2π β π3π β π1 = 0 β¦ β¦ β¦ β¦ β¦ . . (3π. 4)
Dari persamaan (3b.2) dan (3b.3) , dan karena οΏ½ΜοΏ½2 = βοΏ½ΜοΏ½3 maka diperoleh
)5.3(................................0
_____________________________________________________
0
0
3223332
2232
2333
bgmmxmmxmm
gmxxm
gmxxm
Dari persamaan (3b.5) dan (3b.4), diperoleh
)6.3(................................................044
0
____________________________________________________________
0
0
_______________________________________________________
0
0
1323232
132
2
32
2
23
2
32
2
23
321
2
3233223
2
32
2
23
2
2333223
3213232332
233223332
bmmgmmxmm
mmgmmmmmmmmx
mmgmmxmmmmxmm
gmmxmmxmmmm
mmxgmmxmmxmm
mmxgmmxmmxmm
Dari persamaan (3b.6) dan (3b.1), dan karena οΏ½ΜοΏ½1 = βοΏ½ΜΜ οΏ½ maka
323121
321
1
1312132321
321321321
1321321321
32111
11323232
4
8
048
______________________________________________________
0444
044
______________________________________________________
40
044
mmmmmm
gmmmnilaidiperolehsehingga
mmmmmmgmmm
mmgmmmxmmm
mmmgmmmxmmm
mmxgmxm
mxmmgmmxmm
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 12
Dengan mensubstitusi nilai π1ke persamaan (3b.1) yang sudah dimodifikasi, kita
akan mencari nilai οΏ½ΜΜ οΏ½ , sebagai berikut:
βπ1οΏ½ΜΜ οΏ½ β π1π β π1 = 0
οΏ½ΜΜ οΏ½ = βπ β8π2π3
π1π2 + π1π3 β 4π2π3π
οΏ½ΜΜ οΏ½ =βπ1π2π β π1π3π + 4π2π3π β 8π2π3π2
π1π2 + π1π3 β 4π2π3
οΏ½ΜΜ οΏ½ =βπ1π2 β π1π3 β 4π2π3
π1π2 + π1π3 β 4π2π3π
οΏ½ΜΜ οΏ½ =(π1π2 + π1π3 + 4π2π3)
4π2π3 β π1π2 β π1π3π
Kembali ke persamaan (3b.2) dan (3b.3) untuk mendapatkan nilai π2 , sebagai
berikut:
)7.3(....022
_________________________________________________________________
00
00
22332332
323232332322232
223232332223333
bmmgmmxmm
mgmmxmmxmmmxgmxmxm
mgmmxmmxmmmxgmxmxm
Dengan memasukkan nilai οΏ½ΜΜ οΏ½ ke dalam persamaan (3b.7) akan kita peroleh nilai dari
π2 sebagai berikut:
π2 =2π2π3οΏ½ΜΜ οΏ½
(π3 + π2)β
2π2π3π
(π3 + π2)
π2 =2π2π3
(π3 + π2)
(π1π2 + π1π3 + 4π2π3)
4π2π3 β π1π2 β π1π3π β
2π2π3
(π3 + π2)π
π2 =2π2π3(π1π2 + π1π3 + 4π2π3) β 2π2π34π2π3 β π1π2 β π1π3
(π3 + π2)4π2π3 β π1π2 β π1π3π
π2 =4(π1π2
2π3 + π1π2π32)
8π22π3 β π1π2
2 β π1π32 β π3
π
Gaya kendala dirumuskan dengan
οΏ½ΜοΏ½π = β ππ
πππ
ππ₯ππ=1
sehingga gaya kendalanya adalah sebagai berikut:
οΏ½ΜοΏ½1 = π1
ππ1
ππ₯1+ π2
ππ2
ππ₯1=
8π1π2π3
π1π2 + π1π3 β 4π2π3π
MEKANIKA KLASIK 14 OKTOBER 2014
IQBAL ROBIYANA (13/350412/PPA/04086) 13
οΏ½ΜοΏ½2 = π1
ππ1
ππ₯2+ π2
ππ2
ππ₯2=
4(π1π22π3 + π1π2π3
2)
8π22π3 β π1π2
2 β π1π32 β π3
π
οΏ½ΜοΏ½3 = π1
ππ1
ππ₯3+ π2
ππ2
ππ₯3=
4(π1π22π3 + π1π2π3
2)
8π22π3 β π1π2
2 β π1π32 β π3
π
οΏ½ΜοΏ½4 = π1
ππ1
ποΏ½Μ οΏ½+ π2
ππ2
ποΏ½Μ οΏ½=
8π1π2π3
π1π2 + π1π3 β 4π2π3π