I.P.S.S.C.T.P. Sandro Pertini Crotone DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO E PROBLEMI DI SCELTA Tutor...
-
Upload
costanzo-castellani -
Category
Documents
-
view
230 -
download
4
Transcript of I.P.S.S.C.T.P. Sandro Pertini Crotone DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO E PROBLEMI DI SCELTA Tutor...
I.P.S.S.C.T.P.Sandro Pertini
Crotone
DISEQUAZIONI DI PRIMO
GRADOE
PROBLEMI DI SCELTATutor prof.ssa Anna
ALFIERIDocenti : Gavino CERRELLI – Abramo GENTILE – Enrico PANICONI
DIGI SCUOLA
Citazioni sulla matematica
Walter Robert Fuchs (1937-1976)La matematica è un grandioso e vasto paesaggio aperto a tutti gli uomini a cui il pensare arrechi gioia, ma poco adatto a chi non ami la fatica del pensare.
Alfréd Rényi
Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice
Operazioni in R Operazioni fondamentali del calcolo letterale Equazioni lineari Risoluzione problemi di primo grado Intervalli numerici
Prerequisiti
Contenuti
Disequazioni: definizione, soluzioni, grado Classificazione Disequazioni equivalenti Principi di equivalenza Risoluzione di disequazioni lineari Rappresentazione grafica delle soluzioni Problemi riconducibili a disequazioni lineari
Definire una disequazione Il significato dell’aggettivo lineare Enunciare i dei due principi di equivalenza Distinguere tra disequazioni sempre verificata
e disequazione impossibile
Applicare i principi di equivalenza Eseguire la verifica delle soluzioni Risolvere disequazioni lineari Rappresentare graficamente le soluzioni Rappresentare sotto forma di intervallo le soluzioni Risolvere problemi applicando disequazioni lineari
Sapere
Saper fare
MODULO :disequazioni di primo grado e problemi di sceltaUD-1- Introduzione alle disequazioni. Disequazioni: definizione,grado,classificazioneUD-2- Principi di equivalenza e loro conseguenzeUD-3- Risoluzione di disequazioni di primo grado Rappresentazione grafica e simbolica delle soluzioniUD-4- Risoluzione di problemi riconducibili a disequazioni di primo grado
ANDIAMO AD INCOMINCIARE
Smatematica.url
Incontro delle disequazioni nella vita quotidiana
hKmVelocita /50
anniEtà 18Visione consentita
La tua velocità non deve superare
I 50 km orari
VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI
VIETATO AI MINORI DI 18 ANNI
Problema 1 - Uno studente ha riportato nei primi tre compiti
di matematica i seguenti voti 4,5; 5,5; e 7. Quale voto deve conseguire per ottenere una media aritmetica superiore a 6 ?
A cosa servono le disequazioni?
Le disequazioni servono a risolvere
un gran numero di problemi
Problema 2 - Un automobilista si ferma ad un distributore per mettere nel motore mezzo litro di olio, che costa €16,00 al litro e della benzina che costa € 1,40 al litro. Quanti litri riesce a mettere al massimo nel serbatoio se possiede solo € 36,00 ?
PROBLEMA 3
Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe:
Canone mensile di abbonamento € 12,00 Costo al minuto di conversazione 10 cent Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione 20 cent
Quale gestore conviene scegliere ?
Disequazioni e problemi di scelta
Gestore 1)
Gestore 2)
Io ho scelto laragazza
Disequazioni e problemi di scelta
Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni:
Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo
Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo
Quale scuola conviene scegliere ?
Scuola 1 scuola 2PROBLEMA 4
DisuguaglianzeDue espressioni numeriche, di diverso valore, separate da
un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza numerica
Simboli di disuguaglianza sono:
Maggiore
Minore
Maggiore od uguale
Minore od uguale
Esempi di disuguaglianze
253 217 04
Definizione disequazione
Si definisce disequazione in una sola incognita una disuguaglianza tra due espressioni, di cui una almeno letterale, verificata solo per particolari valori attribuiti all’incognita
xx 274
xx
x
4
12
3
xxxx 332 2
xx 312
1)
2)
3)
4)
Esempi di
disequazioni
Soluzioni di una disequazioneSi dice SOLUZIONE di una disequazione ogni numero che sostituito all’incognita rende vera la disuguaglianza
71 22 xx Esempio: data la disequazione verificare se e rappresentano delle soluzioni2x 5x
5xVERO
E’ SOLUZIONE
711
72536
72526
725215
5
7221
x
xxVERIFICAVERIFICA
75
749
7423
722212
2
7221
x
xx
FALSO 2x NON E’ SOLUZIONE
Grado di una disequazione
1)
023 2 xx Disequazione di secondo grado2)
52 x Disequazione di primo grado
432 25 xx Disequazione di quinto grado3)
Esempi
Si definisce grado di una disequazione razionale intera il massimo esponente con cui compare l’incognita
Le disequazioni 1° GRADO si dicono anche disequazioni LINEARI
Classificazione delle disequazioni
TIPO disequazione Disequazione con ESEMPI
Intera Incognita solo al numeratore
Fratta Incognita almeno al denominatore
Numerica Coefficienti numerici
Letterale Coefficienti letterali
Determinata Soluzioni sottoinsieme di R
Indeterminata Soluzioni coincidenti con R
Impossibile
Non ha soluzioni
03
03
7
052
51
3
4312
2
2
3
2
2
x
x
x
cbxax
xx
xx
x
xx
E’ chiaro o devo ripetere
Disequazioni EQUIVALENTIEQUIVALENTI
Due disequazioni si dicono EQUIVALENTIEQUIVALENTI se possiedono le stesse soluzioni
esempio
423)1 x soluzioni 2x
914)2 x soluzioni 2xFacile!
Pertanto, qualsiasi numero più grande di 2 soddisfa sia la prima che la seconda disequazione perciò esse si dicono equivalenti
x
Utilità dei principi di equivalenza
I principi di equivalenza, applicati alle disequazioni, consentono di trasformare una disequazione in un’altra più semplice avente le stesse soluzioni
Sottrazione
• ADDIZIONANDO o SOTTRAENDO ai due membri di una disequazione la stessa espressione si ottiene una disequazione EQUIVALENTE a quella data
Primo Principiodi equivalenza
Addizione
Disequazioni equivalenti5532
32
xx
xx
xxxx
xx
127
127
Conseguenze del PRIMO PRINCIPIO
1) Regola del trasporto
Si può trasportare un termine da un membro all’altro di una disequazione purché gli venga cambiato il segno(Tale regola viene impiegata per trasportare le incognite al primo membro ed i numeri al secondo membro)
Esempio
3
1234
2314
x
xx
xx
Conseguenze del
Primo Principio
2) Regola della cancellazione
a) se uno stesso termine figura in entrambi i membri può essere cancellatoEsempio
b) se due termini opposti si trovano nello stesso membro essi possono essere cancellatiEsempio
552
552
x
xxx
xx
xx
54
5774
Che bello!!
Conseguenze del
Primo Principio
5442434
523
xx
xx
a) Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo si ottiene una disequazione equivalente alla data
Esempio:
b) Moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solo se si inverte il verso della disuguaglianza
Esempio:
Secondo Principiodi equivalenza
5442434
523
xx
xx
Disequazioni equivalenti
Disequazioni equivalenti
maggiore
minore
VERSOINVERTITO
1) Eliminazione di denominatori numerici
E’ possibile eliminare i denominatori numerici di una disequazione moltiplicando tutti i termini per il loro m.c.m.
Esempio
961222
36626
3
16
2
32
3
1
xx
xx
xx
m.c.m = 6
2 3
Disequazione condenominatore
Disequazione senzadenominatore
Conseguenze del
Secondo Principio
Conseguenze del SECONDO PRINCIPIO
2) Eliminazione del coefficiente dell’incognita
E’ possibile liberare l’incognita dal suo coefficiente dividendo primo e secondo membro della disequazione per tale coefficiente
Coefficiente dell’incognita
Esempio
5
25
2
5
5
25
x
x
x
Conseguenze del
Secondo Principio
3) Regola del cambiamento del segno
Il segno di un termine di una disequazione si può cambiare solo quando si cambiano i segni dei restanti termini e si inverte il verso della disequazione
Esempio
524
524
xx
xx
MINORE
MAGGIORE
Conseguenze del
Secondo Principio
Risoluzione di disequazioni
di primo grado:Per risolvere le disequazioni lineari si procede nel modo seguente:
1) Si eseguono le operazioni che vengono indicate nella disequazione ( potenze, moltiplicazioni, divisioni,addizioni e sottrazioni )
Sembra tutto facile
2) Quando al primo ed al secondo membro non è più possibile eseguire operazioni, si passa all’applicazione delle conseguenze dei principi di equivalenza (cancellazione,trasporto,
cambiamento di segno,ecc.) per passare a disequazioni equivalenti sempre più semplici
43
12
3
3
123
4162
1642
16312
1613122
2
x
x
x
xx
xx
xxxx
xxx Operazioni indicate (potenza,prodotto)
1° principio (cancellazione)
1° principio (Trasporto)
Operazioni indicate (somma e differenza)
2° principio (Eliminazione coefficiente dell’incognita)
Soluzioni della disequazione
Operazioni indicate (divisioni)
Risoluzione guidata di disequazioni
• Esempio 1
Risoluzione guidata di disequazioni• Esempio 2
3
3
1454
4541
144
544
4
14
14
5
4
1
14
5
4
1
14
5
2
1
22
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xxxx
xxx Operazioni indicate (potenza-prodotto)
1° principio (cancellazione)
2° principio (Eliminazione denominatore numerico)
1° principio (Trasporto)
Operazioni indicate (differenze)
2° principio (cambiamento di segno)
Soluzioni della disequazione
Operazioni indicate (divisioni-prodotti)
2
141
3
56)5
123
1)4
3274634225)3
4362)2
621)12
22
xx
xx
x
xxxx
xxxx
xxxxx
Risolvi le disequazioni
Prova tu
Rappresentazione GRAFICARappresentazione GRAFICAdelle soluzioni: delle soluzioni: retta orientata
Per rappresentare graficamente le soluzionile soluzioni di una
disequazione si fa uso di una retta orientata i cui punti
corrispondono a numeri reali.
I due simboli (meno infinito) e (più infinito) posti agli estremi della retta non rappresentano nessun numero reale, essi stanno solo ad indicare che la retta risulta illimitata (senza fine) sia a sinistra che a destra.
. . . . . . . -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 ORIGINE
1
Per rappresentare graficamente le soluzionile soluzioni di una disequazione si fa uso delle seguenti convenzioni:
1.1. linea continualinea continua per rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione ( )
2.2. linea tratteggiatalinea tratteggiata per rappresenta l’insieme dei valori che non sono soluzioni ( )
3.3. cerchietto pienocerchietto pieno per indicare che il valore corrispondente è una soluzione ( )
4.4. cerchietto vuotocerchietto vuoto per indicare che il valore corrispondente non è una soluzione.( )
Rappresentazione GRAFICARappresentazione GRAFICAdelle soluzioni: delle soluzioni: convenzioniconvenzioni
2
Rappresentazione GRAFICA Rappresentazione GRAFICA delle soluzioni: delle soluzioni: procedimentoprocedimento3
1) Si scrive l’equazione associata alla disequazione e si determina il valore che l’annulla
2) si riporta tale valore sulla retta orientata3) da esso si riporta un segmento verticale al cui estremo si disegna
un cerchietto vuoto quando non fa parte delle soluzioni4) si traccia la linea continua in corrispondenza dei valori che
costituiscono l’insieme delle soluzioni e dalla parte opposta una linea tratteggiata a rappresentare l’intervallo dei numeri che non sono soluzioni
Per la rappresentazione si procede nel modo seguente
prof. non hocapito
Non ti preoccuparegli esempi
chiariranno tutto
Rappresentare graficamente le soluzioni della disequazione x > 2
. . . . . . . 0
Equazione associata alla disequazione X = 2
2x
Linea pienaSOLUZIONI
Linea tratteggiataNON SOLUZIONI 2 escluso dalle
SoluzioniCERCHIO
VUOTO
2
Esempio 1
. . . . . . . 0 Equazione associata alla disequazione X = -3
3xLinea piena
SOLUZIONI
Linea tratteggiataNON SOLUZIONI-3
incluso nellesoluzioni
CERCHIOPIENO
-3
Rappresentare graficamente le soluzionidella disequazione x < - 3
Esempio 2
Definizione di Intervallo numerico
Dati due numeri a e b con a < b, si definisce INTERVALLO NUMERICO, l’insieme di tutti i numeri compresi tra a e b.I numeri a e b prendono il nome di
ESTREMO INFERIORE ed ESTREMOSUPERIORE dell’intervallo e possono o meno appartenere all’insieme
Per la rappresentazione simbolica degli intervalli numerici si fa uso di parentesi tonde e quadre entro cui vengono scritti gli estremi inferiore e superiore a e b separati da punto e virgola
Il tipo di parentesi ci indica se l’estremo risulta incluso oppure escluso dall’intervalloParentesi tonda estremo escluso. Parentesi quadra estremo incluso
2 3 4 5 6 7 8 9
a b
Intervallo numerico
Estremosuperiore
Estremoinferiore
Esempi
Rappresentazione simbolica
di intervalli numerici
Rappresentazione grafica
-2 7
-2 7
-2 7
-2 7
7;2
7;2La rappresentazione simbolica indica che
gli estremi -2 e 7 fanno parte dell’intervallo
7;2
7;2
La rappresentazione simbolica indica che
gli estremi -2 e 7 sono esclusi dall’intervallo
La rappresentazione simbolica indica che
-2 è escluso mentre 7 è incluso nell’intervallo
La rappresentazione simbolica indica che
-2 è incluso mentre 7 è escluso dall’intervallo
Utilizzo di simboli diversi
per gli stessi concetti
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
10;3
Stessosignificato
Alcuni testi di matematica per rappresentare simbolicamenteun intervallo numerico usano esclusivamente parentesi quadre, rivolte verso l’esterno per indicare che l’estremo non appartieneall’insieme, rivolte verso l’interno per esprimere che l’estremo fa parte dell’insieme.
0
0;esempio0x1)
Rappresentare graficamente le soluzioni delle disequazioni e scriverle anche sotto forma di intervallo
6x 41 x4
7x2) 3) 4)
Chi vuol provare
esercizi
PROBLEMA
Per effettuare delle telefonate, due gestori telefonici offrono le seguenti tariffe:
Canone mensile di abbonamento € 5,00 Costo al minuto di conversazione 10 cent
Nessun canone di abbonamento Costo al minuto di conversazione 20 cent
Quale gestore conviene scegliere ?
PROBLEMI DI SCELTA
Gestore 1)
Gestore 2)
FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazione FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
Il problema verrà risolto secondo le tre fasi:
Indichiamo con X i minuti di conversazione
Calcoliamo quanto ci costa WindCOSTO WIND = canone + costo conversazione =
Calcoliamo quanto ci costa VodafoneCOSTO VODAFONE = costo conversazione =
FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazioneFASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
X 1,05
Espressione che traduce in disequazione il problema dato
COSTO WIND deve essere MINORE del COSTO VODAFONE
X2,0
Per risultare più conveniente Wind rispetto a Vodafone deve accadere che:
XX 2,015,05
120
05,0
6
05,0
05,0
605,0
605,0
62,015,0
2,015,06
X
X
X
X
XX
XX
FASE 1: dal problema alla disequazione
FASE 2: risoluzione della disequazioneFASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
Il risultato ci dice che la scelta di Wind risulta conveniente solo se facciamo più di 120 minuti di telefonate mensili
prof. mi esce X maggiore
di 120e’ giusto?
Risolviamo la disequazione
Trasporto
Cambiamento di segno
Eliminazione del coefficientedell’incognita
soluzioni
FASE 1: dal problema alla disequazione FASE 2: risoluzione della disequazione
FASE 3: rappresentazione grafica delle soluzioni
0 20 40 60 80 100 120 140 Minuti di
conversazione
120X
Intervallo di convenienza WIND
Intervallo di convenienza VODAFONE
120X
Due amici vogliono imparare a ballare. Nella loro città ci sono due scuole di ballo che si possono frequentare alle seguenti condizioni:
Scuola 1 - € 320,00 annue di iscrizione più € 5,00 per ogni ora di utilizzo
Scuola 2 - € 240,00 annue di iscrizione più € 6,00 per ogni ora di utilizzo
Quale scuola conviene scegliere ?
PROBLEMA
Va bene prof. ci provo io
ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI, TURISTICI E DELLA PUBBLICITA’
“ S. PERTINI “ – CROTONEClasse 2a Sezione A A.S. 2007/2008
1)Cognome e nome ______________________________ Data ________
VERIFICA DI MATEMATICA(Argomento: disequazioni)
3) Risolvi la disequazione e rappresenta graficamente e simbolicamente le soluzioni.
3331 2 xxxx
4) Risolvi il problema Il noleggio di una macchina costa 50 € al giorno più 40 cent per ogni Kmpercorso, quanti Km si riescono a percorrere ogni giorno se non si vuole spenderepiù di 200?
2) Per la seguente disequazione scrivi le disequazioni ad essa equivalenti ottenute operando come indicato a lato.
xaggiungi
sottrai
3)2
4)1xx 31064 3)4
1)3
perdividi
permoltiplica
1) Della seguente disequazione, verificare se i valori a lato sono soluzioni.
021 x3
1
2
520 xxxx
Collegamenti ipertestuali1. Copertina2. Citazioni3. Prerequisiti - contenuti4. Sapere – Saper fare5. Unità didattiche6. Inizio modulo7. Disequazioni nella vita8. Impiego disequazioni9. Problema 310. Problema 411. Disuguaglianze12. Definizione disequazione13. Soluzioni disequazioni 14. Grado disequazioni15. Classificazione16. Disequazioni equivalenti17. Utilità principi di equiv.18. Primo principio19. Regola del trasporto20. Regola cancellazione21. Secondo principio22. Eliminazione denominatore
23. Eliminazione coefficiente24. Cambiamento di segno25. Risoluzione disequazioni26. Esempio 127. Esempio 228. Prova tu29. Retta orientata30. Convenzione31. Rappresentazione grafica32. Esempio 133. Esempio 234. Definizione intervallo35. Rappresentazione intervallo36. Utilizzo simboli diversi37. Prova tu38. Problema di scelta39. Fase 140. Fase 241. Fase 342. Prova tu43. Verifica44. Collegamenti ipertestuali