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INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
CAPÍTULO 3
INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE
E A INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
PROBLEMA:FORMULAÇÃO DE
HIPÓTESES
OBSERVAÇÕES
VERIFICAÇÃO DAS
HIPÓTESES
FORMULADAS
DESENVOLVIMENTO
DE NOVAS TEORIAS
AMOSTRAGEM
PLANEJAMENTO DE
EXPERIMENTOS
ANÁLISE DESCRITIVA
E EXPLORATÓRIA DE
DADOS
INFERÊNCIA
ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
DUAS GRANDES ÁREAS
ESTIMAÇÃO
TESTE DE HIPÓTESES
PONTUAL
INTERVALAR
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES:
Problemas em engenharia (e nas demais áreas do
conhecimento) exigem uma tomada de decisão entre
aceitar ou rejeitar uma afirmação a cerca de uma
característica populacional. A afirmação a ser investigada é
denominada de hipótese e o procedimento de tomada de
decisão sobre a hipótese é o que denominamos de teste de
hipótese.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES:
EXEMPLO:
Suponha que estamos interessados na taxa de queima de um
propelente sólido, usado para fornecer energia aos sistemas de
escapamento de aeronaves. A taxa de queima é uma variável
aleatória que pode ser descrita por um modelo de
probabilidade. O interesse no problema consiste em verificar
se a taxa média de queima (parâmetro do modelo de
probabilidade) é ou não equivalente a 50 cm/s.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES:
Um teste de HIPÓTESTES (ou de significância) é um
procedimento formal para comparar dados observados com
uma hipótese, cuja veracidade procura-se avaliar. A hipótese
constitui-se em uma afirmação que se faz sobre os parâmetros
de uma população ou de um modelo. Os resultados de um
teste são expressos em termos de uma probabilidade que
mede quão bem os dados e a hipótese concordam entre si
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Definição 1: Em estatística, uma hipótese, é uma afirmativa sobre umapropriedade da população, ou ainda, uma afirmação sobre osparâmetros de uma ou mais populações.
Definição 2:Um teste de hipótese (ou teste de significâncias), é umprocedimento para se verificar a veracidade ou não de umahipótese estatística.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Consideremos o exemplo da taxa de queima de um propeleno sólido,
acima apresentado. Nesse problema a tomada de decisão significa
concluir por uma das duas seguintes alternativas.
H0 : A taxa média de queima do propeleno sólido é 50 cm/s.
H1 : A taxa média de queima do propeleno sólido não é 50 cm/s.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Sob ponto de vista estatístico, considerando que µ representa a taxa
média de queima populacional, as hipóteses acima são definidas
como.
H0 : µ = 50 cm/s
H1 : µ ≠ 50 cm/s
A Hipótese H0 é chamada de hipótese nula enquanto que a
hipótese H1 é chamada de hipótese alternativa.
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Definição 4:A Hipótese Alternativa é a afirmativa de que o parâmetro populacional temum valor que, de alguma forma, difere da hipótese nula.
No exemplo, temos que a hipótese alternativa especifica valores de µ quepodem ser maiores ou menores que 50 cm/s, nessa situação dizemos que ahipótese alternativa é bilateral.Em determinadas situações, podemos desejar formular uma hipóteseunilateral, ou seja verificar se o valor de µ é especificamente maior oumenor que o valor definido pela hipótese nula.
H0 : µ = 50 cm/s H0 : µ = 50 cm/s H0 : µ = 50 cm/sH1 : µ ≠ 50 cm/s H1 : µ > 50 cm/s H1 : µ < 50 cm/s
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
A partir de um teste de hipóteses verificamos se os dados provenientes da
amostra são consistentes com a hipótese em estudo. A medida que os
dados forem consistentes com a hipótese, concluiremos que a hipótese é
verdadeira; no entanto se essa informação for inconsistente com a
hipótese, concluiremos que a hipótese é falsa. Destacamos que a
veracidade ou falsidade de uma hipótese específica nunca pode ser
conhecida com certeza, exceto se toda população fosse observada, o que é
usualmente impossível na prática.
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
A estrutura de problemas de testes de hipóteses será idêntica em todas as
aplicações que iremos considerar.
1. A hipótese nula é aquela que se deseja testar.
2. A rejeição dessa hipótese leva a aceitação da hipótese alternativa.
3. Testar a hipótese envolve considerar uma amostra aleatória, calcular
uma estatística de teste a partir dos dados amostrais e, então a partir
da estatística de teste tomar uma decisão com respeito à hipótese
nula.
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Definição 5:
Uma estatística de teste é um valor calculado a partir dos dados
amostrais e é usada para tomar a decisão sobre a rejeição ou não da
hipótese nula. Para isso, faz-se necessário a comparação da
estatística com um valor de referência a fim de ser possível a
tomada de decisão de rejeição ou não da hipótese.
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Com o objetivo de ilustrar as definições e conceitos acima,
considere o problema da taxa de queima do propelente, introduzido
anteriormente. A hipótese nula é a taxa média de queima ser 50
cm/s; a alternativa é: essa taxa não é igual a 50 cm/s. Ou seja,
desejamos testar
H0 : µ = 50 cm/s
H1 : µ ≠ 50 cm/s
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Suponha que uma amostra de n = 10 espécimes seja testada .
A média amostral é uma estimativa da média verdadeira µ da
população.
Um valor da média amostral que caia próximo ao valor da hipótese
de µ = 50 cm/s é uma evidência de que a média verdadeira µ é
realmente 50 cm/s.
Por outro lado, uma média amostral que seja consideravelmente
diferente de 50 cm/s evidencia de que a hipótese alternativa H1 é
válida.
Assim, a média amostral é a estatística de teste nesse caso.
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
A média amostral pode assumir muitos valores.
Suponha que se 48,5 < < 51,5, não rejeitaremos a hipótese nula
Ho: µ = 50.
Se < 48,5 ou > 51,5, rejeitaremos a hipótese nula em favor da
hipótese alternativa H1: µ ≠ 50.
Região de não Rejeição de Ho Região Crítica 1 Região Crítica 2
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
A região de não rejeição de Ho por convenção,
geralmente é chamada de região de aceitação. O limite entre as
regiões crítica e a região de aceitação é chamada de valores
críticos. Em nosso exemplo, os valores críticos são 48,5 e 51,5.
É comum estabelecer conclusões relativas a hipótese
nula Ho. Logo, rejeitaremos Ho em favor de H1 se a estatística
de teste cair na região crítica e deixamos de rejeitar H0 caso
contrário.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Definição 6: Região crítica é definida pelo conjunto de valores para
os quais a hipótese H0 é rejeitada.
Definição 7: Valor (ES) crítico (s) valor a partir do(s) qual(is) a
hipótese H0 é rejeitada, ou seja, valores limites da região crítica.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
O procedimento de decisão acima estabelecido pode conduzir a uma
de duas conclusões erradas.
Por exemplo, a verdadeira taxa média de queima do propelente
poderia ser igual a 50 cm/s.
Entretanto, para os espécimes de propelente selecionados
aleatoriamente que são testados, poderíamos observar um valor da
estatística de teste dentro na região crítica.
Rejeitaríamos então a hipótese nula Ho em favor da alternativa H1
quando, de fato, Ho seria realmente verdadeira.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Definição 8:
O erro tipo I é definido quando rejeitamos a hipótese Ho,
quando ela é de fato verdadeira.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Agora, a verdadeira taxa média de queima do propelente é
diferentes de 50 cm/s.
Para os espécimes de propelente selecionados aleatoriamente
que são testados, poderíamos observar um valor de estatística
de teste dentro da região de aceitação.
Nesse caso, não rejeitaríamos H0, isto é, falharíamos em
rejeitar H0 quando ela de fato não é verdadeira.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Definição 9:
O erro tipo II é definido quando não rejeitamos a hipótese Ho,
quando ela é de fato falsa.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
RESUMO:
DECISÃO BASEADA
NA AMOSTRA
S ITUAÇÃO NA POPULAÇÃO
H0 Verdadeira H0 Falsa
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
Decisão correta
Decisão corretaErro Tipo I
Erro Tipo II
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
A probabilidade de cometer o erro tipo I é, usualmente
denotada pela letra grega .
= P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 é verdadeira)
Para alguns autores, a probabilidade do erro tipo I é chamada
de nível de significância ou tamanho do teste.
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
No exemplo:
O erro tipo I ocorrerá quando > 51,5 ou para a taxa
média de queima do propelente µ = 50 cm/s
= P(erro tipo I) = P(rejeitar H0 quando H0 é verdadeira)
Suponha que o desvio-padrão da taxa de queima seja = 2,5
cm/s
50|5,5150|48 XPXP
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
50|5,5150|48 XPXP
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Isso significa que 5,76% de todas as amostras aleatórias conduziriam
a rejeição da hipótese H0: µ = 50 cm/s, quando a verdadeira taxa
média de queima fosse realmente 50 cm/s.
Questões:
1. O valor desta probabilidade pode ser considerado adequado?
2. Este procedimento pode ser utilizado sem maiores riscos?
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
COMO REDUZIR ?
Aumentando a região deaceitação. Por exemplo, seconsiderarmos os valorescríticos 48 e 52, o valor deserá:
Aumentando o tamanho daamostra. Se n=16:
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
DECISÃO BASEADA
NA AMOSTRA
S ITUAÇÃO NA POPULAÇÃO
H0 Verdadeira H0 Falsa
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
Decisão correta
Decisão corretaErro Tipo I
Erro Tipo II
Na avaliação de um procedimento de teste de hipótesestambém é importante examinar a probabilidade de um errotipo II.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Seja:
β= P(erro tipo II)= P(não rejeitar Ho quando Ho é de fato falsa)
Importante:
O procedimento para cálculo de β é análogo ao cálculo de , exceto
que nesse caso faz-se necessário fixar diferentes valores de µ fora da
região crítica pré-estabelecida, considerando que a média amostral
ocorre dentro da região de não rejeição
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Exemplo:Podemos calcular β considerando µ=52. Nesse caso teríamos:
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Valores de e β, calculados para diferentes regiões deaceitação, com diferentes tamanhos de amostra sãoapresentados na tabela:
Região não
Rejeição
Tamanho da
Amostra
= Erro tipo
I
β=Erro tipo II
µ=52
β=Erro tipo II
µ=50.5
10 0.0576 0.2643 0.8923
10 0.0114 0.5000 0.9705
16 0.0164 0.2119 0.9445
16 0.0014 0.5000 0.9918
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
1. O tamanho da região crítica, e conseqüentemente aprobabilidade do erro tipo I, , pode sempre ser reduzido atravésda seleção apropriada dos valores críticos;
2. Os erros tipo I e tipo II estão relacionados. Uma diminuição naprobabilidade de um tipo de erro sempre resulta em umaumento da probabilidade do outro, desde que o tamanho daamostra n não varie;
3. Um aumento no tamanho da amostra reduzirá, geralmente, eβ, desde que os valores críticos sejam mantidos constantes;
4. Quando a hipótese nula é falsa, β aumenta à medida que o valordo parâmetro se aproxima do valor usado na hipótese nula. Ovalor de β diminui à medida que aumenta a diferença entre amédia verdadeira e o valor utilizado na hipótese.
Importante:
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Fixa-se a probabilidade a do erro tipo I determinado-se os valores
críticos.
Desta forma o analista estabelecer a probabilidade de erro tipo I em
(ou perto de) qualquer valor desejado. Uma vez que o analista pode
controlar diretamente a probabilidade de rejeitar erroneamente Ho,
sempre pensamos na rejeição da hipótese nula Ho como uma
conclusão forte.
Procedimento Usual:
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Por outro lado, a probabilidade β do erro tipo II não é constante, mas
depende do valor verdadeiro do parâmetro. Ela depende também do
tamanho da amostra que tenhamos selecionado. Pelo fato de a
probabilidade β do erro tipo II ser uma função do tamanho da amostra
e da extensão com que a hipótese nula Ho é falsa, costumam-se
pensar na aceitação de Ho como uma conclusão fraca, a menos que
saibamos que β seja aceitavelmente pequena.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Conseqüentemente, em vez de dizer "aceitamos Ho", preferimos a
terminologia "falhamos em rejeitar Ho". Falhar em rejeitar H0, implica
que não encontramos evidência suficiente para rejeitar Ho, ou seja,
para fazer uma afirmação forte. Falhar em rejeitar H0, não significa
necessariamente que haja uma alta probabilidade de que Ho seja
verdadeira (isso pode significar simplesmente que mais dados são
requeridos para atingir uma conclusão forte.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Definição 10:
O Poder de um teste estatístico é a probabilidade de rejeitar a
hipótese nula H0, quando a hipótese alternativa é verdadeira.
O poder do teste é calculado como 1 - β e pode ser interpretada
como a probabilidade de rejeitar corretamente uma hipótese
nula falsa.
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
Por exemplo, considere o problema da taxa de queima de
propelente, quando estamos testando
Ho: µ = 50 cm/s contra H1: µ ≠ 50 cm/s.
Suponha que o valor verdadeiro da média seja µ = 52. Quando
n = 10, encontramos que β = 0,2643; assim, o poder deste teste
é 1 - β ~ 1 - 0,2643 = 0.7357.
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TESTE DE HIPÓTESES: DEFINIÇÕES
SITUAÇÃO IDEAL:
Minimizar
Maximizar 1 -
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2º SEMESTRE DE 2010
PROCEDIMENTO GERAL PARA UM TESTE DE HIPÓTESES:
PROCEDIMENTO PADRÃO:1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1) de interesse
no problema;2. Escolha um nível de significância (Probabilidade de erro tipo I)
para o problema;3. Identifique a estatística apropriada às hipóteses estabelecidas
inicialmente;4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais a
hipótese nula é rejeitada;5. Calcule, a partir dos dados amostrais, o valor da estatística de
teste;6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se a
estatística de teste acima calculada pertence ou não a regiãocritica.
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2º SEMESTRE DE 2010
PROCEDIMENTO GERAL PARA UM TESTE DE HIPÓTESES:
PROCEDIMENTO ALTERNATIVO: USO DO VALOR “P” (P-VALUE)1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1) de interesse
no problema;2. Escolha um nível de significância (Probabilidade de erro tipo I)
para o problema;3. Identifique a estatística apropriada às hipóteses estabelecidas
inicialmente;4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais a
hipótese nula é rejeitada;5. Calcule, a partir dos dados amostrais, o valor da estatística de
teste e o seu respectivo valor p;6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se o
valor p é menor ou maior que o nível de significância . Se:7. Valor p < rejeitar H0 Valor p > não rejeitar H0
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PROBLEMA:
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
Uma máquina produz peças cujo controle de qualidade é
realizado com base no diâmetro da peça. Para a peça ser
considerada sob controle o diâmetro da mesma deve ser igual a
0.
QUESTÃO:
Como verificar se a produção diária da peça pode ser consideradasob controle ou não?
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2º SEMESTRE DE 2010
CONDIÇÃO INICIAL:
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
Observar uma amostra aleatória de n peças da produção diáriaregistrando-se o valor do diâmetro de cada uma.
ETAPAS:
1. Estabelecer as hipóteses nula (H0) e alternativa (H1) de interesseno problema;
Hipótese Nula: A produção diária de peças está sob controle.Sob ponto de vista estatístico: O diâmetro médio das peças é igual a 0.
Possíveis Alternativas:i) H1 : o ( o diâmetro médio é diferente de o – teste bilateral)ii) H1 : > o (o diâmetro médio é maior que o – teste unilateral)iii) H1 : < o (o diâmetro médio é menor que o – teste unilateral)
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TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
2. Escolha um nível de significância (Probabilidade de erro tipo I)para o problema;
= (Probabilidade de erro tipo I) = probabilidade de rejeitar H0 , quando na verdade ela é verdadeira. Valores Usuais = 1%, 5%, 10%
3. Identifique a estatística apropriada às hipóteses estabelecidasinicialmente;
Ho : = o
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TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais ahipótese nula é rejeitada;
Ho : = o
Estatística de Teste
Distribuição de Referência
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TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
4. Definir a forma da região crítica, ou seja, valores para os quais ahipótese nula é rejeitada;
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
5. Calcule, a partir dos dados amostrais, o valor da estatística deteste;
6. Decidir se H0 deve ser rejeitada ou não, ou seja, verificar se aestatística de teste acima calculada pertence ou não a regiãocritica.
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2º SEMESTRE DE 2010
EXEMPLO 1:
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
Num determinado estudo foram examinadas 16 plantas de um
certo tipo, encontrando-se o seguinte conteúdo de ácido
ascórbico: 9.35; 8.68; 8.65; 11.68; 10.29; 12.77; 10.99; 8.81;
10.76; 9.52; 10.55; 12.61; 10.43; 9.87; 12.04; 9.82. Estudos
científicos mostram que o conteúdo de acido ascórbico deve
ser superior a 10 em plantas deste tipo. Com base na amostra
acima o que podemos afirmar em relação a estas plantas?
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HIPÓTESES:
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
O conteúdo de acido ascórbico é superior a 10 em plantas deste
tipo
Teste unilateral
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DADOS DA AMOSTRA:
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
n = 16 Média Amostral= 10.426 Desvio Padrão Amostra: 1.3226
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA: 5%
ESTATÍSTICA DO TESTE:
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VALOR CRÍTICO:
CONCLUSÃO:O valor de t calculado é 1,29e o valor crítico de t para 15g.l. e 0,05, conforme tabelaapresentada é 1,753, logo...
1.29
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VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
ESTATÍSTICA DO TESTE:
HIPÓTESES:
REGIÃO CRITICA:
tc=1.29
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
Aceita H0 Rejeita H0
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VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
COMO UTILIZAR O VALOR P:
tc=1.29
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 5 10 15 20- +0
Aceita H0 Rejeita H0
Assim rejeita-se H0 se:
i) p-valor <ii) (p-valor)/2 <
Vantagem: Não é necessário oconhecimento do valor de referênciatn-1; /2, tn-1; ou - tn-1; .
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VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P 1,074< t = 1,29 < 1,341Desta forma
0.10 < p < 0.15
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2º SEMESTRE DE 2010
VALOR CRÍTICO: ALTERNATIVA : VALOR P
1,074< t = 1,29 < 1,341Desta forma
0.10 < p < 0.15
Para rejeitarmos Ho o nível de
significância deveria ser maior
que 10%, portanto……
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2º SEMESTRE DE 2010
CUIDADO:
Verifique como é calculado o p-valor no software que vocêesta utilizando!!!!
P-Valor para Teste Bilateral ou P-Valor para Teste Unilateral??
Vantagem: Não é necessário o conhecimento do valor dereferência tn-1; /2, tn-1; ou - tn-1; .
Todo software que calcula a estatística do teste apresenta o respectivo valor p
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EXEMPLO 2:
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
Um estudo foi conduzido com o objetivo de analisar
concentrações de oxigênio dissolvido em correntes de 20
barragens no Vale do Tennessee. Deseja-se averiguar se a
concentração média de oxigênio dissolvido difere de 4
miligramas por litro ao nível de significância de 1%. As
observações em miligramas por litro são: 5 ; 3,4; 3,9;1,3; 0,2; 0,9;
2,7; 3,7; 3,8; 4,1; 1,0; 1,0; 0,8; 0,4; 3,8; 4,5; 5,3; 6,1; 6,9 e 6,5 .
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2º SEMESTRE DE 2010
TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
O parâmetro de interesse é a concentração média de oxigênio dissolvido .
Ho : = 4H1 : ≠ 4
Estatística de Teste:
Região crítica
Hipóteses de interesse:
Rejeita-se H0 se tc< t0,005,19=-2,861 ou tc> t0,005,19 =2,861
-2,861 2,861
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TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
Dados do problema:
Estatística de Teste
Uma vez que t0= -1,55 > -2,861, nãorejeitamos H0, ao nível de significância de1%, e concluímos, com base nestaamostra, que a concentração média deoxigênio dissolvido em barragens no Valedo Tennessee não difere de 4miligramas/litro.
265,3 ; amostra da média x22
)127,2(s; amostra da variância
55,1)4265,3(
20
127,2cT
-2,861 2,861
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TESTE DE HIPÓTESES PARA MÉDIA COM VARIÂNCIA DESCONHECIDA:
Valor P (P-VALUE)
Note que o valor |t0|=1,55 está entre os seguinte valores tabelados:1,328 e 1,729. Deste modo, os limitantes inferior e superior para ovalor P seriam 0,10=2(0,05) e 0,20=2(0,10). Assim, esta hipótese sóseria rejeitada para qualquer 0,10 < Valor P < 0,20 < α. Desta forma nãorejeitamos H0 e concluímos, com base nesta amostra, que aconcentração média de oxigênio dissolvido em barragens no Vale doTennessee não difere de 4 miligramas/litro.
Valores críticos 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093
Área da extremidade 0,40 0,25 0,10 0,05 0,025
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UMA SEGUNDA HIPÓTESE DE INTERESSE:
Medida Posição
Comportamento daVariabilidade da Variávelde Interesse
Teste para Média
Medida Dispersão Teste para Variância
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HIPÓTESES:
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TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA
ESTATÍSTICA DE TESTE:
Estatística de Teste
Distribuição de Referência
“Valor Critico”
Valor da Amostra
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TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA
REJEITA-SE HO SE:
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TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA
VALOR P
0 +
2
1r
P-valor
cr ítX
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TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA
Uma das maneiras de manter sob controle a qualidade de um
produto é controlar a sua variabilidade. Uma máquina de encher
pacotes de açúcar está regulada para enchê-los com média de 500g
e desvio padrão de 10g. O peso de cada pacote X segue uma
distribuição N(μ, σ2). Colheu-se uma amostra de 16 pacotes e
observou-se uma variância de S2=169g2 . Com esse resultado, você
diria que a máquina está desregulada com relação variabilidade?
EXEMPLO 3
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TESTE DE HIPÓTESES PARA UMA VARIÂNCIA
EXEMPLO 3
HIPÓTESES
Fixado α=5% rejeitaremos Ho se:
Ho : 2 = 100 vs
ESTATÍSTICA DE TESTE:
H1 : 2 > 100 vs
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CASO DE DOIS TRATAMENTOS:
Comparar a eficiência de dois diferentestratamentos (grupos, populações) comrespeito a uma medida de interesse.
OBJETIVO:
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CASO DE DOIS TRATAMENTOS:
Principio:Forma como são atribuídos ostratamentos as unidadesexperimentais.
TIPOS DE ESTUDO:
Amostras IndependentesCompletamente Aleatorizado
Amostras PareadasRestrição na Aleatorização
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CASO DE DOIS TRATAMENTOS:
Tratamentos atribuídos de forma completamente aleatorizada as u.e.
AMOSTRAS INDEPENDENTES:
a1-a 2 -a3 -a 4 -a 5 -a6 -a 7 -a8 -a 9 -a 1 0
a2 -a4 -a5 -a 8 -a9
S o rte io A lea tó rio
a1 -a3 -a6 -a 7 -a10
a1-a 2 -a3 -a 4 -a 5 -a6 -a 7 -a8 -a 9 -a 1 0
a2 -a4 -a5 -a 8 -a9
S o rte io A lea tó rio
a1 -a3 -a6 -a 7 -a10
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
PROBLEMA:
Dois diferentes métodos são submetidos aleatoriamente a
um grupo de unidades experimentais.
HIPÓTESE:
Unidades experimentais são completamente homogêneas para
fins do presente estudo!
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
HIPÓTESE CIENTÍFICA:
Qual dos métodos é mais eficiente?
Especificamente: B é mais eficiente que A?
HIPÓTESE ESTATÍSTICA:
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
CONSIDEREMOS:
Estatísticas Tratamentos A B
amostra ni 8 8 média y 5.0 7.0
variância S2 4.0 1.71
Média de B é 40% superior à de A.
Podemos concluir que B é mais eficiente que A??
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
ANÁLISE ESTATÍSTICA:
Sob as condições anteriores:
Comparação de Médias de duas populações normais
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
DUAS DIFERENTES SITUAÇÕES:
VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS:
VARIÂNCIAS CONHECIDAS:
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TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS
HIPÓTESES:
ESTATÍSTICA DE TESTE
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
DISTRIBUIÇÃO DE REFERÊNCIA
REGIÃO CRÍTICA REGRA DE DECISÃO
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TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
BÁSICO:
Suponha que temos duas amostras aleatórias independentes,
de tamanhos nA e nB, selecionadas de duas populações normais
com a mesma variância 2. Indiquemos os estimadores de 2
obtidos das amostras por e , respectivamente
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TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
HIPÓTESES:
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ESTATÍSTICA DE TESTE:
nB-1
nA-1
FnB-1, nA-1
TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
EstatísticaDistribuição de
Referência
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DISTRIBUIÇÃO F:
TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
1. É assimétrica;
2. Valores da distribuição F são positivos;
3. As distribuições F são umas famílias de distribuições com dois
parâmetros. Os parâmetros são os números de graus de liberdade das
variâncias amostrais no numerador e denominador da estatística F.
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REGRA DE DECISÃO:
TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
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TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL:
Estatísticas Tratamentos A B
amostra ni 8 8 média y 5.0 7.0
variância S2 4.0 1.71
Na Estatística de Teste Fc fez-se a razão da maior variância pela menor variância
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TESTE PARA IGUALDADE DE VARIÂNCIAS: VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS
RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL:
Estatísticas Tratamentos A B
amostra ni 8 8 média y 5.0 7.0
variância S2 4.0 1.71
Não rejeitamos H0, isto,
podemos considerar que as
variâncias dos diferentes
grupos são iguais.
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
HIPÓTESES:
ESTATÍSTICA DE TESTE
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
DISTRIBUIÇÃO DE REFERÊNCIA
REGIÃO CRÍTICA REGRA DE DECISÃO
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
HIPÓTESES:
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VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:
n1+n2-2
t n1+n2-2
N (0,1)
TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
ESTATÍSTICA DE TESTE:
INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
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VARIÂNCIAS IGUAIS E DESCONHECIDAS:DECISÃO: REJEITA-SE H0 SE:
TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
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RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL:
TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
Estatísticas Tratamentos A B
amostra ni 8 8 média y 5.0 7.0
variância S2 4.0 1.71
Variância Combinada:
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RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL:
TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
Estatísticas Tratamentos A B
amostra ni 8 8 média y 5.0 7.0
variância S2 4.0 1.71
Estatística de Teste:
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TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
Portanto rejeitamos H0, isto éconcluímos que o tratamento B émais eficiente que o tratamento A.
CONCLUSÃO:
RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL:
P-VALOR 0164.0368.214
tPvalorp
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VARIÂNCIAS DIFERENTES E DESCONHECIDAS:
TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
ESTATÍSTICA DE TESTE:
Qual a distribuição de referência?
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VARIÂNCIAS DIFERENTES E DESCONHECIDAS:
TESTE DE HIPÓTESES PARA COMPARAÇÃO DE DUAS MÉDIAS:
Correção nos graus de Liberdade da Distribuição t