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Investigación e IIM Ingeniería de la Madera Volumen 10 Número 1 Abril, 2014 Revista del Laboratorio de Mecánica de la Madera
División de Estudios de Posgrado
Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo ISSN: En trámite Características físicas de 12 maderas mexicanas. Javier Ramón Sotomayor Castellanos | Mariana Ramírez Pérez Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera en pruebas de flexión. Javier Ramón Sotomayor Castellanos | Joel Benancio Olguín Cerón
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Investigación e Ingeniería de la Madera, Volumen 10, No. 1, enero-abril 2014. Publicación cuatrimestral editada por la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. Código Postal 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500. www.investigacioneingenieriadelamadera.umich.mx, [email protected]. Editor: Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Reserva de Derechos al Uso Exclusivo No. En trámite. ISSN: En trámite. Ambos otorgados por el Instituto Nacional del Derecho de Autor. Responsable de la última actualización de este número, Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Av. Francisco J. Mújica, s/n. Ciudad Universitaria. C.P. 58030. Teléfono y Fax (443) 322-3500, fecha de la última modificación: 30 de abril de 2014. Diseño y formación: Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Portada: Joel Benancio Olguín Cerón y Javier Ramón Sotomayor Castellanos. Publicado digitalmente en Morelia, Michoacán, México. Abril de 2014. Consulta electrónica: www.cic.umich.mx, www.academia.edu, www.researchgate.net y http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/. Derechos reservados: ©Laboratorio de Mecánica de la Madera, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera y ©Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. Editor de la revista: Javier Ramón Sotomayor Castellanos Comité editorial: Luz Elena Alfonsina Ávila Calderón, UMSNH Marco Antonio Herrera Ferreyra, UMSNH David Raya González, UMSNH
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Contenido
Características físicas de 12 maderas mexicanas.
Javier Ramón Sotomayor Castellanos y Mariana Ramírez Pérez .................. 4
Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad
de la madera en pruebas de flexión.
Javier Ramón Sotomayor Castellanos y Joel Benancio Olguín Cerón ......... 36
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Características físicas de 12 maderas mexicanas
Javier Ramón Sotomayor Castellanos1
Mariana Ramírez Pérez2
Resumen
Se determinaron la densidad y las características higroscópicas de doce maderas
mexicanas. Asimismo, se propusieron dos criterios de clasificación. El primero se
fundamenta en la distribución estadística de resultados experimentales y sus
medidas centrales y de dispersión. El segundo se refiere al agrupamiento de
especies de acuerdo a magnitudes similares de sus características físicas, referidas
en correlaciones estadísticas entre variables dependientes e independientes. Los
valores promedio de los parámetros calculados son del mismo orden de magnitud
que los de los datos presentados en trabajos anteriores. La relación de anisotropía
de la contracción volumétrica fue de 1.83 para las especies estudiadas y califica
como media. Un análisis de regresión entre diferentes parámetros observados
aportó los siguientes corolarios: las contracciones tangencial y radial no
correlacionan con la densidad básica; el punto de saturación de la fibra disminuye
linealmente a medida que la densidad aumenta con un coeficiente de determinación
de 0.45 para un 95 % de confianza; el máximo contenido de humedad y los espacios
vacíos disminuyeron cuando la densidad básica aumentó en una correlación
exponencial con un coeficiente de determinación de 0.99. La velocidad de hidratado
disminuyó en porcentaje del coeficiente de contracción volumétrica y aumentó en
relación con el punto de saturación de la fibra.
Palabras clave: Densidad, Contenido de humedad, Higrocontracción, Punto de
saturación de la fibra, Velocidad de hidratado.
1 Profesor, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH, [email protected] 2 Alumna, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, UMSNH, [email protected]
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Abstract
The density and hygroscopic properties of twelve Mexican wood species were
determined, and based on the results, two classification criteria are proposed. The
first classification is based on the statistical distribution of the measurements, as well
as on their central and dispersion statistical parameters. The second refers to
grouping the species according to similar values of their physical characteristics,
based on statistical correlations between dependent and independent variables. The
average values of the parameters calculated are in the same order of magnitude as
the data presented in previous works. The anisotropy ratio of volumetric shrinkage
was 1.83 for the species studied and qualifies as medium. A regression analysis
between different parameters observed provided the following corollaries: the
tangential and radial contractions do not correlate with basic density; the fiber
saturation point decreases linearly as the density increases with a coefficient of
determination of 0.45 at 95% of confidence; the maximum moisture content and void
spaces decreased when basic density increased in an exponential correlation with
a coefficient of determination of 0.99. The hydration rate decreased in function of the
coefficient of volumetric shrinkage and increased in relation to the fiber saturation
point.
Key words: Density, Moisture content, Hygrocontraction, Fiber saturation point,
Hydration rate.
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Introducción
Los principales criterios para la selección de una especie de madera en el diseño
de productos funcionales y en la concepción e ingeniería de edificaciones de
madera, se pueden sintetizar en la lógica de selección de materiales propuesta por
Ashby et al. (2009), esquematizada en la Figura 1.
Describiendo este enfoque, y partiendo desde lo general y periférico, hacía lo
material y central, inicialmente, la biodiversidad propone una disponibilidad de
material genético renovable, con variabilidad natural y que actualmente se puede
optimizar con fines de sustentabilidad ecológica. Al mismo tiempo, el costo
energético de transformación, el cual se refleja en lo económico y depende
igualmente de la apreciación estética por parte del usuario del material, está ligado
a la aptitud de cada madera para su maquinado, estabilizado y protección.
Finalmente, son las características físicas de la madera, derivadas de su
composición química y de su estructura anatómica, las que definen la valoración
comercial, y son la referencia en el diseño de productos funcionales y elementos
constitutivos de estructuras de madera.
Figura 1. Lógica de selección de una especie de madera para su uso en diseño e
ingeniería de productos y estructuras (Adaptada de Ashby et al., 2009).
Lógica de selección de la madera como material de ingeniería:
Sustentabilidad ecológica y variabilidad genética
Disponibilidad
Maquinado, estabilizado y protección
Economía y estética
Características físicas
de la madera
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Entre los productos de madera contemporáneos donde el conocimiento de las
características físicas de una especie de madera en particular encuentra aplicación,
se pueden citar muebles, instrumentos musicales, madera de ingeniería y tableros
contrachapados y aglomerados, y otros materiales de Ingeniería reconstituidos a
partir de madera como materia prima. Respecto a la industria de la edificación con
madera, las características físicas encuentran aplicación en el dimensionado de
elementos estructurales, como vigas y columnas, y en componentes de
construcciones de madera como lo son vigas laminadas, escaleras, cubiertas,
muros y entramados.
Problemática
La densidad y las características tecnológicas de la madera están ampliamente
documentadas para la mayoría de especies empleadas en diferentes escalas de
transformación. Desde su uso artesanal, hasta la manufactura de madera
reconstituida. En México, estas características han sido estudiadas entre otros
autores por Fuentes-Salinas (2000), Bárcenas-Pazos y Dávalos-Sotelo (2001),
Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003), De la Paz Pérez-Olvera y Dávalos-Sotelo
(2008), Silva-Guzmán (2008), Silva-Guzmán et al. (2010) y Sotomayor-Castellanos
y Ramírez-Pérez (2013).
Uno de los corolarios usuales de las investigaciones sobre el tema de estudio, es la
calificación de las características tecnológicas propias de una muestra de madera
determinadas experimentalmente. Ese punto de vista se confunde fácilmente con la
clasificación o aptitud de toda la madera de ese género y/o especie para un uso en
específico, el cual finalmente, es el que tradicionalmente le dan los usuarios, los
artesanos o los industriales del ramo.
Sin embargo, cuando el Diseñador y/o el Ingeniero quieren desarrollar un nuevo
producto, no existen criterios que les guíen hacia la correcta selección de una
especie de madera, o lo opuesto, determinar si una madera en particular podría ser
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empleada en un producto innovador. De tal forma, que se hace necesario proponer
un enfoque racional para la apreciación de una madera basada, en este caso de
estudio, en sus propiedades físicas. Es importante recordar que, para una óptima
elección de una especie de madera, es recomendable tomar en consideración los
criterios de selección discutidos para la Figura 1.
Por otra parte, el estudio de los fenómenos higro-mecánicos de la madera, debido
a su complejidad, necesita de técnicas de modelado, que para su validación,
requieren de datos experimentales (Muszyński, 2006) los cuales son escasos. En
efecto, en la literatura especializada se han propuesto descripciones teóricas que
requieren para su validación, de características determinadas experimentalmente
(Mackerle, 2005).
La presente investigación tuvo por objetivos determinar la densidad y las
características higroscópicas de doce maderas mexicanas. Asimismo, se
propusieron criterios de clasificación para la densidad y para las características
higroscópicas:
- Densidad básica
- Punto de saturación de la fibra
- Higrocontracción tangencial
- Coeficiente de higrocontracción tangencial
- Higrocontracción radial
- Coeficiente de higrocontracción radial
- Higrocontracción volumétrica
- Coeficiente de higrocontracción volumétrica
- Máximo contenido de humedad
- Porcentaje de pared celular
- Porcentaje de espacios libres
- Velocidad de hidratado
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Para lograr estos objetivos, se empleó madera de las especies:
Gyrocarpus americanus
Swietenia macrophylla
Enterolobium cyclocarpum
Cedrela odorata
Juglans pyriformis
Lysiloma spp.
Swietenia humillis
Caesalpinia platyloba
Celeanodendron mexicanum
Quercus spp.
Albizia plurijuga
Platymiscium dimorphandrum
Los criterios de clasificación aquí propuestos comprenden dos enfoques. El primero
hace uso de los criterios de clasificación propuestos por Sotomayor-Castellanos y
Ramírez-Pérez (2013) basados en la distribución estadística de resultados
experimentales y sus medidas centrales y de dispersión. El segundo es una
propuesta original de esta investigación. Este enfoque se refiere al agrupamiento de
especies de acuerdo a magnitudes similares de sus características físicas
contextualizadas en correlaciones estadísticas entre variables dependientes e
independientes. La combinación de adjetivos con carácter de axiomas, resulta en
una calificación de las características de baja hasta alta y en guías de clasificación
que recomiendan en diferentes medidas la aplicación de estos criterios de selección.
La investigación se limita a proporcionar criterios para la selección de las especies
estudiadas para su uso como material de ingeniería en la industria de la
construcción. Particularmente como elementos de resistencia y función estructural.
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Materiales y métodos
Se recolectaron en la región de Arteaga, Michoacán piezas de madera aserrada de
11 especies angiospermas listadas en la Tabla 1. Además, se recolectaron en el
Estado de Quintana Roo, piezas de madera del género Lysiloma spp. El género y
especie de las maderas fueron establecidos en el lugar de acopio y su identificación
botánica se realizó en los Laboratorios de la Facultad de Ingeniería en Tecnología
de la Madera. Las piezas de madera aserrada se almacenaron durante 36 meses
en una cámara de acondicionamiento a una temperatura de 20 °C y con una
humedad relativa del aire de 65 %. Antes de proceder a las pruebas físicas, las
piezas de madera fueron recortadas en probetas conteniendo únicamente madera
de duramen. Las dimensiones iniciales de la sección transversal de las probetas
fueron de 20 mm x 20 mm. La longitud en la dirección longitudinal fue en promedio
de 60 mm.
El proceso experimental consistió en el procedimiento siguiente:
1. Inicialmente, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas.
2. Posteriormente, las probetas se depositaron en agua a temperatura de 20 °C
durante 72 horas.
3. A continuación, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas en la
condición hidratada.
4. En seguida, las probetas se deshidrataron en un horno con una temperatura de
103 °C durante 48 horas.
5. Finalmente, se pesaron y se midieron las dimensiones de las probetas en la
condición deshidratada.
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Durante las pruebas de higroscopia, se observó que la orientación de las probetas
no estaba alineada con las direcciones radial, tangencial y longitudinal de la madera.
Por este motivo, las mediciones de sus aristas se emplearon únicamente para
calcular los volúmenes correspondientes a los diferentes contenidos de humedad
de la madera y para determinar su densidad básica y su velocidad de hidratado. El
análisis estadístico de los resultados se realizó con el programa Statgraphics®.
La higrocontracción tangencial se estimó con la ecuación (Sotomayor-Castellanos
y Ramírez-Pérez, 2013):
βT = 10.8 ρ
00.44 (1)
Donde:
βT = Higrocontracción tangencial (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
La higrocontracción radial se estimó con la ecuación (Sotomayor-Castellanos y
Ramírez-Pérez, 2013):
βR = 5.9 ρ
00.44 (2)
Donde:
βR = Higrocontracción radial (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
En las fórmulas (1) y (2), la densidad básica se define como (Fuentes-Salinas,
2000):
ρ0=
Wseco
Vsat
(3)
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Donde:
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
Wseco = Peso en estado seco (m3)
Vsat = Volumen en estado saturado (m3)
La higrocontracción volumétrica se calculó con la fórmula (Fuentes-Talavera et al.,
2002):
βV = (
Vsat - Vseco
Vsat
) *100 (4)
Donde:
βV = Higrocontracción volumétrica (%)
Vsat = Volumen en estado saturado (m3)
Vseco = Volumen en estado seco (m3)
El punto de saturación de la fibra se calculó con fórmula (Fuentes-Salinas, 2000):
PSF = β
V
0.9 x ρ0
(5)
Donde:
PSF = Punto de saturación de la fibra (%)
βV = Higrocontracción volumétrica (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El coeficiente de higrocontracción tangencial se calculó con la fórmula (Sotomayor-
Castellanos et al., 2010):
λT = β
T
PSF (6)
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Donde:
λT = Coeficiente de higrocontracción tangencial (%/%)
βT = Higrocontracción tangencial (%)
PSF = Punto de saturación de la fibra (%)
El coeficiente de higrocontracción radial se calculó con la fórmula (Sotomayor-
Castellanos et al., 2010):
λR = β
R
PSF (7)
Donde:
λR = Coeficiente de higrocontracción radial (%/%)
βR = Higrocontracción radial (%)
PSF = Punto de saturación de la fibra (%)
La relación de anisotropía se calculó con la fórmula (Fuentes-Talavera et al., 2002):
βT
βR
⁄ = β
T
βR
(8)
Donde:
βT/βR = Relación de anisotropía (%/%)
βT = Higrocontracción tangencial (%)
βR = Higrocontracción radial (%)
El coeficiente de higrocontracción volumétrica se calculó con la fórmula (Sotomayor-
Castellanos et al., 2010):
λV = β
V
PSF (9)
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Donde:
λV = Coeficiente de higrocontracción volumétrica (%/%)
βV = Higrocontracción volumétrica (%)
PSF = Punto de saturación de la fibra (%)
El máximo contenido de humedad se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y
Fuentes-Salinas, 2003):
MCH = ( 1.53 - ρ
0
1.53 * ρ0
) x 100 (10)
Donde:
MCH = Máximo contenido de humedad (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El porcentaje de pared celular se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y Fuentes-
Salinas, 2003):
PC = ( ρ
0
1.53 ) x 100 (11)
Donde:
PC = Porcentaje de pared celular (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El porcentaje de espacios vacíos se calculó con la fórmula (Tamarit-Urias y Fuentes-
Salinas, 2003):
EV = (1 - ρ
0
1.53 ) x 100 (12)
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Donde:
EV = Porcentaje de espacios vacíos (%)
ρ0 = Densidad básica (kg/m3)
El contenido de humedad de la madera se calculó con la fórmula (Sotomayor-
Castellanos y Ramírez-Pérez, 2013):
CH = ( W1- W2
W2
) x 100 (13)
Donde:
CH = Contenido de humedad (%)
W1 = Peso de la probeta en estado saturado (kg)
W2 = Peso de la probeta en estado anhidro (kg)
La velocidad de hidratado se calculó con la fórmula:
vh = CHini - CHmax
thid
(14)
Donde:
vh = Velocidad de hidratado (% / h)
CHini = Contenido de humedad inicial (%)
CHmax = Contenido de humedad máximo después de 72 horas de hidratado (%)
thid = Tiempo de hidratado (h)
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Resultados y análisis
La Tabla 1 presenta los resultados experimentales de la densidad, de la
higrocontracción volumétrica y del coeficiente de higrocontracción volumétrica.
Además, ahí se presentan los parámetros estimados empleando las fórmulas
propuestas en la sección de metodología.
Los valores promedio de los parámetros calculados son del mismo orden de
magnitud que los de los datos para maderas mexicanas presentados anteriormente
por Fuentes-Salinas (2000), Bárcenas-Pazos y Dávalos-Sotelo (2001), Tamarit-
Urias y Fuentes-Salinas (2003), De la Paz Pérez-Olvera y Dávalos-Sotelo (2008),
Silva-Guzmán (2008), Silva-Guzmán et al. (2010) y Sotomayor-Castellanos y
Ramírez-Pérez (2013).
La relación de anisotropía βT/βR fue de 1.83 para todas las especies y califica como
media. Este resultado es común a todas las maderas por el hecho de que estos
parámetros fueron calculados con las ecuaciones (1) y (2), las cuales son
proporcionales entre sí.
Los coeficientes de variación de los parámetros de las doce especies son
proporcionales a los coeficientes propuestos para la densidad y las características
higroscópicas de maderas mexicanas propuestas por Sotomayor-Castellanos y
Ramírez-Pérez (2013).
Un análisis de regresión entre diferentes parámetros observados aportó los
siguientes resultados:
- Las contracciones tangencial y radial no correlacionan con la densidad básica.
- El punto de saturación de la fibra disminuye a medida que la densidad aumenta
linealmente con un coeficiente de determinación (R2) de 0.45.
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- El máximo contenido de humedad y los espacios vacíos disminuyeron cuando la
densidad básica aumentó en una correlación exponencial con un coeficiente de
determinación (R2) de 0.99.
El análisis subsiguiente comprende dos enfoques. El primero hace uso de los
criterios de clasificación propuestos por (Sotomayor-Castellanos y Ramírez-Pérez,
2013). El segundo por el criterio de agrupamiento de cuadrantes, propuesto en esta
investigación.
La Tabla 2 presenta la clasificación para cada uno de los parámetros de las doce
especies estudiadas. Esta categorización está fundamentada en los criterios de
valoración para características higroscópicas propuestos por Sotomayor-
Castellanos y Ramírez-Pérez (2013). Los valores de los intervalos de los criterios
de clasificación se presentan en la Tabla 3.
Criterio de agrupamiento de especies
La Figura 2 presenta los resultados de la contracción volumétrica de esta
investigación y del punto de saturación de la fibra, ambos con su localización relativa
respecto a datos de Bárcenas-Pazos (1985) y Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas
(2003). Los resultados están ordenados en función de la densidad de la madera.
Dado que existen valores iguales o similares, aparentemente en el gráfico no se
muestran todos los valores y/o puntos correspondientes a los autores referidos. Este
efecto de escala aplica de igual forma para la Figura 3. Los puntos señalados como
resultados de esta investigación representan los valores promedio para cada una
de las doce especies aquí estudiadas.
Con el objeto de simplificar la consulta de la Figura 2, solo se presenta al primer
autor y el año de publicación del documento consultado. La información completa
de la citas se puede encontrar en la sección de referencias.
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Tabla 1. Características físicas.
Nombre botánico (Nombre común) Número de probetas
ρ0 PSF βT λT βR λR βV λV MCH PC EV
kg/m3 % % %/% % %/% % %/% % & %
Gyrocarpus americanus (Rabalero) 41
x̅ 350 27.63 6.80 0.25 3.71 0.14 8.68 0.31 221 22.9 77.1
σ 22 4.41 0.19 0.04 0.10 0.02 1.31 0.02 18 1.47 1.47
CV 0.06 0.16 0.03 0.16 0.03 0.16 0.15 0.06 0.08 0.06 0.02
Swietenia macrophylla (Caoba) 16
x̅ 422 24.87 7.39 0.30 4.04 0.17 9.44 0.38 172 27.6 72.4
σ 17 3.94 0.13 0.05 0.07 0.03 1.50 0.02 9.68 1.10 1.10
CV 0.04 0.16 0.02 0.17 0.02 0.17 0.16 0.04 0.06 0.04 0.02
Enterolobium cyclocarpum (Parota) 40
x̅ 469 16.38 7.74 0.50 4.23 0.27 6.92 0.42 148 30.7 69.3
σ 19 3.46 0.14 0.15 0.08 0.08 1.47 0.02 8.78 1.26 1.26
CV 0.04 0.21 0.02 0.30 0.02 0.30 0.21 0.04 0.06 0.04 0.02
Cedrela odorata (Cedro rojo) 40
x̅ 472 22.96 7.75 0.35 4.23 0.19 9.63 0.42 148 30.8 69.2
σ 43 4.26 0.31 0.08 0.17 0.04 1.33 0.04 19.61 2.83 2.83
CV 0.09 0.19 0.04 0.22 0.04 0.22 0.14 0.09 0.13 0.09 0.04
Juglans pyriformis (Nogal) 35
x̅ 546 19.87 8.27 0.48 4.52 0.26 9.71 0.49 118 35.7 64.3
σ 35 4.66 0.24 0.12 0.13 0.07 2.10 0.03 12.60 2.30 2.30
CV 0.06 0.23 0.03 0.25 0.03 0.25 0.22 0.06 0.11 0.06 0.04
Lysiloma spp. (Tzalam) 38
x̅ 568 23.28 8.38 0.38 4.58 0.21 11.48 0.51 119 37.1 62.9
σ 112 5.08 0.75 0.11 0.41 0.06 1.53 0.10 41.56 7.29 7.29
CV 0.20 0.22 0.09 0.29 0.09 0.29 0.13 0.20 0.35 0.20 0.12
Swietenia humillis (Cóbano) 16
x̅ 639 11.91 8.87 0.77 4.84 0.42 6.85 0.58 91 41.8 58.2
σ 16 2.12 0.10 0.14 0.05 0.07 1.20 0.01 4.06 1.07 1.07
CV 0.03 0.18 0.01 0.18 0.01 0.18 0.17 0.03 0.04 0.03 0.02
Caesalpinia platyloba (Chilillo) 19
x̅ 683 20.60 9.13 0.45 4.99 0.24 12.7 0.61 8 44.7 55.3
σ 34 1.87 0.20 0.05 0.11 0.03 0.82 0.03 7.63 2.24 2.24
CV 0.05 0.09 0.02 0.11 0.02 0.11 0.06 0.05 0.09 0.05 0.04
Celeanodendron mexicanum (Guayabillo) 16
x̅ 692 17.81 9.18 0.58 5.02 0.32 11.00 0.62 80 45.2 54.8
σ 48 4.60 0.27 0.27 0.15 0.15 2.66 0.04 9.34 3.11 3.11
CV 0.07 0.26 0.03 0.46 0.03 0.46 0.24 0.07 0.12 0.07 0.06
Quercus spp. (Encino) 32
x̅ 702 23.71 9.24 0.40 5.05 0.22 14.91 0.63 78 45.8 54.2
σ 48 3.29 0.28 0.06 0.15 0.03 1.87 0.04 9.89 3.15 3.15
CV 0.07 0.14 0.03 0.15 0.03 0.15 0.13 0.07 0.13 0.07 0.06
Albizia plurijuga (Parotilla) 16
x̅ 773 13.93 9.64 0.72 5.27 0.39 9.67 0.70 64 50.5 49.5
σ 26 2.68 0.14 0.16 0.08 0.09 1.77 0.02 4.33 1.71 1.71
CV 0.03 0.19 0.01 0.22 0.01 0.22 0.18 0.03 0.07 0.03 0.03
Platymiscium dimorphandrum (Hormiguillo) 23
x̅ 808 10.81 9.83 0.97 5.37 0.53 7.80 0.73 59 52.8 47.2
σ 52 2.85 0.28 0.25 0.15 0.14 1.79 0.05 7.86 3.38 3.38
CV 0.06 0.26 0.03 0.26 0.03 0.26 0.23 0.06 0.13 0.06 0.07
ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV: Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de
pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres; x̅: Media aritmética; σ: Desviación estándar; CV: Coeficiente de variación.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
19
Tabla 2. Clasificación de la densidad y características higroscópicas de maderas
mexicanas de acuerdo a los criterios propuestos por Sotomayor-Castellanos y
Ramírez-Pérez (2013).
Nombre botánico ρ0 PSF βT λT βR λR βV λV MCH PC EV
Gyrocarpus americanus MB ME ME MB BA BA MB MB MA MB MA
Swietenia macrophylla MB AL ME ME BA BA MB BA MA MB MA
Enterolobium cyclocarpum BA MB ME MA ME AL MB ME AL BA AL
Cedrela odorata BA ME ME ME ME ME MB ME AL BA AL
Juglans pyriformis ME MB ME MA ME AL MB ME ME ME ME
Lysiloma spp. ME ME ME AL ME ME BA ME ME ME ME
Swietenia humillis ME MB ME MA ME MA MB AL ME ME ME
Caesalpinia platyloba ME BA ME MA ME ME ME AL BA ME ME
Celeanodendron mexicanum AL MB AL MA ME MA BA AL BA AL BA
Quercus spp. AL ME AL AL ME ME AL MA BA AL BA
Albizia plurijuga AL MB AL MA ME MA MB MA BA AL BA
Platymiscium dimorphandrum MA MB AL MA ME MA MB MA MB MA MB
MB: Muy bajo; BA: Bajo; ME: Medio; AL: Alto; MA: Muy alto; ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV: Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres.
Tabla 3. Valores de los intervalos de los criterios de clasificación para la densidad y
las características higroscópicas de maderas mexicanas (Sotomayor-Castellanos y
Ramírez-Pérez, 2013).
Intervalo Límites ρ0 PSF βT λT βR λR βT/βR βV λV MCH PC EV
Muy bajo Máximo 428 20.15 5.44 0.22 3.35 0.13 1.40 10.05 0.33 59.36 27.94 49.02
Bajo Inferior 428 20.15 5.44 0.22 3.35 0.13 1.40 10.05 0.33 59.36 27.94 49.02
Superior 516 22.79 6.69 0.27 4.12 0.17 1.66 11.66 0.41 87.40 33.70 54.78
Medio Inferior 516 22.79 6.69 0.27 4.12 0.17 1.66 11.66 0.41 87.40 33.70 54.78
Superior 692 28.06 9.17 0.37 5.67 0.25 2.19 14.87 0.55 143.48 45.22 66.30
Alto Inferior 692 28.06 9.17 0.37 5.67 0.25 2.19 14.87 0.55 143.48 45.22 66.30
Superior 780 30.70 10.41 0.43 6.44 0.29 2.46 16.48 0.62 171.52 50.98 72.06
Muy alto Mínimo 780 30.70 10.41 0.43 6.44 0.29 2.46 16.48 0.62 171.52 50.98 72.06
ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra; βT: Higrocontracción tangencial; λT: Coeficiente de higrocontracción tangencial; βR: Higrocontracción radial; λR: Coeficiente de higrocontracción radial; βV: Higrocontracción volumétrica; λV: Coeficiente de higrocontracción volumétrica; MCH: Máximo contenido de humedad; PC: Porcentaje de pared celular; EV: Porcentaje de espacios libres.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
20
Siguiendo la propuesta metodológica de Ashby (1999), en la Figura 2 se observan
dos áreas de agrupamiento señaladas por líneas discontinuas. Las mayores o
globales, las cuales circunscriben a los valores de Bárcenas-Pazos (1985) y de
Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003), y las interiores o delimitadas, que agrupan
a los valores correspondientes a esta investigación.
No obstante que la distribución de la densidad básica de las especies en estudio se
extiende desde 300 kg/m3 hasta 800 kg/m3, los valores correspondientes de la
contracción volumétrica y del punto de saturación de la fibra, se sitúan en la parte
inferior de las áreas mayores correspondientes a los datos bibliográficos.
Este enfoque gráfico de comparación de resultados, tiene la ventaja de ser práctico
y de mostrar que los resultados obtenidos son comparables con los de trabajos
anteriores. Sin embargo, no orientan al Diseñador y al Ingeniero con información
más precisa y/o con criterios para una correcta selección de una especie o grupo
de maderas para su empleo en la concepción de productos utilitarios y de
estructuras de madera. En el mismo contexto, para fines de agrupación en la
transformación, la comercialización y el uso de maderas con características
equivalentes, es necesario proporcionar información complementaria.
La Figura 3 propone criterios de clasificación basados en la correlación entre
parámetros dependientes y complementados por la segmentación de la distribución
estadística de los valores de la variable independiente, en este caso la densidad.
El dominio de la variable dependiente, tabulada en el eje de las abscisas, está
dividido a partir de la media aritmética, calculada del total de los valores de
referencia colectados en la etapa experimental, y segmentada por la desviación
estándar correspondiente. El dominio correspondiente a las variables dependientes
tabuladas en el eje de las coordenadas, en este caso la contracción volumétrica y
el punto de saturación de la fibra, está segmentado por la correlación, en este caso
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
21
lineal, entre estas variables y la dependiente. De tal suerte, que con la combinación
de segmentaciones se forman cuatro cuadrantes.
Figura 2. Resultados de esta investigación de la contracción volumétrica (βv) y del
punto de saturación de la fibra (PSF) en función de la densidad básica (ρ0) y su
localización respecto a datos de Bárcenas-Pazos (1985) y Tamarit-Urias y Fuentes-
Salinas (2003).
0
5
10
15
20
25
0 200 400 600 800 1,000 1,200
βV
(%)
ρ0 (kg/m3)
Bárcenas (1985)
Tamarit (2003)
Esta investigación (2014)
0
10
20
30
40
50
0 200 400 600 800 1,000 1,200
PS
F
(%)
ρ0 (kg/m3)
Bárcenas (1985)
Tamarit (2003)
Esta investigación (2014)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
22
Los valores experimentales se pueden entonces agrupar según su posición en
alguno de estos cuadrantes. La línea divisoria correspondiente a la media aritmética
(x̅) de la densidad básica (ρ0), las líneas asociadas a más y a menos una vez la
desviación estándar (+σ y –σ), las correlaciones lineales, así como las áreas de
agrupamiento son presentadas en la Figura 3. En este caso, los valores con los
cuales se calcularon los estadígrafos referidos, corresponden a datos de las 332
probetas de las doce especies estudiadas, los cuales conforman una base de datos
experimentales derivada de esta investigación.
Una vez situadas las maderas en el segmento correspondiente, a cada especie o
grupo de maderas se les asigna una clasificación. Por ejemplo, la Tabla 4 propone
los criterios de selección Densidad-Higrocontracción volumétrica para la
elaboración y empleo de elementos estructurales para edificaciones de madera.
Como resultado, la columna Especie agrupa las maderas con clasificaciones que
van desde un empleo no recomendable, hasta óptimo.
Las reglas que explican los criterios en la Tabla 4 son las siguientes: la densidad se
considera alta si es mayor que el valor de la media aritmética. La higrocontracción
clasifica como alta para valores mayores que los estimados por la ecuación de
regresión. Si se considera que la densidad de la madera es un indicador de las
propiedades de elasticidad y de resistencia mecánica (Bodig y Jayne, 1982), la
mejor (óptima) relación higrocontracción-densidad se sitúa en el cuadrante 4: menor
higrocontracción y mayor densidad.
Los índices anteriores, se proponen para el caso de un destino industrial
especializado de una especie de madera, como la elaboración de componentes
para estructuras de madera, se prefiere una alta densidad combinada con una
higrocontracción mínima.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
23
Figura 3. Relaciones contracción volumétrica (βV)-densidad básica (ρ0): βV = 0.0055
ρ0 + 6.7 y punto de saturación de la fibra (PSF) - densidad básica (ρ0): PSF = -0.02
ρ0 + 34.2 y áreas de agrupamiento. Los puntos negros corresponden a 332 probetas
ensayadas en la investigación. Como existen valores iguales o similares, por un
efecto de escala, aparentemente en el gráfico no se muestran todos los valores. x̅ :
Media aritmética, σ: Desviación estándar.
0
5
10
15
20
300 400 500 600 700 800 900
βV
(%)
ρ (kg/m3)
332 probetas de 12especies
Promedios por especie
Cuadrante 2
Cuadrante 3 Cuadrante 4
βV = f (ρ0)
x̅
+σ-σ
0
10
20
30
40
300 400 500 600 700 800 900
PS
F
(%)
ρ (kg/m3)
332 probetas de 12especies
Promedios por especie
Cuadrante 2
Cuadrante 4
x̅
-σ +σ
Cuadrante 1
Cuadrante 3
PSF = f (ρ0)
Cuadrante 1
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
24
Tabla 4. Criterios de selección Densidad (ρ0) - Higrocontracción volumétrica (βV)
para el empleo de una especie de madera en elementos estructurales en la industria
de la edificación.
Parámetros de criterio Cuadrante Clasificación
Especie ρ0 βV
Baja resistencia mecánica
Alta variación dimensional
Cuadrante 1 No recomendable
Gyrocarpus americanus Swietenia macrophylla Cedrela odorata Juglans pyriformis Lysiloma spp.
Alta resistencia mecánica
Alta variación dimensional
Cuadrante 2 Aceptable
Caesalpinia platyloba Celeanodendron mexicanum Quercus spp.
Baja resistencia mecánica
Baja variación dimensional
Cuadrante 3 Recomendable
Enterolobium cyclocarpum
Alta resistencia mecánica
Baja variación dimensional
Cuadrante 4 Óptima
Swietenia humillis Albizia plurijuga Platymiscium dimorphandrum
ρ0: Densidad básica; βV: Contracción volumétrica.
La Tabla 5 propone los criterios de selección Densidad-Punto de saturación de la
fibra para la elaboración y empleo de elementos estructurales para edificaciones de
madera. Al igual que en la Tabla 4, la columna Especie agrupa las maderas con
clasificaciones que van desde no recomendable, hasta óptima.
Las reglas que explican los criterios en la Tabla 5 son las siguientes: la densidad se
considera alta si es mayor que el valor de la media aritmética. El punto de saturación
de la fibra clasifica como alto para valores mayores que los estimados por la
ecuación de regresión. Si se considera que el punto de saturación de la fibra es un
indicador de la dificultad para tratamientos de secado y de preservación, la mejor
(óptima) relación punto de saturación de la fibra-densidad se sitúa en el cuadrante
4: menor higrocontracción y mayor densidad.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
25
En congruencia de los criterios anteriores de la Tabla 4, las reglas anteriores, se
proponen para el caso de un destino industrial especializado de una especie de
madera, como la elaboración de componentes para estructuras de madera, donde
se prefiere una alta densidad combinada con un bajo punto de saturación de la fibra.
Tabla 5. Criterios de selección Densidad (ρ0) - Punto de saturación de la fibra (PSF)
para el empleo de una especie de madera en elementos estructurales en la industria
de la edificación.
Parámetro de criterio Cuadrante Clasificación
Especie ρ0 PSF
Baja resistencia mecánica
Alto punto de saturación de la fibra
Cuadrante 1 No recomendable
Gyrocarpus americanus Swietenia macrophylla Cedrela odorata Lysiloma spp.
Alta resistencia mecánica
Alto punto de saturación de la fibra
Cuadrante 2 Aceptable
Quercus spp. Caesalpinia platyloba Celeanodendron mexicanum
Baja resistencia mecánica
Bajo punto de saturación de la fibra
Cuadrante 3 Recomendable
Juglans pyriformis Enterolobium cyclocarpum
Alta resistencia mecánica
Bajo punto de saturación de la fibra
Cuadrante 4 Óptimo
Albizia plurijuga Swietenia humillis Platymiscium dimorphandrum
ρ0: Densidad básica; PSF: Punto de saturación de la fibra.
Si se hace abstracción de los aspectos económicos y de preferencias estéticas del
proyecto de diseño y de ingeniería, el Diseñador y/o el Ingeniero necesitan tomar
en cuenta las propiedades y/o aptitudes para el maquinado, estabilizado y
protección de una especie determinada. De tal forma, que las tablas 4 y 5 pueden
ser diferentes para otras características y especies y necesitan complementarse con
los criterios de clasificación de la resistencia mecánica de la madera.
Es importante señalar que, entre las características higroscópicas de la madera, los
coeficientes higroscópicos y la relación de anisotropía son considerados como los
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
26
más importantes para la valoración de una especie, de acuerdo con Bárcenas-
Pazos (1985) y Silva-Guzmán et al. (2010).
Velocidad de hidratado
La Figura 4, esquematiza la velocidad de hidratado para cada una de las especies
estudiadas. Un análisis de correlación de tipo potencia demostró que la velocidad
de hidratado de la madera disminuye a medida que su densidad aumenta, con un
coeficiente de determinación (R2) de 0.47 para un nivel de confianza del 95 %. En
efecto, una especie más pesada requiere más tiempo para absorber humedad.
Un análisis de regresión entre las velocidades de hidratado y de deshidratado en
función de la densidad básica aportó los siguientes resultados: La velocidad de
hidratado disminuye cuando la densidad aumenta con una correlación exponencial
con un coeficiente de determinación (R2) de 0.49 para un 95 % de confianza.
Igualmente, la velocidad de deshidratado de la madera disminuye con una
correlación exponencial con un coeficiente de determinación de 0.53
proporcionalmente al aumento de la densidad.
Figura 4. Velocidad de hidratado (vh) para las 12 especies estudiadas.
0.20
0.22
0.35
0.38
0.42
0.46
0.47
0.49
0.49
0.51
0.72
1.03
Switenia humillis
Platymiscium dimorphandrum
Albizia plurijuga
Celeanodendron mexicanum
Swietenia macrophylla
Juglans pyriformis
Cedrela odorata
Lysiloma spp
Quercus obtusata
Quercus spp
Enterolobium cyclocarpum
Gyrocarpus americanus
vh (% / h)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
27
La Figura 5a presenta la tendencia de la velocidad de hidratado en función del
coeficiente de higrocontracción volumétrica. La correlación es de tipo potencia con
un coeficiente de determinación bajo, aún para relaciones entre parámetros físicos
de la madera, en las cuales los coeficientes de determinación considerados
deseables para fines de predicción, se sitúan alrededor de 0.7 de acuerdo con Bodig
y Jayne (1982). Sin embargo, esta correspondencia permite observar que a mayor
capacidad para absorber agua, la madera requiere mayor tiempo para hidratarse,
pero esta velocidad es específica para cada especie.
Caso excepcional es Gyrocarpus americanus, especie que presenta una velocidad
de hidratado comparativamente mayor que las especies estudiadas. De acuerdo a
los criterios de selección en función de la densidad, la higrocontracción volumétrica
y el punto de saturación de la fibra, esta madera clasifica como no recomendable
(Tablas 4 y 5). Es decir, una madera que se hidrata rápidamente puede denotar una
densidad baja, un alto punto de saturación de la fibra y una alta variación
dimensional. De aquí que se puede intuir que si una especie tiene alta velocidad de
hidratado, presentará dificultades una vez en condiciones de servicio, en el caso de
estudio, para su correcto funcionamiento como elemento estructural.
Por su parte, Albizia plurijuga, Swietenia humillis y Platymiscium dimorphandrum se
sitúan en una posición opuesta de Gyrocarpus americanus, con los valores más
bajos de velocidad de hidratado, resultado que se relaciona con altas densidades,
baja variación dimensional y bajo punto de saturación de la fibra (Tablas 4 y 5),
resultado que coincide con el hecho de que este grupo de maderas se sitúa en los
cuadrantes 4 de las Figuras 3a y 3b, y clasifican como óptimas según las Tablas 4
y 5. En decir, una magnitud baja del parámetro vh, sugiere especies con buena
resistencia mecánica y buena estabilidad dimensional, en este caso, propiedades
deseables para una especie de madera en usos como elementos estructurales.
Con respecto a la velocidad de hidratado como variable dependiente del punto de
saturación de la fibra, la Figura 5b presenta la correlación de tipo potencia con un
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
28
coeficiente de determinación R2 = 0.56 para un 95 % de confianza. En este caso, la
correspondencia entre estas variables sugiere que a mayor PSF, la velocidad vh
aumenta. En efecto, un PSF mayor corresponde a un menor porcentaje de pared
celular (Figura 6a) y en consecuencia, a un mayor porcentaje de espacios vacíos
en la madera (Figura 6b).
Figura 5. Velocidad de hidratado de la madera en función de: a) Coeficiente de
higrocontracción volumétrica (λV); y b) Punto de saturación de la fibra (PSF). R2:
Coeficiente de determinación para un 95 % de confianza.
Gyrocarpus americanusvh = 0.1977 λV -1.2
R² = 0.49
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
vh
(% / h
)
λβV (%/%)
Swietenia humillisAlbizia plurijugaPlatymiscium dimorphandrum
a)
Gyrocarpus americanusvh = 0.0171 PSF 1.11
R² = 0.56
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 5 10 15 20 25 30
vh
(% / h
)
PSF (%)
Swietenia humillisAlbizia plurijugaPlatymiscium dimorphandrum
b)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
29
Figura 6. a) Porcentaje de pared celular (PC) en función del punto de saturación de
la fibra (PSF). b) Porcentaje de espacios vacíos (EV) en función del contenido del
punto de saturación de la fibra (PSF). R2: Coeficiente de determinación para un 95
% de confianza.
De tal forma que el parámetro vh en función de λv y PSF, tiene la misma tendencia
que PC y EV en función de PSF. Gyrocarpus americanus se distingue y Albizia
plurijuga, Swietenia humillis y Platymiscium dimorphandrum se agrupan.
Gyrocarpus americanus
PC = 191.6 PSF -0.56
R² = 0.42
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20 25 30
PC
(%
)
PSF (%)
Swietenia humillisAlbizia plurijugaPlatymiscium dimorphandrum
a)
Gyrocarpus americanusEV = 22.4 PSF 0.34
R² = 0.44
0
20
40
60
80
100
0 5 10 15 20 25 30
EV
(%
)
PSF (%)
Swietenia humillisAlbizia plurijugaPlatymiscium dimorphandrum
b)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
30
En efecto, a mayor magnitud de los espacios vacíos (EV), mayor será la porosidad
del material. En consecuencia, menor velocidad de hidratado y en consecuencia
mayor dificultad para tratamientos de secado y de impregnación con substancias de
protección.
El volumen de espacio vacío interno por unidad de volumen externo que caracteriza
a cada especie de madera, predice el volumen máximo de solución preservante que
es capaz de absorber. Conociendo esto, se puede variar la concentración de la
solución preservante para que se logren los niveles de retención óptimos, siguiendo
a Tamarit-Urias y Fuentes-Salinas (2003).
La velocidad de hidratado es un parámetro que informa acerca de la permeabilidad
de una madera. Una velocidad de hidratado alta sugiere facilidad para procesos de
impregnado en medios y/o con procesos acuosos. Sin embargo, para definir mejor
esta característica con su impacto en procesos industriales de estabilización
higroscópica, es necesario considerar el fenómeno de absorción en los diferentes
escalas jerárquicas de su estructura anatómica y los fenómenos de transporte que
afectan la velocidad de hidratado de acuerdo con Eitelberger, Svensson y Hofstetter
(2011).
La Figura 7a presenta la relación de la velocidad de hidratado en función del
porcentaje del máximo contenido de humedad. En ella se puede observar entre
estas dos variables una correlación con un coeficiente de determinación bajo pero
que indica que cuando el máximo contenido de humedad de una madera aumenta,
su velocidad de hidratado se incrementa. Por su parte, Gyrocarpus americanus se
distingue del grupo de especies estudiadas. Un análisis de correlación múltiple
resultó en un aumento del coeficiente de determinación obtenido de la correlación
simple entre vh y MCH (R2 = 0.48, Figura 7a) a R2 = 0.63 para un nivel de confianza
del 95 %, con el modelo: Vh = -0.0244 + 0.01 PSF + 0.0027 MCH. En efecto, si se
combinan los resultados presentados en la Figura 5b, se deduce que en una madera
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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que puede contener más agua y que tiene un punto de saturación alto, la velocidad
para absorber humedad será mayor.
Figura 7. Velocidad de hidratado de la madera en función de: a) Máximo contenido
de humedad (MCH); y b) Porcentaje de pared celular (PC) y porcentaje de espacios
libres (EV). R2: Coeficiente de determinación para un 95 % de confianza.
La Figura 7b presenta la relación de la velocidad de hidratado en función del
porcentaje de pared celular y del porcentaje de espacios libres. Las tendencias
Gyrocarpus americanusvh = 0.0133 MCH 0.75
R² = 0.48
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 50 100 150 200 250
vh
(% / h
)
MCH (%)a)
Gyrocarpus americanus
vh = 34.2 PC -1.2
R² = 0.49vh = 0.0001 EV 1.95
R² = 0.46
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 20 40 60 80 100
vh
(% / h
)
PC (%), EV (%)
PC
EV
b)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
32
representadas por las correlaciones entre estas variables convergen hacia valores
de la velocidad de hidratado entre 0.2 a 0.4.
Combinando los resultados presentados en la Tabla 1 y los de la Figura 7b, se
deduce que cuando la densidad de las especies estudiadas es superior a 600 kg/m3
y presentan velocidades de hidratado bajas, el punto de saturación de la fibra tiende
a valores mínimos y los porcentajes de pared celular y de espacios libres fluctúan
alrededor del 50 %.
Conclusiones
Se determinaron la densidad y las características higroscópicas de doce maderas
mexicanas y se plantearon criterios de clasificación para la densidad y para las
características higroscópicas.
Se propuso un enfoque racional basado, en este caso de estudio, en las
propiedades físicas, para la apreciación de una especie de madera en diseño e
ingeniería.
Los criterios estadísticos y de agrupación de especies propuestos fueron de utilidad
para clasificar la densidad y las características higroscópicas de 12 especies de
madera.
Agradecimientos
A los alumnos de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, de la
UMSNH: Emerson Cárdenas Casas y Juan José Hernández Solís por recolectar y
donar el material experimental, y a Luis Fernando Lechuga Bistre por colaborar en
la preparación de las probetas. La investigación estuvo patrocinada por la
Coordinación de la Investigación Científica, de la Universidad Michoacana de San
Nicolás de Hidalgo.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Referencias
Ashby, M.F. 1999. Materials selection in mechanical design. Second Edition.
Butterworth-Heinemann. England. 624 pp.
Ashby, M.F.; Miller, A.; Rutter, F.; Seymour, C.; Wegst, U.G.K. 2009. The CES Eco
Selector. Granta Design Ltd. 23 pp. Consultado en Abril 2014. Disponible en:
http://www.grantadesign.com/.
Bárcenas-Pazos, G.; Dávalos-Sotelo, R. 2001. Shrinkage Values for 106 Mexican
Woods. Journal of Tropical Forest Products. 7(2):126-135.
Bárcenas-Pazos, G.M. 1985. Recomendaciones para el uso de 80 maderas de
acuerdo con su estabilidad dimensional. Nota Técnica No. 11. LACITEMA-INIREB.
Xalapa, Ver. 18 p.
Bodig, J.; Jayne, B.A. 1982. Mechanics of Wood Composites. Van Nostrand
Reinhold Company. USA. 711 p.
De la Paz Pérez-Olvera, C.; Dávalos-Sotelo, R. 2008. Algunas características
anatómicas y tecnológicas de 24 especies de Quercus (encinos) de México. Madera
y Bosques. 14(3):43-80.
Eitelberger, J.; Svensson, S.; Hofstetter, K. 2011. Theory of transport processes in
wood below the fiber saturation point. Physical background on the microscale and
its macroscopic description. Holzforschung. 65(3): 337-342.
Fuentes-Salinas, M. 2000. Estimación del Punto de Saturación de la Fibra (PSF) de
las maderas. Revista Chapingo. Serie Ciencias Forestales y del Ambiente. 6(1):79-
81.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Fuentes-Talavera, F.J.; Silva-Guzmán, J.A.; Lomelí-Ramírez, M.G.; Richter, H.G.;
Sanjuán-Dueñas, R. 2002. Comportamiento higroscópico de la madera de Persea
americana var. guatemalensis Mill (Hass). Revista Chapingo Serie Ciencias
Forestales y del Ambiente. 8(1):49-56.
Mackerle, J. 2005. Finite element analyses in wood research: a bibliography. Wood
Science and Technology. 39:579-600.
Muszyński, L. 2006. Empirical Data for Modeling: Methodological Aspects in
Experimentation Involving Hygromechanical Characteristics of Wood. Drying
Technology. 24:1115-1120.
Silva-Guzmán, J.A. 2008. Fichas técnicas sobre características tecnológicas y usos
de maderas comercializadas en México. Tomo I. CONAFOR, México. 61 p.
Silva-Guzmán, J.A.; Fuentes talavera, F.J.; Rodríguez Anda R.; Torres Andrade,
P.A.; Lomelí Ramírez, M.A.; Ramos Quirarte, J.; Waitkus, C.; Richter, H.G. 2010.
Fichas de propiedades tecnológicas y usos de maderas nativas de México e
importadas. Departamento de Madera, Celulosa y Papel, Universidad de
Guadalajara y Comisión Nacional Forestal, México. 208 p.
Silva-Guzmán, J.A. y colaboradores. 2012. Industrialización Comercialización y
Manejo Sostenible de diez Especies Nativas Mexicanas. Proyecto ITTO PD 385/05
Rev. 4 (I.F.). Varios volúmenes. Organización Internacional de Maderas Tropicales.
Universidad de Guadalajara. Comisión Nacional Forestal, México. Consultado en
Abril 2014. Disponible en: http://www.itto.int/es/outputs/id=2981
Sotomayor-Castellanos, J.R.; García-Mariscal, J.L.; Moya-Lara, C.E.; Olguín-Cerón,
J.B. 2010. Higroscopía y anisotropía de la madera de Pinus michoacana, Pinus
douglasiana y Pinus pringlei. Higrocontracción, velocidad del ultrasonido y módulo
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
35
de elasticidad dinámico. Investigación e Ingeniería de la Madera. 6(3):3-32.
Consultado en Abril 2014. Disponible en:
http://www.researchgate.net/profile/Javier_Ramon_Sotomayor_Castellanos2/public
ations.
Sotomayor-Castellanos, J.R.; Ramírez-Pérez, M. 2013. Densidad y características
higroscópicas de maderas mexicanas. Base de datos y criterios de clasificación.
Investigación e Ingeniería de la Madera. 9(3):3-32. Consultado en Abril 2014.
Disponible en:
http://www.researchgate.net/profile/Javier_Ramon_Sotomayor_Castellanos2/public
ations.
Tamarit-Urias, J.C.; Fuentes-Salinas, M. 2003. Parámetros de humedad de 63
maderas latifoliadas mexicanas en función de su densidad básica. Revista
Chapingo, Serie Ciencias Forestales y del Ambiente. 9(2):155-164.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Desarrollo de la fórmula para calcular el módulo de elasticidad
de la madera en pruebas de flexión
Javier Ramón Sotomayor Castellanos1
Joel Benancio Olguín Cerón2
Este trabajo tiene por objetivo presentar el desarrollo teórico del comportamiento en
flexión de vigas llamadas de Timoshenko. Este enfoque se aplica para vigas
solicitadas en flexión tres puntos, donde se consideran los esfuerzos cortantes
internos en las vigas. En contraste, se puede también utilizar la perspectiva del
análisis de vigas de Euler-Bernoulli, el cual se emplea para el análisis de vigas y
probetas de madera solicitadas en flexión simple, es decir, cuando no se consideran
los esfuerzos cortantes desarrollados al interior de los especímenes en estudio.
La ecuación desarrollada es equivalente a la ecuación propuesta en las normas de
la Asociación Americana de Métodos y Materiales (ASTM, 2009), la Organización
Internacional para la Normalización (ISO, 1975) y utilizada entre otros por Bodig y
Jayne (1982), para determinar módulos de elasticidad en probetas de madera.
Para establecer la fórmula para calcular el módulo de elasticidad de la madera,
realizando pruebas de flexión, se propone partir de las ecuaciones constitutivas y
del análisis de equilibrio de momentos y fuerzas presentes en la probeta. Como
hipótesis que facilite el análisis, la probeta o viga en estudio se modela como una
viga con forma de paralelepípedo, de geometría uniforme y estructuralmente
homogénea, sometida a flexión transversal sobre apoyos simples, e idealizando a
la madera como un material elástico y de medio continuo.
Para el desarrollo de las ecuaciones constitutivas y el establecimiento de las
fórmulas de aplicación práctica, se sintetizó la información de los siguientes autores:
1 Profesor, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, [email protected] 2 Exalumno, Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera, [email protected]
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Biblis (1965), Bodig y Jayne (1982), Görlacher (1984), Hernández Maldonado
(2010), Newlin y Trayer (1956), Timoshenko (1955) y Villaseñor Aguilar (2007). El
texto está sustentado en la Tesis de Maestría de Olguín Cerón (2011).
Ecuación constitutiva
El desplazamiento transversal (deflexión) w(x) bajo cargas estáticas en una viga
uniforme de Euler-Bernoulli, es presentado en la Figura 1a. Este sistema está regido
por la ecuación:
𝑬𝑰 𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙) = 𝒇(𝒙) 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝑳
(1)
Donde:
𝑬 = Módulo de elasticidad.
𝑰 = Momento de inercia de la sección transversal de la viga.
𝑳 = Portada de flexión de la viga.
La función fuerza 𝒇(𝒙) para las cargas aplicadas sobre la viga, mostradas en la
Figura 1a, es de la forma:
𝒇(𝒙) = 𝒒(𝒙) + 𝒇𝟎 𝜹(𝒙 − 𝒙𝒇) − 𝝋 𝒅
𝒅𝒙 𝜹(𝒙 − 𝒙𝝋) (2)
Donde:
𝒒(𝒙) = Carga externa distribuida.
𝒇𝟎 = Fuerza puntual aplicada en 𝒙𝒇.
𝝋 = Momento aplicado en 𝒙𝝋.
𝒘(𝒙) = Deflexión del eje neutro de la viga.
𝜹 = Función delta de Dirac:
𝜹 = {∞, 𝒙 = 𝟎
𝟎, 𝒙 ≠ 𝟎
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Figura 1. a) Diagrama de cargas y deflexión de una viga en flexión. b) Segmento
infinitesimal de la viga (Olguín Cerón, 2011).
L
a)
EI
b)
y
x
q(x)
f0
θ
xf xφ
φ
θ
R
x
y
R
dθ
a
a
ds
θ y
Eje neutro de la viga
w(x)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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En la ecuación (2), en la Figura 1 y en adelante, el desplazamiento de la viga y las
fuerzas transversales puntuales o distribuidas son positivos cuando su dirección es
hacia arriba. Igualmente, el momento aplicado es positivo cuando va en dirección
contraria a las manecillas del reloj.
Condiciones de frontera
Las condiciones de frontera de la viga son:
En el extremo izquierdo:
𝑩𝟎𝟏 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝟎 = 𝜶𝟏 𝑩𝟎𝟐 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝟎 = 𝜶𝟐
(3)
En el extremo derecho:
𝑩𝑳𝟏 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝑳 = 𝜷𝟏 𝑩𝑳𝟐 [𝒘(𝒙)]𝒙=𝑳 = 𝜷𝟐
(4)
Donde 𝑩𝟎𝟏, 𝑩𝟎𝟐, 𝑩𝑳𝟏 y 𝑩𝑳𝟐 son operadores espaciales diferenciales, y 𝜶𝟏, 𝜶𝟐, 𝜷𝟏 y
𝜷𝟐 representan perturbaciones asociadas a las condiciones de frontera: 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 =
𝑳.
Caracterización de la viga
La respuesta estática de la viga se define por:
Desplazamiento (deflexión transversal): 𝒘(𝒙) (5)
Rotación (pendiente): 𝜽(𝒙) = 𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Momento de flexión: 𝑴(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (7)
Cortante: 𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅𝟑
𝒅𝒙𝟑 𝒘(𝒙) (8)
En las relaciones (7) y (8), el momento de flexión 𝑴(𝒙) y la cortante 𝑸(𝒙), son
fuerzas internas en la viga.
Reacciones en los soportes
En las fronteras del dominio 0 ≤ x ≤ L de la portada de flexión, se ejercen momentos
y fuerzas de reacción a la viga cuando está sujeta a momentos y fuerzas externas
(Figuras 1a y 2). Estas reacciones soportan a la viga y de esta forma, la equilibran
con respecto a las fuerzas externas aplicadas. Por esta razón, estas condiciones de
frontera son también llamadas soportes.
Estas reacciones están representadas por:
𝑴𝒄 = − 𝑬𝑰 𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 (𝟎) 𝑹𝒄 = 𝑬𝑰
𝒅𝟑
𝒅𝒙𝟑 (𝟎) En el apoyo izquierdo (x = 0) (9)
𝑴𝒄 = 𝑬𝑰 𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 (𝑳) 𝑹𝒄 = − 𝑬𝑰
𝒅𝟑
𝒅𝒙𝟑 (𝑳) En el apoyo derecho (x = L) (10)
El problema fundamental en el análisis estático de una viga de Euler-Bernoulli, es
el siguiente: Dadas las fuerzas externas sobre una viga y sus condiciones de
frontera, determinar la respuesta de la viga en términos de desplazamiento,
rotación, momento de flexión y cortante. Esta respuesta es gobernada por la
ecuación (1) y las condiciones de frontera señaladas por las relaciones (3) y (4).
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Hipótesis de las vigas de Euler-Bernoulli.
Las hipótesis simplificadoras para el estudio de una viga de Euler-Bernoulli son:
a) Hipótesis cinemática: las secciones planas de la viga, normales a su eje neutro,
permanecen planas después de que la viga es deformada en flexión.
b) Hipótesis de elasticidad lineal: en estado de deformación, el esfuerzo normal y la
deformación de la viga en su dirección longitudinal, satisfacen la ley de Hooke:
𝛔𝒙 = 𝑬 𝛆𝒙 (11)
Donde:
𝛔𝒙 = Esfuerzo normal a la dirección x.
𝛆𝒙 = Deformación unitaria en la dirección x.
c) Hipótesis de las pequeñas deflexiones: la viga es sometida a pequeñas
deformaciones, de tal forma que su rotación (Ecuación 6):
𝜽(𝒙) = 𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)
Es una cantidad insignificante en comparación con la unidad.
d) Hipótesis de la flexión simple: la viga es solicitada en flexión simple. Dado que el
momento de flexión es constante a lo largo de la portada de la viga, no se generan
esfuerzos internos cortantes en ningún segmento de la viga.
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Curvatura del eje de la viga
De acuerdo a la hipótesis cinemática a), la deformación normal 𝛆𝒙, en un segmento
infinitesimal de fibra a-a de la viga, esquematizado en la Figura 1b, que se encuentra
a una distancia y del eje de la viga es expresada por:
𝛆𝒙 = − 𝛋 𝒚 (12)
Donde 𝛋, es la curvatura del eje de la viga y está dada por:
𝛋 = 𝟏
𝑹=
𝒅𝜽
𝒅𝒔=
𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙)
[𝟏 + (𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙))
𝟐
]
𝟑𝟐
(13)
Donde R es el radio de curvatura del eje neutro de la viga (Figura 1b).
De acuerdo a la hipótesis c), de las pequeñas deflexiones:
|𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙)| « 𝟏 (14)
La ecuación (13) se reduce a:
𝛋 = 𝟏
𝑹=
𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (15)
Relación Momento-Curvatura
De acuerdo a la hipótesis b), de la elasticidad lineal y empleando las ecuaciones
(12) y (15), el esfuerzo normal se define por:
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
43
𝛔𝒙 = − 𝑬 𝒚 𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (16)
Por otra parte, de acuerdo a la hipótesis d), de la flexión simple, el momento de
flexión de la viga es:
𝑴(𝒙) = − ∫ 𝛔𝒙 𝒚 𝒅𝑨
𝑨
= 𝑬 𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) ∫ 𝒚𝟐
𝑨
𝒅𝑨 = 𝑬𝑰𝒅𝟐
𝒅𝒙𝟐 𝒘(𝒙) (17)
Donde: 𝑬𝑰 es la rigidez a la flexión de la viga, e I es el momento de inercia de la
sección transversal de la viga, en relación al eje z, de la Figura (2), y es equivalente
a:
𝑰 = ∫ 𝒚𝟐
𝑨
𝒅𝑨 (18)
De acuerdo a la Figura 2, el área A de la sección transversal de la viga, es definida
por su base b multiplicada por su altura h, es decir:
𝑨 = 𝒃 𝟐𝒚 (19)
Con: h = 2 y
Empleando la expresión (19), e integrando la ecuación (18) en función de y, el
momento de inercia I de la sección es:
𝑰 = 𝟐 ∫ 𝒃𝒚𝟐
𝑨
𝒅𝒚 = 𝟐 [𝒃𝒚𝟑
𝟑]
𝟎
𝒉𝟐
= 𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐 (20)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Figura 2. a) Diagrama de cuerpo libre de la viga. b) Diagrama de cortante. c)
Secciones deformadas. d) Distribución de esfuerzo corte. P: Carga (Olguín Cerón,
2011).
b
L/2
y
dA
τmax
h
L/2
P
y
x
P/2 P/2
P/2
- P/2
a)
c)
d)
y
x
Eje neutro de la viga
Secciones deformadas
b)
y1
z
y
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Como corolario, y de acuerdo con las ecuaciones (15) y (16), la curvatura de la viga
y el esfuerzo normal están relacionados al momento de flexión M por las relaciones:
𝛋 = 𝟏
𝑹=
𝑴
𝑬𝑰 (21)
y
𝛔𝒙 = − 𝑴
𝑰 𝒚 (22)
Ecuaciones de equilibrio
Considerando un segmento infinitesimal dx, de la viga mostrada en la Figura 3, las
ecuaciones de balance de las fuerzas y los momentos aplicados al segmento son:
𝑸 + 𝒒𝒅𝒙 – (𝑸 + 𝒅𝑸) = 𝟎 (23)
− 𝑴 − 𝑸𝒅𝒙 – 𝒒𝒅𝒙 (𝒅𝒙
𝟐) + 𝑴 + 𝒅𝑴 = 𝟎 (24)
Considerando que 𝒅𝒙 → 𝟎, la ecuación (24) se reduce a:
𝒅𝑸(𝒙)
𝒅𝒙= 𝒇(𝒙) (25)
y
𝒅𝑴(𝒙)
𝒅𝒙= 𝑸(𝒙) (26)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
46
Figura 3. Segmento infinitesimal de la viga (Olguín Cerón, 2011).
Combinando las ecuaciones (17), (25) y (26), se tiene:
𝒇(𝒙) =𝒅𝑸
𝒅𝒙=
𝒅𝟐𝑴
𝒅𝒙𝟐= 𝑬𝑰
𝒅𝟒𝒚
𝒅𝒙𝟒 (27)
Identificando el desplazamiento w(x) con la deflexión de la viga y, la ecuación (27)
es equivalente a la ecuación (1), por lo tanto:
𝑴 = 𝑬𝑰 𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 (28a)
𝑸 = 𝑬𝑰 𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒙𝟑 (28b)
Como corolario, las igualdades (28a) y (28b), se identifican a las ecuaciones (7) y
(8).
q(x)
dx
M M + dM Q
Q + dQ
y
x
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Flexión tres puntos
Para el caso particular de una viga en flexión solicitada por una carga puntual a
mitad de su portada, es decir en flexión tres puntos, la deflexión total de la viga es
ocasionada por la fuerza del momento de flexión, combinada con la fuerza cortante.
Este enfoque es conocido como análisis de vigas de Timoshenko:
𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = 𝒚𝑴 + 𝒚𝑸 (29)
Donde:
𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = Deflexión total de la viga solicitada en medio de la portada.
𝒚𝑴 = Deflexión de la viga ocasionada por el momento de flexión.
𝒚𝑸 = Deflexión de la viga ocasionada por la fuerza cortante.
La deflexión 𝒚𝑴 se puede calcular a partir de la ecuación (28a):
𝑴 = 𝑬𝑰 𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐 (28a)
De acuerdo con el diagrama de cortante presentado en la Figura (2b), la ecuación
(28a), se puede escribir:
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐=
𝑴
𝑬𝑰 (30)
Con
𝑴 = − 𝑷𝒙
𝟐 (31)
Sustituyendo la ecuación (31) en la ecuación (30), se obtiene:
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐= −
𝑷𝒙
𝟐𝑬𝑰 (32)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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E integrando la ecuación (32) se llega a:
𝒅𝒚
𝒅𝒙= −
𝑷𝒙𝟐
𝟒𝑬𝑰 + 𝑪𝟏 (33)
Donde:
𝑪𝟏 = Constante de integración.
Integrando la ecuación (33), se obtiene:
𝒚 = − 𝑷𝒙𝟑
𝟏𝟐𝑬𝑰 + 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 34
Donde:
𝑪𝟐 = Constante de integración.
De acuerdo a la ecuación (6):
𝜽(𝒙) = 𝒅
𝒅𝒙 𝒘(𝒙) (6)
Y de conformidad a la Figura (2a), la pendiente de la viga es igual a:
𝒅𝒚
𝒅𝒙= −
𝑷𝒙𝟐
𝟒𝑬𝑰 + 𝑪𝟏 (33)
Al mismo tiempo, empleando la ecuación (33), para 𝒙 = 𝑳/2, donde la pendiente es
nula, se obtiene:
𝑪𝟏 = 𝑷 𝑳𝟐
𝟏𝟔 𝑬𝑰 (35)
De acuerdo a la ecuación (1), la deflexión y de la viga en 𝒙 = 𝟎, es igualmente nula,
y recurriendo a la ecuación (34), se obtiene:
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
49
𝑪𝟐 = 𝟎 (36)
De tal forma que la deflexión total de la viga a la mitad de su portada es:
𝒚 = − 𝑷𝒙𝟑
𝟏𝟐𝑬𝑰+
𝑷𝑳𝟐𝒙
𝟏𝟔𝑬𝑰 (37)
Sustituyendo en la ecuación (37), x por 𝑳/2, se llega a:
𝒚 = − 𝑷𝑳𝟑
𝟒𝟖𝑬𝑰+
𝟐𝑷𝑳𝟑
𝟒𝟖𝑬𝑰 (38)
Simplificando, se obtiene:
𝒚 = 𝑷𝑳𝟑
𝟒𝟖𝑬𝑰 (39)
La deflexión y en la fórmula (39), equivale a la deflexión de la viga 𝒚𝑴, en la ecuación
(29), ocasionada por el momento de flexión M.
Respecto a la deflexión de la viga ocasionada por la cortante, la deflexión 𝒚𝑸 de la
ecuación (29), se puede calcular a partir de la ecuación (8):
𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅𝟑
𝒅𝒙𝟑 𝒘(𝒙) (8)
Identificando w(x) con la deflexión, la ecuación (8), se puede expresar igualmente
como:
𝑸(𝒙) = 𝑬𝑰 𝒅
𝒅𝒙(
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐) (40)
En la ecuación (40), (𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐) representa el momento de flexión 𝑴(𝒙) de la ecuación
(7).
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
50
Por otra parte, y de acuerdo con Timoshenko (1955), la deflexión ocasionada
únicamente por el esfuerzo cortante, se expresa como el deslizamiento entre las
secciones transversales y adyacentes de la viga, tal como se ilustra en la Figura 2c,
la cual esquematiza la curvatura del eje de la viga producida únicamente por la
deformación cortante.
Dado que los esfuerzos no están distribuidos de manera constante a lo largo de la
sección transversal de la viga, la sección plana se flexiona localmente. Es decir, la
hipótesis cinemática de una viga de Euler-Bernoulli no se verifica. Como resultado,
las secciones planas de la viga, normales a su eje neutro, no permanecen planas
después de que la viga es deformada en flexión (Figura 2c).
Tal como se esquematiza en la Figura 2c, los pequeños elementos rectangulares
alineados al eje neutral se deforman en rombos. En consecuencia, la pendiente de
la curva de la deflexión de la viga (𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐), debida únicamente al esfuerzo cortante τ,
es igual, en cada sección transversal, a la deformación angular con respecto al
centroide de la sección transversal de la viga.
Si se define 𝒚𝝉, como la deflexión del eje neutro de la viga, ocasionada únicamente
por el esfuerzo cortante, se obtiene la siguiente expresión para la pendiente de la
curva en cualquier sección transversal:
𝒅𝒚𝝉
𝒅𝒙=
τ
𝑮=
𝑲𝑽
𝑨𝑮 (41)
Donde:
τ = Esfuerzo cortante.
V = Fuerza cortante.
A = Sección resistente.
G = Módulo de rigidez.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
51
𝑉
𝐴= Esfuerzo cortante promedio equivalente a τ.
K = Factor numérico por el cual el esfuerzo cortante promedio se multiplica para
obtener el esfuerzo cortante en el centroide de la sección transversal. El factor K
depende de la geometría de la sección transversal de la viga.
Para el caso de la madera, modelada como un sólido elástico, de medio continuo,
macroscópicamente homogéneo y con simetrías materiales y elásticas de carácter
ortotrópico, las características elásticas E, G y los parámetros σ y τ, son definidos
de acuerdo con el modelo elástico general para la madera sólida propuesto por
Hernández Maldonado (2011).
Conforme a la Figura 2d, el esfuerzo cortante en cualquier punto a una distancia y1
del eje neutral de la sección transversal, es definido por:
𝛕 = 𝑽
𝒃𝑰 ∫ 𝒚𝒅𝑨
𝒉
𝟐
𝒚𝟏
(42)
Para el caso de una sección transversal como la mostrada en la Figura 2d, el
segmento diferencial de la sección dA es igual a bdy. Por lo tanto, la integral de la
ecuación (42) es:
∫ 𝒚𝒅𝑨
𝒉𝟐
𝒚𝟏
= ∫ 𝒃𝒚𝒅𝒚
𝒉𝟐
𝒚𝟏
= |𝒃𝒚𝟐
𝟐|
𝒚𝟏
𝒉𝟐
= 𝒃
𝟐 (
𝒉𝟐
𝟒− 𝒚𝟏
𝟐) (43)
Como consecuencia de las relaciones en (43), se observa que el esfuerzo cortante
τ, no está distribuido uniformemente a través de la sección de la viga. El máximo
valor 𝛕𝒎𝒂𝒙 es cuando y1 = 0, posición que corresponde al eje neutral. De aquí, que
la ecuación (42) se simplifica en:
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
52
𝛕 = 𝑽𝒉𝟐
𝟖𝑰 (44)
Dado que:
𝑰 = 𝒃𝒉𝟑
𝟏𝟐 (45)
La ecuación (44) es:
𝛕 = 𝟑𝑽
𝟐𝒃𝒉=
𝟑𝑽
𝟐𝑨 (46)
Con A = bh
De la ecuación (46) se deriva que el factor K en la ecuación (41) equivale a 3 2⁄ ,
como es el caso en vigas de sección transversal rectangular.
Para el caso de una viga solicitada en flexión tres puntos (Figura 2) la fuerza cortante
V es igual a P 2⁄ , y es constante a lo largo de la portada L de la viga, pero cambia
de signo en 𝒙 = L 2⁄ . De tal forma que la pendiente definida en la ecuación (41), se
simplifica en:
𝒅𝒚𝝉
𝒅𝒙=
𝟑𝑷
𝟒𝑨𝑮 (47)
Integrando la ecuación (47), se obtiene la deflexión ocasionada por el esfuerzo
cortante en cualquier punto a lo largo de la portada L de la viga:
𝒚𝝉 = 𝟑𝑷𝒙
𝟒𝑨𝑮+ 𝑪𝟑 (48)
Donde C3 es una constante de integración.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
53
De acuerdo a la Figura 2a, cuando x = 0, y es igual a 0. Por lo tanto:
𝑪𝟑 = 𝟎 (49)
Finalmente, la ecuación (48) se simplifica a:
𝒚𝝉 = 𝟑𝑷𝒙
𝟒𝑨𝑮 (50)
Dado que la máxima deflexión en una viga solicitada en tres puntos, ocurre a la
mitad de la portada de flexión L 2⁄ , la deflexión máxima de la viga debida a la fuerza
cortante para x = L/2, es:
𝒚𝝉 = 𝟑𝑷𝑳
𝟖𝑨𝑮 (51)
El término 𝒚𝝉 en la ecuación (51), es el equivalente a yQ de la ecuación (29). En el
mismo contexto, el término y en la ecuación (39), equivale a yM en la misma
ecuación (29):
𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 = 𝒚𝑴 + 𝒚𝑸 (29)
Si se sustituyen las ecuaciones (39) y (51), en la ecuación (29), e identificando
términos, la deflexión de una viga solicitada en flexión transversal en tres puntos,
como en el caso del estudio de la rigidez de listones de madera de Quercus
scytophylla (Olguín Cerón, 2011), la deflexión total de un listón es:
𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 =𝑷𝑳𝟑
𝟒𝟖𝑬𝑰+
𝟑𝑷𝑳
𝟖𝑨𝑮 (52)
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El primer término del lado derecho de la fórmula (52), representa la deformación en
la probeta debida al momento de flexión. El segundo término, es resultado de la
deformación ocasionada por el esfuerzo cortante.
Para el caso de esta investigación, y de acuerdo con Görlacher (1984) y Newlin y
Trayer (1956), en el estudio de probetas de madera con relaciones de
portada/grueso (L/h) mayores a 15, como es el caso de los listones, la deformación
causada por el esfuerzo cortante puede ser ignorada en la determinación del módulo
aparente de elasticidad en tres puntos.
En el contexto de esta investigación, se aceptó este argumento que es empleado
usualmente en Ciencias, Tecnología e Ingeniería de la Madera, entre otros autores
por Bodig y Jane (1982) y Villaseñor Aguilar (2007).
De aquí que la ecuación completa (52) de la deflexión de una viga de madera o una
probeta, en flexión tres puntos se simplifica en:
𝒚𝒇𝒍𝒆𝒙 =𝑷𝑳𝟑
𝟒𝟖𝑬𝑰 (53)
De esta forma, la ecuación (53) es equivalente a la ecuación propuesta en las
normas de la Asociación Americana de Métodos y Materiales (ASTM, 2009), la
Organización Internacional para Normalización (ISO, 1975) y por autores como
Bodig y Jayne (1982), para determinar módulos de elasticidad en probetas de
madera:
𝑬 =𝑷
𝒚
𝑳𝟑
𝟒𝟖 𝑰 (54)
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
55
Referencias
ASTM International. (2009). ASTM D143-09. Standard Test Methods for Small Clear
Specimens of Timber. ASTM Volume 04.10 Wood. Philadelphia, USA. 848 p.
Biblis, E.J. 1965. Shear deflection of wood beams. Forests Products Journal.
15(11):492-498.
Bodig, J.; Jayne, B.A. 1982. Mechanics of Wood Composites. Van Nostrand
Reinhold. USA.
Görlacher, R. 1984. Ein neues Messverfahren zur Bestimmung des E-modulus von
Holz. Holz als Roh-und Werkstoff. (42):212-222.
Hernández Maldonado, S.A. 2010. Comportamiento elástico de la madera. Teoría y
aplicaciones. Tesis de Maestría en Ciencias y Tecnología de la Madera. Universidad
Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. México. Consultado en abril 2014.
Disponible en:
http://www.researchgate.net/profile/Javier_Ramon_Sotomayor_Castellanos2/public
ations
ISO. 1975. 3131-1975. Wood - Determination of density for physical and mechanical
tests. ISO Catalog 79 Wood technology; 79.040 Wood, saw logs and saw timber.
International Organization for Standardization (ISO). Brussels. 9 p.
Newlin, J.A.; Trayer, G.W. 1956. Deflection of beams with special reference to shear
deformations. Information reviewed and reaffirmed in 1956, reprinted from National
Advisory Committee for Aeronautics Report 180, 1924. Forest Products Laboratory.
U.S. Department of agriculture. Forest Service. USA. 18 p.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
56
Olguín Cerón, J.B. 2011. Plastificado higro-térmico de la madera de Quercus
scytophylla. Estudio por ondas de esfuerzo. Tesis de Maestría en Ciencias y
Tecnología de la Madera. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. 104
p. Consultado en abril 2014. Disponible en:
https://www.researchgate.net/publication/261027818_Tesis_Maestra_%282011%2
9_Joel_Benancio_Olgun_Cern.
Timoshenko, S. 1955. Strength of Materials. 3rd Ed. Van Nostrand Reinhold. USA.
359 pp.
Villaseñor Aguilar, J.M. 2007. Comportamiento higroelástico de la madera de Pinus
douglasiana. Evaluado mediante ultrasonido, ondas de esfuerzo, vibraciones
transversales y flexión estática. Tesis de Maestría en Ciencias y Tecnología de la
Madera. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo. 79 p. Consultado en
abril 2014. Disponible en:
http://www.researchgate.net/profile/Javier_Ramon_Sotomayor_Castellanos2/public
ations.
Investigación e Ingeniería de la Madera Volumen 10, Número 1, Abril 2014
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Laboratorio de Mecánica de la Madera División de Estudios de Posgrado
Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera
El laboratorio de Mecánica de la Madera tiene por misión realizar investigaciones sobre el comportamiento mecánico de árboles, estructuras de madera, madera aserrada y de productos compuestos de madera. En el laboratorio se realizan las prácticas de la materia Física de la madera de la Maestría en Ciencias y Tecnología de la Madera y sirve también de laboratorio en la preparación de tesis de Licenciatura y de Maestría de la Facultad de Ingeniería en Tecnología de la Madera. Entre otros servicios, el laboratorio realiza estudios de caracterización mecánica por métodos no destructivos de materiales de ingeniería y de productos forestales. Además se cuenta con la experiencia para practicar trabajos In-Situ de inspección y de evaluación de estructuras de madera. El laboratorio tiene el equipo y el personal especializado para efectuar estudios de análisis de calidad de la madera en medio ambiente industrial. El equipo principal de investigación con que cuenta el laboratorio es: - Maquina universal de pruebas mecánicas Tinius Olsen®. - Equipo de ondas de esfuerzo Metriguard®. - Equipo de ondas de esfuerzo Fakopp®. - Equipo de ultrasonido Sylvatest®. Los proyectos de investigación en los cuales el laboratorio ha participado son: - Características mecánicas de elementos estructurales de maderas tropicales. 2013-2014. - Características acústicas de maderas para instrumentos musicales. 2009-2011. - Selección de arbolado por métodos no destructivos. 2007-2009. - Evaluación con métodos no destructivos de madera en edificios antiguos. 2003-2007. - Evaluación mecánica de materiales compuestos de madera. 2002-2004. La producción del Laboratorio se divulga en: - http://www.cic.umich.mx/ - http://www.academia.edu/ - http://www.researchgate.net/ - http://laboratoriodemecanicadelamadera.weebly.com/