Introduzione Al Calcolo Termico

dr.Gadda Erio 15/04/05 1

CALCOLO DI UNO SCAMBIATORE LINEARE 1) Lo scambio di calore 1,1) I modi principali di trasferimento del calore 1,2) Similitudini nei processi di scambio termico 1,3) Il concetto di strato limite 1,4) Lo scambio termico in convezione forzata 2) Il calcolo di uno scambiatore 2,1) ∆∆∆∆Tlm ed altre grandezze 2,2) Lo scambiatore a correnti incrociate 3) Calcolo di uno scambiatore lineare 3,1) Metodo del ∆∆∆∆Tlm 3,2) Metodo diretto Curato da Gadda Erio


1) LO SCAMBIO DI CALORE SCOPO Lo scopo di questi appunti è di fornire qualche complemento al calcolo degli scambiatori di calore. L’esigenza nasce dalla constatazione che, dal punto di vista didattico, la trattazione del calcolo di uno scambiatore spesso non sviluppa la fase di calcolo dei coefficienti di scambio. Si riserva quindi ad una trattazione più specializzata tale calcolo. La ragione di tale scelta deriva principalmente sia dalla complessità della materia che poco si presta ad una impostazione semplice e razionale sia dalle molteplici premesse e complementi necessari alla sua impostazione. D’altra parte però tale approccio nella sostanza non consente al lettore di approfondire il problema dal punto di vista della comprensione dei meccanismi fisici dello scambio termico. Pur con limiti alla completezza ed alla impostazione in termini matematici dei problemi ci si propone di fornire gli elementi per la comprensione della correlazione di scambio più appropriata ed infine per la determinazione del coefficiente di scambio interno in convezione forzata nel caso di un tubo rettilineo. Si procede poi al calcolo dello scambiatore nel caso più semplice: lo scambiatore lineare. Nell’uso delle correlazioni di scambio termico occorre attenzione, infatti quasi tutte derivano da sperimentazioni di laboratorio che, per chiarezza interpretativa, fanno riferimento ed hanno validità per condizioni locali. In laboratorio inoltre viene evitata la complessità delle situazioni reali che sovrappongono vari effetti, al contrario le sperimentazioni cercano invece di esaminare situazioni di riferimento semplici. Pur nei limiti di un inserto limitato si procederà nel seguito ad inquadrare le condizioni per il corretto utilizzo delle correlazioni di scambio. Alcuni accenni per collocare lo scambio termico convettivo tra le varie modalità di scambio termico potranno essere utili. DIGRESSIONE Da sempre l’uomo ha percepito che qualcosa fluisce tra i corpi caldi ed i corpi freddi riscaldandoli. Questo flusso è stato definito calore. Nel diciottesimo e nella prima metà del diciannovesimo secolo gli scienziati immaginavano che tutti i corpi contenessero un fluido invisibile che chiamavano “calorico”. Si è inoltre chiarito che la forza dominante di tutti i processi di flusso del calore nel mondo che ci circonda è la tendenza al livellamento dei gradienti termici. L’uomo moderno ha usato la sua intelligenza e volontà per il controllo dei flussi di energia a di calore al proprio uso. Questo in quanto tali flussi sono molto ma molto più intensi di quelli che egli può produrre con le sue proprie forze. Infatti quando stiamo avvitando una lampadina da 150 W, stiamo manipolando una potenza sostanzialmente maggiore di quella che possiamo produrre con la nostra muscolatura in uno sforzo prolungato. Per rendersene conto basta confrontare i 150 W con la potenza media che un escursionista sviluppa in montagna in una passeggiata di qualche ora di salita. La potenza di un’auto è di tre ordini di grandezza maggiore. La potenza erogata da una sola centrale nucleare è superiore a quella producibile da tutta la popolazione di Milano, bambini compresi, che, fatta schiava, remasse in una galera all’unisono, quasi fosse un unico vogatore.


abitanteW400

abitanti6105

W9102 =⋅

⋅

A livello della produzione i trasferimenti di calore e di energia avvengono con grandi intensità (basti pensare che il flusso di calore rilasciato da un reattore nucleare a livello del nocciolo è

dell’ordine di 1 2mMW ) che diminuiscono progressivamente avvicinandosi alla utilizzazione delle singole persone. In tutte queste trasformazioni il trasferimento del calore gioca un ruolo primario e l’attuale grado di comprensione testimonia il cammino fatto a partire dal calorico.. 1,1) I MODI PRINCIPALI DI TRASFERIMENTO DEL CALORE Conduzione Un flusso di calore prodotto attraverso un corpo da una differenza di temperatura è un esempio di conduzione.

Un flusso stazionario q ( 2mW ) lungo una barra è calcolato con la relazione mono-dimensionale:

dxdT

kq −=

dove k ( mCW ° ) è la conducibilità termica del corpo e dT/dx il gradiente di temperatura. Il segno meno indica che la direzione del flusso di calore è opposta a quella del gradiente: il flusso positivo fluisce dalla temperatura più alta verso quella più bassa. La formula è la “Legge di Fourier” che il barone Joseph Fourier con ampia trattazione pubblicò nel 1822 sul suo testo “Teoria analitica del calore”. Nel caso tridimensionale l’equazione del calore deve essere risolta considerando opportune condizioni al contorno che rendono il problema di elevata complessità, complessità che aumenta ulteriormente nei casi non stazionari. Convezione Un corpo caldo raffreddato da una corrente fluida è un tipico caso di convezione. Il fluido immediatamente adiacente alla superficie del corpo solido forma una sottile regione rallentata detta strato limite. Il calore passa per conduzione attraverso lo strato limite ed entra nel flusso che lo asporta e più a valle lo mescola all’intera portata. E’ questo processo che viene detto convezione. Nel 1701 Isacco Newton descrisse il processo e la sua trattazione è ben rappresentata dall’equazione:

( ) ThfluidoTcorpoThq ∆⋅=−⋅= Questa è la formulazione stazionaria della “Legge di Newton”, anche se egli non la ha mai scritta in questa forma.

La costante h ( 2mCW ° ) è detta coefficiente di scambio termico convettivo. Il coefficiente h può avere un significato locale oppure essere mediato sull’intera superficie del corpo solido.


Il calcolo di h è indipendente dalla ∆T in situazioni in cui il fluido è forzato a lambire il corpo e la ∆T non è troppo elevata. Questa è la cosiddetta convezione forzata. Nel caso di un corpo caldo il fluido che lo lambisce aumenta di temperatura e, per dilatazione, scorre verso l’alto (e viceversa se il corpo è più freddo del fluido).

In tale situazione h dipende da ∆T: tipicamente da 41

T∆ o 31

T∆ . Questa è la cosiddetta convezione libera o naturale. Se il corpo è caldo a sufficienza da portare ad ebollizione il liquido che lo lambisce, allora h varia

tipicamente con 2T∆ . Restringendo le considerazioni al caso in cui la legge di Newton è valida od almeno una valida approssimazione della situazione reale, si forniscono nel seguito alcune formule di calcolo della h per la convezione forzata. Anche nel caso che sia presente nello scambio la sola convezione e non anche altri meccanismi di scambio, il calcolo di h è talvolta complesso. Ciò è dovuto alla molteplicità delle situazioni possibili. Si può osservare inoltre che h varia in un intervallo di circa sei ordini di grandezza(v.Tab.1) TAB.1 Qualche valore del coefficiente di scambio termico convettivo h (Lienhard)

Situazione h ��

�

��

�

° 2Cm

W

Convezione naturale nei gas Parete verticale di 0,3 m in aria ∆T=30 °C 4,33 Convezione naturale nei liquidi Tubo di 40 mm di diametro orizzontale in acqua ∆T=30 °C 570 Filo di 0,25 mm di diametro in metanolo ∆T=50 °C 4 000 Convezione forzata di gas Aria a 30 m/s su un piano di 1 m ∆T=70 °C 80 Convezione forzata di liquidi Acqua a 2 m/s su un piano di 60 mm ∆T=15 °C 590 Sodio liquido a 5 m/s in un tubo di 15 mm di diametro a 370 °C 75 000 Acqua evaporante Ebollizione a film a 1 bar 300 In un bollitore sul fuoco 4 000 Al picco del flusso termico per l’ebollizione 1 bar 100 000 Al massimo del flusso termico convettivo in ebollizione in condizioni ottimali 106 Condensazione In un tipico tubo di condensatore di vapor d’acqua 15 000 Condensazione a gocce di acqua ad 1 bar 160 000 Irraggiamento Per radiazione si intende l’emissione e la propagazione di energia attraverso lo spazio od attraverso un mezzo materiale sotto forma di onde. Tutti i corpi emettono costantemente energia con un processo di radiazione elettromagnetica. L’energia irradiata si propaga per onde elettromagnetiche la cui lunghezza d’onda varia dalla frazione di micron a molti chilometri.


In campo tecnico-scientifico le onde e.m. hanno denominazioni proprie, alcune delle quali elencate per lunghezza d’onda crescente sono: raggi gamma, raggi x, ultravioletti, campo visibile, raggi infrarossi, microonde ed onde radio. Ma la sola radiazione emessa da una sostanza in ragione della propria temperatura viene detta radiazione termica. Incidendo sulla superficie di un corpo ed a seconda della sua natura, un’onda e.m. viene in parte riflessa, in parte assorbita ed in parte rifratta. Le frazioni di energia incidente che subiscono i vari destini sono dette rispettivamente R = frazione riflessa, A = frazione assorbita e D = frazione rifratta. In ragione del rispetto del bilancio energetico sarà poi R+A+D = 1. Pur essendo la natura delle onde e.m. indipendente dalla lunghezza d’onda le proprietà A,R e D di una sostanza possono variare con tale parametro: si parla allora di selettività. La sorgente radiativa di riferimento è detta corpo nero. Un corpo nero assorbe tutta l’energia radiativa che lo raggiunge e non riflette nulla (A=1). Alcuni corpi sono “quasi” neri in quanto A è selettivo: ad es. neve e ghiaccio hanno A=1 per quasi tutte le lunghezze d’onda, fatto salvo nel visibile dove R>0. Sono corpi quasi neri in quanto la A media su tutte le lunghezze d’onda risulta 0,95-0,98% . Un corpo è detto grigio quando la A<1 ed è indipendente dalla lunghezza d’onda. Dal punto di vista dell’emissione, più il corpo è caldo più aumenta il flusso di energia irraggiato

che generalmente viene indicato come e(T) e misurato in 2mW . La dipendenza di e(T) dalla T di un corpo nero è stata misurata sperimentalmente nel 1879 da Stefan ed interpretata da Boltzmann sulla base di considerazioni termodinamiche nel 1884. Legge di Stefan-Boltzmann:

( ) 4TSTe ⋅=

dove ��

��−⋅== 4281067.5cos KmWtS e T la temperatura assoluta.

La distribuzione dell’energia emessa con la lunghezza d’onda prende il nome di spettro di emissione. La distribuzione di Planck dello spettro del corpo nero (v. Fig. seguente) è stata ricavata dall’autore all’inizio del ‘900 mediante la teoria dei quanti, cioè con gli strumenti dell’emergente Fisica Quantistica, ed è in coerenza con tutte le altre leggi, già note, sull’emissione del corpo nero (Wien, Stefan-Boltzmann, ecc.). Questo lavoro segna una tappa importante nel cammino della Fisica in quanto dimostrò per la prima volta l’impossibilità di interpretare l’emissione termica con gli strumenti della Fisica Classica quali la Meccanica Statistica e l’Elettrodinamica. La legge di Kirchoff poi stabilisce che un corpo grigio emette, a parità di temperatura, in ragione di A volte, l’emissione del corpo nero. Perciò un corpo perfettamente trasparente, come l’acqua, avendo A prossimo allo zero, praticamente non emette. Per quanto riguarda gli effetti della selettività un esempio di particolare importanza negli impianti industriali sono i fumi, cioè i gas prodotti nella camera di combustione di una caldaia. I fumi, che sono ad alta temperatura, contengono tra l’altro gas diatomici come O2, N2, ed H2 e gas triatomici quali CO2, H2O, SO2 ecc. In particolare i gas triatomici hanno, per particolari lunghezze d’onda, selettivamente quindi, elevatissimo potere emissivo e di assorbimento, i cui effetti si intensificano al crescere della loro concentrazione.


Dal punto di vista degli scambi termici, pertanto, l’interesse è rivolto principalmente alle lunghezze d’onda che i gas presenti emettono fortemente e l’energia delle quali è trasformata in calore, durante il processo di assorbimento, sulle superficie metalliche. Da quanto si è detto appare evidente che per gli scambi termici radiativi una soluzione analitica è particolarmente complessa. I calcoli sono ulteriormente complicati dal fatto che, in camera di combustione, i tre principali meccanismi di scambio termico ora descritti hanno luogo simultaneamente. Nonostante ciò è invece necessario calcolare esattamente la temperatura dei fumi in uscita dalla camera di combustione poiché essa condiziona assolutamente il progetto di tutti gli scambiatori che vengono lambiti successivamente in quanto sono posti a valle nel percorso dei fumi. In una caldaia tradizionale essi incontrano prima il Surriscaldatore e poi via via gli altri banchi di scambio fino all’Economizzatore. Si ripropone, per meglio comprendere quanto accennato, la lettura del grafico già indicato: - si tratta dell’irraggiamento proveniente dal Sole che raggiunge la terra ( di M. Rigutti) -in ascissa vi è la lunghezza d’onda in micron ed in ordinata il flusso di energia contenuta in un intervallo di lunghezza d’onda di 0,01 micron -la curva tratteggiata descrive la distribuzione di Planck o spettro di emissione di un corpo nero a 6000 °K -l’integrale, e quindi l’area sottesa dalla curva, coincide con il flusso totale di energia dell’emissione termica di un corpo nero, con la stessa temperatura, coerentemente con la legge di Stefan-Boltzmann -il massimo della curva si trova alla lunghezza d’onda prevista dalla legge di Wien (λmaxT=cost) -la curva a tratto continuo è la misura, all’esterno dell’atmosfera, dell’emissione proveniente dal Sole -dalla sovrapposizione delle due curve risulta evidente che il Sole emette energia a spettro sensibilmente vicino a quello di un corpo nero -la terza curva più bassa è lo spettro continuo a livello del mare: i forti assorbimenti a livello del mare sono dovuti alle molecole dell’atmosfera terrestre -sono evidenziati gli effetti di assorbimento di ozono, ossigeno, acqua e CO2 -talune righe dell’acqua e quelle della CO2 assorbono completamente riducendo a zero l’intensità -altre righe (di O2, H2O ed H2) producono una riduzione parziale, ciò significa che lo spessore dell’atmosfera non è sufficiente oppure che, a parità di spessore, il potere assorbente a quella lunghezza d’onda e la concentrazione non sono sufficienti ad azzerare l’intensità


1,2) SIMILITUDINI NEI PROCESSI DI SCAMBIO TERMICO Poiché, come detto, le possibilità di risolvere i problemi di scambio termico per via analitica sono limitate, la sperimentazione acquista grande importanza. Lo studio sperimentale di processi complicati e che dipendono da una molteplicità di singoli parametri, è però un’attività molto difficile e complessa. Inoltre generalmente le finalità di una sperimentazione non si limitano solamente a studiare un particolare fenomeno in dettaglio, ma anche ad ottenere dati necessari al calcolo di altri processi ad esso correlati. Uno dei mezzi per facilitare la soluzione di questi problemi è la teoria della similitudine, una teoria funzionale essenzialmente alla sperimentazione. Cenno alla teoria dalla similitudine. La teoria della similitudine è uno dei metodi che si inquadrano nella più ampia Analisi Dimensionale per l’ottenimento dei gruppi adimensionali. La teoria interessa molti fenomeni. Il concetto di similitudine si incontra in primo luogo in geometria. Come si sa figure geometriche simili, come i triangoli ad esempio, sono riconoscibili dal fatto che i loro angoli corrispondenti sono uguali e i loro lati corrispondenti proporzionali.(v. Fig.)

Per togliere banalità alla cosa supponiamo che il triangolo di lati l1, l2 ed l3 sia il disegno in scala del profilo di una piramide di recente scoperta. Dal coefficiente di proporzionalità tra i lati c=L1/l1 = L2/l2 =L3/l3 posso ricavare l’altezza della piramide e le mediane; inoltre tutti i lati delle figure, se ugualmente orientate, sono paralleli. Dai dati del disegno sono in grado di ricostruire quelli della piramide e, se del caso, in base a questi approfondire successivamente perfino i criteri costruttivi adottati. Il concetto di similitudine può essere applicato ad ogni problema fisico. Nel caso di un processo complesso determinato da molte proprietà fisiche di un fluido (densità, viscosità, temperatura, velocità, ecc.) le costanti di similitudine non possono essere scelte arbitrariamente, e sono richieste condizioni aggiuntive. Per comprendere queste condizioni consideriamo i seguenti due esempi. -Esempio 1) Consideriamo il caso di un flusso stazionario di fluido. Per definizione la velocità V è il rapporto tra spazio L percorso da una particella di fluido e tempo t trascorso per percorrerlo.

tL

V =


Applichiamo la formula a due particelle corrispondenti a due sistemi tra loro simili, abbiamo:

per il primo sistema 11

1 tL

V =

per il secondo sistema 22

2 tL

V =

Dividendo termine a termine ottengo:

12

12

12

tt

LL

VV

=

Dalla definizione di similitudine posso scrivere i coefficienti di proporzionalità:

cvVV

=12 cl

LL

=12 ct

tt

=12

che sostituiti nell’equazione precedente danno :

1=⋅cl

ctcv

che è esattamente la ricercata condizione di similitudine che limita la scelta arbitraria delle costanti cv ,cl e ct. Sostituendo nella relazione precedente alle costanti i valori delle loro definizioni ottengo:

=⋅

=⋅=⋅L

tV

LtV

LtV

222

111 invariante adimensionale

Questa equazione illustra la principale proprietà dei sistemi simili e cioè l’esistenza di valori speciali detti invarianti o criteri di similitudine: il loro valore numerico è lo stesso per fenomeni simili. Pertanto criteri di similitudine sono numeri adimensionali, risultanti da relazioni tra grandezze fisiche che caratterizzano il fenomeno. Una proprietà dei numeri adimensionali è proprio la loro adimensionalità, che rende possibile verificarne la corretta formulazione in base alle dimensioni delle grandezze fisiche che li compongono. Generalmente i numeri adimensionali, a seconda del campo scientifico di utilizzo, prendono il nome di chi in tale campo ha maggiormente operato, Così Ne è il numero di Newton, Re quello di Reynolds, Eu quello di Eulero, Nu quello di Nusselt, e così via.


-Esempio 2) In accordo con la legge di gravità di Newton la forza F agente su di un corpo è proporzionale al prodotto della sua massa M per l’accelerazione. Nel caso di moto uniformemente accelerato posso scrivere:

per il primo sistema 1

111 t

VMF

⋅=

e per il secondo sistema: 2

222 t

VMF

⋅=

inoltre posso esprimere tutte le variabili del secondo sistema in base a quelle del primo e delle costanti di similitudine:

12 FcfF ⋅= 12 McmM ⋅= 12 VcvV ⋅= 12 tctt ⋅= Sostituendo questi valori nell’equazione precedente si ha :

11

111 F

ctcvcm

tVM

ctcvcm

Fcf ⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅

per cui: 1=⋅⋅cvcmctcf

Sostituendo le costanti di similitudine in questa relazione ottengo:

NeVMtF

VMtF

VMtF

=⋅⋅=

⋅⋅

=⋅⋅

2222

1111 = numero di Newton

Vantaggi dei numeri adimensionali I semplici esempi di similitudine hanno mostrato che si possono ricavare e che cosa siano gli invarianti o numeri adimensionali. Termini adimensionali possono essere trovati in ogni fenomeno fisico. L’esistenza di una similitudine tra due fenomeni è quindi assicurata dallo stesso valore del numero adimensionale che li caratterizza. Oltre alla similitudine esiste anche una più ampia ed organica teoria denominata Analisi Dimensionale, che giunge alla definizione dei numeri adimensionali. Per gli scopi attuali è comunque sufficiente limitarsi a sottolineare che l’uso dei numeri adimensionali consente di ridurre il numero delle variabili di un problema. Dal un punto di vista della ricerca sperimentale il vantaggio di tale riduzione risulta enorme in quanto viene ridotto drasticamente il numero di prove necessario allo studio completo di un fenomeno. Infatti il numero di prove risulta elevatissimo se svolto facendo variare singolarmente in successione ciascuno dei parametri. Di conseguenza l’analisi dimensionale è divenuta un importante utensile matematico per lo sperimentatore. Il suo sviluppo ha fatto avanzare la teoria dei modelli al punto che oggi quasi nessuno studio viene eseguito in scala reale.


I numeri adimensionali di più frequente uso nella teoria degli scambi termici sono molteplici, nel seguito ci limiteremo all’utilizzo di quattro.

- Numero di Reynolds vVLρ=Re

Il numero di Reynolds è una misura del rapporto tra forze d’inerzia e forze viscose.

-Numero di Prandtl k

vpc ⋅=Pr

Il numero di Prandtl è una proprietà del fluido che collega il gradiente di temperatura al gradiente di velocità alla parete.

-Numero di Nusselt k

LhNu

⋅=

Il numero di Nusselt è una funzione di Re e Pr ed è inversamente proporzionale allo spessore dello strato limite termico.

-Numero di Stanton PrRe⋅

=⋅⋅

= NuVpc

hSt

ρ

Con ρ = densità ��

�

��

�

3m

kg; V= velocità ��

��

�

sm

; v = viscosità dinamica ��

��

�

⋅ smkg

; k= conducibilità

termica ��

��

�

⋅° mCW

; pc = calore specifico a pressione costante ��

��

�

⋅° kgCJ

; h= coefficiente di scambio

termico ��

�

��

�

⋅° 2mC

Wed L= lunghezza [m].

1,3) IL CONCETTO DI STRATO LIMITE Per una migliore comprensione del meccanismo di scambio termico convettivo è opportuno introdurre il concetto di strato limite. Strato limite idrodinamico Un fluido che lambisce un corpo solido aderisce ad esso, così si crea una regione con scorrimento a velocità variabile tra il corpo ed il flusso libero, come indicato in figura. Questa regione è detta strato limite, sl. L’sl ha spessore d.

Strato limite


Lo spessore dello sl è definito, arbitrariamente, come la distanza dal corpo alla quale la velocità si avvicina a meno dell’1 % alla velocità del flusso libero Vo. Normalmente d è molto piccolo in confronto alla dimensione x del corpo immerso nel fluido. Il primo passo che occorre fare prima di poter predire il coefficiente di scambio termico h, è la descrizione matematica dello sl. Questa descrizione è stata fatta per la prima volta da Prandtl (Ludwig Prandtl 1875-1953, Professore di Meccanica dei Fluidi a Gottinga, contribuì a fornire i fondamenti per l’analisi della conduzione termica) assieme ai suoi studenti a partire dal 1904 e, tenuto conto delle semplificazioni fatte, portò alla cognizione di quanto sottile esso debba essere. L’equazione dello spessore d dello sl su di una superficie piana, in funzione delle variabili che su essa incidono, è del tipo: d = f (Vo, ρ , ν, x) dove x è la coordinata della superficie e ρ (kg/m^3) e ν (kg/m-s) sono rispettivamente la densità e la viscosità dinamica del fluido. Ci sono cinque variabili e l’applicazione dei criteri di analisi dimensionale porta alla definizione di due gruppi adimensionali e cioè:

xd

ed v

xVx

⋅⋅= 0Re

ρ

con Re, numero di Reynolds, che caratterizza l’influenza relativa delle forze inerziali rispetto a quella delle forze viscose nella trattazione del moto dei fluidi. L’indice posto al piede di Re indica su quale dimensione esso viene calcolato. Il risultato quantitativo ottenuto per una superficie piana e Vo costante è dato da:

( ) 5.0Re

92.4

xxd

⋅=

pertanto se la velocità Vo è elevata o la viscosità ν piccola, d/x sarà relativamente piccolo. In questi casi quindi lo scambio termico sarà relativamente elevato. Al contrario se la velocità è bassa, lo sl sarà relativamente spesso. In questo caso una grande quantità di fluido si troverà accumulata vicino alla superficie e sarà parzialmente ancorata al corpo. Il numero di Reynolds Re è così chiamato da Osborne Reynolds (1842-1912, insegnò Meccanica dei Fluidi a Manchester) ed a lui è dovuto l’esperimento, peraltro di semplice esecuzione, che ha evidenziato il meccanismo di transizione tra regime laminare e turbolento di un flusso fluido in un tubo. Nel dispositivo, mostrato in figura, egli inietta inchiostro in un flusso stazionario indisturbato di acqua.


Dispositivo sperimentale di O. Reynolds

Per conservare la stazionarietà la portata d’acqua viene variata a gradini. L’esperimento mette in evidenza che, al di là di un certo valore di Vm, velocità media del fluido marcato di inchiostro, la corrente diventa instabile ed inizia a disperdersi in un numero crescente di vortici. I vortici indicati dal tracciante inchiostro portano alla fine ad un completo mescolamento con l’acqua, come illustrato nella figura. Per definire la transizione si noti dapprima che il valore della velocità critica Vc, valore di Vm al quale avviene la transizione laminare-turbolento, dipende dal diametro D del tubo, dalla densità ρ e dalla viscosità dinamica ν del fluido.

Il corrispondente valore Rec è dato da: v

DcVc

⋅⋅=

ρRe

Il massimo valore di Re al disotto del quale il flusso perfettamente sviluppato lungo il tubo permane sempre stabilmente laminare è circa 2100. Più incerto resta invece il valore di Re al disopra del quale il flusso diventa sicuramente turbolento. In qualche caso di esperimenti eseguiti accuratamente il valore di Rec può essere anche 10^4 o superiore. L’intervallo di incertezza è abitualmente suddiviso in due parti, una prima parte, fino a circa 4*10^3 è detta zona critica di Re e dipende in una certa misura anche dalla rugosità della parete del tubo. Alla zona critica segue poi una zona di transizione che si assume comunemente terminare a Re = 10^4. Al di sopra di tale valore il flusso è definito come completamente turbolento. Cambiando geometria il comportamento cambia: ad es. per un flusso lungo una superficie piana Rec può raggiungere valori molto più elevati. Strato limite termico Se una superficie è ad una temperatura wT , diversa dalla oT della corrente fluida, allora esiste uno strato limite termico slt di spessore dt , diverso dallo strato limite sl del flusso, di spessore d. Uno slt è illustrato nella figura seguente per un fluido freddo che scorre su una superficie calda.


Strato limite termico Con riferimento alla figura si eguagli il calore asportato dalla parete del fluido per conduzione allo

stesso calore espresso in termini di coefficiente di scambio convettivo h ��

�

��

�

⋅° 2mC

W

( )oTwThyy

Tfk −⋅=

=��

�

�⋅−

0δδ

eq. di fourier eq. di Newton

dove fk ��

��

�

⋅° mCW

è la conducibilità termica del fluido.

Si osservi che è corretto esprimere il calore asportato dalla superficie nei termini dati dalla conduzione di Fourier in quanto non c’è moto del fluido nella direzione del flusso di calore q

��

�

��

�

2m

W.

L’equazione può essere trasformata nella formula:

NuLfkLh

yLy

oTwTTwT

=⋅=

=��

�

�

��

�

�

−−

0

δ

δ = Numero di Nusselt

dove L è una dimensione caratteristica della superficie considerata, la lunghezza del piano, il diametro del cilindro o (se si scrive l’equazione in un punto di interesse lungo una superficie piatta):


fkxh

Nux⋅=

Dalla figura si deduce che il significato fisico di Nu è dato dalla:

'dtL

NuL =

In altre parole il numero di Nusselt Nu è inversamente proporzionale allo spessore dello slt. Il numero di Nusselt prende il nome da Wilhelm Nusselt i cui lavori sugli scambi convettivi del calore furono fondamentali quanto lo fu Prandtl nell’analisi della dinamica dei fluidi ad essi relativi. Nusselt (1882-1957) a Dresda tra gli anni 1913-17 diede due dei suoi più importanti contributi: -l’analisi dimensionale degli scambi convettivi che portò alla possibilità di generalizzare dati limitati prima ancora che si sviluppasse in tutta la sua ampiezza la teoria dell’Analisi Dimensionale grazie a Buckingam ed a Rayleigh -stabilì inoltre come calcolare gli scambi convettivi durante la condensazione a film di un vapore. Professore a Monaco di Baviera di Meccanica Teorica contribuì a creare una metodologia per il progetto degli scambiatori. 1,4) LO SCAMBIO TERMICO IN CONVEZIONE FORZATA IN UN TUBO RETTULINEO Peculiarità del flusso e dello scambio di calore Il processo di scambio termico in un fluido che scorre all’interno di un tubo è più complesso che lo scambio di calore su di una superficie esposta ad un flusso infinito. Infatti in un flusso infinito il fluido ad una certa distanza dalla parete solida non è direttamente coinvolto nei processi che si svolgono alla superficie. Il tubo invece ha una sezione trasversa finita. Questo implica da un lato che gli effetti della viscosità del fluido, dopo un certo transitorio in ingresso al tubo, si faranno sentire. Inoltre poiché il tubo ha dimensioni finite, la temperatura del fluido varierà sia trasversalmente che longitudinalmente al flusso. Nel tubo, ovviamente, il flusso può essere sia laminare che turbolento. Come già visto all’interno di un tubo il valore del numero di Reynolds Re è basato sul diametro del tubo D. Se il fluido entra nel tubo proveniente da un ampio volume e l’imbocco è arrotondato, la distribuzione radiale di velocità all’ingresso sarà piatta. Mentre il fluido fluisce lungo il tubo uno strato limite idrodinamico sl di spessore d gradualmente crescente si forma sulla parete. Il progressivo crescere dello spessore fa sì che dopo un certo percorso lo sl si fonda e venga inglobato in un unico tipo di flusso e si stabilisca nel tubo una distribuzione di velocità costante. La distanza dall’ingresso alla quale la distribuzione di velocità si stabilizza è detta lunghezza di stabilizzazione idrodinamica ls. La lunghezza di stabilizzazione è presente sia nel flusso laminare che in quello turbolento. -In un flusso laminare isotermo stabilizzato il profilo di velocità lungo il raggio R del tubo è parabolico.


��

�

�

��

�

��

�

�

⋅−⋅=

2

5.01)(

DR

oVRV

Si ha quindi V(0) = Vo = V max e V(D/2) = 0 La velocità media del flusso risulta essere Vm = Vo/2 -In un flusso turbolento dopo il percorso Tlt quasi tutta la sezione è interessata dai vortici di turbolenza, fatto salvo un sottile strato limite viscoso alle pareti.

Per Re elevato lo spessore d dello strato limite è trascurabile rispetto al raggio del tubo. Malgrado ciò per lo scambio termico lo strato limite viscoso alla parete rappresenta la resistenza termica principale in quanto il calore è trasferito attraverso di esso per conduzione. In questo caso il profilo della distribuzione di velocità nella sezione trasversa assomiglia ad una parabola tronca. Il valore della velocità massima è sempre al centro del tubo come nel caso laminare ma varia col raggio con un profilo piatto per poi ridursi bruscamente a zero in prossimità della parete. Non esistono formule semplici per descriverlo, ma esistono in letteratura formule approssimate adatte alle caratteristiche fisiche del fluido ed al valore di Re. A titolo di esempio sulla figura (Mikheyev) è riportato il rapporto Vm/Vo in funzione di Re.

Rapporto velocità media/velocità massima in regime turbolento


Scambio termico in flusso turbolento interno ad un tubo rettilineo In un flusso turbolento lo scambio termico nel fluido è causato principalmente dalla vorticosità. Il processo di mixing è di tale intensità che la temperatura del fluido rimane praticamente costante su tutta la sezione trasversa del tubo. Una brusca variazione della temperatura si osserva solo in corrispondenza dello strato limite. Una tale distribuzione di temperatura annulla praticamente gli effetti della convezione naturale e lo scambio termico è interpretabile solo in chiave di convezione forzata. Come già detto Nusselt fu il primo a fare un esame dettagliato dello scambio termico turbolento in un gas e ad utilizzare la teoria della similitudine per ottenere correlazioni di scambio di validità generale. Il numero di Nusselt Nu è una funzione dei numeri di Reynolds Re e di Prandtl Pr, un fatto provato dall’analisi teorica, dall’analisi dimensionale ed anche dagli esperimenti. L’utilizzo delle correlazioni con numeri adimensionali ha facilitato la generalizzazione ed il confronto dei risultati sperimentali ottenuti. In letteratura molteplici sono le correlazioni disponibili per lo scambio interno in regime turbolento in tubi rettilinei. Alcune di queste sono mostrate nella Tab. di pag.18. L’utilizzo di tali correlazioni richiede comunque attenzione per la verifica delle condizioni di validità, che generalmente derivano dalle modalità di esecuzione delle prove sperimentali. 1) Effeti d’imbocco Il coefficiente di scambio h all’imbocco del tubo è massimo e si riduce progressivamente fino a stabilizzarsi definitivamente dopo un certo percorso xst, come mostrato in figura (Mikheyev) dove a α(x) è il valore locale di h ed α il valor medio sulla lunghezza percorsa. In generale per la validità delle correlazioni si considera certamente raggiunta la stabilizzazione termica per un rapporto lunghezza del tubo L al suo diametro D tale che: L/D> 50 circa.

Lunghezza di stabilizzazione


2) Geometria Il tubo è rettilineo. Vi sono correzioni per particolari geometrie (es. tubo avvolto a solenoide, curve, ecc.). 3) Re L’intervallo di validità di Re deve essere rispettato rigorosamente. Per bassi valori di Re si entra nella zona di transizione e poi in quella laminare, dove valgono correlazioni di scambio diverse da quelle mostrate. La sola correlazione Petukhov-Gnieliski si estende ad Reb = 2300. ( b = bulk ) Nella Figura seguente, che mostra i risultati della scuola Russa di Mikcheyev, è posto Ko (un parametro adimensionale che include il numero di Nusselt) in funzione di Re. La curva tratteggiata è l’estrapolazione alla zona di transizione della correlazione di Ko valida in zona turbolenta. Per confronto sono mostrati i risultati sperimentali (indicati con croci e pallini) in tale zona, ed inoltre la nuova forma della correlazione. Trattandosi di un grafico Log-Log le differenze sono grandi. Le curve con Gr (Numero di Grashof) diverso da 1 non hanno rilievo ai fini attuali. 4) Temperature La temperatura di riferimento alla quale calcolare le proprietà del fluido può, a seconda della correlazione, essere To media del fluido oppure T film.

La 2

oTpareteTfilmT

−= per quanto si è detto in precedenza è sensibilmente la temperatura media

del film. Chiaramente se ∆T= salto di temperatura tra fluidi o tra parete e fluido risulta elevato, occorre tenerne conto nella correlazione. 5) Pr Anche l’intervallo di validità di Pr riveste importanza. Pr elevato significa che il fluido è di tipo oleoso. I metalli liquidi hanno Pr compreso tra 10^-2 e 10^-3.

Scambio termico in zona di transizione


Queste considerazioni si applicano alle correlazioni della Tab. seguente che, come detto, riporta alcune delle principali correlazioni di scambio termico turbolento tra le quali scegliere per il calcolo dello scambiatore lineare. Sono inoltre evidenziati gli intervalli di validità dei parametri. -Le correlazioni di Dittus-Boelter e di Colburn sono tra le prime ad essere state formulate e la prima è di uso più frequente per la sua semplicità e perchè non richiede di determinare Tfilm. -La correlazione di Sieder-Tate contiene un fattore correttivo per la variazione della viscosità in prossimità della parete. -Anche la correlazione di Mikheyev contiene un fattore correttivo che implica il calcolo del numero di Prandtl sia nel fluido che alla parete. -Poichè tutte le correzioni richiedono la conoscenza od il calcolo della temperatura di parete la loro applicazione risulta più complessa.

2) IL CALCOLO DI UNO SCAMBIATORE Il calcolo di uno scambiatore convettivo a superficie è basato sull’equazione di Newton. In condizioni stazionarie l’equazione fornisce la potenza termica dQ scambiata localmente (a meno del segno) attraverso l’areola dA sotto la differenza di temperatura ( della bulk temperature = temperatura di massa) ∆T tra i due fluidi. a) dATUdQ ⋅∆⋅= [W] Il coefficiente U è detto coefficiente di scambio totale. Progettare uno scambiatore significa integrarla nella forma:

b) TU

dQdA

∆⋅=

In condizioni approssimativamente isobare l’equazione ha carattere perfettamente generale.

Tab. Quadro delle formule del coefficiente di scambio termico interno ad un tubo con circolazione forzata

FORMULA RE Pr DT T Note

Dittus-BoelterNu=0,023*Reb^0,8*Prb^0,4 10^4<Reb<1,2*10^5 0,7<Prb<120 piccolo T bulk Dubbi per liquidi viscosi

ColburnNu=0,023*Ref^0,8*Prf^0,33 2*10^4<Ref<3*10^5 0,5<Prf<100 piccolo T film Tfilm=(Tw+Tb)/2St*Prf^0,67=0,023*Ref^-0,2 cp a Tb

Sieder-TateNu=0,023*Reb^0,8*Prb^0,33*(v/vw)^0,14 5*10^3<Reb<2*10^5 0,67<Prb<100 elevato T bulk liquidi, influenza di vSt*Prb^0,67=0,023*Reb^-0,2*(vb/vw)^0,14 Tw

liquidi Nu=Nub*(vb/vw)^n con n=0,11 se Tw>Tb e con n=0,25 se Tw<Tb valida se 0,025<(vb/vw)<12,5gas Nu= Nub*(Tb/Tw)^n con n=0,47 se Tw>Tb e con n=0 se Tw<Tb valida se 0,27<(Tb/Tw)<2,7

Petukhov-Gnieliski (Inst. of High Temp. Moscow)Nu=(f/8*(Reb-1000)*Prb)/(1+12,7*(f/8)^0,5*(Prb^0,67-1)) 2,3*10^3<Re<5*10^6 0,5<Prb<200 libero T bulk precisione<6%f=1/(1,82*LOGReb-1,64)^2 200<Prb<2000 precisione<10%

Mikheyev (USSR Academy) PediciNu=0,021*Reb^0,8*Prb^0,43*(Prb/Prw)^0,25 10^4<Reb<6*10^6 0,6<Prb<2500 libero T bulk b=bulk w=parete f=film

Tw

St=h/(cp*G) Nu=h*D/k Pr=cp*v/k Re=G*D/v Nu=St*Re*Pr16


Essa presenta però difficoltà nella sua integrazione in quanto spostandosi lungo lo scambiatore la U e ∆T sono variabili e cambiano con le temperature dei due fluidi. Talvolta, come nel caso lineare, l’integrazione è possibile e si procede per via grafica o numerica. SCAMBIATORE LINEARE Lo scambiatore più semplice da trattare è quello lineare che può essere schematizzato in due tubi concentrici di diametro differente come in figura. Scambiatore lineare in controcorrente

Un fluido scorre nel tubo interno e l’altro nell’intercapedine tra i due, a seconda della direzione delle loro velocità di scorrimento lo scambiatore è detto in equicorrente (parallel flow) od in controcorrente (counterflow). Il tubo esterno è supposto, per semplicità, perfettamente isolante in modo da garantire che la potenza ceduta dal fluido più caldo sia eguale a quella assorbita dal fluido più freddo. I profili di temperatura in funzione della superficie dello scambiatore sono del tipo esemplificato nelle figure seguenti nel caso controcorrente ed equicorrente.


Profili di temperatura fluidi in equi e controcorrente 2,1) DIFFERENZA DI TEMPERATURA LOGARITMICA MEDIA Il procedimento di calcolo dello scambiatore lineare indicato dalla equazione b) può essere lungo e tedioso.Per disporre di una trattazione semplice ed evitare integrazioni, opportune ipotesi consentono di trattarlo con formule analitiche. In pratica si trasforma lo scambiatore monodimensionale in uno scambiatore puntuale. Dal punto di vista della precisione del calcolo tali assunzioni sono talvolta penalizzanti, in sostanza si opta per una semplificazione a danno della precisione. Le ipotesi assumono che lungo tutto lo scambiatore: 11)) IIll ccooeeffffiicciieennttee ddii ssccaammbbiioo ttoottaallee UU èè ccoossttaannttee.. 22)) IIll ccaalloorree ssppeecciiffiiccoo ccpp ddeeii dduuee fflluuiiddii èè ccoossttaannttee.. 33)) LLaa ppoorrttaattaa mmaassssiiccaa WW ddeeii dduuee fflluuiiddii èè ccoossttaannttee.. UUnnaa ppoossssiibbiilliittàà ppeerr aassssiiccuurraarree UU==ccoosstt.. èè cchhee aanncchhee llee pprroopprriieettàà ffiissiicchhee ddeeii fflluuiiddii,, ((iinn ppaarrttiiccoollaarree llaa ccoonndduucciibbiilliittàà tteerrmmiiccaa kk ee llaa vviissccoossiittàà ddiinnaammiiccaa vv )) ssiiaannoo aassssuunnttee ccoossttaannttii.. Con riferimento alla figura che mostra il caso equicorrente queste assunzioni portano alla definizione di Temperatura logaritmica media ∆∆∆∆Tlm: lo sviluppo analitico risulta, con qualche differenza, applicabile anche nel caso controcorrente.


Profili di temperatura dei fluidi nel caso equicorrente Detti pcC e pfC i calori specifici dei fluidi caldo e freddo ed Wc ed Wf le rispettive portate

massiche, si ha con riferimento alla figura:

ifTicTt −=2

ufTucTt −=1

∆T = Tc – Tf Differenziando quest’ultima si ha:

c) d(∆∆∆∆T) = dTc - dTf Il calore scambiato su dA, posto fWpfCfC ⋅= e cWpcCcC ⋅= , è:

d) dQ = Cf * dTf = - Cc * dTc Questa relazione mostra come Tc e Tf varino linearmente con la potenza termica Q.

Posto ��

�

�

�+=

fCcCB

11 allora c) e d) danno:

d) d(∆∆∆∆T) = -B * dQ ‘


integrando tra t2 ed una posizione generica, ottengo:

e) ∆T

t2d(∆∆∆∆T) = - B *

Q

o

dQ

per cui: f) ∆∆∆∆T = t2 – B * Q La f) mostra, come detto sopra, che il salto di temperatura ∆T = Tc – Tf è massimo ed eguale a t2 sul piano Q= 0 e decresce linearmente col calore scambiato fino al minimo t1 per Q = Qo . Se integro la d) tra t2 e t1 ottengo:

g) t1 – t2 = - B * Qo scrivendo la e) in termini di ∆T ed integrando ottengo invece:

h) ( ) dATUBTd ⋅∆⋅⋅−=∆

i) ∆T

t2

( ) ⋅⋅−=

∆∆ A

o

dAUBTTd

per cui l) dAUBtT ⋅⋅−=��

�

� ∆

2ln

e cioè: m) dAUBetT ⋅⋅−⋅=∆ 2 che mostra come il salto di temperatura ∆T = Tc – Tf vari esponenzialmente con la superficie A, e perciò lungo lo scambiatore, tra il valore t2 per A = 0 ed il valore t1 per A = Ao , come già mostrato nelle figure precedenti. Se integro la i) tra t2 e t1 ottengo:

n) oAUBtt ⋅⋅−=��

�

�

2

1ln

combinando g) con n) ottengo finalmente:

o) TmloAU

tt

ttoAUoQ ∆⋅⋅=

��

�

�

−⋅⋅=

2

1ln

21

La ∆Tml è detta temperatura logaritmica media, valida nei limiti di validità delle assunzioni fatte. Risulta così integrata l’equazione di progetto dello scambiatore. Si dispone quindi di una relazione tra la potenza scambiata nell’intero scambiatore Qo e le differenze di temperatura terminali dei fluidi.


Il caso controcorrente può essere trattato in modo identico e fornisce le medesime equazioni, fatto salvo che :

t1 = Tuc – Tuf e t2 = Tic – Tif nel caso equicorrente, con ��

�

�

�+=

fCcCB

11 ed invece:

t1 = Tic – Tuf e t2 = Tuc – Tif con ��

�

�

�−=

fCcCB

11nel caso controcorrente.

EFFICIENZA DI SCAMBIO Si può inoltre definire e calcolare l’efficienza di scambio � che è data dal rapporto tra la potenza termica Qo effettivamente scambiata e la potenza massima Qmax teoricamente estraibile da uno scambiatore in controcorrente di superficie infinita. Nel caso controcorrente l’efficienza per t2> t1 è data da:

( )( )

( )( )ifTicT

ucTicT

ifTicTcCucTicTcC

QoQ

−−

=−⋅−⋅

==max

ε

od anche ( )( )ifTicT

ifTufT

−

−=ε per t1> t2

Nei calcoli essa viene utilizzata per la lettura del coefficiente Fc , fattore di correzione del ∆Tml nel caso di scambiatore a correnti incrociate. RAPPORTO DELLE CAPACITA’ TERMICHE ORARIE DEI FLUIDI Essendo. ( )ucTicTcCoQ −⋅= ( )ifTufTfCoQ −⋅=

Dal rapporto ricavo ( )( )ucTicT

ifTTuf

fCcC

vu−

−==

Nei calcoli anch’essa viene utilizzata per la lettura del coefficiente Fc. COEFFICIENTE DI SCAMBIO TERMICO TOTALE Come detto progettare lo scambiatore significa calcolare il valore della superficie necessaria Ao, a partire dal coefficiente di scambio termico totale U, dalle capacità termiche orarie Cc e Cf nonché dalle temperature terminali dei fluidi. Generalmente Cc, Cf e le temperature terminali sono dati immediatamente disponibili, mentre più complessa è la determinazione di U. Per questo frequentemente gli scambiatori vengono progettati utilizzando valori di U noti da realizzazioni simili. U può comunque venire determinato direttamente dalla conoscenza dei coefficienti di scambio parziali, o meglio dalle resistenze termiche parziali, che sono il loro inverso.


In geometria piana la resistenza totale R = 1/U è data semplicemente dalla somma delle resistenze che si oppongono, in serie, al passaggio del calore. In geometria cilindrica la situazione è più complessa. I valori della Ao e della U fanno riferimento alla superficie esterna dei tubi nudi: non è l’unica scelta possibile ma quella generalmente adottata. Nel caso di tubi lisci, si ha :

iDeD

sRfhl

wkseq

fRchl

Ul ⋅

��

�

�

�+++��

�

�

�+=

dove i coefficienti di scambio convettivo hc esterno ed hf interno sulle pareti del tubo verranno discussi nel seguito. Rf è la resistenza dovuta al fouling esterno ed Rs quella dovuta allo scaling sulla parete interna, note esclusivamente in base a dati sperimentali. De e Di sono il diametro esterno ed interno dei tubi. La seq/kw è la resistenza termica, riferita a De, offerta dallo spessore s del tubo, di materiale con conducibilità termica kw.

Lo spessore s del tubo, riportato alla superficie esterna, è dato da ��

�

�⋅=

iDeDeD

seq ln2

.

Come verrà evidenziato nel seguito la resistenza dello spessore del tubo nel caso dei tubi lisci può spesso essere trascurata. Al contrario nel caso dei tubi alettati essa ha importanza e deve essere considerata. SCELTE PER I CALCOLI Nello scambiatore lineare considerato la temperatura media di ciascuno dei fluidi T (bulk) varia lungo il percorso nei tubi. Di conseguenza anche le loro caratteristiche fisiche k(T); v(T), ρ(T); Cp(T) , che dalla temperatura dipendono, variano e fanno sì che anche la U(T) sia variabile lungo lo scambiatore. Perciò per utilizzare la formula di calcolo con la ∆Tml occorre stabilire per esse un valore unico che sia rappresentativo delle proprietà medie nello scambiatore. Occorre quindi individuare per ciascuno dei fluidi un opportuno valore di Tm (bulk) medio sul transito, al quale calcolare tali valori. Non si conosce la soluzione ottimale di questo problema. Inoltre un valore adeguato di Tm (bulk) in modo che i valori calcolati di tutte le caratteristiche fisiche, assumano tutti contemporaneamente un valore adeguato, non è detto che esista, se non in casi particolari. Si fanno pertanto le seguenti osservazioni: -ρρρρ(T) si può evitare di calcolarlo e determinare Re facendo riferimento alla portata specifica G=ρ*V, che nella situazione considerata è costante. -cp(T) compare in Pr e nel bilancio di calore scambiato tra i fluidi. Un valore medio adeguato si ricava dal salto entalpico dei fluidi, se disponibile, tra le temperature di ingresso ed uscita dallo scambiatore. -k(T) e v(T) vengono abitualmente calcolate alla media aritmetica di T(bulk) tra le temperature di ingresso e di uscita dallo scambiatore. Per U(T) fortemente variabile Mc Adams suggerisce di suddividere lo scambiatore in un certo numero di scambiatori in serie tra loro, nei quali la variazione di U(T) sia contenuta.


2,2) LO SCAMBIATORE A CORRENTI INCROCIATE La geometria dello scambiatore lineare consente, come visto, una trattazione diretta delle equazioni di progetto. La geometria lineare però non è propria degli HRSG (Heat Recovery Steam Generators), cioè degli scambiatori a recupero di calore installati nei cicli combinati. Gli HRSG , sono, nella generalità dei casi, generatori di vapore riscaldati da gas combusti a correnti incrociate (crossflow), come mostrato nella figura di pag. 26. Malgrado le differenze esistenti l’esperienza mostra che, partendo dalla relazione della potenza termica Qo relativa allo scambiatore lineare in controcorrente, si può calcolare la Qo di uno scambiatore crossflow inserendo semplicemente un fattore correttivo Fc (Fc < 1) del ∆∆∆∆Tlm detto Fattore di Bowman, che per primo lo ha calcolato , ed ottenere dei risultati soddisfacenti. La ( o ) diventa: ( o’) ( )TmlcFAUoQ ∆⋅⋅⋅= Si assume pertanto che uno scambiatore in Crossflow sia equivalente ad uno scambiatore lineare in controcorrente con un salto di temperatura ridotto. Il fattore F dipende dalla configurazione geometrica dello scambiatore (shell and tubes :secondo il numero di shells e di passi, crossflow con uno o più passi, ecc.) e viene determinato in funzione di due parametri:

-L’efficienza dello scambiatore ( )( )ifTicT

ifTufT

−

−=ε

-Il rapporto delle capacità termiche ( )( )ucTicT

ifTufT

fCcC

v−

−== od il suo inverso 1/v.

Per il caso di scambio in crossflow a passaggio singolo, come quello di un banco di HRSG, si può determinare la Fc mediante il grafico di pag.27 edito da B&W.


Schema di scambio a flussi incrociati (J.Lienhard)


Fattore di Bowman (da B&W) 3) CALCOLO DI UNO SCAMBIATORE LINEARE DESCRIZIONE Lo scambiatore schematizzato consiste in: -un cilindro di lunghezza L percorso assialmente da vapore saturo a temperatura Tv. -una serpentina di tubi di rame di diametro D e spessore trascurabile posta al suo interno. Nei tubi della serpentina transita una portata w, costante, di acqua.


L’acqua viene riscaldata dalla temperatura Tin alla temperatura Tout dal vapore che condensa sulla superficie dei tubi.La portata del vapore è tale che in uscita dal cilindro è ancora maggiore di zero. Si vuole calcolare il numero di tubi Nt della serpentina, necessario ad assicurare lo scambio termico, e valutare la temperatura di parete dei tubi.

Schema dello Scambiatore DATI: L = 5 m (lunghezza dei tubi) D = 0,1 m (diametro dei tubi) a) Vapor d’acqua saturo Tv = 105 °C (in ingresso ed in uscita)

hv = 3000 ��

�

��

�

⋅° 2mC

W (coefficiente di scambio esterno vapore/serpentina, costante)

b) Acqua w = 1,75 kg/s (portata acqua, costante) Tin = 10 °C Tout = 100 °C P = 50 bar c) Caratteristiche dell’acqua (con riferimento a 0 °C)

poC = 4150 ��

��

�

⋅° kgCJ

pC (T)= poC +a1*T a1 = 0,5 (calore specifico)

ko = 0,55 ��

��

�

⋅° mCW

k(T) = ko+a2*T a2= 0,0015 (conducibilità termica)

vo = 0,0017 ��

��

�

⋅ mskg

v(T) = vo+ a3* T a3= -0,00015 (viscosità dinamica)

Nello scambiatore pertanto il fluido riscaldante, cioè il vapore saturo a temperatura Tv, condensa sulla superficie dei tubi della serpentina, garantisce un coefficiente di scambio esterno hv ovunque costante ed ha una portata residua in uscita. Tale scambiatore può essere considerato indifferentemente in equicorrente od in controcorrente. La situazione proposta consente di trattarlo come uno scambiatore lineare, si useranno le formule in equicorrente.


3,1) METODO DELLA DIFFERENZA DI TEMPERATURA LOGARITMICA MEDIA DTlm La relazione base TmloAUoQ ∆⋅⋅= permette di determinare la superficie totale Ao dei tubi e quindi, attraverso D ed L, di calcolare il loro numero Nt. Per determinare Ao debbo pertanto prima calcolare Qo, ∆Tlm ed Uo. La relazione è applicabile solo se sono rispettate le ipotesi che stanno alla base della sua formulazione e cioè: w, Cp ed Uo costanti su tutto lo scambiatore Sul lato vapore la hv, che interviene nel calcolo di Uo, è costante e i dati iniziali corrispondono a w e Cp infiniti, quindi le ipotesi sono verificate. Sul lato acqua, mentre la portata w è costante e quindi soddisfa le ipotesi, le caratteristiche Cp, k e v, che intervengono nel calcolo di ho (e successivamente di Uo), variano con la temperatura. Occorre pertanto scegliere: - un valore di Cp medio che rispetti il bilancio termico - opportuni valori di k e v che siano rappresentativi delle caratteristiche medie dell’acqua Quindi, mentre il corretto valore di Cp è verificabile dal salto di entalpia dell’acqua tra temperatura di ingresso e di uscita, per k e v invece no. In mancanza di meglio, esse vengono abitualmente calcolate alla temperatura media (aritmetica) del fluido termovettore tra ingresso ed uscita dalla serpentina. Il calcolo dello scambiatore col Metodo del ∆∆∆∆Tlm è eseguito sul foglio Excel di Fig. 1.

I valori di Cp(T), k(T) e v(T) calcolati alla temperatura media 2

outTinTmT

+= = 55 °C, sono:

- pmC (55)= 4177,5 ��

��

�

⋅° kgCJ

-km(55)=0,633 ��

��

�

⋅° mCW

-vm(55)=0,00059 ��

��

�

⋅ mskg

in base a questi valori si determinerà quindi ho. -Potenza termica Qo assorbita dall’acqua Occorre verificare che pmC sia tale che :

⋅⋅=−⋅⋅=out

in

T

T

dTTpcwinToutTpmcwoQ )()(

Nel caso attuale la verifica è superflua in quanto cp è lineare con la temperatura e pertanto il suo valore alla temperatura media e uguale al suo valor medio. Il flusso termico tra Tout = 100 °C e Tin = 10 °C risulta quindi Qo = 6,58 * 105 W.


-Differenza di temperatura logaritmica media ∆∆∆∆Tlm Le differenze di temperatura terminali sono:

CoutTvTt °=−=−= 51001051 CinTvTt °=−=−= 95101052

Pertanto :

��

�

�

−=∆

21ln

21

tttt

lmT = (5-95)/ln(5/95) = 30,57 °C

-Coefficiente di scambio termico totale Uo L’inverso di Uo cioè 1/Uo, è la resistenza totale che si oppone al passaggio del calore ed è data dalla somma delle resistenze parziali presenti. Essendo trascurabile lo spessore del tubo la sua resistenza sarà nulla, restano allora da considerare i soli contributi dei coefficienti di scambio:

ohvhoU

l 11 +=

poichè hv è dato, si deve calcolare solo il coefficiente di scambio termico interno ai tubi ho. A tal fine conviene calcolare dapprima il numero di Reynolds Re = G * D/v , essendo G la

portata specifica, ed il numero di Prandtl k

vpc ⋅=Pr .

Si ha quindi alla temperatura media:

��

�

��

�=

⋅

=2

223

4

2 m

kg

D

wG

π

mvDG

m⋅=Re = 37922

mk

mvpmcm

⋅=Pr = 3,88

Il valore di Rem, essendo > 10^4, è oltre la zona di transizione ed il flusso risulta essere totalmente turbolento. Per il calcolo del coefficiente di scambio termico ho, si utilizza la diffusa e semplice relazione di Dittus-Boelter (v.N.B.)

4.0Pr8.0Re023.0 mmNum ⋅⋅=

Dove mk

DohNum

⋅= è il numero di Nusselt.

Calcolando ottengo: Num = 182 ed ho = 1152 ��

�

��

�

⋅° 2mC

W


Pertanto: ohvhoU

l 11 += = 1,200 * 10-3 ��

�

�

��

�

� ⋅°W

mC 2

-Superficie di scambio e numero di tubi Dalla relazione iniziale si ricava la superficie:

oUl

lmToQ

oA ⋅∆

= = 25,86 m2

La superficie unitaria per tubo essendo : a = π *D *L =1,57 m2 Si ha il numero di tubi: Nt = Ao/a = 16,5 -Temperatura di parete La temperatura di parete Tw varia ovviamente lungo lo scambiatore tra ingresso ed uscita dell’acqua dalla serpentina; in corrispondenza di Tm essa può venir facilmente calcolata. Con riferimento alla figura:

In regime stazionario il flusso termico dQ/dA che la parete del tubo riceve dal vapore è uguale al flusso che l’acqua riceve dalla parete, pertanto:

)()( mTwTohwTvTvhdAdQ −⋅=−⋅=

e ricavando Tw ho: mT

vhoh

mTvTwT +

+

−=

1

e calcolando, Tw = 91,1 °C. Il risultato conferma il fatto, ovvio, che la temperatura di parete risulta più vicina alla temperatura del fluido con coefficiente di scambio termico maggiore. -Grafici temperatura/Calore e Temperatura/Superficie Il metodo del ∆Tlm tratta lo scambiatore con un modello privo di dimensioni nel quale le grandezze vengono opportunamente mediate per descrivere il comportamento complessivo.


Risulta comunque interessante darne una descrizione come scambiatore lineare, tenendo conto del fatto che fisicamente la dimensione più significativa è la lunghezza della serpentina. A tal fine sulla Fig. 1 sono riportati sia il grafico Temperatura/ Calore che quello Temperatura/Superficie. Per tracciare i grafici si è dapprima creata la tabella ad essi corrispondente. Nella prima colonna si è suddiviso il salto di temperatura (Tout-Tin) subito dall’acqua in intervalli parziali. In corrispondenza di ciascuna temperatura Tacqua si è poi calcolata la potenza

)( inTTacquapmcwQ −⋅⋅= necessaria a produrla ed il salto di temperatura ∆T tra i fuidi.

Come si vede sul grafico 1 la relazione Tacqua= f(Q) risulta ovviamente lineare, essendo cp=cost., di conseguenza anche l’andamento della ∆T = Tv-Tacqua è lineare. La relazione tra A e ∆T è data dalla formula l) di pag.22 e cioè:

⋅⋅−

��

�

�

=UB

tt

A 2

1ln

con ��

�

�

�+

⋅= 0

1

pmcwB .

La temperatura della parete dei tubi Tw=f (A) è calcolata, negli intervalli parziali, con la medesima relazione già utilizzata per Tw in corrispondenza della Tm. Sul grafico 2 sono quindi riportate, in funzione di A, sia Tv che Tacqua che Tw. Occorre ovviamente sottolineare che Tacqua=f(Q) è lineare, e che (relazione m pag.22)

dAUoBetT ⋅⋅−⋅=∆ 2 è esponenziale e così è per Tacqua=Tv-∆T. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (NB) A stretto rigore l’elevato valore del salto di temperatura del film d’acqua a contatto con la parete del tubo consiglierebbe l’utilizzo, invece della formula di Dittus-Boelter, appropriata per DT piccolo, della relazione dovuta a Sieder-Tate : Nu = 0,023 * Re^0,8 * Pr^0,33 * (vw/v)^0,14 Dove vw è la viscosità dinamica alla temperatura di parete Tw. l valore di Nu risultante da questa relazione (Nu=185) è poco diverso da quello di Dittus-Boelter, che pertanto è accettabile. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3,2) METODO DIRETTO Dall’equazione di Newton dAToUdQ ⋅∆⋅=

ricavo: ToU

dQdA

∆⋅=

che è l’equazione di progetto da risolvere. Essendo lo scambiatore di tipo lineare si può procedere con una integrazione passo-passo. A tal fine si deve disporre per ciascun passo del valore di Uo e ∆T e delle espressioni di dA e di dQ. L’integrazione passo-passo è riportata nella Tabella della Fig.2 del foglio Excel “Metodo Diretto”. In essa l’intervallo della temperatura dell’acqua (Tout – Tin) è stato suddiviso in valori parziali con passo incrementale dTacqua = 5 °C.


- Calcolo di ∆∆∆∆T La differenza ∆T = (Tv – Tacqua), con Tv = 105 °C = costante, è riportata nella terza colonna. -Calcolo di Uo Il calcolo di Uo passo-passo viene effettuato con le medesime formule utilizzate col metodo del ∆Tlm, e che sono riportate sul foglio di calcolo a titolo di promemoria. Per la T acqua di ciascun passo sono calcolati in successione i valori di Cp, k, v, Re, Pr, Nu, ho, ed infine di 1/Uo, che sono riportati nelle colonne della Tabella. - dQ L’ incremento di dQ ad ogni passo è dato da: acquadTpCwdQ ⋅⋅= e nella colonna sucessiva è riportato il valore Q cumulato nei passi, che termina a Qo = 6,5815*105 W per Tacqua = Tout. La determinazione di Qo per passi ha comportato, rispetto al calcolo esatto già eseguito, una differenza inferiore allo 0,03 %, assolutamente trascurabile. - dA Per dA si utilizza direttamente l’espressione di Newton:

ToU

dQdA

∆⋅=

Il valore progressivo di A è riportato nella colonna a fianco e termina con Ao = 26,19 m2, che è quindi la superficie di scambio necessaria per trasmettere all’acqua la potenza termica Qo. - Calcolo Tw In corrispondenza di ciascun passo la Tw è data dalla relazione, già utilizzata:

1+

−+=

vhoh

acquaTvTacquaTwT

- Grafici Temperatura/Calore e Temperatura/Superficie Nel 1° grafico, a differenza di quanto già mostrato per il metodo del ∆Tlm, gli andamenti delle Tacqua e Tw si discostano leggermente dalla linearità. Anche dalla visione d’insieme del 2° grafico, quello successivo, si vede che gli andamenti delle temperature sono analoghi ma non identici ai precedenti. Per vedere meglio le differenze occorre un confronto più puntuale.


- Confronto tra i risultati Il 1°grafico della Fig. 3 mostra A=F(Q) nei due Metodi ed evidenzia una differenza tra i profili, ma i valori finali: - Ao = 25,86 m2 se calcolata col metodo ∆Tlm - Ao = 26,19 m2 se calcolata col metodo diretto differiscono solamente di poco più dell’1 % per la stessa potenza termica scambiata Qo. Il 2° ed il 3° grafico mostrano i profili di Tw risultanti dai due metodi. I profili, sia in funzione di Q che di A, sono leggermente diversi, ma il risultato dello scambio, come detto, è buono. Si può concludere pertanto ce il calcolo di Ao col metodo del ∆∆∆∆Tlm, con gli andamenti attuali di k(T) ed v(T), è coincidente con il metodo diretto, che deve essere considerato più preciso perché in pratica suddivide lo scambiatore in un certo numero di scambiatori in serie. Il metodo diretto è però applicabile semplicemente al solo scambiatore lineare, e diffcilmente a tutti gli altri tipi di scambiatori. Questo spiega l’uso generalmente fatto del metodo del ∆Tlm che, come illustrato per il caso dello scambiatore a correnti incrociate, ha una validità generale per scambiatori con diverse geometrie, grazie all’uso di opportuni valori del coefficiente correttivo di Bowman. In alternativa si usa anche il metodo dell’NTU (Number of Transfer Units) quì non esemplificato.

dr.G

adda

Eri

o 1

5/04

/05

35

Fig.

1 M

ETO

DO

DE

L D

Tlm

(Ditt

us-B

oelte

r)D

ati

Form

ule

Tv=

105

°CQ

o=U

o*A

o*D

Tlm

hv=

3000

W/°

C-m

^21°

gra

fico

w=

1,75

kg/s

cpm

=41

77,5

cpm

=cp(

T m

)Ti

n=10

°Ckm

=0,

633

km=k

(T m

)T

out=

100

°Cvm

=0,

0005

9vm

=v(T

m)

D=

0,1

mt1

=5

t1=T

v-T

out

L=5

mt2

=95

t2=T

v-T

incp

o=41

50J/

kg-°

Ca1

=0,

5cp

(T)=

cpo+

a1*T

ko=

0,55

W/m

-°C

a2=

0,00

15k(

T)=

ko+a

2*T

vo=

0,00

17kg

/m-s

a3=

-0,0

0015

v(T

)=vo

+a3*

T^0,

5T

m=

55°C

Tm

=(T

in+T

out)

/2D

Tlm

=30

,57

°CD

Tlm

=(t1

-t2)

/LN

(t1/

t2)

G=

223

kg/s

-m^2

G=w

/Pi*

(D/2

)^2

Rem

=37

922

91,1

2688

9R

em=G

*D/V

mP

rm=

3,88

Prm

=cpm

*vm

/km

Num

=18

2N

um=0

,023

*Rem

^0,8

*Prm

^0,4

ho=

1152

W/°

C-m

^2N

um=h

o*D

/km

1/U

o=1,

201E

-03

°C*m

^2/W

1/U

o=1/

hv+1

/ho

Qo=

6,58

0E+0

5W

Qo=

w*c

pm*(

Tout

-Tin

)A

o=25

,86

m^2

Ao=

Qo*

1/(U

o*D

Tlm

)a=

1,57

m^2

a=P

i*D

*LN

t=16

,46

Nt=

Ao/

aT

wm

=91

,13

°CT

wm

=(T

v-T

m)/

(ho/

hv+1

)+T

mB

=1,

368E

-04

2° g

rafic

oTa

bella

gra

fici

Tac

qua

Tv

QD

T(Q

)A

(Q)

Tw

10,0

105

095

,00

0,00

78,6

420

,010

573

106

85,0

00,

9881

,42

30,0

105

1462

1375

,00

2,08

84,1

940

,010

521

9319

65,0

03,

3386

,96

50,0

105

2924

2555

,00

4,80

89,7

460

,010

536

5531

45,0

06,

5692

,51

70,0

105

4386

3835

,00

8,77

95,2

980

,010

551

1744

25,0

011

,72

98,0

690

,010

558

4850

15,0

016

,21

100,

8410

0,0

105

6579

565,

0025

,86

103,

61Q

o=w

*cpm

*(T

acqu

a-Ti

n)B

= 1/

((w

*cpm

)+0)

A (Q

)=LN

(DT

(Q)/t

2)/(

-B*U

o)T

w=(

Tv-

Tac

qua

)/(ho

/hv+

1)+a

cqua

Tem

pera

tura

/Cal

ore

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,

0

120,

0

010

0000

2000

0030

0000

4000

0050

0000

6000

0070

0000

Q (W

)

T (°C)

Tac

qua

Tv

DT

Tem

pera

tura

/Sup

erfic

ie

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,

0

120,

0 0,00

5,00

10,0

015

,00

20,0

025

,00

30,0

0

A (m

^2)

T (°C)

Tac

qua

Tv

Tw

(

dr.G

adda

Eri

o 1

5/04

/05

36 F

ig. 2

AC

QU

A M

ET

OD

O D

IRE

TT

O (

DIT

TU

S-B

OE

LT

ER

)D

ati

Fo

rmu

leT

v=10

5°C

SO

MM

A(d

a o

ad

Ao

) d

A =

SO

MM

A(d

a 0

a Q

o)

(1/U

o*D

T)

* d

Qhv

=30

00W

/°C

-m^2

dA

=d

Q/(

Uo

*DT

)w

=1,

75kg

/sD

T=

Tv-

Tac

qu

aN

u=

0,02

3*R

e^0,

8*P

r^0,

4T

in=

10°C

Re=

G*D

/v(

> 2

200

?)N

u=

ho

*D/k

Tou

t=10

0°C

Pr=

cp*v

/k1/

Uo

=1/

ho

+1/

hv

D=

0,1

mt1

=5

t1=

Tv-

To

ut

dQ

=w

*cp

*dT

acq

ua

L=5

mt2

=95

t2=

Tv-

Tin

dA

=d

Q/(

Uo

*DT

)cp

o=41

50J/

kg-°

Ca1

=0,

5cp

(T)=

cpo

+a1

*TT

w=

Tac

qu

a+(T

v-T

acq

ua)

/(h

o/h

v+1)

ko=

0,55

W/m

-°C

a2=

0,00

15k(

T)=

ko+

a2*T

vo=

0,00

17kg

/m-s

a3=

-0,0

0015

v(T

)=vo

+a3*

T^

0,5

G=

223

kf/s

-m^2

G=

w/(

(D/2

)^2*

Pi)

T a

cqu

a

Tv

D

Tcp

k

v

Re

P

r

Nu

h

o

1/U

o

dQ

Q c

um

ula

to

dA

A c

um

ula

to

Tw

1010

595

4155

0,57

0,00

1218

179

9,01

142

801

1,58

2E-0

30

00,

000,

0085

,015

105

9041

580,

570,

0011

1991

18,

1314

683

71,

528E

-03

3637

836

378

0,62

0,62

85,4

2010

585

4160

0,58

0,00

1021

650

7,38

150

873

1,47

9E-0

336

400

7277

80,

631,

2585

,825

105

8041

630,

590,

0010

2345

46,

7315

590

81,

435E

-03

3642

210

9200

0,65

1,90

86,4

3010

575

4165

0,60

0,00

0925

366

6,15

159

944

1,39

2E-0

336

444

1456

440,

682,

5887

,035

105

7041

680,

600,

0008

2742

15,

6216

398

21,

352E

-03

3646

618

2109

0,70

3,28

87,7

4010

565

4170

0,61

0,00

0829

657

5,14

167

1021

1,31

3E-0

336

488

2185

970,

744,

0288

,545

105

6041

730,

620,

0007

3211

74,

6917

210

621,

275E

-03

3650

925

5106

0,78

4,80

89,3

5010

555

4175

0,63

0,00

0634

851

4,27

177

1106

1,23

8E-0

336

531

2916

380,

825,

6290

,255

105

5041

780,

630,

0006

3792

23,

8818

211

521,

201E

-03

3655

332

8191

0,88

6,50

91,1

6010

545

4180

0,64

0,00

0541

408

3,51

188

1202

1,16

5E-0

336

575

3647

660,

957,

4592

,165

105

4041

830,

650,

0005

4541

13,

1719

412

561,

129E

-03

3659

740

1363

1,03

8,48

93,2

7010

535

4185

0,66

0,00

0450

070

2,84

201

1316

1,09

3E-0

336

619

4379

811,

149,

6294

,375

105

3041

880,

660,

0004

5557

02,

5320

913

811,

057E

-03

3664

147

4622

1,29

10,9

195

,580

105

2541

900,

670,

0004

6217

72,

2421

714

551,

021E

-03

3666

351

1284

1,50

12,4

196

,885

105

2041

930,

680,

0003

7027

41,

9622

715

399,

832E

-04

3668

454

7969

1,80

14,2

198

,290

105

1541

950,

690,

0003

8044

61,

7023

916

359,

448E

-04

3670

658

4675

2,31

16,5

399

,795

105

1041

980,

690,

0002

9362

81,

4425

317

509,

049E

-04

3672

862

1403

3,32

19,8

510

1,3

100

105

542

000,

700,

0002

1114

081,

2027

018

888,

630E

-04

3675

065

8153

6,34

26,1

910

3,1

1° g

rafic

oM

edia

=1,

208E

-03

2° g

rafic

o

33

Tem

per

atu

ra/C

alo

re

020406080100

120

010

0000

2000

0030

0000

4000

0050

0000

6000

0070

0000

Q (

W)

T (°C)

Tac

qua

Tv

DT

Tw

Tem

per

atu

ra/S

up

erfi

cie

020406080100

120 0,

005,

0010

,00

15,0

020

,00

25,0

030

,00

A (

m^

2)

T (°C)

Tac

qua

Tv

DT

Tw

dr.G

adda

Eri

o 1

5/04

/05

37

Fig.

3 C

ON

FRO

NTI

TR

A I

DU

E C

ALC

OLI

Con

fron

to A

=f(Q

)

0,00

5,00

10,0

0

15,0

0

20,0

0

25,0

0

30,0

0

010

0000

2000

0030

0000

4000

0050

0000

6000

0070

0000

Q (W

)

A (m^2)

Dire

ttoD

Tlm

Con

fron

to T

w

75,0

80,0

85,0

90,0

95,0

100,

0

105,

0

010

0000

2000

0030

0000

4000

0050

0000

6000

0070

0000

Q (W

)

T (°C)

Dire

ttoD

Tlm

Con

fron

to T

w

75,0

0

80,0

0

85,0

0

90,0

0

95,0

0

100,

00

105,

00

0,00

5,00

10,0

015

,00

20,0

025

,00

30,0

0

A (m

^2)

T (°C)

Tw D

Tlm

Tw D

iretto

Introduzione Al Calcolo Termico

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