Introduzione Ai Dispositivi Elettronici Di G.palumbo e G. Giustolisi
Introduzione ai Circuiti Elettronici
Transcript of Introduzione ai Circuiti Elettronici
Introduzione ai CircuitiElettronici
Sommario
• Natura dei Segnali– Analogici e Digitali
• Bipoli– Bipoli Elementari– Connessione di Bipoli
• Analisi dei Circuiti Lineari e Tempo-Invarianti– Equazioni differenziali– Fasori– Funzione di Trasferimento– Diagrammi di Bode
Resistore IdealeRnome N+ N- valore in
N+
N-
I(t)V(t)
N+
N-
I(t)V(t)
V(t)=R·I(t)I(t)=G·V(t)
G·R=1
Condensatore IdealeCnome N+ N- valore in F
( )( ) CdV tI tdt
N+
N-
I(t)V(t)
N+
N-
I(t)V(t)
Induttore IdealeLnome N+ N- valore in H
( )( ) LdI tV tdt
N+
N-
I(t)V(t)
N+
N-
I(t)V(t)
Generatore Indipendente di Tensione
E V = E = cost. I(t)
I(t)
V=0 I(t):cortocircuito
I(t)
I(t)
V(t) = E(t) I(t)E(t)
E V
I
Generatore Dipendente di Tensione
E V
I
.
CV
)( CVF V
I
.CI( )CF I V
I
( ) cost.C CV F V V
( ) cost.C CV F I I
Generatore Indipendente di Corrente
I=0 V(t):ramo aperto
V(t)H
I = H = cost. V(t)
V(t)
V(t)
I(t) = H(t) V(t)
H(t)H
V
I
Generatore Dipendente di Corrente
.
CV
)( CVF V
I ( ) cost.C CI F V V
( ) cost.C CI F I I
V
I
.CI( )CF I V
I
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali: ingresso sinusoidale
0
0 00 0
0 0 0 0
0 0 0
0
cos ?
C ; ; da cui ;R
cos cossin ;
RC RCsin cos cos sin
cos cos sin sin cos ;RC R
R
C
cosC RC
Ab b
b B
b a b
B AB
B B
B B A
V t V t
dV t V t V tI t I
dtV t V t
V t
V t V tV V Vt
V tdV t V td
t
t
tRC
Vb(t)C
R I(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali: ingresso sinusoidale
0 0
0 20
02 2
0 0
cos sin 0; cos sin ;RC RC RC
1tan RC cos ;1 RC
RCsin ; ;1 RC 1 RC
B B AB B
AB
V V VV V
VV
0 0
02
cos arctan RC1 RC
Ab
VV t t
Vedi RC_sinInput.cir
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali: ingresso a gradino:
H->:funzione di Heavyside
,
,
, ,
?
C ; ; da cui ;R
0 (cond.iniziale)
H( )RC RC
0
b b A
b b om b pt
tRCb
b A
b
b a b
tRC
b om
b pt A
tRC
AA A
b
V t
dV t V t V dV t V t V tdt
V t V t V t
V t V t V e VV
tI t I
dt
V t ae
V t V
ae V a V
Vb(t)C
R I(t)
Va(t)=VA H(t)
Vedi RC_stepInput.cir
FasoriPerche è comoda?
• Se sommiamo un numero di sinusoidi :– Tutte la stessa frequenza– Diverse ampiezze (volt o correnti)– Diverse fasi
• Ad es.
• Il risultato sarà un’altra sinusoide della forma
90377sin1242377sin5
15377sin450377sin1075377sin3tt
ttt
tA 377sin
FasoriEsempio…
• Esempio di cinque sinusoidi con la loro somma
36.3377sin81.14 t
FasoriCome si usano…
• Invece che usare identità trigonometriche, un modo piùsemplice per fare I conti
• Se è fissato, associamo
dove è il numero complessocon ampiezza v e argomento
cosv t v
v
cos Re j tv t v e
FasoriCome si usano…
• La somma di sinusoidi è equivalente alla somma difasori (numeri complessi)
cosv t v
1
cosn
k kk
v t
n
kkkv
1
trigonometriaSomma dinumericomplessi
Dominio del tempo Fasori
FasoriCome si usano…
• Ricordiamo la regola di Eulero
• Quindi…
n
kkk
n
kkk
n
kkk vjvv
111
sincos
sincos jvvev j
Fasoriesempio…
• Date le due sinusoidi– Usando I fasori:
– Il risultato è
3cos 9 2 cos 45t t
87.3615912
993452903
j
j
15cos 36.87t
FasoriAltro esempio…
• Questi grafici mostrano:– I singoli fasori– La loro somma
FasoriCircuiti lineari…
• Trattando correnti alternate (AC):– La generalizzazione della resistenza è
l’impedenza complessa Z = R + jX– La generalizzazione della conduttanza è
l’ammettenza complessa Y = G + jB
• La generalizzazione della legge di Ohm:V = IZ
FasoriDominio tempo
cosv t v
sin cos /2v t v t / 2v
cos
sin
d v tdtv t
/ 2v
cos
sin
v t dt
v t
/ 2v
fasori
Resistore Ideale
v Ri
v Ri N+
N-
iv
i Gv
1R G
Condensatore Ideale
N+
N-
iv
N+
N-
iv
/ 2Cv i
jC v i
Induttore Ideale
N+
N-
i v
/ 2v L i
v jL i
FasoriCircuiti lineari…
• In AC, I circuiti lineari si comportano come fasori
induttore con induttanza L
resistore con resistenza R
condensatore con capacità C
• Possiamo determinare la tensione ai capidei bipoli lineari in AC: V = IZ
90 LZ
90 CZ
0 RZ
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Fasori
0Re ?j tjb BV t V e e 0Re j t
a AV t V e
Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(0 t) VB cos(0 t+),allora VA cos[0 (t-π/20)]= VA sin(0 t) VB cos[0 (t-π/20)+]=VB sin(0 t+)e qundi VA [cos(0 t) +j sin(0 t)] VB [cos(0 t+)+j sin(0 t+)]
Vb(t)C
R I(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Fasori
0 0
02
cos arctan RC1 RC
Ab
VV t t
0 00
0 0
20 0 0
00
; 1 R CR C R C
; ;1 R C 1 R C 1 R C
arg arg arctan R C1 R C
j t j tjj tj jB A
B B A
j A A AB B
j AB
V e e V ej V e e V e j V
V V VV e Vj j
VV ej
Vb(t)C
R I(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Fasori
0
0
22
0 2
0
cos
; ...
Ammettenza del condesatore di capacità C: =
X
X X
1 IYZ V
jM M
CC
X t X t X e
dX t d X tj
d t d t
j C
C
R I
Va
ab a
0
VV V1
C
C
ZR Z j RC
0 0
02
cos arctan RC1 RC
Ab
VV t t
Trasformata di Laplace
y'' y' y xt t t t
tt eet 2
21
21y
s
t
sss
1X
231)H( 2
2311
2 sss
1x t
Dominio tempo Dominio frequenza
Soluzione equazioni algebriche
L-trasformata
L-trasformata inversa
Perche è comoda?
Trasformata di Laplace
• Definizione di trasformata di Laplace
• Notazione comune
s
dtett st
F
ff0
L
st
stGgFf
L
L st
stGgFf
Definizioni
Trasformata di Laplace
• La funzione da trasformare nulla per t<0
• Utile per descrivere il comportamento diun circuito dall’avvio
0f cos 2 [ ]
1 se t 0f [ ]
0 altrOK
ve
K
o
Ot A f t
t
Limiti
Trasformata di LaplaceEsistenza
• La trasformata di Laplace di f(t) esiste se– La funzione f(t) è continua a tratti, ovvero
l’insieme dei suoi punti di discontinuità è un infinità numerabile
– La funzione f(t) è limitata daper qualche k,M
– Esempi:
ktMet f
2
f [ ]
1 se t 0f [ ]
0 altro
KO
Kve
O
tt e
t
Trasformata di LaplaceFunzione delta-Dirac
• L’esempio più “facile” di trasformata: la delta di Dirac
0
0
L δ δ
1
st
s
t t e dt
e
1δ t
Trasformata di LaplaceIl gradino unitario
• Il gradino unitario
s
es
es
dte
dtett
s
st
st
st
1
10
1
uu
0
0
0
0
L
1100
utt
t s
t 1u
Trasformata di LaplaceAltri esempi: integrazione per parti
• Derivata del prodotto di funzioni
• Riordinando e integrando
t
dtdttt
dtdtt
dtd gfgfgf
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dtttdtdtt
dtttdtddttt
dtddtt
dtdt
ttdtdtt
dtdt
dtdt
gfgf
gfgfgf
gfgfgf
Trasformata di LaplaceLa rampa
• La funzione rampa
20
0
00
0
111
10
111
u
sess
dtes
dtese
st
dttett
st
st
stst
st
L
2
1us
tt
ttddf
f
st
st
es
te
1g
ddg
Trasformata di LaplaceMonomi e polinomi
• Ripetendo il procedimento di integrazioneper parti, è possibile trovare la formula per un generico monomio per n ≥ 0
1
!u nn
snttL
1
!u nn
sntt
Trasformata di LaplaceLinearità
• La trasformata di Laplace è lineare• Se e allora
sbsatbta
sbsatbtaGF)g()f(
GF)g()f(L
st F)f( L st G)g( L
Trasformata di LaplaceValori di bordo
• Dati allora
• Da notare che sF(s) è la trasformata diLaplace di f’(t)
st Ff
ss
ss
s
s
Flimf
Flim0f
0
Trasformata di LaplacePolinomi
• Applicando la proprietà di linearità• La formula per la L-trasformazione dei
polinomi segue:
n
kkk
n
k
kk s
katta0
10
!uL
Trasformata di LaplacePolinomi
• Applicando la proprietà di linearità• La formula per la L-trasformazione dei
polinomi segue:
n
kkk
n
k
kk s
katta0
10
!uL
Trasformata di LaplaceEsponenziale
• Usando espansione di Taylor per l’esponenziale:
0
1 10 0
1L u L u!
1 ! 1!
11
nt k
k
n n
k kk k
e t t tkk
k s s
s
1
1u
s
tet
Trasformata di LaplaceSeno
• Integrazione per parti due volte:
ttss
dtetss
dtetss
stets
dtets
dtets
stets
dtettt
st
st
st
st
st
usin11
sin11
sin11cos1
cos10
cos1sin1
sinusin
22
022
02
0
0
00
0
L
L
1 di 2
Trasformata di LaplaceSeno
• ..e finalmente
1
1usin
1usin1
usin11usin
2
2
22
stt
tts
ttss
tt
L
L
LL
1
1usin 2
stt
2 di 2
Trasformata di LaplaceCoseno
• ..e analogamente per il coseno
1 di 2
ttss
dtetss
dtetss
stetss
dtetss
dtets
stets
dtettt
st
st
st
st
st
ucos11
cos101
cos11sin11
sin11
sin1cos1
cosucos
2
022
02
0
0
00
0
L
L
Trasformata di LaplaceCoseno
• ..e finalmente
2 di 2
1
ucos
ucos1
ucos11ucos
2
2
2
sstt
stts
ttss
tt
L
L
LL
1
ucos 2
sstt
Trasformata di LaplaceFunzioni periodiche
• Se f(t) è periodica di periodo T
• Ad esempio:
sT
Tst
e
dtett
1
ff 0L
s
s
s
st
es
sse
e
dtett
11
1
cosf
20L
Trasformata di Laplace - ProprietàShift nelle frequenze
• Smorzamento nel dominio del tempo oppure shift nel dominio delle frequenze
as
dtet
dtetete
tas
statat
F
f
ff
0
)(
0
L
aste at Ff
Trasformata di Laplace - ProprietàShift nelle frequenze
• Smorzamento nel dominio del tempo oppure shift nel dominio delle frequenze
as
dtet
dtetete
tas
statat
F
f
ff
0
)(
0
L
aste at Ff
Trasformata di Laplace - ProprietàShift nelle frequenze: esempio
1
ucos 2
sstt 2cos u
( ) 1at s ae t t
s a
Trasformata di Laplace - ProprietàScaling nel dominio del tempo
• Scaling nel dominio del tempo oppurescaling attennuato nel dominio dellefrequenze
0
0
0
L f( ) f( )
1f( )
1 f( )
1 F
a
sa
st
s
at at e dt
e da
e da
sa a
dta
dat
as
aat F1f
Trasformata di Laplace - ProprietàScaling nel dominio del tempo: esempio
1
1usin 2
stt 2 2
2sin 2 u2
t ts
0.5
Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata prima
• La trasformata di Laplace della derivata
' '
0
00
0
L f f
ff
f 0 f
F f 0
st
stst
st
t t e dt
s t e dtt e
s t e dt
s s
Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata n volte
• Per induzione si ottiene la derivata n-volte:
1 2 ' 3 ''
2 1
L f F
f 0 f 0 f 0
f 0 f 0
n n
n n n
n n
t s s
s s s
s
Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata prima: esempio
'f u f u f 0 δd t t t t tdt
'
f sin
f 0 u 0 0
f u sin( ) u δ
t t
t t t t t
Trasformata di Laplace - ProprietàRitardo nel dominio del tempo
• La trasformata di Laplace dello shift temporale
0
0
0 00
0
L f( ) f
f
L f( )
st
s t
s t
t t t t e dt
e d
e t
0t td dt
00f Fs tt t e s
f( ) 0 0
Trasformata di Laplace - ProprietàDerivata in frequenza
• La derivata della trasformata di Laplace
)f(
f
f
fF
0
0
0
)1(
tt
dtett
dtetdsd
dtetdsds
st
st
st
L stt )1(Ff
Trasformata di Laplace - ProprietàIntegrale
• La trasformata di Laplace dell’integrale
ss
des
tdde
tdde
dtedd
st
st
st
sttt
F
f1
f
f
ff
0
0
0
0 00
L
Trasformata di Laplace - ProprietàConvoluzione
• …dalla definizione di convoluzione
• Si ha che
dt
dtt
gf
gfgf
ssj
tt
sst
GF21gf
GFgf
Funzione di Trasferimento
• Dato un sistemalineare e tempo-invariante
• F. di Trasf. definitacome il rapporto traFASORE della rispostae della sollecitazione diingresso
( )( )( )
( ) ( ) ( )
o
I
o I
V jH jV j
V j H j V j
Funzione di Trasferimento
1 0
1 0
...( )( )( ) ...
mmo
nI n
a j a j aV jH jV j b j b j b
• Poli e zeri (pi,zi) sono reali o complessi coniugati
•Parametri concentrati f. di Trasf. Razionale a coefficienti reali (ai,bi)
1
1
( )...( )( )( )...( )
m
n
s z s zH s Ks p s p
j s
Funzione di Trasferimento
0 0( ) ( 2 )H j H j f
• Consente di calcolare la risposta a regime Su(t) ad eccitazioni sinusoidali Si(t)
0cos 2i MS t A f t
0 0 02 cos 2 arg 2u MS t A H j f f t H j f
Funzione di Trasferimento• …o a una somma finita o numerabile di contributi
sinusoidali
cos 2i k k kk
S t A f t
2 cos 2 arg 2u k k k k kk
S t A H j f f t H j f
Funzione di Trasferimento• …o a una “somma” di infiniti contributi sinusoidali
infinitesimi
0
cos 2iS t A f ft f df
0
2 cos 2 arg 2uS t A f H j f ft f H j f df
Diagrammi di Bode
• Un diagramma di Bode è un grafico (semilog) dall’ampiezza e della fase della funzione ditrasferimento in funzione della frequenza
• L’ampiezza è spesso espressa in decibels (dB)dB = 20 log10 A
dove A è l’ampiezza o il guadagno– Una decade è definita come ogni 10-a-1 range di
frequenze (ad es 10-100Hz)
Diagrammi di Bode
ω
Polo a ω=p(=1/)
Gain
UnaDecade
0 dB
–20 dB
pSingolo polo: ampiezza
1( )1
H jjp
Ad es. guadagnomax = 1 e
p0Una
Decade
2
-1
1 se 01 1( ) se p
21
se p
H j
pp
20 log10
-1
20log 1 0 se 0
120log =-10log 2 3 se p2
20log =-20log se pp p
Diagrammi di BodeFase
ω
0°
–45°
–90°
Singolo polo: fase
1( )1
H jjp
Ad es. guadagnomax = 1e p0
UnaDecade
UnaDecade
Polo a ω=p(=1/)
arg ( ) arctanH jp
0 se 10
se 4
se 102
p
p
p
Vedi RC_ACanalysis.cir
Diagrammi di Bode
Zero a ω=z(=1/)
UnaDecade
Singolo zero: ampiezza
( ) 1jH jz
Ad es. guadagnomax = 1 e
z0Una
Decade
21 se 0
( ) 1 2 se
se
H j zz
zz
20 log10
20log 1 0 se 0
20log 2 =10log2 3 se
20log se
z
zz
Gain
+20 dB
0 dB
Diagrammi di BodeSingolo zero: fase
arg ( ) arctanH jz
0 se 10
se 4
se 102
z
z
z
( ) 1jH jz
Ad es. guadagnomax = 1 e
z0
Fase
ω
+90°
+45°
0°
UnaDecade
UnaDecade
Diagrammi di Bode
ω
Polo a ωp=1/
Gain
Fase
ω
0°
–45°
–90°
UnaDecade
0 dB
–20 dBω
Zero a ωz=1/
Gain
Fase
ω
+90°
+45°
0°
UnaDecade
+20 dB
0 dB
ωp ωz
Se K=120 log10(K) = 0 dB
Diagrammi di Bode
Diagramma di Bode: ampiezza della risposta del filtro passa-alto del primo ordine
Analisi Circuiti Lineari e TI
• Se le relazioni differenziali sono lineari, possono essere rese algebriche con un metodo di trasformazione:– metodo dei fasori: per funzioni sinusoidali
isofrequenziali– trasformazione di Fourier: per funzioni
assolutamente integrabili– trasformazione di Laplace: per funzioni nulle per
t<0
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali
0
0 00 0
0 0 0 0
0 0 0
0
cos ?
C ; ; da cui ;R
cos cossin ;
RC RCsin cos cos sin
cos cos sin sin cos ;RC R
R
C
cosC RC
Ab b
b B
b a b
B AB
B B
B B A
V t V t
dV t V t V tI t I
dtV t V t
V t
V t V tV V Vt
V tdV t V td
t
t
tRC
Vb(t)C
R I(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Eq. differenziali
0 0
0 20
0
2 20 0
cos sin 0; cos sin ;RC RC RC
1tan RC; cos ;1 RC
RCsin ; ;
1 RC 1 RC
B B AB B
AB
V V VV V
VV
0 0
02
cos arctan RC1 RC
Ab
VV t t
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Fasori
0Re ?j tjb BV t V e e 0Re j t
a AV t V e
Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(0 t) VB cos(0 t+),allora VA cos[0 (t-π/20)]= VA sin(0 t) VB cos[0 (t-π/20)+]=VB sin(0 t+)e qundi VA [cos(0 t) +j sin(0 t)] VB [cos(0 t+)+j sin(0 t+)]
Vb(t)C
R I(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Fasori
0 0
02
cos arctan RC1 RC
Ab
VV t t
0 00
0 0
20 0 0
00
; 1 R CR C R C
; ;1 R C 1 R C 1 R C
arg arg arctan R C1 R C
j t j tjj tj jB A
B B A
j A A AB B
j AB
V e e V ej V e e V e j V
V V VV e Vj j
VV ej
Vb(t)C
R I(t)
Va(t)=VA cos(0 t)
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Fasori
0
0
22
0 2
0
cos
; ...
Ammettenza del condesatore di capacità C: =
X
X X
1 IYZ V
jM M
CC
X t X t X e
dX t d X tj
d t d t
j C
C
R I
Va
ab a
0
VV V1
C
C
ZR Z j RC
0 0
02
cos arctan RC1 RC
Ab
VV t t
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Laplace
0
0 0cos 0a
A
per tV t
V t per t
0
0 2 2 2 20 0
0 0: 0 ?
; 0 ...
cos ;
b b
s t
b a Ab
V V t
x t X s L x t x t e d t x t s X s x
V s V s Vs sL t sV ss R C R C R C s
Vb(t)C
R I(t)
Esempi di risoluzione di un circuito lineare.Laplace
Vb(t)C
R I(t)
2 20
20
2 2 2 22 0 00 2 2
0 0 02 2 20
11
111
cos sin1
Ab
A
tA RC
b
V sV sR C ss
R C
V RC s RCs ssR C R CR C
VV t e t R C tR C
tRC
2 2 2A A0 0 02 2 2 2 2 2
0 0
V e V- + 1 + ω R C cos ω t - arctan(ω R C1 + ω R C 1 + ω R C