Introdução à Geometria Plana - WordPress.com · Retas Paralelas cortadas por transversal Podemos...
Transcript of Introdução à Geometria Plana - WordPress.com · Retas Paralelas cortadas por transversal Podemos...
Introdução à Geometria Plana
Professor: Antonio Carlos Barros
São os elementos matemáticos que não possuem
definição.
✓ Ponto → nomeado por letra Latina maiúscula.
Entes Primitivos
✓ Reta → nomeado por letra Latina minúscula.
✓ Plano → nomeado por letra grega minúscula.
Entes Primitivos
✓ Reta → infinita nos dois
sentidos.
✓ Semirreta → infinita em
apenas um dos sentidos.
Tem um ponto inicial ou
final.
✓ Segmento de reta →
possui ponto inicial e
final.
Posições relativas no plano
1) Ponto e Reta
Posições relativas no plano
2) Entre duas retas
Posições relativas no plano
2) Entre duas retas
ÂngulosDuas semirretas de mesma origem formam duas
regiões. A medida dessa região é chamada de ângulo.
º π
••
••
•
Classificações dos Ângulos1) Ângulo de uma volta ou cheio:
mede 360º.
2) Ângulo de meia volta ou raso:
mede 180º.
3) Ângulo reto: mede 90º.
Classificações dos Ângulos4) Ângulo agudo: Tem valor
menor que 90º.
5) Ângulo obtuso: mede mais
que 90º e menos que 180º.
6) Ângulo não-convexo: tem
medida maior que 180º.
Pares de Ângulos1) Ângulos Complementares: quando dois ângulos tem
soma igual a 90º, dizemos que eles são
complementares.
2) Ângulos Suplementares: quando dois ângulos tem
soma igual a 180º, dizemos que eles são suplementares.
3) Ângulos Replementares: quando dois ângulos tem
soma igual a 360º, dizemos que eles são replementares.
Submúltiplos do GrauPara aumentar a precisão da medida, foram criados
valores menores que 1º.
1) Minuto: 1º = 60’
2) Segundo: 1’ = 60”
Podemos representar a medida de um ângulo por graus,
minutos e segundos ou pela forma decimal do grau.
Ex.: 123,5º = 123º 30’
Submúltiplos do GrauPara converter uma medida de parte decimal para
minutos e segundos, basta multiplicar a parte decimal
por 60. Essa será a resposta em minutos.
Se ainda houver parte decimal após a multiplicação,
multiplicamos novamente por 60. Esse será o valor dos
segundos.
Ex.: 43,57º = 43º 34’ 12”
Operações com ângulosEntre ângulos existem apenas duas operações: adição e
subtração.
Mas podemos multiplicar ou dividir o ângulo por
números reais.
1) Adição e Subtração: Colocamos as unidades
correspondentes uma embaixo da outra e realizamos
as operações. Devemos ter cuidado na conversão ou
ao “pegar emprestado”, pois 1º=60’ e 1’ = 60”.
Também não podemos ter, na resposta final, os
valores dos minutos e segundos maiores que 59.
Operações com ângulos
Ex.: Vamos somar e depois subtrair os ângulos de
68º23’49” e 37º36’28”
Operações com ângulos
2) Multilplicação e Divisão: Realizamos as operações de
cada unidade separadamente. Devemos ter cuidado na
conversão do resto da divisão, pois 1º=60’ e 1’ = 60”.
Também não podemos ter, na resposta final, os valores
dos minutos e segundos maiores que 59.
Ex.: Vamos multiplicar e depois dividir o ângulo de
78º23’40” por 4.
Observações sobre ângulos
Assim como o ponto médio divide um segmento em
duas partes iguais, chamamos de bissetriz o segmento
de reta que divide o ângulo ao meio.
O segmento CE é bissetriz
do ângulo ACD.
Ângulos
Voltando a ideia de retas concorrentes, note que elas
formam 4 ângulos.
O que nós podemos falar
sobre os ângulos verde e
preto ou azul e
vermelho?
Ângulos opostos pelo
vértice são congruentes.
Os ângulos adjacentes
são suplementares.
Retas Paralelas cortadas por transversalPodemos dizer que duas retas paralelas possuem a
mesma inclinação relativa.Note como nós só
temos dois conjuntos
de ângulos
congruentes. Se os
ângulos não forem
congruentes, então
eles serão
suplementares
Ao observarmos dois ângulos
quaisquer, podemos classifica-los da
seguinte forma:
Retas Paralelas cortadas por transversal
Correspondentes: Se
eles estiverem na
mesma posição
relativa, mas em
retas paralelas
distintas.
Em relação à transversal:
• Colaterais: Se estiverem do mesmo lado da transversal.
• Alternos: Se estiverem de lados opostos da transversal.
Em relação às paralelas:
• Internos: Se estiverem entre as duas paralelas.
• Externos: Se estiverem fora das duas paralelas.
Exemplo
Calcule o valor de x, sabendo que r//s.
Exemplo
Calcule o valor de m, sabendo que r//s.
Quanto vale a soma dos ângulos internos de um triângulo? Como
podemos provar isso?