Introdução aos métodos numéricos 271/2017-II/slides/ERROS - MAT 27… · Representação...
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CÁLCULO NUMÉRICO
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Cálculo NuméricoConjunto de métodos
utilizados para a obtençãode resultados de
problemas matemáticosatravés de aproximações
Problema Físico
Modelo Matemático SoluçãoProblema
FísicoModelo
Matemático Solução
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Cálculo Numérico
Conjunto de métodosutilizados para resolverPROBLEMAS FÍSICOS
através de aproximações
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
Modelagem Resolução
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
PROBLEMA FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO
SOLUÇÃO
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Cálculo Numérico
Conjunto de métodosutilizados para resolverPROBLEMAS FÍSICOS
através de aproximações
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
Modelagem
Resolução
ConversãoArredondamentoTruncamento...
Problema Físico
Modelo Matemático Solução
PROBLEMA FÍSICO
MODELO MATEMÁTICO
SOLUÇÃO
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ERROS
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Erros na Resolução
Fortemente influenciados pela precisão
Relacionados à Representação numérica
Máquinas com precisão diferente com mesmo software
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Avaliando o Erro
Sendo x a solução real(exata) de um dado problema e x’ o valor aproximado desta solução, obtido por um dado método mumérico, temos:
Erro absoluto: |x – x’|.
Erro relativo: |x - x’|/ |x|.
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Representação Numérica
Computadores possuem memória finita. O conjunto de números que os
computadores podem representar é finito. Cada computador possui uma precisão
numérica diferente. Esta precisão é dependente do hardware,
sistema operacional, compilador, etc.
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Representação Numérica
O sistema convencional é o de base 10 (dígitos de 0 a 9).
Computadores modernos usam a base numérica 2 (dígitos 0 e 1).
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Mudança de Base
Divisões sucessivas (5)10 = (?)2
5/2 = 2 resto 1 2/2 = 1 resto 0
Logo (5)10 = (101)2
5 22 21
10
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Mudança de Base
(17)10 = (?)2
17/2 = 8 resto 1 8/2 = 4 resto 0 4/2 = 2 resto 0 2/2 = 1 resto 0 Logo (17)10 = (10001)2
17 28 210 2
204
210
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Mudança de Base
5,25 = 5 + 0,25
5 sabemos como resolver
Mas e a parte decimal?
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Mudança de base
Multiplicações sucessivas
0,25 x 2 = 0,5 0,5 x 2 = 1,0
Logo (0,25)10 = (0,01)2
E (5,25)10 = (101,01)2
0,25x 2
0,50x 2
1,00
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Mudança de Base
Conversão de base 2 para base 10:
(100)2 = 1x22 + 0x21 + 0x20 =4+0+0 = (4)10
(101)2 = 1x22 + 0x21 + 1x20 =4+0+1 = (5)10
(100,1)2 = 1x22 + 0x21 + 0x20+1x2-1 =
= 4+0+0+0,5 = (4,5)10
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Representação Numérica
Computadores usam o Sistema de Ponto Flutuante Normalizado
±0,c1c2c3…cn x be
cn – dígitos entre 0 e b-1 (mantissa). c1 diferente de zero. b – número natural (base). e – número Inteiro (expoente).
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Representação Numérica
Devido à questão da memória finita, os sistemas de ponto flutuante normalizados possuem parâmetros bem definidos durante o projeto
Número de caracteres da mantissa (n) Valor da base (b) Valores e1 e e2 : expoentes menor e maior,
respectivamente, do sistema e1 < 0 e e2 > 0
SPF(b,n,e1,e2)
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Representação Numérica
Menor número positivo: x1=(0,10...0)xbe1
Maior número: x2 = (0,[b-1][b-1]...[b-1])xbe2
Quantidade de números representáveis:
2x(b-1)xb(n-1)x(e2-e1+1)+1
NSPF(b,n,e1,e2)
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Representação Numérica
x1 x2-x1-x2
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Representação Numérica
x1 x2-x1-x2 overflowoverflow
underflow
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Representação Binária
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente
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Representação Binária
0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
sinal mantissa Sinal do expoenteexpoente
Sinal
0 = positivo,
1 = negativo
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Representação Numérica
A distribuição dos números na reta real não é uniforme.
Há concentração de números em trechos da reta.
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Representação NuméricaConsiderando os seguintes parâmetros, por exemplo: b=2, n=3, e1=-1 e e2=2.
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Representação Numérica
Resultados de operações aritméticas em sistemas de ponto flutuante nem sempre estão corretos
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Representação NuméricaAinda com os parâmetros b=2, n=3, e1=-1 e e2=2.
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Representação Numérica
Propriedades aritméticas nem sempre são verificadas
Suponha x1=0,3491x104, x2=0,2345x100
(x2+x1)-x1 = x2 + (x1-x1)
A propriedade só se mantém com máquinas de precisão maior do que 7 dígitos com truncamento
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Representação Numérica
Para somar x1 e x2 precisamos colocá-los na mesma base decimal
x1=0,3491x104
x2=0,2345x100=0,00002345x104
Máquinas com precisão 7 ou menos não são capazes de representar x2
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(x2+x1)-x1 =(0,0000234x104+0,3491x104) -0,3491x104 = (0,3491234x104) -0,3491x104 = (0,0000234x104) = 0,234x10
x2+(x1-x1)=0,2345x10+(0,3491x104 -0,3491x104) = 0,2345x10 + 0 = 0,2345x10
Representação Numérica
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Tipos de Erro de Precisão
Arredondamento.
Truncamento.
Para o Número de máquina mais próximo.
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Erros de arredondamento
Os erros de arredondamento dependem de como os números são representados na máquina. A representação depende da base em que os números são escritos e da quantidade máxima de dígitos usados nessa representação. Logo, os cálculos envolvendo números que não podem ser escritos de modo finito na base escolhida geram erros.
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Erros de arredondamento
Arredondar um número na casa é
desconsiderar as casas , j = 1, 2, 3, ..., de
tal forma que:
seja a última casa se .
+ 1 seja a última casa se .
id
i jd +
id
id
1 5id + <
1 5id + ³
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Erro por Truncamento
São erros decorridos de processos que deveriam ser infinitos.
Calculo de séries infinitas.
Sen(x) =x - x3/3! + x5/5! – x7/7!....
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Erro por truncamento
Dizimas periódicas binárias.
(0,1)10 = (0,0001100110011...)2
Calculadora do Windows – sqrt(2).
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Conclusão:
Erros devem ser evitados quando possível.
Não sendo possível evitá-los:Não devem ser ignorados,Devem ser minimizados.