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Modelos Discretos
Introdução aos modelosmatriciais
- A Matriz de Leslie -
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Populações estruturadas em estádios fisiológicos
Estádios: idades, tamanhos corporais, estádios desenvolvimento ...
Nascimento
Morte
Estádio 1 Estádio 2 Estádio 3 Estádio iCiclo de vida
Homogeneidade de taxas vitaisintra-estádios
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Duas escalas de tempo
Tempo biológicoTempo ao longo do ciclo de vida (nascimentoaté à morte) - idades
Tempo absoluto (ou de “projecção”)Tempo ao longo do qual a população é recenseada
Intervalos discretost t+1 t+2
tTempo contínuo
Para qualquer deles pode-se escolher:
ou
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Tipos de modelos para populações estruturadas
Tempo biológico
Estádios fisiol. discretos Estádios fisiol. contínuos
Tempo discreto Modelos matriciais Eqs Integro-diferenciais
Tempo contínuo Eqs diferenciais com atrasos Eqs às derivadas parciais
Tem
po a
bsol
uto
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Patrick Leslie, 1945
C. EltonBureau of Animal Populations, Oxford
História
L. Lefkovitch, 1965
Hal Caswell
Caswell, H. 2001. Matrix PopulationModels. Construction, Analysis andInterpretation. Sinauer
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Estádios vs. idades
Ciclo de vidai = 1 2 3 4
x = 1 2 3 40
Estádios
Idadesx = i -1
N0N1N3…
A população tem estrutura etária:
Demografia
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Tempo absoluto
t t+1 t+2 t+3 t+4
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
...2,
1,
0,
t
t
t
NNN
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
...2,1
1,1
0,1
t
t
t
NNN
[...]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
+
+
...2,4
1,4
0,4
t
t
t
NNN
∆ t = Intervalo de projecção
2 regrasO intervalo de projecção é sempre constante
Intervalo projecção ≤ duração da unidade de idade
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1 estádio de cada vez
Um indivíduo não pode saltar 2 ou mais estádiosem 1 intervalo projecção
estádios
1 2 3 4
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Parâmetros de projecção
Probabilidade de que 1 indivíduo no estádio i, no instante t, sobreviva e esteja no estádio i+1 no census de t+1
Pi
Número filhos viáveis dum indivíduo no estádio i, produzidos durante o intervalo de projecção (t, t+1).
Fi
“viáveis”= ainda estão vivos no instante t+1
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Intervalo de aplicação
x=0 x=1
reprod reprod
i=1 i=2
t t+1
P1
F1 F2
P2
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Projecção com Pi e Fi
t t+1 t+2 ...N 1, t N 1, t+1
N 2, t N 2, t+1
N 3, t N 3, t+1
... ...
N2, t+1 = P1 N1, t
N3, t+1 = P2 N2, t…
N1,t+1= F1 N1, t + F2 N2, t + F3 N3, t + … + Fk Nk, t
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Representação matricial
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
− KK
K
N
NNN
P
PP
FFFF
...0000...............0...000...00
...
3
2
1
1
2
1
321
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ ++++
=
i
22
11
332211
...
...
NPi
NPNP
NFNFNFNF KK
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A Matriz de Leslie
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 0000...............0...000...00
...
1
2
1
321
K
K
P
PP
FFFF
Matriz quadrada(K, K)
K = nº estádios
A =
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t1t NAN =+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
− KK
K
N
NNN
P
PP
FFFF
...0000...............0...000...00
...
3
2
1
1
2
1
321
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡∑=
=
33
22
11
1
...NP
NPNP
NFKi
iii
t1t NAN =+
(K, 1) (K, K) (K, 1)
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An determina o futuro
t1t NAN =+ equação de recorrência
tttt NANAANAN 212 === ++
Assumindo A constante
tnt NAN n=+ após n intervalos projecção
Determina o futuro após n intervalos
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Aplicação sucessiva da ML
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
102050
100
01.000003.0000036.01.02.07.28.1
21536
320
Nt+1 = A Nt
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
716512317659
473551
3420
135244
1531
211
115676
Nt+2 Nt+3 Nt+4 Nt+5
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Variação dos números
t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6Estadio 1 100 320 676 1531 3420 7659 17144Estadio 2 50 36 115 244 551 1231 2757Estadio 3 20 15 11 35 73 165 369Estadio 4 10 2 2 1 4 7 17TOTAL 180 373 804 1811 4048 9062 20287λ 2.07 2.16 2.25 2.24 2.24 2.24
λtxtx NN ,1, =+
ttt NANN λ==+1
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Transição das proporções para DEE
t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6Estadio 1 0.556 0.858 0.841 0.845 0.845 0.845 0.845Estadio 2 0.278 0.097 0.143 0.135 0.136 0.136 0.136Estadio 3 0.111 0.040 0.014 0.019 0.018 0.018 0.018Estadio 4 0.056 0.005 0.002 0.001 0.001 0.001 0.001
0.0
0.3
0.5
0.8
1.0
t t+1 t+2 t+3 t+4 t+5 t+6
tempo
Pro
porç
ao p
or e
stad
io Estádio 1
Estádio 2
Estádio 3